数列试卷(附答案)

数列测试卷（B卷）

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列3,3,15,„,)12(3n, „，那么这个数列的第14项是（ ）

A.7 B.8 C.9 D.10

2．将棱长相等的正方体按右图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3 层，„，则第6层正方体的个数是（ ）

A．28 B．21

C．15 D．11

3．若a,b,c成等比数列，则函数cbxaxxf2)(的图象与x轴的交点的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．与cba,,的值有关

４．一个等差数列共10项,偶数项的和为15,则此数列的第6项为( )

Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６

５．如果等比数列}{na的首项是正数，公比大于1，那么数列}{log31na是（ ）

A．递增的等比数列 B．递减的等比数列

C．递增的等差数列 D．递减的等差数列

６．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程度设计师让机器狗先前进3步，然后再后退2步的规律移动. 如果将此机器狗放在数轴的原点，面向数轴的正方向，每步的距离为1单位长，令)(nP表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，那么下列结论中不正确的是（ ）

A．P（3）=3 B．P（5）=1

C．P（10）=3 D．P（103）=23

7．设数列{}na的通项公式为2nanpn，若数列{}na为单调递增数列，则实数p的取值范围为（ ）

Ａ．(,2) Ｂ．(,3) Ｃ．(,2 Ｄ．(,3 ８．设数列}{na的前n项和为nS，令nSSSTnn21，称nT为数列naaa,,,21的“理想数”，若数列200621,,,aaa的“理想数”为

2007，那么数列200621,,,,1aaa的“理想数”为（ ）

A．2006 B．2007 C．2008 D．2009

９．在等差数列||,0,0}{10111110aaaaan且中，则使0nS成立的n的最大值为（ ）

A．17 B．18 C．19 D．20

10．数列}{na中，已知11S，22S ，且)(,023*11NnSSSnnn，则此数列为（ ）

A．等差数列 B．等比数列

C．从第二项起为等差数列 D．从第二项起为等比数列

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．数列}{na是公差不为零的等差数列，若521,,aaa是等比数列}{nb的连续三项，则等比数列}{nb的公比为 ．

12．从盛满a升酒精的容器里倒出b升，然后再用水加满，再倒出b升，再用水加满；这样倒了n次，则容器中有纯酒精_________升.

13．等差数列的前n项，前n2项，前n3项的和分别为CBA,,（*Nn），则CBA,,满足的关系是 ．

14．若nnnSnS则),12()1(7531的值为 ．

15．已知数列}{na的通项公式为nan，)(*Nn，把数列}{na的各项排成三角形状：

987654321aaaaaaaaa

记),(nmf为第m行第n列的项，则)8,10(f ．

16．函数)(xf由下表确定：

x 1 2 3 4

)(xf 3 4 2

1

若40a，)(1nnafa，,2,1,0n，则2007a ．

17．设数列na的前n项和为nS（*Nn）. 关于数列na有下列三个命题：

（1）若nS为非零常数列，则}{na是等差数列；

（2）若R,2banbnaSn，则na是等差数列；

（3）若nnS11，则na是等比数列.

这些命题中，真命题的序号是

.

三、解答题：本大题5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18．（本题14分）在等比数列na的前n项和中，1a最小，且661naa，12812naa，前n项和126nS，求n和公比q

19．（本题14分）在等差数列}{na中，601a，1217a．

（1）求通项na；

（2）求此数列|}{|na的前n项的和nT。

20．（本题14分）正数数列}{na的前n项和为nS，且12nnaS

（1）试求数列}{na的通项公式；

（2）设nnnab2，求}{nb的前n项和为nT的值.

21．（本题15分）某人向银行贷款20万用于购房,商定年利率为8%,按复利计算(即上一年的利息计入次年的本金生息),若从借后满一年开始,每年还3万元,试问十年时间能否还清贷款?

22．（本题15分）平面内有n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆都不交于一点，试证明这样的n个圆把平面分成22nn块区域)(*Nn．

参考答案

一、1-5 CBAAD 6-10 CBBCD

二、11．3 12．naba)1( 13．CAB33 14．nn)1( 15．89

16．2 17．（2）（3）

三、18．因为na为等比数列，所以

64,2,,12866 1111121nnnnnnaaaaaaaaaaaa解得且„ 6分

依题意知1q21261,1261qqqaaSnn „„„„„10分

6,6421nqn „„„„„„„„„„„„„„„„14分

19．解：（1）}{na的公差316117aad

故 3)1(60)1(1ndnaan

即633nan（*Nn） „„„„„„„„„ 7分

（2）由0633nan得21n，

故当21n时

)(||||||2121nnnaaaaaaT

nnnn23232)3123(2

当21n时

nnnaaaaaaaaT22212121)(||||||

12602323)(2)(22121222121nnaaaaaaaan 综上所述211260232321232322nnnnnnTn „„„„„„„„14分

20．（１）由2)1(4nnaS ①

知2n时211)1(4nnaS ②

① - ②得 1212224nnnnnaaaaa

即0221212nnnnaaaa

也即0)2)((11nnnnaaaa „„„„„„„„„„„„4分

由0na，)(*Nn知01nnaa

故021nnaa即21nnaa，（*,2Nnn）„„„„„６分

又1211aS可知11a，故}{na是以1为首项，2为公差的等差数列，即12nan，*Nn „„„„„„„„„„„„„„„７分

（２）nnnab2，则

nnnnbbbT2)12(2321221

故该式乘以2得11322)12(2)32(2)52(23212nnnnnnnTnnnnnT2)12(2)32(252321132

两式相减得 6)32(22)12()2222(22111132nnTnnnnn

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„１４分

21．n年后欠款记作na,则6.183%)81(201a

3%)81(1nnaa„„„„„„„„„4分

记)(08.11tatann,可得5.37t,)5.37(08.15.371nnaa

„„„„„„„„„8分

则}5.37{na是以9.185.371a为首项,08.1q为公比的等比数列

108.19.185.37nna „„„„„„„„„10分

令10n可知028.008.19.185.37910a „„„„13分

这说明十年时间能还清贷款. „„„„„„„„„15分

22．记这样的n个圆把平面分成)(nf块区域，由于第1n个圆与前n个圆共有n2个交点，这n2个交点把第1n个圆分成n2段圆弧，每一段圆弧把它所在的区域一分为二，此时平面区域数增加了n2块，故

nnfnf2)()1( „„„„„„„„„„„„„６分

)3(2)3()2()2(2)2()1()1(2)1()(nnfnfnnfnfnnfnf

„„

12)1()2(22)2()3(ffff

以上各式相加得`)]1(321[2)1()(nfnf„„„„12分

由2)1(f得2)(2nnnf，即这样的n个圆把平面分成22nn块区域． „„„„„„„„„„„„15分