复习题A
一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =，
k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠．
2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则
k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠．
3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律．
二、选择题:
1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+；
(A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ．
解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ．
(A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反．
2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴；
(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ．
3 、在空间直角坐标系中，方程2
2
21y x z --=所表示的曲面是( B )；
(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2
2
21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面．
4、空间曲线???=-+=5
,
222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )；
(A)72
2
=+y x ； (B)???==+5722z y x ； (C) ???==+0
7
22z y x ；(D)???=-+=0222z y x z
解析 曲线???==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为?
??==+07
22z y x ．
5 、直线
1
1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为
π4； (D) 夹角为π
4
-． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ?=2-1-1=0，
所以，s ⊥n ，直线与平面平行．
三、填空题:
1、若2=
b a ，π()2
=$a,
b ，则=?b a 2 ，=?b a 0 ；
解 =?b a b a sin()$a,b π2=2，=?b a b a cos()$a,b π2
=0．
2、与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为 }2,1,1{6
6
-±
； 解 平面的法向量 n ={1，-1，2}与平面垂直，其单位向量为0
n =411++=6，
所以，与平面垂直的单位向量为}2,1,1{6
6
-±
．
3、过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 057=-+z y ；
解 已知平面平行于x 轴，则平面方程可设为 0=++D Cz By ，将点 (-3，1，-2)
和(3，0，5)代入方程，有{
20,50,B C D C D -+=+= ? 7,51,
5B D C D ?=-???=-?
得 05157=+--D Dz Dy ，
即 057=-+z y ．
4、过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为
z y
x -==2
0； 解 直线与平面垂直，则与平面的法向量 n ={0，2，-1}平行，取直线方向向量s =n ={0，2，-1}，由于直线过原点，所以直线方程为
z y
x -==2
0 ．
5、曲线?
??=+=1,
222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 ???==+.0,1222z y x
解: 投影柱面为 122
2
=+y x ，故 ?
??==+0,
1222z y x 为空间曲线在xOy 平面上的投影
曲线方程．
四、解答题:
1、 已知}1,2,1{-=a ，}2,1,1{=b ，计算(a) b a ?； (b) ()()-?+2a b a b ； (c)
2
b a -；
解: (a) b a ?=2
11121
-k
j i
1,3}5,{--=. (b) {2,4,2}{1,1,2}{1,5,0}2a b -=--=-，1,3}{2,{1,1,2}2,1}{1,-=+-=+b a ， 所以()()-?+2a b a b 7}3,1,2{}0,5,1{=-?-=．
(c) 1}3,{0,{1,1,2}2,1}{1,--=--=-b a ，所以2
b a -10)19(2
=+=．
2、已知向量21P P 的始点为)5,2,2(1-P ，终点为)7,4,1(2-P ，试求：(1)向量21P P 的坐标表示； (2)向量21P P 的模；(3)向量21P P 的方向余弦； (4)与向量21P P 方向一致的单位
向量．
解:
(1)
}2,6,3{}5
7),2(4,21{21-=-----=P P ；
74926)3(222==++-=
；
(3)
2
1P P 在
z y x ,,三个坐标轴上的方向余弦分别为
362cos ,cos ,cos 777
αβγ=-==；
(4)k j i k j i 7
2
76737263)(21++-=++-=
=
P P ο
．
3、设向量{}1,1,1=-a ，{}1,1,1=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量.
解： 令{}11
10,2,21
1
1
=?=-=-i j k
c a b
，01?==??
c c c ，
故与a 、b
都垂直的单位向量为0?±=±??
c .
4、向量d ?
垂直于向量]1,3,2[-=a ?
和]3,2,1[-=b ?
，且与]1,1,2[-=c ?
的数量积为6-，
求向量d ?
解： d ?垂直于a ?与b ?
，故d ?平行于b a ???，存在数λ使
()
b a d ????=λ?-=]1,3,2[λ]3,2,1[-]7,7,7[λλλ--= 因6-=?
c
d ??，故6)7(1)7()1(72-=-?+-?-+?λλλ， 73-=λ]3,3,3[-=∴d ?
.
5、求满足下列条件的平面方程：
(1)过三点)2,1,0(1P ，)1,2,1(2P 和)4,0,3(3P ；(2)过x 轴且与平面025=++z y x 的夹角为
π
3
． 解 (1)解1： 用三点式．所求平面的方程为02
4100
321120
1210
=---------z y x ，即
01345=+--z y x ．
解2：
}1,1,1{-=
}2,1,3{-=，由题设知，所求平面的法向量为
k j i k
j i
n 452
1
311
1
3121--=--=?=P P P P ， 又因为平面过点)2,1,0(1P ，所以所求平面方程为0)2(4)1(5)0(=-----z y x ，即
01345=+--z y x ．
解3： 用下面的方法求出所求平面的法向量},,{C B A =n ，再根据点法式公式写出平面方程也可．
因为3121,P P P P ⊥⊥n n ，所以{
0,320,
A B C A B C +-=-+=解得A C A B 4,5-=-=，于是所求
平面方程为
0)2(4)1(5)0(=-----z A y A x A ，即 01345=+--z y x ．
（2）因所求平面过x 轴，故该平面的法向量},,{C B A =n 垂直于x 轴，n 在x 轴上的投影0=A ，又平面过原点，所以可设它的方程为0=+Cz By ，由题设可知0≠B （因为0=B 时，
所求平面方程为0=Cz 又0≠C ，即0=z ．这样它与已知平面025=++z y x 所夹锐角的余弦为
π1
cos 32=
≠=，所以0≠B ）
，令C B C '=，则有0='+z C y ，由题设得
2222221
2)5(10121503cos ++'++?'+?+?=
π
C C ， 解得3='C 或1
3
C '=-，于是所求平面方程为03=+z y 或03=-z y ．
6、 一平面过直线??
?=+-=++0
4,
05z x z y x 且与平面01284=+--z y x 垂直，求该平面方程；
解法1： 直线???=+-=++0
4,05z x z y x 在平面上，令x =0，得 54-=y ，z =4，则（0，-54
，
4）为平面上的点．
设所求平面的法向量为n =},,{C B A ，相交得到直线的两平面方程的法向量分别为 1n ={1，
5，1}，2n ={1，0，-1}，则直线的方向向量s =1n ?2n =1
01151-k
j i ={-5，2，-5}，由于所
求平面经过直线，故平面的法向量与直线的方向向量垂直，即
?n s ={-5，2，-5}?},,{C B A =C B A 525-+-=0，
因为所求平面与平面01284=+--z y x 垂直，则}8,4,1{},,{--?C B A =C B A 84--=0，解方程组
{
5250,480,
A B C A B C -+=--= ? 2,5,2
A C
B
C =-?
??=-?? 所求平面方程为 0)4()5
4
(25)0(2=-++-
--z C y C x C ，即012254=+-+z y x ． 解法2： 用平面束（略）
7、求既与两平面1:43x z π-=和2:251x y z π--=的交线平行，又过点(3,2,5)-的直线方程.
解法1：{}11,0,4=-n ，{}22,1,5=--n ，{}124,3,1s =?=---n n ，从而根据点向式方程，所求直线方程为
325431x y z +--==---，即325
431
x y z +--==. 解法2：设{},,s m n p =，因为1⊥s n ，所以40m p -=；又2⊥s n ，则250m n p --=，可解4,3m p n p ==，从而0p ≠．根据点向式方程，所求直线方程为
32543x y z p p p +--==，即325431
x y z +--==. 解法3：设平面3π过点(3,2,5)-，且平行于平面1π，则{}311,0,4==-n n 为3π的法向量，从而3π的方程为1(3)0(2)4(5)0x y z ?++?--?-=，即4230x z -+=．同理，过已知点且平行于平面2π的平面4π的方程为25330x y z --+=．故所求直线的方程为
4230
25330
x z x y z -+=??
--+=?．
8、 一直线通过点)1,2,1(A ，且垂直于直线1
1
231:+==-z y x L ，又和直线z y x ==相交，求该直线方程；
解： 设所求直线的方向向量为{,,}m n p =s ，因垂直于L ，所以320m n p ++=；又因为直线过点)1,2,1(A ，则所求直线方程为
p
z n y m x 1
21-=-=-，联立121
,①,②320,③
x y z m n p x y z m n p ---?
==??==?++=?
由①，令
λ=-=-=-p z n y m x 121，则有??
?
??+=+=+=,
1,2,
1p z n y m x λλλ代入方程②有{
12,11,m n m p λλλλ+=++=+ 可得p m =，代入③解得p n 2-=， 因此，所求直线方程为1
1
2211-=--=-z y x ．
9、 指出下列方程表示的图形名称：
(a) 142
22=++z y x ；(b) z y x 22
2
=+；(c) 22y x z +=
；
(d) 02
2
=-y x ；(e) 12
2=-y x ； (f) ?
??=+=22
2z y x z ．
解： (a) 绕y 轴旋转的旋转椭球面．(b) 绕z 轴旋转的旋转抛物面． (c) 绕z 轴旋转的锥面．
(d) 母线平行于z 轴的两垂直平面：y x =，y x -=． (e) 母线平行于z 轴的双曲柱面． (f) 旋转抛物面被平行于XOY 面的平面所截得到的圆，半径为2，圆心在（0，0，2）处．
10、求曲面2
2
z x y =+与2
2
2()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影并作其图形． 解： 将所给曲面方程联立消去z ，就得到两曲面交线C 的投影柱面的方程
122=+y x ，
所以柱面与xOy 平面的交线???==+'01:22z y x C 所围成的区域221+≤x y 即为曲面
22z x y =+与222()z x y =-+所围立体在xOy 平面上的投影(图略)．