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第八章 解析几何综述

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第八章 解析几何综述

第一节 基本问题

解析几何的基本问题是什么？解析几何就是用代数的方法来研究几何图形的性质。所以，解析几何所要研究的基本问题是给定曲线，通过坐标系建立他的方程，然后通过对方程的讨论，研究曲线的性质。

建立曲线的方程，这只是问题的一方面。另一方面是在给定的坐标系下，适合所给方程0,xyF的一对数y,x就确定平面内的一点，而它们的全体一般就构成了平面内的一条曲线；即所谓的方程0,xyF的曲线，给定方程0,xyF ，描绘它的曲线，是解析几何的另一个基本问题。

第二节 曲线与方程

我们利用平面直角坐标系，建立了平面上的点与有序数对y,x的“1―1”，一条曲线可以看着是具有某种性质的点的轨迹。例如圆是与一定点距离等远的轨迹等等。把一条曲线放置在坐标系内来考察，由于曲线上的点完全被它的坐标所决定，因而曲线上所有的点的共性可用某一个二元方程0,xyF来表示。

一般的，曲线方程的确切定义：

在给定的坐标系下，若⑴曲线C上所有点的坐标都适合某一个二元方程0,xyF；

⑵坐标适合方程0,xyF的点都在曲线C上。

则称 方程0,xyF 为曲线C的方程；曲线C为方程0,xyF的曲线。

实际上条件⑴⑵及时平面几何中所讲的轨迹的完备性和纯粹性。条件⑴表明0,xyF包含曲线c上所有的点，没有遗漏（完备性）；条件⑵表明方程0,xyF不包含曲线c以外的点，没有渗杂（纯粹性）；只有具备了这两个条件的方程0,xyF才称为曲线C的方程；曲线C为方程0,xyF的曲线。如：圆心在原点，半径为1的圆上所有点的坐标都适合方程12431x22yxy=0，但是坐标都适合方程的点，并不都在圆上，所有方程不是所给圆的方程。

例题1：始于原点且与x轴正半轴夹角为锐角的射线上有一动点P（在第一像限），在x

轴正半轴上有一点Q，且POQ的面积为定值4，求线段PQ中点M的轨迹方程。

分析与解：设yxMxQxP,,0,,tan,x211； 由已知 tan8,4tanx211221xxx则，

那么 tan28tan2x12121xxxx，

2tan2121xyyy，消去1x可以得：

0tan2tan2xxyy，即为M的轨迹方程。

指出：很多同学会忘记在方程后面加上x>0这个条件，那么所求方程就不是我们需要的了。

另外如果将题设改变：M为线段PQ上的点，且PM∶MQ=a，你还能不能求出点

M的轨迹方程？

例题2：已知ABC的三边BC、CA、AB成等差数列且C（-1，0），A（1，0），求顶点B

的轨迹方程。

分析与解：由题意知CA=2，则BC+AB=4，

则由椭要定义知：c=1,a=23b2,

故所求方程为：13422yx （不包括（-2，0）（2,0）两点）。

例题3：点P到定点（1,0）和定直线x=3的距离和等于4，求P点 的轨迹方程。

分析与解：设P（x,y）则由题意有：341x22xy，

化简得 314349122xxxxy。

第三节 基本公式

一、有向线段数量运算公式

例题1：设A、B、C、D是同一直线上的四点，求证无论它们的位置关系如何，总有以下关

系AB+BC+CD+DA=0.

分析与证明：设四点的坐标分别为Ax，Bx，Cx和Dx；则

AB+BC+CD+DA=（Bx-Ax）+（Cx-Bx）+（Dx-Cx）+（Ax-Dx）=0.

例题2：设A、B、C、D是同一直线上的四点，求证：DA·BC+DB·CA+DC·AB=0.

分析与证明：设四点的坐标分别为Ax，Bx，Cx和Dx；则

DA·BC+DB·CA+DC·AB

=（Ax-Dx）（Cx-Bx）+（Bx-Dx）（Cx-Ax）+（Cx-Dx）（Bx-Ax）=0. 二、定比分点公式

例题1：已知同在一条直线上的三点A（-3,3）B（3,1）和C（6,0）求点D（x,y）使

BCABDCAD.

分析与解：设BCAB,则由公式有21663；于是2DCAD,

D点的坐标 21623x=15，21023y=-3；

故所求 D点的坐标为 D（15，-3）.

例题2：设M为圆12322yx上任意一点，连接MO并延长到P，使MO·OP=b，

求P点的轨迹方程。

分析与解：我们把原点看成分点，利用相关点法就可以解决问题。

设yxPyxM,,,11，则222byxOPOPMOOPMO，

于是01,012222122221yxbyxbyyyxbyxbxx1x=-22yxbx,1y=-22yxby；

带入圆方程得P点的轨迹方程.0461212222bbybxyx

例题3：如图，由抛物线22xy上任意点A向直线xy2作垂线，垂足为B，延长AB

到P,使点B分AP出4∶1，当A在抛物线上运动时，求点P的轨迹方程。

分析与解：

设A（11,xy）B（a,b）P（x,y）且由AB∶BP=4∶1知

54,5411yybxxa；

因为B在xy2上，所以2545411yyxx1184xxyy ⑴

又11112221kxxyyxxyyAP ⑵

由⑴ ⑵可得 xyxyx2,3211； 带入抛物线方程得P的轨迹方程为13222xxy。

三、两点间距离公式

例题1：求证：对任意实数2121,,,yyxx都有：

22222121221221yxyxyyxx。

分析与解：如果看成代数式则比较复杂，但是联想得距离公式和三角形三边则简单。

指出：当将2121,,,yyxx换成a、b、c、d后，即222222dbcadcba，

则容易发生导向错误。

例题2：A（-3，3），B（5,1）在x轴上求1p使11PBPA最小，BPPAP222使最大。

分析与解：

⑴设A点关于x轴的对称点为/A,连接BA/交x轴于1p，则1p为所求。

事实上：对x轴上任意一点Q不与1p重合，

有BPAPBPAPBAQBQAQBQA111/1//;

又/A（-3，-3）则/AB的直线方程为3213xy，

求得与x轴交点为1p（3,0）.

⑵设AB交x轴于2P，则2P为所求。

事实上：BPAPABQBAQ22;

仿⑴有2P（9,0）.

说明：数形结合有助于解题能力的提高，因此我们要特别注意理解每一个代数式所包含的几 何意义。

四、斜率公式

例题1：过抛物线xy202内部一点p（2,5）作弦AB，使得、P为AB中点，求直线AB

的方程。

分析与解：设A（1x ,1y）,B（2x, 2y）带入xy202两式相减有：

（1y+2y）（1y-2y）=20（1x-2x） 即10（1y-2y）=20（1x-2x），

所以有K=2，则直线方程为y-5=2（x-2）,

故所求直线方程为 2x-y+1=0.

五、两条直线的夹角公式

例题1：设直线2x-y-4=0绕它与x轴的交点逆时针旋转4，求所得直线的方程。

分析与解：我们知道已知直线的斜率为2，与x轴的交点为（2,0），

设所求直线的斜率为K,则有：31212KKK,

那么所求直线的为y=-3（x-2） 即3x+y-6=0.

例题2：已知点A（0,4）B（4,0）C（6,0）以及过点C的直线L，光线从A点出发射向B

点，经过x轴反射射向直线L，又经过L反射后回到A点，求直线L的方程。

分析与解： 设所求直线的斜率为K,D（0x，0y），

则L：y=Kx-6K 那么有0y=K0x-6K ⑴

又YADOAB 知ADK=1=440000xyxy ⑵

由⑴ ⑵12,14600KKyKKx;

又知ADCBDCxKBD且004y, 所以114140000KKKxyKxy,将00,yx带入5K，

故所求直线L的方程为y=-5x+30.

六、平行、垂直的充要条件

例题1：设A（4,1）关于直线L 3x-y-1=0的对称点为/A，求/A的坐标。

分析与解：设/A00,yx则/AAL，那么314100xy，⑴

且/AA中点为21,2400yx在直线L上，即有012124300yx⑵

由⑴ ⑵.3,200yx

指出：若将点A换成有心曲线，能否顺利完成，回答是肯定的。

例题2：求经过1L：2x+3y-5=0与2L：7x+15y+1=0的交点且与3L：12x-5y-1=0垂直的直线

方程。

分析与解：我们采用直线系方程更简单。

设过交点的直线系方程为 2x+3y-5+（7x+15y+1）=0，

其斜率为31527，又直线3L的斜率是512，

所以31527=1251，

故所求直线方程为 2x+3y-5-（7x+15y+1）=0，即5x+12y+6=0.

七、点到直线的距离公式

例题1：当m为何值时，平面上三点A（1，2）、B（3，1）、C（2，3）到直线y=mx距离

的平方和为最小？

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高数第八章空间解析几何 习题

高数第八章空间解析几何 习题

1

第八章习题课

一、判断题（每题3分）

2、设32,2aijkbijk,则ab（ ）.

（A）2 （B）3 （C） 4 （D）5

2.设向量(1,1,0),(1,0,1)ab，则a与b的夹角是

( ).

（A)6 （B)3 （C)4 （D)2

1.若向量(1,0,0)a，(0,1,2)b，则ab .

（ ）

2. 向量1,0,1a与向量0,1,0b垂直. （ ）

3.设向量c是向量a和b的向量积，则0ca且0cb .

( )

4.设123,,为三个不等常数，使1230,abc则,,abc三个向量是共面的. （ ）

5.若cos,cos,cos是某一向量的三个方向余弦，则有222coscoscos1成立. （ ）

6．二次方程22240xyxy在空间中表示球面． （ ） 2

7．二次方程224xy在空间坐标系中表示一个圆周．

（ ）

8．二次方程2240xyz在空间中表示圆锥面． （ ）

9．二次方程2220xyz在空间中表示圆锥面． （ ）

10.平面260xyz与平面250xyz平行.

（ ）

11.平面260xyz与平面250xyz垂直. （ ）

12.平面260xyz与平面250xyz的夹角为3. （ ）

第八章空间解析几何与向量代数(整理解答)

第八章空间解析几何与向量代数(整理解答)

第八章 空间解析几何与向量代数

一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标

8.3 点)2,4,1(P在yoz面上的投影点为( )；

A. )2,4,1(Q B. )2,0,1(Q C. )0,4,1(Q D. )2,4,0(Q

解：在yoz面上，坐标x分量必为零，所以选D.

二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积

8.5设向量a与三个坐标面zoxyozxoy,,的夹角分别为321,,（2,,0321），则322212coscoscos（ ）

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3

解：由作图计算可知，222123coscoscos2，所以选C。

8.8 向量)3,1,1(a，)2,1,3(b，则ba( )；

A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11,5(

解：311(1)232ab，所以选C。

8.12 向量}3,0,1{a，}2,1,1{b，则ba( )；

A. 6 B. 6 C. }1,1,3{ D. }1,1,3{

解：1033112ijkabijk，所以选C。

8.16 a与b为两个向量，为二者的夹角，则ab( ).

(A) sinab (B) sinab (C) cosab

(D) cosab

解：由定义，选D。

8.21 已知1,2ab，且a与b的夹角为4，则ab( ).

(A) 5 (B) 1

答案 高数下册第八章-解析几何复习题

答案 高数下册第八章-解析几何复习题

高数下册第八章-解析几何复习题

（第一次作业） 一、向量的线性运算，数量积，向量积。

★1.设向量0,0󰁇󰁇󰁇

󰁇

≠≠ba

, 则以下结论中正确的是（ C ）.

A．baba󰁇󰁇

󰁇󰁇

//0⇔=⋅

； B．baba󰁇󰁇󰁇

󰁇󰁇

⊥⇔=×0

；

C． baab󰁇

󰁇󰁇󰁇

//⇔=λ

； D．θθ(sin||||baba󰁇

󰁇󰁇

󰁇

=⋅

是ba󰁇

󰁇

,

的夹角 ).

★2. 设a

，b

为任意非零向量，下列结论中正确的是（ D ）．

A．||||baba⋅=⋅

；

B．2

||||aaa=⋅

；

C．abba×=×

；

D．).(||同方向的单位向量是与aaaaa󰁇

󰁄󰁄

=

★3.设3||,2||==ba󰁇

󰁇

，且ba󰁇

󰁇

⊥

，则=−⋅+)2()3(baba󰁇

󰁇󰁇

󰁇

19−

．

★4.已知}1,6,3{=a，

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=kb,

34

,2

，若ba⊥

，则=k14−

.

★5.设{}

2,1,3−=a󰁋

， ，则{}

1,2,1−=b󰁋

(2)(2)abab+−=󰁋󰁋

󰁋󰁋

i -10 ．

★6.设{}

1,3,2−=a󰁋

，，则{}

3,1,1−=b󰁋

×−)(ab󰁋󰁋

=a󰁋

（ B ）.

A . {

; B . }

1,5,8−−{}

1,5,8−

;

C. {

; D. }

1,5,8−{}

1,5,8−−

.

★7.设{}

1,0,2−=a󰁋

，，则与向量{

1,1,0=b󰁋

}

a󰁋

，b󰁋

同时垂直的单位向量为（ C ）.

A . ; B . {

2,2,1−±}{}

2,2,1

31

±

;

C. {

2,2,1

31

−±}

; D. {}

2,2,1

31

−±.

★8.设，，且{1,3,2}a=󰁇

{2,,4}byλ=󰁇

0λ≠

，若a󰁇

平行于b󰁇

，b󰁇

=28，求向量b

。 󰁇

- 1 - 解：14

//

232y

ab⇒==󰁇

󰁇

，得 6y=

222

b284361628λλλ=⇒++=󰁇

，得14λ=±

★9.设kjia󰁇󰁇󰁇

同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何

1 第五篇 向量代数与空间解析几何

第八章 向量代数与空间解析几何

解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.

本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.

第1节 空间直角坐标系

1.1 空间直角坐标系

用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.

1.1.1 空间直角坐标系

过定点O，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x轴(横轴）、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，它们都以O为原点且具有相同的长度单位. 通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z轴，当右手的四指从x轴的正向转过2角度指向y轴正向时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz直角坐标系，点O叫做坐标原点.

图8-1

在Oxyz直角坐标系下，数轴Ox,Oy,Oz统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy，yOz，zOx，三个坐标平面将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.

y

x z

O 2

图8-2

1.1.2 空间点的直角坐标

设M为空间中的任一点，过点M分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x轴、y轴和z轴依次交于A、B、C三点，若这三点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，于是点M就唯一确定了一个有序数组(, , )xyz，则称该数组(, , )xyz为点M在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，如图8-3．x，y，z分别称为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．