偏微分方程数值解之偏微分方程的定解问题
自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程，称之为偏微分方程。
方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的，这样的方程称为线性偏微分方程，否则称它为非线性偏微分方程。
初始条件和边界条件称为定解条件，未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题，定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体，称为定解问题。
偏微分方程的定解问题
各种物理性质的定常（即不随时间变化）过程，都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程
特别地，当 f (x, y) ≡ 0 时，即为拉普拉斯(Laplace)方程，又称为调和方程
带有稳定热源或内部无热源的稳定温度场的温度分布，不可压缩流体的稳定无旋流动及静电场的电势等均满足这类方程。
Poisson 方程的第一边值问题为
其中Ω 为以Γ 为边界的有界区域，Γ 为分段光滑曲线，Ω U Γ 称为定解区域， f (x,
y),?(x, y) 分别为Ω,Γ 上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示成
其中n 为边界Γ 的外法线方向。当α = 0 时为第二类边界条件，α ≠ 0时为第三类边界条件。
在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型方程。其最简单的形式为一维热传导方程。
方程（5）可以有两种不同类型的定解问题：
初值问题（也称为Cauchy 问题）
其中?(x), g1 (t), g2 (t)为已知函数，且满足连接条件
问题（7）中的边界条件
称为第一类边界条件。第二类和第三类边界条件为
其中
为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。
[原创]偏微分方程数值解法的MATLAB源码【更新完毕】
说明：由于偏微分的程序都比较长，比其他的算法稍复杂一些，所以另开一贴，专门上传偏微分的程序
谢谢大家的支持！
其他的数值算法见：
..//Announce/Announce.asp?BoardID=209&id=8245004
1、古典显式格式求解抛物型偏微分方程（一维热传导方程）
function [U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%古典显式格式求解抛物型偏微分方程
%[U x t]=PDEParabolicClassicalExplicit(uX,uT,phi,psi1,psi2,M,N,C)
%
%方程：u_t=C*u_xx 0 <= x <= uX,0 <= t <= uT
%初值条件：u(x,0)=phi(x)
%边值条件：u(0,t)=psi1(t), u(uX,t)=psi2(t)
%
%输出参数：U -解矩阵，第一行表示初值，第一列和最后一列表示边值，第二行表示第2层……
% x -空间变量
% t -时间变量
%输入参数：uX -空间变量x的取值上限
% uT -时间变量t的取值上限
% phi -初值条件，定义为内联函数
% psi1 -边值条件，定义为内联函数
% psi2 -边值条件，定义为内联函数
% M -沿x轴的等分区间数
% N -沿t轴的等分区间数
% C -系数，默认情况下C=1
%
%应用举例：
%uX=1;uT=0.2;M=15;N=100;C=1;
%phi=inline('sin(pi*x)');psi1=inline('0');psi2=inline('0');
第十章 偏微分方程数值解法
偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝
大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。
§1 差分方法的基本概念
1.1 几类偏微分方程的定解问题
椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson）方程
),(2222yxfyuxuu
特别地，当0),(yxf时，即为拉普拉斯（Laplace）方程，又称
为调和方程
02222yuxuu
Poisson方程的第一边值问题为
),(),(),(),(),(2222yxyxuyxyxfyuxuyx
其中为以为边界的有界区域，为分段光滑曲线，
称为定解区域，),(yxf，),(yx分别为，上的已知连续函数。
第二类和第三类边界条件可统一表示为
),(),(yxuuyxn
其中n为边界的外法线方向。当0时为第二类边界条件，
0时为第三类边界条件。
抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程
220(0)uuaatx
方程可以有两种不同类型的定解问题：
初值问题
xxxuxtxuatu)()0,(,0022
初边值问题
221200,0(,0)()0(0,)(),(,)()0uuatTxltxuxxxlutgtultgttT
其中)(x，)(1tg，)(2tg为已知函数，且满足连接条件 )0()(),0()0(21glg
一、 实验目的
1、 了解并掌握不同差分格式的稳定性；
2、 能够掌握比较不同差分格式数值效应的能力。
二、 实验问题
取a=1,2,4, h=0.1, 0.08,用以下几种差分格式求解对流方程
01,0(0,)()0,0txuauxuxfxx
得t=4时数值结果。用图示说明算法的稳定性和间断点附近的计算效果，并进行相应的数值分析。
迎风格式(upwind):
111()nnnnjjjjuuauu
Lax-friedrichs 格式：
1111111()()22nnnnnjjjjjuuuauu
Lax-wendroff 格式：
122111111()(2)22nnnnnnnjjjjjjjuuauuauuu
修正迎风格式:
11(1)nnnjjpjpududu
这里p=[ a],d= a-[ a],/0.8h.为网格比，记号[x]表示不超过x的最大整数。
三、 实验原理
首先取[10,10]x，[0,4]t。按照h=0.1, 0.08划分网格。
再由各种差分格式通过已知的第1层网格点数值可以求出第2层网格点的数值。以此类推，通过逐层的信息最终求得在第4层网格点数值结果。
注意：这里x，t的取值范围应当包含间断点。同时，在所需求的第4层也应当包含间断点。这点要求可以通过初始估算得出。
四、 实验过程
根据要求将网格中x划分为200格，t划分为50格。首先通过matlab构造一个大的零矩阵。然后分别利用差分格式代入并作图。
1、 取a=1
迎风格式(upwind):
Lax-friedrichs 格式：
Lax-wendroff 格式：
修正迎风格式：
2、 取a=2
