华杯赛初赛试题及解答
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第八届华杯赛初赛试题及解答
1.2002年将在北京召开国际数学家大会， 大会会标如下图所示。 它是由四个相同的直角三角形拼成的 （直角边长为2和3）。
问：大正方形的面积是多少 ？
2. 从北京到G城的特别快车在 2000年10月前需用12.6小时后提速20% .问；提速后，北京到G城的特别快车需要多少小 时？
3. 右式中不同的汉字代表I 一 9中不同的数字，当算式成立时，“中国”这两个汉字所代表的两位数最大是多少 ？
中国
新北京
+新典运
2 0 0 8~
4. 两个同样材料做成的球 A和B, —个实心，一个空心。 A的直径为7、重量为22, B的直径为10.6、重量为33.3。问：
哪个球是实心球？
5. 铁路油罐车由两个半球面和一个圆柱面钢板焊接而成， 尺寸如下图所示。问：该油罐车的容积是多少立方米 ?（ n
=3.1416）
6. 将左下图中20张扑克牌分成10对，每对红心和黑桃各一张。问：你能分出几对这样的牌，两张牌上的数的乘积除以 的余数是1?（将A看成I） I0 145k A 3 4 5 7 8 9
： 2 3 4 5 6 7 a 9
A.* A A*
7. 右上图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为 10厘米的正五边形。求五边形内阴影部分的面积。 (n =3.14)
8. 世界上最早的灯塔于公元 270年，塔分三层，每层都高 27米，底座呈正四棱柱，中间呈正八棱柱，上部呈正圆锥。上
部的体积是底座的体积的 _____ .
打 开 X
(A) ■■ (B)二 (C)--
9•将+, -,x,+四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。
]]]]] 10.有码放整齐的一堆球，从上往下看如右图，这堆球共有多少个?
11.自行车轮胎安装在前轮上行驶 5000千米后报废，若安装在后轮上只能行驶 3000千米。为行驶尽可能多的路，如果采
用当自行车行驶一定路程后将前后轮胎调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米 ？
12.将一边长为I的正方形二等分，再将其中的一半二等分，又将这一半的一半二等分，这样继续下去……展开想象的翅 膀，从这个过程中你能得到什么 ？
1、13 2、10. 5 小时 3、84 4、A是实心球 5、41.888 立方米 6、4对
7、117. 75平方厘米 8、B 9、+、+、一、x 10、 201 11、 3750千米
12、答案可以是各种各样的
1. 【解】中间小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 4个三角形与中间小正方形的面积之和，所以，大正方形的面积=
1
[X 2 X 3X 4+ 1= 13.
100
2. 【解】时间与速度成反比，提速后的时间为 12.6 -（ 1 + 20%）= 12.6 X二「I =
10.5 （小时）
3. 【解】 “新”必为9,千位才能得2，所以“中”应为8.“国”、“京”、“运”之和应为 8或18,但当和为18时,
（“国”、“京”、“运”分别为 7, 6, 5）,“中”、“北”、“奥”之和最大为 15 （“中”、“北”、“奥”分别为
8, 4, 3），不能进位2,所以“国”、“京”、“运”之和只能是 8,此时，“北”、“奥”只能分别为7和5,则“国”、
“京”、“运”分别为 4、3、1,为使“中国”代表的两位数最大，“国”取 4.即“中国”这两个汉字所代表的两位数最
大是84.
B的比重为33.3 +（彳 I 2丿），两式均含
22 333_
所以只需比较 F与ill 「的大小，二1亍〉1000, ，= 147,
可知A的比重较大，即 A是实心球.
5. 【解】
-XJTX13
两个半球合成一个球，体积为」 ，圆柱部分的高为14- 2= 12,4.【解】显然比重较大的一个是实心球 .A的比重为22十 -x^xf 一
所以罐的容积为： E +nX 12x 12=（ 12+ 1 ）X n ~ 13.3333 X 3.1416 ~41.888 （立方米）
6. 【解】本题实际上是求 1到10这些数中，取出2个数（可以重复）相乘，能组成几个个位是 1的数.显然，双数不成
所以只能是1X 1，3 X 7，7X 3和9X 9，共4对.
7. 【解】我们用两条绿线将五边形分成了三个三角形，可以看出，这个五边形的五个角的度数和是 180 X 3= 540度，即
阴影部分面积相当于 1.5个半径为5的圆的面积，所以阴影部分的面积是 n X 52X 1.5 - 3.14 X 25X 1.5 = 111.75 （平方厘 米）.
◎
8. 【解】由图可以看出，塔的上部底面圆的直径与底座的一边等长 .设底座的一边长为 2a,则塔的上部的体积为｝ X n .■/ -
X 27,底座的体积为4：' X 27，所以，塔的上部的体积是底座的体积的 ，答案为B.
9. 【解】题目给出5个数，乘、除之后成 3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数
111111 1 1 1 1 1 1 1 1 1
一X—二一 一乂一 = — 一乂一 =—— 一X-=——-X^ =-
相加应尽量大，［一 「，人 J 「，4 1 ：'ii , ： 〔 「.；二一 I■,
111111111 113 114 115 116
-X-=— -X-"— -X-"— 一* _=一 - 一士 一二一 一一=一
1 一1 , •• 1 二，—二；而「 二 4 Tj 4 , 1 1 ；
其中最小的是：〔 二•，而二 匚」 - 一_,［匚 ■- --,
1丄1 1 1 1
所以2 r :”最大，
即答案为：+、*、一、X。
10. 【解】从图中可以看出，除去最上层 1个球外，第二层（次上层）有（1 + 2 + 3 + 4+
5）= 15个球，以后每层比上一层多
6、7、8、9、10 个球，共 7 层.15 + 6 = 21, 21+ 7 = 28, 28 + 8= 36, 36+ 9= 45, 45+ 10 = 55, 1 + 15+ 21 + 28+ 36 +
45+ 55= 201。
答：共有201个球。
5 9000
11. 【解】由题目可知，后轮与前轮的磨损比为 5000 : 3000 = 5 : 3,所以当车行到3000X [ ■ 1 =[ 时，将前后轮调换，
还可以再行驶同样的行程，两轮同时报废 •即一对轮胎最多可行驶 3000X 一[X 2 = 3750 （千米）。
12. 【解】（略）
第八届华杯赛复赛试题及解答
（一）填空
1 1 2 2 3-X1.9 + 19.5-4- 3.S+4- + 2 — 3 2 . 3 15
—-0.16 75
2. 长方形草地ABCD被分为面积相等的甲、乙、丙和丁四份 （如右图），其中图形甲的长和宽的比是 a : b=2 : I，其中图形乙
的长和宽的比是（）：（）。
C
B
3. 乘火车从甲城到乙城，I998年孺要I9.5小时，1998年火车第一次提速 30%, 1999年第二次提速25%, 2000年第三次
提速20%，经过这三次提速后，从甲城到乙城乘火车只需 （）小时。
4. 埃及著名的胡夫金字为正四棱锥形， 诈方形底座边长为 230.4，塔高I46.7米，假定建筑金字塔所用材料全部是石英石，
每立方米重2700千克那么胡夫金字塔的总重量是 （）千克。
5. 甲、乙两人从 A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是 5千米/时，中间三分一路程的行走速度是 4.5千米/时，最 后三分一的路程的行走速度是 4千米/时；乙前二分之一路程速度是 5千米/时，后二分之一路程的行走速度是 4千米/时。 已知甲比乙早到 30秒，0.5x[l—+4.1
< 20 丿=（）. 1. A地到B地的路程是（）千米。
6. 有很多方法能将2001写成25个自然数（可以相同，也可以不相同）的和，对千每一种分法，这 25个自然数均有相应的
最大公约数，那么这些最大公约数中的最大值是 （）。
（二）解答（要求写出简要过程）
7. 能否找到自然数a和b，使J
8. A，B两邀相距120千米，已知人的步行速度是每小时 5千米，摩托车的行玻速度是每小时 50千米，摩托车后座可带一
人。问：有三人并配备一辆摩托车从 A地到B地最少需要多少小时?（保留一位小徽）
9.6个人围成一圈，每人心里想一个数，并把这个数告诉左、右相邻的两个人。然后每个人把左、右两个相邻人告诉自己 的数的平均数亮出来，如图所示。问：亮出数 11的人原来心中想的数是多少 ？
10.2001个球平均分给若干人，恰好分完。若有一人不参加分球，则每人可以多分 2个，而且球还有剩余；若每人多分 3
个，则球的个数不足。问：原来每人平均分到多少个球？
三、解答。（要求写出答案过程）
11. 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水 4吨以下，每吨1.80元当超过4吨时，超过部每吨 3.00元。某月甲、
乙两户共交水费26.40元，用水量之比为 5 : 3,问：甲、乙两产各应交费多少元 ？
12. 电予跳蚤游戏盘（如下图）ABC AB=8 AC-9, BC=10如果电子跳蚤开始时在
BC地上的「点,- =4。
第一步跳蚤跳到AC边上•：点，且 < .；
第二步跳蚤从厂跳到AB边上〔点，且二一 "1 ;
第三步蚤从 I跳回到BC边上二点，且 工二；
10 9 —X— + 195 9 X — + 4岂+ 2上
芒 32 103
3 10 100 2 20 30 30 3 3 . 30 3 10
62 _ 4 1 -X |1 1 +4 2 50 ' 2严 2 ' 103
1 .解：原式= 25 2 〔20 20； =75 2 20 =3 40 = 16 — 4= 4
答：原式值为4
2.解：因为 BC： EC=2： 1，根据题意：BC( DE+EC =4BC・ EC,所以 DE+EC=4EC DE=3EC 又根据题意：4DE・ EF=4BC・ EC,
2 2
所以 12EC- EF=8EC- EC, EF=3 EC,因此 DE： EF=3EC 3 EC=9： 2.
答: DE： EF=9 : 2
3•解：根据题意，距离一定时，速度和时间成反比例。
100 100 100
19.5 - (1+30%) - (1+25%) - (1+20%)=19.5 X .：llx 1二 X L. = 10(小时)
答：从甲城到乙城乘火车只需 10小时。
