《步步高》2014届高考数学大一轮复习(人教A版)专题课件：专题二 利用导数研究函数的性质(共75张PPT)

专题二 利用导数研究函数的性质

1．f′(x)>0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件．

2．f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是f′(x)≥0，且f′(x)＝0在有限个点处取到．

3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件

对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分．

4．如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点．

1． 已知函数f(x)＝ln a＋ln xx在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围为__________．

答案 [e，＋∞)

解析 f′(x)＝1x·x－ln a＋ln xx2＝1－ln a＋ln xx2，因为f(x)在[1，＋∞)上为减函数，故f′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，即ln a≥1－ln x在[1，＋∞)上恒成立．设φ(x)＝1－ln x，φ(x)max＝1，故ln a≥1，a≥e.

2． 设函数f(x)＝ax3－3x＋1 (x∈R)，若对于任意x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．

答案 4

解析 若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；

当x>0，即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥3x2－1x3.设g(x)＝3x2－1x3，则g′(x)＝31－2xx4，

所以g(x)在区间0，12上单调递增，在区间12，1上单调递减，因此g(x)max＝g12＝4，从而a≥4.

当x<0，即x∈[－1,0)时，同理a≤3x2－1x3.

g(x)在区间[－1,0)上单调递增， ∴g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，

§3.1 导数的概念及其运算

2014高考会这样考 1.利用导数的几何意义求切线方程；2.考查导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导．

复习备考要这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则；2.灵活进行复合函数的求导；3.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程．

1． 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率

函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率为fx2－fx1x2－x1，若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则平均变化率可表示为ΔyΔx.

2． 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx＝limΔx→0 ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

(2)几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

3． 函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx为f(x)的导函数，导函数有时也记作y′.

4． 基本初等函数的导数公式

原函数 导函数 f(x)＝c (c为常数) f′(x)＝__0__

f(x)＝xn (n∈Q*) f′(x)＝nxn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos_x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x

f(x)＝ax (a>0) f′(x)＝axln_a

f(x)＝ex f′(x)＝ex

f(x)＝logax

(a>0，且a≠1) f′(x)＝1xln a

f(x)＝ln x f′(x)＝ 1x

5. 导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

1 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)

一、基础过关

1.下列结论不正确的是

( )

A.若y＝3，则y′＝0

B.若f(x)＝3x＋1，则f′(1)＝3

C.若y＝－x＋x，则y′＝－12x＋1

D.若y＝sin x＋cos x，则y′＝cos x＋sin x

2.函数y＝x1－cos x的导数是

( )

A.1－cos x－xsin x1－cos x

B.1－cos x－xsin x1－cos x2

C.1－cos x＋sin x1－cos x2

D.1－cos x＋xsin x1－cos x2

3.若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于

( )

A.－1 B.－2 C.2 D.0

4.设曲线y＝x＋1x－1在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，则a等于

( )

A.2 B.12 C.－12 D.－2

5.设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为

( )

A.4 B.－14 C.2 D.－12

6.已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________.

7.若某物体做s＝(1－t)2的直线运动，则其在t＝1.2 s时的瞬时速度为________.

二、能力提升

8.设函数f(x)＝sin θ3x3＋3cos θ2x2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f′(1)的取值范围是( )

A.[－2,2] B.[2，3]

2 C.[3，2] D.[2，2]

9.若函数f(x)＝13x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.

1 §2.9 函数的应用

2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．

复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要在定义域内；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．

1． 几类函数模型及其增长差异

(1)几类函数模型

函数模型 函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b (a、b为常数，a≠0)

反比例函

数模型 f(x)＝kx＋b (k，b为常数且k≠0)

二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c

(a，b，c为常数，a≠0)

指数函数模型 f(x)＝bax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

对数函数模型 f(x)＝blogax＋c

(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)

幂函数模型 f(x)＝axn＋b (a，b为常数，a≠0)

(2)三种函数模型的性质

函数性质 y＝ax

(a>1) y＝logax

(a>1) y＝xn

(n>0)

在(0，＋∞)

上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增

增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同

值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax

2 2. 解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；

(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．

以上过程用框图表示如下：

1． 要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．

2． 解决实际应用问题的一般步骤

(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质．