线代第二章(习题课)

第二章 矩阵及其运算2.1 目的要求1．理解矩阵的概念；2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．2.2重要公式和结论1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA **，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *1A AA1=−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , TTk k A A =)(111)(−−=A A kk , A A n k k =, A A 11=−；3．矩阵乘法的关系T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；，()22T TA)(A =()2112A )(A−−=，22A A =；4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 10B A 0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0AB 011⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B 0CB A A B 0C A ；； ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B 0A BC 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1n *AA −=；6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A nk k =，1−=n nk k A A *，()1)1(*−−=n n n kk AA ；7．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)3(≥n A AA 2**)(−=n ．2.3典型例题例2.1计算:(1) (2) .⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(()n n b b a a L M 11⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛解 (1) =;⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(∑==+n k k k n n b a b a b a 111L (2) . ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a L M M M L L L M 21222121211111例2.2 设 为三阶矩阵, 且已知)(j i a =A a =A , *A 为A 的伴随矩阵又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211na na na ma ma ma la la la B , 求 *BA 解 由于 CA B =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211333231232221131211000000a a a a a a a a a n m l na na na ma ma ma la la la 其中, ，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n m l 000000C ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛====an am al a 000000C E A C CAA BA **．例2.3 设, , 求的关系, 使⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3421A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x 21B y x 与A 与是可交换的． B 解 要使A , 可交换, 即B BA AB =又⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x y x y x 3464214213421AB ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y y x x y x 3442324342121BA 故的充要条件是 ， 得到 BA AB =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+yy y x x y x x 343442643221441−=y x .例2.4 设n ×=1)21,0,,0,21(L C , , ,计算C C E A T −=C 2C E B T +=AB ．解: C)C C)(E C (E AB TT +−=C CC 2C C C C 2C E T T T T −−+= )C (CC 2C C C E TTT−+=C C 212C C E T T ××−+=E = 故 E AB =．例2.5 设. , 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5423A 1−A解 由于075423≠==A , 故A 是可逆的，又， 故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=342522122111*A A A A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−3425711*1A A A ． 例2.6 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 是常数, 试证 k ()*A A 1*−=n k k ． 证明 把看作一个整体, 根据A k E A AA *=, 有 ()E A A A )()(*k k k =，由于A 是可逆的,则也是可逆的，故)(A k ()*11111*1)()(A A A A A A A A −−−−−==×==n n n k k kk k k k ． 证毕例2.7 设, ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2111021100210001A *A 为A 的伴随矩阵, 求． **)(A 解 由于 082111021100210001≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆；根据E A AA *=, 有 E A )(A A ****=，方程左右两边同时左乘以A ，得 E A A )(A AA ****=， 即 A A A)(A ***1=， 又 1n *A A −=, A 是4阶矩阵，故 10001200()6411201112−⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠n 22**A AA AA ． 例2.8 设A , 是n 阶方阵, 若B AB E −可逆, 试证 BA E −也可逆 ．证明 由于A AB)AB)(E B(E E BA E 1−−−−=−A AB)BAB)(E (B E 1−−−−=A AB)BA)B(E (E E 1−−−−=移项得到E A AB)BA)B(E (E BA)(E 1=−−+−−即E A)AB)B(E BA)(E (E 1=−−−−根据可逆矩阵的定义, BA E −可逆, 并且．证毕A AB)B(E E BA)(E 11−−−+=−例2.9 设, 求．⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=00010000200010L L MM M MLL n n n A 1−nA 解 对矩阵分块, , 其中 n A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0CB 0A n )(n =C ， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001n L M M M L L B 故1(1n=−C , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−)1(10002100011n L M M M LLB， 根据分块矩阵的逆矩阵公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−−0B C 00C B 0A 1111n⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0)1(100021000011000n n LM M M M L L L ． 例2.10 设阶方阵 , , 求, 使n ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=021102341B X B AX =． 解 由于01100001010≠−==A , 故A 是可逆的; 并且 ；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000010101A 方程左右两边同时左乘以1−A 得到⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−021341102021102341100001010B A X 1．例2.11 设,求, 使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=134030201A X X A E AX 2+=+．解 对方程移项得 E A X AX 2−=−， 根据矩阵乘法分配律得E A E)X (A 2−=−由于 016034020200≠−==−E A , 故E A −可逆．方程左右两边同时左乘以, 得(1−−E A )()()E)(A E A E)(A E A E)(A X 121+−−=−−=−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=234040202E)(A例2.12 设, 求. 其中E BA)B X(E TT1=−−X , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312B 解 根据乘法转置公式得 TTT(AB)A B =T T 1T T1A)(B A)]B [B(E BA)B (E −=−=−−−又 011234012300120001)(≠==−TA B , 故可逆， 对方程 右乘以[， 得到 ． T )(A B −E A)X(B T=−]1)(−−T A B []⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−12100121001200011T A)(B X例2.13 设A 的伴随矩阵, 求, 使． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A B 3E BA ABA 11+=−−解 根据, 得到 3E BA ABA 11+=−−()3E BA E A 1=−−故 皆是可逆的, 并且A E,A −()()()1111A E A A E AB −−−−−=−=33[]1111)A (E E))(A (A −−−−−=−=33又由1n *AA −=, 8*=A , , 故 4=n 2=A ，1*1*11)A E ()A (E )A (E B −−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−=22132133 11*1*60300101001000016)2(6)2(213−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=A E A E B . ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=1030060600600006例2.14 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 试证(1) 若0=A , 则0*=A ； (2) 1*−=n AA ； (3) 1)1(*)(−−=n n n kk AA ．证明 (1 ) 根据0=A 得到0A =与0A ≠两种情况，① 当0A =时, 则, 显然0A *=0*=A ；② 当0A ≠时, 利用反证法, 不妨反设0*≠A ，则可逆, 即存在*A 1*−A , 又由于E A AA *=,0=A ，得到0)(A 0)(A A A 1*1*=⋅==−−, 这与矛盾.假设0A ≠0*≠A 不成立．故综合①②得到若0=A , 则0*=A .(2 ) 分0=A 和0≠A 两种情况，① 当0=A 时, 由(1)得到0*=A , 显然有1*−=n AA ．② 当0≠A 时, 则A 可逆, 由E A AA *=引入行列式得到n*A A A =, 从而1n *AA −=．(3 ) 根据(2 )中1n *AA −=得到1)1(11*)()()(−−−−===n n n n n n k k k k AA A A ．例2.15 设A , 均为阶方阵, B n 2=A , 3−=B , 求1*B)(A −2．解1*n1*1*1*B A B A B)(A B)(A −−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===212122， 又根据E BB1=−, 得到1=−1B B , 即BB 11=−, 以及1−=n A A *，所以6131)2(212121−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−××⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−−n n1*n1*B A B)(A例2.16 设5阶矩阵A , 且2=A , 求A A −． 解 由于2=A , ()()6423225−=×−=−=−=−A A AA A 5．例2.17 设A , 均为3阶矩阵, B 2=A , 21=B , 求()*AB ． 解()()122122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛====−−1313*****ABA B A B AB ． 例2.18 设阶矩阵n A , 有E A m=, 若A 中每个元素用其对应的代数余子式代替, 得到矩阵, 求．ij a ij A B mB 解 依题意, 得 , (其中T *)(A B =*A 为A 的伴随矩阵)，由E A m=, 得到1=m A ,即A 是可逆的，故 1ΤΤ1Τ1Τ*)(ΑΑ)(ΑΑ)ΑΑ()(ΑΒ−−−====，又由, 得111A B (AB)−−−=T T T A B (AB)=()()222112)(,)(T T A A A A ==−−，所以 ()()11)()(−−=T m mTA A , 故()()E A A AB===−−11)()(Tm T m mm．例2.19 设⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21232321A , 且E A 6=, 求11A 解 由 E A 6=, 得E A12=, 即E AA 11=, 故⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−212323211A A 11. 例2.20 设, )5,4,3,2,1(=A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=51,41,31,21,1B , 又B A X T =, 求n X 解 由X XX XnL =B)(A B)B)(A(A T TTL =()()()B BA BA BA A T T T T L =又因为，故 5=T BA ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−−514131211543215511n n n B A X T ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−145352555413424534312335242321251413121151n ． 例2.21 设, 满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =,求A , 9A ．解．由于01112012001≠−=−=P , 故是可逆的,且，P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−1140120011P 由题意, ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==−1140120011000000011120120011PBPA ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001又 A PBP P PB PBP PBPA 119119====−−−−L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001．例2.22 设, 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λA nA ． 解 由于 ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==1021101101λλλAA A 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==10311011021λλλA A A 23不妨假设结论,下用归纳法证明. 当⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA 2=k 时,显然成立， 不妨设时也成立, 即, 则当1−=n k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−10)1(11λn n An k =时⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−10110110)1(1λλλn n A A A 1n n ，故结论成立, 即． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA2.4 独立作业2.4.1 基础练习1．设阶矩阵, 且n )(ij a =A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n λλO 1D )(j i j i ≠≠λλ则=AD （A ）()ij i a λ ； （B ）()j ij a λ； （C ）()ij i a 1+λ ； （D ）以上都不对． 2．设A 、均为阶矩阵，下列命题正确的是 B n（A ）0B 0A 0AB ==⇒=或； （B ）0B 0A 0AB ≠≠⇔≠且； （C ）00==⇒=B A 0AB 或； （D ）00≠≠⇔≠B A 0AB 且． 3．设阶矩阵满足， 则有 n E ABC =（A ） （B ）E ACB =E CBA = （C ）E BAC = （D ）E BCA =4．设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120001430A =A k（A ） （B ） （C ）311k −311k k 11− （D ） k 115．下列命题正确的是 （A ）若A 是阶方阵，且n 0A ≠，则A 可逆； （B ）若A 、是阶可逆方阵，则B n B A +也可逆； （C ）若A 是不可逆方阵，则必有0A =； （D ）若A 是阶方阵，则n A 可逆⇔TA 可逆．6．已知，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=210413121A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=121312410B ()T AB 7．设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0111,300121A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21A 00A A =−1A8．已知，则 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300041003A =−−1)(2E A9．设矩阵满足，其中B 9E 3B A AB 2−=−E 为三阶单位矩阵，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400020101A , 则 =B10．已知，满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B A B AB =−，则=A 11．设，，求矩阵，使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=311201A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=041012B X B X A =+23成立．12．设，计算⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=141021001A ()()()2181644A A E A E A E +−−−−T ．13．设，,求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000210032101321B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000210002101021C A , 使成立．T T 1C B)A C(2E =−−14．设矩阵，，，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3152P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001B ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2153Q PBQ A =， 试计算QP 和nA ．15．设（k 为正整数），（1）试证 ；0A k =1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）求． 1)4(−−E)(A 2.4.2提高练习1．设A 为阶矩阵,且有n A A 2=,则结论正确的是________________ (A)(B) 0A =E A = (C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2=2．已知，，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a a a a A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y a x a 2111B 1,1==B A ，则=+B A (A) 2； (B) 3; (C) 4; (D) 5．3．设 ，是两个阶方阵，则)(ij a =A )(ij b =B n AB 的第行是 i （A ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （B ） A 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素； B i （C ） 的各列的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （D ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第列各元素． i 4．设A 、、C 为可逆矩阵，则B ()=−1T ACB（A ） ； （B ） ；()1−−−C A B11T 11T A C B −−（C ） ( D ) ()1T 11B CA −−−()11T1A C B−−−．5．设A 为阶矩阵，为其伴随矩阵，则n *A =*A k （A ） A n k （B） nk A （C）1−n n k A（D）nn kA1−6．设三阶矩阵A 的行列式3=A ，则=−−*123A A7．设阶矩阵n A 的行列式5=A ，则()=−1*5A8．已知 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=θθθθcos sin sin cos A =−1A 9．设阶矩阵n A 、、C ，且B E CA BC AB ===，则 =++222C B A10．设A 、是四阶矩阵，且B 2=A ，21=B ，则()=*AB11．设三阶矩阵A 、Β满足关系式,BA 6A BA A 1+=−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，求 B 12．设 B A B A AX AXB 22+−+=，求．其中，X⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100110111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200020102B 13．设A 、均为阶方阵，若B n AB B A =+，求()1−−E A ．14．设, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=211021001A *A 为A 的伴随矩阵, 求．1*)(−A第二章 参考答案与提示2.4.1 基础练习1．( B ) 提示 AD 表示A 的第i 行与D 的第列j 相乘得到()j ij a λ． 2．（C ）提示 0000==⇒=⇒=⇒=B A B A A 0AB 或B ． 3．（D ）提示 A 、、C 可逆，等式左乘以B 1−A ，右乘以A ． 4．（A ）提示 3311k k k −==A A ．5．（D ）提示 由于A 可逆⇔00≠⇔≠T A A ⇔TA 可逆．6．， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=15419102935121312410210413121AB ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=1541910293511995103425TAB ． 7．⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−110100000310000112111A 00A A．8．，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000210012E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000212100121E A ． 9． ， ，E B A AB 293−=−E A B AB 293−=−)333E E)(A (A E)B (A +−=−由于021*********≠=−−=−E A ，故E)A 3(−是可逆的，．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=7000501043E)(A B 10．A B AB =− ， ，B E)A(B =−04100002020≠=−=−E B ，E B −是可逆的,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=−200012102111000021021020********E)B(B A ．11．()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−=91461121321A B X ．12．()()()21T A A E A E A E +−−−−81644()()()A E A)E (A E A E 1T−−−−=−4444()()A E A E T−−=44()24A E −=324182==．13．左乘以C ，，由于 E B)A C (T=−20110002100321043212≠==−B C ，故 是可逆的，(． B C −2()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−=−−−1210012100120001222C 1T T1B)C (B)C (B)A 14．，即、互为逆矩阵， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=100131522153QP P Q ()()()()BQ QP QP B QP PB PBQ A nn L ==Q PB n =，由于，故．）（－L ,2,1,122===k k kBB E B⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==为奇数为偶数n n 1162011A E A n 15．（1）由于()1k AA E A)(E −+++−L )A A (A )AA (E n 21k +++−+++=−L LE A E n =−=， 故 ，1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）()111A)(E A))(E (E))(A (−−−−−=−−=−4144()1k A A E −+++−=L 41． 2.4.2提高练习 1．（D ）提示：，若0E)A(A A A2=−⇔=A 可逆，则E A =，E A 2=．2．（C ）提示：,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+y a ax a a 2221121122B A 422221112221121122211211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=+y a x a a a a a y a a x a a B A ． 3．（A ）提示：乘积AB 的第行是i A 的第行与的列的乘积． i B n ,,1L 4．（D ）提示：()()()()()()1−−−−−−−===A C B AC B B AC ACB1T 111T 1T 1T ．5．（C ）提示：1**−==n nn k k k AA A ．6．()()()9313133232333111*1−=×−=−=−=−=−−−−−AA A A A A A ．7．()n n n n211*1*1*5151151)(515−−−−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛==A AA A． 8．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−θθθθcos sin sin cos 1*1A A A ． 9．由于E CA BC AB ===，故 ，2A A(BC)A ABCA E ===2B B(CA)B BCAB E ===，，2C C(AB)C CABC E ===所以 ．E CB A 2223=++10．()()11=====−3341*)B A (AB ABABAB AB AB ．11．由于，，右乘以得BA A BA A 1+=−6A E)BA (A 16=−−1−A E E)B (A16=−−又可逆．故A)(E −16−−−=E)(A B1⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=6100031000216． 12．方程整理得B E)A)(B A(X =−−由于0≠A ，0≠−E B ，故A 、E B −是可逆的，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−1001102111A ，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000101011E B 所以11E)B(B A A X −−−=− ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=200220522100010101200020102100110211故 ． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=300330613X 13．由于AB B A =+B AB A −=⇒()B E A A −=⇒（但是B 不一定可逆，不能同时右乘以1−B）()()B E A E E A −=+−⇒()()E E B E A =−−⇒，故 ()E)(B E A 1−=−−．14．由于0421102101≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆的； 根据E A AA *=, 有 E )(A A **=−1方程左右两边同时左乘以A 得，AE )(A AA **=−1即 A A )(A *11=−， 故 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−2110210014111A A )(A *．。

第二章练习题参考答案一、填空题1. 无穷解；2. d;3. 3,5a ≠;4. 1 ;二、 1. 略.2. 提示: 确定方程组123123************21x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 何时有解, 此解即为它们的公共解. 当1a =或 2a =时, 它们有公共解, 当1a =时,公共解为1230x t x x t =-⎧⎪=⎨⎪=⎩, (其中t 为任意实数) ,当2a =时, 公共解为123011x x x =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.3. 当1k ≠-且4k ≠时, ()()3,r A r A == 方程组有唯一解, 解为221222242,,111k k k k k x x x k k k+++===-+++; 当1k =-时, ()2,()3,r A r A ==方程组无解;当4k =时, ()2()3,r A r A n ==<= 方程组有无穷多解, 通解为12334x t x t x t =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 其中t 为任意实数.4. 当,,a b c 两两互异时, 方程组只有唯一零解;当a b c =≠时, 方程组有无穷多解, 其解为112130x t x t x =⎧⎪=-⎨⎪=⎩, 其中1t 为任意实数;当a c b =≠时, 方程组有无穷多解, 其解为122320x t x x t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩, 其中2t 为任意实数;当b c a =≠时, 方程组有无穷多解, 其解为123330x x t x t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩, 其中3t 为任意实数;当a b c ==时, 方程组有无穷多解, 其解为1452435x t t x t x t =+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩, 其中45,t t 为任意实数. 5. 10111012210010100010A a b a ---⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-+⎢⎥-⎣⎦当1a ≠时, 有唯一解, 解为12342231,,,0.111b a a b b x x x x a a a -+--+====--- 当1,1a b =≠-时, ()2,()3r A r A ==, 方程组无解. 当1,1a b ==-时, ()2()4r A r A ==<, 方程组有无穷多解, 解为11221231421,122,,.x t t x t t x t x t =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩。

第二章 矩 阵一、选择题 1．设矩阵4203a b a b d c +-æöæö=ç÷ç÷èøèø，则（ C ）（A）3,1,1,3a b c d ==-== （B）1,3,1,3a b c d =-=== （C）3,1,0,3a b c d ==-== （D）1,3,0,3a b c d =-=== 2．设矩阵()1,2A =，1234B æö=ç÷èø，123456C æö=ç÷èø，则下列矩阵运算中有意义的是（B）（A）ACB （B）ABC （C）BAC （D）CBA 3．设A 、B 均为n 阶矩阵，下列命题正确的是 C （A）0B 0A 0AB ==Þ=或 （B）0B 0A 0AB ¹¹Û¹且 （C）00==Þ=B A 0AB 或 （D）00¹¹Û¹B A 0AB 且 4．设A 、B 均为n 阶矩阵，满足22A B =，则必有（ D ） （A）A B = （B）A B =- （C）A B = （D）22A B=5．设A 为n 阶矩阵,且有A A 2=,则结论正确的是________D________ (A) 0A = （B）E A =(C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2= 6．设B A ,都是n 阶对称矩阵，下列结论不正确的结论是（ A ） （A）AB 为对称矩阵 （B）设B A ,可逆，则11--+B A 为对称矩阵（C）B A +为对称矩阵 （D）kA 为对称矩阵7．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ B ） （A）T A A + （B）T A A - （C）T AA（D）T A A8．设A 为3阶方阵，且2A =，则12A -=（ D ） （A）-4 （B）-1 （C）1 （D）49．设A 为n 阶矩阵，*A 为其伴随矩阵，则=*A k C （A） A n k （B） nk A（C）1-n nkA（D）nn kA1-10．设B A ,都是n 阶可逆矩阵，则÷÷øöççèæ--1002B A T等于（ A ） （A）12)2(--B A n（B）1)2(--B A n （C）B A T2- （D）12--B A11．设n 阶方阵C B A ,,满足关系式E ABC =，其中E 为n 阶单位阵，则必有（ D ）。

线性代数第二章习题二答案1. )0,1,19()2,1,3(3)3,1,5(232)2,1,3()8,4,12(41)]3,1,5(3)17,7,3[(41=-+-=+-=---=----=βαβ2.因为维数不同。

不能由它们线性表出，1)1(β321243212432144343243214433221124321-20,1,2,1),,,()0,1-1,2(,,,2αααβααααβααααβ+==-===++++++=+++=即：的线性组合。

，，，可以表示为所以：解得：，即：使得）设存在（k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k因为维数不同不能由它们线性表出，3)3(β432144321443214434324321443322114432134-23,4,2,1),,,()3,1-1,2(,,,4ααααβααααβααααβ++==-===++++++=+++=即：的线性组合。

，，，可以表示为所以：解得：，即：使得）设存在（k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k3. 使得证明：设存在4321,,,k k k k44332211ααααβk k k k +++=只有一种。

线性表示并且表示方法，，，可以由即且有唯一解。

所以上线性方程组有解因为系数行列式即：则：43214434324321432144343243214321011000210032104321232432),2,32,432(),,,(ααααβ≠==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+++++++++=D b k b k k b k k k b k k k k k k k k k k k k k k b b b b44343243213214443343223211)2()2()2(222ααααβ b b b b b b b b b b k b b k b b b k b b b k +-++-++-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-=+-=即：解得： 4.n ααα∙++∙+∙=000)0,,0,0(21证明：维向量组线性表示维零向量可由任意的所以：n n 5.证明：因为表示。

第二章 矩阵一 重点内容1 矩阵的基本运算 ∙ 矩阵的加法设nm ij a ⨯=)(A，nm ij b ⨯=)(B，则nm ij ij b a ⨯±=±)(B A .性质 ①AB B A +=+② )()(C B A C B A ++=++③ AO A=+ ④OA A =-+)(∙ 矩阵的数量乘法设k 为数，nm ij a ⨯=)(A ，则nm ij ka k ⨯=)(A.性质 ①AA =1② )()(A Al k kl =③ AA A l k l k+=+)( ④BA B A k k k +=+)(∙ 矩阵的乘法设nm ij a ⨯=)(A，sn ij b ⨯=)(B，则sm ij c ⨯=)(AB，∑==nk kj ik ijb ac 1.性质 ①)()(BC A C AB =② )()()(B A B A AB k k k ==③ ACAB C BA +=+)(；BCAC C B A +=+)(∙ 方阵A 的k 次幂：个k kA AA A =①mk mk+=AAA② kmmk AA =)(∙ 方阵A 的k 次多项式设111)(a x a xa xa x f k k kk +++=-- ，A 为n 阶方阵，则EA A A A 0111)(a a a a f k k kk +++=-- (E 为n 阶单位矩阵)∙ 方阵乘积的行列式定理：设A , B 为n 阶方阵，则BA AB ⋅=..∙ 转置矩阵若记nm ij a ⨯=)(A，mn Tji Ta ⨯=)(A，则T jiija a =.性质 ① AA =TT )(② TTTBAB A+=+)(③ T T k k AA =)(④ TTTAB AB=)(⑤ 若A 为方阵，则AA=T.∙ 对称矩阵：A =A T(即a ij =a ji )；反对称矩阵：A =－A T(即a ij =－a ji ). 2 逆矩阵的重要结论定义：若AB =BA=E ，A ,B 互为逆矩阵. (可逆矩阵必为方阵) ∙ 若A 可逆，则1-A 是唯一的∙ 矩阵A 可逆的充要条件是≠A (非奇异矩阵)，且*11AAA =-∙ 若A , B 为n 阶方阵，且AB =E ，则必有BA =E .∙ 设A , B 可逆，数k ≠0，则AB A A A , , ,1k T -皆可逆，且①AA=--11)(② 11)()(--=TTA A③ 111)(---=AA kk ④ 111)(---=ABAB⑤11--=AA3 伴随矩阵的重要结论定义：设A 为n 阶方阵，则其伴随矩阵TcofA A )(*=，即代数余子式矩阵的转置矩阵.①EA A A AA==**② AAA 2**)(-=n③ **)()(T TA A =④ 若A 可逆，则A * 也可逆，且*11*)()(--=AA⑤*1*)(AA -=n kk⑥ ***)(AB AB =⑦1*-=n AA4 分块矩阵的重要结论∙ 分块矩阵的加法(要求是同型矩阵，分块方式相同)；数量乘法； 乘法(在AB 可乘的前提下，A 的列的分块和B 的行的分块方式相同)；转置(“大转”再“小转”) ∙ 可逆分块矩阵的逆矩阵①⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m A A AA21 ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----112111m A A A A⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mA A A A21 ⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----111211A A A Am其中的子块i A 为方阵，且),2,1( 0m i i =≠A② ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B C A DO ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111BCBAA DO⎪⎪⎭⎫⎝⎛=B C A D O ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111B CA B O AD⎪⎪⎭⎫⎝⎛=O B A CD ⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----11111CB A A BDO⎪⎪⎭⎫⎝⎛=C B A D O⇒⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-----O A BCAB D11111其中的子块A ,B 为方阵，且,0≠≠B A .二 典型题型：1 利用B A AB ⋅=计算(证明)行列式例1 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=a bcd ba d c c d ab dc b a A ，计算 |A |2 和 |A |。

第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= 137240115 ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。

习题二 （A ）1 请按要求写出下列相应矩阵（1）3E ； （2）35O ⨯； （3）()3,1,2.=-3Λdiag2 设矩阵221,301A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭a b c c ，若A B =，请确定a,b,c 的值. 3 设矩阵300012111=,,565042112A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝-⎭，求,,23A B B C A C -++.4 设3023=12531⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭A ,求,2,3--+A E E A A E . 5 设矩阵3111110=21,=212031112AB ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求矩阵X ，使得()53X B AB X +=+. 6 计算下列乘积：（1）AB 与BA ，其中A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛600040002，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ； （2）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛6543,2,1；（3）1023211231⎛⎫-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭；（4）()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321,,x x x a a a a a a a a a x x x ；（5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛32142143143243210110100101001000. 7 211312101⎛⎫ ⎪= ⎪⎪-⎝⎭A ，230101211⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭B ，求23-AB B ,T A B 及()T AB .8 设矩阵110010001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求n A ，其中n 为自然数.9 设列矩阵A =()T12,n a a a ，满足T 1,=n A A E 为n 阶单位矩阵，T 2n =-B E AA ，证明（1）矩阵B 是对称矩阵；（2）T=n BB E .证毕10 设矩阵31212,01234031A B ⎛⎫- ⎪⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，λ是实数，（1）计算λ-E A 和λ-E B ； （2）计算-E A λ和E B -λ.11 求下列方阵的逆矩阵 (1) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4231；（2）cos sin sin cos ⎛⎫ ⎪-⎝⎭θθθθ； （3）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111011001； （4）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145243121； （5）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---6000340042102521. 12 解下列矩阵方程：（1）25323714⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X ； （2）211213*********-⎛⎫-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪--⎝⎭X ；(3) 0314********X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝-⎭⎝-⎭⎝-⎭； (4) 010********0001201001010120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭X ．13 设矩阵 1111111111111111⎛⎫ ⎪--⎪= ⎪-- ⎪--⎝⎭A . (1) 求2A ；(2) 证明矩阵A 可逆，并求1-A ；(3) 求*1()-A .14 已知k=A O （k 为正整数），证明()121---=++++k E A E A A A .15 若矩阵A 满足224--=A A E O ，试证 (1) 矩阵A 可逆，并求1-A ;(2) 矩阵+A E 可逆，并求1()-+A E . 16 利用逆矩阵解下列线性方程组：(1) ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3531322522321321321x x x x x x x x x ；(2) ⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x ． 17 设矩阵A 和B 满足关系式2=+AB A B ，其中033011312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵B . 18 设矩阵A 和X 满足关系式2+=-XA E A X ，其中120340567⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求矩阵X . 19（研2006数一，数二） 设矩阵2112⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2=+BA B E ，则=B .20 （研2008数一，数二，数三） 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若3=A O ，则（ ）（A ）-E A 不可逆，+E A 不可逆； （B ）-E A 不可逆，+E A 可逆； （C ）-E A 可逆，+E A 可逆； （D ）-E A 可逆，+E A 不可逆.21 （研2009数一，数二，数三） 设,A B 均为2阶矩阵，,**A B 分别为,A B 的伴随矩阵.若2,3==A B ，则分块矩阵⎛⎫⎪⎝⎭O A B O 的伴随矩阵为（ ）（A ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ； （B ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O B A O ；（C ）32**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O ； （D ）23**⎛⎫ ⎪⎝⎭O A B O .22 （研2010数二，数三） 设,A B 为3阶矩阵，且13,2,2,-==+=A B A B 则1-+=A B .23（研2012数二） 设A 为3阶矩阵，3=A ，*A 为A 的伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*=BA .24（研2013数一，数二，数三） 设()ij a =A 是3阶非零矩阵，A 为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若()0,1,2,3ij ij a A i j +==，则=A .（B ）1（研2002数二） 已知,A B 为3阶对称矩阵，且满足124-=-A B B E ，其中E 为3阶单位矩阵.（1）证明：矩阵2-A E 可逆，并求()12--A E ；（2）若矩阵012012002B ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求矩阵A .2 设矩阵X 满足 12*-=+A X A B X ，其中111111111A ⎛⎫- ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，110101B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X .3（研2003数二） 设3阶矩阵,A B 满足2--=A B A B E ，其中E 为3阶单位矩阵，011002021A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求B .4 设,A B 均为3阶矩阵，E 为3阶单位矩阵.已知2=+AB A B ，202040202⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，求()1--A E .5 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，证明： (1) 若0=A ，则*0=A ； (2) 1*-=n A A.6 设矩阵111222⎛⎫=⎪⎝⎭A A A O A ，其中ij A 是j i n n ⨯矩阵，证明矩阵A 可逆的充分必要条件是11A 及22A 均为可逆矩阵，并求1A -.7 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆，求1O O -⎛⎫⎪⎝⎭A B .8 求矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000000000121 n n a a a a 的逆矩阵，其中0≠i a ，n i ,,1 =.9（研2015数二）设矩阵101101a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 且3=A O .（1）求a 的值；（2）若矩阵X 满足--+22X XA AX AXA =E ，E 为3阶单位阵，求X .10 设n 阶矩阵,,A B C 满足n ===AB BC CA E ，求222++A B C .。

第二章向量组的线性相关性§2-1 §2-2 维向量，线性相关与线性无关（一）一、填空题1. 设3 α1−α +2 α2+α =5 α3+α , 其中α1=(2,5,1,3)T,α2=(10,1,5,10)T, α3=(4,1,−1,1)T, 则α= (1,2,3,4)T .2. 设α1=(1,1,1)T, α2=(2,1,1)T,α3=(0,2,4)T,则线性组合α1−3α2+α3= (−5,0,2)T .3. 设矩阵A= ，设βi为矩阵A的第i个列向量，则2β1+β2−β3= (−2,8,−2)T .二、试确定下列向量组的线性相关性1. α1=(2,1,0)T, α2=(1,2,1)T, α3=(1,1,1)T解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 210 +k2 121 +k3 111 = 000即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0−3k2−k3=0k2+k3=0 k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0 k1=k2=k3=0，线性无关。

2. α1=(1,−1,2)T, α2=(0,0,0)T, α3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组α1=(1,1,0)T, α2=(1,3,−1)T, α3=(5,−3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。

解：设k1α1+k2α2+k3α3=0,则k1 110 +k2 13−1 +k3 5−3t =0即k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2−4k3=0−k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2−3k3=0(t−4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t≠4, 线性无关四、设a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。

解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=−k1a1−k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k2≠0，于是，b=−k1k1+k2a1−k2k1+k2a2.五、已知向量组α1,α2,⋯,α2n，令β1=α1+α2,β2=α2+α3,⋯,β2n=α2n+α1，求证向量组β1,β2,⋯,β2n线性相关。

第二章 矩阵及其运算第一节 矩阵 1．解．,251=x 212=x .2.解． ⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236zz z x z z z x z z z x 其系数矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----161109412316第二节 矩阵的运算一 填空题：1. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛224210 2.3 ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121 ， 13-k ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312123323121（k 为正整数）。

3. ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000000004.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010001 5. 0二选择题 ：CCCCC B三计算：1．（1）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---632142（2）10 （3）322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++（4）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++32155121232272i i i i ii i 2. ()()T T T A I A AA A I A A A T A A I +=+=+=⋅+=⋅+(1)00A A A I A I <⇒-+=+=.3.111101()()2()2000101n T n T n T n A αααααα----⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则2(2)n n aE A a a -=-. 4.设2222223T T x x xy xz y xy y yz x y z z xz yzy ααααα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⇒=⇒=++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦5.02()()()A E A B A B E A E A E B A E A E B E +≠--=⇒+-=+⇒-=112A EB B ⇒-⋅=⇒=. 6.()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+-1154123600022B A B A7．⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-012328317 8．－80第三节逆矩阵 一 填空题：1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000031212. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24205100010 3. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----611859131320001 4. ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000213141 5.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=123B 6. 541-；7.100122()(2)2()0102100B E AB A B A E B E E A E -⎡⎤-⎢⎥=+⇒--=⇒-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦8.21()(2)20B A E A E --⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦. 9.由21224()().22A E A EA A E O A E E A E -+++-=⇒-=⇒-=()()kA lE h A E +=10.由111021()102002AB B A A B B E -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⇒=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 二．选择题：ACBBD三.计算题：1.(1) ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--3131002121001 (2) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----17162132130122. 由BA A BA A +=-61得，B E B A +=-61， 所以 E B E A 6)(1=--从而 ， 11)(6---=E A B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-7000400031A ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=--6321E A3.11010100001693471582100001010--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001693471582100001010⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=963852741. 4. 因为)3,2,1(==i i A i i αα，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=300020001),,(),,(321321ααααααA ，因此 1321321),,(300020001),,(-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=ααααααA .又),,(321ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=212122221，所以1321),,(-ααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=21212222191，故 =A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---212122221⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---21212222191⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=622250207315. 由23**0T T ij ij a A A A AA AA A E A A A =⇒=⇒==⇒=⇒=或1A =.又22211111212131311121301A a A a A a A a a a A =++=++≠⇒=.6. 1100200611AP PB A PBP -⎡⎤⎢⎥=⇒==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦.5511A PB P PBP A --===. 7.1*11112(3)2233A A A A A A -----=-=-,所以 1*131228116(3)2()332727A A A A A ----=-=-=-⋅=-.或 *1*1***114(3)222333A A A A A A A A ---=-=⋅-=-,则311**3*446416(3)2()332727A A A A A ---=-=-=-⋅=-.8.E BA E BA A A E B A A B -=-=-=--**11||)(，即E E A B =-)(*，因而⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-=--1030122211763452221)(11E A B *解 1*n A A-=.9.证 (1)由1124(2)(4)28A B B E A E B E E A E -=-⇒-⋅-=⇒-可逆,且 11(2)(4)8A EB E --=-(2)由(1)得102028(4)110002A E B E -⎛⎫⎪=+-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭. 四、证明题：1.证：根据伴随矩阵的性质有E A AA =*又E A A =2，所以2A AA =*，再由于A 可逆，便有A A =*.2.证：假设A 可逆，即1-A 存在，以1-A 左乘0=AB 的两边得0=B ，这与B 是n 阶非零矩阵矛盾；类似的，若B 可逆，即1-B 存在，以1-B 右乘0=AB 的两边得0=A ，这与A 是n 阶非零矩阵矛盾，因此，A 和B 都是不可逆的. 第四节 矩阵分块法1. 00011000100000010010010001000010010000100010010010000100011000r ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,所以100010001001000100100010010001000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 2. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---31313231000000520021. 3.A ；4.若1A -易求得,由*1A A A -=最简便.显然111,A O C C A B OB ---⎡⎤==⎢⎥⎣⎦1**11*A B A OB A OC C C O A B B O A B ---⎡⎤⎡⎤⇒===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 5. (1) 1()T APQ O A b A ααα-⎛⎫=⎪-⎝⎭. (2) 由(1)得0211()P A TT P Q PQ A b A Q b A αααα=≠--⋅==-=-. 6. 23423422288()40A B A B αβγγγαβγγγ+=+=+=+=.7. 11100100112120(2)01221001001B O B O A I A I O O --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==⇒-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 8. (1)m m mnnnO A A O C B OOB =-从第n+1列开始每一列与前n 列逐列交换(1)mn m n A B =-(1)mn ab =-.自测题一.单项选择题：1.D 2.C 3.C 4．A5. B 二、填空题：1. 912.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-133 3.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---4332211 4.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-11001200005200211A 5. ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----O O 21313725 三.计算题1.由B X A =*得，AB X AA =*，即 AB X A = ，因为2-=A ， 所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=00021152031000221X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=020111.2、1) B E B A E A AB E B A B A A B AA ⇒=-⇒+=⇒+=-)|(|||)(1*可逆.2) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=--1111116166666)8(11A EB .3.111()[()]()()T T T T T T T A E C B C E A C C B C E A C B C C E ----=⇒-=⇒-=1()()()T T T A C B CC E A C B E -⇒-=⇒-=110001100[()]12100121T A C B -⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⇒=-=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦. 4.-250；415. 由1113()3ABA BA E E A B E ---=+⇒-=.又3*82A A A ==⇒=,则**160000600()36(2)606010306A E B E B E A A -⎛⎫ ⎪⎪-=⇒=-= ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭四.证明题1.证 由**T T A A AA AA A E =⇒==.假设0T A AA O =⇒=.考虑T AA 的主对角线上的元素,令()T ij AA B b ==,则222121200ii i i in i i in b a a a a a a =+++=⇒==== ,即A 的第i 行的元素全为零,由i 的任意性,得A 的元素全为零,即A O =,矛盾. 2.由23202A E A A E A E A ---=⇒⋅=⇒可逆,且12A EA --=.。