线性代数习题集(带答案)(汇编)
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第一章:一、填空题:1、若a a D ij n ==||,则=-=||ij a D ;解:a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根,则行列式132213321x x x x x x x x x = ; 解:方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为:a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为:q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ;解:原式按第1999行展开:原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ; 解:原式按第一行展开:原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4,则44342414A A A A +++= ;解:44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式,44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ;解:n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(,其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号,为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ; 解:根据行列式结构,可知3x 须由a 11=2x ,a 33=x 和第二行的一个元素构成,但此时第三个元素只能取a 22(行、列数均不可重复),所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-,系数为-2。
线性代数习题及解答完整版线性代数习题及解答HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】线性代数习题一说明:本卷中,A -1表示方阵A 的逆矩阵,r (A )表示矩阵A 的秩,||α||表示向量α的长度,αT表示向量α的转置,E 表示单位矩阵,|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213313233213122322333333a a a a a a a a a a a a ------=() A .-6 B .-3 C .3D .62.设矩阵A ,X 为同阶方阵,且A 可逆,若A (X -E )=E ,则矩阵X =() A .E +A -1B .E -AC .E +AD .E -A -13.设矩阵A ,B 均为可逆方阵,则以下结论正确的是()A .??A B 可逆,且其逆为-1-1A B B .??A B 不可逆 C .??A B 可逆,且其逆为-1-1?? ???B AD .??A B 可逆,且其逆为-1-1??A B 4.设α1,α2,…,αk 是n 维列向量,则α1,α2,…,αk 线性无关的充分必要条件是()A .向量组α1,α2,…,αk 中任意两个向量线性无关B .存在一组不全为0的数l 1,l 2,…,l k ,使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0C .向量组α1,α2,…,αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示D .向量组α1,α2,…,αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示5.已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T+=---+=--αβαβ则+αβ=() A .(0,-2,-1,1)TB .(-2,0,-1,1)TC .(1,-1,-2,0)TD .(2,-6,-5,-1)T6.实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是()A .1B .2C .3D .47.设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解,β是其导出组Ax =0的解,则以下结论正确的是()A .α+β是Ax =0的解B .α+β是Ax =b 的解C .β-α是Ax =b 的解D .α-β是Ax =0的解8.设三阶方阵A 的特征值分别为11,,324,则A -1的特征值为() A .12,4,3 B .111,,243C .11,,324D .2,4,39.设矩阵A =121-,则与矩阵A 相似的矩阵是()A .11123--B .01102C .211- D .121-10.以下关于正定矩阵叙述正确的是() A .正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B .正定矩阵的行列式一定小于零 C .正定矩阵的行列式一定大于零D .正定矩阵的差一定是正定矩阵二、填空题(本大题共10小题,每空2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
线性代数练习题 第一章 行 列 式系 专业 班 姓名 学号第一节 行列式的定义一.选择题1.若行列式x52231521- = 0,则=x [ C ] (A )2 (B )2- (C )3 (D )3- 2.线性方程组⎩⎨⎧=+=+473322121x x x x ,则方程组的解),(21x x = [ C ](A )(13,5) (B )(13-,5) (C )(13,5-) (D )(5,13--)3.方程093142112=x x根的个数是 [ C ] (A )0 (B )1 (C )2 (D )34.下列构成六阶行列式展开式的各项中,取“+”的有 [ A D ] (A )665144322315a a a a a a (B )655344322611a a a a a a (C )346542165321a a a a a a (D )266544133251a a a a a a 5.若55443211)541()1(a a a a a l k l k N -是五阶行列式ij a 的一项,则l k ,的值及该项的符号为[ B ](A )3,2==l k ,符号为正; (B )3,2==l k ,符号为负; (C )2,3==l k ,符号为正; (D )2,3==l k ,符号为负6.下列n (n >2)阶行列式的值必为零的是 [ B ] (A) 行列式主对角线上的元素全为零 (B) 三角形行列式主对角线上有一个元素为零 (C) 行列式零的元素的个数多于n 个 (D) 行列式非零元素的个数小于n 个 二、填空题 1.行列式1221--k k 0≠的充分必要条件是 3,1k k ≠≠-2.排列36715284的逆序数是 133.已知排列397461t s r 为奇排列,则r = 2,8,5 s = 5,2,8 ,t = 8,5,2 4.在六阶行列式ij a 中,623551461423a a a a a a 应取的符号为 负 。
《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………( A )A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵,则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(,)9,0,3(-,)3,2,1(,)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-,)4,5,2,4(-,)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵,r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求(1)32AB A -,(2).T B A6、解(1). A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭(2). 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+,证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ,证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -)=3E ,于是,A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆,且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解:D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。
第一章随堂检测1.已知行列式333231232221131211a a a a a a a a a D = 展开式的六项中含有,则i+j=( )A.1B.2C.4D.6我的答案:D2.某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( ) A.一定是整数 B.一定不是零 C.一定是正数 D.一定是负数 我的答案:A3.[单选题] 行列式=bb a a ( )A.0B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A4.[单选题] 方程组⎩⎨⎧=-=+2121212x x x x 的解是( )A.⎩⎨⎧==0121x x B.⎩⎨⎧==1121x xC.⎩⎨⎧==1021x xD.⎩⎨⎧==0021x x 我的答案:A 5.[单选题] 行列式34-43的结果是( )A.0B.7C.10D.25我的答案:D6.[单选题] 某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( ) A.3 B.4 C.7 D.0我的答案:D7.[单选题] 关于三阶行列式说法正确的是( )A.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B.若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D.若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零 我的答案:A8.[单选题]行列式101010102( )A.0B.1C.2D.4我的答案:B9.[单选题] 一元一次方程1211x =的解是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=4我的答案:A10.[单选题] 已知行列式,3333333331=D ,5555555552=D 则( )A.4B.2C.8D.0我的答案:D11.[单选题] 若a 、b 、c 、d 的绝对值都是1,则行列式dc ba 的最大值是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:B12.[单选题] 若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A.至少有一行元素为零B.至少有一列元素为零C.至少有一个元素为零D.以上答案都不对 我的答案:D1.[单选题] 三级排列321的逆序数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0我的答案:A2.[单选题] 以下四个4级排列中,逆序数为零的是( ) A.1234 B.4231 C.1324 D.1423我的答案:A3.[单选题] 一个偶排列的逆序数可能是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C4.[单选题] 已知由1、2、3、4、5组成的某个5级排列中,数字5排在最前面,则该排列的逆序数至少是( )A.1B.3C.4D.5我的答案:C5.[单选题] 关于逆序数说法正确的是( )A.相同的排列一定有相同的逆序数B.相同的排列一定有不同的逆序数C.不同的排列一定有相同的逆序数D.不同的排列一定有不同的逆序数我的答案:A6.[单选题] D是四阶上三角行列式,主对角线元素分别是1、2、3、4,则该行列式的值是( )A.2B.6C.10D.24我的答案:D7.[单选题] 某对角行列式结果等于1,说明该行列式( )A.主对角线上所有元素都等于1B.主对角线上所有元素都大于1C.主对角线上所有元素都小于1D.主对角线上所有元素乘积为1我的答案:D8.[单选题] D是四阶行列式,且结果不等于零,则该行列式的非零元素个数可能是( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D9.[单选题] 若某四阶行列式所有元素都是奇数,则该行列式的结果( ) A.一定是奇数 B.可能是奇数 C.一定是正数 D.一定是偶数 我的答案:D10.[单选题] D 是五阶行列式,且位于前三数行和前三列交叉点处的9个元素都是0,而位于其它位置的16个元素都是1,该行列式的值是( ) A.4 B.16 C.25 D.0我的答案:D1.[单选题] 某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( ) A.该行列式的结果一定为零B.若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C.若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D.若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零 我的答案:B2.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D 则==3332312322211312112a a a a a a a a a D ( )A.1B.2C.4D.6我的答案:A3.[单选题] 已知222112111a a a a D =,,121122212a a a a D =,且a D D ==21,则a=( )A.0B.1C.2D.4我的答案:A4.[单选题] 行列式ab bb a b a ab a b a ------+( ) A.0 B.b a 22- C.b a 22+ D.2ab我的答案:A5.[单选题] 已知行列式13332312322211312111==a a a a a a a a a D ,==333231223222121341241182a a a a a a a a a D ( ) A.1B.2C.4D.8我的答案:D6.[单选题] 行列式=11-1-111-111( )A.0B.2C.8D.4我的答案:D7.[单选题] 关于行列式说法正确的是( ) A.交换行列式的两行,行列式的结果不变 B.交换行列式的两列,行列式的结果不变C.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D.交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号 我的答案:C8.[单选题] 行列式987654321=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:B9.[单选题] 行列式30219910132121-1=( ) A.2 B.0 C.8 D.4我的答案:B10.[单选题] 若dc bD a =,则=D T( )A. B. C. D.我的答案:B1.[单选题] 在下列四个二阶行列式中,不满足a A ijij =(i,j=1,2,)的是( )A.1111B.111-1C.1001D.2002我的答案:A2.[单选题] 已知行列式,1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=++231322122111a a a A A A ()A.1B.2C.3D.0我的答案:D3.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a 2a 2112=,则有( )A.A 1212a =B.A 2121a =C.A 2A 2112=D.A 2A 1221=我的答案:D4.[单选题] 已知行列式1333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则下列式子结果为1的是( )A.M a M a M a 232322222121++B.M a M a M a 333332323131++C.A a A a A a 131312121111++D.A a A a A a 131312121111+-我的答案:C5.[单选题] 对于二阶行列式D,中若a a 21211=,则有( )A.A 2A 1112=B.A 2A 1211=C.A1211A =D.以上都不对我的答案:D6.[单选题] 行列式300220111=D ,则A A A 131211++( )A.0B.2C.4D.6我的答案:D7.[单选题] 满足122211211====AAAA 的二阶行列式是( )A.1111B.1111----C.1111--D.1111--我的答案:D8.[单选题] 行列式694432111=( )A.2B.0C.8D.4我的答案:A9.[单选题] 行列式c b a D c ba 2221111=,)()()(1112222111111++++++=c b a D c b a ,则( )A.由D D 21=可得a+c=bB.由D D 21=可得a-c=bC.由D D 21=可得a ·c=bD.以上答案都不对我的答案:D10.[单选题] 若D 是二阶对角行列式,且202211=AA,则D=( )A.2B.1C.8D.4我的答案:A1.[单选题] 若b >a ,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+c cax bx bx ax 2121解的情况与c 的关系是( )A.当等于零时,方程组无解B.当不等于零时,方程组无解C.当时,方程组无解D.在任何情况下,方程组都有解 我的答案:D2.[单选题] 若方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 333323213123232221211313212111无解,则行列式==333231232221131211a a a a a a a a a D( ) A.1 B.2 C.3 D.0我的答案:D3.[单选题] 对于⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=++000-42-622-53121321x x x x x x x )()()(λλλ有非零解,则不可能取的值是( ) A.5B.8C.2D.6我的答案:D4.[单选题] 方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333232131323222121313212111x a x a x a x a x a x a x a x a x a 解的情况是( )A.一定有解B.一定无解C.可能无解D.当系数行列式为零时无解 我的答案:A5.[单选题] 若齐次线性方程组有一个非零解,则该方程组一定( ) A.有无穷多解 B.恰有两个非零解 C.没有零解 D.恰有三个解 我的答案:A6.[单选题] 在平面直角坐标系中,直线CB A Y X 1111:l =+与直线C B A Y X 2222:l =+相交,则线性方程组⎩⎨⎧=+=+C B A C B A Y X Y X 222111解的情况是( ) A.有无穷多解B.恰有一个解C.恰有两个解D.恰有三个解 我的答案:B7.[单选题] 关于X 、Y 、Z 的齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++0ey 0fz dx cz by ax 解的情况是( )A.无解B.有非零解C.没有零解D.只有零解 我的答案:B8. [单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=+=+24622y x y ax 无解,则a=( )A.1B.2C.3D.0我的答案:C9.[单选题] 已知方程组⎩⎨⎧=++=+p y x p y 3225x 3的解满足x+y=2,则p=( )A.1B.2C.3D.4我的答案:D10.[单选题] 若cx a x 2bx )(f ++=,f(d)=f(e)=f(g)=0,且d 、e 、g 两两不等,则关于a 、b 、c 的取值情况是( ) A.a=0,b ≠0,c=0 B.a=0,b=0,c=0 C.a ≠0,b=0,c=0 D.a=0,b ≠0,c ≠0 我的答案:B作业1计算行列式 ____正确答案:132计算行列式 ____正确答案:13计算行列式 ____正确答案: 04计算行列式____正确答案:-275计算行列式____正确答案:06解方程,结果是____正确答案:47解方程,结果是或____正确答案:38解方程,结果是或____正确答案:-21在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____(本节课习题凡是涉及符号问题的,正号请在横线上填“+;正;正号;➕”,负号请在横线上填“-;负;负号;➖”)正确答案:+;正;正号;➕2在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖3在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:+;正;正号;➕4在六阶行列式中,元素乘积应取什么符号____正确答案:-;负;负号;➖5项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:+;正;正号;➕6项是不是五阶行列式中的一项____(是/不是),若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:不是7项是不是五阶行列式中的一项____,若是,它的符号是____.(若不是,第二个空不用填)正确答案:第一空:是第二空:-;负;负号;➖8四阶行列式中乘积前应冠以什么符号? ____ 正确答案:-;负;负号;➖9计算行列式____正确答案:2410计算行列式____正确答案:1某三阶该行列式共有三个元素为零,则以下说法正确的是( )A、该行列式的结果一定为零B、若三个零元素在同一行,则该行列式的结果为零C、若三个零元素都在主对角线上,则该行列式的结果为零D、若三个零元素都在副对角线上,则该行列式的结果为零正确答案: B2已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、6正确答案: A3已知,,且,则( )A、0B、1C、2D、4正确答案: A4行列式( )A、0B、C、D、正确答案: A5已知行列式,则( )A、1B、2C、4D、8正确答案: D6行列式( )A、0B、2C、8D、4正确答案: D7关于行列式说法正确的是( )A、交换行列式的两行,行列式的结果不变B、交换行列式的两列,行列式的结果不变C、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式的结果不变D、交换行列式的两行,然后交换行列式的两列,行列式变号正确答案: C8行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B9行列式( )A、2B、0C、8D、4正确答案: B10若,则( )A、B、C、D、正确答案: B1用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:40131002用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:53用行列式的性质计算行列式的值____正确答案:84已知,求行列式的值____ 正确答案:125已知,求行列式的值____ 正确答案:-486计算行列式的值____正确答案:607计算行列式的值____正确答案:-218计算行列式的值____正确答案:09计算行列式的值____正确答案:n!10计算行列式的值____正确答案:-2(n-2)!1求行列式中元素-4的代数余子式(计算出结果).____正确答案:102若某四阶行列式第三行元素依次为,,,,对应的余子式依次为,,,,求此行列式的值.____正确答案:-113计算行列式的值____正确答案:44计算行列式的值____正确答案:435计算行列式的值____正确答案:-246计算行列式的值____正确答案:-277计算行列式的值____正确答案:278计算行列式的值____正确答案:481已知4阶行列式,则中的系数是____正确答案:-4;➖42设4阶行列式,则=____,其中为元素的代数余子式.正确答案:0;零3设4阶行列式,则第一列各元素的代数余子式之和____正确答案:0;零4设5阶行列式,则____ 和____,其中为的第四行第列元素的代数余子式.正确答案:第一空:-9;➖9第二空:185用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ .正确答案:第一空: 1第二空: 2第三空: 36用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:-8;➖8第二空: 3第三空: 6第四空:07用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ .正确答案:第一空:0第二空: 2第三空:0第四空:08用克莱姆法则求解线性方程组的解为____ ,____,____ ,____ ,____ .正确答案:第一空: 1第二空:-1;➖1第三空: 1第四空:-1;➖1第五空: 19当____ 或____时,齐次线性方程组有非零解.(小数在前,大数在后)正确答案:第一空:-2;➖2第二空: 1二.判断题(共1题,10.0分)1判断:齐次线性方程组仅有零解( ) .正确答案:√1已知行列式展开式的六项中含有,则( )A、1B、2D、6我的答案:D2某二阶行列式的所有元素都是整数,则该行列式的结果( )A、一定是整数B、一定不是零C、一定是正数D、一定是负数我的答案:A3行列式( )A、0B、C、D、我的答案:A4方程组的解是( )A、B、C、D、我的答案:A5行列式的结果是( )A、0C、10D、25我的答案:D6某三阶行列式的所有元素都是4,则该行列式的值是( )A、3B、4C、7D、0我的答案:D7关于三阶行列式说法正确的是( )A、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定等于零B、若行列式的所有元素都等于零,则行列式的结果一定不等于零C、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定等于零D、若行列式的所有元素都不等于零,则行列式的结果一定不等于零我的答案:A8行列式( )A、B、1C、2D、4我的答案:B9一元一次方程的解是( )A、B、C、D、我的答案:A10已知行列式,,则( )A、4B、2C、8D、0我的答案:D11若、、、的绝对值都是1,则行列式的最大值是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B12若某二阶行列式的结果为零,则关于该行列式的以下说法正确的是( )A、至少有一行元素为零B、至少有一列元素为零C、至少有一个元素为零D、以上答案都不对我的答案:D第二章随堂检测1【单选题】已知矩阵是二阶单位矩阵,则( )A、1B、2C、3D、0我的答案:A2【单选题】已知矩阵的四个元素中任意两个都互为相反数,则该矩阵是( )A、单位矩阵B、四阶矩阵C、负矩阵D、零矩阵我的答案:D3【单选题】下列四个矩阵中是单位矩阵的是( )A、B、C、D、我的答案:B4【单选题】关于矩阵说法正确的是( )A、该矩阵是3阶单位矩阵B、该矩阵是9阶单位矩阵C、该矩阵是27阶单位矩阵D、该矩阵不是单位矩阵我的答案:D5【单选题】关于矩阵的行数与列数说法正确的是( )A、四行八列B、八行四列D、两行三列我的答案:D6【单选题】下列关于单位矩阵、对角矩阵以及数量矩阵说法正确的是( )A、对角矩阵是单位矩阵B、单位矩阵是数量矩阵C、对角矩阵是数量矩阵D、以上说法都不对我的答案:B7【单选题】四阶单位矩阵所有元素的和等于( )A、1B、2C、4D、16我的答案:C8【单选题】下列关于零矩阵说法正确的是( )A、所有元素都是零B、未必所有元素都是零,但第一行的元素一定都是零C、未必所有元素都是零,但所有元素的和一定等于零D、未必所有元素都是零,但所有元素的乘积一定等于零我的答案:A9【单选题】一个3×4矩阵和一个4×3矩阵的共同点是( )A、行数相同B、列数相同C、行数及列数都相同D、所含元素的个数相同我的答案:D10【单选题】某方阵共有16个元素,则它的行数是( )A、2B、4C、8D、16我的答案:B1【单选题】在矩阵等式中,已知和都是二行三列,则是( )A、二行三列B、三行二列D、六行六列我的答案:A2【单选题】已知是非零常数,是非零矩阵,则是否是零矩阵( )A、一定是B、一定不是C、可能是D、不确定我的答案:B3【单选题】已知,,则( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】矩阵不可能是( )A、两个单位矩阵的和B、两个上三角矩阵的和C、两个下三角矩阵的和D、两个对角矩阵的和我的答案:A5【单选题】已知是负数,是上三角矩阵,则是( )A、下三角矩阵B、上三角矩阵C、数量矩阵D、对角矩阵我的答案:B6【单选题】已知矩阵是六行九列,则矩阵是( )A、十八行二十七列B、两行三列C、六行九列D、九行六列我的答案:C7【单选题】当取何值时,矩阵等式成立( )A、1B、2C、3D、不论取何值,等式都不成立我的答案:D8【单选题】是二阶单位矩阵,则( )A、B、C、D、以上答案都不对我的答案:D1【单选题】,,则( )A、B、C、D、我的答案:D2【单选题】在矩阵等式中,若是上三角矩阵,是下三角矩阵,,则关于的说法正确的是( )A、一定是上三角矩阵B、一定是下三角矩阵C、一定是对角矩阵D、以上答案都不对我的答案:D3【单选题】二阶方阵乘以二阶方阵等于( )A、四阶方阵B、四行四列矩阵C、行数和列数相等且含有十六个元素的方阵D、二阶方阵我的答案:D4【单选题】在矩阵等式中,和的元素都是负数,则的元素符号( )A、都是正数B、都是负数C、正负交替出现D、不确定,与矩阵的行数与列数有关我的答案:A5【单选题】关于矩阵和,以下说法不正确的是( )A、若有意义,则必有的行数等于的行数B、若有意义,则必有的行数等于的列数C、若有意义,则必有的列数等于的行数D、若有意义,则必有的行数等于的列数我的答案:B6【单选题】某矩阵既是对称矩阵又是反对称矩阵,则关于该矩阵说法正确的是( )A、是上三角矩阵,但未必是对角矩阵B、是下三角矩阵,但未必是对角矩阵C、是对角矩阵,但未必是零矩阵D、是零矩阵我的答案:D7【单选题】已知矩阵等式成立,则有( )A、,B、,C、,D、,我的答案:A8【单选题】,,,,则在,,,四个矩阵中,对称矩阵的个数是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D9【单选题】是阶方阵,,则( )A、B、C、D、4我的答案:C10【单选题】如果,则( )A、B、C、D、我的答案:A11【单选题】如果是同阶方阵,则以下说法正确的是( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:D12【单选题】,,且第列的元素和是(,,),则( )A、B、C、D、我的答案:A13【单选题】矩阵的结果是零矩阵,说明( )A、的行数等于的列数B、的列数等于的行数C、和至少有一个是零矩阵D、我的答案:D1【单选题】和是同阶可逆矩阵,则( )A、若,则B、若,则C、若,则D、若,则我的答案:A2【单选题】若,则( )A、可逆,且B、可逆,且C、可逆,且逆矩阵不唯一D、未必可逆我的答案:A3【单选题】逆矩阵不唯一的三阶可逆矩阵有( )个A、0B、1C、2D、3我的答案:A4【单选题】若,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A5【单选题】是可逆矩阵,且,若,则( ) A、B、C、D、我的答案:A6【单选题】、、是同阶可逆矩阵,且,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】是阶矩阵,是的伴随矩阵,以下说法正确的是( )A、可逆时,也可逆B、可逆时,不可逆C、不可逆时,可逆D、可逆时,不可逆我的答案:A8【单选题】,则的伴随矩阵( )A、B、C、D、我的答案:B9【单选题】是阶方阵,以下说法正确的是( )A、当可逆时,有B、当是数量矩阵时,有C、当是对角矩阵时,有D、当不可逆时,有我的答案:B10【单选题】、是同阶可逆矩阵,则下列矩阵未必可逆的是( ) A、B、C、D、我的答案:B1【单选题】是3阶初等矩阵,则的值不可能是( )A、3B、2C、1D、0我的答案:D2【单选题】下列关于初等矩阵的说法正确的是( )A、初等矩阵一定是可逆矩阵B、可逆矩阵一定是初等矩阵C、初等矩阵的行列式可能为零D、初等矩阵可能是退化矩阵我的答案:A3【单选题】已知矩阵是一行三列,矩阵是三行四列,则的结果是( )A、矩阵的第一列B、矩阵的第一行C、矩阵的第一列D、矩阵的第一行我的答案:B4【单选题】方阵经过一次初等变换后得到方阵,且,则( )A、0B、1C、2D、不确定我的答案:D5【单选题】交换方阵的第一、二行得到矩阵,交换方阵的第一、二列得到矩阵,则下列说法正确的是( )A、与不等价,且B、与不等价,且C、与等价,且D、与等价,且我的答案:C6【单选题】,则( )A、B、C、D、我的答案:A7【单选题】,则的标准形是( )A、B、C、D、我的答案:D8【单选题】,且已知矩阵可以经过行初等变换得到矩阵,其中,,则( )A、B、C、D、我的答案:A9【单选题】某初等矩阵一共有三行,则该矩阵一共有( )列A、27B、9C、3D、1我的答案:C10【单选题】四阶方阵的标准形中含元素1的个数最多是( )个A、2B、4C、1D、3我的答案:B1【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】,,则矩阵方程的解是( ) A、B、C、D、我的答案:A3【单选题】可逆,且,则( )A、B、C、D、我的答案:C4【单选题】是阶方阵,且,则有( )A、不可逆B、可逆且C、可逆且D、可逆且我的答案:B5【单选题】是三阶可逆方阵,且,,则矩阵方程的解( )A、B、C、D、我的答案:D1【单选题】A是n阶矩阵,是非零常数,则一定有( )A、B、C、D、我的答案:B2【单选题】A=,则有( )A、B、C、D、我的答案:C3【单选题】A是n阶可逆矩阵,则下列结论正确的是( )A、B、C、D、我的答案:D4【单选题】一个六行八列矩阵的秩可能是( )A、6B、8C、66D、88我的答案:A5【单选题】矩阵A是m行n列且,若,则( )A、1B、2C、3D、4我的答案:D6【单选题】A是一个矩阵,则“是零矩阵”是“”的( )条件A、充分不必要B、必要不充分C、充分必要D、不充分不必要我的答案:C7【单选题】A是n阶矩阵,,,则有( )A、B、C、D、以上答案都错我的答案:A8【单选题】k是常数,,则不可能是( )A、1B、2C、3D、4我的答案:B9【单选题】,则有( )A、B、C、D、我的答案:A10【单选题】矩阵经过3次初等变换得到矩阵,,则( )A、8B、2C、5D、15我的答案:C作业1已知矩阵,、是常数且,则____正确答案:第一空: 12已知,满足,则常数____正确答案:第一空: 43矩阵,(),且,则____正确答案:第一空:504矩阵,及常数,满足,则____正确答案:05,是常数,,是未知数,且矩阵方程组有无穷多组解,则常数____正确答案:101某数量矩阵第四行的非零元素是2,则该矩阵第二行的非零元素是4( ) 正确答案:×2对角矩阵主对角线上的元素都不等于零( )正确答案:×3既是上三角矩阵又是下三角矩阵的矩阵是零矩阵( )正确答案:×4非负矩阵的行数不超过列数( )正确答案:×5五阶方阵的每个元素不小于5( )正确答案:×6数量矩阵不可能是单位矩阵( )正确答案:×7上三角矩阵第一行的元素都不等于零( )正确答案:×8某矩阵共四行,且所有元素都是4,则该矩阵是四阶方阵( )正确答案:×9下三角矩阵的行数不等于列数( )正确答案:×10数量矩阵的所有元素都相等( )正确答案:×1已知矩阵,且,则____正确答案:32已知且,是方阵,则是____阶方阵正确答案:4;四3矩阵,,且,又,则主对角线上所有元素的和等于____正确答案:34矩阵是行3列矩阵,是3行列矩阵,且,则____正确答案:35、、、、、是六个矩阵,且,,, 则矩阵所有元素的和等于____正确答案:06,,其中是单位矩阵,,则____正确答案: 27是反对称矩阵,则____正确答案:08二阶方阵、满足,且,, 则____正确答案:109,,则____正确答案:010是矩阵,是矩阵,的行数与列数相等,则____正确答案:81已知矩阵,且是的逆矩阵,则____正确答案:12是反对称矩阵且可逆,则主对角线上元素的和等于____正确答案:03矩阵可逆且,,则____正确答案:24矩阵是8阶方阵,则是 ____阶方阵正确答案:8;八5,是退化矩阵,则常数____正确答案:26方阵不可逆,则____正确答案:07方阵,且可逆,则____正确答案:18方阵,则____正确答案:29可逆矩阵的逆矩阵,若,则____ 正确答案:410矩阵,且,则____正确答案:01方阵经过初等变换后得到方阵,且,则的值不可能是____正确答案:02是四阶方阵且,是的标准形,则____正确答案:13矩阵,若,则____正确答案:24矩阵与等价,且是3行5列,是行列,则____正确答案:85矩阵,,,,,则____正确答案:36矩阵,,,则____正确答案:7矩阵,,,则____正确答案:18、是同阶方阵且,,则将矩阵的第二行乘以____就能得到矩阵正确答案:29在、、,三个矩阵中,逆矩阵等于自身的有____个正确答案:310矩阵,且矩阵序列,实数序列。
线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共 28 分)、单项选择题(本大题共 14 小题,每小题 2 分,共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
C. 3D. 46.设两个向量组 α1,α2,⋯, αs 和β 1,β2,⋯, βs 均线性相关,则()A. 有不全为 0 的数λ 1,λ2,⋯,λs 使λ1α1+λ2α2+⋯+λs αs =0 和λ 1β 1+λ 2β 2+⋯λ s βs =0B. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ 1(α1+β1)+λ2(α2+β2)+⋯+λs ( α s + β s )=0C. 有不全为 0 的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 使λ1(α 1- β1)+λ2(α2- β2)+⋯+λs (αs - βs )=0D.有不全为 0的数λ 1,λ 2,⋯,λ s 和不全为 0的数μ 1,μ 2,⋯,μ s 使λ1α1+λ2α2+⋯+ λ s α s =0 和μ 1β1+μ2β2+⋯+μ s βs =07.设矩阵 A 的秩为 r ,则 A 中( )A. 所有 r- 1阶子式都不为 0B.所有 r- 1阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08. 设 Ax=b 是一非齐次线性方程组, η1,η2是其任意 2 个解,则下列结论错误的是( )A. m+n C. n- m a 11a 12a 13 a 11=m ,a 21a 22a 23 a 21a 11 a 12 a 13等于(2.设矩阵 A=0 ,则 A - 1 等于( 3A. 0 1 3C. 03.设矩阵 A=a 21 a 22 a 23B. - (m+n) D. m- nB.D.21 ,A *是 A 的伴随矩阵,则 A *中位于 41,2)的元素是(A. –6 C. 2 4.设 A 是方阵,如有矩阵关系式 AB=AC ,则必有( A. A =0 C. A 0 时 B=C 5.已知 3×4 矩阵 A 的行向量组线性无关,则秩( A. 1B. 6 D. –2 ) B. B D. |A| 0 时 B=C C 时 A=0 A T )等于( )B. 21.设行列式 =n ,则行列式10.设 A 是一个 n (≥3)阶方阵,下列陈述中正确的是( )A. 如存在数λ和向量 α使 A α=λα,则α是 A 的属于特征值λ的特征向量B. 如存在数λ和非零向量 α,使(λE- A )α=0,则λ是 A 的特征值C. A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如λ 1,λ 2,λ 3是A 的 3个互不相同的特征值, α1,α2,α3依次是 A 的属于λ 1,λ2, λ3的特征向量,则 α 1,α 2, α 3有可能线性相关 11. 设λ 0是矩阵 A 的特征方程的 3重根, A 的属于λ 0的线性无关的特征向量的个数为 k ,则必有( )222(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23) +(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23) +(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23) =.18. 设向量( 2, -3, 5)与向量( -4, 6, a )线性相关,则 a= .19. 设A 是 3×4矩阵,其秩为 3,若η1,η2为非齐次线性方程组 Ax=b 的 2个不同的解,则它 的通解为 .20. 设 A 是 m ×n 矩阵, A 的秩为 r (<n ) ,则齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系中含有解的个A. η1+η2 是 Ax=0 的一个解 C. η 1-η 2是 Ax=0 的一个解 9. 设 n 阶方阵 A 不可逆,则必有(A. 秩 (A )<n C.A=0 11B.η1+ η2是 Ax=b 的一个解22D. 2 η 1-η 2 是 Ax=b 的一个解 ) B. 秩 (A)=n- 1D. 方程组 Ax=0 只有零解A. k ≤ 3C. k=312. 设 A 是正交矩阵,则下列结论错误的是(A.| A| 2必为 1 C. A - 1=A T 13. 设 A 是实对称矩阵, C 是实可逆矩阵,A.A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同 14.下列矩阵中是正定矩阵的为()23 A.34 1 0 0C. 0 2 30 3 5第二部分B. k<3 D. k>3 )B.|A|必为 1D.A 的行(列)向量组是正交单位向量组 B=C T AC .则( ) 34 B. 26 1 1 1 D. 1 2 0102 非选择题(共 72 分)2 分,共 20 分)不写解答过程,将正确的答案写在每1 1 115. 3 569 25 361 111 2 316.设 A=B=.则 A+2B=1 111 2 417. 设 A =(a ij )3 × 3 , |A|=2 , A ij 表示 |A|中 元 素a ij 的 代 数 余 子 式 ( i,j=1,2,3 ) , 则数为.21. 设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积(α+β,α- β)=22.设 3阶矩阵 A 的行列式 |A |=8,已知 A 有 2个特征值 -1和 4,则另一特征值为 .0 10 6223.设矩阵 A=1 3 3 ,已知 α = 1 是它的一个特征向量,则α 所对应的特征值2 10 82为24.设实二次型 f (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为 三、计算题(本大题共 7 小题,每小题 6分,共 42分)26.试计算行列式4 2 327.设矩阵 A= 110, 求矩阵 B 使其满足矩阵方程AB=A+2B.12321 3 028.给定向量组α 1=1,3 α2=, α=, α10 2 2 =4.3419试判断 α 4 是否为 α 1, α2,α3 的线性组合;若是, 则求出组合系数。
线性代数习题集[带答案解析]仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢1第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢31. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢410.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢516.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ;仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢65. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢7四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢8参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4. ∏-=-11)(n k k a x5. )111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)仅供学习与交流,如有侵权请联系网站删除 谢谢9第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
第一章行列式一.填空题1.四阶行列式中带有负号且包含a 12和a 21的项为______.解.a 12a 21a 33a 44中行标的排列为1234,逆序为0;列标排列为2134,逆序为1.该项符号为“-”,所以答案为a 12a 21a 33a 44.2.排列i 1i 2…i n 可经______次对换后变为排列i n i n -1…i 2i 1.解.排列i 1i 2…i n 可经过1+2+…+(n -1)=n(n -1)/2次对换后变成排列i n i n -1…i 2i 1.3.在五阶行列式中3524415312)23145()15423()1(a a a a a ττ+-=______3524415312a a a a a .解.15423的逆序为5,23145的逆序为2,所以该项的符号为“-”.4.在函数xx x x x x f 21112)(---=中,x 3的系数是______.解.x 3的系数只要考察234222x x xxx x +-=--.所以x 3前的系数为2.5.设a ,b 为实数,则当a =______,且b =______时,010100=---a b b a .解.0)(11010022=+-=--=---b a ab ba ab b a .所以a =b =0.6.在n 阶行列式D =|a ij |中,当i <j 时a ij =0(i ,j =1,2,…,n ),则D =______.解.nnn n a a a a a a a a 221121222111000=7.设A 为3×3矩阵,|A |=-2,把A 按行分块为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321A A A A ,其中A j (j =1,2,3)是A 的第j 行,则行列式=-121332A A A A ______.解.=-121332A A A A 6||33233211213=-=-=-A A A A A A A A .二.计算证明题1.设4322321143113151||-=A 计算A 41+A 42+A 43+A 44=?,其中A 4j (j=1,2,3,4)是|A |中元素a 4j 的代数余子式.解.A 41+A 42+A 43+A 441111321143113151-=210320206)1(000121013201206114--=-=+=62103202061=--2.计算元素为a ij =|i -j |的n 阶行列式.解.111111110021201110||--------=n n n n n A 每行减前一行由最后一行起,)1(2)1(1000201201121--=--------n n n n n n n列每列加第3.计算n 阶行列式nx x x nx x x nx x x D n n n n +++++++++=212121222111(n ≥2).解.当2>n n x x x n x x x n x x x D n n n n ++++++=222222111+n x x n x x n x x n n ++++++ 2121212211=n x x x x n x x x x n x x x x n n nn++++++ 33322221111+nx x x n x x x n x x x n n n++++++ 323232222111+nx x x n x x x n x x x n n n ++++++ 313131222111+nx x n x x n x x n n ++++++ 32132********=-n x x x n x x x n x x x n n n++++++ 313131222111=-n x x x n x x x n x x x n n n+++ 111222111-nx x nx x n x x n n+++ 3131312211=0当2=n 2122112121x x x x x x -=++++4.证明:奇数阶反对称矩阵的行列式为零.证明:||||)1(||||||,A A A A A A A nTT-=-=-==-=(n 为奇数).所以|A |=0.5.试证:如果n 次多项式nn x C x C C x f ++=10)(对n +1个不同的x 值都是零,则此多项式恒等于零.(提示:用范德蒙行列式证明)证明:假设多项式的n +1个不同的零点为x 0,x 1,…,x n .将它们代入多项式,得关于C i 方程组0010=++nn x C x C C 01110=++n n x C x C C …………10=++n n n n x C x C C 系数行列式为x 0,x 1,…,x n 的范德蒙行列式,不为0.所以010====n C C C 6.设).(',620321)(232x F xx x x x xx F 求=解.x x x x x x x F 620321)(232==x x x x x x 3103211222=x x x x x x 310201222=xxx x x 3102101222=32220021012xxx x x x =26)('x x F =第二章矩阵一.填空题1.设α1,α2,α3,α,β均为4维向量,A =[α1,α2,α3,α],B =[α1,α2,α3,β],且|A |=2,|B |=3,则|A -3B |=______.解.βαααα3222|3|321----=-B A =βαααα38321-⨯-=αααα321(8⨯-56|)|3|(|8)3321=--=-B A βααα2.若对任意n ×1矩阵X ,均有AX =0,则A =______.解.假设[]m A αα 1=,αi 是A 的列向量.对于j =1,2,…,m ,令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010 j X ,第j 个元素不为0.所以[]m αα 10010==⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡j α (j =1,2,…,m ).所以A =0.3.设A 为m 阶方阵,存在非零的m ×n 矩阵B ,使AB =0的充分必要条件是______.解.由AB =0,而且B 为非零矩阵,所以存在B 的某个列向量b j 为非零列向量,满足Ab j =0.即方程组AX =0有非零解.所以|A |=0;反之:若|A |=0,则AX =0有非零解.则存在非零矩阵B ,满足AB =0.所以,AB =0的充分必要条件是|A |=0.4.设A 为n 阶矩阵,存在两个不相等的n 阶矩阵B ,C ,使AB =AC 的充分条件是______.解.0||0)(=⇔-=-⇔=≠A C B C B A AC AB C B 非零且且5.[]42121b b b a a a n ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=______.解.[]⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b a a a 212221212111421216.设矩阵12,23,3211-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B E A A B A 则=______.解.=2A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841E A A B 232+-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--7841-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-9633+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2002=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--021221||*1==-B B B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2210=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--112107.设n 阶矩阵A 满足12,032-=++A E A A 则=______.解.由,0322=++E A A 得E E A A 3)2(-=+.所以0|3||2|||≠-=+E E A A ,于是A 可逆.由,0322=++E A A 得)2(31,03211E A A AE A +-==++--8.设)9()3(,10002010121E A E A A -+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-则=______.解.=2A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100020101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100040201=-E A 92⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208,=+E A 3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡400050104→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001400050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4100010001100050104 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000104101100050004 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-41000510161041100010001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+-4100051161041)3(1E A )9()3(21E A E A -+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-4100051161041⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---800050208=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---2000101029.设.______])2[(______,)(_______,,3342122111*1*1=-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=---A A A A 则解.|A|=-3-12+8+8+6-6=1→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100010001334212211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----104012001570230211 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------104031320015703210211 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----137320313203131310032103401 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----137322524933100010001 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------372252493100010001 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-3722524931A ====---||)(,||,||1*1**1A AA A A A A AA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----3342122111131*4)2(||)2()2(|2|)2(---=--=--=-A A A A A A 414)4(])2[(111*===----A A A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----33421221110.设矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=3111522100110012A ,则A 的逆矩阵1-A =______.解.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211111121,⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-215331521使用分块求逆公式⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----1111100B CAB A BC A -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--11212153⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1173019所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-21117533019002100111A 二.单项选择题1.设A 、B 为同阶可逆矩阵,则(A)AB =BA(B)存在可逆矩阵P ,使B AP P =-1(C)存在可逆矩阵C ,使BAC C T=(D)存在可逆矩阵P 和Q ,使BPAQ =解.因为A 可逆,存在可逆E AQ P Q P A A A A =使,.因为B 可逆,存在可逆E BQ P Q P B B B B =使,.所以A A AQ P =B B BQ P .于是BQ AQ P P B A A B =--11令A B P P P 1-=,1-=BA Q Q Q .(D)是答案.2.设A 、B 都是n 阶可逆矩阵,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1002B A T等于(A)12||||)2(--B A n(B)1||||)2(--B A n(C)||||2B A T-(D)1||||2--B A 解.121||||)2(002---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-B A B A n T.(A)是答案.3.设A 、B 都是n 阶方阵,下面结论正确的是(A)若A 、B 均可逆,则A +B 可逆.(B)若A 、B 均可逆,则AB 可逆.(C)若A +B 可逆,则A -B 可逆.(D)若A +B 可逆,则A ,B 均可逆.解.若A 、B 均可逆,则111)(---=A B AB .(B)是答案.4.设n 维向量)21,0,,0,21( =α,矩阵ααTE A -=,ααT E B 2+=其中E 为n 阶单位矩阵,则AB =(A)0(B)-E(C)E(D)ααTE +解.AB =)(ααTE -)2(ααT E +=ααT E -+2ααT -2ααT ααT =E .)21(=ααT (C)是答案.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=233322322131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1000010101P ,设有P 2P 1A =B ,则P 2=(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001(B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010101(D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-100010101解.P 1A 表示互换A 的第一、二行.B 表示A 先互换第一、二行,然后将互换后的矩阵的第一行乘以(-1)加到第三行.所以P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-101010001.(B)是答案.6.设A 为n 阶可逆矩阵,则(-A )*等于(A)-A *(B)A *(C)(-1)n A *(D)(-1)n -1A *解.(-A )*=*111)1()1(1||)1()(||A A A A A n n ----=--=--.(D)是答案.7.设n 阶矩阵A 非奇异(n ≥2),A *是A 的伴随矩阵,则(A)A A A n 1**||)(-=(B)A A A n 1**||)(+=(C)AA A n 2**||)(-=(D)AA A n 2**||)(+=解.1*||-=AA A AA A A A A A A A A A A A n n 211111*1**||||||||)|(|||||)|(|)(-------====(C)是答案.8.设A 为m ×n 矩阵,C 是n 阶可逆矩阵,矩阵A 的秩为r 1,矩阵B =AC 的秩为r,则(A)r >r 1(B)r <r 1(C)r =r 1(D)r 与r 1的关系依C 而定解.n C r C A B n n n m ==⨯⨯)(,,所以1)()()(r n C r A r AC r r =-+≥=又因为1-=BC A ,于是rn C r B r BC r r =-+≥=--)()()(111所以r r =1.(C)是答案.9.设A 、B 都是n 阶非零矩阵,且AB =0,则A 和B 的秩(A)必有一个等于零(B)都小于n (C)一个小于n ,一个等于n(D)都等于n解.若0,0.,)(1===-B AB A n A r 得由存在则,矛盾.所以n A r <)(.同理n B r <)(.(B)是答案.三.计算证明题1.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=243121013A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=143522011B .求:i.AB -BA ii.A 2-B 2iii.B T A T解.=-BA AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1618931717641,=-22B A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1326391515649=T T A B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--2211531517652.求下列矩阵的逆矩阵i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------111111*********1ii.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-1000cos sin 0sin cos ααααiii.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000iv.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-110210000120025解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------10000100001000011111111111111111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------1010101001100010220202022001111 →⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------1001001102102100010220220010101111 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------110000110210210210212200220010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----1100002121021021021021220011010100101 →⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----11110021210210210212104000110010101001→⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----414141410021210210210212101000110010101001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------414141414141414141414141414141411000010000100001 ,⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=-414141414141414141414141414141411A ii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ααααααααcos sin sin cos cos sin sin cos 1.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---1110000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-100cos sin 0sin cos 1ααααA iii.⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-011001101.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---0000111A B B A 所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00010010010010001A iv.由矩阵分块求逆公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---111000B A B A 得到:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-313100323100005200211A 3.已知三阶矩阵A 满足)3,2,1(==i i A i i αα.其中T)2,2,1(1=α,T )1,2,2(2-=α,T )2,1,2(3--=α.试求矩阵A .解.由本题的条件知:=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---212122221A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---622342641→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100010001212122221 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----102012001630360221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----0313231032001120210221 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3231323103232031300210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----9291923103232031100210201 →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---929192919292929291100010001 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=232323235032037929192919292929291622342641A 4.k 取什么值时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=11100001k A 可逆,并求其逆.解.01110001||≠=-=k k A →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-10011101000001001 k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--101110010010001001 k →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-111100010010001001k k 所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-1110100011k k A 5.设A 是n 阶方阵,且有自然数m ,使(E +A )m =0,则A 可逆.解.因为)(1=+==+∑∑==mi i i m mi iimmA c E A c A E所以∑=-=-mi i im E A c A 11)(.所以A 可逆.6.设B 为可逆矩阵,A 是与B 同阶方阵,且满足A 2+AB +B 2=0,证明A 和A +B 都是可逆矩阵.解.因为022=++B AB A ,所以2)(B B A A -=+.因为B 可逆,所以0||)1(||22≠-=-B B n所以0|||)(|2≠-=+B B A A .所以B A A +,都可逆.7.若A ,B 都是n 阶方阵,且E +AB 可逆,则E +BA 也可逆,且AAB E B E BA E 11)()(--+-=+解.AAB E B BA E BA E A AB E B E BA E 11)()())()((--++-+=+-+=AAB E AB E B BA E A AB E BAB B BA E 11))(())((--++-+=++-+=E BA BA E =-+所以A AB E B E BA E 11)()(--+-=+.8.设A ,B 都是n 阶方阵,已知|B |≠0,A -E 可逆,且(A -E )-1=(B -E )T ,求证A 可逆.解.因为(A -E )-1=(B -E )T ,所以(A -E )(B -E )T =E 所以E E B E B A T T =+--)(,TT B E B A =-)(由|B |≠0知11)(--TB B ,存在.所以E B E B A T T =--1))((.所以A 可逆.9.设A ,B ,A +B 为n 阶正交矩阵,试证:(A +B )-1=A-1+B -1.解.因为A ,B ,A +B 为正交矩阵,所以111,,)()(---==+=+B B A A B A B A TTT所以111)()(---+=+=+=+B A B A B A B A T T T 10.设A ,B 都是n 阶方阵,试证明:||E AB BE EA -=.解.因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡AB E B E B E E A E A E E E 0000所以ABE BEB E E A E A E E E -=-0000||)1(01)1(2E AB AB E BEB E E A n n --=-=⋅⋅-因为n n )1()1(2-=-,所以||E AB BE EA -=11.设A 为主对角线元素均为零的四阶实对称可逆矩阵,E 为四阶单位矩阵)0,0(00000000000000>>⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k l k B i.试计算|E +AB |,并指出A 中元素满足什么条件时,E +AB 可逆;ii.当E +AB 可逆时,试证明(E +AB )-1A 为对称矩阵.解.i.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44342414342313242312141312000a a a a a a a a a a a a a A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=l k a a a a a a a a a a a a a AB 000000000000000044342414342313242312141312⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0000000000343424231413ka la la ka la ka AB E +⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1001001001343424231413ka la la ka la ka ,2341||kla AB E -=+所以当2341a kl≠时,E +AB 可逆.ii.11111)()]([)(-----+=+=+B A AB E A A AB E 因为A ,B 为实对称矩阵,所以B A +-1为实对称矩阵,所以(E +AB )-1A 为对称矩阵.12.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλ100100A ,求A n .解.使用数学归纳法.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2222210200100100100100λλλλλλλλλλλA =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλλλ1001002102002223A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+323233)21(0300λλλλλλ假设k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k kk k k λλλλλλ121)11(000则1+k A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---k k k k k k k k k λλλλλλ121)11(000⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ100100=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++++-++1111)1()1(0)1(00k k k k k k k k k λλλλλλ 所以n A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++---nn n n n n n n n λλλλλλ121)11(000=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----n n n n n nn n n n λλλλλλ1212)1(00013.A 是n 阶方阵,满足A m =E ,其中m 是正整数,E 为n 阶单位矩阵.今将A 中n 2个元素a ij 用其代数余子式A ij 代替,得到的矩阵记为A 0.证明E A m=0.解.因为A m =E ,所以1||=m A ,所以A 可逆.11*0)(||]|[|)(--===T T T A A A A A A 所以EE A A A A A A m T m m m T m ====---1110||])[(||])(|[|14.设矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010101001A i.证明:n ≥3时,E A A A n n-+=-22(E 为三阶单位矩阵)ii.求A 100.解.i.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010*******A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1010110013A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010101001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=011102001+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-+010*******E A A -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101011001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100010001⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0111020013A =所以E A A A -+=-2233假设EA A A k k -+=-22则=-+=-+A A A A k k 311A E A A A k --++-21=EA A k -+-+221)(所以EA A A n n -+=-22ii.=-+=E A A A298100E A E A A 4950222296-==-+ -⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=50050050500050⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡490004900049⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1050015000115.当⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=21232321A 时,A 6=E .求A 11.解.121232321||=-=A ,所以==-||*1A A A ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-21232321因为1112116--===EA A A A E A ,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2123232116.已知A ,B 是n 阶方阵,且满足A 2=A ,B 2=B ,与(A -B )2=A +B ,试证:AB =BA =0.解.因为(A -B )2=A +B ,所以))(())(()(3B A B A B A B A B A -+=+-=-于是2222B AB BA A B AB BA A --+=-+-,所以BAAB =BA B BA AB A B A B A +=+--+=-222,)(因为A 2=A ,B 2=B ,所以2AB =0,所以0==BA AB .第三章向量一.填空题1.设)1,2,0,1(),,1,0,1(),0,3,2,4(),5,0,1,2(4321-=-=--=-=ααααk ,则k =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式1102131181105213000011182105213000211142k k k -----=-----=-----316102038++-+--=k k =13k +5=0.135-=k 2.设)0,,3,1(),4,3,5,0(),2,0,2,1(),0,3,1,2(4321t -=-=-=-=αααα,则t =______时,α1,α2,α3,α4线性相关.解.考察行列式4243355504243335551000042030335211012---=----=----t tt t 0603020306020=--+++-=t t .所以对任何t ,α1,α2,α3,α4线性相关.3.当k =______时,向量β=(1,k ,5)能由向量),1,1,2(),2,3,2(21-=-=αα线性表示.解.考察行列式,012513211=--k 得k =-8.当k =-8时,三个向量的行列式为0,于是21,,ααβ线性相关.显然21,αα线性无关,所以β可用21,αα线性表示.4.已知)1,4,0,1,1(),3,1,3,0,2(),10,5,1,2,0(),1,2,2,1,1(4321-=-=-==αααα,则秩(α1,α2,α3,α4)=______.解.将α1,α2,α3,α4表示成矩阵→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---131********210211201→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------21102550211002201201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------211052110211001101201⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→20052000200001101201.所以r (α1,α2,α3,α4)=35.设⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A ,则秩(A)=______.解.→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3224211631092114047116A →⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----3224211631711614040921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------3408012550755110140800921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------→8351051510117510815100921⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→410004030008845000815100921所以r (A )=3.6.已知),2,0,1,0(,)2,1,0,1(=-=βαT矩阵A =α·β,则秩(A )=______.解.A =α·β=()→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-402020100000201020102101⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0020000000002010所以r (A )=1.7.已知向量),6,5,4(),6,5,4,3(),5,4,3,2(),4,3,2,1(4321t ====αααα,且秩(α1,α2,α3,α4)=2,则t =______.解.A =(α1,α2,α3,α4)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 654654354324321⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=16630642032104321t ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=700000032104321t 所以当t =7时,r (A )=2.二.单项选择题1.设向量组α1,α2,α3线性无关,则下列向量组线性相关的是(A)α1+α2,α2+α3,α3+α1(B)α1,α1+α2,α1+α2+α3(C)α1-α2,α2-α3,α3-α1(D)α1+α2,2α2+α3,3α3+α1解.由0)()()(133322211=-+-+-ααααααk k k 得)()()(323212131=-+-+-αααk k k k k k 因为向量组α1,α2,α3线性无关,所以得关于321,,k k k 的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131k k k k k k 321,,k k k 的系数行列式为011110011101=-=---.所以321,,k k k 有非零解,所以α1-α2,α2-α3,α3-α1线性相关.(C)是答案.2.设矩阵A m ×n 的秩为R (A )=m <n ,E m 为m 阶单位矩阵,下列结论正确的是(A)A 的任意m 个列向量必线性无关(B)A 的任意一个m 阶子式不等于零(C)若矩阵B 满足BA =0,则B =0(D)A 通过行初等变换,必可以化为(E m ,0)的形式解.(A),(B)都错在“任意”;(D)不正确是因为只通过行初等变换不一定能将A 变成(E m ,0)的形式;(C)是正确答案.理由如下:因为BA =0,所以0)()()()()(B r m m B r m A r B r BA r =-+=-+≥=.所以)(B r =0.于是B =0.3.设向量组(I):T T T a a a a a a a a a ),,(,),,(,),,(332313332221223121111===ααα;设向量组(II):T T T a a a a a a a a a a a a ),,,(,),,,(,),,,(433323133423222122413121111===βββ,则(A)(I)相关⇒(II)相关(B)(I)无关⇒(II)无关(C)(II)无关⇒(I)无关(B)(I)无关⇔(II)无关解.由定理:若原向量组线性无关,则由原向量组加长后的向量组也线性无关.所以(B)是答案.4.设β,α1,α2线性相关,β,α2,α3线性无关,则(A)α1,α2,α3线性相关(B)α1,α2,α3线性无关(C)α1可用β,α2,α3线性表示(D)β可用α1,α2线性表示解.因为β,α1,α2线性相关,所以β,α1,α2,α3线性相关.又因为β,α2,α3线性无关,所以α1可用β,α2,α3线性表示.(C)是答案.5.设A ,B 是n 阶方阵,且秩(A )=秩(B ),则(A)秩(A -B )=0(B)秩(A +B )=2秩(A)(C)秩(A -B )=2秩(A)(D)秩(A +B )≤秩(A )+秩(B )解.(A)取B A ≠且|A |≠0,|B |≠0则A -B ≠0,则r (A -B )≠0.排除(A);(B)取A =-B ≠0,则秩(A +B )≠2秩(A);(C)取A =B ≠0,则秩(A -B )≠2秩(A).有如下定理:秩(A +B )≤秩(A )+秩(B ).所以(D)是答案.三.计算证明题1.设有三维向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112k α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2113α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21k k β问k 取何值时i.β可由α1,α2,α3线性表示,且表达式唯一;ii.β可由α1,α2,α3线性表示,但表达式不唯一;iii.β不能由α1,α2,α3线性表示.解.)1(22221111112-=-=k k k k k k i.10≠≠k k 且时,α1,α2,α3线性无关,四个三维向量一定线性相关,所以β可由α1,α2,α3线性表示,由克莱姆法则知表达式唯一;ii.当k =1时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121111111111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010********* .系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩为2.所以所以β可由α1,α2,α3线性表示,但表示不惟一;iii.当0=k 时→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021********* ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→011011100101 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→100011100101 .系数矩阵的秩等于2,增广矩阵的秩为3,所以所以β不能由α1,α2,α3线性表示.2.设向量组α1,α2,α3线性相关,向量组α2,α3,α4线性无关,问i.α1能否由α2,α3线性表出?证明你的结论;ii.α4能否由α1,α2,α3线性表出?证明你的结论解.i.α1不一定能由α2,α3线性表出.反例:T )1,1(1=α,T )0,1(2=α,T )0,2(3=α.向量组α1,α2,α3线性相关,但α1不能由α2,α3线性表出;ii.α4不一定能由α1,α2,α3线性表出.反例:T )0,0,2(1=α,T )0,0,1(2=α,T )0,1,0(3=α,T )1,0,0(4=α.α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性无关,α4不能由α1,α2,α3线性表出.3.已知m 个向量α1,α2,…αm 线性相关,但其中任意m -1个都线性无关,证明:i.如果存在等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0则这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.如果存在两个等式k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0l 1α1+l 2α2+…+l m αm =0其中l 1≠0,则mm l k l k l k === 2211.解.i.假设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,如果某个k i =0.则k 1α1+…+k i -1αi -1+k i+1αi+1…+k m αm =0因为任意m -1个都线性无关,所以k 1,k 2,…k i -1,k i+1,…,k m 都等于0,即这些系数k 1,k 2,…k m 或者全为零,或者全不为零;ii.因为l 1≠0,所以l 1,l 2,…l m 全不为零.所以m m l l l l ααα12121---= .代入第一式得:0)(2212121=+++---m m m m k k l l l l k αααα 即0)()(1122112=+-+++-m m m k k l l k k l l αα 所以02112=+-k k l l ,…,011=+-m m k k l l 即mm l k l k l k === 22114.设向量组α1,α2,α3线性无关,问常数a ,b ,c 满足什么条件a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.解.假设0)()()(133322211=-+-+-ααααααc k b k a k 得)()()(323212131=-+-+-αααk c k k b k k a k 因为α1,α2,α3线性无关,得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-000322131ck k bk k k ak当行列式0100110=---cba 时,321,k k k 有非零解.所以1=abc 时,a α1-α2,b α2-α3,c α3-α1线性相关.5.设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组A k x =0有解向量α,且A k -1α≠0,证明:向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关的.解.假设01110=+++--αααk k A a A a a .二边乘以1-k A 得010=-αk A a ,0=a 由0111=++--ααk k A a A a .二边乘以1-k A 得011=-αk A a ,1=a ………………………………最后可得011=--αk k A a ,1=-k a 所以向量组α,A α,⋯,A k -1α是线性无关.6.求下列向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组线性表示.i.)3,2,1,2(),7,4,3,1(),6,5,1,4(),3,1,2,1(4321=----=---==αααα.ii.).10,5,1,2(),0,2,2,1(),14,7,0,3(),2,1,3,0(),4,2,1,1(54321=-===-=ααααα解.解.i.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------3763245113122141→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------34180039031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---3200320031902141⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→0000320031902141所以321,,ααα是极大线性无关组.由3322114ααααk k k ++=得方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+=-+323924332321k k k k k k 解得2331-==k k ,212=k 所以3214232123αααα-+-=ii.→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1001424527121203121301→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220101103133021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--24220313301011021301⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→04000010001011021301所以421,,ααα是极大线性无关组.由4322115ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401233231k k k k k 解得21=k ,12=k ,03=k 所以421502αααα++=由4322113ααααk k k ++=得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-==+0401333231k k k k k 解得31=k ,12=k ,03=k 所以421303αααα++=7.已知三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x yyy x y y yxA ,讨论秩(A)的情形.解.i.0==y x ,)(=A r ii.0,00,0=≠≠=y x y x 或,3)(=A r iii.0≠=y x ,1)(=A r iv.0≠-=y x ,3)(=A r iv.yx y x ±≠≠≠,0,0⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=x y y y x yy yxA ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→2222x xyxy xy x xy y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→2222222200y x y xy y xy y x y y xy ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→y x yy y x y yx00⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++→)2(00y x x yy x y y x 所以,当y x 2-=时,2)(=A r ;当y x 2-≠时,3)(=A r 8.设三阶矩阵A 满足A 2=E(E 为单位矩阵),但A ≠±E ,试证明:(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=0解.由第十一题知3)()(=-++E A r E A r 又因为A ≠±E ,所以0)(≠+E A r ,0)(≠-E A r 所以)(E A r +,)(E A r -中有一个为1所以(秩(A -E )-1)(秩(A +E )-1)=09.设A 为n 阶方阵,且A 2=A ,证明:若A 的秩为r ,则A -E 的秩为n -r ,其中E 是n 阶单位矩阵.解.因为A 2=A ,所以)(=-E A A 所以n E A r A r E A A r --+≥-=)()())((0所以nE A r A r ≤-+)()(又因为n E r A E A r A E r A r E A r A r ==-+≥-+=-+)()()()()()(所以n E A r A r =-+)()(.所以rn E A r -=-)(10.设A 为n 阶方阵,证明:如果A 2=E ,则秩(A +E )+秩(A -E )=n.解.因为A 2=E ,所以))((0E A E A +-=所以n E A r E A r E A E A r --++≥-+=)()()))(((0所以nE A r E A r ≤-++)()(又因为n E r A E E A r A E r E A r E A r E A r ==-++≥-++=-++)2()()()()()(所以n E A r E A r =-++)()(.第四章线性方程组一.填空题1.在齐次线性方程组A m ×n x =0中,若秩(A)=k 且η1,η2,…,ηr 是它的一个基础解系,则r =_____;当k =______时,此方程组只有零解.解.k n r -=,当n k =时,方程组只有零解.2.若n 元线性方程组有解,且其系数矩阵的秩为r,则当______时,方程组有唯一解;当______时,方程组有无穷多解.解.假设该方程组为A m ×n x =b,矩阵的秩r A r =)(.当n r =,方程组有惟一解;当n r <,方程组有无穷多解.3.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++0302032321321x kx x x x x kx x 只有零解,则k 应满足的条件是______.解.03011211≠kk ,53,0623≠≠--+k k k k 时,方程组只有零解.4.设A 为四阶方阵,且秩(A)=2,则齐次线性方程组A *x =0(A *是A 的伴随矩阵)的基础解系所包含的解向量的个数为______.解.因为矩阵A 的秩31412)(=-=-<=n A r ,所以0)(*=A r ,A *x =0的基础解系所含解向量的个数为4-0=4.5.设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=112011121A ,则A x =0的通解为______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=000110101110110121112011121A 2)(=A r ,基础解系所含解向量个数为3-2=1.⎩⎨⎧=-=-003231x x x x ,取1,1123===x x x 则.基础解系为(1,1,1)T.A x =0的通解为k (1,1,1)T,k 为任意常数.6.设α1,α2,…αs 是非齐次线性方程组A x =b 的解,若C 1α1+C 2α2+…+C s αs 也是A x =b 的一个解,则C 1+C 2+…+C s =______.解.因为A b A i 且,=α(C 1α1+C 2α2+…+C s αs )=b,所以b b C C s =++)(1 ,11=++s C C .7.方程组A x =0以TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη为其基础解系,则该方程的系数矩阵为___.解.方程组A x =0的基础解系为TT)1,1,0(,)2,0,1(21-==ηη,所以2)(=-A r n ,即2)(3=-A r ,)(A r =1.所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A ,假设),,(1312111a a a =α.由01=ηA ,得02201),,(1311131211=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡a a a a a 由02=ηA ,得0110),,(1312131211=-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-a a a a a 取2,1,0111213-===a a a 得.所以)1,1,2(1-=α,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=22111αααk k A (其中2,1k k 为任意常数).8.设A x =b,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,则使方程组有解的所有b 是______.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=112210321A ,05112210321||≠=-=A ,所以)(A r =3.因为A x =b 有解,所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-b r r 112210321112210321所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123112201321k k k b ,其中321,,k k k 为任意常数.9.设A,B 为三阶方阵,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=110121211A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=11202314k B ,且已知存在三阶方阵X ,使得B AX =,则k =___________.解.由题设B X A =⨯⨯3333,又因为0110121211||=-=A ,所以0||||||==X A B ,即0266411202314=+--=--k k k ,2-=k .二.单项选择题1.要使ξ1=(1,0,1)T ,ξ2=(-2,0,1)T 都是线性方程组0=Ax 的解,只要系数矩阵A 为(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡112213321(B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-211121(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡123020010(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-020010解.因为21,ξξ的对应分量不成比例,所以21,ξξ线性无关.所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数大于2.(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=112213321A ,3)(,0112213321||=≠=A r A .因为A 是三阶矩阵,所以0=Ax 只有零解,排除(A);(B)2)(,211121=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A r A .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(B);(C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=123020010A ,2)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-1)(=A r .排除(C);(D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=020010A ,1)(=A r .所以方程组0=Ax 的基础解系所含解向量个数:3-2)(=A r ,(D)是答案.2.设0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,则该方程组的基础解系还可以表成(A)321,,ξξξ的一个等阶向量组(B)321,,ξξξ的一个等秩向量组(C)321211,,ξξξξξξ+++(C)133221,,ξξξξξξ---解.由0)()(321321211=+++++ξξξξξξk k k ,得0)()(332321321=+++++k k k k k k ξξξ.因为0,,321=Ax 是ξξξ的基础解系,所以321,,ξξξ线性无关.于是⎪⎩⎪⎨⎧==+=++000332321k k k k k k ,所以0321===k k k ,则321211,,ξξξξξξ+++线性无关.它也可以是方程组的基础解系.(C)是答案.(A)不是答案.例如321,,ξξξ和21321,,,ξξξξξ+等价,但21321,,,ξξξξξ+不是基础解系.3.n 阶矩阵A 可逆的充分必要条件是(A)任一行向量都是非零向量(B)任一列向量都是非零向量(C)b Ax =有解(D)当0≠x 时,0≠Ax ,其中Tn x x x ),,(1 =解.对(A),(B):反例⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2121A ,不可逆;对于(C)假设A 为n×n 矩阵,A 为A 的增广矩阵.当n A r A r <=)()(时,b Ax =有无穷多解,但A 不可逆;(D)是答案,证明如下:当0≠x 时,0≠Ax ,说明0=Ax 只有零解.所以1,0||-≠A A 存在.4.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r,则0=Ax 有非零解的充分必要条件是(A )n r =(B )n r ≥(C )n r <(D )n r >解.(C )为答案.5.设n m A ⨯为矩阵,m n B ⨯为矩阵,则线性方程组0)(=x AB (A )当m n >时仅有零解.(B )当m n >时必有非零解.(C )当n m >时仅有零解.(D )当n m >时必有非零解.解.因为AB 矩阵为m m ⨯方阵,所以未知数个数为m 个.又因为n A r AB r ≤≤)()(,所以,当n m >时,m n A r AB r <≤≤)()(,即系数矩阵的秩小于未知数个数,所以方程组有非零解.(D )为答案.6.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵0*≠A ,若4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,则对应的齐次线性方程组0=Ax 的基础解系(A )不存在(B )仅含一个非零解向量(C )含有二个线性无关解向量(D )含有三个线性无关解向量解.因为⎪⎩⎪⎨⎧-<-===1)(,01)(,1)(,*)(n A r n A r n A r n A r 因为0*≠A ,所以1)(-≥n A r ;又因为4321,,,ξξξξ是非齐次线性方程组b Ax =的互不相等的解,所以b Ax =的解不唯一,所以1)(-≤n A r ,所以1)(-=n A r .于是:基础解系所含解向量个数1)1()(=--=-=n n A r n (B )为答案.三.计算证明题1.求方程组⎪⎩⎪⎨⎧=----=+-+-=-+-174952431132542143214321x x x x x x x x x x x 的通解,并求满足方程组及条件16354321-=-++x x x x 的全部解.解.将条件方程与原方程组构成矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----------56144280287214028721401132511163517409152413113251⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→0000000000287214017409100000000002872140113251 i.条件方程与原方程组兼容,即加上条件后的方程组与原方程组有相同的通解;ii.2)()(==A r A r ,方程组有解.齐次方程组的基础解系含解向量的个数为2)(4=-A r ;iii.齐次方程的基础解系:⎩⎨⎧=-+-=++07214049432421x x x x x x 令27,41,03142=-===x x x x 得令7,90,13142=-===x x x x 得基础解系为:T T)0,7,1,9(,)1,27,0,4(--iv.非齐次方程的通解:⎩⎨⎧=-+--=++2872141749432421x x x x x x 令2,10,02143-====x x x x 得所以全部解为:⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-127040719002121k k 2.设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++--=++=++kmx x x x x x x x x 3213213214132303,问m,k 为何值时,方程组有惟一解?有无穷多组解?有无穷多组解时,求出一般解.解.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--110010700131170107001314113230131k m k m k m i.当3)()(,1==-≠A r A r m 时,方程组有惟一解;ii.当)()(,1,1A r A r k m ≠≠-=时,方程组无解;iii.当32)()(,1,1<===-=A r A r k m 时,方程组有无穷多解.此时基础解系含解向量个数为1)(3=-A r 齐次方程组:⎩⎨⎧==++07032321x x x x ,所以02=x .令1,113-==x x 得.基础解系解向量为:T)1,0,1(-.非齐次方程组:⎩⎨⎧==++17032321x x x x ,所以712=x .令73,013-==x x 得.非齐次方程特解为:T)0,71,73(-.通解为:⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=10107173k x 3.问λ为何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+++=++=+324622432132131λλλx x x x x x x x 有解,并求出解的一般形式.。
线性代数试题及答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 下列矩阵中,哪个是可逆矩阵?A. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\)答案:C2. 矩阵\(A\)的行列式为0,那么\(A\)的秩是:A. 0B. 1C. 2D. 3答案:A3. 向量\(\vec{a} = (1, 2, 3)\)和向量\(\vec{b} = (4, 5, 6)\)的点积为:A. 14B. 32C. 8D. 22答案:A4. 矩阵\(A\)的转置矩阵记作\(A^T\),那么\((A^T)^T\)等于:A. \(A^T\)B. \(A\)C. \(A^{-1}\)D. \(A^2\)答案:B二、填空题(每题5分,共20分)1. 若矩阵\(A\)的行列式为-5,则\(A^{-1}\)的行列式为______。
答案:\(\frac{1}{5}\)2. 矩阵\(A\)的秩为2,那么\(A\)的零空间的维数为\(\_\_\_\_\)。
答案:\(n-2\)(其中n为\(A\)的列数)3. 向量\(\vec{a} = (1, 2)\)和向量\(\vec{b} = (3, 4)\)的叉积为______。
答案:\(-2\)4. 若\(\vec{a} = (1, 0, 0)\),\(\vec{b} = (0, 1, 0)\),\(\vec{c} = (0, 0, 1)\),则\(\vec{a} \times \vec{b} =\_\_\_\_\_\)。
第1章 矩阵 习 题1. 写出下列从变量x ,y 到变量x 1, y 1的线性变换的系数矩阵:(1)⎩⎨⎧==011y x x ; (2)⎩⎨⎧+=-=ϕϕϕϕcos sin sin cos 11y x y y x x2.(通路矩阵)a 省两个城市a 1,a 2和b 省三个城市b 1,b 2,b 3的交通联结情况如图所示,每条线上的数字表示联结这两城市的不同通路总数.试用矩阵形式表示图中城市间的通路情况.3. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111Α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 和A T B .4. 计算(1) 2210013112⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1)1,,(212221211211y x c b b b a a b a a y x5. 已知两个线性变换32133212311542322yy y x y y y x y y x ++=++-=+=⎪⎩⎪⎨⎧,⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y ,写出它们的矩阵表示式,并求从321,,z z z 到321,,x x x 的线性变换.6. 设f (x )=a 0x m + a 1x m -1+…+ a m ,A 是n 阶方阵,定义f (A )=a 0A m + a 1A m -1+…+ a m E .当f (x )=x 2-5x +3,⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=3312A 时,求f (A ).7. 举出反例说明下列命题是错误的.(1) 若A2= O,则A= O.(2) 若A2= A,则A= O或A= E..7. 设方阵A满足A2-3A-2E=O,证明A及A-2E都可逆,并用A分别表示出它们的逆矩阵.8.用初等行变换把下列矩阵化成行最简形矩阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=132126421321A(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=03341431210110122413B .9. 对下列初等变换,写出相应的初等方阵以及B 和A 之间的关系式.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121121322101A ~122r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121123302101~13c c +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--131123302001=B .10. 设ΛAP P =-1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2001Λ,求A 9.11. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=200030004A ,矩阵B 满足AB =A+2B ,求B .12. 设102212533A --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭,利用初等行变换求A -1.复习题一1. 设A , B , C 均为n 阶矩阵,且ABC =E ,则必有( ). (A) ACB =E ; (B) CBA =E ; (C) BAC =E ; (D) BCA =E .2. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000010101P ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ,则必有 ( ) .(A) AP 1P 2=B ; (B )AP 2P 1=B ; (C) P 1P 2A =B ; (D) P 2P 1A =B .3. 设A 为4阶可逆矩阵,将A 的第1列与第4列交换得B ,再把B 的第2列与第3列交换得C ,设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00010100001010001P ,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10000010010000012P ,则C -1=( ). (A) A -1P 1P 2; (B)P 1A -1P 2; (C) P 2P 1A -1; (D) P 2A -1P 1.4. 设n 阶矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,则下列结论中一定正确的是( ). (A) A -E 不可逆 ; (B) A -2E 不可逆 ; (C) A -3E 可逆; (D) A -E 和A -2E 都可逆.5. 设A =(1,2,3),B =(1,1/2,1/3),令C =A T B ,求.6. 证明:如果A k =O ,则(E -A )-1=E +A +A 2+…+A k -1,k 为正整数.7.设A ,B 为三阶矩阵,⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=710004100031A ,且A -1BA =6A +BA ,求B .8. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆,求1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛O O B A .9. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-0000000000000000121n n aa a a X (021≠n a a a ),求X -1. 第2章 行列式习 题1.利用三阶行列式解下列三元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=+-013222321321321x x x x x x x x x2.当x 取何值时,0010413≠xx x .3.求下列排列的逆序数:(1) 315624; (2)13…(2n-1)24…(2n).4.证明:3232a cb a b a ac b a ba acb a=++++++.. .5. 已知四阶行列式|A |中第2列元素依次为1,2,-1,3,它们的余子式的值依次为3,-4,-2,0 ,求|A |.6. 计算下列行列式: (1) 1111111111111111------(2)yx y x x y x y yx y x +++(3) 0111101111011110(4)1222123312111x x x x x x(5)nn a a a D +++=11111111121,其中021≠n a a a .7.设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A *,证明: |A *|=|A |n-1,(n ≥2)...8. 设A ,B 都是三阶矩阵,A *为A 的伴随矩阵,且|A |=2,|B |=1,计算 |-2A *B -1|.9.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111012112A ,利用公式求A -1. 复习题二1.设A ,B 都是n 阶可逆矩阵,其伴随矩阵分别为A *、B *,证明:(AB )*=B *A *.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2200020000340043A ,求A -1.3.已知A 1, A 2, B 1, B 2都是3⨯1矩阵,设A =( A 1, A 2, B 1,),B =( A 1, A 2, B 2),|A |=2,|B |=3,求|A+2B |...4.设A ,B 都是n 阶方阵,试证:AB E E A BE -=.第3章 向量空间习 题1.设α1=(1,-1,1)T , α2=(0,1,2)T , α3=(2,1,3)T ,计算3α1-2α2+α3.2.设α1=(2,5,1,3)T , α2=(10,1,5,10)T , α3=(4,1,-1,1)T ,且3(α1- x )+2(α2+x )=5(α3+x ) ,求向量x .3. 判别下列向量组的线性相关性:(1) α1=(-1,3,1)T , α2=(2,-6,-2)T , α3=(5,4,1)T ;(2) β1=(2,3,0)T , β2=(-1,4,0)T ,β3=(0,0,2)T .4.设β1=α1, β2=α1+α2, β3=α1+α2+a3,且向量组α1, α2, α3线性无关,证明向量组β1, β2, β3线性无关.5.设有两个向量组α1, α2, α3和β1=α1-α2+α3, β2=α1+α2-α3,β3= -α1+α2+α3,证明这两个向量组等价.6.求向量组α1=(1,2,-1)T, α2=(0,1,3)T, α3=(-2,-4,2)T,α4=(0,3,9)T的一个极大无关组,并将其余向量用此极大无关组线性表示...7.设α1, α2,…, αn是一组n维向量,已知n维单位坐标向量ε1,ε2,…,εn能由它们线性表示,证明:α1, α2,…,αn线性无关.8.设有向量组α1, α2, α3,α4, α5,其中α1, α2, α3线性无关,α4=aα1+bα2,α5=cα2+dα3(a, b, c, d均为不为零的实数),求向量组α1, α3,α4, α5的秩.9.设矩阵A= (1,2,…,n), B=(n,n-1,…,1),求秩R(A T B).10.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=97963422644121121112A ,求A 的秩,并写出A 的一个最高阶非零子式.11.已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+---=120145124023021t t A ,若A 的秩R (A )=2,求参数t 的值...12. 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=5913351146204532A ,求A 的列向量组的秩,并写出它的一个极大无关组.13. 设A 为n 阶矩阵,E 为n 阶单位矩阵,证明:如果A 2=A ,则R (A )+R (A -E )=n .14.已知向量空间3R 的两组基为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010,01121αα,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1130α和⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,01121ββ-,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1103β, 求由基α1, α2, α3到基β1, β2,β3的过渡矩阵.复习题三1.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k k 111111111111A ,已知A 的秩为3,求k 的值.2.设向量组A : α1, …,αs 与B :β1,…,βr ,若A 组线性无关且B 组能由A 组线性表示为(β1,…,βr )=(α1, …,αs )K ,其中K 为r s ⨯矩阵, 试证:B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r ...3.设有三个n 维向量组A :α1, α2, α3;B :α1, α2, α3, α4;C :α1, α2, α3, α5.若A 组和C 组都线性无关,而B 组线性相关,证明向量组α1, α2, α3, α4-α5线性无关.4.设向量组A : α1=(1,1,0)T ,α2=(1,0,1)T ,α3=(0,1,1)T 和B : β1=(-1,1,0)T ,β2=(1,1,1)T ,β3=(0,1,-1)T(1) 证明:A 组和B 组都是三维向量空间3R 的基;(2) 求由A 组基到B 组基的过渡矩阵;(3) 已知向量α在B 组基下的坐标为(1,2,-1)T ,求α在A 组基下的坐标.第4章 线性方程组习 题 1.写出方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x 的矩阵表示形式及向量表示形式.2.用克朗姆法则解下列线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--=-0322az cx bc bz cy ab ay bx ,其中0≠abc3.问μλ,取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++02 00 321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解?4. 设有线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=++=++42 - 4 3212321321x x x k x kx x x k x x ,讨论当k 为何值时, (1)有唯一解?(2)有无穷多解?(3)无解?5. 求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-0 26 83054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系...6.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1, η2, η3是它的三个解向量,且η1=(2,3,4,5)T , η2+η3=(1,2,3,4)T ,求此方程组的的通解.7 .求下列非齐次线性方程组的通解:⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+322 3512254321432121x x x x x x x x x x8.设有向量组A :12122,131-==-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αα,3110-=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭α及向量131β=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 问向量β能否由向量组A 线性表示?. .9. 设η*是非齐次线性方程组AX =b 的一个解,ξ1, ξ2,…, ξn -r 是它的导出组的一个基础解系,证明:(1)η*, ξ1, ξ2,…, ξn -r 线性无关;(2)η*, η*+ξ1, η*+ξ2,…, η*+ξn -r 线性无关.复习题四 1.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121a a a A ,且方程组AX =θ的解空间的维数为2,则a =.2.设齐次线性方程组a 1x 1+a 2x 2+…+a n x n =0,且a 1,a 2,…,a n 不全为零,则它的基础解系所含向量个数为.3.设有向量组π:α1=(a ,2,10)T , α2=(-2,1,5)T , α3=(-1,1,4)T 及向量β=(1,b ,-1)T ,问a , b 为何值时,(1)向量β不能由向量组π线性表示;(2)向量β能由向量组π线性表示,且表示式唯一;(3)向量β能由向量组π线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.4.设四元齐次线性方程组(Ⅰ)⎩⎨⎧=-=+004221x x x x (Ⅱ)⎩⎨⎧=+-=+-00432321x x x x x x 求: (1) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的基础解系;(2) 方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解.5.设矩阵A =(α1, α2, α3, α4),其中α2, α3, α4线性无关,α1=2α2-α3,向量β=α1+α2+α3+α4,求非齐次线性方程组Ax=β的通解.6. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a α,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321b b b β,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321c c c γ,证明三直线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0:0:0:333322221111c y b x a l c y b x a l c y b x a l 3,2,1,022=≠+i b a i i相交于一点的充分必要条件是向量组βα,线性无关,且向量组γβα,,线性相关.第5章 矩阵的特征值和特征向量习 题1.已知向量α1=(1,-1,1)T ,试求两个向量α2, α3,使α1, α2, α3为R 3的一组正交基.2.设A , B 都是n 阶正交矩阵,证明AB 也是正交矩阵...3. 设A 是n 阶正交矩阵,且|A |=-1,证明:-1是A 的一个特征值.4.求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----201335212的特征值和特征向量.5. 已知三阶矩阵A 的特征值为1,2,3,计算行列式|A 3-5A 2+7E |.6.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40000005y Λ相似,求y x ,;并求一个正交矩阵P ,使P -1AP =Λ.7.将下列对称矩阵相似对角化:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022..(2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310130004.8. 设λ是可逆矩阵A 的特征值,证明:(1)λA是A *的特征值.(2)当1,-2,3是3阶矩阵A 的特征值时,求A *的特征值.9.设三阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=3,属于特征值λ1=6的特征向量为p 1=(1,1,1)T ,求矩阵A .复习题五1.设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是.2.已知3阶矩阵A , A -E ,E +2A 都不可逆,则行列式|A +E |=.3.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111b b a a A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200010000B ,已知A 与B 相似,则a , b 满足. 4.设A 为2阶矩阵, α1, α2为线性无关的2维列向量,A α1=0, A α2=2α1+, α2,则A 的非零特征值为.5.已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .6.设矩阵A 满足A 2-3A +2E =O ,证明A 的特征值只能是1或2.7.已知p 1=(1,1,-1)T 是对应矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2135212b a A 的特征值λ的一个特征向量. (1) 求参数a , b 及特征值λ; (2) 问A 能否相似对角化?说明理由.8. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A ,求φ(A )=A 10-5A 9. 第6章 二次型习 题1.写出下列二次型的矩阵表示形式:42324131212423222146242x x x x x x x x x x x x x x f -+-+-+++=2.写出对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32201112121A 所对应的二次型.3.已知二次型322123222132164),,(x x x x ax x x x x x f ++++=的秩为2,求a 的值.4.求一个正交变换将322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=化成标准形.5.用配方法将二次型31212322214253x x x x x x x f -+++=化成标准形,并写出所用的可逆线性变换.6. 设二次型)0(233232232221>+++=a x ax x x x f ,若通过正交变换Py x =化成标准形23222152y y y f ++=,求a 的值.7. 判别下列二次型的正定性:(1)312123222122462x x x x x x x f ++---=(2)4342312124232221126421993x x x x x x x x x x x x f --+-+++=8. 设3231212322214225x x x x x ax x x x f +-+++=为正定二次型,求a 的取值X 围.复习题六1. 设A 为n m ⨯矩阵,B =λE +A T A ,试证:λ>0时,矩阵B 为正定矩阵.2.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2100120000010010A ,写出以A , A -1为矩阵的二次型,并将所得两个二次型化成标准形.3. 已知二次曲面方程5223121232221=-+++x x x bx ax x x ,通过正交变换X=PY 化为椭圆柱面方程522221=+y y ,求b a ,的值.4. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,2)(A E B +=k ,其中k 为实数,求对角矩阵Λ,使B与Λ相似,并讨论k 为何值时,B 为正定矩阵.测试题一一、计算题:1.计算行列式111131112+=n D n .2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=201A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=210530001B ,计算T B A 3.3.设A 、B 都是四阶正交矩阵,且0<B ,*A 为A 的伴随矩阵,计算行列式*2BAA -.4.设三阶矩阵A 与B 相似,且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321A ,计算行列式E B 22-. 5.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2411120201b a A ,且A 的秩为2,求常数b a ,的值. 二、解答题: 6.设4,3,2,1),,,1(32==i t t t T i i i i α,其中4321,,,t t t t 是各不相同的数,问4维非零向量β能否由4321,,,αααα线性表示?说明理由.7.求齐次线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系.8.问k 取何值时,线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211k x x kx k x kx x kx x x(1)有唯一解;(2)有无穷多解;(3)无解.9.已知四阶方阵A =(4321,,,αααα),其中321,,ααα线性无关,3243ααα-=,求方程组4321αααα+++=Ax 的通解.10.三阶实对称矩阵A 的特征值是1,2,3.矩阵A 的属于特征值1,2的特征向量分别是T )1,1,1(1--=α,T )1,2,1(2--=α,求A 的属于特征值3的所有特征向量,并求A 的一个相似变换矩阵P 和对角矩阵Λ,使得Λ=-AP P 1. 三、证明题:11.设2112ααβ+=,32223ααβ+=,13334ααβ+=,且321,,ααα线性无关,证明:321,,βββ也线性无关.12.设A 为实对称矩阵,且满足O E A A =--22,证明E A 2+为正定矩阵. 测试题二一、填空题:1、若规定自然数从小到大的次序为标准次序,则排列134782695的逆序数为;2、已知A 为三阶正交矩阵,且A <0,则*AA =;3、设方阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--24523121x ,若A 不可逆,则=x ; 4、设Λ=-AP P 1,其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5432P ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ1001,则6A =; 5、“若向量组321,,ααα线性无关,向量组432,,ααα线性相关,则4α一定能由32,αα线性表示”.该命题正确吗? 。
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( )。
(A) 24315 (B ) 14325 (C ) 41523 (D )24351 2.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( )。
(A )k (B)k n - (C )k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A ) 0 (B )2-n (C ) )!2(-n (D) )!1(-n4.=001001001001000( )。
(A ) 0 (B)1- (C) 1 (D ) 25.=001100000100100( )。
(A) 0 (B )1- (C ) 1 (D) 26.在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B ) 4- (C) 2 (D) 2-8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A )ka (B)ka - (C )a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B )3- (C ) 3 (D ) 210。
若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ).(A )1- (B)2- (C )3- (D )011。
若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B )2- (C)3- (D )012。
线性代数试题(完整试题与详细答案)一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.行列式111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =( )A .-2B .-1C .1D .22.设A 为2阶矩阵,若A 3=3,则=A 2( ) A .21 B .1 C .34 D .23.设n 阶矩阵A 、B 、C 满足E ABC =,则=-1C ( ) A .AB B .BA C .11--B AD .11--A B4.已知2阶矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A 的行列式1-=A ,则=-1*)(A ( ) A .⎪⎪⎭⎫⎝⎛----d c b aB .⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a c b dC .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a cb d D .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛d c b a5.向量组)2(,,,21≥s s ααα 的秩不为零的充分必要条件是( ) A .s ααα,,,21 中没有线性相关的部分组 B .s ααα,,,21 中至少有一个非零向量 C .s ααα,,,21 全是非零向量D .s ααα,,,21 全是零向量6.设A 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是( )A .n r =)(AB .m r =)(AC .n r <)(AD .m r <)(A 7.已知3阶矩阵A 的特征值为-1,0,1,则下列矩阵中可逆的是( ) A .A B .AE - C .A E -- D .A E -2 8.下列矩阵中不是..初等矩阵的为( )A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001B .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010001C .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100020001D .⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010110019.4元二次型4332412143212222),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=的秩为( ) A .1B .2C .3D .410.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001010100A ,则二次型Ax x T 的规范形为( )A .232221z z z ++ B .232221z z z ---C .232221z z z --D .232221z z z -+二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
《线性代数》习题集(含答案)线性代数习题集第一章【1】填空题(1)二阶行列式a2babb=___________。
cos?(2)二阶行列式sin?(3)二阶行列式?sin?=___________。
cos?a?bib=___________。
2aa?bixyxzzy=___________。
xcb?cbca=___________。
c?a2(4)三阶行列式zya?b(5)三阶行列式ab答案:1.ab(a-b);2.1;3.?a?b?;4.x?y?z?3xyz;5.4abc。
333【2】选择题12(1)若行列式153?2=0,则x=()。
25xA-3; B-2; C2; D3。
x11(2)若行列式1x1?0,则x=()。
11xA -1,?2; B 0,?2; C 1,?2; D 2,?2。
第1页共35页线性代数习题集?2(3)三阶行列式503315202198=()。
23A -70; B -63; C 70; D 82。
a0(4)行列式0b440ab020ba022b0=()。
0a;Cb?a;Dab。
44Aa?b;Ba?b??44010002(5)n阶行列式00=()。
000n00A0;Bn!;C(-1)・n!;D??1?n?1n?10?n!。
答案:1.D;2.C;3.A;4.B;5.D。
【3】证明by?azbz?axbx?ayxyxzzy xbx?ayby?azbz?ax?(a3?b3)zbz?axbx?ayby?azy答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性:(1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。
答案:(1)?(134782695)=10,此排列为偶排列。
(2)?(217986354)=18,此排列为偶排列。
(3)?(987654321)=36,此排列为偶排列。
一. 判断题(正确打√,错误打×)1. n 阶行列式ij a 的展开式中含有11a 的项数为1-n 。
( × ) 正确答案:)!1(-n解答:方法1因为含有11a 的项的一般形式是n nj ja a a 2211,其中n j j j 32是1-n 级全排列的全体,所以共有)!1(-n 项. 方法2 由行列式展开定理=nnn n n n a a a a a a a a a212222111211n n A a A a A a 1121211111+++ ,而n n A a A a 112121++ 中不再含有11a ,而11A 共有)!1(-n 项,所以含有11a 的项数是)!1(-n .注意:含有任何元素ij a 的项数都是)!1(-n 。
2. 若n 阶行列式ij a 中每行元素之和均为零,则ij a 等于零。
( √ )解答:将nnn n nn a a a a a a a a a212222111211中的n 、、、 32列都加到第一列,则行 列式中有一列元素全为零,所以ij a 等于零. 3.3322441144332211000000a b b a a b b a a b a b b a b a =。
( √ )解答:方法1按第一列展开332244114411414133224133224144332211)(0000000a b b a a b b a a b b a b b a a a b b a b b a b b a a a a b a b b a b a =-=-=。
方法2 交换2,4列,再交换2,4行2233441144332211443322110000000000000000000000a b b a a b b a a b b a a b b a a b a b b a b a =-==33224411a b b a a b b a 。
方法3 Laplace 展开定理:设在n 行列式D 中任意取定了)11(-≤≤n k k 个行,由这k 行元素所组成的一切k 阶子式与它们的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
A 组1.判别Q (厉)二{0 +勿亦|0,处0}是否为数域?解是.2.设/(x) = x3 4-x2 4-x+l, g(兀)=兀2+3兀+ 2,求 /(兀)+ g(x),/(x)-g(x), f(x)g(x). 解/(x) + g (x) = x3 4- 2x2 + 4x + 3 ,/(兀)-g(x)"-2x-l,f(x)g(x) = x5 +4x4 +6兀'+6兀$ +5x + 2 .3.设/(%) = (5x-4),993(4x2 -2x-l),994 (8x3 -1 lx+2)'995,求 /(%)的展开式中各项系数的和.解由于/(兀)的各项系数的和等于/⑴,所以/(I) = (5-4严3(4-2- 1尸94(8-11 + 2)1995 =-1.4.求g(兀)除以/(兀)的商q(x)与余式心).(1)f (x) —— 3%2— x — 1, g(兀)=3F - 2兀+1 ;(2)/(x) = x4 -2x4-5, g(x) = x2 -x + 2 .解(1)用多项式除法得到x 73x~ — 2x +13_93X + 3—x —x-i3 37 ° 14 7-- 无_+ —x --3 9 926 2-- X ---9 9所以'恥)十岭心)W(2)用多项式除法得到x4— 2x + 5兀4 —”丫" + 2 兀2— 2x~ — 2 兀+5 jy?—兀~ + 2 兀-x2-4x4-5-兀? + X - 2—5x + 7所以,q(x) = x2 +x-l, r(x) = -5x + 7 .5.设是两个不相等的常数,证明多项式/(兀)除以(x-a)(x-b)所得余式为af(b)_bg)a-b a-h证明依题意可设/(x) = (x - a)(x - b)q(x) + cx+d,则”(a) = ca + d,[f(b) = cb + d.解得F=(/a) --,\d = (af(b)-bf(a))/(a-b).故所得余式为a-b a-b6.问m,p,q适合什么条件时,/(兀)能被g(x)整除?(1) /(x) = x3 + px + q , g(x) = x2 + nvc-1;(2) f(x) = x4 + px2 +q , g(兀)=x2 + mx+l.解(1)由整除的定义知,要求余式r(x) = 0 .所以先做多项式除法,3x2 + mx -1x-in“+ “X + q3 2x + mx^ - x-mx1 +(〃 + l)x + g2 2一 mx_ — m^x + m°(# +1 + 加〜)兀 + (g —m)要求厂(x) = (/? + l +加2)兀+ (§ —加)=0 ,所以(“ + 1 +加2) = 0, q-m = 0.即p = -l-m2, q - m时, 可以整除.(2)方法同上.先做多项式除法,所得余式为厂(兀)=加(2 — ”一nr )兀+ (1 + @ —卩一加〜),所以 m (2-p-/772) = 0, 1 + ^ - p - m 2= 0 ,即 m = 0, p = q + \ 或“二 2— 加[q = l 时,可以整除.7. 求/(兀)与gCr )的最大公因式:(1) f (x) — x 4 + — 3%2 — 4x — 1, g (x)=兀彳 + — x — 1 ; (2) f(x) = x 4— 4x 3+ 1, g(x) = x 3— 3x 2+1 ;(3) /(x) = x 4 -10x 2 +1, g(x) = x 4 -4A /2X 3 +6X 2 +4A /2X +1 .解(1)用辗转相除法得到用等式写出來,就是所以(/(x),g(x)) = x + l ・(2)同样地,<8 4 / 3 3= -X + — — -X-—(3 344-2x 2-3x-l1 1 --- X 4——2 -- 4 X 3+ X 2- X - 1 x 4 + x 3- 3x 2- 4x- 11 2 3 , -2x 2 — 3兀—12 21 2 3 1 -- X ----- X ---—2兀~ — 2兀2 4 433-- X ----X -144一丄 184—X H - 3 3 0心宀丄兀2 24 3 2牙+牙-X - Xf(x) = xg(x)^(-2x 2-3x-l),g(x) =所以(/⑴,g (兀)) = 1.⑶ 同样用辗转相除法,可得(/(x),g(x)) = F —2血兀一1.8.求 w(x),仄兀)使 w(x) f\x) + v(x)g(ji) = (/(x), g(%)):(1) f (x) = %4 4- 2x^ — %2 — 4x — 2, (x) = %4 + x — x~ — 2x — 2 : (2) /(x) = 4x 4-2x 3-16x 2+5x4-9, g(x) = 2兀3-x 2-5x+4:(3) /(x) = x A-x 3-4x 2 +4x + l, g (兀)=x 2 -x-l.解(1)利用辗转相除法,可以得到/(x) = g (A :) + (x 3-2x)'g (兀)=(x+l)(x 3 - 2x) + (x 2 -2),x — 2兀=x(^x~ — 2).因而,(/(x),g(x)) = x 2-2,并且(/(兀),g (兀))=/ 一 2 = g (兀)_ (兀+1)(疋 _ 2兀) =g (兀)一(X +1) (f(x) -g (兀))=(一兀 一 1)/(兀)+ (兀+2)g(x),所以 u(x) = -x-\, v(x) = x + 21 10 -- X H --- 3 9x 3 - 3x 2x-13 1 2 2X H —X X 3 3 10 2 2~~'- ---- X H 兀+ 13 -- 3 10 ° 10 20 X --- 兀 3 9 916~~1T —X ------ 9 927 441 --------- X ---------------16 256-3x 2+—x1649一一539 兀+ --- 27 256(2)利用辗转相除法,可以得到/(x) = 2xg(x)-(6x 2 +3兀-9),(\ 1Ag(x) = —(6x_ + 3兀一9) ——% + — — (% — 1), —(6x - + 3x — 9) = —(x —1)(6% + 9).因而,(/⑴,g(Q) = x-1,并且(1 1 …厶— —X + _ f (x) + _兀_—x~\ I 3 3丿 (3 3丿] 1 2 7 2fi/f 以 W (X )= X H —, V (X )= — --- X — \ •3 3 3 3(3) 利用辗转相除法,可以得到fM = X —3)g(x) + (x — 2),g(x) = (x+l)(x-2) + l ・因而( f(x), g(x)) = 1 ,并且(/(兀),g(x)) = 1 = g(x) - (x+1)(兀一 2)=g (兀)-(兀+1)(/(兀)-(x 2 一3)gCr))—(—兀―1) f (x) + (兀'+ 兀2 — 3兀—2)g(x),所以u (兀)= -x-l, v(x) = x 3 +x 2 -3x-2.9.设/(x) = %3+ (14-t)x 2+ 2x + 2w, g(x)二F+zx + u 的最大公因式是一个二次多项式,求/,凤的值.解利用辗转相除法,可以得到/(%) = g(x) + (l + /)兀2 +(2-/)兀 + « ,(/(x), g(x)) = x-l = -(6x 2+ 3x-9)+ | _g(x)I d J J(I ] \= (/(x)-2xg(x)) --x+- -g(x)\ 3丿 <2 o 2 d ,、 U 3 广—---- 兀+ (1 + r t-2(l +r)2(尸 + r—w)(i+r) + (t— 2)~u[(l + t)2 — (r —2)]由题意,/(x)与g(Q的最大公因式是一个二次多项式,所以(广 + / —w)(l + /) + (f— 2)~(T H?皿(l + r)2-(r-2)] A ;=0,(l + O2解得u = o^t = -4.10.设(x —I)[(A/+ B F+I),求A和B.由题意要求知解用(兀一1)2 去除f\x) = Ar4 + Bx2 +1 ,得余式”(x) = (4A + 2B)兀+1 -3人一B,斤(兀)=0,即4A + 2B = 0,1-3A-B = O,解得A = l,B = -2.11.证明:如果(/(x),g(x)) = l, (/(x),/z(x)) = l,那么(/(x), g(x)/z(x)) = l. 证明由条件可知,存在络(兀)和片⑴ 使得旳(兀)/(兀)+岭⑴g(x) = l,存在如(兀)和卩2(兀)使得u2(x)f(x) + v2(x)h(x) = 1.用/?(兀)乘以第一式得坷(x)f(x)h(x) + V, (x)g(x)h(x) = h(x),代入第二式得u2(x)f(x) + v2 (x) [u t (x)f(x)h(x) 4-Vj (x)g(x)/z(x)] = 1, 即[w2(兀)+ u\ (x)v2(x)h(x)]f(x) + [v, (x)v2(x)]g(x)h(x) = 1,所以(/(x),g(x)/z(x)) = l.12.证明:如果/(x)与g(x)不全为零,且/心)/(兀)+ 咻)g(兀)=(/(%), g(Q),证明由于w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x),g(x)), /(X )与 g(x)不全为零,所以(/(x),g(x))HO.两 边同时除以(/(Hg(Q)HO,有所以(弘(兀),咻)) = 1 .13.证明:如果〃(兀)|/(兀),〃(兀)|g(x),且〃(兀)为/(兀)与g(x)的一个组合,那么〃(兀)是/G)与 g(x)的一个最大公因式.证明由题意知d(x)是/(X )与g(x)的公因式.再由条件设d(x) = w(x)/(x) + v(x)^(x) •又设h(x) 为/(x)与g(x)的任一公因式,即/z(x)|/(x), h(x)\g(x),则由上式有h(x)\d(x).故而”(兀)是/(兀)与 g(x)的一个最大公因式.14.证明:(.fO)/2(X ), gO)/2(X )) = (.f(X ), g(x))〃(x),其中力(兀)的首项系数为 1.证明显然(/(x), g(x))/?(x)是f{x)h{x)与g(x)h(x)的一个公因式.下面來证明它是最大公因式. 设 /心),v(x)满足 w(x)/(x) + v(x)g(x) = (/(x), g(X>),贝iJu(x)f(x)h(x) + v(x)g(x)h(x) = (/(x),g(x))/z(x).由上题结果知,(/(兀),g(X ))/7(X )是/(X )/?(X )与g(JC”7(X )的一个最大公因式,又首项系数为1,所以(/(x)A(x), ^(%)/?(%)) = (/(x), ^(x))/i(x)・/⑴ g (兀)、(/(兀),g (兀))’(f(x),g(x))丿证明设〃(兀)=(/(兀),g(x)),则存在多项式M (x), v(x),使d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)・因为/(X )与g (尢)不全为零,所以d(x)HO.上式两边同时除以〃(兀),有故 /(兀) _____________ g (x)l (/(x),g(x))‘(/(x),g(x))‘u(x) /(X ) (/(%), g(x)) + v(x) g(x) (y (x ),^(x ))15.设多项式/(x)与gS)不全为零,证明1 = u(x)/(兀)(/(兀),g(x))+咻)g(x) (/(兀),g(x))=1成立.16. 分别在复数域、实数域和有理数域上分解兀4+ 1为不可约因式之积.在有理数域上兀°+1是不可约多项式.否则,若+ +1可约,有以下两种可能.(1) 兀4+1有一次因式,从而它有有理根,但/(±1)工0,所以卍+1无有理根.(2) x 4+ 1 无一次因式,设x 4+1 = (x 2+处 +方)(F +cx + d),其中 a,b y c,cl 为整数.于是a + c = O, b+ 〃 + ac = O, cut + be = 0 , bd = \,又分两种情况:① b = d = \,又 a = —c,从而由 b + 〃 + ac = O,得 a 2=2,矛盾; ② b = d = — \,则 a 2= —2 ,矛盾.综合以上情况,即证.17. 求下列多项式的有理根: (1) /(x) = x 3-6x 2+15兀一 14 ;(2) ^(X ) = 4X 4-7X 2-5X -1;(3) /z(x) = x 5+ %4— 6x^ — 14x~ — 1 lx — 3 ・解(1)由于/(x)是首项系数为1的整系数多项式,所以有理根必为整数根,且为-14的因数.-14的 因数有:±1, ±2, ±7, ±14,计算得到:/(D = -4, /(-1) = -36, /(2) = 0, /(-2) = -72,/(7) = 140, /(-7) = -756, /(14) = 1764, /(一 14) = —4144,故x = 2是/(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = 2是于(兀)的单根.⑵ 类似(1)的讨论可知,g(x)的可能的有理根为:故x = --是巩兀)的有理根.再由多项式除法可知,兀二-丄是/(劝的2重根.2 2⑶ 类似地,加兀)的可能的有理根为:±1,±3,计算得到解在实数域上的分解式为X4+ 1 = (X 2 + 1)2-2X 2 =(X 2+V2X + 1)(X 2-V2X +1).在复数域上的分解式为x + ----------1 2 2%4+ 1 = f亠迈亠近、X ---------- 12 2/±1, ±1 ±?计算得到g(l) = -9,g(-1) = 1, g(]、r 、171=-5, g —=0, g — 一 —‘ g —〔2< 264 ,4丿11A(l) = -28, /?(-l) = 0,(3) = 0,加一3) = -96.故x = -l, x = 3是//(兀)的有理根.再由多项式除法可知,x = -\是/z(x)的4重根,兀=3是//(兀)的单根.18.若实系数方程x34- px + q = 0有一根a + bi (a,b为实数,/?工0),则方程x3 + px-q = 0有实根2—证明设原方程有三个根不失一般性,令=a + bi,从而有a2 =a-bi,由根与系数的关系可知0 = $ + 冬 + 他=(° + 勿)+ (a - bi) + ,所以冬二-2d,即(-2a)‘ + /?(-2a) + g = 0,故(2a)' + p(2a)-q = 0.这说明x3 + /zr-g = 0有实根2a .19.证明:如果(%-i)|/(r),那么证明因为u-i)|/(z),所以/(r)= /(i)= 0.因此,令y(x)=(x-i)g(x),则有E =(*-i)g(;),即(伙-1)|/(疋).20.下列多项式在有理数域上是否可约?(1)土 (%) = F+1;(2)/;(X)= X4-8?+12X2+2;(3)人(x) = x" +『+1 ;(4)厶(无)=* + "; + 1,门为奇素数;(5)厶(兀)=兀°+4尬+ 1, A为整数.解(1) ./;(兀)的可能的有理根为:±1,而/(±1) = 2,所以它在有理数域上不可约.(2)由Eisenstein判别法,取素数p = 2,则2不能整除1,而2|(-8), 2|12, 2|2,但是2?不能整除2,所以该多项式在有理数域上不可约.(3)令x=y + l,代入厶(x) = P+x'+l有^(y) = ^(y + l) = / + 6/+15/+21/+18y24-9y4-3.取素数0 = 3,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以/(兀)在有理数域上不可约.(4)令兀= y_l,代入f4(x) = x p 4-px + 1,得g(y)=厶(y j) = -+ cy~2——C;-2y2 + (Cf* + p)y-p,取素数p,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以£(兀)在有理数域上不可约.(5)令x=y + l,代入农(兀)=兀4+4Ax+l,得g(.y)=厶(y +1) = y" + 4y‘ + 6y2 + (4k + 4)y + 4R + 2 ,収素数p = 2,由Eisenstein判别法知,g(y)在有理数域上不可约,所以点(兀)在有理数域上不可约.1•设/(X),g(X),加兀)是实数域上的多项式,(1)若/2U) = xg2(x) + x/z2(x),则/(x) = g(x) = h{x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题是否成立?证明(1)当g(兀)=/2(兀)=0时,有严⑴=0,所以/(%) = 0 ,命题成立.如果g(x), /z(x)不全为零,不妨设g(x)H0・当h(x) = 0时,a(xg2(x) + x/i2U)) = l + 2a^(x)为奇数;当加兀)工0时,因为g(x),瓜兀)都是实系数多项式,所以Xg2(x)与兀胪(兀)都是首项系数为正实数的奇次多项式,于是也有d(xg2(x) + x/『(x))为奇数.而这时均有/2(x)^0 ,且df\x) = 2df(x)为偶数,矛盾.因此有g(兀)=力(兀) = 0,从而有f(x) = 0 .(2)在复数域上,上述命题不成立.例如,设f(x) = 0 , g(x) = x\ h(x) = ix,1,其中斤为自然数, 有/2 (x) = xg2 (x)xh2 (x),但g(x) / 0 ,力(兀)工0.2.设/(x), g(x)9 h(x)e P[x],满足(x2 4-l)h(x)4-(x-l)/(x) + (x+2)g(x) = 0,(x2 + l)/?(x) + (x+ l)/(x) + (x - 2)^(%) = 0.证明(X2+1)|(/U), g(X))・证明两式相加得到2(x2 + l)h(x) + 2x(/(x) + g(兀))=0.由(x2+l,兀)=1可知(x2 + l)|(/(x) + g(x)).两式相减得到-2f(x) + 4g(x) = 0, f(x) = 2g(x).故(x2 + l)|/(x), (x2+l)|g(x), BP(X2+1)|(/(X),g(x)).3・设gi(x)g2(x)\f{(x)f2(x),证明(1)若/(x)|g](x),/(X)H0,则g2(x)\f2(x);(2)若g2(x)|/;(x)/;(x),是否有g2(x)\f2(x)?解(1)因为gi(兀)g2(兀)庞(兀)£(兀),/O)|gi(X),故存在多项式h(x), h}(x)使得fl(x)f 2(x) = g](x)g 2(x)h(x\ g](兀)=Z (x)h }(x).于是/;(兀)£(兀)=/(兀)人(兀)g2(x)力(兀)•由于 土(兀)工0,故有 f 2(x) = h l (x)g 2(x)h(x),即g 2(x)\f 2(x).(2)否•例如取 g {(x) = x-2 , ^2(X ) = X 2-1 , (x) = (x-l)(x-2), (x) = (x + l)(x4-2).虽 然 gSx)g 2(x)\f^x)f 2(x)且 g 2(x)\f {(x)f 2(x),但 g 2(x)不能整除 f 2(x).4.当R 为何值时,/(x) = X 2 +伙+ 6)x + 4k + 2和g(x) = F+(£ + 2)x + 2R 的最大公因式是一次 的?并求出此吋的最大公因式.解 显然 g(x) = (x + £)(x+2).当(/(x),g(Q) = x + 2时'/(一2) = 4 — 2伙+ 6) + 4£ + 2 = 0‘ 则k = 3.当(于(兀),g(Q )=兀 + £ 时’/(一灯=k 2 - k(k + 6) + 4Z: + 2 = 0 ‘ 则 k = l.这时(/(x), g(x))=兀+1. 5.证明:对于任意正整数斤,都有(/(x),g(Q)"=(/"(x),g"(x))・证明 由题意可知/(%)与&(兀)不全为零.令(/(x), g(x)) = d(x),Z 、” g(x) 、d(x)丿/心)/"(兀)+ 咚)g"(兀)=d\x).又由 d(x)\f(x), d(x)|g(x),有 d n (x) f l \x), d"(x) g"(x),因此 d"(x)是厂(x)与 g"(x)的首项系数为1的最大公因式,从而有(广(x),g"(x))= 〃"(兀)=(/(x),g(x))" •6.设 / (x) = af(x) + bg(x), g[ (x) = c/(x) + dg(x),且 ad - be H 0 ,证明(/(x),g(x)) = (/](x), g](X ))・证明设(/(x), g(x)) = d(x),则 d(x)\f(x\d(x)\g(x).由于 “所以对任意正整如,有爲J 寫〕"卜 于是有u{x) +咻) 则〃(兀)工0,从而fi (兀)=妙(x) + bg(x) , g] (x) = (x) + dg (x),故d (x)| (x), d (x)|g t (x).又设h(x)\ (x), /z(x)|(x),由上式及ad-bc^O ,可得从而/?(x)|/(x), h(x)\g(x),于是h(x)\d(x),即〃(兀)也是/;(兀)和g|(x)的最大公因式,即(/(x), g(x)) = (/;(x),&(兀))・7.设 /(x) = t/(x)/(x), g(Q 二 dCr)g](x),且/O)与 gd)不全为零,证明〃(兀)是/O)与 gCO的一个最大公因式的充分必要条件是(/(劝,g|(x)) = 1.证明必要性.若〃(x)是/(兀)与g (兀)的一个最大公因式,则存在多项式w(x),v(x)使W (x)/(x) +v(x)g(x) = d(x),于是u(x)d(x)f t (x) + v(x)d(x)g l (x) = d(x).由/(力与g (兀)不全为零知如工0,因此有u(x)f l (x) + v(x)g l (x) = l f 即(土(兀),g©))i •充分性.若(f l (x),g l (x)) = l ,则存在多项式u(x),v(x),使 u(x)f l (x)+ v(x)g l (x) = l. 两边同吋乘〃(兀)有u(x)f(x) + v(x)g(x) = d(x)・由d(x)是/(x)与g(x)的一个公因式知,d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式.8.设于(兀)和g(x)是两个多项式,证明(f(x), g(x)) = l 当且仅当(f(x)-l-g(x), f(x)g(x)) = l. 证明 必要性.设(f(x)9g(x)) = l,若f(x) + g(x)与/⑴g(x)不互素,则有不可约公因式p(x), 使p(x)lf(x)g(x)f所以 p(x)| /(X )或 0(x)|g(x).不妨设 p(x)\ /(x),由 P (x)|(/(x) + g (兀))可知 p(x)|g(x),因此 P (兀)是 /(兀)和g“)的公因式,与/(%), g (x)互素矛盾,故 蚀+g (兀)与蚀g (兀)互素.充分性.设(/(兀)+ gO) J(x)g (兀)) = 1,则存在w(x), v(x)使(/(兀)+ g (兀))心)+ /(x)g(x)v(x) = 1 , f(x)u(x) + g (兀)(臥兀)+d ad-be zw- h ad 一gi (兀), g(x) -c ad -be a ad -be g](x),/(x)v(x)) = 1, 上式说明(/(兀),g(兀)) = 1.9.如果(x2 +x + l)|/j(x3) + x/^(x3),那么(x-l)|/;(x), 0 — 1)|/;(兀)・T;®所以,^3=£23 = 1.证明X2+X + l的两个根为£\= 士护和£2=因为U2+x+l)|(/;(^3) + x/;(^3)),所以(兀一£|)(x - £2)|/;(X')+/(F),故有y 窗)+ £/(郃)=0,[爪哥)+ £2£(哥)=0,即解得/(l) = /;(l) = o,从而(兀—1)|久(兀),(x-1)|/;(%).10.若f(x)\f(x H),则/(x)的根只能是零或单位根.证明因为f(x)\f(x n),故存在多项式g(x),使/(x n) = /(x)^(x).设。
线性代数习题(带答案解析)第一部分专项同步练习第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9.已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3-(D)011. 若22351011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ).(A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是. 4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111 .12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a c b a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是. 18.若齐次线性方程组=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1. cb a db a dc a dc bd c b a d c b a d c b a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a x a a a a x;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠);6. bn b b ----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222 111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++ ; 10. 2 1000120000021001210001211.aa a aa a a a aD ---------=1101100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a . 2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b a d c b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ;12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-;2. )(233y x +-;3. 1,0,2-=x ;4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk knk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ; 7. ∏=--n k k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
《线性代数》习题集(含答案)第一章【1】填空题(1) 二阶行列式2a abbb=___________。
(2) 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。
(3) 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。
(4) 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。
(5) 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。
答案:1.ab(a-b);2.1;3.()2a b -;4.3333x y z xyz ++-;5.4abc 。
【2】选择题(1)若行列式12513225x-=0,则x=()。
A -3;B -2;C 2;D 3。
(2)若行列式1111011x x x=,则x=()。
A -1,; B 0, C 1, D 2,(3)三阶行列式231503201298523-=()。
A -70;B -63;C 70;D 82。
(4)行列式00000000a ba b b a ba=()。
A 44a b -;B ()222a b-;C 44b a -;D 44a b 。
(5)n 阶行列式0100002000100n n -=()。
A 0;B n !;C (-1)·n !;D ()11!n n +-∙。
答案:1.D ;2.C ;3.A ;4.B ;5.D 。
【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案:提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和,即得结果。
【4】计算下列9级排列的逆序数,从而确定他们的奇偶性: (1)134782695;(2)217986354;(3)987654321。
答案:(1)τ(134782695)=10,此排列为偶排列。
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是 ( ).(A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)243512.如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C)k n -2! (D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项.(A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n4.=0001001001001000( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 25.=0001100000100100( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 26.在函数1323211112)(x x xxx f ----=中3x 项的系数是( ).(A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 27. 若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ,则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8.若a a a a a =22211211,则=21112212ka a ka a ( ).(A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2-9. 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-, 则=x ( ).(A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)011. 若2235001011110403--=D ,则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)012. k 等于下列选项中哪个值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x kx x kx x kx x x 有非零解.( )(A)1- (B)2- (C)3- (D)0二、填空题1. n 2阶排列)12(13)2(24-n n 的逆序数是.2.在六阶行列式中项261365415432a a a a a a 所带的符号是.3.四阶行列式中包含4322a a 且带正号的项是.4.若一个n 阶行列式中至少有12+-n n 个元素等于0, 则这个行列式的值等于.5. 行列式=100111010100111.6.行列式=-000100002000010n n .7.行列式=--001)1(2211)1(111n n n n a a a a a a .8.如果M a a a a a a a a a D ==333231232221131211,则=---=323233312222232112121311133333 3a a a a a a a a a a a a D .9.已知某5阶行列式的值为5,将其第一行与第5行交换并转置,再用2乘所有元素,则所得的新行列式的值为.10.行列式=--+---+---1111111111111111x x x x .11.n 阶行列式=+++λλλ111111111.12.已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3, 其对应的余子式依次为3,2,1,则该行列式的值为.13.设行列式5678123487654321=D ,j A 4)4,3,2,1(=j 为D 中第四行元的代数余子式,则=+++44434241234A A A A .14.已知db c a cc a b b a b c a cb a D =, D 中第四列元的代数余子式的和为.15.设行列式62211765144334321-==D ,j A 4为)4,3,2,1(4=j a j 的代数余子式,则=+4241A A ,=+4443A A .16.已知行列式nn D001030102112531-=,D 中第一行元的代数余子式的和为.17.齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=++0020232121321x x x kx x x x kx 仅有零解的充要条件是.18.若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=+=++0230520232132321kx x x x x x x x 有非零解,则k =.三、计算题1.cb a db a dc a dc bd c b a d c ba d cb a++++++++33332222; 2.yxyx x y x y y x y x +++;3.解方程0011011101110=x x xx ; 4.111111321321221221221----n n n n a a a a x a a a a x a a a a xa a a a x ;5. na a a a 111111111111210(n j a j ,,1,0,1 =≠); 6. bn b b----)1(1111211111311117. n a b b b a a b b a a a b 321222111111111; 8.xa a a a x a a a a x a a a a x n nn 321212121;9.2212221212121111nn n nnx x x x x x x x x x x x x x x +++; 10. 21000120000021001210001211.aa a a a a aa a D ---------=110001100011000110001.四、证明题1.设1=abcd ,证明:011111111111122222222=++++dddd c c c c b b b b a a a a .2.3332221112333332222211111)1(c b a c b a c b a x c b x a x b a c b x a x b a c b x a xb a -=++++++.3.))()()()()()((111144442222d c b a c d b d b c a d a c a b d c b a d c b adc b a +++------=.4.∏∑≤<≤=----=nj i i jni innn nn nn n nna aa a a a a a a a a a a a a 1121222212222121)(111.5.设c b a ,,两两不等,证明0111333=c b a c ba 的充要条件是0=++cb a .参考答案一.单项选择题A D A C C D ABCD B B 二.填空题1.n ;2.”“-;3.43312214a a a a ;4.0;5.0;6.!)1(1n n --;7.1)1(212)1()1(n n n n n a a a ---; 8.M 3-; 9.160-; 10.4x ; 11.1)(-+n n λλ; 12.2-;13.0; 14.0; 15.9,12-; 16.)11(!1∑=-nk k n ; 17.3,2-≠k ; 18.7=k三.计算题1.))()()()()()((c d b d b c a d a c a b d c b a ------+++-; 2. )(233y x +-; 3. 1,0,2-=x ; 4.∏-=-11)(n k kax5.)111()1(00∑∏==-+-nk k nk k a a ; 6. ))2(()1)(2(b n b b ---+- ;7. ∏=--nk k kna b1)()1(; 8. ∏∑==-+nk k nk k a x a x 11)()(;9. ∑=+nk k x 11; 10. 1+n ;11. )1)(1(42a a a ++-. 四. 证明题 (略)第二章 矩阵一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵,则下列各式中成立的是( )。
(a)22AA =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)((d)T T T B A AB =)( 2.设方阵A 、B 、C 满足AB=AC,当A 满足( )时,B=C 。
(a) AB =BA (b) 0≠A (c) 方程组AX=0有非零解 (d) B 、C 可逆 3.若A 为n 阶方阵,k 为非零常数,则=kA ( )。
(a) A k (b)A k (c) A k n (d)A k n4.设A 为n 阶方阵,且0=A ,则( )。
(a) A 中两行(列)对应元素成比例 (b) A 中任意一行为其它行的线性组合(c) A 中至少有一行元素全为零 (d) A 中必有一行为其它行的线性组合 5.设A ,B 为n 阶可逆矩阵,下面各式恒正确的是( )。
(a) 111)(---+=+B A B A (b) B A AB T =)((c) B A B A T +=+--11)( (d) 111)(---+=+B A B A 6.设A 为n 阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,则( )。
(a) (a) 1*-=A A (b) A A =* (c) 1*+=n AA (d) 1*-=n AA7. 设A 为3阶方阵,行列式1=A ,*A 为A 的伴随矩阵,则行列式=--*12)2(A A ( )。
(a) 827-(b) 278- (c) 827 (d) 2788. 设A ,B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A = 9. 设A ,B 均为n 阶方矩阵,则必有( )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 22B A = 10.设A 为n 阶可逆矩阵,则下面各式恒正确的是( )。
(a )T A A 22= (b) 112)2(--=A A(c) 111])[(])[(---=T T T A A (d) T T T T A A ])[(])[(11--=11.如果⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221331332123111333231232221131211333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a A ,则=A ( )。
(a )⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-103010001 (b) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301 (c) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300 (d) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-130010001 12.已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=113022131A ,则( )。