四川省成都七中高二数学上学期入学考试试题

成都七中2013-2014学年高二上学期入学考试

数学试题

一、选择题：(每小题5分，共50分)

1. 在ABC中,下列名式一定成立的是( )

A.a=bsinAcosB B.b=asinAsinB C.c=acosB+bcosA D.b=csinCsinB

2. 在等比数列{an}中,an>0,若a1,a99是方程x2-10x+16=0的两个实数根,则a40a50a60=( )

A.32 B.64 C.256 D.64

3. 不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( )

A.{x|0x<1} B.{x|x<0且x-1} C.{x|-1

4. 若数列{an}满足an+1=1- 1an,且a1=2,则a2013=( )

A.-1 B.- 12 C. 32 D. 12

5. 若一个等差数列{an}的前3项和为34,最后三项和为146,其所有项的和为390,则这个数列有( )

A. 10项 B.12项 C.13项 D.14项

6. 若Sn=1-2+3-4++(-1)n-1n(nN*),则S17+S33+S50等于( )

A.1 B.-1 C.2 D.-2

7. 若过点M(-1,0),且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第四象限内的圆弧有交点,则k的取值范围是( )

A.0

8. 在数列{an}中,an=43-3n,则当Sn取最大值时,n=( )

A.13 B.14 C.15 D.14或15

9. 把直线3x-y+1=0绕点(0,1)旋转30,得到的直线方程为( )

A.x-3y+1=0 B.x-3y+3=0 C. x-3y+1=0或x=0 D. x-3y+3=0或x=0

10. 若点P(a,b)在直线x+y-4=0上运动,则a2+b2的最小值为( )

A.4 B.42 C.8 D.82

二、填空题：(每小题5分，25分)

11. 已知圆x2+y2=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___;

12. 若集合A={(x,y)|x-y+10x+y-40x0y0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)0},M=A∩B,则M的面积为=_____;

13. 已知x>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则(a+b)2cd的最小值等于=______;

14. 设点P为直线x-2y-1=0上的动点,过点P作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,则切线长的最小值是____;

15. 下列结论中正确的有____________.

 在ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B),则ABC的形状是等腰直角三角形;  在ABC中,a=33,b=3, B=30,则C=30 ;

 已知直线L1:2x-y+1=0,L2:3x-y=0,则直线L2关于L1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;

 圆x2+y2+2x+2y-2=0与圆x2+y2-4x-6y+4=0有3条公切线;

 已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,则1m+2n的最小值等于8.

三、解答题：(共75分)

16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,第一种钢板可截得A规格2块,B规格1块,C规格1块,第二种钢板可截得A规格1块,B规格2块,C规格3块,今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使用钢板张数最少?

17. (12分)已知点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P到直线L的距离公式.

18. (12分)已知三角形的三边为a、b、c,设p=12(a+b+c),S为三角形的面积,r为三角形的内切圆半径,证明:

(1) 秦九韶—海伦公式:S=p(p-a)(p-b)(p-c);

(2) 三角形内切圆半径公式:r=p(p-a)(p-b)(p-c)p.

19. (12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,如果a1=300,求an.

20. (13分)已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n2).

(1) 求{an}的通项公式;

(2) 求{an}的前n项和Sn.

21. (14分)已知圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.

(1) 求实数a组成的集合A.

(2) 圆C是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.

(3) 求证:当a1,a2A,且a1a2时,对应的圆C1与圆C2相切.

(4) 求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.

高二上期入学考试题(答案)

一、 选择题：(每小题5分，共50分) 二、填空题：(每小题5分，25分)

11. 已知圆x2+y2=4,直线L:y=x+b,若圆上恰有三个点到直线的距离都等于1,则b=___;

12. 若集合A={(x,y)|³£³³y0x0},B={(x,y)|(y-x)(y+x)0},M=A∩B,则M的面积为=_____;2

13. 已知x>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则cda+b2的最小值等于=______;4

14. 设点P为直线x-2y-1=0上的动点,过点P作圆(x+6)2+(y-4)2=5的切线,则切线长的最小值是____;

15. 下列结论中正确的有____________.③④⑤

二、 ABC中,a,b,cA,B,C的对边,(a2-b2)sin(A+B)=(a2+b2)sin(A-B),则ABC的形状是等腰直角三角形;

三、 ABC中,a=3,b=3, B=30,C=30 ;

四、 已知直线L1:2x-y+1=0,L2:3x-y=0,则直线L2关于L1对称的直线的方程为13x-9y+14=0;

五、 圆x2+y2+2x+2y-2=0与圆x2+y2-4x-6y+4=0有3条公切线;

六、 已知函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图象恒过定点A,直线mx+ny+1=0经过点A,mn>0,则m1+n2的最小值等于8.

三、解答题：(共75分)

16. (12分)要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,第一种钢板可截得A规格2块,B规格1块,C规格1块,第二种钢板可截得A规格1块,B规格2块,C规格3块,今需要A、B、C三种规格的成品分别15,18,27块,应各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C三种规格成品,且使用钢板张数最少?

17. (12分)已知点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0,请写出并证明点P到直线L的距离公式.

18. (理)(12分)已知三角形的三边为a、b、c,设p=21(a+b+c),S为三角形的面积,r为三角形的内切圆半径,证明:

(1) 秦九韶—海伦公式:S=;

(2) 三角形内切圆半径公式:r=pp-c.

(文)(12分)ABC中, A、B、C对边分别是 a、b、c,c=27,C=60,SABC=23,求a+b的值. 211

19. (12分)选菜问题:学校餐厅每天供应500名学生用餐,每星期一有A、B两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选A种菜的,下星期一有20%改选B种菜;而选B种菜的,下星期一会有30%改选A种菜.用an,bn分别表示在第n个星期选A的人数和选B的人数,如果a1=300,求an.

20. (13分)已知数列{an}满足:a1=3,an=2an-1+2n-1(n2). (1) 求证:{2nan-1}是等差数列,并求{an}的通项公式;

(2) 求{an}的前n项和Sn.

(1)an=n2n+1;

(2)Sn=(n-1)2n+1+n+2.

21. (14分)已知圆C的方程是x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0.

(1) 求实数a组成的集合A.

(2) 圆C是否恒过定点?若恒过定点,求出定点坐标;若不恒过定点,请说明理由.

(3) 求证:当a1,a2A,且a1a2时,对应的圆C1与圆C2相切.

(4) 求证:存在直线L,使与圆C中的所有圆都相切.