2022-2023学年上海六年级数学下学期同步知识点讲练 第02讲 有理数加减法带讲解

有理数的概念知识精要有理数的五个重要概念：（1）有理数：统称有理数.有理数的分类：有理数有理数是正数而不是整数的有理数是－－－－－－正分数 是整数而不是负数的有理数是－－－－－－正整数和零既不是分数，也不是零的有理数是－－－－－－－正整数、负整数既不是正数，也不是负数的有理数是－－－－－－零（2）数轴：数轴的意义：数轴是表示有理数的一种直观形式。

任意一个有理数都能 。

数轴的建立使有理数与数轴上的点建立了关系。

数轴定义： ，叫做数轴.数轴三要素：在数轴上比较有理数的大小： 。

（3）相反数： 叫做互为相反数。

正数的相反数是 ，负数的相反数是，0的相反数是。

（4）绝对值：定义：在数轴上， 叫做该数的绝对值。

运算：正数的绝对值是，负数的绝对值是，0的绝对值是 。

性质：绝对值具有非负性：︱a ︱≥0两个正数比较大小，绝对值大的数 ，两个负数比较大小，绝对值大的⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数()()⎩⎨⎧<-≥=00a a a a a数反而 。

（5）倒数：两个有理数的积为1，那么这两个有理数互为倒数。

0没有倒数。

热身预习一、填空题1、把下列数填入相应的括号里：有理数：正分数：2、如果把盈利100元记作：+100元，则亏损50元记作 元。

3、 的相反数是它的本身，绝对值最小的数是 。

4、 的绝对值等于它本身， 的倒数等于它本身。

5、到原点距离等于4.5个单位长度的点表示的数是 _。

6、已知数轴上一点N 与－2所表示的点A 之间的距离为5，则N 在数轴上所表示的数为_ 。

7、绝对值不大于的非负整数有__ ___。

8、如果，用“>”连接为 _二、选择题1、下列各式中，等号不成立的是（ ）A 、B 、C 、D 、 2、如果互为相反数，那么的值为（） A 、1 B 、－1 C 、D 、03、如果，且，那么（ ）A 、是正数B 、是负数C 、一正一负，且负数的绝对值较大D 、一正一负，且正数的绝对值较大4、下列说法正确的个数是（ ）15%,4.20...,2020020002.0...,922222.0,75,531,0,32,4.0,2,51,6-----π213则,,0,0b a b a >><b b a a --,,,33=-33--=-33=-33=--132-123-+x x 与x 230<+b a 0>ab b a 与b a 与①符号相反的两个数互为相反数 ②一个数的相反数一定是正数③一个数的相反数一定比这个数本身小 ④一个数的相反数的相反数等于原数⑤整数和小数统称为有理数 ⑥数轴是规定了原点、方向、单位长度的直线A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个5、下列说法不正确的是（ ）A 、一个数与它的倒数之积是1 B 、一个数与它的相反数之商是－1C 、两个数的商位－1，这两个数互为相反数D 、两个数的积为1，这两个数互为倒数三、判断下列结论是否正确：（1）若一个数的绝对值等于5，则这个数是5 。

5.1有理数的意义1.什么是正数？大于0的数是正数，像6,2.5，，1.2%等数叫做正数。

2.什么是负数？小于0的数是负数，（在正数前加上“-”号的数叫做负数），比如：-6，-2.5，-，-1.2%等数。

3.0既不是正数也不是负数4.正数和负数可以表示具有相反意义的量。

比如：盈利50元记作50元，那么亏损50元记作-50元。

5.什么是有理数？整数和分数统称为有理数。

6.判断有理数的方法：可以写成分数形式的数都是有理数。

在我们目前学过的数中，只有无限不循环小数不是有理数。

7．一般有理数有如下两种分类：（1）正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数．（2）5.2数轴1.什么是数轴？规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

2.所有的有理数都可以用数轴上的一个点表示。

数轴上表示正数的点在原点的右边，表示负数的点在原点的左边。

3.什么是互为相反数？只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数。

0的相反数等于它本身。

4.如何表示一个数的相反数？表示一个数的相反数，可以在这个数前添加一个“-”号，比如3的相反数是-3；-3的相反数是-（-3）=3.一般地，数a的相反数表示为-a.5.相反数的特征：（1）一个数相反数的相反数等于这个数本身。

（2）在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。

（3）如果两个数互为相反数，它们只是符号不同，它们的和等于0.6.带负号的不一定是负数。

比如-（-2）=2是正数5.3绝对值1.什么是一个数的绝对值？一个数在数轴上所对应的点的距离，叫做这个数的绝对值。

2.如何表示一个数的绝对值？以数a为例，用符号|a|表示数a的绝对值。

3.正数和0的绝对值等于它本身，负数和0的绝对值是它的相反数.4.互为相反数的两个数的绝对值相等。

5.任何一个有理数的绝对值都是非负数。

6.若两个数的绝对值相等，则这两个数可能相等也可能互为相反数。

预备年级第二学期数学第二课 有理数的加减法知识要点：1、有理数的加减法的运算法则2、有理数的加法与减法的互逆关系3、利用运算律进行有理数的加减法的简便运算4、去括号法则：括号前是正号，去括号时括号内的各个加数的符号不变；括号前是负号，去括号时括号内的各个加数的符号都改变符号。

5、符号“—”有两重性：如在53-中“—”是运算符号——减号；在3+（-5）中“—”是性质符号——负号。

例题讲解：例1、如果我们规定盈利为正，那么亏损为负。

如盈利-120元就是亏损120元。

一家商店2005年上半年盈利1.2万元，下半年盈利1.8万元；2006年上半年盈利-0.3万元，下半年盈利0.8万元；2007年上半年盈利-0.4万元，下半年盈利-0.2万元。

那么这家商店每年是盈利还是亏损？盈利或亏损各多少万元？例2计算：（1）()()1525-+- （2）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4332 （3）⎪⎭⎫⎝⎛-+5182.7（4）5-（-5） （5） ⎪⎭⎫⎝⎛--3210 （6）⎪⎭⎫ ⎝⎛---103352例3计算：（1）()()17152335-++-+ （2）⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-++512834.2375.0（3）()21432743---⎪⎭⎫⎝⎛-（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛--432126117例4已知一辆小货车从A 地出发，先向东行驶5千米，卸货后再向西行驶23千米装上另一批货物，然后又向东行驶10千米后停下来，问小货车最后停在何处？例5一天早晨的气温是-2℃，中午气温上升8℃，傍晚气温又下降5℃，问傍晚的气温是多少？例6已知点A 、B 、C 在数轴上对应的数分别是a 、b 、c 化简c b c a b a +++++CO B A练习1、计算：()=+-03 ，=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-4131 ，=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-312211 。

2、判断下列两数和的符号：()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-3255： ():0001.0+-;819918⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+()78-+-；3、计算：()()()=-+-++31316 ；=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-326513328 ；()()=-+-+5.767.4 ；()=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+4119925.2 ；=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+25.065211431；=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4161534361；=⎪⎭⎫ ⎝⎛---433535； =⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---8121434、在下列各式的空格中填入适当的数，是使等式成立。

沪教版数学六年级下册第五章《有理数》全章教学设计及习题一. 教材分析沪教版数学六年级下册第五章《有理数》是学生学习数学的重要内容，本章主要介绍了有理数的定义、性质、运算及其应用。

教材通过丰富的实例和生动的语言，引导学生认识和理解有理数，掌握有理数的加、减、乘、除运算，并能运用有理数解决实际问题。

本章内容在数学体系中占据重要地位，为学生进一步学习代数、几何等数学分支奠定了基础。

二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数有一定的认识。

但在学习有理数时，仍存在以下问题：1. 对有理数的定义和性质理解不深刻；2. 有理数的运算规则掌握不熟练；3. 运用有理数解决实际问题的能力较弱。

因此，在教学过程中，要注重引导学生深入理解有理数的概念，熟练掌握有理数的运算方法，提高运用有理数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解有理数的定义，掌握有理数的性质；2. 熟练掌握有理数的加、减、乘、除运算方法；3. 能够运用有理数解决实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。

四. 教学重难点1.有理数的定义和性质；2. 有理数的运算方法；3. 运用有理数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入有理数的概念，使学生能够直观地理解有理数；2. 讲授法：讲解有理数的定义、性质和运算方法，引导学生深入理解有理数；3. 练习法：布置适量的习题，让学生巩固所学知识；4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材；2. 准备习题和实际问题；3. 准备黑板和粉笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如温度、海拔等，引导学生认识有理数，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）讲解有理数的定义、性质和运算方法，让学生初步了解有理数的基本概念和运算规则。

3.操练（10分钟）布置适量的习题，让学生独立完成，检验对有理数的理解和运算方法的掌握程度。

六年级数学下学期第一次月考卷（沪教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共28题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一．选择题（共6小题）1．（2021秋•天门期中）下列数字中，有理数有（）个．A．6B．5C．3D．7【分析】根据有理数的分类即可得出答案．【解答】解：有理数有：﹣1，1.2，0，3.14，﹣，﹣，故选：A．【点评】本题考查了有理数的分类，整数和分数统称为有理数，注意π不是有理数．2．（2018秋•滦南县期中）数a、b在数轴上的位置如图所示，正确的是（）A．a＞b B．a+b＞0C．ab＞0D．|a|＞|b|【分析】由a、b在数轴上的位置直接通过观察得出．【解答】解：∵a＜﹣1，∴|a|＞1又∵0＜b＜1，∴|b|＜1∴|a|＞|b|故选：D．【点评】本题主要考查了利用数轴比较数的大小．3．（2021秋•梁山县期末）下列方程中，其解为﹣1的方程是（）A．2x﹣1＝4x+3B．3x＝x+3C．D．2（x﹣3）＝3【分析】把x＝﹣1代入每个方程，当左边等于右边时，x＝﹣1是该方程的解；当左边不等于右边时，x＝﹣1不是该方程的解，进行判断即可．【解答】解：A、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3，右边＝4×（﹣1+3）＝﹣1，左边≠右边，故本选项不符合题意；B、把x＝﹣1代入方程得：左边＝3×（﹣1）＝﹣3，右边＝﹣1+3＝2，左边≠右边，故本选项不符合题意；C、把x＝﹣1代入方程得：左边＝＝﹣，左边＝右边，故本选项符合题意；D、把x＝﹣1代入方程得：左边＝2×（﹣1﹣3）＝﹣8，右边＝3，左边≠右边，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2021秋•宣化区期中）任何一个有理数的偶次幂必是（）A．负数B．正数C．非正数D．非负数【分析】根据乘方的性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，0的任何次幂都是0，从而可判断．【点评】本题主要考查有理数的乘方，正数与负数，有理数，解答的关键【解答】解：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何次幂都是0，故任何一个有理数的偶数次幂必是非负数．故选：D．是对有理数的乘方的性质的掌握．5．（2021秋•西湖区月考）两个有理数的和等于零，则这两个有理数必定（）A．相等B．互为相反数C．都是零D．有一个数是零【分析】根据有理数的加法运算法则解答．【解答】解：两个有理数之和等于零，那么这两个有理数一定互为相反数，故选：B．【点评】本题主要考查了有理数的加法，相反数，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键．6．（2021秋•乐亭县期中）下列各对数中数值相等的是（）A．﹣12和（﹣1）2B．﹣（﹣3）和﹣|﹣3|C．（﹣2）3和﹣23D．﹣3×23和﹣（3×2）3【分析】利用有理数的乘方，绝对值，有理数的乘法等运算法则对各选项进行运算，比较即可．【解答】解：A、﹣12＝﹣1，（﹣1）2＝1，﹣1≠1，故A不符合题意；B、﹣（﹣3）＝3，﹣|﹣3|＝﹣3，3≠﹣3，故B不符合题意；C、（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，﹣8＝﹣8，故C符合题意；D、﹣3×23＝﹣24，﹣（3×2）3＝﹣216，﹣24≠﹣216，故D不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查有理数的乘方，相反数，绝对值，有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘方的定义，注意区分（﹣a）n和﹣a n．二．填空题（共12小题）7．（2020秋•福田区期末）3﹣（﹣5）＝8．【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，据此计算即可．【解答】解：3﹣（﹣5）＝3+5＝8．故答案为：8．【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记运算法则是解答本题的关键．8．（2021•靖西市模拟）﹣2021的相反数是2021．【分析】利用相反数的定义分析得出答案．【解答】解：﹣2021的相反数是：2021．故答案为：2021．【点评】此题考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．9．（2020秋•昌图县期末）（﹣）÷（﹣2）×（﹣6）＝﹣1．【分析】根据有理数的乘除法则即可求出答案．【解答】解：原式＝×（）×（﹣6）＝×（﹣6）＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的运算法则，本题属于基础题型．10．（2021秋•钦北区期末）用“＜”“＞”或“＝”号填空：﹣＞﹣．【分析】先通分为﹣，﹣，再根据有理数大小比较的方法进行比较即可求解．【解答】解：﹣＞﹣．故答案为：＞．【点评】本题考查了有理数大小比较，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．11．（2020秋•汕尾期末）在数轴上，点A表示﹣2，从A点出发，沿数轴向右移动3个单位长度到达B点，则点B表示的数是1．【分析】由点A表示的数结合点A运动的方向及位移，即可得出点B表示的数，此题得解．【解答】解：根据题意得：点B表示的数为﹣2+3＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了数轴，根据点A与点B之间的关系，找出点B表示的数是解题的关键．12．（2014秋•北京校级期中）计算：﹣42＝﹣16．【分析】根据有理数的乘方，即可解答．【解答】解：﹣42＝﹣16．故答案为：﹣16．【点评】本题考查了有理数的乘方，解决本题的关键是熟记有理数的乘方法则．13．（2020秋•玉门市期末）“神舟”五号飞船绕地球飞行一周约42230000米，这个数用科学记数法表示是 4.223×107米．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：42230000米＝4.223×107米．故答案为：4.223×107．【点评】本题考查了科学记数法．解题的关键是明确用科学记数法表示一个数的方法：（1）确定a：a是只有一位整数的数；（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位数上零）．14．（2021春•浦东新区月考）x的3倍比x的大7，所列方程是3x﹣x＝7．【分析】根据x的3倍﹣x的＝7，直接列方程．【解答】解：由题意，得3x﹣x＝7．故答案为：3x﹣x＝7．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．列方程的关键是正确找出题目的相等关系，找的方法是通过题目中的关键词如：大，小，倍等．15．（2019秋•淮安区期末）已知x＝﹣1是方程2ax＝a﹣3的解，则a＝1．【分析】根据题意将x＝﹣1代入方程即可求出a的值．【解答】解：将x＝﹣1代入方程得：﹣2a＝a﹣3，解得：a＝1．故答案为：1．【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．16．（2021春•浦东新区月考）规定一种新运算a*b＝a﹣b2，则4*[5*（﹣2）]＝3．【分析】根据a*b＝a﹣b2，可以求得所求式子的值【解答】解：∵a*b＝a﹣b2，∴4*[5*（﹣2）]＝4*[5﹣（﹣2）2]＝4*（5﹣4）＝4*1＝4﹣12＝4﹣1＝3，故答案为：3．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．17．（2021秋•肃州区校级期中）已知|x﹣4|+|5+y|＝0，则（x+y）的值为﹣．【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，x﹣4＝0，5+y＝0，解得x＝4，y＝﹣5，所以，（x+y）＝×（4﹣5）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．18．（2021春•浦东新区月考）已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，则m+﹣（cd）2的值为1或﹣3．【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m＝±2，然后即可计算出所求式子的值．【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|＝2，∴a+b＝0，cd＝1，m＝±2，当m＝2时，m+﹣（cd）2＝2+﹣12＝2+0﹣1＝1；当m＝﹣2时，m+﹣（cd）2＝﹣2+﹣12＝﹣2+0﹣1＝﹣3；故答案为：1或﹣3．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．三．解答题（共10小题）19．（2021秋•蓬江区校级月考）将下列数字填入圈内：25，﹣0.91，，0，﹣7，95%．【分析】根据非正数就是负数和0，非负数就是正数和0，整数包含正整数，负整数和0解决此题．【解答】解：答案如图所示：【点评】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握非负数、整数、非正数的定义是解题关键．20．（2021秋•肃州区校级期中）以48.0千克为标准体重测量7名学生的体重，把超过标准体重的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，将其体重记录如下表：学生1234567与标准体重之差（千克）﹣2.8+1.7+0.8﹣0.5﹣0.2+1.2+0.5（1）最接近标准体重的是5号学生（填序号）．（2）最大体重与最小体重相差 4.5千克．（3）求7名学生的平均体重．【分析】（1）与标准体重之差的绝对值越小，就最接近标准体重，直接观察绝对值最小的数即可；（2）由表格可知最高体重是第2名学生，最低体重是第1名学生，从而可以求得最高体重与最低体重相差多少；（3）用标准体重加上七名学生与标准体重之差的平均数，即为七名学生的平均体重．【解答】解：（1）由表格可知，5号学生的体重与标准体重之差的绝对值最小，∴最接近标准体重的是5号学生．故答案为：5号；（2）由表格可知最高体重是第2名学生，最低体重是第1名学生，∴体重之差为：1.7﹣（﹣2.8）＝1.7+2.8＝4.5（千克）故答案为：4.5；（3）7名学生的平均体重＝48+（﹣2.8+1.7+0.8﹣0.5﹣0.2+1.2+0.5）÷7＝48.1（千克），∴7名学生的平均体重为48.1千克．【点评】本题考查了有理数混合运算，正负数的实际运用，在解决实际问题中，要充分运用正负数的意义解题，发挥正负数的作用．21．（2021春•普陀区校级月考）计算：．【分析】利用有理数的混合运算的法则对式子进行运算，可以利用适当的运算律使运算较简便．【解答】解：＝＝＝3+（﹣1）＝2．【点评】本题主要考查有理数的加减混合运算，解答的关键是对有理数的运算律的掌握与应用．22．（2021春•普陀区校级月考）计算：．【分析】把各因数转化成相同的形式，有理数的除法转化成乘法，再利用有理数的乘法法则进行运算即可．【解答】解：＝（）××（﹣8）×（﹣）＝﹣．【点评】本题主要考查有理数的除法和有理数的乘法，解答的关键是对有理数的乘法法则与有理数的除法的法则的掌握与应用．23．（2021秋•定西期末）解方程：3x+2（x﹣2）＝6．【分析】去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可．【解答】解：去括号，可得：3x+2x﹣4＝6，移项，可得：3x+2x＝6+4，合并同类项，可得：5x＝10，系数化为1，可得：x＝2．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．24．（2021春•普陀区校级月考）解方程：．【分析】去分母、去括号、移项、合并同类项，据此求出方程的解是多少即可．【解答】解：去分母，可得：2（2x﹣1）﹣（3x+1）＝6，去括号，可得：4x﹣2﹣3x﹣1＝6，移项，可得：4x﹣3x＝6+2+1，合并同类项，可得：x＝9．【点评】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要明确解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．25．（2021春•普陀区校级月考）若a＞0，＝1；若a＜0，＝﹣1；①若，则＝1；②若abc＜0，则＝1或﹣3．【分析】根据实数绝对值的性质|a|＝，根据a的符号确定它的绝对值是它本身还是绝对值即可．【解答】解：∵a＞0，∴|a|＝a，∴＝＝1；∵a＜0，∴|a|＝﹣a，∴＝＝﹣1，故答案为：1，﹣1；①∵，∴ab＜0，∴|ab|＝﹣ab，∴＝＝1，故答案为：1；②∵abc＜0，∴a、b、c中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况，当a、b、c中有一个负数、两个正数时，＝﹣1+1+1＝1，当a、b、c中有三个负数时，＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3，故答案为：1或﹣3．【点评】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数．26．（2021春•普陀区校级月考）在数轴上表示下列各数，再用“＜”连接起来．，4，﹣（﹣1.25），﹣|﹣3|．【分析】将各数在数轴上表示出来，从左到右用“＜”把它们连接起来即可．【解答】解：如图所示：用“＜”连接起来为：﹣|﹣3|＜﹣2＜﹣（﹣1.25）＜4．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键．27．（2021春•普陀区校级月考）计算：．【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解答】解：＝（）÷+（﹣）×＝（﹣）×36+（﹣1）＝（﹣1）+（﹣1）＝﹣2．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的运算顺序和运算法则．28．（2021春•普陀区校级月考）若|a+1|+（2a﹣b﹣2）2＝0，求方程ax﹣3ab＝5的解．【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，代入方程计算即可求出解．【解答】解：∵|a+1|+（2a﹣b﹣2）2＝0，∴，解得，代入方程得：﹣x﹣12＝5，解得x＝﹣17．【点评】此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，求得a、b的值是解本题的关键．。

沪教版六年级数学第一章数的整除1.1整数和整除的意义零和正整数统称为自然数.正整数、零、负整数统称为整数.整数a除以整数b,如果除得的商是整数而余数为零,我们就说a能被b整除；或者说b能整除a.注意整除的条件：1、除数、被除数都是整数2、被除数除以除数,商是整数而余数为零.1.2因数和倍数整数a能被整数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫a的因数〔也称为约数〕倍数和因数是相互依存的注意：1、一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是 1,最大的因数是它本身2、一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身1.3能被2,3,5整除的数个位上是0,2,4,6,8的整数都能被2整除.能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数.个位上是0或5的整数都能被5整除.将一个整数的各位数字相加,如果得到的和能被3整除,那么这个数就能被3整除.注意：1、在正整数中〔除 1 外〕 ,与奇数相邻的两个数是偶数2、在正整数中,与偶数相邻的两个数是奇数3、0 是偶数1.4素数、合数与分解素因数一个正整数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数,也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数,这样的数叫做合数.1既不是素数,也不是合数.这样,正整数又可以分为1、素数、合数三类.〔依据：因数的个数〕每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的素因数.把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数.用短除法分解素因数的步骤如下：1、先用一个能整除这个合数的素数〔通常从最小的开始〕去除2、得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,知道得出的商是素数为止.3、然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式.1.5公因数和最大公因数几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数,其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数.如果两个整数只有公因数1,那么称为这两个数互素.两个整数中,如果某个数是另一个数的因数,那么这个数就是这两个数的最大公因数.如果这两个数互素,那么它们的最大公因数就是1.1.6公倍数和最小公倍数几个整数的公有的倍数叫做它们的公倍数,其中最小的一个叫做它们的最小公倍数.求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数.如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数.如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数.第二章分数2.1分数与除法两个正整数p、q相除,可以用分数错误!表示,即p÷q＝错误!错误!,其中p为分子,q为分母.2.2分数的基本性质分数的分子和分母都乘以或都除以同一个不为零的数,所得的分数与原分数大小相等,即错误!= 错误!错误!= 错误!错误!<b≠0,k≠0,n≠0>.分子和分母互素的分数叫做最简分数.把一个分数的分子和分母的公因数约去的过程,称为约分.2.3分数的大小比较将异分母的分数分别化成与原分母大小相等的同分母的分数,这个过程叫做通分.2.4分数加减法同分母分数相加减,分母不变,分子相加减.异分母的分数相加减,先通分,然后按照同分母分数加减法的法则进行运算,结果化成最简分数.分子比分母小的分数叫做真分数,分子大于或等于分母的分数叫做假分数.一个正整数与一个真分数相加所成的数叫做带分数.带分数的加减运算,可将它们的整数部分和真分数部分分别相加减,再将所得的结果合并起来；或者将带分数化成假分数在进行加减运算.注意列方程求未知数的一般书写步骤：〔1〕设未知数为 x；〔2〕根据题意列出方程：〔3〕根据加减互为逆运算,表示出 x 等于那些数相加减；〔4〕计算出 x 的值,并写出上结论2.5分数的乘法两个分数相乘,将分子相乘的积作积的分子分母相乘的积作积的分母.整数与分数相乘,整数与分数的分子的积作积的分子,分母不变.2.6分数的除法1除以一个不为零的数得到的商,叫做这个数的倒数.a的倒数是错误!<a≠0>,错误!的倒数是错误!<p≠0,q≠0>.互为倒数的两个数的乘积为1.甲数除以乙数〔0除外〕,等于甲数乘以乙数的倒数.用字母表示就是：错误!÷ 错误!= 错误!× 错误!<n≠0,p≠0,q≠0>.2.7分数和小数的互化一个最简分数,如果分母中只含有素因数2和5,再无其他素因数那么这个分数可以化成有限小数.一个小数从小数部分的某一位起,一个数字或者几个数字依次不断地重复出现,这个小数叫做循环小数.一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现大的第一个最少的数字组,叫做这个循环小数的循环节.一个分数总可以化为有限小数或无线循环小数2.8 分数、小数的四则混合运算分数、2.9 分数运算的应用分数运算的应用第三章比和比例3.1比的意义a,b是两个数或两个同类的量,为了把b和a相比较,将a与b相除,叫做a与b的比.记作a:b,或写成a／b,其中b≠0；读作a比b,或a与b的比.a叫做比的前项,b叫做比的后项.前项a除以后项b所得的商叫做比值.求两个同类量的比值时,如果单位不同,必须把这两个量化成相同的单位.比值可以用整数、分数或小数表示注意比、分数和除法三者之间的关系是：1、比的前项相当于分数的分子和除式中的被除数；2、比的后项相当于分数的分母和除式中的除数；3、比值相当于分数的分数值和除式中的商.3.2比的基本性质比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数〔0除外〕,比值不变.注意三项连比的性质是：1、如果a：b＝m：n,b：c＝n：k,那么a：b：c＝m：n：k.2、如果k≠0,那么a：b：c＝ak：bk：ck＝ak：bk：ck.注意求三项连比的一般步骤是： .1、寻找关联量,求关联量对应的两个数的最小公倍数2、根据比的基本性质,把两个比中关联量化成相同的数3、对应写出三项连比注意关联量：1、将三个整数比化为最简整数比,就是给每项除以最大公约数2、将三个分数化为最简整数比,先求分母的最小公倍数,再给各项乘以分母的最小公倍数；3、将三个小数比化为最简整数比先给各项同乘以 10,100,1000 等,化为整数比,再化为最简整数比3.3比例a 〔第一比例项〕 ：b 〔第二比例项〕=c 〔第三比例项〕 ：d 〔第四比例项〕 ；其中 a 、d 叫 做比例外项,b 、c 叫做比例内项如果两个比例内项相同,即a ：b ＝b ：c,那么把b 叫做a 和c 的比例中项.比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 或a b ＝c d,那么ad ＝bc.简单的说,就是内项之积等于外项之积列方程解应用题的一般书写步骤分四步：〔1〕设未知数〔2〕列方程〔3〕解方程〔4〕答注意：1、列比例方程时,一定要注意对应关系,一定要注意同类量的单位要对应统一3.4百分比的意义 把两个数量的比值写成100n 的形式,成为百分数,也叫做百分比或百分率,记作n ％,读作百分之n.符号"％〞叫做百分号.3.5百分比的应用在生产和工作中常用的百分率有： 与格率＝ 及格人数总人数100％； 合格率＝合格产品数产品总数×100％； 增产率＝增加的产量原来的产量×100％； 出勤率＝实际出勤人数应该出勤人数×100％；等等. 盈利率＝盈利成本×100％＝售价-成本成本×100％ 亏损率＝亏损成本×100％＝成本-售价成本×100％. 银行利息的结算和本金、利率和期数有关〔注意：贷款利息不纳税〕利息=本金×利率×期数；利息税=利息×20％；税后本息和=本金＋税后利息=本金＋利息－利息税=本金＋利息×〔1－20％〕增长率=增长的量／原来的基数×100％注意：1、三个关键词：是,占,的2、一条主线：求部分占全体的百分数； 三类情景：一般文字题,统计图和统计表,恩格尔系数3.6 等可能事件P ＝发生的结果数÷所有等可能的结果数. 第四章圆和扇形4.1 圆的周长圆的周长÷直径＝圆周率C ＝πd 或C ＝2πr 其中π是一个无限不循环小数,通常取π=3.14注意：1、会根据题意,有其中 2 个量求第三个量的值4.2弧长 1°圆心角所对弧长＝1360×2πr ＝1180πr n °圆心角所对弧长＝360n ×2πr ＝180nπr4.3 圆的面积圆的面积S ＝πr ×r ＝πr 2环形的面积=大圆的面积－小圆的面积,S =π〔R 2－r 2〕 4.4 扇形的面积扇形面积公式S 扇=360n πr 2=12lr注意：1、要求阴影部分面积,要善于抓住图形间的位置关系和数量关系进行适当的割补 第五章 有理数5.1有理数的意义 整数和分数统称为有理数有理数 整数：正整数、零、负整数分数：正分数、负分数5.2正数和负数零是正数和负数的分界.只有符号不同的两个数,我们称其中一个数为另一个数的相反数,也称为这两个数互为相反数,零的相反数是零.数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离,叫做这个数的绝对值注意：1、一个正数的绝对值是它本身.2、一个负数的绝对值是它的相反数.3、零的绝对值是零.4、两个负数,绝对值大的那个数反而小.5.3有理数的加减有理数加法法则：1、同号两数相加,取原来的符号,并把绝对值相加.2、异号两数相加,绝对值相等时和为零,绝对值不相等时,其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差,其和的符号取绝对值较大的加数的符号.3、一个数同零相加,仍得这个数.有理数加法的运算律1、交换律：a+b=b+a2、结合律：〔a+b〕+ c=a+<b+c>有理数的减法法则1、减去一个数,等于加上这个数的相反数2、a-b=a+<-b>5.4有理数的乘除两数相乘的符号法则正正得正,正负得负,负正得负,负负得正.有理数的乘法法则1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.2、任何数与零相乘,都得零.注意连成的符号：1、几个不等于零的数相乘,积的符号由负因数的个数决定2、当负因数有奇数个时,积为负3、当负因数有偶数个时,积为正4、几个数相乘,有因数为零,积就为零有理数除法法则1、两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.2、零除以任何一个不为零的数,都得零.5.5有理数的乘方求N个相同因数的积的运算,叫做乘方.乘法的结果叫做幂.在a n中,a叫做底数,n叫做指数,读作a的n次方,a n看做是a的n次方结果时,读作a的n次幂.注意：1、正数的任何次幂都是正数,负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数.2、有理数混合运算的顺序：先乘方,后乘除,再加减；统计运算从左到右；如果有括号,先算小括号,后算中括号,再算大括号.3、把一个数写成a*10n<其中1≤a＜10,n是正整数,这种形式的计数方法叫做科学计数法第六章一次方程〔组〕与一次不等式〔组〕6.1方程的意义用字母x、y、等表示所要求的未知的数量,这些字母称为未知数.含有未知数的等式叫做方程.在方程中,所含的未知数又称为元.为了求得未知数,在未知数和已知数之间建立一种等量关系式,就是列方程.如果未知数所取的某个值能使方程左右两边的值相等看,那么这个未知数的值叫做方程的解6.2一次方程的意义只含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程叫做一元一次方程等式性质：1、等式两边同时加上〔或减去〕同一个数或一个含有字母的式子,说得结果仍是等式.2、等式两边同时乘以同一个数〔或除以同一个不为零的数〕,所得结果仍是等式.去括号的法则是：括号前带"+〞号,去掉括号时括号内各项都不变符号.括号前带"—〞号,去掉括号时括号内各项都改变符号.6.3一次方程的解法解一元一次方程的一般步骤是：1、去分母；2、去括号；3、移项；4、化成ax=b〔a≠0〕的形式5、两边同除以未知数的系数,得到方程的解x=b/a列方程解应用题的一般步骤是：1、设未知数〔元〕；2、列方程；3、解方程；4、检验并作答.6.4不等式的意义与解法用不等号"＜〞"＞〞"≤〞"≥〞表示的关系式,叫做"不等式〞.不等式性质：1、不等式的两边同时加上〔或减去〕同一个数或同一个含有字母的式子,不等号的方向不变,即：如果a＞b,那么a+m＞b+m如果a＜b,那么a+m＜b+m2、不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个正数,不等号的方向不变,即：如果a＞b,且m＞0,那么am＞bm〔或a/m＞b/m〕如果a＜b,且m＞0,那么am＜bm〔或a/m＜b/m＝3、不等式的两边同时乘以〔或除以〕同一个负数,不等号的方向改变,即：如果a＞b,且m＜0,那么am＜bm〔或a/m＞b/m〕如果a＜b,且m＜0,那么am＞bm〔或a/m＜b/m〕在含有未知数的不等式中,能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解.一般情况下,一元一次方程的解只有一个,一元一次不等式的解可以有无数个.不等式的解的全体叫做不等式的解集.只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式.解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似.不等式组由几个含有同一个未知数的一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.求不等式组的解集的过程叫做解不等式组.如果各个不等式的解集没有公共部分,那么这个不等式组无解.解一元一次不等式组的一般步骤是：1、求出不等式组中各个不等式的解集；2、在数轴上表示各个不等式的解集；3、确定各个不等式解集的公共部分,就得到这个不等式组的解集.二元一次方程含有两个未知数的一次方程叫做二元一次方程.使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解.二元一次方程的解有无数个,二元一次的解的全体叫做这个二元一次方程的解集.由几个方程组成的一组方程叫做方程组.如果方程组中含有两个未知数,且含未知数的项的二元一次方程组次数都是一次,那么这样的方程组叫做二元一次方程组.在二元一次方程组中,使每个方程都适合的解,叫做二元一次方程组的解.通过"代入〞消去一个未知数,将方程式转化为一元一次方程,这种解法叫做代入消元法,简称代入法.通过将两个方程相加〔或相减〕消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程,这种解法叫做加减消元法.如果方程组中有三个未知数,且含有未知数的项的次数都是一次,这样的方程组叫做三元一次方程组.注意：1、列方程解应用题时要灵活选择未知数的个数.2、对于含有两个未知数的应用题一般采用列二元一次方程组求解；对于含有三个未知数的应用题一般采用列三元一次方程组求解.第七章线段与角的画法7.1直线的画法7.2射线的画法7.3线段的画法联结两点的线段的长度叫做两点之间的距离.两条线段可以相加〔或相减〕,它们的和〔或差〕也是一条线段,其长度等于这两条线段的长度的和〔或差〕.将一条线段分成两条相等线段的店叫做这条线段的中点.7.4角的画法角是具有公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点,两条射线叫做角的边.角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形.处于初始位置的那条射线叫做角的始边,终止位置的那条射线叫做角的终边.两个角可以相加〔或相减〕,它们的和〔或差〕也是一个角,它的度数等于这两个角的角度的和〔或差〕.从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.7.5角的测量如果两个角的度数的和是90°,那么这两个角叫做互为余角,简称互余.其中一个角成为另一个角的余角.如果两个角的度数的和是180°,那么这两个角叫做互为补角,简称互补.其中一个角称为另一个角的补角.注意：1、同角〔或等角〕的余角相等；2、同角〔或等角〕的补角相等；提问：1、一个角与它的余角相等,这个角是怎样的角？是锐角2、一个角与它的补角相等,这个角是怎样的角？是直角3、互补的两个角能否都是锐角？不能4、互补的两个角能否都是直角？可能5、互补的两个角能否都是钝角？不能第八章长方体的再认识长方体的顶点；长方体的棱；长方体的面；长方体的表面积；长方体的体积公式；1、长方体有六个面,八个顶点,十二条棱.2、长方体的每个面都是长方形.3、长方体的十二条棱可以分为三组,每组中的四条棱的长度相等.4、长方体的六个面可以分为三组,每组中的两个面的形状和大小都相同.5、第115页：长方体中棱与棱位置关系的认识：如图：棱EH与棱EF所在的直线在同一个面内,它们有惟一的公共点,我们称这两条棱相交.棱EF与棱AB所在的直线在同一个面内,但它们没有公共点,我们称这两条棱平行.棱EH与棱AB所在的直线既不平行,也不相交,我们称这两条棱异面.6、一般地,如果直线AB与直线CD在同一平面内,具有惟一公共点,那么称这两条直线的位置关系为相交,读作：直线AB与直线CD相交.7、如果直线AB与直线CD在同一平面内,但没有公共点,那么称这两条直线的位置关系为平行,记作：AB∥CD,读作：直线AB与直线CD平行.8、如果直线AB与直线CD既不平行,也不相交,那么称这两条直线的位置关系为异面,读作：直线AB与直线CD异面.9、直线PQ垂直于平面ABCD,记住：直线PQ⊥平面ABCD,读作：直线PQ垂直于平面ABCD.10、如何检验直线与平面垂直呢？可以用"铅垂线〞检验.如果细棒垂直于墙面,可以用"三角尺〞检验.还可以用"合页型折纸〞检验直线是否垂直于平面.11、直线PQ平行于平面ABCD,记作：直线PQ∥平面ABCD, 读作：直线PQ平行于平面ABCD.12、如何检验直线与平面平行呢？可以用"铅垂线〞检验.也可以用"长方形纸片〞检验.。

有理数（一）知识储备1.有理数的定义：整数和分数统称为有理数。

2.有理数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3.数轴：（1）定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫做数轴。

（2）意义：任意有理数都可以用数轴上的点来表示； 任意数轴上的点都可以用来表示有理数；（3）用数轴比较有理数的大小：数轴上的两个点表示的数，右边的总比左边的大。

4.相反数（1）定义：只有符号不同的两个数互为相反数。

（2）性质：任何一个数都有相反数，并且只有一个相反数。

正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0。

互为相反数的两个数的和为0. a 与b 互为相反数，则a+b=0.（3）几何意义：在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

5.绝对值在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫这个数的绝对值。

0)(a a - 0)(a 0 0)(a a ⎪⎩⎪⎨⎧<=>=a 不论有理数a 取何值，它的绝对值总是非负，即0≥a6.倒数乘积为1的两个数互为倒数。

a 与b 互为倒数，则ab=1. 注意：倒数是它本身的数有1和-1. 7.有理数大小比较正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小。

8.有理数的加减交换律 a b b a +=+ a b b a +-=- 结合律 ()()c b a c b a ++=++ 9.理数的乘法法则两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;任何数同0相乘得0.乘法交换律:ab=ba; 乘法结合律:abc=(ab)c=a(bc). 乘法分配律:a(b+c)=ab+ac; 几个不等于0的数相乘,负因数的个数为偶数个时,积为正数; 负因数的个数为奇数个时,积为负数. 10.有理数的除法除以一个不为0的数,等于乘这个数的倒数:a ÷b=a ×b1(b 为不等于0的数). 两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.一个数同不为0的数相除,仍得0. 11.乘方的有关概念．(1)求n 个相同因数a 的积的运算叫乘方， a n读作：a 的n 次幂(a 的n 次方)．(2)乘方的意义：a n表示n 个a 相乘．nan a a a a a =⨯⨯⨯⨯个12 .a n 与－a n的区别．(1)a n表示n 个a 相乘，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方．(2)－a n 表示n 个a 乘积的相反数，底数是a ，指数是n ，读作：a 的n 次方的相反数． 13.乘方运算的符号规律．(1)正数的任何次幂都是正数． (2)负数的奇次幂是负数． (3)负数的偶次幂是正数． (4)0的奇数次幂，偶次幂都是0． 所以，任何数的偶次幂都是正数或0． 14.有理数混合运算法则(1) 先乘方，再乘除，最后加减。

上海沪教版六年级数学下知识点总结第五章有理数5.1有理数的意义整数和分数统称为有理数有理数整数：正整数、零、负整数分数：正分数、负分数5.2正数和负数数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。

数轴的三要素：原点、单位长度、正方向。

所有的数都可以用数轴上的点来表示。

也可以用数轴来比较两个数的大小在数轴上表示的两个数，正方向的数大于负方向的数零是正数和负数的分界。

只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称为这两个数互为相反数，零的相反数是零。

一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值注意：1、一个正数的绝对值是它本身。

2、一个负数的绝对值是它的相反数。

3、零的绝对值是零。

4、两个负数，绝对值大的那个数反而小。

5.3有理数的加减有理数加法法则：1、同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加。

2、异号两数相加，绝对值相等时和为零，绝对值不相等时，其和的绝对值为较大绝对值减去较小的绝对值所得的差，其和的符号取绝对值较大的加数的符号。

3、一个数同零相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律1、交换律：a+b=b+a2、结合律：（a+b）+ c=a+(b+c)有理数的减法法则1、减去一个数，等于加上这个数的相反数2、a-b=a+(-b)5.4有理数的乘除两数相乘的符号法则正正得正，正负得负，负正得负，负负得正。

有理数的乘法法则1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

注意连成的符号：1、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定2、当负因数有奇数个时，积为负3、当负因数有偶数个时，积为正4、几个数相乘，有因数为零，积就为零有理数除法法则1、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

2、零除以任何一个不为零的数，都得零。

5.5有理数的乘方求N个相同因数的积的运算，叫做乘方。

乘法的结果叫做幂。

在a n中，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方，a n看做是a的n次方结果时，读作a的n次幂。

有理数内容分析有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．本讲会在讲解有理数的意义和数轴的知识之后，学习一些绝对值的基础知识，并会在下一讲中，着重讲解绝对值相关的化简及运算．知识结构模块一：有理数的意义知识精讲1、正数和负数在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．2、有理数的概念整数和分数统称为有理数．3、有理数的分类按意义分：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；按符号分：⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数．注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．【例1】下列说法错误的是（）A．盈利2000元和亏损100元是相反意义的量B．向西走5千米和向北走5千米是相反意义的量C．增加20人和减少10人是相反意义的量D．支出600元和收入800元是相反意义的量【例2】如果5-米表示向南走5米，那么下列各数分别表示什么意义？（1）8+米；（2）3-米；（3）0米；（4）6米．【例3】下列说法错误的是（）A．正整数、0、负整数统称整数B．0既不是正数，也不是负数C．有理数包括正数和负数D．有理数包括整数和分数【例4】判断题：（1）小数都是有理数；（）（2）大于负数的数是正数；（）（3）有理数中不是正数就是负数．（）例题解析2/ 15【例5】若人口增加2万人，记作+2万人，那么人口减少1万人，记作______．【例6】若盈利100元记作+100元，则50-元表示______．【例7】把下列各数填入它所属的圈内：11，18-，5-，215，158-，0.3， 5.67-，π，，0，5.5555，20-，0.3，567．正整数负数正分数非负数有理数非负有理数【例8】六（2）班在一次期中测验中，数学平均分为87分，若把高于平均分的部分记为-分，他实际得分是多少？正数，小智得93分，应记为多少？小方被记为9-表示的数一定是（）【例9】aA．负数B．正数C．正数或负数D．正数或负数或0【例10】按照一定的规律填数：（1）1，2-，4，8-，16，______，______，______；（2）1，2-，3，4，5-，6，7，8-，9，______，______，…，______（第2017个数）．4/ 15A BC DE121、 数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 2、 相反数只有符号不同的两个数，我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．互为相反数的两个数的和为零． 零的相反数是零．在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，并且与原点的距离相等．【例11】 填空：（1）数轴的三要素是______、______、______；（2）在数轴上表示的两个数，______边的数总比______边的数小；（3）正数都_____0，负数都______0，正数______负数．（填“>”、“ < ”或“=”）【例12】 在下图所示的数轴上，写出A 、B 、C 、D 、E 各点分别表示什么数．例题解析模块二：数轴知识精讲6 / 15【例13】 下列说法正确的是（ ）A ．任何有理数一定都有相反数，但不一定都有倒数B ．任何有理数一定都有倒数，但不一定都有相反数C ．任何有理数一定既有相反数，也有倒数D ．任何一个正有理数的倒数都比1小【例14】 判断题：（1）数轴上原点及原点右边的点表示的是非负数．（ ） （2）一个数的相反数的相反数是它本身．（ ） （3）正数和负数互为相反数．（ ）【例15】 7的相反数是______， 3.2-是______的相反数．【例16】 先画出数轴，然后在数轴上画出表示3-、32-、0、2及它们的相反数的点，并将它们从小到大排列起来．【例17】 数轴上到原点距离为2个单位的点表示的数有______，是______； 数轴上到表示1的点的距离为2个单位的点表示的数为______．abO【例18】 到原点距离不大于1的数有（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个【例19】 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？【例20】a 、b 在数轴上的位置如图所示，M a b =+，N a b =-+，H a b =-，G a b =--， 求它们的大小关系．（用“>”连接）【例21】 数轴上表示的数是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的有多少个？8 / 15【例22】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是哪个点？1、 绝对值的概念一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． 2、 绝对值的数学表达用符号a 表示数a 的绝对值． ()()()0000a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩3、 有理数的比较大小正数大于零，零大于负数，正数大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．【例23】 5的绝对值是______，记作_______；3-的绝对值是______，记作______．模块三：绝对值基础知识精讲例题解析【例24】 5.3=______，213=______，0=______， 2.6-=_______．【例25】 3-的倒数的绝对值是______．【例26】 判断题：（1）如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．（ ） （2）如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．（ ） （3）如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．（ ）【例27】 绝对值等于12的数是______，绝对值小于3的整数是______，绝对值不大于4的非负整数有______个．【例28】 当3x =时，7x -一定等于4-吗？10 / 15【例29】 若0a b +=，则a 与b 的关系是（ ） A ．不相等 B ．异号 C ．互为倒数 D ．0a b ==【例30】 数a 在数轴上的位置如图所示，试把a ，a 的相反数，a 的倒数和a 的倒数的绝对值用“<”联结起来．【习题1】 任意写出5个正数与5个负数，分别把它们填入相应的大括号里．正数：{ } 负数：{}【习题2】 关于数字0，下面说法中，错误的是（ ） A ．是整数，也是有理数 B ．既不是正整数，也不是负整数 C ．是整数，也是自然数D ．既不是自然数，也不是有理数随堂检测0 1a【习题3】写出小于5的所有非负整数______________________________；写出大于162-的所有负数________________________________．【习题4】填空：223+=______， 4.3-=______，6--=______．【习题5】如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a b+=______．【习题6】比较大小：（1）37-和25-；（2）311-和0.273-．【习题7】如图，数轴上A、B、C、D四个点分别表示数a、b、c、d，用“<”连接：1 a 、1b、1c、1d：_____________________．12 / 15 【习题8】 计算：111111201720162016201520172015-+---．【习题9】 若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值等于2，求a b c d m +++的值．【习题10】 已知4x =，5y =，且x > y ，则x + y =______．【作业1】 关于 2.2-，下面说法正确的是（ ）A ．是负数，不是有理数B ．不是分数，是有理数C ．是负数，也是分数D ．是负数，不是分数 课后作业【作业2】 把下列各数分别填到相应的横线上：1-，0.3505-，0，2，56-，33.33%． 正数：____________________________；负数：____________________________；非负数：____________________________；非正有理数数：____________________________．【作业3】 3π-的倒数是_______，相反数是______，绝对值是______．【作业4】 若x < 0，则23x x x -=______．【作业5】 比较大小，用“<”连接：89-、1112-、1415-．14 / 15 A B C 0【作业6】 绝对值大于10且不大于15的负整数的和是_______．【作业7】 填空（填“>”，“<”或“=”）：（1）若1aa =-，则a ______0；（2）若0a >，0b >，a b ->-，则a ______b ．【作业8】 如图，数轴上A 、B 、C 四个点分别表示数a 、b 、c ， 化简：b a b c a b c -++---．【作业9】 解方程：931x --=．【作业10】 比较大小：（提示：分类讨论）．（1）a 与a -；（2）a 与1a．。

（A ）一个数不是正数就是负数； （B ）－a 是负数；（C ）若a ＝－b ，则22b a =； （D ）若|a |＝|b |，则a ＝b ．（3）数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列正确的是（ ）. （A ）a>b ； （B ）a+b >0； （C ）ab >0； （D ）|a |>|b |.例3.填空：（1）)2.5(--= ，2.5--= ．（2）数轴上到原点的距离等于3的点有___个，它们所表示的有理数是___. 已知|a |＝3，那么a ＝ ； 已知|a +1|＝0，则a ＝____； 已知|a +1|＝2，则a ＝____.例4. 已知（x-1)2+|y+4|=0， 3x+5y=______． 例5. 比较.5.3-与523--的大小.例6.将下列各数按照从小到大的顺序排列：.31,31,0,5.0,41,211--- 7. 当a ＞0时，|a |＝ ； 当a ＜0时，|a |＝ ； 当a ＞1时，|a －1|＝ ； 当a ＜1时，|a －1|＝ .例7、计算，能简便计算就简便计算（1）21)322215(313--- （2）23+（-17）+16+（-22）（3）（-7）+（-6.5）+（-3）+6.5 （4）（-9）+435+9+（-543）⑴10725.37.841+-- 341(2)14510⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）21)322215(313--- （4）（-315）+2+（-1.25）+323+（-243）四、解答题（每题6分，共36分） 1、将下列各数填在相应的集合里。

—3.8，—10，4.3，—∣—720∣，42，0，—（—53）整数集合：{ }，分数集合：{ }， 正数集合：{ }，负数集合：{ }。

2：a ,b ,c 三个数在数轴上所对应的点的位置如图所示：则(1) a ___b ,b ____c .a ___b ,_b ___c .(填“＞”或“＜”） （2）化简：b a -=___ ，c b +＝___ .3、a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，求13822+-+cd b a 的值。

上海六年级下学期期中精选50题（提升版）一．正数和负数（共3小题）1．（2019春•普陀区期中）若收入100元记作+100元，那么﹣100元表示支出100元．【分析】因为收入与支出相反，所以由收入100元记作+100元，可得到﹣100元表示支出100元．【解答】解：若收入100元记作+100元，那么﹣100元表示支出100元．故答案为：支出100元．【点评】此题考查负数的意义，运用负数来描述生活中的实例．2．（2014春•闵行区期中）如果全班某次数学测试的平均成绩为82分，某同学考了85分，记作+3分，得分80分，应记作﹣2分．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：∵平全班某次数学测试的平均成绩为82分，某同学考了85分，记作+3分，∴得分80分，应记作﹣2分．故答案为：﹣2分．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．（2019秋•兰考县期中）某巡警骑摩托车在一条南北大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向北方向为正，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+7，﹣15，+6，﹣16，+4，﹣2（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油a升，这一天共耗油多少升？【分析】（1）由已知，把所有数据相加，如果得数是正数，则A处在岗亭北方，否则在南方．所得数的绝对值就是离岗亭的距离．（2）把所有数据的绝对值相加就是行驶的路程，已知摩托车每行驶1千米耗油a升，那么乘以a 就是一天共耗油的量．【解答】解：（1）根据题意：10+（﹣8）+（+7）+（﹣15）+（+6）+（﹣16）+（+4）+（﹣2）＝﹣14，答：A处在岗亭南方，距离岗亭14千米；（2）由已知，把记录的数据的绝对值相加，即10+8+7+15+6+16+4+2＝68，已知摩托车每行驶1千米耗油a升，所以这一天共耗油，68a升．答：这一天共耗油68a升．【点评】此题考查了学生对正负数意义了理解和掌握，通时运用其意义解答问题．二．数轴（共5小题）4．（2018春•浦东新区期中）在数轴上，如果点A所表示的数是，那么到点A距离等于2个单位的点所表示的数是1或﹣2．【分析】直接根据题意画出数轴，进而分类讨论得出答案．【解答】解：如图所示：到点A距离等于2个单位的点所表示的数是：1或﹣2．故答案为：1或﹣2．【点评】此题主要考查了数轴，正确分类讨论是解题关键．5．（2018春•黄浦区期末）如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为﹣1．【分析】根据题意，结合数轴，求出B对应的数即可．【解答】解：如图，点A，B在数轴上，且A与B的距离是5，点A对应的数为，则点B所对应的数为3﹣5＝﹣1，故答案为：﹣1【点评】此题考查了数轴，弄清题意是解本题的关键．6．（2018春•浦东新区期中）在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．【分析】在数轴上，+3和﹣3到原点0的距离都等于3，据此进行填空即可．【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的有理数是±3．故答案为：±3．【点评】主要考查了数轴，要注意数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个，不要漏掉一种情况．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．7．（2016春•浦东新区期中）数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点共有5个．【分析】根据题意画出数轴，进而得出符合题意的整数点．【解答】解：如图所示：数轴上到原点的距离小于2个长度单位的点中，表示整数的点有：﹣2，﹣1，0，1，2共5个．故答案为：5．【点评】此题主要考查了数轴，根据题意正确在数轴上表示出各数据是解题关键．8．（2012春•金山区校级期中）数轴上的点A，B，C，D依次表示﹣1.2，2，4，﹣3（1）在数轴上标出点A，B，C，D．（2）求下列两点的距离：A与B，A与C，B与C．【分析】（1）在数轴上表示出点A，B，C，D的位置即可；（2）求A与B两点间的距离就是用A点所表示的数减去B点所表示的数的绝对值．同理可以求得A与C的距离，B与C的距离．【解答】解：（1）如图，在数轴上表示了A、B、C、D的位置：；（2）A与B两点间的距离可表示为：|2﹣（﹣1.2）|＝3.7．A与C两点间的距离可表示为：|4﹣（﹣1.2）|＝5.2．B与C两点间的距离可表示为：|4﹣2|＝．【点评】本题考查了数轴和实数，主要考查学生画图能力和计算能力．三．绝对值（共2小题）9．（2019春•浦东新区期中）下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的绝对值不小于它自身B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D．﹣a的绝对值等于a【分析】根据相反数和绝对值的概念进行判断．【解答】解：A、因为正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，所以一个有理数的绝对值不小于它自身，故正确；B、C、若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故错误；D、当a＜0时，﹣a的绝对值等于﹣a，故错误．故选：A．【点评】考查了绝对值，理解相反数和绝对值的概念是解答此题的关键．相反数：符号不同，绝对值相等的两个数互为相反数；绝对值：数轴上，一个数到原点的距离叫做这个数的绝对值．10．（2017春•闵行区校级期中）|a|+|b|＝|a+b|，则a，b关系是（）A．a，b的绝对值相等B．a，b异号C．a+b的和是非负数D．a，b同号或其中至少一个为零【分析】根据绝对值都是非负数，|a|+|b|＝|a+b|，可得答案．【解答】解：∵|a|+|b|＝|a+b|，∴a、b满足的关系是a、b同号或a、b有一个为0，或同时为0，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，绝对值都是非负数，根据绝对值的和等于和的绝对值，得出两数的关系．四．有理数大小比较（共2小题）11．（2017秋•姜堰区期中）比较大小：﹣|﹣5|＜（﹣2）2（填“＞”或“＜”）．【分析】先计算﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣2）2＝4，然后根据正数大于零，负数小于零即可得到它们的大小关系．【解答】解：∵﹣|﹣5|＝﹣5，（﹣2）2＝4，∴﹣|﹣5|＜（﹣2）2．故答案为：＜．【点评】本题考查了有理数的大小比较：，关键是掌握正数大于零，负数小于零；负数的绝对值越大，这个数反而越小．12．（2017春•闵行区校级期中）把下列各点在数轴上表示出来，并将这些点所表示的数从小到大进行排列．A：相反数等于它本身的数；B：向左移动4个单位会与点A重合的数；C：﹣|﹣2|；D：（﹣）2从小到大进行排列为：C＜A＜D＜B．【分析】先在数轴上把各个数表示出来，再按数轴上表示的数，右边的总比左边的大比较即可．【解答】解：∵相反数等于它本身的数是0，向左移动4个单位会与点A重合的数是4，﹣|﹣2|＝﹣2，（﹣）2＝，把各点在数轴上表示如图所示，从小到大进行排列为：C＜A＜D＜B，故答案为：C＜A＜D＜B．【点评】本题考查了数轴和实数，实数的大小比较当知识点，主要培养了学生的动手操作能力和比较能力，注意：在数轴上表示的数，右边的总比左边的大．五．有理数的加法（共1小题）13．（2021秋•廉江市期末）某人用400元购买了8套儿童服装，准备以一定价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：+2，﹣3，+2，+1，﹣2，﹣1，0，﹣2（单位：元）他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？他盈利（或亏损）了多少钱？【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．“正”和“负”相对．他以每套55元的价格出售，售完应得盈利5×8＝40元，要想知道是盈利还是亏损，只要把他所记录的数据相加再与他应得的盈利相加即可，如果是正数，则盈利，是负数则亏损．【解答】解：+2+（﹣3）+2+1+（﹣2）+（﹣1）+0+（﹣2）＝﹣3，（55﹣400÷8）×8+（﹣3）＝37（元）．答：他盈利了37元．【点评】解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．六．有理数的乘法（共1小题）14．（2021春•浦东新区期中）阅读理解题在求两位数乘两位数时，可以用“列竖式”的方法进行速算，例如：你能理解上述三题的解题思路吗？理解了，请完成：如图给出了部分速算过程，可得a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4．【分析】根据表格发现规律：“第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位．“即可得到答案．【解答】解：（1）由题意得，第二行的前两格是两个两位数的十位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第二行的后两格是两个两位数的个位数字相乘得到的结果，积如果是一位数前面补0，第三行的前三格是第一个两位数字的个位数字乘以第二个两位数的十位数字再加上第二个两位数的十位数字乘以第二个两位数的个位数字，如第二个表格：2×8+3×7＝16+21＝37，第四行，同列的两个数相加，如果大于9，进一位，∵64×87＝5568，6×8＝48，4×7＝28，6×7+4×8＝42+32＝74，∴a＝4，b＝8，c＝2，d＝8，e＝7，f＝4，故答案为4，8，2，8，7，4．【点评】本题属于与有理数乘法有关的规律探索题，根据表格发现规律是解决问题的关键．七．有理数的乘方（共3小题）15．（2018春•浦东新区期中）比较大小：﹣|﹣|＜（填“＞”、“＜”或“＝”）．【分析】先计算绝对值和乘方，再根据实数的大小比较即可得．【解答】解：∵﹣|﹣|＝﹣＝﹣、＝﹣＝﹣，∴﹣|﹣|＜，故答案为：＜．【点评】本题主要考查有理数的乘方和绝对值，解题的关键是掌握绝对值的性质及乘方的运算法则、有理数的大小比较．16．（2018春•黄浦区期末）将一张厚度均匀的纸反复对折，对折3次后，折成的纸的厚度为10mm，如果要使折成的厚度为40mm，那么对折的次数为5次．【分析】根据对折规律，对折后的厚度成2的指数次幂变化，写出即可．【解答】解：由题意可知：设一张纸的厚度为xmm，对折1次后，纸的厚度为2×x；对折2次后，纸的厚度为2×2x＝22×x；对折3次后，纸的厚度为2×2×2x＝23×x＝10；解得：x＝1.25，对折n次后，纸的厚度为2×2×2×2×…×2×1.25＝2n×1.25＝40，解得：n＝5．故答案为：5．【点评】本题考查了有理数的乘方的理解，理解对折后厚度变为原来的2倍，有关数据成2的指数幂变化或接近2的指数幂变化是解题的关键．17．（2018春•黄浦区期末）计算：＝﹣．【分析】原式利用乘方的意义计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣，故答案为：﹣【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．八．有理数的混合运算（共5小题）18．（2020春•金山区期中）已知a、b都是正数，规定a2*b2＝，那么*（52*42）＝．【分析】先根据规定计算出52*42＝，据此得*（52*42）＝（）2*（）2，进一步计算即可．【解答】解：52*42＝＝，则*（52*42）＝（）2*（）2＝＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新规定及有理数的混合运算顺序和运算法则．19．（2018春•普陀区期中）现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数，a⊕b＝a+b﹣1，a※b＝a×b﹣1，则8※（3⊕5）＝55．【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解答】解：根据题中的新定义得：原式＝8※7＝56﹣1＝55，故答案为：55【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．（2021春•杨浦区校级期中）计算：（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5；（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2；（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷；（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）．【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题；（2）根据有理数的乘方、有理数的乘除法可以解答本题；（3）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和减法可以解答本题；（4）根据有理数的乘方、乘法分配律可以解答本题．【解答】解：（1）（﹣4）﹣（﹣2）+（﹣9）+3.5＝（﹣4）+2+（﹣9）+3.5＝[（﹣4）+（﹣9）]+（2+3.5）＝（﹣14）+6＝﹣8；（2）（﹣1）÷（0.75）×（﹣1）÷3×（﹣0.5）2＝（﹣1）××（﹣）××＝1××××＝；（3）（﹣3）2﹣（1）3×﹣6÷＝9﹣×﹣6×＝9﹣﹣9＝﹣；（4）（﹣3+﹣）×（﹣62）＝（﹣3+﹣）×（﹣36）＝×（﹣36）﹣3×（﹣36）+×（﹣36）﹣×（﹣36）＝（﹣18）+108+（﹣30）+21＝81．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．21．（2021春•奉贤区期末）计算：﹣32+|﹣5|﹣18×．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣32+|﹣5|﹣18×＝﹣9+5﹣18×＝﹣4﹣2＝﹣6【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．22．（2020春•宝山区期中）在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，求插入的这3个数．【分析】根据在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，可以计算出相邻的两个数的差，然后即可计算出这3个数．【解答】解：在﹣和之间插入3个数，使每相邻两个数的差都相等，∴每两个相邻的数的差为：[﹣（﹣）]÷4＝，∵﹣+＝﹣＝﹣，﹣＝﹣＝﹣，﹣＝﹣＝，∴插入的这3个数为﹣，﹣，．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．九．科学记数法—表示较大的数（共2小题）23．（2021春•奉贤区期中）地球上的海洋面积约为361 000 000km2，用科学记数法表示应为 3.61×108km2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将361 000 000用科学记数法表示为3.61×108．故答案为3.61×108．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．24．（2018春•浦东新区期中）2017年上海迪士尼乐园接待游客超过11000000人次，这个数字用科学记数法表示是 1.1×107人次．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：11000000人次，这个数字用科学记数法表示是1.1×107人次．故答案为：1.1×107．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．一十．方程的解（共1小题）25．（2021春•普陀区期中）在有理数范围内定义一个新的运算法则“*”；当a≥b时，a*b＝a b；当a＜b时，a*b＝ab．根据这个法则，方程4*（4*x）＝256的解是x＝1，3，16．【分析】根据运算法则当a≥b时，a*b＝a b；当a＜b时，a*b＝ab，分类讨论4与x的大小关系求解．【解答】解：由题意得①当x≤4时，4*（4*x）＝4*（4x），当4≥4x时，4*（4x）＝4＝256，解得x＝1．当4＜4x时，4*（4x）＝4x+1＝256，解得x＝3．②当x＞4时，4*（4*x）＝4*（4x）＝16x＝256，解得x＝16．故答案为：1，3，16．【点评】本题考查新定义计算，解题关键是严格按照题干所给运算法则分类讨论运算．一十一．解一元一次方程（共1小题）26．（2020秋•罗湖区校级期末）关于x的方程（k+1）x2+kx﹣2＝0是一元一次方程，则k＝﹣1，方程的解是x＝﹣2．【分析】利用一元一次方程的定义求出k的值，确定出方程的解即可．【解答】解：∵x的方程（k+1）x2+kx﹣2＝0是一元一次方程，∴k+1＝0，即k＝﹣1，方程为﹣x﹣2＝0，解得：x＝﹣2，故答案为：﹣1；x＝﹣2【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．一十二．一元一次方程的应用（共4小题）27．（2020秋•奉化区校级期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事．诗云：今携一壶酒，游春郊外走．逢朋加一倍，入店饮半斗．相逢三处店，饮尽壶中酒．试问能算士：如何知原有？（古代一斗是10升）大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到酒店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉其中的5升酒．按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒．则李白的酒壶中原有升酒．【分析】设壶中原有x升酒，由在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶中的酒可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设壶中原有x升酒，根据题意得：2[2（2x﹣5）﹣5]＝5，解得：x＝．答：壶中原有升酒．故答案为：．【点评】本题考查一元一次方程的应用，理解题意的能力，遇店加一倍，遇到朋友喝一斗，先经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友，又经过酒店，再碰到朋友．也就是，经过酒店三次，碰到朋友三次酒正好没了壶中酒，可列方程求解．28．（2021秋•阳江期末）一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是60千米/小时，卡车的行驶速度是40千米/小时，客车比卡车早2小时经过B地，A、B两地间的路程是多少千米？【分析】设A、B两地间的路程为x千米，根据题意分别求出客车所用时间和卡车所用时间，根据两车时间差为2小时即可列出方程，求出x的值．【解答】解：设A、B两地间的路程为x千米，根据题意得﹣＝2解得x＝240答：A、B两地间的路程是240千米．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用的知识，解答本题的关键是根据两车所用时间之差为2小时列出方程，此题难度不大．29．（2021秋•东平县期末）甲乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开出，每小时行110公里．（1）两车同时开出，背向而行，多少小时后两车相距800公里？（2）两车同时开出，同向而行，出发时快车在慢车的后面，多少小时后两车相距40公里？【分析】（1）先设x小时后两车相距800公里，再根据两车的路程之和加上甲乙两站之间的距离等于800公里，列方程求解；（2）设y小时后两车相距40公里，分两种情况讨论：相遇之前两车相距40公里，相遇后两车相距40公里，分别列方程求解．【解答】解：（1）设x小时后两车相距800公里，依题意得90x+480+110x＝800解得x＝1.6，∴1.6小时后两车相距800公里；（2）设y小时后两车相距40公里，依题意得若相遇之前两车相距40公里，则90y+480﹣110y＝40，解得y＝22，若相遇后两车相距40公里，则110y﹣480﹣90y＝40，解得y＝26，∴22或26小时后两车相距40公里．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题时注意：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答．30．（2021春•上海期中）阅读下面材料并回答问题：点A、B在数轴上分别表示数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设A在原点，如图1，AB＝|b|＝|a ﹣b|；当A、B两点都不在原点时，（1）如图②，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；（2）如图③，点A、B都在原点左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝（﹣b）﹣（﹣a）＝|a﹣b|；（3）如图④，点A、B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（1）回答问题：数轴上表示﹣3和﹣8的两点之间的距离是5．（2）若数轴上表示x和﹣2的两点分别是点A、B，AB＝5，那么x＝3或﹣7．（3）若数轴上点A表示数﹣1，点B表示数7，动点P、Q分别同时从点A、点B出发沿着数轴正方向移动，点P的移动速度是每秒3个单位长度，点Q的移动速度是每秒2个单位长度，求①运动几秒后，点P追上点Q？②运动几秒后，P、Q两点相距3个单位长度？【分析】（1）由点A，B表示的数结合|AB|＝|a﹣b|，即可求出A，B两点间的距离；（2）根据解方程|x+2|＝2，即可得到x的值；（3）①设运动x秒时，点P追上点Q，由点P，Q重合，可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度，分点P在点Q的左侧及点P在点Q的右侧两种情况考虑，由|PQ|＝3，可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵点A表示的数为﹣3，点B表示的数为﹣8，∴|AB|＝|﹣3+8|＝5．故答案为：5；（2）当|AB|＝5时，|x+2|＝5，解得x＝3或﹣7；故答案为：3或﹣7；（3）①设运动x秒时，点P追上点Q，根据题意得：3x﹣2x＝8，解得：x＝8．答：运动8秒后，点P追上点Q．②设运动y秒时，P，Q两点相距3个单位长度．当点P在点Q左侧时，（8+2y）﹣3y＝3，解得：y＝5；当点P在点Q右侧时，3y﹣（8+2y）＝3，解得：y＝11．答：运动5或11秒后，P，Q两点相距3个单位长度．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是：（1）利用两点间的距离公式求出|AB|的值；（2）根据点P表示的数＝速度×时间+出发点表示的数，找出结论；（3）①找准等量关系，正确列出一元一次方程；②分点P在点Q的左侧及点P在点Q的右侧两种情况，找出关于y的一元一次方程．一十三．不等式的性质（共1小题）31．（2021春•普陀区期中）如果a＞b，那么下列结论中，正确的是（）A．a﹣1＞b﹣1B．1﹣a＞1﹣b C．D．﹣2a＞﹣2b【分析】根据不等式的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、a＞b两边都减去1得a﹣1＞b﹣1，故本选项正确；B、a＞b两边都乘以﹣1再加1得1﹣a＜1﹣b，故本选项错误；C、a＞b两边都乘以得，故本选项错误；D、a＞b两边都乘以﹣2得，﹣2a＜﹣2b，故本选项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．一十四．不等式的解集（共1小题）32．（2021春•浦东新区校级期中）已知不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜，求关于x的不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．【分析】根据已知条件，判断出a+b＞0，a＝2b，再求得不等式（a﹣3b）x＞2a﹣b的解集．【解答】解：∵不等式（a+b）x+（2a﹣3b）＜0的解集是x＜，∴x＜﹣，∴﹣＝﹣，解得a＝2b；把a＝2b代入（a﹣3b）x＞2a﹣b得，﹣bx＞3b，∵a+b＞0，a＝2b，∴a＞0，b＞0，∴x＜﹣3．【点评】解答此题学生一定要注意不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．一十五．解一元一次不等式（共8小题）33．（2021春•浦东新区校级期中）已知一元一次方程3x﹣m+1＝2x﹣1的解不大于0，那么m的取值范围是m≤2．【分析】解方程得出x＝m﹣2，再根据解不大于0列出关于m的不等式，解之可得答案．【解答】解：解方程3x﹣m+1＝2x﹣1得x＝m﹣2，根据题意，得：m﹣2≤0，解得m≤2，故答案为：m≤2．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．34．（2021春•上海期中）关于x的方程x﹣＝的解为非负数，则自然数a＝0，1，2．【分析】先求出方程的解，根据已知得出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案．【解答】解：解方程x﹣＝得：x＝，∵关于x的方程x﹣＝的解为非负数，∴≥0，解得：a≤2.5，∴自然数a为0，1，2，故答案为：0，1，2．【点评】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式，能得出关于a 的不等式是解此题的关键．35．（2018春•普陀区期中）当1﹣2m的值不小于3m+2的值时，m的取值范围是．【分析】1﹣2m的值不小于3m+2，应列式为：1﹣2m≥3m+2，解不等式求得m的解集即可．【解答】解：由题意，得1﹣2m≥3m+2，移项得，﹣5m≥1，解得m≤﹣．故答案为m≤﹣．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及不等式的性质．根据题意列出不等式1﹣2m≥3m+2是解题的关键．36．（2018春•普陀区期中）不等式（m﹣3）x＜6的解集是，则m的取值范围是m＜3．【分析】根据不等式的性质3得出关于m的不等式，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵不等式（m﹣3）x＜6的解集是，∴m﹣3＜0，∴m＜3，即m的取值范围是m＜3，故答案为：m＜3．【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，能根据不等式的性质得出关于m的不等式是解此题的关键．37．（2018春•浦东新区期中）如果关于x的不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20的解集完全相同，则它们的解集为x＞4．【分析】根据不等式的解集相同，可得关于a的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：由不等式解得x＞，由5（1﹣x）＜a﹣20解得x＞．由不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20的解集完全相同，得＝．解得a＝5，不等式与关于x的不等式5（1﹣x）＜a﹣20解集为x＞4，故答案为＞4．【点评】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集相同得出关于a的方程式解题关键．38．（2020春•虹口区期中）解不等式：＜【分析】依次去分母、移项、合并同类项、系数化为1即可得．【解答】解：4x﹣7＜6x﹣5，4x﹣6x＜﹣5+7，﹣2x＜2，x＞﹣1．【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．39．（2019春•松江区期中）已知2（a﹣3）＝，求关于x的不等式的解集．【分析】先求出方程的解，把a＝4代入不等式，再求出不等式的解集即可．【解答】解：2（a﹣3）＝，6（a﹣3）＝2+a，6a﹣18＝2+a，5a＝20，a＝4，把a＝4代入不等式得：＞x﹣4，4（x﹣5）＞7x﹣28，4x﹣20＞7x﹣28，4x﹣7x＞﹣28+20，﹣3x＞﹣8，x，即关于x的不等式的解集是x＜．【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能求出a的值是解此题的关键．40．（2018春•黄浦区期末）解不等式≥﹣1，并把解集在数轴上表示出来．【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．【解答】解：3（y﹣3）≥2（2y﹣1）﹣6，3y﹣9≥4y﹣2﹣6，3y﹣4y≥﹣2﹣6+9，﹣y≥1，y≤﹣1，把解集表示在数轴上如下：【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．一十六．一元一次不等式的整数解（共2小题）41．（2020春•虹口区期中）不等式x+5＞3x﹣7的最大整数解是5．【分析】先解不等式求出其解集，从而得出答案．【解答】解：移项，得：x﹣3x＞﹣7﹣5，合并，得：﹣2x＞﹣12，系数化为1，得：x＜6，∴不等式组的最大整数解为5，故答案为：5．【点评】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．42．（2018春•浦东新区期中）解不等式：2x﹣9≤﹣x的非负整数解有4个．【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可得到结论．【解答】解：2x﹣9≤﹣x，2x+x≤9，。

1． 掌握有理数加法法则，并能准确地进行有理数加法运算，能灵活运用加法运算律简化加法运算； 2． 掌握有理数减法法则，并熟练的进行有理数减法运算。

（此环节设计时间在20-30分钟）教法说明：先让学生独立完成几道简单的计算题，再让学生相互间讨论总结以下三个问题中的法则或解题技巧，让其中的一位学生作为代表总结。

问题1：计算下列各题并归纳总结有理数加法法则：31(1)(99.2)(100.8)________(2)(1)_____________443112(3)64______________(4)3(2)____________532311(5)(2)2_____________(6)( 3.2)0______________33-+-=++=-+=+-=-+=-+=参考答案：45(1)200,(2)2,(3)2,(4),(5)0,(6) 3.2156---方法总结：1、同号的两个数相加，取原来的符号，绝对值相加；2、异号的两个数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3、互为相反数的两个数相加，和为0 ；4、任何数与0相加，仍得这个数。

问题2．计算下列两题，要求使用有理数的运算律 （1）()110.1252(2)0.2548++-+- ()110.1252(2)0.2548110.125(2)2(0.25)84110.125(2)2(0.25)84(2)20++-+-=+-++-⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+=解： （加法交换律）（加法结合律）（2）12411()()()43543+-++-+-[][]11214 =()()()443354=0+(1)515+-+-+-+-+=-解：原式方法总结：对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便：1．其中的相反数相加（加法的交换律和结合律）；2．再将正数、负数分别相加（加法的交换律和结合律）；3．熟记常见的分数化小数（小数化分数）如：131357448888、、、、、等；遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。

上海六年级下学期期中精选50题（基础版）一．正数和负数（共3小题）1．（2021春•浦东新区校级期中）如果|2a|＝﹣2a，则a是（）A．0或正数B．负数C．0或负数D．正数【分析】根据绝对值的性质可求解．【解答】解：∵|2a|＝﹣2a，|2a|≥0，∴﹣2a≥0，∴a≤0，即a为0或负数，故选：C．【点评】本题主要考查绝对值，正数与负数，掌握绝对的孩子的非负性是解题的关键．2．（2021春•嘉定区期中）若将“向东走50米”记作“+50米”，则“向西走80米”可记为﹣80米．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：“正”和“负”相对，∵向东走50米，记为+50米，∴向西走80米，记作﹣80米．故答案为：﹣80．【点评】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．3．（2021秋•博罗县期中）如果把“增加16%”记作“16%”，那么“﹣8%”表示“减少8%”．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【解答】解：如果把“增加16%”记作“16%”，那么“﹣8%”表示“减少8%”．故答案为：﹣8%．【点评】考查用负数表示相反意义的量，理解正负数的意义是解决问题的前提．二．有理数（共2小题）4．（2021春•普陀区期中）在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数的个数是（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据非负数包括正数和0判断即可．【解答】解：在15，﹣0.23，0，5，﹣0.65，2，﹣，316%这几个数中，非负数有15，0，5，2，316%，共5个．故选：B．【点评】本题考查了有理数的分类，正确掌握有理数的分类标准是解题的关键．5．（2021春•松北区期末）下列说法正确的是（）A．整数就是正整数和负整数B．负整数的相反数就是非负整数C．有理数中不是负数就是正数D．零是自然数，但不是正整数【分析】按照有理数的分类填写：有理数．【解答】解：A、整数就是正整数和负整数，还有0，故本选项错误；B、负整数的相反数就是正整数，故本选项错误；C、有理数中不是负数就是正数，还有0，故本选项错误；D、零是自然数，但不是正整数，本选项正确；故选：D．【点评】认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．三．数轴（共2小题）6．（2021秋•徐州期末）有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则a+b的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．大于b 【分析】根据数轴上点的位置关系，可得a、b的大小，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：由有理数a、b在数轴上的位置，得a＜0，b＞0，|a|＜|b|．由异号两数相加取绝对值较大的加数的符号，得a+b＞0，故选：A．【点评】本题考查了数轴，利用数轴上点的位置关系确定数的大小是解题关键，又利用了有理数的加法．7．（2021春•上海期中）在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是±4.5．【分析】根据数轴上两点间距离的定义进行解答即可．【解答】解：在数轴上，到原点的距离等于4.5个单位长度的点所表示的有理数是±4.5．故答案为：±4.5．【点评】本题考查的是数轴上两点间距离的定义，解答此题时要注意在数轴上到原点距离相等的点有两个，这两个数互为相反数．四．相反数（共1小题）8．（2019春•奉贤区期末）﹣1的相反数是1．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣1的相反数是1．故答案为：1．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．五．绝对值（共2小题）9．（2021•松北区二模）﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣C．﹣5D．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数是，可得答案．【解答】解：﹣5的绝对值是5．故选：A．【点评】本题考查了绝对值，利用了绝对值的性质是解题关键．10．（2021秋•鼓楼区校级期中）若|m﹣1|+m＝1，则m一定（）A．大于1B．小于1C．不小于1D．不大于1【分析】把|m﹣1|+m＝1，转化为|m﹣1|＝1﹣m，再根据绝对值的性质判断即可．【解答】解：∵|m﹣1|+m＝1，∴|m﹣1|＝1﹣m，∴m﹣1≤0，∴m≤1，故选：D．【点评】本题考查了绝对值，通过转化得到|m﹣1|＝1﹣m是解题的关键．六．有理数大小比较（共3小题）11．（2021春•青浦区期中）如果a、b、c都是有理数，并且a＞b＞c，那么下列式子中正确的是（）A．ab＞ac B．a+b＞b+c C．a﹣b＞b﹣c D．＞【分析】分别利用不等式的性质分析进而得出答案．【解答】解：A、当0＞a＞b＞c时，则ab＜ac，故此选项错误；B、∵a＞b＞c，∴a+b＞b+c，正确；C、由a＞b＞c，a﹣b＞b﹣c不一定成立，当c为负数，a，b为正数，不成立，故此选项错误；D、当c为负数，a，b为正数，＞不成立，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了不等式的性质应用，正确掌握不等式的性质是解题关键．12．（2021春•嘉定区期中）在（﹣1）5、（﹣1）4、﹣23、（﹣3）2这四个数中，最大的数比最小的数大（）A．8B．9C．10D．17【分析】首先根据有理数大小比较的方法，判断出（﹣1）5，（﹣1）4，﹣23，（﹣3）2这四个数中，最大的数、最小的数各是多少；然后用最大的数减去最小的数即可．【解答】解：（﹣1）5＝﹣1，（﹣1）4＝1，﹣23＝﹣8，（﹣3）2＝9，∵9＞1＞﹣1＞﹣8，∴最大的数比最小的数要大：9﹣（﹣8）＝17．故选：D．【点评】此题主要考查了有理数大小比较，有理数的乘方，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．13．（2021秋•木兰县期末）比较大小：＞（填“＞”或“＜”）【分析】先把各数化为小数的形式，再根据负数比较大小的法则进行比较即可．【解答】解：∵﹣＝﹣0.75＜0，﹣＝﹣0.8＜0，∵|﹣0.75|＝0.75，|﹣0.8|＝0.8，0.75＜0.8，∴﹣0.75＞﹣0.8，∴﹣＞﹣．故答案为：＞．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，熟知负数比较大小的法则是解答此题的关键．七．有理数的加法（共2小题）14．（2021秋•港南区期中）春节假期期间某一天早晨的气温是﹣3℃，中午上升了8℃，则中午的气温是（）A．﹣5℃B．5℃C．11℃D．﹣11℃【分析】根据题意可知，中午的气温是﹣3+8，然后计算即可．【解答】解：由题意可得，中午的气温是：﹣3+8＝8﹣3＝5（℃），故选：B．【点评】本题考查有理数的加法，解答本题的关键是明确有理数加法的计算方法．15．（2019秋•嘉陵区期末）计算＝﹣．【分析】根据绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值计算即可．【解答】解：＝﹣（﹣）＝﹣．故答案为：﹣．【点评】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．八．有理数的减法（共2小题）16．（2021春•嘉定区期中）计算：1﹣（﹣）＝1．【分析】根据有理数的减法法则计算即可．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为：．【点评】本题考查了有理数的减法，掌握减法法则进行计算是解题的关键．17．（2021春•青浦区期中）计算：．【分析】根据有理数的运算顺序计算即可．【解答】解：原式＝3.73﹣2+（﹣2.63）﹣＝1.1﹣3＝﹣1.9．【点评】此题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．九．有理数的乘法（共2小题）18．（2021春•青浦区期中）一个有理数和它的相反数之积（）A．一定为正数B．一定为负数C．一定为非负数D．一定为非正数【分析】根据相反数的意义，有理数的乘法，可得答案．【解答】解：a＝0时有理数和它的相反数之积为零，a≠0时a•（﹣a）＝﹣a2，故选：D．【点评】本题考查了有理数的乘法，利用有理数的乘法是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．19．（2020春•宝山区期中）计算：（﹣）×15×（﹣1）＝15．【分析】根据有理数乘法法则和乘法结合律进行计算即可．【解答】解：原式＝×15×＝（×）×15＝1×15＝15，故答案为：15．【点评】本题考查有理数乘法，乘法结合律，掌握有理数乘法的计算方法是正确计算的前提．一十．有理数的除法（共2小题）20．（2021春•青浦区期中）计算：．【分析】原式从左到右依次计算即可求出值．【解答】解：原式＝﹣÷（﹣）×＝﹣×（﹣）×＝．【点评】此题考查了有理数的除法，以及有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．（2021秋•靖西市期中）计算（﹣1）÷3×（﹣）的结果是（）A．﹣1B．1C．D．9【分析】根据有理数乘除法的计算法则进行计算即可．【解答】解：原式＝1÷3×＝×＝，故选：C．【点评】本题考查有理数的乘除法，掌握有理数乘除法的计算方法是正确计算的前提．一十一．有理数的乘方（共3小题）22．（2021春•浦东新区校级期中）在有理数：﹣（﹣2），﹣|﹣|，（﹣5）2，（﹣1）5，﹣22中，负数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】根据乘方，相反数，绝对值的定义化简各数，再根据负数的特征可求解．【解答】解：∵﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣|＝，（﹣5）2＝25，（﹣1）5＝﹣1，﹣22＝﹣4，∴负数有﹣|﹣|，（﹣1）5，﹣22，共3个，故选：B．【点评】本题主要考查正数与负数，相反数，绝对值，有理数的乘方，正确化简各数是解题的关键．23．（2021春•杨浦区期中）若x4＝625，则x＝±5．【分析】找到4次方为625的数即可．【解答】解：∵（±5）4＝625，∴x＝±5，故答案为：±5．【点评】考查了有理数的乘方的知识，解题的关键是找到确定x的值有两个，难度不大．24．（2021春•台山市期末）如果a3＝﹣27，则a＝﹣3．【分析】根据有理数的乘方可以得到a＝﹣3．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴a＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方的运算方法．一十二．有理数的混合运算（共7小题）25．（2021秋•双辽市期末）计算：﹣23+（﹣）3＝﹣8．【分析】先算乘方，再算加法即可求解．【解答】解：﹣23+（﹣）3＝﹣8﹣＝﹣8．故答案为：﹣8．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．26．（2021春•普陀区期中）计算：＝﹣．【分析】根据有理数的乘方、有理数的加法可以解答本题．【解答】解：＝﹣+＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．27．（2021秋•庆阳期末）计算：．【分析】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解答】解：＝﹣9+×[2+（﹣8）]﹣3×（﹣4）＝﹣9+×（﹣6）+12＝﹣9+（﹣4）+12＝﹣1．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．28．（2021春•嘉定区期中）计算：（﹣12.5）×（﹣8）﹣（1+﹣）×（﹣21）．【分析】先算乘法，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算；注意乘法分配律的灵活运用．【解答】解：（﹣12.5）×（﹣8）﹣（1+﹣）×（﹣21）＝100+21﹣×（﹣21）+×（﹣21）＝100+21+7﹣3＝125．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．29．（2021春•嘉定区期中）计算：﹣33÷﹣（﹣）4÷|﹣|．【分析】先算乘方，再算除法，最后算减法；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算．【解答】解：﹣33÷﹣（﹣）4÷|﹣|＝﹣27÷﹣÷＝﹣﹣＝﹣12．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．30．（2021春•青浦区期中）计算：．【分析】根据乘法分配律可以解答本题．【解答】解：＝×（﹣1.2）﹣×（﹣1.2）+1×（﹣1.2）＝﹣0.9+1.4+（﹣1.2）＝﹣0.7．【点评】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．31．（2021春•奉贤区期中）计算：．【分析】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．注意乘法分配律的灵活运用．【解答】解：＝﹣1﹣（2﹣9）﹣×24﹣×24+×24＝﹣1+7﹣33﹣56+90＝7．【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．一十三．科学记数法—表示较大的数（共2小题）32．（2021春•嘉定区期中）用科学记数法表示：﹣5107000＝﹣5.107×106．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：﹣5107000＝﹣5.107×106．故答案为：﹣5.107×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．33．（2021春•普陀区期中）据统计，2013年上海用于环境保护的资金约为60800000000元，数据“60800000000”用科学记数法可表示为 6.08×1010．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答】解：将60800000000用科学记数法表示为6.08×1010．故答案为：6.08×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．一十四．方程的解（共1小题）34．（2021秋•宁远县期末）已知x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，则k＝2．【分析】根据方程解的概念，将x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，求k的值即可．【解答】解：∵x＝﹣3是关于x的方程k（x+4）＝x+5的解，∴把x＝﹣3代入方程k（x+4）＝x+5，∴k＝2，故答案为2．【点评】本题考查了方程解的概念，将为指数的值代入即可得出关于k的方程．一十五．一元一次方程的定义（共1小题）35．（2021春•杨浦区期中）下列各方程中，属于一元一次方程的是（）A．+x＝1B．3x+2y＝9C．x＝0D．π+2＝2+π【分析】利用一元一次方程的定义进行解答即可．【解答】解：A、含有分式，不是一元一次方程，故此选项不合题意；B、含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；C、是一元一次方程，故此选项符合题意；D、没有未知数，不是一元一次方程，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了一元一次方程定义，关键是掌握一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．一十六．解一元一次方程（共4小题）36．（2021春•内江期末）关于x的方程﹣x＝+1变形正确的是（）A．﹣x＝+1B．﹣x＝+1C．﹣10x＝+100D．﹣100x＝+100【分析】根据等式的基本性质进行变形即可．【解答】解：﹣x＝+1，＝即，故选：B．【点评】本题考查一元一次方程的解法，熟练掌握等式的基本性质是解答本题的关键．37．（2021秋•浦东新区校级期中）解方程：x+＝1.2．【分析】方程移项，合并，即可求出解．【解答】解：移项得：x＝1.2﹣，合并得：x＝．【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．38．（2021秋•杨浦区期中）解方程：．【分析】方程整理后，移项，计算即可求出解．【解答】解：方程整理得：x﹣＝×，即x﹣＝，移项得：x＝+，解得：x＝8．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1，求出解．39．（2021秋•湘潭县期末）在解方程﹣＝1时，去分母正确的是（）A．3（x﹣1）﹣4x+3＝1B．3x﹣1﹣4x+3＝6C．3x﹣1﹣4x+3＝1D．3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6【分析】方程两边乘以6去分母得到结果，即可作出判断．【解答】解：去分母得：3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6，故选：D．【点评】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意右边的1不要忘了乘以6．一十七．由实际问题抽象出一元一次方程（共2小题）40．（2021秋•朝天区期末）有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排住3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？设在学校住宿的学生有x人，则可列方程（）A．B．C．D．【分析】设在学校住宿的学生有x人，根据学校宿舍间数一定，列出一元一次方程即可．【解答】解：设在学校住宿的学生有x人，每间宿舍安排住4人，需要宿舍间，每间宿舍安排住3人，100人没有床位，则x﹣100人住上宿舍，宿舍房间为间，即+5＝，故选：A．【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是根据宿舍间数一定列方程，此题难度不大．41．（2021春•嘉定区期中）一项工程，甲单独做需要3天完成，乙单独做需要6天完成，两人合作x天可完成，则根据题意可列方程为（）A．3x+6x＝1B．x＝1C．（+）x＝1D．x＝x+1【分析】根据甲单独做需要3天完成，乙单独做需要6天完成，可以得出甲每天做整个工程的，乙每天做整个工程的，根据文字表述得到题目中的相等关系是：甲完成的部分+两人共同完成的部分＝1．【解答】解：根据题意得，（+）x＝1，故选：C．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程式，解决这类问题关键是找到等量关系．一十八．一元一次方程的应用（共5小题）42．（2021春•奉贤区期中）某商店实行“买四斤送一斤”促销活动，“买四斤送一斤”相当于打（）折销售．A．二B．二五C．七五D．八【分析】根据题意，原来可以买4斤的价格，促销时相当于买5斤，据此求出相当于打几折的销售．【解答】解：4÷（4+1）＝4÷5＝80%，∴买四送一相当于打八折．故选：D．【点评】此题主要考查百分数的实际应用，解此题关键是明确“折”的含义和求法．43．（2021秋•定西期末）甲每天加工零件80个，甲加工3天后，乙也加入加工同一种零件，再经过5天，两人共加工这种零件1120个，问乙每天加工这种零件多少个？【分析】直接利用甲加工的零件+乙加工的零件＝1120，进而得出等式求出答案．【解答】解：设乙每天加工这种零件x个，根据题意可得：80×3+5（80+x）＝1120，解得：x＝96，答：乙每天加工这种零件96个．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出甲乙加工的零件数是解题关键．44．（2021秋•长宁区校级期中）修一条路，第一天修了全长的，第二天修了剩下的，第三天比第一天少修了全长的，还剩30米没完成，这条路全长多少米？【分析】设这条路全长x米，根据题意表示出每天修了多少米，由还剩30米没完成列出方程求解即可．【解答】解：设这条路全长x米，根据题意得：x+×（1﹣）x+（﹣）x＝x﹣30，解得：x＝225，答：这条路全长225米．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．45．（2021秋•黄浦区期中）在地铁人民广场站，②号线每4分钟有一列车开出，⑧号线每6分钟有一列车开出．在上午9：00恰好②号线和⑧号线同时有车从该车站发车，那么到正午12：00时，恰有多少次②号线与⑧号线在该站同时发车？【分析】根据题意和题目中的数据可知，每12分钟两辆车同时发车，要注意开始的时候，也就是时间为9：00时，第一次一起发车，然后即可列出相应的方程，求解即可．【解答】解：设到正午12：00时，恰有x次②号线与⑧号线在该站同时发车，∵4和6的最小公倍数是12，∴12（x﹣1）＝（12﹣9）×60，解得x＝16，答：到正午12：00时，恰有16次②号线与⑧号线在该站同时发车．【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程．46．（2021秋•黄浦区期中）为积极响应“文明城区”创建工作，某校六年级学生组建了一支“垃圾分类”志愿者服务队．报名时男生人数是女生人数的，活动时又有3名男生加入，同时有3名女生有事离开，此时男生人数是女生人数的，那么原来报名时志愿者服务队中男生、女生各有多少人？【分析】设原来报名时志愿者服务队中有女生x人，则有男生x人，而男生增加3人、女生减少3人时，男生人数为女生人数的，根据这一数量关系列方程求出x的值即可．【解答】解：设原来报名时志愿者服务队中有女生x人，则有男生x人，根据题意得x+3＝（x﹣3），解得x＝63，所以×63＝42（人），答：原来报名时志愿者服务队中有男生42人、女生63人．【点评】此题考查解一元一次方程、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解题的关键是正确理解后来人数的变化及男生人数为女生人数的的含义．一十九．不等式的性质（共2小题）47．（2021春•奉贤区期中）如果有理数a＜b，那么下列各式中，不一定成立的是（）A．4﹣a＞4﹣b B．2a＜2b C．a2＜ab D．a﹣3＜b﹣1【分析】根据a＞b，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．【解答】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴4﹣a＞4﹣b，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴2a＜2b，∴选项B不符合题意；∵a＜b，∴a2＜ab（a≠0），或a2＝ab（a＝0），∴选项C符合题意；∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣1，∴选项D不符合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．48．（2021春•饶平县校级期末）若a＜b，则下列各式一定成立的是（）A．ac＜bc B．C．﹣a＜﹣b D．2﹣a＞2﹣b【分析】利用不等式的基本性质判断即可．【解答】解：A、因为a＜b，所以ac＜bc（c＞0），故本选项不合题意；B、因为a＜b，所以，故本选项不合题意；C、因为a＜b，所以﹣a＞﹣b，故本选项不合题意；D、因为a＜b，所以﹣a＞﹣b，所以2﹣a＞2﹣b，故本选项符合题意．故选：D．【点评】此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．二十．一元一次不等式的定义（共1小题）49．（2021春•浦东新区期中）下列不等式中，是一元一次不等式的是（）A．x﹣y＞2B．x＜8C．3＞2D．x2＞x【分析】根据一元一次不等式的定义，只要含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式就可以．【解答】解：A、不等式中含有两个未知数，不符合题意；B、符合一元一次不等式的定义，故符合题意；C、没有未知数，不符合题意；D、未知数的最高次数是2，不是1，故不符合题意．故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式的定义，掌握其定义是解决此题关键．二十一．一元一次不等式的整数解（共1小题）50．（2021春•浦东新区期中）不等式3x﹣4≥4+2（x﹣2）的最小整数解是（）A．﹣4B．3C．4D．5【分析】先求出不等式解集，即可求解．【解答】解：不等式3x﹣4≥4+2（x﹣2）的解集是x≥4，因而最小整数解是4．故选：C．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法，正确解不等式，求出解集是解决本题的关键．。