安徽省六安市第一中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)
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借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 1 - 六安一中2017-2018学年高一年级第一学期期末考试
数学试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
【答案】A
【解析】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.
故选A.
2. 空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】点，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
3. 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的俯视图可能为（ ）
【答案】D
【解析】由几何体的三视图可知，三棱锥的顶点在底面的射影在底面棱上，可知几何体如图：
侧视图为：D. 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 2 - 故选：D.
4. 下列四个命题:①三点确定一个平面;②一条直线和一个点确定一个平面;③若四点不共面,则每三点一定不共线;④三条平行直线确定三个平面.其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】A
【解析】对于①，三个不共线的点可以确定一个平面，所以①不正确；
对于②，一条直线和直线外一点可以确定一个平面，所以②不正确；
对于③，若三点共线了，四点一定共面，所以③正确；
对于④，当三条平行线共面时，只能确定一个平面，所以④不正确.
故选A.
5. 已知圆,圆,则两圆的位置关系为( )
A. 相离 B. 相外切 C. 相交 D. 相内切
【答案】A
【解析】圆,即，圆心为(0,3)，半径为1，
圆,即，圆心为(4,0)，半径为3.
.
所以两圆相离，
故选A.
6. 设入射光线沿直线y=2x+1射向直线,则被反射后,反射光线所在的直线方程是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由可得反射点A(−1,−1),在入射光线y=2x+1上任取一点B(0,1)，
则点B(0,1)关于y=x的对称点C(1,0)在反射光线所在的直线上。
根据点A(−1,−1)和点C(1,0)的坐标，利用两点式求得反射光线所在的直线方程是
，化简可得x−2y−1=0.
故选：D. 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 3 - 7. 直三棱柱中,若,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. 0 B. C. D.
【答案】A
【解析】
连接，在正方形中，，
又直三棱柱中，，即，所以面.
所以，所以面，面，所以，
即异面直线与所成角为90°，所以余弦值为0.
故选A.
8. 已知是两相异平面,是两相异直线,则下列错误的是( )
A. 若,则 B. 若,,则
C. 若,,则 D. 若,,,则
【答案】B
【解析】对于A，由面面垂直的判定定理可知，经过面的垂线，所以成立；
对于B，若,,不一定与平行，不正确；
对于C，若,, 则正确；
对于D，若,,,则正确. 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 4 - 故选B.
9. 若是圆上动点,则点到直线距离的最大值( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】圆的圆心为(0,3)，半径为1.
是圆上动点,则点到直线距离的最大值为圆心到直线的距离加上半径即可.
又直线恒过定点，所以.
所以点到直线距离的最大值为4+1=5.
故选C.
10. 已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积可能等于( )
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
如果主视图是从垂直于正方体的面看过去，则其面积为1； 如果斜对着正方体的某表面看，其面积就变大，最大时，（是正对着正方体某竖着的棱看），面积为以上表面的对角线为长，以棱长为宽的长方形，其面积为，可得主视图面积最小是1，最大是，
故选C.
点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 5 - 长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
11. 直线与圆相交于两点,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆，即.
直线与圆相交于两点,若,
设圆心到直线距离.
则，解得.
即，解得
故选C.
点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：
（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；
（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；
（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．
12. 已知点的坐标分别为,直线相交于点,且直线的斜率与直线的斜率的差是1,则点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，直线的斜率为，直线的斜率为.有 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 6 - 直线的斜率与直线的斜率的差是1,所以.
通分得：，整理得：.
故选B.
点睛：求轨迹方程的常用方法：
（1）直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0．
（2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．
（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程．
（4）代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知圆,圆,则两圆公切线的方程为__________．
【答案】
【解析】圆，圆心为(0,0)，半径为1；
圆，圆心为(4,0)，半径为5.
圆心距为4=5-1，故两圆内切.
切点为(-1,0)，圆心连线为x轴，所以两圆公切线的方程为，即.
故答案为：.
14. 已知点为圆上的动点,则的最小值为__________．
【答案】-4
【解析】点为圆上的动点，
所以.
由，所以当时有最小值-4.
故答案为：-4.
15. 如图,二面角的大小是30°,线段，与所成的角为45°,则与平面借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 7 - 所成角的正弦值是__________．
【答案】
【解析】
过点A作平面β的垂线,垂足为C,在β内过C作l的垂线,垂足为D.
连结AD，由CD⊥l, AC⊥l得， l⊥面ACD，可得AD⊥l，
因此,∠ADC为二面角α−l−β的平面角,∠ADC=30°
又∵AB与l所成角为45°,∴∠ABD=45°
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角。
设AD=2x,则Rt△ACD中,AC=ADsin30°=x，
Rt△ABD中,
∴Rt△ABC中,
故答案为：.
16. 如图,在平面直角坐标系中,圆,点,点是圆上的动点,线段的垂直平分线交线段于点,设分别为点的横坐标,定义函数,给出下列结论:
①;②是偶函数;③在定义域上是增函数; 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 8 - ④图象的两个端点关于圆心对称;
⑤动点到两定点的距离和是定值.
其中正确的是__________．
【答案】③④⑤
【解析】对于①，当即轴，线段的垂直平分线交线段于点，显然不在BD上，所以所以①不对；
对于②，由于，不关于原点对称，所以不可能是偶函数，所以①不对；
对于③，由图形知,点D向右移动,点F也向右移动,在定义域上是增函数，正确；
对于④，由图形知,当D移动到圆A与x轴的左右交点时,分别得到函数图象的左端点(−7,−3),右端点(5,3),故f(n)图象的两个端点关于圆心A(-1,0)对称，正确;
对于⑤，由垂直平分线性质可知，所以，正确.
故答案为：③④⑤.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知两条直线,.
(1)若,求实数的值；
(2)若,求实数的值.
【答案】(1)a=2或;a=-1;(2).
【解析】试题分析：（1）本小题考查两直线平行的性质，当两直线的斜率存在且两直线平行时，他们的斜率相等，注意截距不相等；由，得或-1，经检验，均满足；（2）本小题考查两直线垂直的性质，当两直线斜率存在时，两直线的斜率之积为，注意斜率不存在的情况；由于直线的斜率存在，所以，由此即可求出结果.
试题解析：
(1) 因为直线 的斜率存在， 借鉴借鉴家酷酷酷卡 - 9 - 又∵，
∴，∴ 或，两条直线在 轴是的截距不相等，
所以 或 满足两条直线平行；
(2)因为两条直线互相垂直，且直线的斜率存在，所以，即，解得.
点睛：设平面上两条直线的方程分别为；
1．比值法：
和相交； 和垂直 ； 和平行； 和重合
2．斜率法：
（条件：两直线斜率都存在，则可化成点斜式） 与相交
； 与平行； 与重合； 与垂直 ;
18. 如图所示,是圆柱的母线,是圆柱底面圆的直径,是底面圆周上异于的任意一点,.
(1)求证:；
(2)求三棱锥体积的最大值,并写出此时三棱锥外接球的表面积.
【答案】(1)见解析；(2) .
【解析】试题分析：（1）由圆柱易知平面，所以，由圆的性质易得，进而可证平面；
