直线与方程复习题(含答案)

直线的倾斜角与斜率

题组一 直线的倾斜角

1.已知直线l过点(m,1)，(m＋1，tanα＋1)，则 ( )

A．α一定是直线l的倾斜角

B．α一定不是直线l的倾斜角

C．α不一定是直线l的倾斜角

D．180°－α一定是直线l的倾斜角

解析：设θ为直线l的倾斜角，

则tanθ＝tanα＋1－1m＋1－m＝tanα，

∴α＝kπ＋θ，k∈Z，当k≠0时，θ≠α.

答案：C

2．如图，直线l经过二、三、四象限，l的倾斜角为α，斜率

为k，则 ( )

A．ksinα>0 B．kcosα>0

C．ksinα≤0

D．kcosα≤0

解析：显然k<0，π2

∴cosα<0，∴kcosα>0.

答案：B

题组二 直线的斜率及应用

3.若一个直角三角形的三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1

A．k1k2＝－1 B．k2k3＝－1 C．k1<0 D．k2≥0

解析：结合图形知，k1<0.

答案：C

4．(2008·浙江高考)已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.

解析：∵A、B、C三点共线，

∴kAB＝kBC，即a2＋a2－1＝a3－a23－2，又a>0，∴a＝1＋2.

答案：1＋2

5．已知两点A(－1，－5)，B(3，－2)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是________．

解析：设直线AB的倾斜角为2α，则直线l的倾斜角为α，由于0°≤2α＜180°，∴0° ≤α＜90°，由tan2α＝－2－(－5)3－(－1)＝34，得tanα＝13，即直线l的斜率为13.

答案：13

题组三 两条直线的平行与垂直

6.(2009·陕西八校模拟)已知两条直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则an＝bm是直线l1∥l2的 ( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：∵l1∥l2⇒an－bm＝0，且an－bm＝0⇒/ l1∥l2，故an＝bm是直线l1∥l2的必要不充分条件．

答案：B

7．(2009·福建质检)已知直线a2x＋y＋2＝0与直线bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，则|ab|的最小值为

( )

A．5 B．4 C．2 D．1

解析：由题意知，a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，

∴a2b＝a2＋1，∴ab＝a2＋1a＝a＋1a，

∴|ab|＝|a＋1a|＝|a|＋1|a|≥2.(当且仅当a＝±1时取“＝”)．

答案：C

8．(2010·合肥模拟)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则ab为

( )

A.23 B．－23 C.13 D．－13

解析：曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率为3，

所以ab＝－13.

答案：D

9．(2009·泰兴模拟)设直线l1的方程为x＋2y－2＝0，将直线l1绕原点按逆时针方向旋转90°得到直线l2，则l2的方程是________________．

解析：∵l1⊥l2，k1＝－12，∴k2＝2，

又点(0,1)在直线l1上，故点(－1,0)在直线l2上，

∴直线l2的方程为y＝2(x＋1)，即2x－y＋2＝0.

答案：2x－y＋2＝0

题组四 直线的倾斜角和斜率的综合问题

10.若关于x的方程|x－1|－kx＝0有且只有一个正实数根，则实数k的取值范围是________．

解析：数形结合．在同一坐标系内画出函数y＝kx，y＝|x－1|的图象如图所示，显然k≥1或k＝0时满足题意.

答案：k≥1或k＝0

11．(2009·青岛模拟)已知点A(2,3)，B(－5,2)，若直线l过点P(－1,6)，且与线段AB相交，则该直线倾斜角的取值范围是________．

解析：如图所示，

kPA＝6－3－1－2＝－1，

∴直线PA的倾斜角为3π4，

kPB＝6－2－1－(－5)＝1，

∴直线PB的倾斜角为π4，

从而直线l的倾斜角的范围是[π4，3π4]．

答案：[π4，3π4]

12．已知点M(2,2)，N(5，－2)，点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标．

(1)∠MOP＝∠OPN(O是坐标原点)．

(2)∠MPN是直角．

解：设P(x,0)，

(1)∵∠MOP＝∠OPN，∴OM∥NP.

∴kOM＝kNP. 又kOM＝2－02－0＝1，kNP＝0－(－2)x－5＝2x－5(x≠5)，

∴1＝2x－5，∴x＝7，

即P点坐标为(7,0)．

(2)∵∠MPN＝90°，∴MP⊥NP，

∴kMP·kNP＝－1.

又kMP＝22－x(x≠2)，kNP＝2x－5(x≠5)，

∴22－x×2x－5＝－1，解得x＝1或x＝6，

即P点坐标为(1,0)或(6,0)．

直线方程

题组一 直线方程的求法

1.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 ( )

A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0

C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0

解析：当x＝1时，y＝1，即所求直线过点(1,1)，

在直线x－2y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，则(－1,0)关于直线x＝1对称的点(3,0)在所求直线上，故所求方程为x＋2y－3＝0.

答案：D

2．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是

( )

A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0

C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0

解析：由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，

故直线PB的倾斜角为135°，

又当x＝2时，y＝3，即P(2,3)，

∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.

答案：A

3．(2009·安徽高考)直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是 ( ) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0

解析：由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－32，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.

答案：A

题组二 直线方程中参数的确定

4.已知A(7,1)，B(1,4)，直线y＝12ax与线段AB交于点C，且AC＝2CB，则a等于

( )

A．2 B．1 C.45

D.53

解析：设点C(x，y)，由于AC＝2CB，

所以(x－7，y－1)＝2(1－x,4－y)，

所以有 x－7＝2－2xy－1＝8－2y⇒ x＝3y＝3，

又点C在直线y＝12ax上，所以有3＝32a，a＝2.

答案：A

5．(2009·厦门模拟)若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1＝0与3x－4y＋5＝0之间，则整数b的值为

( )

A．5 B．－5 C．4 D．－4

解析：过点(5，b)且与两直线平行的直线的方程为3x－4y＋4b－15＝0.

由题意知，18<4b－154<54，∴318

又b是整数，∴b＝4.

答案：C

题组三 直线方程的应用

6.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为

( )

A．x＋2y－6＝0 B．2x＋y－6＝0

C．x－2y＋7＝0 D．x－2y－7＝0 解析：设直线的方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，则有1a＋4b＝1，

∴a＋b＝(a＋b)(1a＋4b)＝5＋ba＋4ab≥5＋4＝9，

当且仅当ba＝4ab，即a＝3，b＝6时取“＝”．

∴直线方程为2x＋y－6＝0.

答案：B

7．已知A(3,0)，B(0,4)，动点P(x，y)在线段AB上移动，则xy的最大值等于________．

解析：线段AB的方程为x3＋y4＝1(0≤x≤3)，

∴1＝x3＋y4≥2 xy12，∴xy≤3.

(当且仅当x＝32，y＝2时取“＝”)．

答案：3

8．已知直线l1：x＋3y－5＝0，l2：3kx－y＋1＝0.若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k＝________.

解析：由题意知，l1⊥l2，∴3k－3＝0，k＝1.

答案：1

题组四 直线方程的综合问题

9.(2009·上海春季高考)过点A(4，－1)和双曲线x29－y216＝1右焦点的直线方程为________．

解析：由于a2＝9，b2＝16，∴c2＝25，故右焦点为(5,0)．

所求直线方程为y－1＝x－54－5，即x－y－5＝0.

答案：x－y－5＝0

10．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0，则1m＋2n的最小值为________．

解析：由题意知，点A(－2，－1)．

∴2m＋n＝1，∴1m＋2n＝(1m＋2n)(2m＋n)＝4＋nm＋4mn≥4＋4＝8(当且仅当m＝14，n＝12时取“＝”)．

答案：8

11．过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．