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2010级高等数学(上)A 解答一、填空题：(每题3分，共18分)(请将正确答案填入下表，否则不给分)1．已知极限01lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+∞→b ax x x x ，则常数b a ,的值分别是(空1)。
解：0x b a 1x x lim b ax 1x x x 1lim x 2x =⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ ⇒1-a=0⇒a=1⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→∞→x 1x x lim ax 1x x lim b 2x 2x 1x111lim 1x x lim 1x x x x lim x x 22x -=+-=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∞→∞→∞→ 或：01x b x )b a (x )a 1(lim b ax 1x x lim 2x 2x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→ 所以1-a=0,a+b=0⇒a=1,b=-1。
或：⎪⎪⎭⎫⎝⎛++--+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→∞→1x 1b ax 1x 1x lim b ax 1x x lim 2x 2x 01x 1)b 1(x )a 1(lim 1x 1b ax 1x lim x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++---=∞→∞→ 所以1-a=0,1+b=0⇒a=1,b=-1。
2．函数xx x x x f 323)(23---=的第一类间断点是(空2)。
解：f(x)在x=3,0,-1处无定义，是间断点。
121)3x )(1x (x 3x lim x 3x 2x 3x lim)x (f lim 3x 233x 3x =-+-=---=→→→，x=3是第一类间断点。
∞=---=-→-→x3x 2x 3x lim)x (f lim 231x 1xx=-1是第二类间断点。
∞=---=→→x3x 2x 3x lim)x (f lim 230x 0xx=0是第二类间断点。
3．设函数)(x f 可导，)(1)(2x f x g +=，则)('x g ＝(空3)。
五、设函数由方程确定，求。
（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。
（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。
(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。
(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。
（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。
B 3。
D 4.B 5。
D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。
6。
分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。
……。
.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。
3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。
，所以………….5分。
（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。
（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。
(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。
（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。
2010级高等数学（二）期末试题解答及评分标准A（本科少学时）一、选择题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）1．22ln(23)4arccos(56)z x y x y =+++的定义域为（ D ）.Ａ．{(,)230}x y x y +>； Ｂ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤或； Ｃ．22{(,)561}x y x y +≤； Ｄ．22{(,)230561}x y x y x y +>+≤且.2．微分方程2220d yy dxω+=（ω是常数）的通解是函数（ Ｂ ）.Ａ．x y ωcos =； Ｂ．x C x C y ωωsin cos 21+=； Ｃ．x C ωsin 1； Ｄ．()ϕ+=x y 10sin .3．设有命题I ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处连续，另有命题II ：函数(,)z f x y =在00(,)x y 处的两个偏导数0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，可以断定I 是II 的（ C ）.Ａ．充分条件 ； Ｂ．必要条件 ； Ｃ．既非充分也非必要条件 ； Ｄ．充分且必要条件.4．设区域D 由y x =、0y =及1x =所围城，令1DI d σ=⎰⎰、2DI xd σ=⎰⎰、23DI x d σ=⎰⎰、4DI xyd σ=⎰⎰，则1I 、2I 、3I 、4I 中值最大的是（ Ａ ）.Ａ．1I ； Ｂ．2I ； Ｃ．3I ； Ｄ．4I .5．设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ，根据隐函数存在定理，存在点)1,1,0(的一个邻域，在此邻域内该方程（ D ）.A.只能确定一个具有连续偏导数的隐函数),(y x z z =；B.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(y x z z =；C.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z x y y =和),(y x z z =；D.可确定两个具有连续偏导数的隐函数),(z y x x =和),(z x y y = .二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）6．设22),(y x xy y x f -=+，则(,)f x y =y y y +-1)1(2 .7．设f 具有一阶连续偏导数(1)z f ≠，且(,,)z f x y z =，则dz =1x y zf dx f dy f +- .8.幂级数11(1)n n nn -∞=-∑的收敛域是11(,]22-（含端点敛散性）.9．设区域D 为环形域：2214x y ≤+≤，则22()Dx y d σ+=⎰⎰152π . 10．函数)ln(22z y x u ++=在点A )1,0,1(处沿点A 指向点B )2,2,3(-的方向导数为21.三、试解下列各题（本大题6个小题，每小题8分，共48分）11．求极限011cos()lim sin x y xy x xy →→-.解 200111()1cos()2lim lim sin x x y y xy xy x xy x xy →→→→-=⋅ （5分）12=. （8分） 12. 设sin 2arctan()z xy x y =+-，求(0,1)x z 和(0,1)y z .解 212cos 21()x z y xy x y =++-，5(0,1)2x z = （4分） 同理212cos 21()y z x xy x y =-+-，1(0,1)2yz =-. （8分） 13. 写出级数234234232432234ππππ⋅⋅⋅++++ 的通项，并判定其敛散性. 解 !nn n n u nπ= （3分）因为1lim1n n nu u e π+→∞=>，所以级数发散. （8分）14. 设f 具有二阶连续偏导数，且),(y xy f z =，求22z x∂∂，2z x y ∂∂∂.解 由于//11()z f xy yf x x∂∂=⋅=∂∂， （3分） 故//112/122)(f y f x y x z =∂∂=∂∂ （6分）//12//11/1//12//11/1/12)()(yf xyf f f xy y f y f yf y y x z ++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∂∂⋅+=∂∂=∂∂∂（8分）15. 计算Dxdxdy ⎰⎰，其中D 由1xy =、y x =、2x =所围成.解 211xxDxdxdy dx xdy =⎰⎰⎰⎰ （4分）43=. （8分） 16. 已知向量a 、b 、c两两垂直，且1a = ，2b = ，3c = ，求a b c ++ .解 因为a 、b 、c两两垂直，所以0a b b c a c ⋅=⋅=⋅=（3分） 又2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++2()a a b b c c a b b c a c =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅22214a b c =++= （7分）从而a b c ++=（8分）四、试解下列各题（本大题2个小题，每小题6分，共12分）17.求函数22(,)8006004000033f x y x y x xy y =+----的极值点，并判定取得极大值还是极小值.解 8006x L x y =--，6006y L y x =--联立0x y L L ==得 120,80x y == （3分） 又在该点处6,1,6xx xy yy A L B L C L ==-==-==-20,0AC B A -><，故在该点处取得极大值. （6分）18. 设平面图形由抛物线)0(,2>-=a x ax y 及直线1,0,0===x x y 所围成，试确定a 的值,使此平面图形的面积最小.解曲线2y a xx =-与0y =的交点为1(0,0),(,0)a，故有所围面积为120()||A a ax x dx =-⎰112210()()a ax ax dx ax x dx =-+-⎰⎰（3分）令)()(1110112102/⎰⎰⎰⎰-++-=aa a a xdx xdx dx x a dx x a da d a A 031323=+-=a , 解得唯一驻点02)(,24//3>==aa A a 且,故当32=a 时所围成的平面图形面积最小. （6分）五、证明题（本大题2个小题，每小题5分，共10分）19．设(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，证明：在D 上至少有一点(,)ξη，使：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰.证明 因为(,)f x y 在有界闭区域D 上连续，所以(,)f x y 在有界闭区域D 上有最大值M 和最小值m ，即：(,)m f x y M ≤≤，从而 (,)Dm f x y d M σσσ≤≤⎰⎰，(,)Df x y d m M σσ≤≤⎰⎰ （3分）根据介值定理，在D 上至少有一点(,)ξη，使得：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰即：(,)(,)Df x y d f σξησ=⎰⎰ . （5分）20．设)(22y x f y z -=，其中)(u f 为可导函数，验证211y zy z y x z x =∂∂+∂∂. 证明 由于)(u f 可导，故/22z xyf x f ∂=-∂, /2/22(2)2z f yf y f y f y f f ∂-⋅-+==∂ （3分） 从而 22/22/2211yzyf f y f f yf y z y x z x =++-=∂∂+∂∂. （5分）。
2010年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.122【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2、以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4、函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
2010-11-1高等数学（A ）期末考试试题答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、[0,14]2、1y ex =+3、21,1x y y y ='==4、3223x x C -+ 5、2()b a x x dx πϕ⎰ 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分)1、D2、C3、A4、D5、C三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)1、解：原式=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim ()x a x x a x a x a x a 222222=-+⎛⎝ ⎫⎭⎪→lim x a x x a 1=-a a 12……………每步2分 2、解：x x xdx x xdx sin cos sin ⎰⎰=122[]⎰⎰--=-=xdx x x x xd 2cos 2cos 41)2(cos 41 11cos 2sin 248x x x c =-++ ………………………………每步2分 3、解：原式=-⎰()t dt 149=-()233249t t 233=……………………………………每步2分 四、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分)1、解：(),()1,(1)0f x f x x f ==因具有连续一阶导数即在处连续又，即20,(sin cos )0,tan ~x f x x x x →+→时………………………………………………………2分 2200(sin cos )(sin cos )(sin 2sin )lim lim tan 2x x f x x f x x x x x x→→'++-=则……………………………………5分 ='+-→122102lim (sin cos )(cos )x f x x x ……………………………………………………7分 ='⋅=12111f ()…………………………………………………………………………8分 2、解：24,(0)4,(3) 2.y x y y '''=-=-=在(0,3)43y x =-+点处切线为，(3,0)在点处切线为 26,y x =- 令4326x x -+=-，有交点3.2x =……5分 故 32323220(4343)(4326)S x x x dx x x x dx =-++-+-+-+⎰⎰………7分 =+-+=x x x 303233399432().……………8分 3、解：()101 ，p q ==…………………………………………………………………2分()20 p q ==……………………………………………………………………4分25522555(3)lim(5)0,lim(45)25550,15555lim lim 55lim(1)511x x x x x x px x p q q p px qx px px x x x px p →→→→→-=++=++==--++--+=--=-=-= 由知得：而 …7分于是：，p q ==--=-25123…………………………………………………8分 五、证明下列各题(本大题共2小题，每小题6分，总计12分) 1、证：'=++''=-++y e x x y e x x x x (sin cos )(sin cos )21422321442…………………………………………………4分 11525(3sin 24cos 22sin 24cos 25sin 2)424x x y y y e x x x x x e '''++=-++---++=…………6分 2、证：设 于，内连续f x x x ()arctan ()=--∞+∞……………………………………1分 '=-+=+>≠f x x x xx ()()111100222 ，故在，内单调增()()-∞+∞f x ……4分 而 即是方程的一个实根且是唯一的实根f x ()000==………………………………6分六、解答下列各题(本大题共1小题，总计6分) 解：512512,,2(0)x L x x x x=+>设晒谷场宽为则长为米新砌石条围沿的总长为 ………2分 '=-=L xx 2512162 唯一驻点 ''=>=L xx 10240163 即为极小值点 ……………………4分 51216,32,16=故晒谷场宽为米长为米时可使新砌石条围沿所用材料最省。
一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、 220limarctan xt x x e dtx x-→-⎰. 2、设函数()f x 连续，且31()x f t dt x -=⎰，求(7)f .3、设(cos )ln(sin )f x dx x c '=+⎰，求()f x .4、已知点()3,4为曲线2y a =a , b .5、求函数2()2ln f x x x =-的单调区间与极值.6、设函数21()cos x f x x⎧+=⎨⎩0,0.x x ≤> 求2(1)f x dx -⎰.7、求曲线3330x y xy +-=的斜渐近线.二、计算下列积分（每小题6分，共36分）1、31sin cos dx x x ⎰.2、.3、523(23)x dx x +⎰.4、41cos 2xdx x π+⎰. 5、312⎰ 6、2220x x edx +∞-⎰，其中12⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭.三、应用题（每小题6分，共12分）1、 假设在某个产品的制造过程中，次品数y 是日产量x 的函数为： 2100,102100.x x y xxx ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩并且生产出的合格品都能售出。
如果售出一件合格品可盈利A 元，但出一件次品就要损失3A元。
为获得最大利润，日产量应为多少？ 2、设函数()f x 连续，(1)0f =，且满足方程1()()xf x xe f xt dt -=+⎰，求()f x 及()f x 在[]1,3上的最大值与最小值.四、证明题（每小题5分，共10分）1、当0x >时，证明：(1ln x x +>2、设函数)(x f 在[],a b 上连续，()0f x ≥且不恒为零，证明()baf x dx ⎰0>.一、解下列各题 （每小题6分，共42分）1、解：2220023200011lim lim lim arctan 33xxt t x x x x x e dtx e dte x x x x ---→→→---===⎰⎰ 2、 解：两边求导有233(1)1xf x -=，令2x =，得1(7)12f =。
2019年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）（数学理）解析版第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题。
每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A.12B.3C.2D. 2【答案】A【解析】原式=1sin (43-13)=sin 30=2，故选A 。
【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分题。
2．以抛物线24y x =的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( ) A.22x +y +2x=0 B. 22x +y +x=0 C. 22x +y -x=0 D. 22x +y -2x=0【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为22x-1)+y =1（，即22x -2x+y =0，选D 。
【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法，属基础题。
3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】A【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
4．函数2x +2x-3,x 0x)=-2+ln x,x>0f ⎧≤⎨⎩（的零点个数为 ( )A.0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】当0x ≤时，令2230x x +-=解得3x =-；当0x >时，令2ln 0x -+=解得100x =，所以已知函数有两个零点，选C 。
（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项：1、 满分100分。
要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。
2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。
3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。
4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。
试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e xx )(⎰--为( )(A) c e F x +)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x。
4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。
5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分）1. 极限=-+→xx x 11lim 20 _____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。
1011学年第一学期厦门大学《高等代数》期末试卷厦门大学《高等代数》课程试卷数学科学学院 各 系 2010 年级 各 专业主考教师：杜妮、林鹭 试卷类型：（A 卷）2011.1.13一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， 123123 V {(,,)|(,,)} x x x x x x b == ，则____。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当 0 b = 时，V 是线性空间； D) 只有当 0 b ¹ 时，V 是线性空间。
2) 已知向量组 I ： 12 ,,..., s a a a 可以由向量组 II ： 12 ,,..., t b b b 线性表示，则下列叙述正确的是____。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t £ ； B) 若向量组 I 线性相关，则s t > ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t £ ； D) 若向量组 II 线性相关，则s t > 。
3) 设非齐次线性方程组AX b = 中未定元个数为 n ，方程个数为m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则____。
DA) 当r n < 时，方程组AX b = 有无穷多解； B) 当r n = 时，方程组AX b = 有唯一解； C) 当r m < 时，方程组AX b = 有解； D) 当r m = 时，方程组AX b = 有解。
4)设 A 是m n ´ 阶矩阵，B 是n m ´ 阶矩阵，且AB I = ，则____。
AA) (),() r A m r B m == ； B) (),() r A m r B n == ； C) (),() r A n r B m == ；D) (),() r A n r B n == 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换j 在基 123 ,, x x x 下的表示矩阵是 111 101 111 æöç÷ç÷ ç÷ èø，则j 在基123 ,2, x x x 下的表示矩阵是____。
2009-2010(春)高等数学A(下)期末考试试题解答（2010.6）一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分，请将合适的答案填在空中)．2∂z=2xyexy．∂x2函数u=xy2+z3-x2yz在点P(1,1,1)处的梯度(-1,1,2)．21设z=exy，则3设f(x,y)为二元连续函数，交换积分次序⎰10dy⎰f(x,y)dx=y⎰10dx⎰f(x,y)dy．x5级数L在p>1条件下收敛．∑pnn=1∞二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）．以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效．1 二元函数f(x,y)在点(x0,y0)处两个偏导数fx(x0,y0)与fy(x0,y0)存在是f(x,y)在该点处连续的( D )．（A）充分而非必要条件；（B）必要而非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非必要条件又非充分条件． 2 曲面yz+zx+xy=3在点(0,1,3)处的切平面方程为( B )．(A) 2x+y-1=0； (B)4x+3y+z-6=0； (C) x+y+z-1=0； (D) 4x+3y+z-2=0．（A）bn=（B）bn=（C）bn=（D）bn=4 设级数f(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)；⎰ππ-11πf(x)cosnxdx(n=1,2, ),和函数为2f(x)；⎰ππ-ππ⎰2πf(x)sinnxdx(n=1,2, ),和函数为f(x)．∑un=1∞n收敛，且∑un=1∞n=u，则级数∑(un+un+1)=( C )．n=1∞(A) 2u；（B）u；（C）2u-u1；（D）u-u1．25 已知y=1,y=x,y=x为某二阶非齐次线性微分方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)的三个解，则其通解为（ C ）.（其中C1,C2为任意常数）（A）y=C1+C2x+x；（B）y=C1x+C2x+1；（C）y=C1(x-1)+C2(x-1)+1；（D）y=C1(x-1)+C2(x-1)+x-x．三、（本题满分8分）22222⎛∂2zx⎫设二元函数z=xy+f xy，⎪，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求．∂x∂yy⎭⎝∂z1=y+yf1'+f2' ， 4分解：∂xy⎡⎛x⎫⎤1⎛x⎫⎤∂2z1⎡''''''''''⎥⎪=1+f1+y⎢xf11+ -2⎪f12⎥-2f2+⎢xf21+ -2⎪f22⎪∂x∂yy⎣⎝y⎭⎦y⎝y⎭⎦⎣1x''-3f22'' ． 4分 =1+f1'-2f2'+xyf11yy四、（本题满分10分）计算二重积分解：⎰⎰(yD2+3x+9)dxdy，其中D=(x,y)x2+y2≤1． {}22＝(y+3x+9)dxdyy⎰⎰dxdy+⎰⎰3xdxdy+⎰⎰9dxdy 2分⎰⎰DDDD2y⎰⎰dxdy+0+9π 3分D ＝＝＝⎰2π0sin2θ⎰ρ3dρ+9π 3分0137π ． 2分 4五、（本题满分16分，其中1题为8分，2题为8分）1 讨论级数∑n=1∞(-1)nann(a>0)的敛散性；2 试将函数f(x)=1 解：当a>1，lim⎰x0． sint2dt展成x的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）un+1n1=lim=<1，故原级数绝对收敛； 3分n→∞un→∞n+1aan 当0<a<1，limun+1n1=lim=>1，limun≠0，故原级数发散；3分n→∞n→∞un→∞n+1aan当a=1，原级数为∞∑n=1∞(-1)n，条件收敛. n 2分 (-1)n-1t2n-12 因为sint=∑t∈(-∞,+∞) ， 2分 (2n-1)!n=1∞(-1)n-1t4n-22 则sint=∑t∈(-∞,+∞) ． 2分n=1(2n-1)!将上式两端逐项积分，得⎛∞(-1)n-1t4n-2⎫ f(x)=⎰sintdt=⎰ ∑⎪dt (2n-1)!⎭00⎝n=1∞x(-1)n-1t4n-2=∑⎰dt (2n-1)!n=102xx(-1)n-1x4n-1=∑ (-∞<x<+∞) ． 4分 2n-1!(4n-1)n=0∞六、（本题满分12分）．∑ 2解：令∑1为z=4被z=x2+y2所截得部分的上侧, 则原式=由高斯公式z=4∑+∑1-⎰⎰∑1， 2分⎰⎰∑∑+=⎰⎰⎰[(x)'x+(y)'y+(z(x+y))'z]dv=13322ΩD=(⎰⎰Ωdxdy)xyz=x2+y2⎰[4(x2+ y2)]dz2π2z=422=⎰dθ⎰rdr⎰[4r]dz=2π⎰r[4r2](4-r2)dr=00z=r2012π8 ． 6分 3由曲面积分计算公式得2π2222=0+0+4(x+y)dxdy=dθ4(r⎰⎰⎰⎰⎰⎰)rdr=32π， 2分∑1D00128π32π ． 2分 -32π=33七、(本题满分8分)某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为故原式= c(x,y)=x2+2y2-xy （万元）若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生产，总成本最少？最小成本为多少？解：即求成本函数c(x,构造辅助函数 F(x,y)在条件x+y=8下的最小值． y)=x2+2y2-xy+λ(x+y-8) 2分⎧Fx'=2x-y+λ=0⎪解方程组⎨Fy'=-x+4y+λ=0⎪F'=x+y-8=0⎩λ解得λ=-7,x=5,y=3 4分这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为： c(5,3)=52+2⨯32-5⨯3=28（万） 2分八、（本题满分16分，其中1题为10分，2题为6分）1 设可导函数ϕ(x)满足ϕ(x)cosx+2⎰ϕ(t)sintdt=x+1，求ϕ(x)． 0x2 设函数f(u)具有二阶连续的导函数，而且z=fesiny满足方程 x()∂2z∂2z2x+=ez，22∂x∂y试求函数f(u)．解1 在ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1两端对x求导得，ϕ'(x)+tanxϕ(x)=secx． 4分解上述一阶线性微分方程得通解为．ϕ(x)=six+nC． cxo 4分由ϕ(x)cosx+2⎰x0ϕ(t)sintdt=x+1得，ϕ(0)=1，则C=1故ϕ(x)=sinx+cosx． 2分2 设u=exsiny，则有∂z∂z=f'(u)exsiny，=f'(u)excosy ∂x∂y∂2z2x2x所以，2=f''(u)esiny+f'(u)esiny ∂x∂2z=f''(u)e2xco2sy-f'(u)exsiny 2分2∂x∂2z∂2z代入方程 +2=e2xz，2∂x∂y2x2x2x2x2x得，f''(u)esiny+f'(u)esiny+f''(u)ecosy-f'(u)esiny=ez 即，f''(u)e2x=f(u)e2x由此得微分方程 f''(u)-f(u)=0 2分解此二阶线性微分方程，得其通解为f(u)=C1e+C2eu-u （C1与C2为任意常数） 2分此即为所求函数．。
东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。
2010级第二学期高等数学期末试题解答与评分标准（A 卷）一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 若二阶连续可微函数(,)f x y 在点(,)a b 处取得极小值，则有 （ ）. （A ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≤ （B ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≥ （C ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≥≥ （D ）(,)0,(,)0xx yy f a b f a b ≤≤解 22()()()0xyxx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B. (,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2. 质点在变力F yzi xzj zk =-++作用下沿螺旋线:cos ,sin ,C x t y t z t ===从点()11,0,0M 运动到点2(1,0,)M π-，则变力F所做的功为 （ ）.（A ）π （B ）2π （C ）212π （D ）313π解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3. 设有向曲面∑：222(1)1(1)x y z z ++-=≥，方向为上侧，则22x y d y dz y d z d x z d x d y ∑--=⎰⎰ （ ）. （A ）53π-（B ）23π- （C ）3π- （D ）3π解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4. 设nn a=，则下列级数中，绝对收敛的级数是 （ ）.（A ）1(1)nn n a ∞=-∑ （B ）11n n n a a ∞+=∑ （C ）11()n n n a a ∞+=-∑ （D ）11()n n n a a ∞+=+∑解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑，发散 ――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑收敛 ――D 对答案：D5. 设三角级数1sin n n b nx ∞=∑在(0,)π内收敛到函数()1f x x =+，则此三角级数在3x π= 处收敛于 （ ）.（A ）1+π （B ）1+2π （C ）1+3π （D ）0解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+=== 答案：D二、填空题（每小题3分，共15分）6. 设区域22222{(,)|(),,R}D x y x y x y x y =+≤-∈，则2Dxy dxdy =⎰⎰ .解1 2{(,)|cos2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07. 设平面曲线C 为圆221x y +=，则曲线积分()2223C x xy y ds -+=⎰ . 解 ()()()222222552323222c c cx xy yds x yds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰ 5π8. 微分方程2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++=的通解为： .2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++=⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin yx x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9. 设23F yzi xzj xyk =-+ , 则()div rot F =.解()()d i v r o t F F=∇⋅∇⨯ ()5(2)(3)23xy zx y z xy z x y zyzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-0 10. 若幂级数1(1)nn n a x ∞=+∑在3x =-处条件收敛，则幂级数11(1)n n n n a x ∞+=+∑的收敛半径R = .解 1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =1110(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =2三、计算下列各题（每小题8分，共16分）11. 设32x u e yz =，其中(,)z z x y =是由方程230z x y e xyz +-+=所确定的隐函数，求(0,1,1)ux -∂∂.解32332x x uz e yz e yzxx∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyz e yz e yz e xy+=+--+(0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=-- 12. 计算积分2111xy xI dx ye dy =⎰⎰.解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =- 四、计算下列各题（每小题10分， 共30分） 13.计算曲线积分[2ln(Cx y x dy +++⎰, 其中有向曲线C：y =()5,0到点()1,0. 解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=- 14.求抛物柱面y =0z =,z y =和1y =所截部分的面积. 解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰z 11O10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰=⎰012==⎰ 15. 计算32Sxdydz ydzdx zdxdy --⎰⎰，其中S 是曲面22z x y =+(02z y ≤≤)的下侧.合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS P Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--解1 合一投影法： 原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰五、（本题8分）16. 求级数1220(1)32()212n n n n x n x +∞=--++∑的收敛域. 解 对级数10(1)321n n n n y n +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑ 收敛， 得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦， 即 (][)2,11,2x ∈--⋃. 六、（本题8分）17. 求级数()()21113nnn n n ∞=-+∑的和.解()()()2111(1)11()1913nnn n n n n n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n n n ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭七、（本题8分）18. 设数列{}n a 满足 12111,(2,3)n n n a a a a a n +-===+= 且.（1）证明: 当3n >时, 22n n a -<;（2）证明: 当12x <时, 级数11n n n a x ∞-=∑收敛, 并求其和函数.证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x =--。
1. (10分) 求抛物线2=2y x与其上一点1(,1)2A 处的法线围成的平面图形的面积.解：先求出抛物线2=2y x 在点1(,1)2A 处的法线方程. 2=1=11()=12y y dx d y dydy =， ---------2分 所求的法线方程为11=(1)()2y x ---，即3=2y x -. ---------3分则法线与抛物线的两个交点分别为19(,1)(3)22-，， ---------2分 于是所围平面图形的面积为112233-33131116[()]d =()=222263S y y y y y y -=----⎰. ---------3分 2. (10分) 半径为R (单位为：米)的半球形水池充满了水(单位为：吨)，要把池内的水全部吸尽，需作多少功？解：取坐标系如图，考察区间[,+d ]x x x 所对应的 小薄层，此薄层水重为22()d R x x π-(吨)，将此层 水提高到水池外面的距离是x ，因此所作的微功为22d ()d W R x x x π=-， ---------6要将水池内的水全部吸尽，所作的总功为22401()d 4R W R x x x R ππ=-=⎰(吨.米) ---------4分 3. (10分) 某战斗机型在机场降落时，为了缩短滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开降落伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下。
现有一质量为9000kg(公斤)的飞机，着陆时的水平速度为700km/h （千米/时）.假设减速伞厦门大学《高等数学》课程 期中试卷答案 (2011.4.16)主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）打开后飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比(比例系数为k=6.0⨯106 kg/h).问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？解：由题设知 m=9000 kg ，着陆时的水平速度0=700v km/h ，从飞机接触跑道开始计时，设t 时刻飞机滑行的距离为x(t )，速度为v(t )。
2010年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（福建卷，解析版）一、选择题： 1、【答案】A【命题意图】本题考查学生对于三角两角差公式的运用以及常见三角函数值的记忆。
βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-，2130sin =。
【解析】2130sin 13sin 43cos 13cos 43sin ==-2、【答案】D【命题意图】本题考查学生对抛物线焦点的识记以及原方程的求解。
px y 22=的焦点为)0,2(pF ，求解圆方程时，确定了圆心与半径就好做了。
【解析】抛物线的焦点为)0,1(F ，又圆过原点，所以1=R ，方程为021)1(2222=+-⇔=+-y x x y x 。
3、【答案】A【命题意图】本题考查学生对等差数列公式、求和公式的掌握程度，以及一元二次方程最值问题的求解。
d n n na S d n a a n n 2)1(,)1(11-+=-+=。
【解析】由61199164-=+-=+=+a a a a a ，得到59=a ，从而2=d ，所以n n n n n S n 12)1(112-=-+-=，因此当n S 取得最小值时，6=n .4、【答案】C【命题意图】本题从分段函数的角度出发，考查了学生对基本初等函数的掌握程度。
【解析】⎪⎩⎪⎨⎧>≤-+=0,ln 0,4)1()(22x ex x x x f ，绘制出图像大致为所以零点个数为2。
5、【答案】C 【命题意图】本题考查学生对程序框图的理解。
选材较为简单，只需要考生能从上到下一步步列出就可以正确作答。
【解析】s =0→i =1→a =2→2=s →2=i →8=a →10=s →3=i →24=a → 34=s →i =4→输出i =4，选择C 6、【答案】D【命题意图】本题考查考生对立体几何体的理解程度、空间想像能力。
灵活，全面地考查了xye 2-4 -3考生对知识的理解。
【解析】若FG 不平行于EH ，则FG 与EH 相交，焦点必然在B 1C 1上，而EH 平行于B 1C 1，矛盾，所以FG 平行于EH ；由⊥EH 面11ABB A ，得到EF EH ⊥，可以得到四边形EFGH 为矩形，将Ω从正面看过去，就知道是一个五棱柱，C 正确；D 没能正确理解棱台与这个图形。
厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）姓名班级学号成绩考试时间：120分钟满分：100分命题人：高兵龙说明：1、考生必须在规定时间内完成该试卷；2、必须使用黑色签字笔作答；3、考生必须按时交卷。
4、（7分）设)(x y y =由⎩⎨⎧=+-=52arctan 2te ty y t x 所确定，求dx dy，并求出0=t 处曲线的切线方程.解：5、（8分）已知曲线n x x f =)(，求：(1)曲线在点（１,１）处的切线方程； (2)设该切线与x 轴的交点为)0,(n ξ，试计算).(lim n n f ξ∞→解：四、（6分）证明当10<<x 时，xxe x-+<112 证明：五、（8分）已知函数)(x f 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导，且0)2008(=f ，求证：在)2008,0(内至少存在一点c ，使cc f c f )()('-=成立． 证明：六、（8分）设某厂生产某种商品的固定成本为200（百元），每生产一个单位产品，成本增加5（百元），已知需求函数q =100—2p （其中p 为价格，q 为产量），问产量多少时利润最大？并求最大利润. 解：七、（10分）求函数21xy x x =+-的单调区间、极值、凸性区间、拐点及渐近线，并作出函数的图形。
解：厦门大学2009-2010学年上学期高等数学期末考试模拟试题（文科）参考答案一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）1. 92. !)2(n n -3. 1 4．22e 5.C xxx +-sin 2cos 6. 4-三、计算题（共5小题，共32分） 1.（5分） 解：2. 解：⎰+-dx e e xx 11⎰⎰+-+=dx e dx e ex x x1111分 ⎰⎰--+-+=dx e e dx e e xxx x 11 3分 ⎰⎰--+++++=)1(11)1(11xx x x e d ee d e 4分 C e e x x ++++=-)1ln()1ln( 5分3. 解：点连续在点可导，故在1)(1)(==x x f x x f 1分)1(l i m l i m 21)1(21++=∴-+→-→bx ax e x x x 0=+b a 即 3分 1)1(lim)1()1(21-++-='-→++x b a e f x x 又 21)1(2lim 11lim 1)1(21=--=--=++→-→x x x e x x x 5分 1)1()1(lim)1(21-++-++='-→-x b a bx ax f xa x axax x bx ax x x =--=-+=--→→1lim 1lim 2121 6分 2,2-==∴b a 7分4．解：对522=+-te ty y 两边对t 求导0222=+--t e dtdyty y dt dy 222--=ty y e dt dy t 3分22)1)((\22-+-==ty t y e dt dx dt dy dx dy t 5分 2,0,23,0====y x dx dy t 时 切线方程：223+=x y 7分5．解：（1）1)(-='n nx x f ，n f k ='=)1( ２分 切线方程 )1(--=n nx y ４分（2）令0=y 得n n x 1-=故nn n 1-=ξ ６分 )(lim n n f ξ∞→nn n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞→1lim )1(11lim -⋅-∞→⎪⎭⎫⎝⎛-=n n n 1-=e 8分四、 证明：)1()1()(2x e x x f x +--=令 1分 则 1)21()(2--='x e x x f 3分04)(2<-=''x xe x f内单调减少在所以)1,0()(x f ' 4分 单调减少从而，故又)(,0)(0)0(x f x f f <'=' 5分 即，故又,0)0()(0)0(=<=f x f fxxe x -+<112 6分五、证明：令 )()(x xf x F =， 1分则)(x F 在]2008,0[上连续，在)2008,0(内可导， 3分 且0)2008()0(==F F ，由罗尔定理得 5分 至少存在一点c，使0)('=c F ，即0)()('=+c f c c f ，也即cc f c f )()('-= 得证。
1 12 2 2 2 1 1厦门大学《高等代数》期末考试试卷（真题归纳）一、 单选题（32 分. 共 8 题, 每题 4 分）1)设b 为 3 维行向量， V = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | ( x 1 , x 2 , x 3 ) = b }，则。
CA) 对任意的b ，V 均是线性空间； B) 对任意的b ，V 均不是线性空间； C) 只有当b = 0 时，V 是线性空间； D) 只有当b σ 0 时，V 是线性空间。
2)已知向量组 I ：α1 ,α2 ,...,α s 可以由向量组 II ： ⎭1 , ⎭2 ,..., ⎭t 线性表示，则下列叙述正确的是。
AA) 若向量组 I 线性无关，则s t ； B) 若向量组 I 线性相关，则s > t ； C) 若向量组 II 线性无关，则s t ；D) 若向量组 II 线性相关，则s > t 。
3)设非齐次线性方程组 AX = ⎭ 中未定元个数为 n ，方程个数为 m ，系数矩阵 A 的秩为 r ，则。
DA) 当 r < n 时，方程组 AX = ⎭ 有无穷多解； B) 当r = n 时，方程组 AX = ⎭ 有唯一解；C) 当r < m 时，方程组 AX = ⎭ 有解； D) 当r = m 时，方程组 AX = ⎭ 有解。
4)设 A 是m ⨯ n 阶矩阵， B 是 n ⨯ m 阶矩阵，且 AB = I ，则。
AA) r ( A ) = m , r (B ) = m ；B) r ( A ) = m , r (B ) = n ；C) r ( A ) = n , r (B ) = m ；D) r ( A ) = n , r (B ) = n 。
5)设 K 上 3 维线性空间 V 上的线性变换ϕ 在基⋂ ,⋂ {1 1 1 ,⋂ 下的表示矩阵是|1 0 1|，则ϕ 在基⋂1 , 2⋂2 ,⋂3 下的表示矩阵是 。
C1 2 3| | |1 1 1|{ 1 2 1{ 1 1 1{ 1 2 1{ 1 1 1| | | 2 || | | 2 | A) | 2 0 2 | ；B) | 0 1 | ； C) | 10 1 | ； D) | 2 0 2 | 。
2012-2013AA31. C为任意常数，且F ( x) f( x) ，下列等式成立的是（）(A)F(x)dx f(x)C(B)F(x)dx F(x)C ( C ) F ( x) dx F ( x) C ( D ) f ( x) dx F ( x) C 2. 设函数f( x) 在区间[ a , b] 上连续，则积分af( x )dx的值（）( A) 与积分变量字母的选取有关(B)与积分区间无关，只与被积函数有关(C ) 与积分区间和被积函数有关( D ) 与被积函数的形式无关3. 下列不等式中成立的是( )1 1( A)x dxx2 dx0 0(C )1x dx1x2 dx2 2( B )1xdx1x2 dx1 1( D )1x3 dx1x2 dx12341. 函数f( x ) x2 4 x 6 在闭区间[ 3 , 10 ] 上最大值为_______.2. 设sin x是函数f( x)4 0sin 3 t dt4. 设函数f( x )ex的一个原函数，则xf ( x)dx＝_______._______.，则f( x) dx_______.631. 求函数f ( x ) x 3 3x 2 5 的单调区间与极值．,0x13,1x31xb333x xx x 2. 证明： 当x 1 时， ln x ．x 13. 欲做一个底为正方形、 容积为108 m 3 的长方体开口容器， 问该容器底边长x 与高h 各为 多少时，才能使得制作该容器的用料最省？155311. lim2. lim3. lim x 1 xx 0 x 3 x 0 sin x e x 1 x 1205 41. 3 dx2. x 4ln x dx 3. 1dx 3 dx 4.205 41. 1| 1 x | dx 2.1 dx 3. 0e x( 4 x 3 ) dx 4.21 x(6 ) 设 f ( x ) 具有连续的二阶导数， 且 f ( 0 ) 4 ，lim 0 ，试求x 0x1f ( x ) xlim 1 .x 0xx sin x 1 1x 2 91 1 e x ex1x 22 ( x 1)f ( x ) 1 x 22dx。
1. (5分) 若函数22t 02(e 1)d , 0() 0,0x t x f x x x ⎧-⎪≠=⎨⎪=⎩⎰ 求(0).f ' 解 22t 0300(e 1)d ()(0)(0)lim lim x x x t f x f f x x →→--'==⎰ 44200(e 1)22lim lim 033x x x x x x x→→-⋅===. 2. (5分) 设()d arcsin xf x x x C =+⎰,求d .()xf x ⎰解 对()d arcsin xf x x x C =+⎰两边求导，得2()1xf x x=-，即2()1f x x x=-.故 22223d 111d 1d(1)(1).()23x x x x x x x C f x =-=---=-⎰⎰ 3. (10分) 设0<1()21<20<02xx f x xx x x ≤⎧⎪=-≤⎨⎪≥⎩或，求0()=()d xF x f t t ⎰.解 当0x <时，00()=()d 0d 0xxF x f t t t ==⎰⎰；当01x ≤≤时，201()=()d d 2xxF x f t t t t x ==⎰⎰；当12x ≤≤时，110101()=()d ()d d (2)d x xF x f t t f t t t t t t +=+-⎰⎰⎰⎰2221111131(2)(2)21222222xt t x x x x =+-=+--=--；当2x ≥时，212201211113()=d (2)d 0d (2)212222xF x t t t t t t t +-+=+-=+-=⎰⎰⎰.厦门大学《高等数学》课程期末试卷学院 系 2010年级 专业主考教师：理工类教学组 试卷类型：（A 卷）于是，220,01,012()=121,1221, 2.x x x F x x x x x ≤⎧⎪⎪≤≤⎪⎨⎪--≤≤⎪⎪≥⎩4. (10分) 设tan d nn I x x =⎰，求证：121tan 1n n n I x I n --=--，并求55tan d I x x =⎰. 证明：当2n ≥时，222121tan d tan d tan sec d tan 1n n n n n n I I x x x x x x x x C n ----+=+==+-⎰⎰⎰，故 121tan 1n n n I x I n --=--. 于是， 442531111tan tan (tan )442I x I x x I =-=-- 4211tan tan tan d 42x x x x =-+⎰ 4211tan tan ln cos .42x x x C =--+5．计算下面的积分（每小题5分，共4题20分）(1)41x ⎰； (2)40d 1+cos2x xx π⎰； (3) +3022arctan d (1)x x x ∞+⎰; （4）222111[]d ln (1)x x x x --⎰. 解 （1）44111π22arctan 2.1+2x x ===-⎰⎰ （2）ππ4ππ4π44200000d 11π1d d tan tan ln cos ln 2.1+cos22cos 22284x x x x x x x x x x x =⋅==+=-⎰⎰⎰ （3）令tan x t =，πππ+22223300022arctan πd sec d cos d (sin cos ) 1.sec 2(1)x t x t t t t t t t t t x ∞=⋅==+=-+⎰⎰⎰ （4）22221011111[]d lim ln (1)ln 1x x x x x x εε+→+⎡⎤-=-+⎢⎥--⎣⎦⎰001111ln(1)1lim 1lim ln 2ln(1)ln 2ln(1)εεεεεεεε++→→⎡⎤+-=-+--+=-+-⎢⎥++⎣⎦201ln(1)1lim ln 2εεεε+→+-=-+- 011311lim ln 22ln 22εεεε+→-+=-+-=-+. 6. (10分)设()f u 是连续函数，求2sin ()=(e )d x x x F x xf t t ⎰关于x 的导数。
解 令e xu t =，则22e e sin e sin e ()()e d e()d xx xxx x x xx x F x xf u u x f u u --⋅⋅==⎰⎰，于是，2e 22sin e ()(1)e ()d e [(2)e (e )(cos sin )e (e sin )]x xx xx x x x x x F x x f u u x x x f x x x f x --⋅'=-+⋅+-+⎰ 2e 322sin e (1)e()d (2)(e )(cos sin )(e sin )x xx xx x x x f u u x x f x x x x f x -⋅=-++-+⎰7．(10分)设()g x 为正值连续函数，令()||()(0)aa f x x t g t dt a -=-≥⎰，,判别()f x 的图形在[,]a a -上的凹凸性。
解 ()()()d ()()d x aa x f x x t g t t t x g t t -=-+-⎰⎰()d ()d ()d ()d xxaaaaxxx g t t tg t t tg t t x g t t --=-+-⎰⎰⎰⎰，则 ()()d ()()()()d ()()d ()d x a x xa x a a f x g t t xg x xg x xg x g t t xg x g t t g t t --'=+---+=+⎰⎰⎰⎰()2()0f x g x ''=>.所以，函数()f x 在[,]a a -上是凸的.8. (10分) 证明当0x ≥时，有1ln(x x ++>.证明设()1ln(f x x x =++-()ln(ln(0f x x x '=++-=+>， 于是，当0x >时，()(0)0f x f >=，即1ln(x x ++>.9．(10分)曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线有几条？请给出您的结论。
解 1lim lim[ln(1)]0x x x y e x→-∞→-∞=++=，所以，0y =是曲线1ln(1)xy e x=++的水平渐近线； 001lim lim[ln(1)]xx x y e x →→=++=∞，故0x =为曲线1ln(1)x y e x=++的铅直渐近线。
2e ln(1e )1ln(1e )ln(1e )11e lim lim lim lim 222xxx x x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++⋅++++===+ e 11e lim 122xx x →+∞+=+=； 11e lim ()lim[ln(1e )]lim ln 0ex xx x x x y x x x →+∞→+∞→+∞+-=++-==. 所以，曲线1ln(1)x y e x=++的渐近线有三条，分别是0y =，0x =，y x =. 10．(10分)设在[1,)+∞上处处有()0f x ''≤，且(1)2,(1)3f f '==-，证明在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一个实根。
解 当1x >时，21()()(1)(1)(1)(1)23(1)132!f f x f f x x x x ξ'''=+-+-≤--=-，1(1,)x ξ∈. 因此，(2)1650f ≤-=-<，因此，()0f x =在(1,2)内至少存在一个实根. 又当1x >时，2()()(1)(1)(1)302!f f x f x f ξ'''''=+-≤=-<， 因此，()f x 在(1,)+∞上单调减少，因此，()0f x =在(1,)+∞内至多一个实根. 故在(1,)+∞内方程()0f x =仅有一个实根.11. 附加题(10分)设函数()()f x g x ，在[,]a b 上连续。
证明：存在一点()a b ξ∈,，使得()()d ()()d baf g x x g f x x ξξξξ=⎰⎰证：令t t()()d ()d ,t [,]a b F t g x x f x x a b =⋅∈⎰⎰，由题设条件知()F t 在[,]a b 上连续，在()a b ,内可导，又 ()()d ()d 0aaabF a g x x f x x =⋅=⎰⎰，()()d ()d 0bbabF b g x x f x x =⋅=⎰⎰所以()F t 在[,]a b 上满足罗尔定理，故至少存在一点()a b ξ∈,，使得()0F ξ'=，()()()d ()()d 0abF f g x x g f x x ξξξξξ'=+=⎰⎰，即 ()()d ()()d baf g x x g f x x ξξξξ=⎰⎰ 证毕.。
