角平分线和线段的垂直平分线
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一、知识点讲解：
1. 定理1：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
定理2：在一个角的内部，到这个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
2.角平分线另一种定义：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3.在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。
4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理。其中一个叫另一个的逆定理，虽然一个命题都有逆命题，但一个定理并不都有逆定理。
5.定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
6.线段的垂直平分线另一种定义：线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
二、例题精讲
例1.已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：AD⊥EF。
分析：欲证AD⊥EF，就要证∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°。所以要考虑证ΔAEO≌ΔAFO。由题中条件可知ΔAEO，ΔAFO已有一边（公共边）一角对应相等，只要证出AE=AF问题就解决了，所以需先证明ΔAED≌ΔAFD。
证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC（已知）
∴ DE=DF（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）
在RtΔAED和RtΔAFD中
∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL), ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等) 在ΔAEO和ΔAFO中
∴ΔAEO≌ΔAFO, ∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等)
∴∠AOE=∠EOF=90°， ∴AD⊥EF（垂直定义）。
例2.写出下列定理的逆命题，并判断真假。
(1)同位角相等，两直线平行。
(2)如果x=3，那么x2=9.
(3)如果ΔABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，ΔABC的三个外角中只有两个钝角。
(4)如果ΔABC≌ΔA'B'C'，那么BC=B'C', AC=A'C', ∠ABC=∠A'B'C'。
解：(1)的逆命题是：两直线平行，同位角相等，真命题。
(2)的逆命题是：x2=9, 则x=3。它是一个假命题。
∵(-3)2=9, ∴x=3或x=-3.
(3)的逆命题是：如果ΔABC的每个内角取一个对应外角时，若三个外角中只有两个钝角，那么ΔABC是直角三角形。
它是一个假命题，因为ΔABC还可能是钝角三角形。
(4)的逆命题：如果在ΔABC和ΔA'B'C'中，BC=B'C'，AC=A'C'，∠ABC=∠A'B'C'，那么ΔABC≌ΔA'B'C'。
这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。
例3.已知：如图，M，N分别在∠AOB的两边上，求作一点P，使点P到M，N两点的距离相等，且到∠AOB两边的距离相等。
作法：1、连结MN，作线段MN的垂直平分线CD。
2、作∠AOB的平分线OE，交CD于P，点P即为所求。
例4.在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC，∠B的平分线交AC于D。 求证：BC=AC+AD
分析：如图：BD为∠ABC的平分线，DA⊥AB，利用角平分线的性质，可以转化AD，方法是作DE垂直BC于E，则有AD=DE，容易得到DE=CE，AB=BE。
证明：过D作DE垂直BC于E，
∵BD为∠ABC的平分线，∠A=90°
∴AD=DE （角平分线的性质）
在RtΔABD和RtΔEBD中，
∴RtΔABD≌RtΔEBD（HL）
∴AB=EB
∵ΔABC为等腰直角三角形（已知），∴∠C=45°
DE垂直BC于E，∴∠DEC=90°，∴∠C=∠EDC=45°，∴DE=EC（等腰三角形的性质）
∴BC=BE+CE=AB+DE=AC+AD
说明：这种方法是利用角平分线的性质作DE⊥BC，实际上是在长的线段BC上，作出了BE=AB=AC，所以只要再证明AD=EC就可以证明结论。相应的，还可以将线段AB补长，方法如下。
方法二：如图，延长BA到M，使得AM=AD，连接DM。
证明提示：只要证明三角形BDM和三角形BDC全等即可。
（容易证明∠M=∠C=45°）
例5.已知：如图，∠1=∠2，BC=BD。求证：AC=AD。
分析：注意利用图形的对称性，连结CD，只须证明直线AB是线段CD的垂直平分线。
证明：连结CD交AB于点E，
∵ BC=BD，∠1=∠2， ∴ BE是等腰ΔCBD顶角平分线（三角形角平分线定义）
∴ BE垂直平分CD（等腰三角形顶角平分线平分且垂直底边）
∴ 直线AE是线段CD的垂直平分线，又∵点A在直线AE上，
∴ AC=AD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点距离相等。）
说明：还可以证明ΔCBA和ΔDBA全等。
小结：主要内容是角平分线的性质定理和它的逆定理以及线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。能够利用它们证明两个角相等或两条线段相等；对于原命题和逆命题的关系，要能说出题设和结论都比较简单的命题的逆命题。
同步练习：
一、写出下列命题的逆命题，并判断真假。
（1）对顶角相等；
（2）两直线平行，同位角相等。
（3）如果a=-b, 那么|a|=|b|。
（4）若a·b=0,则a=0.
二、填空题：
在等腰ΔABC中，AB=AC，∠BAC=120°。AB的垂直平分线交BC于D，且DC=6厘米，则∠DAC=______, BC=______, 点D到AB的距离是______，点D到AC的距离为______。
三、已知如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，∠CAD∶∠DAB=1∶2，求∠B的度数。
四、如图所示，已知，三角形ABC中，AB>AC,P在ΔABC的角平分线AD上。求证：AB-AC>BP-PC.
五、如图：BF⊥AC，CE⊥AB，CE、BF交于D，且 BD=CD。求证：D在∠BAC的平分线上。
六、如图，在RtΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E。求证：ΔDBE的周长等于AB。
七、在ΔABC中，已知AB的垂直平分线交AC于E，ΔABC和ΔBEC的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长。
答案：
一、1. 若两个角相等，则这两个角是对顶角，假命题。
2．同位角相等，两直线平行，真命题。
3．如果|a|=|b|，那么a=-b，假命题。
4．若a=0, 则ab=0真命题。
二、90°, 9cm, 1.5cm, 3cm
三、∠B=36°
四、提示：在AB上取AE=AC，在ΔBEP中，BP-PE 五、提示：证RtΔBDE≌RtΔCDF，得DE=DF。 六、提示：DE=CD可证ΔACD≌ΔAED， ∴ AC=AE， ΔDBE的周长=DE+EB+BD=CD+BD+EB=BC+BE=AC+BE=AE+EB=AB。 七、提示：如图，连接BE，BE=AE，AD=BD， ∴ 三角形BEC的周长等于BE+CE+BC=AE+EC+BC=AC+BC，AB=24-14=10（cm）
