开卷教育联盟·2020届全国高三模拟考试(一)理科数学试题

绝密★启用前2020届普通高等学校招生全国统一考试内参模拟测卷（一）（全国Ⅲ卷）数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-，12C x x ⎧⎫=≥⎨⎬⎩⎭，则集合C =() A ．()UA B ⋂B ．()UA B C ．()UA BD ．()UA B答案：B观察集合,A B ，算出A B ，再算其补集，即可得答案；解：全集U =R ，142A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭，{}3B x x =≤-， 12A B x x ⎧⎫∴⋃=<⎨⎬⎩⎭，∴()12U AB x xC ⎧⎫=≥=⎨⎬⎩⎭，故选：B. 点评：本题考查集合的交、并、补运算，考查运算求解能力，属于基础题. 2．复数1z i =+（i 是虚数单位），则22z z -=（） A ．12i -+ B ．12i -C ．-1D ．12i +答案：D因为复数1z i =+，所以222221+1+1+12(1)2z i i i i i z i i-=-=-=+=++，故选D. 点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分． 3．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图（如图①）、90后从事互联网行业岗位分布条形图（如图②），则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980~1989年之间出生，80前指1979年及以前出生. A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多答案：D根据饼图中的数据结合岗位分布图中的数据，对选项进行一一分析，即可得答案；解：对A，可知90后占了56%，故A正确；对B，技术所占比例为39.65%，故B正确；对C，可知90后明显比80前多，故C正确；对D，因为技术所占比例，90后和80后不清楚，所以不一定多，故D错误.故选：D.点评：本题考查统计图的信息提取，考查数据处理能力，属于基础题.4．某天某校的校园卫生清扫轮到高二(5)班，该班劳动委员把班级同学分为5个劳动小组，该校共有A、B、C、D四个区域要清扫，其中A、B、C三个区域各安排一个小组，D区域安排2个小组，则不同的安排方法共有（）A．240种B．150种C．120种D．60种答案：D分析：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，由分步计数原理计算可得答案．详解：根据题意，分2步分析：①，先在5个劳动小组中任选2个，安排到D区域，有C52=10种选法，②，将剩下的3个小组全排列，安排到A、B、C三个区域，有A33=6种情况，则有10×6=60种不同的安排方法， 故选：D ．点睛：本题考查排列、组合的应用，注意优先满足受到限制的元素，属于基础题.5．已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =，2SA SB SC ===，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离为() A ．3B ．22C ．3 D ．23答案：C三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，设S 在面ABC 内的射影为AB 中点H ，确定S ABC -的外接球的球心O 的位置，再利用直角三角形的性质，即可得答案； 解：三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH 上任意一点到A ，B ，C 的距离相等.3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO 交SC 于M ， 则O 为S ABC -的外接球球心.2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=︒，23SO ∴=3OH ∴=O 到平面ABC 的距离. 故选：C. 点评：本题考查三棱锥的外接球问题、点到面的距离，考转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.6．已知曲线421y x ax =++在点()()1,1f --处切线的斜率为6，则()1f -=()A ．3B ．4-C ．3-D ．4答案：C对函数求导，再根据'(1)6y -=可得a 的值，再将1x =-代入函数中，即可得答案；解：342y x ax '=+，426a ∴--=，5a ∴=-，()1113f a ∴-=++=-.故选：C. 点评：本题考查导数几何意义的运用，考查运算求解能力，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，输出的T 的值是()A ．20B ．26C ．57D ．16答案：B阅读程序框图根据T 与S 的大小关系，一步一步模拟运行程序，即可得答案； 解：第一次循环，00≤是，44S S ∴=+=，20T T n =+=，11n n =+=； 第二次循环，04≤是，48S S ∴=+=，21T T n =+=，12n n =+=； 第三次循环，18≤是，412S S ∴=+=，24T T n =+=，13n n =+=； 第四次循环，412≤是，416S S ∴=+=，211T T n =+=，14n n =+=； 第五次循环，1116≤是，420S S ∴=+=，226T T n =+=，15n n =+=；2620≤否，故输出T 的值是26.故选：B. 点评：本题考查程序框图中的直到型循环，考查运算求解能力，求解时注意程序运行终止的条件. 8．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，则满足12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是()A ．()10,2,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．()1,11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,12,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭答案：A利用函数()f x 的奇偶性和单调性化简不等式12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，得到12log 1x >，解绝对值不等式和对数不等式，求得x 的取值范围. 解：偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且()10f =，所以()y f x =在(),0-∞上递增，且()10f -=，且距离对称轴越远，函数值越小，由12log 0f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭可得12log 1x >，所以12log 1x >或12log 1x <-，解可得，102x <<或2x >. 故选：A. 点评：本小题主要考查利用函数的奇偶性的单调性解抽象函数不等式，考查绝对值不等式、对数不等式的解法，属于中档题. 9．函数()sin 2xf x x =-（[2,2]x ππ∈-）的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．答案：A分析：由函数的解析式，求解函数函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项；再由x π=时，()0f π>，排除C ，即可得到答案． 详解：由函数()sin 2x f x x =-，则满足()sin()(sin )()22x xf x x x f x --=--=--=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除B 、D 项； 由当x π=时，()sin 022f ππππ=-=>，排除C ，故选A ．点睛：本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中熟记函数的基本性质和特殊点的函数值的计算，采用排除法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力． 10．在ABC 中，若2π3C =，3AB =，则ABC 的周长的最大值为() A ．9 B ．6C ．323+D ．33+答案：C利用正弦定理将三角形的周长表示成关于A 的三角函数，再利用三角函数的有界性，即可得答案； 解：根据正弦定理，3232πsin sin sin sin3AB BC AC C A B ====， 那么23BC A =，23AC B =， 所以周长等于π23sin 23sin 323sin sin 33A B A A ⎤⎛⎫++=+-+ ⎪⎥⎝⎭⎦3123cos sin 322A A ⎫=++⎪⎪⎭ π2333A ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当6A π=时，ABC 的周长的最大值为323+故选：C.点评：本题考查正弦定理的应用、三角函数的有界性求周长的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意A 的范围.11．一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成的角为()090θθ︒<<︒的平面所截，截面是一个椭圆面，当45θ=︒时，这个椭圆的离心率为()A ．12B ．22C 3D ．23答案：B结合图形可得椭圆的短半轴b R =，2a R =，再利用离心率公式，即可得答案；解：由椭圆的性质得，椭圆的短半轴b R =，因为截面与底面所成角为θ， 所以椭圆的长轴长22cos Ra θ=，得2a R =， ()22222c a b R R R =-=-=，所以椭圆的离心率22c e a ==. 故选：B. 点评：本题考查椭圆离心率的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意充分利用图形的特点进行解题. 12．若()0,πa ∈，()sin ,cos ,x x af x x x a >⎧=⎨≤⎩的图象关于x a =对称，则()2f a =()A ．1-B ．12-C ．1D ．3 答案：C作出图象如图所示，可得a 的值，再代入函数的解析式求函数值，即可得答案； 解：画出图象如图所示：由图象可得π4a =，∴()sin ,,4cos ,,4x x f x x x ππ⎧>⎪⎪=⎨⎪≤⎪⎩则()ππ2sin 122f a f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 故选：C. 点评：本题考查正余弦函数的图象与性质、三角函数值的求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 二、填空题13．已知两个单位向量1e ，2e 的夹角为60°，且满足()121e e e λ⊥-，则实数λ的值为______. 答案：2根据向量垂直，数量积为0，可得()1210e e e λ⋅-=，再利用数量积的定义进行运算，即可得答案；解：由单位向量1e ，2e 的夹角为60°，则12111cos602e e ⋅=⨯⨯︒=， 由()121e e e λ⊥-，可得()1210e e e λ⋅-=，∴()21210e e e λ⋅-=，则102λ-=，解得2λ=.故答案为：2. 点评：本题考查向量垂直与数量积的关系，考运算求解能力，属于基础题. 14．函数ππsin cos 33y x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为______. 答案：262利用两角和的正弦和两角差的余弦公式展开可得π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即可得答案； 解：11sin cos cos 2222y x x x x =+++)1sin cos 2x x =+π4x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴点评：本题考查三角恒等变换及三角函数的最值，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.15．双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为__________．答案：2213y x -=由题意知，2c a =，即2c a =，则b =，由圆的方程可知，其圆心坐标为(),0a ，半径2r =不妨取双曲线渐近线0bx ay -=，则=，即=1a =，则b =故所求双曲线的方程为2213y x -=.点睛：此题主要考查了双曲线的方程、离心率、渐近线，以及直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用等方面的知识与运算技能，属于中档题型，也是常考题.在解决此类问题的过程中，常结合数形结合法进行研究，通过已知条件作出图形，尽可能地去挖掘图中隐含的信息量，寻找与问题的衔接处，从而解决问题.16．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都等于2，D 在1 AC 上，F 为1BB 中点，且1FD AC ⊥，则1ADDC=______.答案：1由F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，可证得D为1AC 中点，即可得答案；解：F为1BB中点，且正三棱柱111ABC A B C-的各棱长等于2，2215AF FC AB BF∴==+=1AFC∴△为等腰三角形，又1FD AC⊥，D∴为1AC中点，11ADDC∴=.故答案为：1点评：本题考查空间几何中线段长度的求解，考查空间想象能力、运算求解能力，属于基础题.三、解答题17．某公司准备将1000万元资金投人到市环保工程建设中，现有甲，乙两个建设项目选择，若投资甲项目一年后可获得的利润1ξ（万元）的概率分布列如表所示：1ξ110 120 170P m0.4 n且1ξ的期望()1120Eξ=；若投资乙项目一年后可获得的利润2ξ（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产的过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为14和34.若乙项目产品价格一年内调整次数X（次数）与2ξ的关系如表所示：X0 1 2（1）求m ，n 的值； （2）求2ξ的分布列.答案：（1）0.5m =，0.1n =；（2）分布列见解析.（1）根据分布列中概率和为1，期望值为120，可得关于,m n 的方程，解方程组即可得答案； （2）根据相互独立事件相乘的概率，可得2ξ的分布列. 解：（1）由题意得0.411101200.4170120m n m n ++=⎧⎨+⨯+=⎩，解得0.5m =，0.1n =.（2）2ξ的可能取值为41.2，117.6，204，()213341.2114416P ξ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()21133105117.64444168P ξ==⨯+⨯==，()21332044416P ξ==⨯=，所以2ξ的分布列为：点评：本题考查离散型随机变量分布列的性质、相互独立事件概率计算，考查阅读理解能力和运算求解能力.18．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=︒.（1）求证：CD BF ⊥； （2）若22AB EF ==，2BC =，直线BF 与平面ABCD 所成角为60°，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 答案：（1）证明见解析；（2）42. （1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .证明CD ⊥平面FOB ，即可证明结论；（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，求出平面ADE 的法向量()1,1,0m =，平面BCF 的法向量()3,3,1n =，代入向量的夹角公式，即可得答案；解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO ⊥平面ABCD ，因此FO ⊥OB .FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=︒，FOC FOB ∴△≌△，OB OC ∴=，由已知45DCB ∠=︒得BOC 为等腰直角三角形， 因为OB CD ⊥，又CD FO ⊥，OB OF O ⋂=，CD平面FOB ，CD BF ∴⊥.（2）//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，//AB ∴平面CDEF ，平面ABEF平面CDEF EF =，//AB EF ∴.由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz -，由题设可得60FBO ∠=︒，进而可得()1,2,0A -，()1,0,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -，(0,3E -，(3F .设平面ADE 的法向量()111,,m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，111030x y z -+=⎧⎪⎨=⎪⎩，可取()1,1,0m =.设平面BCF 的法向量()222,,n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2222030x y y z -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取()3,3,1n =.则2342cos ,727m n m n m n⋅===⋅⋅.∴二面角的余弦值为427.点评：本题考查面面垂直性质定理和线面垂直判定定理的运用、向量法求二面角的余弦值，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意定理条件的完整性. 19．已知数列{}n a 中，11a =，()*112n n n a a n N +⋅=∈. （1）设2n n b a =，证明：数列{}n b 是等比数列； （2）记2n T 为{}n a 的前2n 项的和，求2n T . 答案：(1)答案详见解析；（2）213[1()]2nn T =- （1）由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得221212n n n a a +⋅=，21222112n n n a a +++⋅=，两式相除即可证明结论.（2）将数列n a 的奇数列构造成新的数列n c ，由（1）的证法可得数列n c 也为等比数列，用分组求和法即可得到答案. 解：因为在数列{}n a 中，()*112n n n a a n N +⋅=∈， 所以221212n n n a a +⋅=①，21222112n n n a a +++⋅=②，②式除以①式得22212n n a a +=，即2(1)212n n a a +=， 由2n n b a =得，2(1)121()2n n n n a b n N b a +*+==∈， 又11a =，所以1212a a =，则212a =，所以1212b a ==， 所以数列{}n b 是12为首项以12为公比的等比数列.（2）令21()n n c a n N *-=∈,由()*112n n n a a n N +⋅=∈，可得2122112n n n a a --⋅=，221212n n n a a +⋅=，所以212112n n a a +-=，所以2(1)1121212112n n n n n n a c a c a a +-++--===， 又111c a ==，所以数列{}n c 是1为首项以12为公比的等比数列. 所以2123212n n n T a a a a a -=+++++1321242()()n n a a a a a a -=+++++++1212()()n n c c c b b b =+++++111[1()][1()]12223[1()]1121122n n n --=+=--- 点评：本题主要考查等比数列的证明，构造等比数列，分组求和法，属中档题. 20．已知函数2ln ()()xf x x a =+，其中a 为常数．(1)若0a =，求函数()f x 的极值；(2)若函数()f x 在(0,)a -上单调递增，求实数a 的取值范围． 答案：（1）见解析；（2）122a e -≤-.分析：求出()'f x ，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间，利用函数的单调性可求出函数的极值；（2）()f x 在()0,a -上单调递增等价于()0f x '≥在()0,x a ∈-上恒成立，求得导数和单调区间，讨论a -与极值点的关系，结合单调性，运用参数分离和解不等式可得a 范围.详解：（1）当0a =时：()2ln xf x x =的定义域为()0,+∞ ()312ln xf x x -'=令()0f x '=，得x =当(x ∈时，()0f x '>，()f x在(上单调递增；当)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x在)+∞上单调递减；当x =()f x的极大值为12fe=，无极小值. （2）()()312ln ax x f x x a +-+'=()f x 在()0,a -上单调递增 ()0f x ∴'≥在()0,x a ∈-上恒成立，()()30,,0x a x a ∈-∴+< ∴只需12ln 0ax x+-≤在()0,x a ∈-上恒成立 ∴2ln a x x x ≤-在()0,x a ∈-上恒成立令()()2ln ,0,g x x x x x a =-∈- 则()2ln 1g x x ='+ 令()0g x '=，则：12x e -=①若120,a e -<-<即120e a --<<时()0g x '<在()0,x a ∈-上恒成立∴()g x 在()0,a -上单调递减∴()()()2ln a a a a ≤---- ∴()ln 0a -≥，∴11a a -≥⇒≤-这与12a e ->-矛盾，舍去 ②若12,a e -->即12a e -<-时当120,x e -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，()g x 在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当12,x e a -⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 在12,e a -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增；当12x e -=时，()g x 有极小值，也是最小值，∴()1111122222min 2ln 2g x g e e e e e -----⎛⎫==⋅-=- ⎪⎝⎭∴122a e -≤-综上122a e -≤-点睛：本题主要考查利用导数求函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；②数形结合(()y f x =图象在()y g x =上方即可)；③讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得a 的最大值.21．已知抛物线C ：()220x py p =>，其焦点到准线的距离为2.直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 分别作抛物线C 的切线1l 与2l ，1l 与2l 交于点M . （1）求抛物线C 的标准方程；（2）若12l l ⊥，求MAB △面积的最小值. 答案：（1）24x y =；（2）4.（1）根据焦点到准线的距离为p ，即可得到抛物线的方程；（2）利用导数求出抛物线的两条切线方程，再利用直线垂直，得到斜率相乘为1-，从而求得直线l 方程为1y kx =+，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得答案；解：（1）由题意知，抛物线焦点为：0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2py =-， 焦点到准线的距离为2，即2p =， 所以抛物线的方程为24x y =.（2）抛物线的方程为24x y =，即214y x =，所以12y x '=. 设()11,A x y ，()22,B x y ，1l ：()211142x x y x x -=-，2l ：()222242x xy x x -=-.由于12l l ⊥，所以12122x x ⋅=-，即124x x =-. 设直线l 方程为y kx m =+，与抛物线方程联立，得24y kx mx y=+⎧⎨=⎩，所以2440x kx m --=. 216160k m ∆=+>，124x x k +=，1244x x m =-=-，所以1m =，即l ：1y kx =+. 联立方程2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得12122214x x x k x x y +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，即()2,1M k -. M 点到直线l的距离d ==.()241AB k ==+，所以()()32221414142S k k =⨯+=+≥.当0k =时，MAB △面积取得最小值4. 点评：本题考查抛物线方程的求解、直线与抛物线的位置关系和三角形面积最值的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2222x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的方程为ρ=.（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若A ，B 分别为曲线1C 和2C 上的任意点，求AB 的最小值.答案：（Ⅰ）4y x =-+，2214x y +=分析：（1）利用消参法和极坐标公式得到曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程.(2)设点B 为()2cos ,sin θθ,再求出AB=|AB|的最小值.详解：（Ⅰ）由2x=2x =-，代入2y =+， 得1C 的普通方程4y x=-+. 由ρ=，得2223sin 4ρρθ+=.因为222x y ρ=+，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2214x y +=.（Ⅱ）因为椭圆2C 的参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.可设点B 为()2cos ,sin θθ， 由点到直线的距离公式，得AB===，其中cosϕ=sin ϕ=由三角函数性质可知，当()sin 1θϕ+=时，AB点睛：(1)本题主要考查参数方程和极坐标方程和直角坐标的互化，考查利用参数方程求最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)圆锥曲线的参数方程的一个重要作用就是设点.所以一般情况下，设点有三种方式，一是利用直角坐标设点，这是最普遍的一种.二是利用参数方程设点，三是利用极坐标设点，大家要注意灵活选用. 23．已知函数()22f x x x a =+++，a R ∈. （1）当1a =，解不等式()2f x ≥；（2）求证：1()22f x a a ≥--. 答案：（1）1{|1}3x x x ≤-≥-或.（2）见解析.试题分析：（1）当1a =，不等式即()2212f x x x =+++≥，零点分段可得不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-.（2）由题意结合绝对值不等式的性质可得：()222a a f x x x x =+++++222a a x ≥-++22a ≥-()122a a =--122a a ≥--. 试题解析：（1）当1a =，()2212f x x x =+++≥2332x x ≤-⎧⇔⎨--≥⎩或12212x x ⎧-<<-⎪⎨⎪-+≥⎩或12332x x ⎧≥-⎪⎨⎪+≥⎩2x ⇔≤-或21x -<≤-或13x ≥-1x ⇔≤-或13x ≥-，所以不等式的解集为1{|1}3x x x 或≤-≥-. （2）()22f x x x a=+++222a a x x x =+++++222a ax ≥-++2222a a≥-=-()122a a =--122a a ≥--122a a =--.。

2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回笭非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考人员将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．4.已知等差数列中，，则（）A. 10B. 16C. 20D. 2【答案】C【解析】【分析】由可得出，然后利用算出答案即可【详解】因为数列是等差数列所以，所以所以故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )A. B. 1 C. 2 D. 0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A. 2B. 3C. 4D. 1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+a x+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.14.已知向量，，若，则实数______.【答案】-2【解析】【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．【答案】300．【解析】【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．三、解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号）即三角形面积的最大值为：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值为．【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．19.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.【答案】（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.因此椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，.面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：[坐标系与参数方程]22.已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求值.【答案】（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.【解析】【分析】（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.【详解】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：设两点对应的参数分别为：，则，【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.[选修4-5：不等式选讲]23.已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可．【详解】因为不等式有实数解，所以因为，所以故．①当时，，所以，故②当时，，所以，故③当时，，所以，故综上，原不等式的解集为．【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用．2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回笭非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考人员将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．4.已知等差数列中，，则（）A. 10B. 16C. 20D. 2【答案】C【解析】【分析】由可得出，然后利用算出答案即可【详解】因为数列是等差数列所以，所以所以故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )A. B. 1 C. 2 D. 0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A. 2B. 3C. 4D. 1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.14.已知向量，，若，则实数______.【答案】-2【解析】【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．【答案】300．【解析】【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．三、解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号）即三角形面积的最大值为：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．。

精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。

2020届高三第一次统一测试理科数学试题本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}2|230A x x x =--≥，{}22|≤≤-=x x B ，则A B =I （ ） A ．[]2,1--B ．[)1,2-C ．[]1,1-D ．[)1,22. 若复数z 满足(1)42z i i -=+，则z =（ ）A ．25BC ．5D ．173. 设S n 是等差数列{n a }的前n 项和，12a ＝－8,S 9＝－9,则S 16= ( )A ．－72B ．72 Ｃ．36 Ｄ．－364．设向量→a ，→b ,满足2||2||==→→b a 且1|32|=+→→b a ，则向量→a 在向量→b 方向的投影为（ ）A. -2B. -1C. 1D. 25()cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2α=（ ）A ．773 B ．37 C ．77D 6.设0.1log 0.2a =， 1.1log 0.2b =，0.21.2c =，0.21.1d =则（ ） A ．a b d c >>> B ．c a d b >>> C ．d c a b >>>D ．c d a b >>>7.若βα,是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“βα⊥”是“β⊥m ”的（ ）条件A.充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要 8．四棱锥P －ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为( ) A.255 B.35 C.45 D.559．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)3()5(-=+x f x f ，如果当[)4,0∈x 时，)2(log )(2+=x x f ，则)766(f =（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．210.将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A.π12B.π6C.π3D.5π611.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，x x x f 2)(2+=，若)()2(2a f a f >-，则实数a 的取值范围是（ ）A.),2()1,(+∞--∞YB. )2,1(-C.)1,2(-D.),1()2,(+∞--∞Y 12．已知函数()e sin x f x x =，其中x ∈R ，e 2.71828=L 为自然对数的底数．当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的图象不在直线y kx =的下方，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．2(,e )π-∞ D ．2(,e ]π-∞（Ⅱ卷 非选择题 满分90分）二、填空题（本题共有4小题，每小题5分，共20分）13．已知变量x ，y 满足约束条件20,2,0,x y y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为14．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52S S = 15.在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别c b a ,,，若ABC ∆的面积为)(21222b a c --则内角C 的余弦值=16．在三棱锥A BCD -中，底面为Rt △，且BC CD ⊥，斜边BD 上的高为1，三棱锥A BCD -的外接球的直径是AB ，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为__________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60分.17．（本题满分12分）已知数列{}n a 满足()2n n S a n n =-∈*N ． （1）证明：{}1n a +是等比数列；（2）求()13521n a a a a n +++++∈*N L ．18.（本题满分12分）已知ABC ∆是斜三角形，内角C B A ,,所对的边的长分别为c b a ,,，且C a A c cos 3sin =（1）求角C;（2）若A A B C c 2sin 5)sin(sin ,21=-+=,求ABC ∆的面积。

2020届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1}A =，{0,1,2}B =，则满足A C B =U 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知i 为虚数单位，复数93i2i 1i z -=++，则||z =（ ）A ．235+B ．2022 C ．5 D ．253．抛物线22y x =的通径长为（ ）A ．4B ．2C ．1D ．124．某地某所高中2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如下柱状图：则下列结论正确的是（ ）A ．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B ．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C ．2015年与2018年艺体达线人数相同D ．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加 5．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1,2,,9L 填入33⨯的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15．一般地，将连续的正整数21,2,3,,n L 填入n n ⨯个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方记(3)n n ≥阶幻方的对角线上的数字之和为n N ，如图三阶幻方的315N =，那么8N 的值为（ ） A ．260 B ．369 C ．400 D ．420 6．根据如下样本数据 得到的回归方程为ˆˆˆy bx a =+，则（ ） A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 7．设{}n a 是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为n S ，2n S ，3n S ，则下列等式中恒成立的是（ ） A ．322n n n S S S += B ．2233()()n n n n n n S S S S S S -=- C ．223n n n S S S = D ．223()()n n n n n n S S S S S S -=- 8．设2019log 2020a =，2020log 2019b =，120202019c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 9．已知函数()sin()(0,π0)f x x ωϕωϕ=+>-<<的最小正周期是π，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点(0,1)P ，则下列结论中正确的是（ ） A ．()f x 的最大值为2 B ．()f x 在区间ππ(,)63-上单调递增 C ．()f x 的图像关于直线π12x =对称 D ．()f x 的图像关于点π(,0)3对称 10．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使得正方体的各棱与平面α所成的角都相等，此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号则满足条件的平面α的个数为（ ）A ．1B ．3C ．4D ．611．椭圆与双曲线共焦点1F ，2F ，它们在第一象限的交点为P ，设122F PF θ∠=，椭圆与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则（ ）A ．222212cos sin 1e e θθ+= B ．222212sin cos 1e e θθ+=C ．2212221cos sin e e θθ+= D ．2212221sin cos e e θθ+=12．已知正方形ABCD 的边长为1，M 为ABC △内一点，满足10MDB MBC ∠=∠=︒， 则MAD ∠=（ ）A ．45︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．26(32)x x ++展开式中x 的系数为 ．14．设实数x ，y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，当3z x y =+时取得最小值时，直线3z x y =+与以(1,1)为圆心的圆相切，则圆的面积为 ．15．已知等差数列{}n a 的公差(0,π)d ∈，1π2a =，则使得集合{|sin(),}n M x x a n *==∈N ，恰好有两个元素的d 的值为 ．16．在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是 ；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是 ．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知A 、B 分别在射线CM 、CN （不含端点C ）上运动，2π3MCN ∠=，在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ． （1）若a ，b ，c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值； （2）若c =ABC θ∠=，试用θ表示ABC △的周长，并求周长的最大值． 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，底面是边长为4的正三角形，2PA =，PA ⊥底面ABC ，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点． （1）求证：平面BEF ⊥平面PAC ； （2）在线段PB 上是否存在点G ，使得直线AG 与平面PBC所成的角的正弦值为5？若存在，确定点G 的位置；若不存在，请说明理由．19．（12分）已知(1,0)A -，(1,0)B ，AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，||||4AP AC +=u u u r u u u r ．（1）求P 的轨迹E ； （2）过轨迹E 上任意一点P 作圆22:3O x y +=的切线1l ，2l ，设直线OP ，1l ，2l 的斜率分别是0k ，1k ，2k ，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，012111()k k k +时候是定值，请说明理由，并加以证明． 20．（12分）已知函数242()x x x f x e ++=．（1）求函数()f x的单调区间；（2）若对任意的(2,0]x∈-，不等式2(1)()m x f x+>恒成立，求实数m的取值范围．21．（12分）2019年3月5日，国务院总理李克强在做政府工作报告时说，打好精准脱贫攻坚战．江西省贫困县脱贫摘帽取得突破性进展：20192020-年，稳定实现扶贫对象“两不愁、三保障”，贫困县全部退出．围绕这个目标，江西正着力加快增收步伐，提高救助水平，改善生活条件，打好产业扶贫、保障扶贫、安居扶贫三场攻坚战．为响应国家政策，老张自力更生开了一间小型杂货店．据长期统计分析，老张的杂货店中某货物每天的需求量()m m*∈N在17与26之间，日需求量m（件）的频率()P m分布如下表所示：己知其成本为每件5元，售价为每件10元若供大于求，则每件需降价处理，处理价每件2元．（1）设每天的进货量为(16,1,2,,10)n nX X n n=+=L，视日需求量(16,1,2,,10)i iY Y i i=+=L的频率为概率(1,2,,10)iP i=L，求在每天进货量为nX的条件下，日销售量nZ的期望值()nE Z（用iP表示）；（2）在（1）的条件下，写出()nE Z和1()nE Z+的关系式，并判断X为何值时，日利润的均值最大．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为31x ty t=-⎧⎨=+⎩（t为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线π:)4C ρθ=-． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设0a >，0b >，且a b ab +=．（1）若不等式2x x a b +-≤+恒成立，求实数x 的取值范围；（2）是否存在实数a ，b ，使得48a b +=？并说明理由．2020届好教育云平台高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（一）答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由A C B =U 可知集合C 中一定有元素2，所以符合要求的集合C 有{2}，{2,0}，{2,1}，{2,0,1}共4种情况．2．【答案】C【解析】对复数z 进行化简：93i (93i)(1i)2i 2i 34i 1i 2z ---=+=+=-+，所以5z ==．3．【答案】D【解析】标准化212x y =，通径122p =．4．【答案】D【解析】设2015年该校参加高考的人数为S ，则2018年该校参加高考的人数为1.5S ．对于选项A ，2015年一本达线人数为0.28S ，2018年一本达线人数为0.24 1.50.36S S ⨯=， 可见一本达线人数增加了，故选项A 错误；对于选项B ，2015年二本达线人数为0.32S ，2018年二本达线人数为0.4 1.50.6S S ⨯=， 显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B 错误；对于选项C ，2015年和2018年，艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C 错误； 对于选项D ，2015年不上线人数为0.32S ，2018年不上线人数为0.28 1.50.42S S ⨯=， 不达线人数有所增加．5．【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，31(123456789)153N =++++++++=，41(12345678910111213141516)344N =+++++++++++++++=，51(125N =+345678910111213141516171819+++++++++++++++++202122232425)65++++++=，…， ∴222211(1)(1)(12345)22n n n n n N n n n ++=++++++=⨯=L ， ∴288(81)2602N +==． 6．【答案】A 【解析】画出散点图知0a >，0b <，故选A ． 7．【答案】D 【解析】由等比数列的性质得n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，2232()()n n n n n S S S S S -=-，化简得223()()n n n n n n S S S S S S -=-． 8．【答案】C 【解析】220192019201920191111log 2019log log 2020log 201912222a =<==<=，2020202020201110log log 2019log 2020222b <==<=，1202020191c =>． 9．【答案】B 【解析】由条件知π()sin(2)6f x x =-，结合图像得B ． 10．【答案】C 【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，四面体11A B D C -的四面与12条棱所成的角相等， ∴正方体的12条棱所在的直线所成的角均相等的平面有4个． 11．【答案】B 【解析】设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 交点P 到两焦点的距离分别为,(0)m n m n >>，焦距为2c ， 则2222cos 2(2)m n mn c θ+-=， 又12m n a +=，22m n a -=，故12m a a =+，12n a a =-，2222222221212222212sin cos sin cos (1cos 2)(1cos 2)211a a a a c c c e e θθθθθθ-++=⇒+=⇒+=． 12．【答案】D 【解析】设正方形ABCD 的边长为1， 在BMD △中，由正弦定理得2sin 35sin 35sin135DM DB DM =⇒=︒︒︒，在AMD △中，由余弦定理得2214sin 354sin35cos551AM =+︒-︒︒=，∴AMD △为等腰三角形，70MAD ∠=︒．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】576【解析】26(32)x x ++展开式中含x 的项为15565C (3)C 26332576x x x ⋅⋅=⨯⨯=，即x 的系数为576．14．【答案】5π2 【解析】当直线过点(1,2)-时，3z x y =+取得最小值1-，故1010r d ===，从而圆的面积为5π2．15．【答案】2π3【解析】要使得集合S 恰好有两个元素，可以使2a ，3a 的终边关于y 轴对称，此时2π3d =．16．【答案】3；5π【解析】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ，由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =，即为点P 到底面ABC 的距离， 由11PP A PPC ≌△△，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，1，3）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =， 所以球的表面积为254π()5π=．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）7；（2）周长π()2sin()33f θθ=+，π6θ=时，()f θ取得最大值为23． 【解析】（1）a ，b ，c 成等差数列，且公差为2，∴4a c =-，2b c =-， 又2π3MCN ∠=，1cos 2C =-，∴222(4)(2)12(4)(2)2c c c c c -+--=---， 恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =， 又∵4c >，∴7c =． （2）在ABC △中，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠， ∴32πsin sin()sin 33AC BC θθ===-，2sin AC θ=，π2sin()3BC θ=-， ∴ABC △的周长π()||||||2sin 2sin()33f AC BC AB θθθ=++=+-+13π2[sin ]32sin()323θθθ=++=++， 又∵π(0,)3θ∈，∴ππ2π333θ<+<， 当ππ32θ+=，即π6θ=时，()f θ取得最大值23． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，G 为线段PB 的中点． 【解析】（1）证明：∵AB BC =，E 为AC 的中点，∴BE AC ⊥， 又PA ⊥平面ABCP ，BE ⊂平面ABC ，∴PA BE ⊥， ∵PA AC A =I ，∴BE ⊥平面PAC ， ∵BE ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面PAC ． （2）如图，由（1）知，PA BE ⊥，PA AC ⊥，点E ，F 分别为AC ，PC 的中点，∴EF PA ∥，∴EF BE ⊥，EF AC ⊥， 又BE AC ⊥，∴EB ，EC ，EF 两两垂直， 分别以EB u u u r ，EC uuu r ，EF u u u r 方向为x ，y ，z 轴建立坐标系，则(0,2,0)A -，(0,2,2)P -，(23,0,0)B ，(0,2,0)C ，设(23,2,2)BG BP λλλλ==--u u u r u u u r ，[0,1]λ∈， 所以(23(1),2(1),2)AG AB BG λλλ=+=--u u u r u u u r u u u r ，(23,2,0)BC =-u u u r ，(0,4,2)PC -u u u r ，设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则023204200BC x y y z PC ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩u u ur u u u r n n ，令1x =，则3y =，23z =，∴(1,3,23)=n ，由已知221515431552||||416(1)4AG AG λλλ⋅=⇒=⇒=⋅-+uu u ru u u r n n 或1110（舍去）， 故12λ=，故线段PB 上存在点G ，使得直线AG 与平面PBG 所成的角的正弦值为155，此时G 为线段PB 的中点．19．【答案】（1）22:143x y E +=；（2）为定值，详见解析．【解析】（1）方法一：如图因为AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，所以四边形ACPB 是平行四边形， 所以||||BP AC =u u u r u u u r ，由||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得||||4AP BP +=u u u r u u u r ，所以P 的轨迹以A ，B 为焦点的椭圆易知24a =，1c =，所以方程E 为22143x y +=．方法二：设(,)P x y ，由AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，得(1,)AC AP AB BP x y =-==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，再||||4AP AC +=u u u r u u u r ，得2222(1)(1)4x y x y +++-+=， 移项2222(1)4(1)x y x y ++=--+，平方化简得22143x y +=． （从2222(1)(1)4x y x y +++-+=发现是椭圆方程也可以直接得24a =，1c =）． （2）设00(,)P x y ，过P 的斜率为k 的直线为00()y y k x x -=-， 由直线与圆O 相切可得0231k =+，即2220000(3)230x k x y k y --+-=， 由已知可得1k ，2k 是方程（关于k ）2220000(3)230x k x y k y --+-=的两个根， 所以由韦达定理：0012202012202333x y k k x y k k x ⎧+=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除0012212023x y k k k k y +=⋅-， 又因为2200143x y +=，所以2200334y x -=-， 代入上式可得01212083y k k k k x +=-⋅，即0121118()3k k k +=-为定值． 20．【答案】（1）见解析；（2）2(1,]e ． 【解析】（1）2(22)()x x x f x e -+-'=，记2()22g x x x =--+， 令()0g x >，得1313x -<<-，函数()f x 在(13,13)--上单调递增；()0g x <，得13x <-13x >-+()f x 在(,13)-∞--或(13,)-++∞上单调递减．（2）记2()2(1)42x h x me x x x =+---，由(0)0221h m m >⇒>⇒>，()0h x '=，得2x =-或ln x m =-，∵(2,0]x ∈-，所以2(2)0x +>．①当21m e <<时，ln (2,0)m -∈-，且(2,ln )x m ∈--时，()0h x '<； (ln ,0)x m ∈-时，()0h x '>，所以min ()(ln )ln (2ln )0h x h m m m =-=⋅->，∴(2,0]x ∈-时，()0h x >恒成立；②当2m e =时，2()2(2)(1)x h x x e +'=+-，因为(2,0]x ∈-，所以()0h x '>，此时()h x 单调递增，且22(2)2(1)4820h e e --=--+-=，所以(2,0]x ∈-，()(2)0h x h >-=成立； ③当2m e >时，2(2)220mh e -=-+<，(0)220h m =->，所以存在0(2,0)x ∈-使得0()0h x =，因此()0h x >不恒成立，综上，m 的取值范围是2(1,]e ．21．【答案】（1）见解析；（2）20件．【解析】（1）当日需求量n m X ≤时，日销售量n Z 为m ；日需求量n m X >时，日销售量n Z 为n X ，故日销售量n Z 的期望()n E Z 为：当19n ≤≤时，1011()(16)(16)n n i i i i n E Z i P n P ==+=+++∑∑；当10n =时，10101()(16)i i E Z i P ==+∑．（2）1101010112111()(16)(161)(16)(161)()n n n i i i i n i i i n i i n i n E Z i P n P i P n P E Z P ++==+==+=+=++++=++++=+∑∑∑∑∑， 设每天进货量为n X ，日利润为n ξ，则()5()3[(16)()]8()3(16)n n n n E E Z n E Z E Z n ξ=-+-=-+，111210()()8[()()]38()3n n n n n n E E E Z E Z P P P ξξ++++-=--=+++-L ， 由1125()()08n n n E E P P P ξξ+-≥⇒+++≤L ， 又∵123450.668P P P P +++=>，12350.538P P P ++=<， ∴4()E ξ最大，所以应进货20件时，日利润均值最大． 22．【答案】（1）:40l x y +-=，22:(1)(1)2C x y -+-=；（2）． 【解析】（1）由31x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t ，得40x y +-=， 所以直线l 的普通方程为40x y +-=，由πππ)cos sin sin )2cos 2sin 444ρθθθθθ=-=+=+， 得22cos 2sin ρρθρθ=+， 将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （2）设曲线C上的点为(1,1)P αα++， 则点P 到直线l的距离d ==π|2sin()2|α+-= 当πsin()14α+=-时，max d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为 23．【答案】（1）[]1,3-；（2）不存在，详见解析． 【解析】（1）由a b ab +=，得111a b +=，11()()4a b a b a b +=++≥=， 当且仅当2a b ==时""=成立．不等式2x x a b +-≤+，即为24x x +-≤，当0x <时，不等式为224x -+≤，此时10x -≤<； 当02x ≤≤时，不等式24≤成立，此时02x ≤≤； 当2x >时，不等式为224x -≤，此时23x <≤， 综上，实数x 的取值范围是[]1,3-．（2）由于0a >，0b >， 则1144(4)()5b a a b a b a b a b +=++=++59≥+=， 当且仅当4b a a b a b ab⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即32a =，3b =时，4a b +取得最小值9， 所以不存在实数a ，b ，使得48a b +=成立．。

理科数学答案全解全析一、选择题1. 【答案】D【解析】集合 A 满足： x2  3x  4  0 ，( x  4)( x  1)  0 ， x  4 或x  1 ， A  {x | x  4 或 x  1} ， CU A={x | 1„ x „ 4} ， y  2x  2  2 ， B  {y | y  2} ，可知 (CU A)  B  {x | 2  x „ 4} .故选 D. 2. 【答案】A【解析】 z  1  i  (1  i)(1  2i)  1  3i ，复数 z 的虚部为  3 ，1 2i555故错误；② | z | ( 1)2  ( 3)2  10 ，故错误；③复数 z 对应的555点为 ( 1 ， 3) 为第三象限内的点，故正确；④复数不能比较大小， 55故错误.故选 A.3. 【答案】C【解析】 Sn  2an  4 ，可得当 n  1 时， a1  2a1  4 ， a1  4 ，当n…2时，S n 12 an 14与已知相减可得an an 12，可知数列{ an } 是首项为 4，公比为 2 的等比数列， a5  4  24  64 .故选 C.4. 【答案】D【解析】可知降落的概率为pA22 A55 A661 3.故选D.5. 【答案】C【解析】函数 f (x)  2 020x  sin 2x 满足 f (x)  2 020x  sin 2x  f (x) ，且 f (x)  2 020  2cos 2x  0 ，可知函数 f (x) 为单调递增的奇函数， f (x2  x)  f (1  t) 0 可以变为 f (x2  x)  f (1  t) f (t  1) ，可知 x2  x t  1 ，t „ x2  x  1 ，x2  x  1  (x  1)2 2 3 3 ，可知实数 t „ 3 ，故实数 t 的取值范围为 (∞，3] .故选 C.44446. 【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为 y   3x ，可得双曲线的方程为x2  y2   ，把点 P(2，3) 代入可得 4  3= ，   1 ，双曲线的 3方程为 x2  y2  1，c2  1  3  4，c  2，F(2，0) ，可得 A(2，2 3) ， 3B(2， 23)，可得SAOB1 224343 .故选 A.7. 【答案】B【解析】 f (x)  sin(x  π )sin x  cos2 x3 (sin x cos π  cos x sin π )sin x  1  cos 2x332 3 sin 2x  1 cos 2x  3  1 ( 3 sin 2x  1 cos 2x)  3444 2224 1 sin(2x  π )  3264把函数 f (x) 的图象向右平移 π 单位，再把横坐标缩小到原来的一 6半，得到函数 g(x) ，可得 g (x)  1 sin(4x  π )  3 ，最小正周期为2642π  π ，故选项 A 错误； x  π ， 4x  π  4  π  π  π ，故选426666 2项 B 正确；最大值为 1  3  5 ，故选项 C 错误；对称中心的方程 244为 (kπ  π ，3)(k  Z) ，故选项 D 错误.故选 B. 4 24 48. 【答案】D【解析】可知 BDC  120°，且 AD  3 ，BD  DC  1 ，在 BDC中，根据余弦定理可得 BC 2  1  1  2 11 cos120° 3， BC  3 ，据正弦定理可得 BC  2r ， sin120°3 32r，r 1 ， O1 为 BDC2的外心，过点 O1 作 O1O  平面 BDC ， O 为三棱锥 A  BCD 的外 接球的球心，过点 O 作 OK  AD ， K 为 AD 的中点，连接 OD 即为外接球的半径 R  12  ( 3 )2  7 ，可得外接球的表面积为22S  4πR2  4π  ( 7 )2  7π .故选 D. 29. 【答案】C【解析】二项式 (x  y)n 的展开式的二项式项的系数和为 64 ，可得 2n  64 ，n  6 ，(2x  3)n  (2x  3)6 ，设 x  1  t ，2x  3  2t  1 ，(2x  3)n  (2x  3)6  (2t  1)6  a 0  a1t  a 2t 2   a 6t 6 ，可得 Tr1  C64 (2t)6414  C64 22t 2  60t 2 ，可知 a2  60 .故选 C. 10.【答案】A【解析】设点 P(x0 ，y0) ，则 x0  y0  6  0 ，则过点 P 向圆 C 作切 线，切点为 A，B ，连接 AB ，则直线 AB 的方程为 xx0  yy0  4 ，可得y0x06，代入可得(xy) x06y40，满足 x y 0 6y  4  0 x 2 3，故过定点为M(2，2).故选A. y2 33311.【答案】B【解析】f (x)  log2 (x2  e|x|) ，定义域为 R ，且满足 f ( x)  f (| x |) ，当 x  0 时，单调递增，而 (5)0.2  1 ， 0  (1)0.3  1 ， b  a ，42cf(log 125)  4f( log25) 4f(log25 4)，而0log25 4 log221， 2( 1 )0.3 21 2，  log 25 4 (1)0.3 ， 2f(log25)  4f(( 1 )0.3 ) 2，故 c a，故 c  a  b .故选 B.12.【答案】D【解析】f (x1)  f (x2 ) x1  x21 x1x2，不妨设 x1x2 ，则f( x1) f (x2 ) 1 x21 x1，整理可得f (x1) 1 x1f (x2 ) 1 x2，设函数 h(x) f (x) 1 xa ln xx1 x在[e2 ，e4 ]上单调递减，可知 h'(x)a(1  ln x2x)1 x2„0，可知 a…1 1  lnx，而函数F ( x)1 1 lnx在[e2，e4 ]单调递增，F (x)maxF (4)11 41 3，可知实数a…1 3.故选D.二、填空题13.【答案】 9 5 5【解析】向量 a b在 a上的投影为| a b|cos (a b)  a|a| (1，5)  (1，2)  9 5 .5514.【答案】 5  2 6【解析】首先作出可行域，把 z  ax  by(a  0，b  0) 变形为 y  a x  z ，根据图象可知当目标函数过点 A 时，取最大值为 1， bb理科数学答案第 1 页（共 4 页） x 2x y 1 0 y40A(3，2)，代入可得3a2b1，则1 a1 b3a a2b 3a  2b  3  2b  3a  2 5  2 2b  3a  5  2 6 ，当且仅当bababb  6 a 取等号，可知最小值为 5  2 6 .故选 C. 215.【答案】 4 3【解析】 cos A  cos B  2 3 sin C ，根据正弦定理 sin B cos A ab3asin Acos B  2 3 sin B sin C ，可知 sin( A  B)  2 3 sin B sin C ，33sin C  2 3 sin B sin C ，sin B  3 ，在 ABC 内，可知 B  π 或3232π ，因为锐角 ABC ，可知 B  π ，利用余弦定理可得 b2  a2  c2 332ac cos B  a2  c2  ac 2ac  ac  ac ，可知 ac „ 16 ，则 ABC 的面积的最大值 1 ac sin B „ 1 16  3  4 3 ，当且仅当 a  c 时，取222等号，故面积的最大值为 4 3 .16.【答案】 4 5【解析】抛物线 C ：y2  2 px( p  0) 的准线方程为 x  2 ，可知抛物线 C 的方程为：y2  8x ，设点 A(x1 ，y1) ，B(x2 ，y2 ) ，AB 的中点为 M (x0 ，y0 ) ，则 y12  8x1 ，y22  8x2 两式相减可得 ( y1  y2 )( y1  y2 ) 8(x1 x2 )，y1  y2  x1  x2 8 y1  y2 ，可知    8  (1)  1 2 y0 x0  y0  6  0，解得  x0 y02 4，可得 M(2，4)，则 OA  OB  2OM  2(2，4)  (4，8) ，可得 | OA  OB |  | (4，8) |  42  82  4 5 .三、解答题17.【解析】（1） a1  1，an1  2an  1 ，可得 an1  1  2(an  1) ，{an  1} 是首项为 2，公比为 2 的等比数列.--------------- 2 分  an  1  2  2n1  2n ， an  2n  1 .即数列 { an } 的通项公式 an  2n  1 .--------------- 4 分数列 { bn } 的前 n 项的和为 Sn  n2 ，可得 b1  S1  1 ，当 n 2 时， bn  Sn  Sn1  n2  (n  1)2  2n  1 ，故数列 { bn } 的通项公式为 bn  2n  1 .--------------- 6 分（2）可知 cn  bn  an  (2n  1)  (2n  1) (2n  1)  2n  (2n  1) --------------- 7 分设 An  1 2  3 22  5  23   (2n  1)  2 n ， 2 An  1 22  3  23    (2n  3)  2 n  (2n 1)  2 n 1 ， 两式相减可得  An  2  2(22  23   2 n)  (2n  1)  2 n 1 ，可得 An  6  (2n  1)  2n1  2n2 ，--------------- 10 分而数列 {2n 1}的前n项的和为Bn(1 2n 1)  2nn2，所以 Tn  6  (2n  1)  2n1  2n2  n2 .--------------- 12 分 18.【解析】（1）证明： PD  面 ABCD ， PD  BC ，在梯形 ABCD 中，过 B 作 BH  DC 交 DC 于 H ， BH  1 ，BD  DH 2  BH 2  1  1  2 ，BC  2 ，( 2)2  ( 2)2  22 ，即 DB2  BC 2  DC 2 ，即 BC  DB .--------------- 2 分  BC  DB ， PD  BD  D ， BC  平面 PDB ，  BC  平面 EBC 平面 PBC  平面 PDB .--------------- 4 分 （2）连接 PH ， BH  面 PDC ，BPH 为 PB 与面 PDC 所成的角， tan BPH  BH  1 ， BH  1 ， PH  2 ， PH 2 PD2  DH 2  PH 2 ， PD2  1  2 ， PD  1 ，--------------- 6 分以 D 为原点，分别以 DA ， DC 与 PD 为 x ，y ，z 轴，建立如图所示的E(空0间，2直，角12)坐，标可系知，则PBP(0(1，，01，，1) ，1)A，(A1，B0，(00)，，1B，(01)，1，，0) ，C (0，2，0) ，设平面PAB 可知 PB  a AB  a 设平面 PEB的法向量为 a  (x，y，z) ， 0 0  xy y z 00，可取 a(1，0，1)，-----------的法向量为 b(x，y ，z ) ，BE(1，1，1)，8分2可知 PB BE  b b 0 0 x x y y z 1 2 z0 0 ，可取 b(3，1，4)，-----10分可知两向量的夹角的余弦值为 cos  a  b  1 3  0 11 4| a || b | 1 1 32 1  42 7 13 ，可知两平面所成的角为钝角，可知两平面所成角的余弦 26值为  7 13 .--------------- 12 分 2619.【解析】（1）完成 2  2 列联表， 满意 不满意总计男生302555女生50合计80156540120 ----------- 4 分根据列联表中的数据，得到 K 2  120  (30 15  25  50)2 55 65 80  40 960  6.713  6.635 ，所以有 99% 的把握认为对“线上教育是否 143满意与性别有关”.--------------- 6 分（2）由（1）可知男生抽 3 人，女生抽 5 人，   0，1，2，3 .P(0)C53 C835 ，P( 28 1)C52C31 C8315 28，P(2)C51C32 C8315 ，P( 563)C33 C831 56.---------------8分可得分布列为0123P515152828561------------ 10 分56可得 E( )  0  5  1 15  2  15  3 1  9 .--------------- 12 分 28 28 56 56 820.【解析】（1）x2  4 y ，焦点 F (0 ， 1) ，代入得 b 1，e  c  2 ， a2a2  b2  c2 ，解得 a2  2，b2  1 ， x2  y2  1 ，-------------- 2 分 2 直线的斜率为 1，且经过 (1，0) ，则直线方程为 y  x 1 ，联立   x2 2y2 1，解得y  x 1，x y 0 1或 x y 4 3 1 3， ，C(0，1) ，D( 4 ，1) ，--------------- 4 分 33理科数学答案第 2 页（共 4 页）| CD |  4 2 ，又原点 O 到直线 y  x 1 的距离 d 为 2 ，32 SCOD1 2| CD|d1 242 32  2 .--------------- 6 分 23（2）根据题意可知直线 m 的斜率存在，可设直线 m 的方程为： y  kx  t，ykxt，联立  x2  2y2 1，(2k 2 1)x24ktx2t 220，可得   (4kt)2  4(2k 2  1)(2t 2  2)  0 ，整理可得 t 2  2k 2  1 ，可知 F2 (1，0) ， A(1，k  t)，B(2，2k  t) ，--------------- 8 分则 | AF2 |  (1 1)2  (k  t  0)2 k 2  2kt  t2| BF2 | (2 1)2  (2k  t  0)2 1  (4k 2  4kt  t2) k 2  2kt  t2  2 为定值.--------------- 12 分 2k 2  4kt  2t 2 221.【解析】（1）函数 f (x) 的定义域为 (0， ∞) ，f (x)  x  a  1  x2  ax  1 ，设 h(x)  x2  ax  1 ，xx函数 h(x) 在 (1，3) 内有且只有一个零点，满足 h(1)  h(3)  0 ，可得 (1  a  1)(9  3a  1)  0 ，解得 2  a  10 ， 3故实数 a 的取值范围为 (2，10) .--------------- 4 分3（2） 2 f (x)  2x  2 „ (a 1)x2 ，可以变形为 2ln x  2x  2 „a(x22x)，因为x0，可得a…2ln x x2 2x   2x2，--------------6分设g(x)2ln x  2x  x2  2x2，g' ( x)2(x  1)(2ln x (x2  2x)2x).设 h(x)  2 ln x  x ，h(x) 在 (0， ∞) 单调递增，h(1 )  2ln 2  1  0 ， h(1)  1  0 .22故存在一点 x0  (0.5，1) ，使得 h(x0 )  0 ，--------------- 8 分当 0  x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 单调递增；当 x  x0 时， h(x)  0，g'(x)  0 ，函数 g(x) 的最大值为 g(x0) ，且 2 ln x0  x0  0 ，--------------- 10 分g (x)max g(x0) 2ln x0  2x0  2  x02  2x01 x0，可知 a 1 x0，又1 x0 (1，2) ，可得整数 a 的最小值为 2.--------------- 12 分22.【解析】（1）由题可知：2 2   2 cos2   6 ， 2(x2  y2 )  x2  6 ，曲线 C 的直角坐标方程为 y2  x2  1 ， 32直线 l 的普通方程为 3x  4 y  4  3a  0 ，--------------- 3 分两方程联立可得 33x2  6  (4  3a)x  (4  3a)2  48  0 ，可知   [6  (4  3a)]2  4  33  [(4  3a)2  48]  0 ，解得 a  66  4 或 a   66  4 .--------------- 6 分33（2）曲线 C 的方程y2x21，可设x 2 cos ，32 y  3 sin则 2x  3y  2 2 cos  3 3 sin  (2 2)2  (3 3)2 sin(  ) ，其中 tan  2 6 ，可知最大值为 9(2 2)2  (3 3)2  35 .--------------- 10 分 23.【解析】（1）当 a  1 时， f (x)  | 3x  6 |  | x  1 |  x 10 ，当 x  1时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1；--------------- 2 分 当 1„ x „ 2 时， (3x  6)  (x  1)  x 10 ，解得 x „ 1 ， 可得 x  1； 当 x  2 时， (3x  6)  (x 1)  x 10 ，解得 x 5 ， 综上可得 {x | x 5或x „ 1} .--------------- 4 分 （2）由 f (x)  0 可知， f (x)  | 3x  6 |  | x 1| ax  0 ， | 3x  6 |  | x 1|  ax ，设 g(x)  | 3x  6 |  | x 1| ， h(x)  ax ， 同一坐标系中作出两函数的图象如图所示，--------------- 6 分 4x  5，x  1， g(x)  2x  7，1„ x „ 2，可得 A(2，3) ， 4x  5，x  2， 当函数 h(x) 与函数 g (x) 的图象有两个交点时，方程 f (x)  0 有两 个不同的实数根，--------------- 8 分由函数图象可知，当 3  a  4 时，有两个不同的解，故实数 a 的 2取值范围为 ( 3 ，4) .--------------- 10 分 2理科数学答案第 3 页（共 4 页）理科数学答案第 4 页（共 4 页）。

开卷教育联盟2020届全国高三模拟考试（一）数学（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|60M x x x =+-<，{}|03N x x =<<，则M N =I ( )A. ()2,2-B. ()0,3C. ()0,2D. ()4,3-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，再由集合交集运算即可求解.【详解】集合{}2|60M x x x =+-<，解一元二次不等式可得{}|32M x x =-<<{}|03N x x =<<，由交集运算可得{}{}{}|32|03|02x x x x x M x N -<<⋂<<=<=<I ， 即()0,2M N =I ， 故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的简单运算，属于基础题. 2.设i 为虚数单位，若复数z 满足()255z i i ⋅-=-，则复数z 的虚部为( ) A. -1 B. i -C. -2D. 2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简，求得复数z ，再根据复数的概念即可求得虚部. 【详解】复数z 满足()255z i i ⋅-=-， 则化简可得552iz i-=-， 由复数除法运算化简可得()()()()5525515532225i i i iz i i i i -+--====---+，所以复数z 的虚部为1-， 故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念应用，属于基础题. 3.已知0.2log 2a =，0.33b =，3log 2c =，则( ) A. a b c << B. a c b << C. c a b << D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的图像与性质，借助中间值法即可比较大小. 【详解】由对数函数的图像与性质可得0.2log 20a =<，0.331b =>，30log 21c <=<，所以a c b <<， 故选：B.【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像与性质应用，由中间值法比较大小，属于基础题.4.我们规定离心率e =( ) ①一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆；②短轴长与长轴长之比为的椭圆是优美椭圆；③椭圆2212x =是优美椭圆；④焦距、短轴长、长轴长成等比数列的椭圆是优美椭圆. A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，结合定义即可求得四个选项中的椭圆离心率，即可判断是否为优美椭圆.【详解】对于A ，一个焦点、一个短轴顶点与一个长轴顶点构成直角三角形的椭圆是优美椭圆，则满足()()()22222a c a b b c +=+++，化简可得220a ac c --=，即210e e +-=，解得12e -+=或12e -=，所以A 正确；对于B ，即b a =，则12c e a ====≠，所以B 错误；对于C ，椭圆2212x +=，则12c e a ====，所以C 正确； 对于D ，焦距、短轴长、长轴长成等比数列，即()2222b c a =⨯，化简可得220a ac c --=，由A 可知，D 中椭圆为优美椭圆，所以D 正确， 综上可知，正确的为ACD ， 故选：C.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质简单应用，椭圆离心率的求法，属于基础题.5.我国传统文化中有天干地支之说，天干为“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”.其中甲、乙五行属木，归东方，丙、丁五行属火，归南方，戊、己五行属土，归中央，庚、辛五行属金，归西方，壬、癸五行属水，归北方.在天干十个字中随机取两个，则它们五行属性相同的概率是( ) A.19B.18C.17D.16【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型概率，结合排列数求法，即可得解.【详解】从天干十个字中随机取两个，所有取的种类为210109452C ⨯==， 共有金木水火土五行，所以随机取的两个五行相同的概率为51459=， 故选：A.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，组合数计算公式的简单应用，属于基础题. 6.函数()()22xf x x x e =-的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式求得导函数，并求得极值点，由极值点个数可排除AD ；再由0x <时，()f x 恒为正，排除C 即可得解.【详解】函数()()22xf x x x e =-，则()()22xf x x e '=-，令()0f x '=，解得()f x 的两个极值点为2±，故排除AD ， 且当0x <时，()f x 恒为正，排除C ， 即只有B 选项符合要求， 故选：B.【点睛】本题考查了由函数解析式判断函数图像，导函数与函数图像的关系应用，属于基础题.7.已知非零向量OA u u u r ，OB uuu r 满足213515OA OB AB ==u u u r u u u r u u u r ，则OA u u u r ，OB uuu r的夹角为( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量模长的等量关系，可得三条边长的比值，结合余弦定理即可求得OA u u u r ，OB uuu r夹角的余弦值，进而求得OA u u u r ，OB uuu r的夹角.【详解】非零向量OA u u u r ，OB uuu r满足213515OA OB AB ==u u u r u u u r u u u r ，则::5:3:7OA OB AB =u u u r u u u r u u u r， 设3OB t =u u u r，0t >， 则5OA t =u u u r ，7AB t =u u u r，由余弦定理求得()()()2225371cos 2532t t t AOB t t+-∠==-⨯⨯.而0AOB π<∠<，所以23AOB π∠=， 即OA u u u r ，OB uuu r的夹角为23π， 故选：C.【点睛】本题考查了平面向量模长关系，余弦定理在解三角形中的应用，平面向量夹角的求法，属于基础题.8.执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A. 5B. 4C. 3D. 2【答案】D 【解析】阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：1,100,0t M S ===，然后进入循环体：此时应满足t N ≤，执行循环语句：100,10,1210MS S M M t t =+==-=-=+=； 此时应满足t N ≤，执行循环语句：90,1,1310MS S M M t t =+==-==+=； 此时满足91S <，可以跳出循环，则输入的正整数N 的最小值为2.故选D.【名师点睛】对算法与程序框图的考查，侧重于对程序框图中循环结构的考查.先明晰算法及程序框图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环的起始条件、循环次数、循环的终止条件，更要通过循环规律，明确程序框图研究的数学问题，是求和还是求项.9.记集合{}11A a =，{}223,A a a =，{}3456,,A a a a =，{}478910,,,A a a a a =，…，其中{}n a 为公差大于0的等差数列，若{}23,7A =，则195属于( ) A. 10A B. 11AC. 12AD. 13A【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，先求得数列{}n a 的通项公式，进而判断出195的项数；结合等差数列求和公式，即可判断出195所在的集合.【详解】数列{}n a 为公差大于0的等差数列，{}23,7A =， 则23a =，37a =， ∴45n a n =-， 故195是第50项， 前9个集合共()9919452S ⨯+==项，第10个集合有10项， 所以第50项属于10A . 故选：A.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法及等差数列前n 项和公式的简单应用，属于基础题. 10.已知椭圆C 的两个焦点为()0,1±，过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，且122k k =-，则C 的方程为( )A. 2212x y +=B. 22132x y +=C. 22123x y +=D. 2212y x +=【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程可知两直线分别过上、下两顶点，设两直线交点为(),P x y ，由两点间斜率公式及122k k =-化简可得椭圆的标准方程，结合焦点坐标即可确定参数a ，进而代入可得椭圆的方程.【详解】过顶点的直线1l ：1y k x a =+与2l ：()20y k x a a =-≠的交点恰好在C 上，则两直线分别过上、下两顶点，设两条直线的交点为(),P x y ，则有2y a y ax x-+⋅=-，化简得222212y x a a +=， 由椭圆C 的两个焦点为()0,1±，所以可得2212a a -=，解得22a =，故选：D.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及几何性质的简单应用，两点间斜率公式的应用，注意焦点的位置，属于中档题.11.已知函数()()sin cos f x a x b x x R =+∈，若0x x =是函数()f x 的一条对称轴，且0tan 3x =-，则点(),a b 所在的直线方程为( )A. 30x y -=B. 30x y +=C. 30x y -=D. 30x y +=【答案】B 【解析】 【分析】由辅助角公式对三角函数式化简，结合正弦函数对称轴的性质求得0x 的表达式，代入条件0tan 3x =-中，用诱导公式化简即可求得30a b +=，即可得点(),a b 所在的直线方程. 【详解】由辅助角公式化简函数可得()()sin cos f x a x b x x R =+∈x x ⎫=+⎪⎭(),tan b x aαα=+=则对称轴满足,2x k k Z παπ+=+∈，则,2x k k Z παπ=-+∈因为0x x =是函数()f x 的一条对称轴， 则0,2x k k Z παπ=-+∈，则0sin 12tan tan tan 22tan cos 2x k παππαπαπαα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-+=-== ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，即3ab-=，所以30a b +=， 即点(),a b 所在的直线方程为30x y +=， 故选：B.【点睛】本题考查了辅助角公式在三角函数式化简中的应用，正弦函数对称轴性质应用，正切函数诱导公式的简单应用，属于中档题.12.已知四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的球面上，M 为AB 中点，ABC ∆，ABD ∆，CDM ∆都是正三角形，若6AB =，则球O 的表面积为( ) A. 52π B. 54πC. 56πD. 60π【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出四面体ABCD ，过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，可知两条直线相交于一点O ，点O 即为ABCD 外接球球心；由等边三角形外心性质，结合线段关系即可求得外接球的半径，进而得球的表面积.【详解】过ABC ∆，ABD ∆的外心1O ，2O 分别作平面ABC ，ABD 的垂线，显然两垂线都在平面CDM 内，故它们相交于一点O ，点O 为外接球球心，如下图所示：因为6AB =，所以在CDM ∆中，226333MC MD =-=12133MO MO MC ===，1230OMO OMO ∠=∠=︒，∴1231OO OO ===o ，所以22222112133133R OC OO CO ⎛==+=+⨯= ⎝， 球的表面积2452R ππ=. 故选：A.【点睛】本题考查了四面体外接球的求法，等边三角形外心性质的应用，球表面积的求法，对空间想象能力要求高，属于难题.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.曲线sin xy e x =⋅在点()0,0处的切线方程为______.【答案】0x y -= 【解析】【分析】根据曲线先求得导函数，即可求得当0x =的到数值，即为切线斜率，再由点斜式即可得切线方程. 【详解】曲线sin x y e x =⋅， 则sin cos xxy e x x e '=⋅+⋅()sin cos x e x x =+则当0x =时，()0sin0cos01k y e ='=+=，所以y x =，即0x y -=， 故答案：0x y -=.【点睛】本题考查了导数的几何意义应用，切线方程的求法，属于基础题.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =，2463a a =，则5S =______.【答案】121 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式，可代入等式求得公比，再由等比数列前n 项和公式即可求得5S .【详解】等比数列{}n a ，由2463a a =，则()235113a qa q =，因为11a =，代入可得653q q =，解得3q =，所以由等比数列的前n 项和公式可得551312113S -==-，故答案为：121.【点睛】本题考查了等比数列通项公式及前n 项和公式的简单应用，属于基础题.15.在抗击“非洲猪瘟”的战斗中，某市场防疫检测所得知一批共10只猪中混入了3只携带病毒的猪，在没有传染扩散前，马上逐个不放回地检测，每次抽中各只猪的机会均等，直到检测出所有病猪就停止检测，则恰在第六次检测后停止的概率是______. 【答案】112【解析】 【分析】恰在第六次检测后停止说明第六次检测出的为携带病毒的猪，前5只检测的猪有3只健康猪和两只携带病毒的猪，分步计算出前六个位置安排的方法数，结合总的排序数，即可得概率值. 【详解】恰在第六次停止即前五只猪3好2病，第六只是病猪，则从7只健康的猪中选择3只37C 种方法，将选出的3只猪排列在前五个位置共有35A 种方法，将前五个位置中的两个空位和第六个位置安排携带病毒的猪共有33A 种方法，故共有333753C A A ⋅⋅种排列，前6只猪共有610A 种排列，故概率为3337536107655433211123109876512A A C A ⋅⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯. 故答案为：112. 【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，分步乘法计数原理及概率求法，属于中档题.16.已知抛物线28y x =的焦点到双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>线E 的离心率的取值范围是______. 【答案】(]1,2 【解析】 【分析】根据抛物线方程求得焦点坐标，由双曲线方程可得渐近线方程，根据点到直线距离公式及题设，即可得,b c 的不等式，结合双曲线中,,a b c 关系即可求得离心率的范围. 【详解】抛物线28y x =，则焦点坐标为()2,0，双曲线E ：()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，则由题意可得点()2,0到直线0bx ay ±=2bc=≤ 所以2243b c ≤，即()22243c ac-≤，224c a ≤，2ce a=≤， 故双曲线E离心率的取值范围是(]1,2.故答案为：(]1,2.【点睛】本题考查了圆锥曲线的综合应用，抛物线的焦点及双曲线渐近线方程的求法，点到直线距离公式的应用及双曲线离心率取值范围的求法，一元二次不等式的解法，综合性强，属于中档题.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.） （一）必考题：共60分.17.已知向量,14x m ⎫=⎪⎭u r ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅u r r .（1）求()f x 的最小值，并求此时x 的值；（2）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()12f B =，2a =，3c =，求sin A 的值.【答案】（1）443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 的最小值为12-；（2）7. 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标运算，结合三角函数降幂公式及辅助角公式化简三角函数式，结合正弦函数图像与性质即可求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 的值；（2）将B 代入函数解析式，结合等量关系可求得B ，进而由余弦定理可求得b ，再根据正弦定理即可求得sin A 的值.【详解】（1）向量,14x m ⎫=⎪⎭u r ，2cos ,cos 44x x n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，()f x m n =⋅u r r ，则()2cos cos 444x x f xx =+1cos222x x+=+1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-，k Z ∈，时()f x 取最小值即443x k ππ=-，k Z ∈时，()f x 的最小值为12-. （2）∵()131sin 262B f B π+⎛⎫=++=⎪⎝⎭， ∴3sin 262B π⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∵0B π<<， ∴26263B πππ<+<， ∴263B ππ+=， ∴3B π=，在ABC ∆中，由余弦定理得22212cos 4922372b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=， ∴7b =，在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin a b A B=， ∴32212sin 77A ⨯==.【点睛】本题考查了三角函数恒等变形的应用，降幂公式及辅助角公式的应用，正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题.18.在如图所示的几何体中，四边形CDEF 为矩形，平面CDEF ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，且//AB CD ，AD CD ⊥，222CD AB AD ===，点M 为棱BC 的中点.（1）求证：BD FM ⊥；（2）若直线AC 与直线FM 所成角为45︒，求直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）56【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质可知FC ⊥平面ABCD ，即CF BD ⊥，根据所给线段关系及勾股定理逆定理，可证明BD BC ⊥，进而由线面垂直的判定定理证明BD ⊥平面BCF ，从而证明BD FM ⊥.（2）根据题意以D 为原点，DA uuu r为x 轴正方向建立空间直角坐标系，设ED h =，写出各个点的坐标，由直线AC 与直线FM 所成角为45︒求得h ，由空间向量数量积运算求得平面BCE 的法向量，即可由空间向量数量积的坐标运算求得直线BF 与平面BCE 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为四边形CDEF 为矩形，所以FC CD ⊥.又平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF I 平面ABCD CD =，则FC ⊥平面ABCD ， 又BD ⊂平面ABCD ， 故FC BD ⊥.取CD 的中点N ，连接BN ，在直角梯形ABCD 中， 可知222BDAD AB =+=，222BC BN CN =+=，故222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥. 又CF BC C =I ，故BD ⊥平面BCF . 又FM ⊂平面BCF ， 所以BD FM ⊥.（2）由（1）知DA ，DC ，DE 两两垂直，以D 为原点，DA uuu r为x 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设()0,0,E h ，则()1,0,0A ，()0,2,0C ，()0,2,F h ，()1,1,0B ，13,,022M ⎛⎫⎪⎝⎭. 故()1,2,0AC =-u u u r ，11,,22FM h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u u r .因直线AC 与直线FM 所成角为45︒，故cos 45AC FM AC FM⋅︒==u u u r u u u u r u u ur u u u u r ，解得5h =. 设直线BF 与平面BCE 所成的角为θ，平面BCE 的法向量为(),,n x y z =r，则1,1,5BF ⎛=- ⎝⎭u u u r，1,1,5BE ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，()1,1,0BC =-uu u r ，故00n BE x y z nBC x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩u u u v v u u u v v ，取1x =，则1y =，z =所以(n =r，故sin BF n BF nθ⋅==u u u r r u u u r r ，故直线BF 与平面BCE所成角的正弦值为6. 【点睛】本题考查了面面垂直的性质及线面垂直的判定定理应用，由线面垂直判定线线垂直，由异面直线夹角大小求线段长，用法向量法求直线与平面夹角，属于中档题.19.某市举办“爱我华夏，弘扬传承”知识抢答赛，最后有张珊、李诗两位选手进入冠亚军PK 赛，规则如下：依次从忠、孝、仁、义、礼、信、智七个题库中每一次随机选取一道题两人抢答，胜者得25分，败者不扣分（无平局），先得100分者为冠军，结束PK.由于两人阅读习惯区别，在前面的比赛中得出：张珊在忠、孝、礼、智方面略有优势，胜率为0.6，其它方面两人不分伯仲，胜率都是0.5. （1）求PK 结束时李诗恰得25分的概率；（2）记PK 结束时抢答场数为x ，求x 的分布列及期望. 【答案】（1）0.18；（2）分布列见解析，5.785. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知共比赛5次，且前四次李诗只胜一次，由独立事件概率乘法公式即可求解.（2）因为至少答4题，因而抢答场数x 所有可能的值为4，5，6，7，分别讨论四种情况下各自的胜率即可求得分布列，由分布列即可求得期望值.【详解】（1）李诗恰得25分则张珊得100分，即共比赛5次，前四次李诗胜一次，第五次张珊胜； 则李诗在前四次只胜一次的概率0.60.40.50.50.60.40.60.50.50.6P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯0.60.60.50.50.60.60.60.50.50.60.18+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=（2）x 所有可能的值为4，5，6，7，4x =即某人连胜4次，所以()222240.60.50.40.50.13P x ==⋅+⋅=；5x =即某人前4次3胜l 负第五次胜，张珊4:1胜的概率为0.18，李诗4:1胜的概率为223220.60.50.420.40.50.08⋅⋅⋅+⋅⋅=，所以()50.180.080.26P x ==+=；6x =即某人前五次3胜2负第六次胜，各有三类：①在第1，2，5场中负2次，②在第3，4场中连负2次，③在第1，2，5场中负1次，第3，4场中负1次，张珊4:2胜的概率为32332330.60.50.40.60.560.60.40.50.171⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=.李诗4:2胜的概率为23332330.60.50.40.40.560.60.40.50.134⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅=，所以()60.1710.1340.305P x ==+=；()()()()714560.305P x P x P x P x ==-=-=-==，故分布列为期望()40.1350.2660.30570.305 5.785E x =⨯+⨯+⨯+⨯=.【点睛】本题考查了独立事件乘法公式的应用，离散型随机变量分布列的求法及期望求法，注意分类讨论时要做到不重不漏，属于中档题.20.已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =u u u v u u u v，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】【分析】（1）设直线l ：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+= 联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =u u u r u u u rQ 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则33AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 21.已知函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. （1）当1a =时，求()f x 在1x =处的切线方程；（2）对任意两个不相等的正数1x ，2x ，求证：当0a ≤时，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭.【答案】（1）20x y -+=；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）将1a =代入解析式，并求得导函数()f x '，代入1x =即可求得切线斜率；将1x =代入函数解析式求得切点坐标，即可由点斜式求得切线方程；（2）由函数解析式求得导函数()f x '；构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=-⎪⎝⎭，可求导得()t x '，将()f x '代入()t x '并变形化简，即可判断出()t x 的单调区间，进而确定()()20t x t x ≥=，再由12x x ≠可知()10t x >恒成立，即原不等式成立.【详解】（1）1a =时，函数()22ln f x x x x=++， 则()2212f x x x x'=-+， 故()11k f ='=，又()13f =， 所以切线方程为()311y x -=⨯-， 即20x y -+=.（2）证明：函数()22ln f x x a x x=++（0x >，a 为常数）. 则()222a f x x x x'=-+， 构造函数()()()2222f x f x x x f t x ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0,x ∈+∞，∴()()211222x x f x f t x '+⎛⎫='-' ⎪⎝⎭， 所以()()()22222118222a a t x x x x x x x x x x ⎡⎤'=-+-+-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦ ()()()2222223122x x ax x x x x x x x ⎡⎤+=-+-⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，∵102>，()222230x x x x x +>+，()202a x x x -≥+， ∴()()2222231022x x ax x x x x x ++->++. 故当()20,x x ∈时，()0t x '<，()t x 为减函数； 故当()2,x x ∈+∞时，()0t x '>，()t x 为增函数.故对一切()0,x ∈+∞，()()20t x t x ≥=.当且仅当2x x =时取等号. 题中12x x ≠，故()10t x >恒成立， 原不等式得证.【点睛】本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，构造函数法在证明不等式中的应用，利用导数证明函数的单调性并求得最值，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1：2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρcos 4πθ⎛⎫-⎪⎝⎭＝－22，曲线C 3：ρ＝2sin θ. (1)求曲线C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(2)设点A ，B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求|AB |的最小值． 【答案】(1) M (－1,0);(2)21-. 【解析】试题分析：（1）将两个曲线方程均化为直角坐标方程，联立得到交点坐标即可；（2）点点距转化为圆心到直线的距离加减半径. 解析： (1)曲线C 1：消去参数α，得y ＋x 2＝1，x ∈[－1,1]．① 曲线C 2：ρcos＝－⇒x ＋y ＋1＝0，②联立①②，消去y 可得x 2－x －2＝0⇒x ＝－1或x ＝2(舍去)，所以M (－1,0)．(2)曲线C 3：ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x 2＋(y －1)2＝1，是以(0,1)为圆心，半径r ＝1的圆． 设圆心为C ，则点C 到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝＝，所以|AB |的最小值为－1.选修4-5：不等式选讲23.设函数()121f x x x =--+的最大值为m . （1）求m 的值；（2）若22223a c b m ++=，求2ab bc +的最大值. 【答案】（1）32；（2）34. 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式，分类讨论可得分段函数解析式，画出函数图像即可求得函数的最大值，即为m 的值； （2）代入（1）中m 的值，将等式分组，结合基本不等式即可求得2ab bc +的最大值. 【详解】（1）函数()121f x x x =--+分类讨论化简可得()12,213,122,1x x f x x x x x ⎧+≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪--≥⎪⎪⎩，画出函数图像如下图所示，由图像可知当12x =-时，函数取得最大值32m =.21 （2）由（1）可知32m =， 所以2223232a cb ++=， 而()()22222223232242a cb a bc b ab bc =++=+++≥+ ∴324ab bc +≤，当且仅当12a b c ===±时，等号成立， ∴2ab bc +的最大值为34. 【点睛】本题考查了含绝对值函数最值的求法，数形结合法求最值，基本不等式在求最值中的应用，属于中档题.。