2牛顿运动定律

1 第二章 牛顿运动定律

（Newton’s Laws of Motion）

§1 牛顿运动定律

▲第一定律(惯性定律)(First law，Inertia law):

任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态。

概念定性给出了力与惯性的定义了“惯性系”

惯性系（inertial frame）：牛顿第一定律成立的参考系。

力是改变物体运动状态的原因，而并非维持物体运动状态的原因。

▲第二定律（Second law）：)(ddvmtF

F：物体所受的合外力。

m ：质量（mass），它是物体惯性大小的量度，也称惯性质量（inertial mass）。

若m = const. ，则有：amF

a：物体的加速度。 第一定律 2 ▲第三定律（Third Law）：2112FF

说明：

1.牛顿定律只适用于惯性系；

2.牛顿定律是对质点而言的，而一般物体可认为是质点的集合，故牛顿定律具有普遍意义。

Δ§2 SI单位和量纲

（书第二章第2节）

Δ§3 技术中常见的几种力

（书第二章第3节）

Δ§4 基本自然力

（书第二章第4节）

m1 m2 · ·

F12 F21 3 §5 牛顿定律应用举例

书第二章第2节的各个例题一定要认真看，下面再补充一例，同时说明作题要求。

已知:桶绕z轴转动，= const.

水对桶静止。

求：水面形状（z - r关系）

解：

▲ 选对象：任选表面上一小块水为隔离体m ；

▲看运动：m作匀速率圆周运动 ra2；

▲查受力：受力gm及N，水面N（∵稳定时m受周围水及空气的切向合力为零）；

▲列方程：

)2(sin)1(0cos2rmNrmgNz向：向：

tg为z（r）曲线的斜率，由导数关系知：

rzddtg (3)

由(1)(2)(3)得：rgrz2ddtg ω

m θ

mg z

r z

z0 r θ N

·

O 4 分离变量： rrgzdd2

积分： zzrrrgz002dd 

得： 0222zrgz（旋转抛物面）

若已知不旋转时水深为h，桶半径为R ,则由旋转前后水的体积不变，有：

RhRrrz02d2

RhRrrzrg02022d2)2(

得 gRhz4220

5 ▲验结果： 0222zrgz

·单位：[2]=1/s2 ，[r]=m ，[g]=m/s2

][mm/sm)/s1(]2[2222zg，正确。

·过渡到特殊情形：= 0，有z = z0，正确。

·看变化趋势：r一定时，↑→(z-zo)↑,

合理。

复杂问题往往除动力学方程外，还需补充一些运动学方程或几何关系[如上（3）式]。

课后作业基本要求同此例。

6 §6 非惯性系中的动力学问题

牛顿定律仅适用于惯性系，例如：

但是：

▲有些问题需在非惯性系中研究；

·地面参考系：地球自转 2cm/s4.3a（赤道上）

·地心参考系：地球公转 2cm/s6.0a

▲有时非惯性系中研究问题较为方便。

一. 平动非惯性系中的惯性力

设：非惯性系S＇相对惯性系S平动，加速度为 0a 。

S ： amF

S′：, FF, mmaaaa0

故 amF a0

m 光滑

S

在S参考系（地面）m

运动符合牛顿定律 m 光滑 S′ a′= -a0

在S′参考系（车厢）m

运动不符合牛顿定律 a = 0

a0 m S F a

a′ S

a0 · 7 由 00)(amamaamamF，

得 amamF0 ，

定义惯性力（inertial force）：00amF

则有 0amFF

上式表明，在非惯性系S＇中，只要将通常的合外力F再加上惯性力0F，则牛顿第二定律形式上成立。

惯性力是参考系加速运动引起的附加力，本质上是物体惯性的体现。它不是物体间的相互作用，没有施力物体，因而也就没有反作用力。在非惯性系中用它分析问题通常比较方便。例如图示情况，设M >> m，当去掉支撑物后，分析m的运动：

O

光滑轨道 ·

m

v

支撑物 M

光滑轨道 · m

v M g

在M参考系中观察 ·

m

v

mg -mg

T 匀速率圆周运动 O O 8 小故事: 二战中，美军Tinosa号潜艇携带了16枚鱼雷攻击敌主力舰。在4000码处侧面攻击，发射了4枚鱼雷，使敌舰停航了。但在875码处正面攻击，发射了11枚鱼雷，却均未爆炸，只好剩一枚回去研究。这是为什么呢？

解释:正面短距离攻击→鱼雷(S′系)撞舰体时加速度a0大→惯性力F0大→撞针滑块与导板间的摩擦力0F 大→撞针撞击雷管末速度变小→不能引发雷管。

二. 匀速转动非惯性系中的惯性力

设S＇系相对惯性系S匀速转动。

1.物体m在S＇中静止： S：)(2rmamfns

得：02rmfs

S＇： , 0a

令 00amFfs

则 rmF20

rm2 ─ 惯性离心力

（inertial centrifugal force）

S＇中向心力与惯性离心力平衡，m静止。 F0 S′ 撞针

滑块 雷管 敌舰体

v↓

a0 鱼雷 导板

ω

r S′

S m

fS · O 9 有关惯性离心力的几个问题：

▲失重：在绕地球转动的飞船（非惯性系）中观察，引力和惯性离心力完全抵消，出现失重。飞船中是真正能验证惯性定律的地方（真正显示不受力的情形）。

▲重力和纬度的关系：重力是物体所受的地球引力和惯性离心力的合力： 0FFP引

可以证明（自己推导）重力加速度g和地球纬度的关系式为：

)cos1(2000gagg

上式中：220ms83.9RGMge，

220ms034.0 Ra，

G ─ 万有引力常量，eM─ 地球质量，

R ─地球半径 ，ω─地球自转角速度 。

在地表面用上式的g，已将惯性离心力的影响考虑在内。

r ω

 F0

P m

F引

R O · 10 ▲潮汐（tide）与惯性力

日涨为潮，夜涨为汐。问题：

1）地球上潮汐主要受月亮的影响，而太阳引力大于月球引力，为什么潮汐受太阳影响反而弱一些呢？

2）为什么潮汐同时在向月和背月侧发生？

解释：潮汐是由引力梯度引起的，而不是由引力大小所决定的。

由于月球到地球的距离比太阳到地球的距离小得多，使得月球在地球的引力梯度比太阳在地球的引力梯度大，所以月球的引潮力比太阳的引潮力大。经计算有： B A B C D

· ·

· · · ·

· ·

C D

A

E E 飞船

v 惯性离心力

引力

引力分布不均匀

（有引力梯度） 引力不能完全被

惯性离心力抵消 指向地心 a0

地球 地球 ·

· 11 18.23地月地日日月日引潮月引潮rrMMFF

引潮力常触发地震，尤其是在大潮期，即阴历初一、十五 左右。例如：

·唐山地震：76年阴历七月初二

·印度地震：93年阴历八月十五

·神户地震：95年阴历十二月十七 地球 月亮 涨潮 落潮

月球对地面上海水的引潮力 落潮 涨潮

月

月 日

地

地 大潮

小潮

大潮与小潮 日 12 ▲固体潮（形变）：

·由于地球对月球引潮力阻止月球自转的作用，最终使月球自转和公转周期一致。

·月球对地球的引潮力也使地球自转变慢。由植物年轮、珊瑚和牡蛎化石生长线判断，在3亿年前，一年约为400天。

·休梅克─列维9号彗星被木星引潮力撕碎。

2.物体m在S＇中运动，科里奥利力

设物体m在S＇中有速度 v，则在S＇中看，m除受惯性离心力外，还要附加一个与速度 v有关的惯性力。

下面先看一个特例：

设水平桌面上有半径为r的一圆环形光滑月

变形滞后,造成地

球对月球引力矩,

阻止月球自转 · · 地球