北师大版九年级(上) 中考题同步试卷：1.1 你能证明它们吗(04)

证明二1、你能证明它吗？（1）三角形全等的性质及判定全等三角形的对应边相等，对应角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性质及推论性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）推论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即“三线合一”）（3）等边三角形的性质及判定定理性质定理：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60度；等边三角形的三条边都满足“三线合一”的性质；等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

判定定理：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

或者三个角都相等的三角形是等边三角形。

（4）含30度的直角三角形的边的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

2、直角三角形（1）勾股定理及其逆定理定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（2）命题包括已知和结论两部分；逆命题是将倒是的已知和结论交换；正确的逆命题就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（HL）3、线段的垂直平分线（1）线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

判定：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

（2）三角形三边的垂直平分线的性质三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

（3）如何用尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线。

4、角平分线（1）角平分线的性质及判定定理性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；判定：在一个角的内部，且到角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）一、选择题（共9小题）1．在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A、B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM的延长线与x轴交于点N（n，0），如图3，当m＝时，n的值为（）A．4﹣2B．2﹣4C．﹣D．2．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（）A．B．C．D．3．若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似．如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA：O1A1＝k（k为不等于0的常数）．那么下面四个结论：①∠AOB＝∠A1O1B1；②△AOB∽△A1O1B1；③＝k；④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2．成立的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4B．9：16C．9：1D．3：15．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015．若h1＝1，则h2015的值为（）A．B．C．1﹣D．2﹣6．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD 于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A．B．C．1D．8．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝9．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH 上．若AB＝5，BG＝3，则△GFH的面积为何？（）A．10B．11C．D．二、填空题（共10小题）10．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则BC的长是．11．如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC＝2，则EF的长是．12．已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3（如图所示），以此类推…．若A1C1＝2，且点A，D2，D3，…，D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是．13．如图，在△ABC中，DE∥BC，分别交AB，AC于点D、E．若AD＝3，DB＝2，BC＝6，则DE的长为．14．如图，菱形ABCD的边长为1，直线l过点C，交AB的延长线于M，交AD的延长线于N，则+＝．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，，DE＝6，则BC的长是．16．如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C，AB＝6，BD＝4，则CD的长为．17．如图，在矩形ABCD中，BC＝AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：①∠AEB＝∠AEH；②DH＝2EH；③HO＝AE；④BC﹣BF＝EH其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）．18．设△ABC的面积为1，如图①，将边BC、AC分别2等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB的面积记为S1；如图②将边BC、AC分别3等分，BE1、AD1相交于点O，△AOB 的面积记为S2；…，依此类推，则S n可表示为．（用含n的代数式表示，其中n 为正整数）19．如图，正方形ABCB1中，AB＝1．AB与直线l的夹角为30°，延长CB1交直线l于点A1，作正方形A1B1C1B2，延长C1B2交直线l于点A2，作正方形A2B2C2B3，延长C2B3交直线l于点A3，作正方形A3B3C3B4，…，依此规律，则A2014A2015＝．三、解答题（共11小题）20．如图，已知AD是△ABC的角平分线，⊙O经过A、B、D三点．过点B作BE∥AD，交⊙O于点E，连接ED（1）求证：ED∥AC；（2）若BD＝2CD，设△EBD的面积为S1，△ADC的面积为S2，且S12﹣16S2+4＝0，求△ABC的面积．21．如图，⊙O的半径为5，点P在⊙O外，PB交⊙O于A、B两点，PC交⊙O于D、C 两点．（1）求证：P A•PB＝PD•PC；（2）若P A＝，AB＝，PD＝DC+2，求点O到PC的距离．22．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EF A；（2）若AB＝12，BM＝5，求DE的长．23．如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB＝90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E．（1）若＝，AE＝2，求EC的长；（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F，C，G为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P．问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由．24．如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM＝DN，连接MN交BD延长线于点E．（1）求证：BD+2DE＝BM．（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD＝1：2，且CM ＝2，则线段DG＝．25．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD＝3，AB＝5，求的值．26．在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB＝90°，OA＝OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′＝BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB＝θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB＝θ是否成立？请说明理由．27．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．28．如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝．（1）求CD边的长；（2）如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q（点Q运动到点B停止）．设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．29．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝．（1）求证：△ACD∽△CBD；（2）求∠ACB的大小．30．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：BE＝CE；（2）若BD＝2，BE＝3，求AC的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（01）参考答案一、选择题（共9小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．D；6．C；7．C；8．C；9．D；二、填空题（共10小题）10．6；11．5；12．；13．3.6；14．1；15．18；16．5；17．①③；18．；19．2（）2014；三、解答题（共11小题）20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）一、选择题（共15小题）1．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于（）A．B．C．D．2．如图，∠ABD＝∠BDC＝90°，∠A＝∠CBD，AB＝3，BD＝2，则CD的长为（）A．B．C．2D．33．如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF＝DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED 的值为（）A．1：3B．2：3C．1：4D．2：54．如图，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．5．如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，若BG＝，则△CEF的面积是（）A．B．C．D．6．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE 并延长交DC于点F，则DF：FC＝（）A．1：4B．1：3C．2：3D．1：27．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，∠ABC＝45°，AD＝CD，CE 平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF＝AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM＝AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．如图，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，AB＝a，BD＝b，CD ＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是（）A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae9．如图，将一张直角三角形纸片沿虚线剪成甲、乙、丙三块，其中甲、丙为梯形，乙为三角形．根据图中标示的边长数据，比较甲、乙、丙的面积大小，下列判断何者正确？（）A．甲＞乙，乙＞丙B．甲＞乙，乙＜丙C．甲＜乙，乙＞丙D．甲＜乙，乙＜丙10．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC的中点，则△AMN的面积与四边形MBCN 的面积比为（）A．B．C．D．11．直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，把一块含有45°角的直角三角形如图放置，顶点A，B，C恰好分别落在三条直线上，AC与直线l2交于点D，则线段BD的长度为（）A．B．C．D．12．如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB＝4，AD＝2．∠DAC＝∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．a13．如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，△DEF的面积为1，则△BCF的面积为（）A．1B．2C．3D．414．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG⊥AE于G，BG＝，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．815．如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD 相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC 于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN＝AC；③PE2+PF2＝PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题（共9小题）16．如图，AC⊥CD，垂足为点C，BD⊥CD，垂足为点D，AB与CD交于点O．若AC＝1，BD＝2，CD＝4，则AB＝．17．在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE：EC＝1：2，则BF：BE＝．18．如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的两点，且，若△AEF的面积为2，则四边形EBCF的面积为．19．如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．20．如图，正方形ABCD的边长为4，E、F分别是BC、CD上的两个动点，且AE⊥EF．则AF的最小值是．21．如图，在边长为10cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为cm．22．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，四边形CA1B1C1、A1A2B2C2、A2A3B3C3…都是正方形，且A1、A2、A3…在AC边上，B1、B2、B3…在AB边上．则线段B n∁n的长用含n的代数式表示为．（n为正整数）23．如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE＝4：3，且BF＝2，则DF＝..24．如图，AB是⊙O的直径，，AB＝5，BD＝4，则sin∠ECB＝．三、解答题（共6小题）25．如图l，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连结FE，FC，BE，BF．（1）求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．26．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2＝AB•AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD＝4，AB＝6，求的值．27．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究∠ABC 与∠ACN的数量关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．（1）若以C、E、F为顶点的三角形与以A、B、C为顶点的三角形相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为；（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△CBA相似吗？请说明理由．29．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，正方形DEFG的顶点D在边AC上，点E、F 在边AB上，点G在边BC上．（1）求证：△ADE≌△BGF；（2）若正方形DEFG的面积为16cm2，求AC的长．30．如图，在△ABC中，以BC为直径作半圆O，交AB于点D，交AC于点E，AD＝AE．（1）求证：AB＝AC（2）若BD＝4，BO＝2，求AD的长．北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（06）参考答案一、选择题（共15小题）1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．D；7．D；8．A；9．D；10．B；11．A；12．C；13．D；14．D；15．B；二、填空题（共9小题）16．5；17．3：5；18．16；19．；20．5；21．；22．（）n；23．；24．；三、解答题（共6小题）25．；26．；27．；28．；1.8或2.5；29．；30．；北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）一、选择题（共1小题）1．如图，在△ABC中∠A＝60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM＝PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC＝45°时，BN＝PC．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共9小题）2．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，则AE的长为．3．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝，BP＝，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段DC，线段BC于点E，F，连接EF，则tan∠PEF＝．4．劳技课上小敏拿出了一个腰长为8厘米，底边为6厘米的等腰三角形，她想用这个等腰三角形加工成一个边长比是1：2的平行四边形，平行四边形的一个内角恰好是这个等腰三角形的底角，平行四边形的其它顶点均在三角形的边上，则这个平行四边形的较短的边长为．5．梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝3，CD＝8，点E是对角线AC上一点，连接DE并延长交直线AB于点F，若＝2，则＝．6．正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是射线AB上一点，点F是直线AD上一点，BE＝DF，连接EF交线段BD于点G，交AO于点H．若AB＝3，AG＝，则线段EH的长为．7．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为．8．如图所示，在△ABC中，BC＝6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ＝CE时，EP+BP＝．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG＝4cm，则EF+CF的长为cm．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上一点，且满足＝，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF＝2，AF＝3．给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan∠E＝；④S△DEF＝4．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．三、解答题（共7小题）11．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD、AD于点E、F，连接BF．（1）求证：△DEC∽△FDC；（2）当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．12．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB＝1：2，EF⊥CB，求证：EF＝CD．（2）如图2，AC：AB＝1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．13．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．14．已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．15．将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°．（1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；（2）在图②中，若AP1＝2，则CQ等于多少？（3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B时，求△P1BE 面积的最大值．16．如图，AD是△ABC的角平分线，以点C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，EF：FD＝4：3．（1）求证：点F是AD的中点；（2）求cos∠AED的值；（3）如果BD＝10，求半径CD的长．17．如图，点B在线段AC上，点D、E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC．（1）求证：AC＝AD+CE；（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE 于点Q；（i）当点P与A、B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）北师大新版九年级（上）中考题同步试卷：4.5 相似三角形判定定理的证明（07）参考答案一、选择题（共1小题）1．D；二、填空题（共9小题）2．7；3．；4．2.4cm或cm；5．或；6．或；7．（2，4﹣2）；8．12；9．5；10．①②④；三、解答题（共7小题）11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；。

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1。

1你能证明它们吗？(1）教学目标:1、了解作为证明基础的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式;2、经历“探索—发现—猜想—证明”的过程,能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理. 3。

培养学生合作交流的意识和严谨的学习态度。

教学重点：证明的基本步骤和书写格式。

教学难点:能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理。

教法及学法指导观察回顾——合作交流课前准备:等腰三角形纸片、课件教学过程：一、创设情境，导入新课师：在证明（一）一章中，我们已经证明了平行线的一些结论，掌握了一些公理和已经证明的定理，本节课涉及到哪些公理 .生：小组内相互检查预习情况公理：； (SSS）公理： ; （SAS）公理: ；（ASA）公理: .师：(板书)相关公理及定理如下：公理三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS）公理两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（SAS）公理两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（ASA）公理全等三角形的对应边相等、对应角相等.师：请同学们讨论，能够从上边的公理证明出下面的推论吗?推论两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等.如何结合图形写出已知，求证？生：各自写出自己的答案后小组内交流已知：如下图，△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF求证:△ABC≌△DEFDAB C证明：在△ABC和△DEF中∵∠C=180°—∠A—∠B，∠F=180°-∠D—∠E（三角形内角和定理）∠A=∠D，∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F（等量代换）∵BC=EF,∠B=∠E∴△ABC≌△DEF(ASA)二、探究等腰三角形的性质师：还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（回顾、讨论）生:口答定理：等腰三角形的两个底角相等。

1.1你能证明它们吗学习目标、重点、难点【学习目标】1、 等腰三角形的性质定理及推论；2、 等腰三角形的判定定理及推论.【重点难点】1、 等腰三角形的性质定理及推论；2、 等腰三角形的判定定理及推论.3、 反证法知识概览图新课导引如下图所示，很多古代建筑以及我们居住的一些房屋的屋顶都是人字形梁架． 【问题探究】上面叙述的人字形梁架是由哪些图形组成的呢?它们有哪些性质?教材精华知识点1 等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(简述为等边对等角)． 用符号语言表示为：如图1－1所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ． 定理的证明：取BC 的中点D ，连接AD ．∵(),()()AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩已知中点定义，公共边，∴△ABD ≌△ACD (SSS)．∴∠B ＝∠C (全等三角形的对应角相等)．定理的作用：证明同一个三角形中的两个内角相等．拓展 等腰三角形还具有其他性质．(1)等腰直角三角形的两个底角相等，都等于45°．(2)等腰三角形的底角只能是锐角，不能是钝角或直角，但顶角可以是锐角、钝角或直角．(3)等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b ＜a ． (4)等腰三角形的三角关系：设顶角为∠A ，底角为∠B ，∠C ，则∠A ＝180°－∠B －∠C ＝180°－2∠B ＝180°－2∠C ．知识点2 等腰三角形的性质定理的推论推论1：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”)．(1)用符号语言表示为：如图1－3所示，①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，∴AD ⊥BC ．BD ＝DC ；②在△ABC 中，∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴∠1＝∠2，BD ＝DC ；③在△ABC 中，∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴∠1＝∠2，AD ⊥BC ．(2)推论1的证明．①在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD (SAS)．∴BD ＝DC ，∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∴AD ⊥BC ．②在△ABC 中，∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．又AD＝AD，∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)．∴∠1＝∠2，BD＝CD．③在△ABC中，∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，∴△ABD≌△ACD(SSS)∴∠1＝∠2，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC.(3)推论1的作用：证明角相等、线段相等或垂直.推论2：等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°．(1)用符号语言表示为：如图1－4所示，在△ABC中，∵AB＝BC＝AC，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．(2)推论2的证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C．又∵∠A+∠B+∠C＝180°，即3∠A＝180°，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°．知识点3 等腰三角形的判定定理等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形(简述为等角对等边)．用符号语言表示为：如图1－6所示，在△ABC中，∵∠B＝∠C，∴AB＝AC判定定理的证明：如图1－6所示．过A作AD⊥BC于D，则∠ADB＝∠ADC＝90°．∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC．√判定定理的作用：证明同一个三角形中的边相等．拓展如图1－6所示，在△ABC中，(1)如果AD ⊥BC ，∠1＝∠2，那么AB ＝AC ；(2)如果AD ⊥BC ，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ；(3)如果∠1－∠2，BD ＝DC ，那么AB ＝AC ．知识点4 等腰三角形的判定定理的推论推论1．(1)推论1的内容：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∠A ＝60°(或∠B ＝60°或∠C ＝60°)，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论1的证明：在△ABC 中，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．又∵∠A ＝60°，∴∠B ＝∠C ＝01802A -∠＝60° ∴AB ＝AC ＝BC ．(或∵∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠B ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．或∵∠C ＝60°，∴∠A ＝180°－2∠C ＝60°．∴AB ＝AC ＝BC ．)√推论2．(1)推论2的内容：三个角都相等的三角形是等边三角形．(2)用符号语言表示为：如图1－8所示，在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC ＝BC ．(3)推论2的证明：在△ABC 中，∵∠A ＝∠B ，∴BC ＝AC (等角对等边)．又∵∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (等角对等边)．∴AB ＝AC ＝BC ．(4)推论1和推论2的作用：证明一个三角形是等边三角形．拓展 判定一个三角形是等边三角形主要有以下三种方法：(1)根据等边三角形的定义，证明三条边相等；(2)根据推论1，证明两条边相等，有一个角是60°；(3)根据推论2，证明三个角都相等．√推论3．(1)推论3的内容：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。

一、填空题1、 如图1，若⊿ABE ≅⊿ADC ，则AD = AB ，DC = ；∠D = ∠ ；∠BAE = ∠ ；2、如图2，在△ABC 中，AD ＝DE ，AB ＝BE ，∠A ＝80°则∠DEC ＝ ．3、等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________；4、在等腰三角形中顶角为40°时底角等于_________，一个底角为50°，则顶角等于_________；5、如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根。

二、选择题6、给出下列命题，正确的（ ） ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合； ②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7、满足下列条件的两个三角形一定全等的（ ） A 、腰相等的两个等腰三角形 B 、一个角对应相等的两个等腰三角形 C 、斜边对应相等的两个直角三角形 D 、底相等的两个等腰直角三角形8、已知如图3，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 的度数是（ ）（A ）30°（B ） 36°（C ）45°（D ）54°9、如图4，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36，BD 、CE 分别为∠ABC 与∠ACB 的角平分线，且交于点F ，则图中的等腰三角形有（ ）（A ）6个 （B ）7个 （C ）8个 （D ）9个10、如图5，等边△ABC 中，BD=CE ，AD 与BE 相交于点P ，则∠APE 的度数是（ ） （A ）45°（B ）55° （C ）60°（ D ）75° 三、解答题11、阅读下题及其证明过程：已知：如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，EB=EC ，∠ABE=∠ACE ，求证：∠BAE=∠CAE.证明：在△AEB 和△AEC 中， ⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AE ACE ABE EC EB ∴△AEB ≌△AEC(第一步) ∴∠BAE=∠CAE(第二步)问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程；12、已知：线段a 、h (如图)求作：△ABC ，使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h . 请你用尺规作图，并补全作法 作法：(1)作线段BC= .(2)作 . (3) . (4)连结 .则△ABC 为所求等腰三角形.一、填空题1、等腰三角形底边上的__________，底边上的__________，顶角__________，均把它分成两个全等三角形§1.1.2证明(二)§1.1.1证明(二)2、已知△ABC ，如下左图所示，其中∠B =∠C ，则_______=________. .3、如上中图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AC ，则∠C =__________°;CE ∶EA =__________.4、如上右图，已知AD 是△ABC 的外角平分线，且AD ∥BC ，则∠1__________∠B ， ∠2__________∠C ，△ABC 是__________三角形.5、在△ABC 中，∠A =∠B=21∠C ，则△ABC 是__________三角形. 二、选择题6、如果一个三角形的一个外角是130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍，那么这个三角形是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形7、如下左图，在△ABC 中，AB =AC ，∠C =2∠A ，BD 是∠ABC的平分线，则图中共有等腰三角形（）A.1个B.2个C.3个D.4个8、如上右，△BD C ′是将矩形ABCD ，沿对角线BD 折起得到的，图中（包括实线、虚线图形），共有全等三角形（ ） A.2对 B 、3 对 C.4对 D.5对9、如下左图，在△ABC 中，∠B =∠C =40°，D ，E 是BC 上两点，且∠ADE =∠AED =80°，则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个10、如上右图，已知△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，又DE ∥BC ，交AC 于E ，若DE =4 cm ，AE =5 cm ，则AC 等于（ ）A.5 cmB.4 cmC.9 cmD.1 cm 三、解答题11、已知，如左下图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ，AE =6，求四边形AFDE 的周长.12、如图，DE ∥BC ，CG =GB ，∠1=∠2，求证：△DGE 是等腰三角形.13、.如右图所示，△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，∠A =60°.求证：BD =3AD .一、填空题1、已知，等腰△ABC ，AB =AC ：（1）若AB =BC ，则△ABC 为_________三角形； （2）若∠A =60°，则△ABC 为_______三角形； （3）若∠B =60°，则△ABC 为_______三角形.2、在线段、直角、等腰三角形、直角三角形中，成轴对称图形的是__________.3、底与腰不等的等腰三角形有__________条对称轴，等边三角形有__________条对称轴.请你在图（1）中作出等腰△ABC ，等边△DEF 的对称轴.4、如图上右图，已知△ABC 是等边三角形，AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，AD =DE =6cm 则∠ACD =_____°,AC =______cm,∠DAC =_______°，△ADE 是______三角形.5、如左下图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，如果AB = 8 cm ，则BD =_______cm ，∠BDE =_____°,BE =______cm.§1.1.3证明(二)ECAD CBA 21EAC BDCBAC6、如右上图，Rt △ABC 中，∠A =30°,AB +BC =12 cm ，则AB =__________cm.二、选择题7、下列说法不正确的是 A.等边三角形有三条对称轴 B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线8、下列命题不正确的是 A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形9、在Rt △ABC 中，如右图所示，∠C =90°，∠CAB =60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE =3.8 cm ，则BC 等于 A.3.8 cm B.7.6 cm C.11.4 cmD.11.2 cm三、解答与证明10、如下图，在△ABC 中，∠A =20°，D 在AB 上，AD =DC ，∠ACD ∶∠BCD =2∶3，求：∠ABC 的度数.11、如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .12、如右图，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，求证：AE =CD .一、判断题1.如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确2.定理不一定有逆定理3.在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长 二、填空题4、Rt △ABC 中，∠C =90°，如图下左图，若b =5，c =13，则a =__________；若a =8，b =6，则c =__________.5、等边△ABC ，AD 为它的高线，下中图所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD =__________，BD ∶AD ∶AB =__________∶__________∶__________.5、上右图所示，正方形ABCD ，AC 为它的一条对角线，若AB =2，则AC =__________；若AC =2，则AB =__________；AC ∶AB =__________∶__________.6、如右图，△ABC 中，∠A +∠C =2∠B ，∠A =30°，则∠C =__________；若AB =6，则BC =__________. 7、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a 则（1）当6,8均为直角边时，a =__________； （2）当8为斜边，6为直角边时，a =__________. 三、选择题8、如右图，等腰直角△ABC ，AB =2，则S △ABC 等于( ) A.2 B.1 C.4 D.29、若三角形的三边分别为a ,b ,c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是() A.a =2,b =3,c =4B.a =12,b =5,c =13§1.2.1证明(二)C.a =4,b =5,c =6D.a =7,b =18,c =1710、如左下图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BD =5，DC =1，AC =5，那么AB的长度是A.27 B.27 C.10D.2511、如右上图，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 是BC 上一点，∠BAE =∠DE C=60°，AB =3，CE =4，则AD 等于( )A.4 8B.24C.10D.12四、解答题12、已知，如下图，等边三角形ABC ，AD 为BC 边上的高线，若AB =2，求△ABC 的面积.AC =4，BC =3，DB =59. 13、已知：如下图，△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，（1）求DC 的长；（2）求AD 的长； （3）求AB 的长；（4）求证：△ABC 是直角三角形.14、如右图，为修铁路需凿通隧道AC ，测得∠A =50°，∠B =40°，AB =5 km,BC =4 km ，若每天凿隧道0.3 km ，问几天才能把隧道凿通？一、填空题1、如图，Rt △ABC 和Rt △DEF ，∠C =∠F =90（1）若∠A =∠D ，BC =EF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （2）若∠A =∠D ，AC =DF ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （3）若∠A =∠D ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （4）若AC =DF ，AB =DE ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________. （5）若AC =DF ，CB =F E ，则Rt △ABC ≌Rt △DEF 的依据是__________.2、如右图，在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，AB =DC ，∠A =∠D =90°，AC 与BD 交于点O ，则有△__________≌△__________，其判定依据是__________，还有△__________≌△__________，其判定依据是__________.3、已知：如图下左图，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，AE =DF ，AB =DC ，则△__________≌△__________（HL ）.4、已知：如上中图，BE ，CF 为△ABC 的高，且BE =CF ，BE ，CF 交于点H ，若BC =10，FC =8，则EC =__________.5、已知：如上右图，AB =CD ，DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，且DE =BF ，∠D =60°，则∠A =______°.二、选择题6、如下左图，O 是∠BAC 内一点，且点O 到AB ，AC 的距离OE =OF ，则△AEO ≌△AFO 的依据是( ) A.HLB.AASC.SSSD.ASA7、在Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′中，∠C =∠C ′=90°，如上右图，那么下列各条件中，不能使Rt △ABC ≌Rt △A ′B ′C ′的是( )A.AB =A ′B ′=5，BC =B ′C ′=3B.AB =B ′C ′=5，∠A =∠B ′=40°C.AC =A ′C ′=5，BC =B ′C ′=3D.AC =A ′C ′=5，∠A =∠A ′=40°8、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( ) A.两条直角边对应相等面B.有两条边对应相等C.一条边和一锐角对应相等D.一条边和一个角对应相等 三、证明题9、如下图，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，AB =AD ，求证：CD=CB .§1.2.2证明(二)10、已知：如下图，CD 、C ′D ′分别是Rt △ABC ，Rt △A ′B ′C ′斜边上的高，且CB = C ′B ′，CD =C ′D ′.求证：△ABC ≌△A ′B ′C ′.11、如下图，已知∠ABC =∠AD C=90°，E 是AC 上一点，AB =AD ，求证：EB=ED .一、填空题1、如下左图，已知直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点，若AB =10 cm ，则BD =__________cm ；若P A =10 cm ，则PB =__________cm ；此时，PD =__________cm.2、如下中图，在△ABC 中，AC 的垂直平分线交AC 于E ，交BC 于D ，△ABD 的周长是12 cm ，AC =5cm ，则AB +BD +AD =________cm ；AB +BD +DC=__________cm ；△ABC 的周长是__________cm.3、如上右图，在Rt △ABC 中，∠C =90°,∠B =15°,DE 是AB 的中垂线，垂足为D ，交BC 于E ，BE =5，则AE =_________，∠AEC =_________，AC =__________ .4、已知线段AB 及一点P ，P A =PB =3cm ，则点P 在__________上.5、如果P 是线段AB 的垂直平分线上一点，且PB =6cm ，则P A =__________cm.6、如图下左图，P 是线段AB 垂直平分线上一点，M 为线段AB 上异于A ，B 的点，则P A ，PB ，PM 的大小关系是P A ________PB ________PM .7、如图下中图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BD 平分∠ABC 交BC 于D ，则点D 在__________上. 8、如图上右图，BC 是等腰△ABC 和等腰△DBC 的公共底，则直线AD 必是__________的垂直平分线. 二、选择题9、下列各图形中，是轴对称图形的有多少个①等腰三角形 ②等边三角形 ③点 ④角 ⑤两个全等三角形A.1个B.2个C.3个D.4个10、如下左图，AC =AD ，BC =BD ，则 A.CD 垂直平分AD B.AB 垂直平分CD C.CD 平分∠ACBD.以上结论均不对11、如上右图，△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于D ，如果AC =5 cm ，BC =4cm ，那么△DBC 的周长是A.6 cmB.7 cmC.8 cmD.9 cm12、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形D.等边三角形三、解答题13、如右图，P 是∠AOB 的平分线OM 上任意一点，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥OB 于F ，连结EF .求证：OP 垂直平分EF .一、判断题1、三角形三条边的垂直平分线必交于一点2、以三角形两边的垂直平分线的交点为圆心，以该点到三角形三个顶点中的任意一点的距离为半径作圆，必经过另外§1.3.2证明(二)§1.3.1证明(二)两个顶点3、平面上只存在一点到已知三角形三个顶点距离相等4、三角形关于任一边上的垂直平分线成轴对称 二、填空题5、如左下图，点P 为△ABC 三边中垂线交点，则P A __________PB __________PC .6、如右上图，在锐角三角形ABC 中，∠A =50°，AC 、BC 的垂直平分线交于点O ，则∠1_______∠2，∠3______∠4，∠5______∠6，∠2+∠3=________度，∠1+∠4=______度，∠5+∠6=_______度，∠BOC =_______度.7、如左下图，D 为BC 边上一点，且BC =BD +AD ，则AD __________DC ，点D 在__________的垂直平分线上.8、如右上图，在△ABC 中，DE 、FG 分别是边AB 、AC 的垂直平分线，则∠B __________∠1，∠C __________∠2；若∠BAC =126°，则∠EAG =__________度.9、如左下图，AD 是△ABC 中BC 边上的高，E 是AD 上异于A ，D 的点，若BE =CE ，则△__________≌△__________(HL )；从而BD =DC ，则△________≌△_________(SAS )；△ABC 是__________三角形.10、如右上图，∠BAC =120°，AB =AC ，AC 的垂直平分线交BC 于D ，则∠AD B=_________度. 三、作图题11、（1）分别作出点P ，使得P A=PB=PC（2）观察各图中的点P 与△ABC 的位置关系，并总结规律：当△ABC 为锐角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为直角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 当△ABC 为钝角三角形时，点P 在△ABC 的__________； 反之也成立，且在平面内到三角形各顶点距离相等的点只有一个. 四、类比联想12、既然任意一个三角形的三边的垂直平分线交于一点，那三角形的三边上的中线是否也交于一点；三个角的平分线是否也交于一点；试通过折纸或用直尺、圆规画图验证这种猜想.一、判断题1、角的平分线上的点到角的两边的距离相等2、到角的两边距离相等的点在角的平分线上3、角的平分线是到角两边距离相等的点的集合4、角平分线是角的对称轴 二、填空题5、如图下左图，AD 平分∠BAC ，点P 在AD 上，若PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，则PE __________PF .6、如图下中图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，且PD =PE ，连接AP ，则∠BAP __________∠CAP.7、如图上右图，∠BAC =60°，AP 平分∠BAC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，若AD =3，则PE =______.8、已知，如图（4），∠AOB=60°,CD ⊥OA 于D ，CE ⊥OB 于E ，若CD =CE ，则∠COD +∠AOB =__________度.§1.4.1证明(二)9、如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.三、选择题10、下列各语句中，不是真命题的是( )A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等11、下列命题中是真命题的是( )A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等12、如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm13、如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题14、试用对称的观点分析说明线段的垂直平分线和角平分线的联系与区别.15、如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC. 一、判断题1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个3、三角形三条角平分线交于一点4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形二、填空题6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF.7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________.8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N.求证：A、M、N在一条直线上.证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC∴NF__________NH，NH__________NK∴NF__________NK∴N在∠A的平分线上§1.4.2证明(二)又∵BM 平分∠ABC ，CM 平分∠ACB∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M 在∠A 的__________上 ∴M 、N 都在∠A 的__________上 ∴A 、M 、N 在一条直线上 三、作图题10、利用角平分线的性质，找到△ABC 内部距三边距离相等的点. 11、在下图△ABC 所在平面中，找到距三边所在直线．．距离相等的点.12、如下图，一个工厂在公路西侧，在河的南岸，工厂到公路的距离与到河岸的距离相等，且与河上公路桥南首（点A ）的距离为300米.请用量角器和刻度尺在图中标出工厂的位置.四、解答题13、已知：如下图在△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若BC =32，且BD ∶CD =9∶7，求：D 到AB 边的距离.班级：_______姓名：________得分：__________一、填空题1.一个等腰三角形有一角是70°，则其余两角分别为_________.2.一个等腰三角形的两边长为5和8，则此三角形的周长为_________.3.如下左图，△ABC 中，∠C =90°，AM 平分∠CAB ，CM =20 cm ，则点M 到AB 的距离是_________.4.如上右图，等边△ABC 中，F 是AB 中点，EF ⊥AC 于E ，若△ABC 的边长为10，则AE =_________，AE ∶EC =_________.5.如下左图，△ABC 中，DE 垂直平分BC ，垂足为E ，交AB 于D ，若AB =10 cm ，AC =6 cm ，则△ACD 的周长为_________.6.如上右图，∠C =90°，∠ABC =75°，∠CDB =30°，若BC =3 cm ，则AD =_________ cm.7.如下左图，B 在AC 上，D 在CE 上，AD =BD =BC ，∠ACE =25°，∠ADE=_________.8.等腰直角三角形一条边长是1 cm ，那么它斜边上的高是_________ cm.9.如上右图，在∠AOB 的两边OA 、OB 上分别取OQ =OP ，OT =OS ，PT 和QS 相交于点C ，则图中共有_________对全等三角形.10.等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是________________，这个逆命题是_________命题.11.三角形三边分别为a 、b 、c ，且a 2－bc =a (b －c )，则这个三角形（按边分类）一定是_________三角形. 二、选择题12.等边三角形的高为23，则它的边长为（ ）面A.4B.3C.2D.513.等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 nB.90－2nC.2n D.90°－n ° 单元测试证明(二)14.下列由线段a 、b 、c 组成的三角形，不是直角三角形的是（ ） A.a =3，b =4，c =5B.a =1，b =34，c =35C.a =9，b =12，c =15D.a =3，b =2，c =515.直角三角形的三边长为连续自然数，则它的面积为（ ） A.6B.7.5C.10D.1216.△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最小边BC =4 cm ，最长边AB 的长是（ ）A.5 cmB.6 cmC.5 cmD.8 cm17.如右图，△ABC 中， AB =AC ，BC =BD ， AD =DE =EB ，则∠A 的度数为（ ）A.55°B.45°C.36°D.30°18.等腰△ABC 中，AC =2BC ，周长为60，则BC 的长为（ ）A.15B.12C.15或12D.以上都不正确19.直角三角形两直角边分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是（ ） A.13 cmB.1330 cm C.1360 cm D.9 cm 20.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为30和20，则以斜边为边长的正方形的面积为（ ） A.25B.50C.100D.6021.等腰三角形的底边为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（ ） A.23a B.33 a C.63a D. 21a 22.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（ ） A.等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形23.等腰三角形ABC 中，∠A =120°，BC 中点为D ，过D 作DE ⊥AB 于E ，AE =4 cm ，则AD 等于（ ）A.8 cmB.7 cmC.6 cmD.4 cm 24.下列说法中，正确的是（ ） A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等 B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等25.如右图，AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 长为（ ）D.34A.8B.5C.326.将两个全等的有一个角为30°的直角三角形拼成下右图，其中两条长直角边在同一直线上，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.4B.3C.2D.127.下列定理中逆定理不存在的是（ ） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等*28.已知一个直角三角形的周长是4+26，斜边上中线长为2，则这个三角形的面积为（ ） A.5B.2C.45D.1三、解答题 29.已知：如图，AB =AC ，DE ∥AC ，求证：△DBE 是等腰三角形.30.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .31.已知三角形的三边分别是n 2+n ，n +21和n 2+n +21(n ＞0)，求证：这个三角形是直角三角形.32.如图，△ABC 中，AB =AC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BA C.33.如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 与边面内作等边△ABD ，连结DC ，以DC 当边作等边△DCE ，B 、E 在C 、D 的同侧，若AB =2，求BE 的长.*34.①在△ABC 中，AB =AC ，AB 的垂直平分线交AC 于N ，交BC 的延长线于M ， ∠A =30°，求∠NMB 的大小.②如果将①中的∠A 的度数改为70°，其余条件不变，再求∠NMB 的大小. ③你感到存在什么样的规律性？试证明.（请同学们自己画图）④将①中的∠A 改为钝角，对这个问题规律性的认识是否需要加以修改？参考答案1.1.1全等与等腰三角形一、1、BE B DAC 2、100 3、17㎝ 4、70 80 5、8二、6、B 7、D 8、C 9、C 10、C 三11、略12略 1.1.2等腰三角形性质一、1.锐角2.AB AC 3.高线 中线 平分线 4.30 3∶15.= = 等腰6.等腰直角 二、1.C 2.C 3.C 4.C 5.C 三、1.解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD =∠F AD ，且DF ∥AE ∴∠EAD =∠ADF ，∴∠F AD =∠ADF ∴AF =FD .同理，可得AE =ED ，∠EAD =∠EDA ∴在△ADE 和△ADF 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠FDA EDA ADAD FAD EAD ∴△ADE ≌△ADF （ASA ） ∴AE =AF ，DE =DF 综上，AE =ED =DF =AF =6∴四边形AFDE 的周长为4AE =4×6=24. 2.证明：∵∠1=∠2，∴AD =AE 又∵DE ∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠C 且∠B =∠C ∴AB =AC ，∴AB －AD =AC －AE 即DB =EC∴在△DBG 和△ECG 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CG BG C B EC DB ∴△DBG ≌△ECG （SAS ） ∴DG =GE ，∴△DGE 是等腰三角形 3.证明：∵CD ⊥AB ，∴∠ADC =90°， 又∵∠A =60°，∴∠ACD =30° ∴在Rt △ACD 中，AD =21AC ， 又∵∠ACB =90°，在Rt △ACB 中， ∴∠B =30°，∴AC =21AB ∴AD =4AB ， 则AD =31BD ，即BD =3AD . 1.1.3等腰三角形判别一、1.（1）等边 （2）等边 （3）等边2.线段、直角、等腰三角形3.一 三4.30 12 60 等边5.4 30 26.8 二、1.C 2.B 3.C三、1.解：∵AD =DC ，且∠A =20°，∴∠A =∠ACD =20°， 又∵∠ACD ∶∠BCD =2∶3 ∴∠BCD =30°，∴∠ACB =50° ∴∠ABC =180°－∠A －∠ACB =180°－20°－50°=110° 2.证明：∵MD ⊥BC ，且∠B =90°， ∴AB ∥MD ，∴∠BAD =∠D 又∵AD 为∠BAC 的平分线∴∠BAD =∠MAD ，∴∠D =∠MAD ， ∴M A=MD3.证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AB =BC ，∠ABE =60° 又∵△BDE 是等边三角形， ∴BE =BD ，∠DBE =60°， ∴∠ABE =∠DBE∴在△ABE 和△CBD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=BD BE DBE ABE BC AB∴△ABE ≌△CBD （SAS ），∴AE =CD 1.2.1勾股定理 一、1.× 2.√ 3.√ 二、1.12 10 2.6 3 1 3 23.222 2 1 4.90° 35.(1)10 (2)27. 三、1.B 2.B 3.C 4.C四、1.解：∵△ABC 为等边三角形，且AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD =∠C AD =30°. ∴BD =21AB =1,而BD 2+AD 2=AB 2 ∴AD 2=AB 2－BD 2=3 ∴AD =3∴S △ABC =21AD ·BC =21×3×2=3 ∴△ABC 的面积为3.2.（1）解：在Rt △DCB 中，DC 2+DB 2=BC 2 ∴DC 2=9－251442581=∴DC =512（2）解：在Rt △ACD 中，AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=16－2525625144=∴AD =516（3）解：AB =AD +DB=516+59=5（4）证明：∵AC 2+BC 2=16+9=25，AB 2=25∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴∠ACB =90°， ∴△ABC 是直角三角形.3.解：∵∠A =50°，∠B =40°，∴∠C =90°，∴AC 2=AB 2－BC 2=（3 km ）2 ∴AC =3 km ∵3.03=10天 ∴10天才能将隧道凿通. 1.2.2直角三角形全等的判定一、1.（1）AA S （2）ASA （3）AA S （4）HL （5）SAS 2.ABC DCB HL ABO DCO AAS 3.ABE DCF 4.6 5.30二、1.A 2.B 3.D三、1.证明：连结AC ，CD ⊥AD ，CB ⊥AB∴在Rt △ADC 和Rt △ABC 中⎩⎨⎧==AC AC ABAD ∴Rt △ADC ≌△Rt △ABC (HL ) ∴CD =CB .（本题也可用勾股定理直接证明） 2.证明：∵CD ⊥AB ，C ′D ′⊥A ′B ′ ∴在Rt △CDB 和Rt △C ′D ′B ′中，⎩⎨⎧''=''=C B BC D C CD ∴Rt △CDB ≌Rt △C ′D ′B ′(HL )∴∠B =∠B ′∴在△ABC 和△A ′B ′C ′中，⎪⎩⎪⎨⎧'∠=∠''='''∠=∠B B C B BC B C A ACB∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA ). 3.证明：在Rt △ADC 和Rt △ABC 中，⎩⎨⎧==ACAC ADAB∴Rt △ABC ≌Rt △ADC (HL ) ∴∠DCE =∠BCE∴在△DCE 和△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE DCE BC DC∴△DCE ≌△BCE （SAS ），∴EB =ED 1.3.1线段的垂直平分线 一、1.× 2. × 3.× 4.√二、1.5 10 53 2.12 12 17 3.5 30° 215 4.线段AB 的垂直平分线 5.6 6.= ＞ 7.线段AB 的垂直平分线 8.线段BC 三、1.D 2.B 3.D 4.C四、证明：∵PE ⊥OA 于E ，DF ⊥OB 于F∴∠PEO =90°=∠PFO ∴在△PEO 和△PFO 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠OP OP FOP EOP PFO PEO∴△PEO ≌△PFO ，∴PE =PF ，EO =FO ∴O 、P 在EF 的中垂线上，∴OP 垂直平分EF . 1.3.2三角形三条中垂线交于一点 一、1.√ 2.√ 3.√ 4.×二、1.= = 2.= = = 50 50 80 1003.= AC4.= = 72°5.BED CED BAD C AD 等腰6.60° 三、1.略 （2）内部 斜边的中点 外部 四、类比联想：略 1.4.1角的平分线一、1.√ 2.√ 3.√ 4.× 二、1.= 2.= 3.1 4.90 5.4 三、1.C 2.A 3.B 4.D四、1.提示：联系：说出线段的垂直平分线和角的平分线所在直线都是相应图形的对称轴即可.区别：说出线段垂直平分线的性质与角平分线的性质即可. 2.证明：在△BDF 和△CDE 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠︒=∠=∠CD BD CDEBDF CED BFD 90 ∴△BDF ≌△CDE ，∴DF =DE∴D 在∠A 的平分线上，∴AD 平分∠BAC . 1.4.2三角形三角的平分线交于一点 一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5. × 二、1.= = 2.垂直 3.= 90 90 = =4.= = = MP MJ MQ MJ MP MQ 平分线 平分线 三、提示：1.三个内角平分线交点2.一个内角平分线与另外两个角外角平分线的交点3.略四、解：过点D 作DE ⊥AB ，则DE 是点D 到AB 的距离∵BD ∶CD =9∶7， ∴CD =BC ·16732167⨯==14 而AD 平分∠CAB ，∴DE =CD =14第一章单元测试卷cm 4.251∶3 5.16 cm 6.6 7.75° 8.22或21 9.4 10.如果一、1.55°，55°或70°，40° 2.18或21 3.20一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 11.等腰二、12.A 13.C 14.D 15.A 16.D 17.B 18.B 19.C 20.B 21.D 22.D 23.A 24.C 25.D 26.B 27.D28.B三、29.略 30.略 31.略 32.略 33.134.①15° ②35° ③AB 的垂直平分线与底边BC 所夹的锐角等于∠A 的一半 ④不需要修改。

§1.1、你能证明它们吗(一)一、教学目标：1、了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式。

2、经历“探索－发现－猜想－证明”的过程。

能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理。

3、结合实例体会反证法的含义。

二、教学重点：了解作为证明基础的几条公理的内容，通过等腰三角形性质证明，掌握证明的基本步骤和书写格式。

教学难点：能够用综合法证明等腰三角形的关性质定理和判定定理（特别是证明等腰三角形性质时辅助线做法）。

三、教学方法：观察法。

同学们和我一起来回忆上学期学过的公理♦本套教材选用如下命题作为公理 :♦ 1.两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;♦ 2.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;♦ 3.两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）♦ 4.两角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）♦ 5.三边对应相等的两个三角形全等; （SSS）♦ 6.全等三角形的对应边相等,对应角相等.由公理5、3、4、6可容易证明下面的推论：推论两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（AAS）证明过程：已知：∠A=∠D,∠B=∠E,BC=EF求证：△ABC≌△DEF证明：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和等于180°）∴∠C=180°-(∠A+∠B)∠F=180°-(∠D+∠E)又∵∠A=∠D,∠B=∠E（已知）∴∠C=∠F又∵BC=EF（已知）∴△ABC≌△DEF（ASA）（这个推论虽然简单，但也应让学生进行证明，以熟悉的基本要求和步骤，为下面的推理证明做准备。

）议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（教师提出问题，并利用等腰三角形纸片帮议助学生回忆。

学生充分讨论问题1，借助等腰三角形纸片回忆有关性质。

）（2）你能利用已有的公理和定理证明这些结论吗？（等腰三角形（包括等边三角形）的性质学生已经探索过，这里先让学生尽可能回忆出来，然后再考虑哪些能够立即证明。

北师大版九年级（上）中考题同步试卷：1.1 你能证明它们吗（05）一、选择题（共2小题）1．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（）A．45°B．50°C．60°D．不确定2．如图，在钝角△ABC中，分别以AB和AC为斜边向△ABC的外侧作等腰直角三角形ABE 和等腰直角三角形ACF，EM平分∠AEB交AB于点M，取BC中点D，AC中点N，连接DN、DE、DF．下列结论：①EM＝DN；②S△CDN＝S四边形ABDN；③DE＝DF；④DE ⊥DF．其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共1小题）3．如图，已知∠C＝∠D，∠CAB＝∠DBA，AD交BC于点O，请写出图中一组相等的线段．三、解答题（共27小题）4．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BF＝CE，求证：AE＝DF．5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）已知AD＝4，DE＝1，求EF的长．6．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC．（1）请写出图中两对全等的三角形；（2）求证：四边形BCEF是平行四边形．7．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，点F在BC边的延长线上，且AE＝CF （1）求证：△AED≌△CFD；（2）将△AED按逆时针方向至少旋转多少度才能与△CFD重合，旋转中心是什么？8．如图，点B在线段AD上，BC∥DE，AB＝ED，BC＝DB．求证：∠A＝∠E．9．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．求证：DC∥AB．10．已知，如图所示，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE ＝DF．11．如图，在△ABC和△ABD中，AC与BD相交于点E，AD＝BC，∠DAB＝∠CBA，求证：AC＝BD．12．如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，AD＝AE．求证：∠B＝∠C．13．如图：点A、B、C、D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF．求证：AE＝BF．14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE＝CF，DF ∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD＝AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．15．如图，AD、BC相交于O，OA＝OC，∠OBD＝∠ODB．求证：AB＝CD．16．如图①，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF＝BE（不必证明）．将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°）后，连结BE，DF．请在图②中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB．（1）求∠CAD的度数；（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DA＝DE．18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在边AB上，使DB＝BC，过点D作EF⊥AC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F．求证：AB＝BF．19．已知：如图，点A、B、C、D在同一直线上，AB＝CD，AE∥CF，且AE＝CF．求证：∠E＝∠F．20．如图，点D为锐角∠ABC内一点，点M在边BA上，点N在边BC上，且DM＝DN，∠BMD+∠BND＝180°．求证：BD平分∠ABC．21．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．求证：AD＝BC．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、F分别在AB、AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．23．如图，∠ABC＝90°，点D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD＝DE，点F是AE 的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC＝∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．24．如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM＝CN，AM交BN 于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．25．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD与CE交于点O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．26．如图，已知：△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD＝CE．求证：MD＝ME．27．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，直线EF交正方形外角的平分线于点F，交DC于点G，且AE⊥EF．（1）当AB＝2时，求△GEC的面积；（2）求证：AE＝EF．28．如图，AB∥DE，AB＝DE，BF＝EC．（1）求证：AC∥DF；（2）若CF＝1个单位长度，能由△ABC经过图形变换得到△DEF吗？若能，请你用轴对称、平移或旋转等描述你的图形变换过程；若不能，说明理由．29．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P．求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段．30．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°．得到△ADE．连接BD，CE交于点F．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．北师大版九年级（上）中考题同步试卷：1.1 你能证明它们吗（05）参考答案一、选择题（共2小题）1．A；2．D；二、填空题（共1小题）3．AD＝BC；三、解答题（共27小题）4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．；17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；。