新高考物理一轮复习 考点大通关 专题4-2 抛体运动学案

第2讲抛体运动一、平抛运动1.定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动.4.基本规律(如图1)图1(1)位移关系(2)速度关系自测1一个物体以初速度v 0水平抛出，落地时速度为v，则运动时间为(不计空气阻力)( )A.v －v 0gB.v ＋v 0gC.v 2－v 20gD.v 2＋v 20g答案 C自测2 (多选)某人向放在水平地面上正前方的小桶中水平抛球，结果球划着一条弧线飞到小桶的前方，如图2所示.不计空气阻力，为了能把小球抛进小桶中，则下次再水平抛球时，可能做出的调整为( )图2A.减小初速度，抛出点高度不变B.增大初速度，抛出点高度不变C.初速度大小不变，降低抛出点高度D.初速度大小不变，提高抛出点高度 答案 AC 二、斜抛运动1.定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.2.性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.3.研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动. 4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图3所示)图3(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0； (2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .自测3 有A 、B 两小球，B 的质量为A 的两倍，现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力，如图4所示，①为A 的运动轨迹，则B 的运动轨迹是( )图4A.①B.②C.③D.④ 答案 A解析 物体做斜抛运动的轨迹只与初速度的大小和方向有关，而与物体的质量无关，A 、B 两小球的运动轨迹相同，故A 项正确.命题点一 平抛运动基本规律的应用1.飞行时间 由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关.2.水平射程x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关.3.落地速度v ＝v x 2＋v y2＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关. 4.速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图5所示.图55.两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图6所示，即x B＝x A2.图6推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y Ax A→x B＝x A2(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v y v 0＝gtv 0tan α＝y x ＝gt 2v 0→tan θ＝2tan α类型1 单个物体的平抛运动例1 (2017·全国卷Ⅰ·15)发球机从同一高度向正前方依次水平射出两个速度不同的乒乓球(忽略空气的影响).速度较大的球越过球网，速度较小的球没有越过球网.其原因是( ) A.速度较小的球下降相同距离所用的时间较多B.速度较小的球在下降相同距离时在竖直方向上的速度较大C.速度较大的球通过同一水平距离所用的时间较少D.速度较大的球在相同时间间隔内下降的距离较大 答案 C解析 由题意知，两个乒乓球均做平抛运动，则根据h ＝12gt 2及v y 2＝2gh 可知，乒乓球的运动时间、下降的高度及竖直方向速度的大小均与水平速度大小无关，故选项A 、B 、D 均错误；由发出点到球网的水平位移相同时，速度较大的球运动时间短，在竖直方向下落的距离较小，可以越过球网，故C 正确.变式1 (多选)(2017·江西南昌3月模拟)如图7所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD —A 1B 1C 1D 1，从顶点A 沿不同方向平抛一小球(可视为质点).关于小球的运动，下列说法正确的是( )图7A.落点在A 1B 1C 1D 1内的小球，落在C 1点时平抛的初速度最大B.落点在B 1D 1上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶ 2C.运动轨迹与AC 1相交的小球，在交点处的速度方向都相同D.运动轨迹与A 1C 相交的小球，在交点处的速度方向都相同 答案 ABC解析 依据平抛运动规律有h ＝12gt 2，得飞行时间t ＝2hg，水平位移x ＝v 02hg，落点在A 1B 1C 1D 1内的小球，h 相同，而水平位移x AC 1最大，则落在C 1点时平抛的初速度最大，A 项正确.落点在B 1D 1上的小球，由几何关系可知最大水平位移x max ＝L (L 为正方体的棱长)，最小水平位移x min ＝22L ，据v 0＝xg2h，可知平抛运动初速度的最小值与最大值之比v min ∶v max ＝x min ∶x max ＝1∶2，B 项正确.凡运动轨迹与AC 1相交的小球，位移偏转角β相同，设速度偏转角为θ，由平抛运动规律有tan θ＝2tan β，故θ相同，则运动轨迹与AC 1相交的小球，在交点处的速度方向都相同，C 项正确，同理可知D 项错误.例2 (2017·全国卷Ⅱ·17)如图8，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v 从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度大小为g )( )图8A.v 216gB.v 28gC.v 24gD.v 22g 答案 B解析 小物块由最低点到最高点的过程，由机械能守恒定律得12mv 2＝2mgr ＋12mv 12， 小物块做平抛运动时，落地点到轨道下端的距离x ＝v 1t ，t ＝2r g，联立解得，x ＝2v 2gr －4r 2，由数学知识可知，当r ＝v 28g时，x 最大，故选项B 正确.变式2 如图9所示为足球球门，球门宽为L .一个球员在球门中心正前方距离球门s 处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P 点).球员顶球点的高度为h ，足球做平抛运动(足球可看成质点)，则()图9A.足球位移的大小x ＝L 24＋s 2B.足球初速度的大小v 0＝g2hL 24＋s 2C.足球末速度的大小v ＝g2hL 24＋s 2＋4ghD.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝L2s答案 B解析 足球位移大小为x ＝L22＋s 2＋h 2＝L 24＋s 2＋h 2，A 错误；根据平抛运动规律有：h ＝12gt 2，L 24＋s 2＝v 0t ，解得v 0＝g2hL 24＋s 2，B 正确；根据动能定理mgh ＝12mv 2－12mv 02可得v ＝v 20＋2gh ＝g2hL 24＋s 2＋2gh ，C 错误；足球初速度方向与球门线夹角的正切值tan θ＝s L2＝2sL，D 错误.类型2 多个物体的平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动.2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定.3.若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动.4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇.例3如图10所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇.若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )图10A.tB.22t C.t2D.t4答案 C解析设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝Lv1＋v2；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝L2v1＋v2＝t2，故选项C正确.变式3在水平路面上做匀速直线运动的小车上有一固定的竖直杆，车上的三个水平支架上有三个完全相同的小球A、B、C，它们离地面的高度分别为3h、2h和h，当小车遇到障碍物P时，立即停下来，三个小球同时从支架上水平抛出，先后落到水平路面上，如图11所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )图11A.三个小球落地时间差与车速有关B.三个小球落地点的间隔距离L1＝L2C.三个小球落地点的间隔距离L1<L2D.三个小球落地点的间隔距离L1>L2答案 C解析落地时间只与下落的高度有关，故A项错误；三个小球在竖直方向上做自由落体运动，由公式t＝2hg可得下落时间之比为t A∶t B∶t C＝3∶2∶1，水平位移之比x A∶x B∶x C＝3∶2∶1，则L1∶L2＝(3－2)∶(2－1)，故L1<L2，故C正确，B、D错误. 命题点二有约束条件的平抛运动模型模型1 对着竖直墙壁平抛如图12所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝dv0.图12例4(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下的弹痕如图13所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )图13A.初速度之比是6∶3∶ 2 B.初速度之比是1∶2∶3C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶ 3D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是6∶3∶2答案 AC解析 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因为竖直方向上Oa ＝ab ＝bc ，即Oa ∶Ob ∶Oc ＝1∶2∶3，由h ＝12gt 2可知t a ∶t b ∶t c ＝1∶2∶3，由水平方向x ＝v 0t 可得v a ∶v b ∶v c ＝1∶12∶13＝6∶3∶2，故选项A 正确，B 错误；由Δv ＝gt ，可知从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶2∶3，故选项C 正确，D 错误. 模型2 斜面上的平抛问题 1.顺着斜面平抛(如图14)图14方法：分解位移.x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x，可求得t ＝2v 0tan θg.2.对着斜面平抛(如图15)图15方法：分解速度.v x ＝v 0， v y ＝gt ，tan θ＝v 0v y ＝v 0gt，可求得t ＝v 0g tan θ.例5 (多选)(2018·陕西西安调研)如图16所示，倾角为θ的斜面上有A 、B 、C 三点，现从这三点分别以不同的初速度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D 点，今测得AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气阻力)( )图16A.A 、B 、C 处三个小球运动时间之比为1∶2∶3B.A 、B 、C 处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1C.A 、B 、C 处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1D.A 、B 、C 处三个小球的运动轨迹可能在空中相交 答案 BC解析 由于沿斜面AB ∶BC ∶CD ＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间之比为3∶2∶1，A 项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B 项正确；同时tan α＝gt v 0，所以三个小球的初速度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C 项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D 点相切，因此不会在空中相交，D 项错误.变式4 (多选)如图17所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A 正上方的小球以初速度v 0正对斜面顶点B 水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t ，重力加速度为g ，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( )图17A.若小球以最小位移到达斜面，则t ＝2v 0g tan θB.若小球垂直击中斜面，则t ＝v 0g tan θC.若小球能击中斜面中点，则t ＝2v 0g tan θD.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t ＝2v 0tan θg答案 AB解析 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tanθ＝x y ＝2v 0gt ，即t ＝2v 0g tan θ，A 正确，D 错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝v 0gt，即t ＝v 0g tan θ，B 正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L ，则水平射程为L cos θ＝v 0t ，下落高度为L sin θ＝12gt 2，联立两式得t ＝2v 0tan θg ，C 错误. 模型3 半圆内的平抛问题如图18所示，由半径和几何关系制约时间t ：h ＝12gt 2，R±R2－h2＝v0t.联立两方程可求t.图18例6如图19所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以速度v0水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是( )图19A.只要v0足够大，小球可以击中B点B.v0取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同C.v0取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上D.无论v0取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上答案 D解析小球做平抛运动，竖直方向有位移，v0再大也不可能击中B点，A错误；v0不同，小球会落在半球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tanθ＝2tan φ可知，小球落在半球壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故B、C错误，D正确.变式5如图20，竖直平面内有一段圆弧MN，小球从圆心O处水平抛出.若初速度为v a，将落在圆弧上的a点；若初速度为v b，将落在圆弧上的b点.已知Oa、Ob与竖直方向的夹角分别为α、β，不计空气阻力，则( )A.v a v b ＝sin αsin βB.v a v b＝cos βcos αC.v a v b ＝cos βcos αsin αsin βD.v a v b ＝sin αsin βcos βcos α答案 D解析 小球水平抛出，其做平抛运动，由平抛运动规律知， 若落到a 点，则有R sin α＝v a t aR cos α＝12gt a 2得v a ＝gR2cos α·sin α 若落到b 点，则有R sin β＝v b t bR cos β＝12gt b 2得v b ＝gR2cos β·sin β 则v a v b ＝sin αsin βcos βcos α，故D 正确.命题点三 平抛运动的临界和极值问题例7 如图21所示，小球自楼梯顶的平台上以水平速度v 0做平抛运动，所有阶梯的高度为0.20m ，宽度为0.40m ，重力加速度g 取10m/s 2.(1)求小球抛出后能直接打到第1级阶梯上v 0的范围； (2)求小球抛出后能直接打到第2级阶梯上v 0的范围；(3)若小球以10.4m/s 的速度水平抛出，则小球直接打到第几级阶梯上？ 答案 (1)0<v 0≤2 m/s (2)2 m/s<v 0≤22m/s (3)28解析 (1)运动情况如图甲所示，根据题意及平抛运动规律有h ＝gt 212，x ＝v 0t 1，可得v 0＝2m/s ，故直接打到第1级阶梯上v 0的范围是0<v 0≤2 m/s.(2)运动情况如图乙所示，根据题意及平抛运动规律有2h ＝gt 222，2x ＝v 0t 2，可得v 0＝22m/s ，故直接打到第2级阶梯上v 0的范围是2 m/s<v 0≤22m/s(3)同理推知，直接打到第3级阶梯上v 0的范围是22m/s<v 0≤23m/s直接打到第n 级阶梯上v 0的范围是2n －1m/s<v 0≤2n m/s设能直接打到第n 级阶梯上，有2n －1<10.4≤2n解得27.04≤n <28.04，故能直接打到第28级阶梯上.变式6 (2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图22所示.水平台面的长和宽分别为L 1和L 2，中间球网高度为h .发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h .不计空气的作用，重力加速度大小为g .若乒乓球的发射速率v 在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v 的最大取值范围是( )图22A.L 12g6h＜v ＜L 1g6hB.L 14g h＜v ＜4L 21＋L 22g6hC.L 12g 6h ＜v ＜124L 21＋L 22g6hD.L 14gh ＜v ＜124L 21＋L 22g6h答案 D解析 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动.当速度v 最小时，球沿中线恰好过网，有： 3h －h ＝gt 212①L 12＝v 1t 1②联立①②两式，得v 1＝L 14g h当速度v 最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有L 222＋L 21＝v 2t 2③3h ＝12gt 22④联立③④两式，得v 2＝124L 21＋L 22g6h所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v 的最大取值范围为L 14gh ＜v ＜124L 21＋L 22g6h，选项D 正确.变式7 如图23所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在离网3m 的线上，正对网向上跳起将球水平击出.(不计空气阻力，取g ＝10m/s 2)图23(1)设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么范围内才能使球既不触网也不越界？(2)若击球点在3m 线正上方的高度小于某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度. 答案 见解析解析 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x 1＝3m ，竖直位移y 1＝h 2－h 1＝(2.5－2) m ＝0.5m ，根据位移关系x ＝vt ，y ＝12gt 2，可得v ＝xg2y，代入数据可得v 1＝310m/s ，即所求击球速度的下限.设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x 2＝12m ，竖直位移y 2＝h 2＝2.5m ，代入速度公式v ＝xg2y，可求得v 2＝122m/s ，即所求击球速度的上限.欲使球既不触网也不越界，则击球速度v 应满足310m/s<v ≤122m/s.(2)设击球点高度为h 3时，球恰好既触网又压线，如图乙所示设此时球的初速度为v3，击球点到触网点的水平位移x3＝3m，竖直位移y3＝h3－h1＝h3－2m，代入速度公式v＝x g2y可得v3＝35h3－2；同理对压线点有x4＝12m，y4＝h3，代入速度公式v＝x g2y可得v3＝125h3.联立解得h3≈2.13m，即当击球高度小于2.13m时，无论球被水平击出的速度多大，球不是触网，就是越界.1.如图1，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a 球抛出时的高度较b球高，P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力.与b球相比，a球( )图1A.初速度较大B.速度变化率较大C.落地时速度一定较大D.落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大答案 D2.在一堵竖直高墙前x远处的高台上水平抛出A、B两小球，若两球抛出的初速度v A>v B，A 、B 两球分别打到高墙a 、b 两点，则有(不计空气阻力)( )A.a 点在b 点的上方B.a 点在b 点的下方C.A 球打到a 点的速率一定大于B 球打到b 点的速率D.A 球打到a 点的速率一定小于B 球打到b 点的速率 答案 A解析 平抛运动的水平位移x ＝vt ，速度越大，时间越短，再由h ＝12gt 2可得时间短的竖直位移小，高度高，所以a 点在b 点的上方，选项A 正确，选项B 错误；a 的水平速度比b 大，b 的竖直速度比a 大，无法比较合速度v ＝v x 2＋v y 2的大小，选项C 、D 错误.3.(2018·福建福州调研)从距地面h 高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g ，下列结论中正确的是( ) A.小球初速度为2gh tan θB.小球着地速度大小为2gh sin θC.若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍D.若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ 答案 B4.(2017·广东佛山二模)2016年起，我国空军出动“战神”轰-6K 等战机赴南海战斗巡航.如图2，某次战备投弹训练，飞机在水平方向做加速直线运动的过程中投下一颗模拟弹.飞机飞行高度为h ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )图2A.在飞行员看来模拟弹做平抛运动B.模拟弹下落到海平面的时间为2hgC.在飞行员看来模拟弹做自由落体运动D.若战斗机做加速向下的俯冲运动，此时飞行员一定处于失重状态 答案 B解析 模拟弹相对于海面做平抛运动，其水平方向做匀速直线运动，因飞机在水平方向做加速运动，所以在飞行员看来模拟弹做的既不是平抛运动，也不是自由落体运动，A 、C 项错误.模拟弹在竖直方向做自由落体运动，h ＝12gt 2，得t ＝2hg，B 项正确.“加速”是指其有一定的加速度，“向下”是指其竖直向下的分速度不为0，但其加速度未必有竖直向下的分量，则飞行员不一定处于失重状态，D 项错误.5.如图3所示，窗子上、下沿间的高度H ＝1.6m ，墙的厚度d ＝0.4m ，某人在离墙壁距离L ＝1.4m 、距窗子上沿h ＝0.2m 处的P 点，将可视为质点的小物件以v 的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平地面上，空气阻力不计，取g ＝10m/s 2.则v 的取值范围是( )图3A.v ＞7 m/sB.v ＜2.3 m/sC.3 m/s ＜v ＜7 m/sD.2.3 m/s ＜v ＜3 m/s答案 C6.如图4所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P 点正上方某一位置Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 1，若小球从同一点Q 处以速度v 0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t 2，不计空气阻力，则t 1∶t 2等于( )图4A.1∶2B.3∶1C.1∶ 2D.1∶3 答案 B7.(2017·河南百校联盟4月模拟)如图5所示，斜面体ABC 固定在水平地面上，斜面的高AB 为2m ，倾角为θ＝37°，且D 是斜面的中点，在A 点和D 点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C 点的水平距离为( )图5A.34mB.23mC.22mD.43m 答案 D解析 设斜面的高AB 为h ，落地点到C 点的距离为x ，则由几何关系及平抛运动规律有h tan θ＋x 2h g ＝h2tan θ＋x h g，解得x ＝43m ，选项D 正确. 8.一阶梯如图6所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4m ，一小球以水平速度v 飞出，g 取10m/s 2，空气阻力不计，欲打在第四台阶上，则v 的取值范围是( )图6 A.6m/s<v ≤22m/s B.2 2 m/s<v ≤3.5 m/s C.2m/s<v <6m/s D.22m/s<v <6m/s答案 A解析 小球做平抛运动，根据平抛运动规律有x ＝vt ，y ＝12gt 2，小球恰好经过台阶边缘时，根据几何关系有vt ＝12gt 2，得v ＝12gt ，如果落到第四台阶上，则有3×0.4m<12gt 2≤4×0.4m ，代入v ＝12gt ，得6m/s<v ≤22m/s ，A 正确.9.如图7所示，套圈游戏是一项很受儿童欢迎的活动，要求每次从同一位置水平抛出圆环，套住与圆环前端水平距离为3m 、高为20cm 的竖直细杆，即为获胜.一身高1.4m 的儿童从距地面1m 高度水平抛出圆环，圆环半径为10cm ，要想套住细杆，他水平抛出的速度可能为(g 取10m/s 2，空气阻力不计)( )图7A.7.4 m/sB.9.6 m/sC.7.8 m/sD.8.2 m/s答案 C解析 圆环做平抛运动，圆环距细杆上端的竖直距离为H ＝0.8m ，又知圆环在竖直方向做自由落体运动，则有H ＝12gt 2，解得t ＝0.4s ，圆环后端与细杆的水平距离为3.2m ＝v 1·t ，得v 1＝8m/s ，圆环前端与细杆的水平距离为3 m ＝v 2·t ，得v 2＝7.5 m/s ，所以要想套住细杆，圆环水平抛出的速度范围为7.5 m/s<v <8 m/s ，故选C.10.横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，如图8所示，它们的竖直边长都是底边长的一半，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上，其落点分别是a 、b 、c .下列判断正确的是( )图8A.图中三小球比较，落在a 点的小球飞行时间最短B.图中三小球比较，落在c 点的小球飞行过程速度变化最大C.图中三小球比较，落在c 点的小球飞行过程速度变化最快D.无论小球抛出时初速度多大，落到两个斜面上的瞬时速度都不可能与斜面垂直答案 D解析 题图中三个小球均做平抛运动，可以看出a 、b 和c 三个小球下落的高度关系为h a >h b >h c ，由t ＝2h g，得t a >t b >t c ，又Δv ＝gt ，则知Δv a >Δv b >Δv c ，A 、B 项错误.速度变化快慢由加速度决定，因为a a ＝a b ＝a c ＝g ，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C 项错误.由题给条件可确定小球落在左边斜面上的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v 0时，其落到斜面上的瞬时速度v 与斜面垂直，将v 沿水平方向和竖直方向分解，则v x ＝v 0，v y ＝gt ，且需满足v x v y ＝v 0gt ＝tan θ(θ为右侧斜面倾角)，由几何关系可知tan θ＝12，则v 0＝12gt ，而竖直位移y ＝12gt 2，水平位移x ＝v 0t ＝12gt 2，可以看出x ＝y ，而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D 项正确.11.(2018·贵州兴义质检)某新式可调火炮，水平射出的炮弹可视为平抛运动.如图9，目标是一个剖面为90°的扇形山崖OAB ，半径为R (R 为已知)，重力加速度为g .图9(1)若以初速度v 0(v 0为已知)射出，恰好垂直打在圆弧的中点C ，求炮弹到达C 点所用的时间；(2)若在同一高地P 先后以不同速度射出两发炮弹，击中A 点的炮弹运行的时间是击中B 点的两倍，O 、A 、B 、P 在同一竖直平面内，求高地P 离A 的高度.答案 (1)v 0g (2)43R 解析 (1)设炮弹的质量为m ，炮弹做平抛运动，其恰好垂直打在圆弧的中点C 时，如图，由几何关系可知，其水平分速度和竖直分速度相等，即v y ＝v x ＝v 0又v y ＝gt得t ＝v 0g(2)设高地P 离A 的高度为h ，则有h ＝12g (2t 0)2 h －R ＝12gt 02 解得h ＝43R 12.如图10所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m ＝1kg 的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25.现小滑块以某一初速度v 从斜面底端上滑，同时在斜面正上方有一小球以速度v 0水平抛出，经过0.4s ，小球恰好垂直斜面落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中.空气阻力不计，已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取10m/s 2，求：图10(1)小球水平抛出的速度v 0的大小；(2)小滑块的初速度v 的大小.答案 (1)3 m/s (2)5.35 m/s解析 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v y ，则v y ＝gt ＝10×0.4m/s ＝4 m/sv 0＝v y tan37°＝3m/s.(2)小球落入凹槽时的水平位移x ＝v 0t ＝3×0.4m ＝1.2m则小滑块的位移为s ＝ 1.2cos37°m ＝1.5m 小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mg sin37°＋μmg cos37°＝ma解得a ＝8m/s 2根据公式s ＝vt －12at 2 解得v ＝5.35m/s.。

高考物理一轮复习第4章第2节抛体运动教学案新人教版第2节抛体运动知识点一| 平抛运动的基本规律1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。

4．研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

5．基本规律(1)位移关系(2)速度关系[判断正误](1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

(×)(2)平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。

(3)从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。

1．平抛运动速度改变量物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示。

2．平抛运动的两个主要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B＝x A2。

推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A－x Btan θ＝v yv0＝2y Ax A→x B＝x A2(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α。

推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v yv0＝gtv0tan α＝yx＝gt2v0→tan θ＝2tan α[典例] (多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。

下列说法正确的是( )A．小球水平抛出时的初速度大小为gttan θB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小AD[如图所示。

由tan θ＝gtv可得小球平抛的初速度大小v0＝gttan θ，选项A正确；由tan α＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0＝12tan θ可知，α≠θ2，选项B错误；小球做平抛运动的时间t＝2yg，与小球初速度无关，选项C 错误；由tan θ＝gtv0可知，v0越大，θ越小，选项D正确。

专题4.2 抛体运动考点精讲一、平抛运动1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动．2．性质加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．3．方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动，竖直方向的自由落体运动．4．基本规律(如图)(1)位移关系(2)速度关系（3）飞行时间t ＝g 2h，飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关． （4）水平射程x ＝v 0t ＝v 0g 2h，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． （5）落地速度v ＝y 2＝＋2gh 2，以θ表示落地时速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝vx vy ＝v02gh，所以落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关．（6）速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示．5．两个重要推论(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲中A 点和B 点所示．甲 乙(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α，如图乙所示．二、斜抛运动1．定义将物体以v沿斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质加速度为重力加速度的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．3．研究方法斜抛运动可以看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛(或竖直下抛)运动的合运动．4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v0x＝v0cos_θ，F合x＝0.(2)竖直方向：v0y＝v0sin_θ，F合y＝mg.题组1 平抛运动1．关于平抛运动，下列说法正确的是 ( )A．平抛运动是变加速曲线运动B．平抛运动是匀变速曲线运动C．速度变化仅在竖直方向上D ．任意相等时间内速度的变化量相等【答案】BCD2．物体在做平抛运动的过程中，在相等的时间内，下列物理量相等的是（ ）A ．速度的增量B ．加速度C ．位移D ．平均速度【答案】AB【解析】平抛运动是匀变速曲线运动，加速度为重力加速度g ，由加速度定义a ＝Δt Δv，可知速度增量Δv ＝g Δt ，所以相等时间内速度的增量是相等的，选项A 正确；在任意时刻物体的加速度都等于重力加速度，在相等时间内，加速度不变，选项B 正确；在相等时间内的水平位移相等，但竖直位移不相等，故合位移不相等，选项C 错误；平均速度为合位移与时间的比值，在相等时间内平均速度不相等，选项D 错误。

第2节抛体运动学案基础知识：一、平抛运动1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

3．条件：v0≠0，沿水平方向；只受重力作用。

二、平抛运动的基本规律1．研究方法平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

2．基本规律(1)位移关系(2)速度关系三、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动。

2．性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线。

3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动。

4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0；(2)竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg。

考点一平抛运动的规律及应用[典例1]在地面上方某点将一小球以一定的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，则小球在随后的运动中()A．速度和加速度的方向都在不断改变B．速度与加速度方向之间的夹角一直减小C．在相等的时间间隔内，速率的改变量相等D．在相等的时间间隔内，动能的改变量相等[典例2](多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度方向与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。

下列说法正确的是()A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D．若小球初速度增大，则θ减小分解思想在平抛运动中的应用(1)解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动位移沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度。

(2)画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(合位移)、分速度(分位移)及其方向间的关系，通过速度(位移)的矢量三角形求解未知量。

第二讲 抛体运动[小题快练]1．判断题(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( × )(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( × ) (3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大．( × ) (4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( × )(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的．( √ ) (6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( √ )(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( √ )2．一物体从某高度以初速度v 0水平抛出，落地时速度大小为v ，重力加速度为g ，则它运动的时间为( D ) A.v －v 0gB ．v －v 02gC.v 2－v 202gD ．v 2－v 20g3．(多选)物体以速度v 0抛出做斜抛运动，则( AD ) A ．在任何相等的时间内速度的变化量是相同的B ．可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动C ．射高和射程都取决于v 0的大小D ．v 0很大，射高或射程可能很小4. 如图所示，在水平路面上一运动员驾驶摩托车跨越壕沟，壕沟两侧的高度差为0.8 m ，水平距离为8 m ，则运动员跨过壕沟的初速度至少为(g 取10 m/s 2)( D ) A ．0.5 m/s B ．2 m/s C ．10 m/sD ．20 m/s考点一 平抛运动规律的应用 (自主学习)1．基本规律 (1)速度关系 (2)位移关系 2．有用结论(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示．(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示．1－1.[对平抛运动的理解] (2019·河北廊坊联考)如图所示，蹲在树枝上的一只松鼠看到一个猎人正在用枪水平对准它，就在子弹出枪口时，松鼠开始运动，下述各种运动方式中，松鼠能逃脱厄运而不被击中的是(设树枝足够高)( )A．迎着枪口，沿AB方向水平跳离树枝B．背着枪口，沿AC方向水平跳离树枝C．以一定速度竖直向下跳离D．以一定速度竖直向上跳离解析：迎着枪口或背着枪口，沿AB方向水平跳离树枝，沿AC方向水平跳离树枝这两种运动在竖直方向上也是自由落体运动，松鼠同样会被击中，都不能逃脱厄运，故A、B错误；子弹做的是平抛运动，在竖直方向上是自由落体运动，若松鼠在竖直方向有向上或向下的初速度，那么松鼠和子弹在竖直方向上的运动不同，它们可以不在同一个高度上，松鼠不会被击中，故C、D正确．答案：CD1－2.[平抛运动规律的应用] (2019·济南外国语学校月考)图为三个小球初始时刻的位置图，将它们同时向左水平抛出都会落到D点，DE＝EF＝FG，不计空气阻力，则关于三小球( )A．若初速度相同，高度h A∶h B∶h C＝1∶2∶3B．若初速度相同，高度h A∶h B∶h C＝1∶3∶5C．若高度h A∶h B∶h C＝1∶2∶3，落地时间t A∶t B∶t C＝1∶2∶3D．若高度h A∶h B∶h C＝1∶2∶3，初速度v1∶v2∶v3＝1：2： 3答案：D1－3.[类平抛运动问题的处理方法] 如图所示，A、B两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1；B沿光滑斜面运动，落地点为P2.P1和P2在同一水平面上，不计阻力，则下列说法正确的是( )A．A、B的运动时间相同B．A、B沿x轴方向的位移相同C．A、B运动过程中的加速度大小相同D ．A 、B 落地时速度大小相同解析：设O 点与水平面的高度差为h ，由h ＝12gt 21，h sin θ＝12g sin θ·t 22可得：t 1＝2hg，t 2＝2hg sin 2 θ，故t 1＜t 2，A 错误；由x 1＝v 0t 1，x 2＝v 0t 2，可知，x 1＜x 2，B 错误；由a 1＝g ，a 2＝g sin θ可知，C 错误；A 落地的速度大小为v A ＝v 20＋(gt 1)2＝v 20＋2gh ，B 落地的速度大小v B ＝v 20＋(a 2·t 2)2＝v 20＋2gh ，所以v A ＝v B ，故D 正确． 答案：D [反思总结]分解思想在平抛运动中的应用1．解答平抛运动问题时，一般的方法是将平抛运动沿水平和竖直两个方向分解，这样分解的优点是不用分解初速度也不用分解加速度．2．画出速度(或位移)分解图，通过几何知识建立合速度(或合位移)、分速度(或分位移)及其方向间的关系，通过速度(或位移)的矢量三角形求解未知量．考点二 多物体的平抛问题 (师生共研)[典例1] 如图所示，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了y 轴上沿x 轴正方向抛出的三个小球a 、b 、c 的运动轨迹，其中b 和c 从同一点抛出，不计空气阻力．则( ) A ．a 的飞行时间比b 长 B ．b 的飞行时间比c 长 C ．a 的初速度最大 D ．c 的末速度比b 大解析：由图知b 、c 的高度相同，大于a 的高度，根据h ＝12at 2，得t ＝2hg，知b 、c 的运动时间相同，a 的飞行时间小于b 、c 的时间，故A 、B 错误；b 、c 的高度相同，则运动的时间相同，b 的水平位移大于c 的水平位移，根据x ＝v 0t 知，v b ＞v c .对于a 、b ，a 的高度小，则运动的时间短，而a 的水平位移大，则v a ＞v b ，可知初速度最大的是小球a ，故C 正确；由图知b 、c 的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b 的速度大于c 的速度，则b 的末速度大于c 的末速度，故D 错误． 答案：C [反思总结]求解多物体平抛问题的三点注意1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定．3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．2－1.[小球落在同一点问题] 如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以v A、v B、v C的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力，则必须( )A．先同时抛出A、B两球，且v A＜v B＜v CB．先同时抛出B、C两球，且v A＞v B＞v CC．后同时抛出A、B两球，且v A＞v B＞v CD．后同时抛出B、C两球，且v A＜v B＜v C解析：由s＝vt，B、C在同一水平线上，则两小球在空中的运动时间相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，因BD间水平位移大于CD间水平位移，所以v B＞v C；A、B在同一竖直线上，因B、D间竖直位移大于A、D间竖直位移，B、A到D点的水平位移相同，要使两个小球同时落在地面上的D点，须满足v A＞v B，且B、C两球要先同时抛出．故A、C、D错误，B正确．答案：B2－2.[小球相遇问题] (多选)在如图所示的平面直角坐标系中，A、B、C三个小球沿图示方向做平抛运动，下列表述正确的是( )A．若A、B、C同时抛出，恰好能在地面相遇，需要满足v C＞v B＞v AB．若A、B能在地面相遇，则A、B在空中运动的时间之比为2∶1C．若A、C在(x0,0)相遇，则一定满足v A＝v CD．只要B、C同时开始做平抛运动，二者绝不可能相遇答案：CD考点三平抛运动时间常见的四种计算方法 (师生共研)1．对着斜面的平抛运动运动过程如图所示．方法：分解速度v x＝v0v y ＝gttan θ＝v 0v y ＝v 0gt可求得t ＝v 0g tan θ[典例2] 如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P 点正上方某一位置Q 处自由下落，下落至P 点的时间为t 1，若小球从同一点Q 处以速度v 0水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时间为t 2，不计空气阻力，则t 1∶t 2等于( ) A ．1∶2 B ．3∶1 C ．1∶ 2D ．1∶ 3解析：小球自Q 处自由下落，下落至P 点，则有H ＝12gt 21；小球自Q 处水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，如图所示，则有v y ＝v 0＝gt 2，h ＝12gt 22，x ＝v 0t 2，在平抛运动中，有v yv 0＝2hx，则x ＝2h ，由几何关系知H ＝x ＋h ，联立解得t 1∶t 2＝3∶1，故B 正确． 答案：B2．顺着斜面的平抛运动 运动过程如图所示． 方法：分解位移x ＝v 0t y ＝12gt 2tan θ＝y x可求得t ＝2v 0tan θg[典例3] 如图所示，A 、B 为两个挨得很近的小球，静止放于光滑斜面上，斜面足够长．在由静止释放B 球的同时，将A 球以某一速度v 0水平抛出，当A 球落于斜面上的P 点时，B 球的位置位于( ) A ．P 点以下 B ．P 点以上C ．P 点D ．由于v 0未知，故无法确定解析：A 球做平抛运动，在竖直方向上做自由落体运动，故有A 球运动到P 点的时间为t A＝2h APg，B 球做匀变速直线运动，加速度a ＝g sin θ，发生的位移为x ＝h BPsin θ，根据公式x ＝12at 2可得B 球运动到P 点的时间为t B ＝2h BP g sin 2θ＝1sin θ2h BPg，当h BP ＝h AP ，有t B ＞t A ，故B 球运动到P 点上方，故B 正确．答案：B3．对着竖直墙壁的平抛运动如图所示，水平初速度v 0不同时，虽然落点不同，但水平位移相同．运动时间为t ＝dv 0. [典例4] 如图所示，某同学为了找出平抛运动的物体初速度之间的关系，用一个小球在O 点对准前方的一块竖直放置的挡板水平抛出，O 与A 在同一高度，小球的水平初速度分别是v 1、v 2、v 3，打在挡板上的位置分别是B 、C 、D ，且AB ∶BC ∶CD ＝1∶3∶5，则v 1、v 2、v 3之间的正确关系是( ) A ．v 1∶v 2∶v 3＝3∶2∶1 B ．v 1∶v 2∶v 3＝5∶3∶1 C ．v 1∶v 2∶v 3＝6∶3∶2 D ．v 1∶v 2∶v 3＝9∶4∶1解析：平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，由AB ∶BC ∶CD ＝1∶3∶5可知，以速度v 1、v 2、v 3水平抛出的小球，从抛出到打在挡板上的时间分别为t 、2t 、3t .由v 1＝xt，v 2＝x 2t ，v 3＝x 3t 可得：v 1∶v 2∶v 3＝x t ∶x 2t ∶x3t ＝6∶3∶2，C 正确． 答案：C4．半圆内的平抛运动如图所示，由半径和几何关系制约时间t .h ＝12gt 2 R ±R 2－h 2＝v 0t联立两方程可求t .[典例5] (多选)(2018·长沙联考)在某次高尔夫球比赛中，美国选手罗伯特－斯特布击球后，球恰好落在洞的边缘，假定洞内bc 表面为14球面，半径为R ，且空气阻力可忽略，重力加速度大小为g ，把此球以大小不同的初速度v 0沿半径方向水平击出，如图所示，球落到球面上，下列说法正确的是( ) A ．落在球面上的最大速度为22gR B ．落在球面上的最小速度为3gRC ．小球的运动时间与v 0大小无关D ．无论调整v 0大小为何值，球都不可能垂直撞击在球面上解析：平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动，由h ＝12gt 2，得t ＝2hg.设小球落在A点时，OA 与竖直方向之间的夹角为θ，水平方向的位移为x ，竖直方向的位移为y ，到达A点时竖直方向的速度为v y ，则x ＝v 0t ＝R sin θ，y ＝v 2y 2g ＝gt 22＝R cos θ，得v 2y ＝2gR cos θ，v 20＝gR sin 2θ2cos θ，又由v t ＝v 20＋v 2y ＝gR sin 2θ2cos θ＋2gR cos θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos θ＋12cos θgR ，由数学知识可知，落在球面上的小球有最小速度，当32cos θ＝12cos θ时，速度最小，最小速度为3gR ，故A 错误，B 正确；由以上的分析可知，小球下落的时间t ＝v y g＝2R cos θg，其中cos θ与小球的初速度有关，故C 错误；小球撞击在球面上时，根据“平抛运动速度的反向延长线交于水平位移的中点”结论可知，由于O 点不在水平位移的中点，所以小球撞在球面上的速度反向延长线不可能通过O 点，也就不可能垂直撞击在球面上，故D 正确． 答案：BD1．(多选)如图所示，从地面上同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( CD ) A ．B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大D ．B 落地时的速度比A 落地时的大2．(2019·安徽江淮十校联考)某同学在操场练习投篮，设某次投篮篮球最后正好垂直击中篮板，击中点到篮球脱手点高度大约为0.45 m ，同学离篮板的水平距离约为3 m ，忽略空气阻力的影响(g 取10m/s 2)．则球出手时的速度大约为 ( D ) A ．14.21m/sB ．6.25m/sC ．8.16m/sD ．10.44m/s解析：因篮球最后正好垂直击中篮板，则研究逆过程为平抛运动，根据平抛运动的规律可得：x ＝v 0t ，h ＝12gt 2可得t ＝0.3 s ，v 0＝x t ＝30.3m/s ＝10 m/s ，则球出手时的速度大约为v ＝v 20＋(gt )2＝102＋(10×0.3)2m/s≈10.44 m/s，故选D. 3. 如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一只小球，当初速度为v 0时，小球恰好落到斜面底端，平抛的飞行时间为t 0.现用不同的初速度v 从该斜面顶端向右平抛这只小球，以下哪个图象能正确表示平抛的飞行时间t 随v 变化的函数关系( C ) 4. (2019·青岛高三调研)如图，小球甲从A 点水平抛出，同时将小球乙从B 点自由释放，两小球先后经过C 点时速度大小相等，方向夹角为37° ，已知B 、C 高度差h ＝5 m ，g ＝10 m/s 2，两小球质量相等，不计空气阻力，由以上条件可知( ) A ．小球甲作平抛运动的初速度大小为6 m/s B ．小球甲到达C 点所用时间为0.8 s C ．A 、B 两点高度差为3.2 mD ．两小球在C 点时重力的瞬时功率相等解析：根据v 2＝2gh 知，乙的速度为：v ＝2gh ＝10 m/s ，所以甲沿水平方向的分速度，即平抛的初速度为：v x ＝v sin37°＝6 m/s ，故A 正确；物体甲沿竖直方向的分速度为：v y ＝v cos37°＝8 m/s ，由v y ＝gt 2，所以B 在空中运动的时间为：t 2＝v yg＝0.8 s ，故B 正确；小球甲下降的高度为：h甲＝12gt 22＝12×10×(0.8)2m ＝3.2 m ，A 、B 两点间的高度差：Δh ＝h －h 甲＝5－3.2 m ＝1.8 m ，故C 错误；两个小球完全相同，则两小球在C 点重力的功率之比为p GA ＝p G B ＝mgv mgv y ＝108＝54，故D 错误． 答案：AB[A 组·基础题]1．如图所示，三个小球从同一高度处的O 点分别以水平初速度v 1、v 2、v 3抛出，落在水平面上的位置分别是A 、B 、C ，O ′是O 在水平面上的射影点，且O ′A ∶O ′B ∶O ′C ＝1∶3∶5.若不计空气阻力，则下列说法正确的是( B ) A ．v 1∶v 2∶v 3＝1∶2∶3 B ．三个小球下落的时间相同 C ．三个小球落地的速度相同D ．三个小球落地的速率相等2. (2019·广州惠州调研)如图所示，A ，B 两个平台水平距离为7.5 m 某同学先用一个小球从A 平台边缘以v 0＝5 m/s 的速度水平抛出，结果小球落在了B 平台左侧下方6.25 m 处．重力加速度g 取10 m/s 2，忽略空气阻力，要使小球从A 平台边缘水平抛出能落到B 平台上，则从A 平台边缘水平抛出小球的速度至少为 ( B ) A ．6 m/s B ．7.5 m/s C ．9 m/sD ．11.25 m/s解析：由平抛运动的规律可知：x ＝v 01t 1；h ＋6.25＝12gt 21；当小球恰能落到平台B 上时：x＝v 02t 2；h ＝12gt 22；联立解得：v 02＝7.5 m/s ；故选B.3．如图所示，一小球从一半圆轨道左端A 点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B 点．O 为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R ，OB 与水平方向夹角为60°，重力加速度为g ，则小球抛出时的初速度为( C ) A.3gR2 B ．3gR 2C.33gR2D ．3gR 24．(2015·山东卷)距地面高5 m 的水平直轨道上A 、B 两点相距2 m ，在B 点用细线悬挂一小球，离地高度为h ，如图．小车始终以4 m/s 的速度沿轨道匀速运动，经过A 点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B 点时细线被轧断，最后两球同时落地．不计空气阻力，取重力加速度的大小g ＝10 m/s 2.可求得h 等于( A ) A ．1.25 m B ．2.25 m C ．3.75 mD ．4.75 m5. (2018·湖南G10教育联盟高三联考)一位同学做平抛实验时，只在纸上记下重垂线y 方向，未在纸上记下斜槽末端位置，并只描出如图所示的一段平抛轨迹曲线．在曲线上取A 、B 两点，用刻度尺分别量出到y 的距离，AA ′＝x 1，BB ′＝x 2，以及AB 的竖直距离h ，从而可求出小球抛出的初速度v 0为( A ) A.(x 22－x 21)g2h B.(x 2－x 1)2g2hC.x 2－x 12g 2h D ．(x 2－x 1)g 2h解析：水平方向小球做匀速直线运动，则由初始点O 到A 过程有：x 1＝v 0t 0 ① 由初始点O 到B 过程：x 2＝v 0t ②竖直方向做自由落体运动，则有h ＝12gt 2－12gt 20 ③联立①②③得：v 0＝(x 22－x 21)g2h，A 正确． 6. (多选)某物体做平抛运动时，它的速度方向与水平方向的夹角为θ，其正切值tan θ随时间t 变化的图象如图所示，(g 取10 m/s 2)则( AD ) A ．第1 s 物体下落的高度为5 m B ．第1 s 物体下落的高度为10 m C ．物体的初速度为5 m/s D ．物体的初速度为10 m/s7．(多选) 如图所示，一演员表演飞刀绝技，由O 点先后抛出完全相同的三把飞刀，分别依次垂直打在竖直木板M 、N 、P 三点上．假设不考虑飞刀的转动，并可将其看作质点，已知O 、M 、N 、P 四点距离水平地面高度分别为h 、4h 、3h 、2h ，以下说法正确的是( CD )A ．三把飞刀在击中板时动能相同B ．到达M 、N 、P 三点的飞行时间之比为1∶2∶ 3C ．到达M 、N 、P 三点的初速度的竖直分量之比为3∶2∶1D ．设到达M 、N 、P 三点，抛出飞刀的初速度与水平方向夹角分别为θ1、θ2、θ3，则有θ1＞θ2＞θ38．(多选)如图所示，一质点以速度v 0从倾角为θ的斜面底端斜向上抛出，落到斜面上的M 点且速度水平向右．现将该质点以2v 0的速度从斜面底端朝同样方向抛出，落在斜面上的N 点．下列说法正确的是( AD ) A ．落到M 和N 两点时间之比为1∶2 B ．落到M 和N 两点速度之比为1∶1C ．M 和N 两点距离斜面底端的高度之比为1∶2D ．落到N 点时速度方向水平向右[B 组·能力题]9．(多选)(2017·河南洛阳尖子生一联)一个质量为m 的质点以速度v 0做匀速运动，某一时刻开始受到恒力F 的作用，质点的速度先减小后增大，其最小值为v 02.质点从开始受到恒力作用到速度减至最小的过程中( AD )A ．经历的时间为3mv 02FB ．经历的时间为mv 02FC ．发生的位移为6mv 208FD ．发生的位移为21mv 208F10. (2018·河南省郑州市高三二模)如图所示为一半球形的坑，其中坑边缘两点M 、N 与圆心等高且在同一竖直面内．现甲、乙两位同学分别在M 、N 两点同时将两个小球以v 1、v 2的速度沿图示方向水平抛出，发现两球刚好落在坑中同一点Q ，已知∠MOQ ＝60° ，忽略空气阻力．则下列说法正确的是( AB )A ．两球拋出的速率之比为1∶3B ．若仅增大v 1，则两球将在落入坑中之前相撞C ．两球的初速度无论怎样变化，只要落在坑中的同一点，两球抛出的速率之和不变D ．若仅从M 点水平抛出小球，改变小球抛出的速度，小球可能垂直坑壁落入坑中 解析：根据几何关系知，Q 到O 点的水平方向的距离等于0.5R ，所以M 的水平位移x M ＝R －R 2＝R 2，N 的水平位移为：x N ＝R ＋R 2＝3R 2，则落在Q 点的水平位移之比为1∶3，运动时间相等，则初速度之比为1∶3，A 正确；若只增大v 1，而v 2不变，则M 运动的轨迹的落点将向右一些，两球可在空中相遇，B 正确；要两小球落在弧面上的同一点，则水平位移之和为2R ，则(v 1＋v 2)t ＝2R ，落点不同，竖直方向位移就不同，t 也不同，所以v 1＋v 2也不是一个定值，C 错误；根据平抛运动的推论：速度的反向延长线交水平位移的中点，因为球心O 并不是水平位移的中点，所以不可能使小球沿半径方向落在圆弧轨道内，D 错误．11. (2019·齐鲁名校联考)如图所示，是某次研究小球做平抛运动过程得到的频闪照片的一部分．已知背景正方形的边长为b ，闪光频率为f .求：(各问的答案均用b 、f 表示)(1)当地的重力加速度g 的大小；(2)小球通过C 点瞬时速度v C 的大小；(3)小球从开始平抛到运动到A 位置经历的时间t A .解析：(1)根据Δx ＝aT 2可得g ＝b T 2＝bf 2；(2)水平速度v 0＝2b T ＝2bf ，小球通过C 点的竖直速度v Cy ＝7b 2T ＝7bf 2，则小球经过C 点的瞬时速度v C 的大小：v C ＝v 20＋v 2Cy ＝(2bf )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫7bf 22＝652bf ； (3)小球经过A 点的竖直速度：v Ay ＝v Cy －2gT ＝32bf ，则小球从开始平抛到运动到A 位置经历的时间t A ＝v Ay g ＝32f. 答案：(1)g ＝bf 2 (2)v C ＝652bf (3)t A ＝32f12．(2016·浙江卷)在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图所示．P 是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h 的探测屏AB 竖直放置，离P 点的水平距离为L ，上端A 与P 点的高度差也为h .(1)若微粒打在探测屏AB 的中点，求微粒在空中飞行的时间；(2)求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围； (3)若打在探测屏A 、B 两点的微粒的动能相等，求L 与h 的关系．解析：(1)打在中点的微粒满足32h ＝12gt 2① 可得t ＝3h g.② (2)打在B 点的微粒，有v 1＝L t 1，2h ＝12gt 21③ 可得v 1＝L g 4h④ 同理，打在A 点的微粒初速度v 2＝L g 2h⑤ 微粒的初速度范围Lg 4h≤v ≤L g 2h .⑥ (3)由能量关系可得 12mv 22＋mgh ＝12mv 21＋2mgh ⑦ 代入④⑤式得L ＝22h .⑧答案：(1)3hg(2)Lg4h≤v≤Lg2h(3)L＝22h。

权掇市安稳阳光实验学校抛体运动(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。

(×)(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化。

(×)(3)做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。

(×)(4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长。

(×)(5)从同一高度平抛的物体，不计空气阻力时，在空中飞行的时间是相同的。

( √)(6)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动。

(√)(7)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的。

(√)突破点(一) 平抛运动的规律1．基本规律(1)速度关系(2)位移关系2．实用结论(1)速度改变量：物体在任意相等时间内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图甲所示。

(2)水平位移中点：因tan α＝2tan β，所以OC＝2BC，即速度的反向延长线通过此时水平位移的中点，如图乙所示。

[题点全练]1.(2019·南通调研)如图所示，某同学以不同的初速度将篮球从同一位置抛出，篮球两次抛出后均垂直撞在竖直墙上，图中曲线为篮球第一次运动的轨迹，O为撞击点，篮球第二次抛出后与墙的撞击点在O点正下方。

忽略空气阻力。

下列说法正确的是( ) A．篮球在空中运动的时间相等B．篮球第一次撞墙时的速度较小C．篮球第一次抛出时速度的竖直分量较小D．篮球第一次抛出时的初速度较小解析：选B 将篮球的运动反向处理，即可视为平抛运动，第二次下落的高度较小，所以运动时间较短，故A错误；水平射程相等，由x＝v0t得知第二次水平分速度较大，即篮球第二次撞墙的速度较大，第一次撞墙时的速度较小，故B正确；第二次运动时间较短，则由v y＝gt可知，第二次抛出时速度的竖直分量较小，故C错误；根据速度的合成可知，不能确定抛出时的速度大小，故D错误。

2.[多选](2019·扬州模拟)如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度h处的平台末端水平飞出，落在水平地面上。

第 2 课时 抛体运动的规律及其应用基础知识归纳1.平抛运动(1)定义：将一物体水平抛出，物体只在 重力 作用下的运动.(2)性质：加速度为g 的匀变速 曲线 运动，运动过程中水平速度 不变 ，只是竖直速度不断 增大 ，合速度大小、方向时刻 改变 .(3)研究方法：将平抛运动分解为水平方向的 匀速直线 运动和竖直方向的 自由落体 运动，分别研究两个分运动的规律，必要时再用运动合成方法进行合成.(4)规律：设平抛运动的初速度为v 0，建立坐标系如图.速度、位移：水平方向：v x ＝v 0，x ＝v 0t竖直方向：v y ＝gt ，y ＝21gt 2 合速度大小(t 秒末的速度)： v t ＝22y x v v +方向：tan φ＝00v gt v v y= 合位移大小(t 秒末的位移)：s ＝22y x +方向：tan θ＝00222/v gt t v gt x y == 所以tan φ＝2tan θ运动时间：由y ＝21gt 2得t ＝ 2 g y (t 由下落高度y 决定). 轨迹方程：y ＝ 2 220x v g(在未知时间情况下应用方便).可独立研究竖直分运动：a.连续相等时间内竖直位移之比为1∶3∶5∶…∶(2n －1)(n ＝1,2,3…)b.连续相等时间内竖直位移之差为Δy ＝gt 2一个有用的推论：平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位移的一半.2.斜抛运动(1)将物体斜向上射出，在 重力 作用下，物体做曲线运动，它的运动轨迹是 抛物线 ，这种运动叫做“斜抛运动”.(2)性质：加速度为g 的 匀变速曲线 运动.根据运动独立性原理，可以把斜抛运动看成是水平方向的 匀速直线 运动和竖直方向的 上抛 运动的合运动来处理.取水平方向和竖直向上的方向为x 轴和y 轴，则这两个方向的初速度分别是：v 0x ＝v 0cos θ，v 0y ＝v 0sin θ.重点难点突破一、平抛物体运动中的速度变化水平方向分速度保持v x ＝v 0，竖直方向，加速度恒为g ，速度v y ＝gt ，从抛出点看，每隔Δt 时间的速度的矢量关系如图所示.这一矢量关系有两个特点：1.任意时刻v 的速度水平分量均等于初速度v 0；2.任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量均竖直向下，且Δv ＝Δv y ＝g Δt .二、类平抛运动平抛运动的规律虽然是在地球表面的重力场中得到的，但同样适用于月球表面和其他行星表面的平抛运动.也适用于物体以初速度v 0运动时，同时受到垂直于初速度方向，大小、方向均不变的力F 作用的情况.例如带电粒子在电场中的偏转运动、物体在斜面上的运动以及带电粒子在复合场中的运动等等.解决此类问题要正确理解合运动与分运动的关系.三、平抛运动规律的应用平抛运动可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动.物体在任意时刻的速度和位移都是两个分运动对应时刻的速度和位移的矢量和.解决与平抛运动有关的问题时，应充分注意到两个分运动具有独立性和等时性的特点，并且注意与其他知识的结合.1.平抛运动规律的应用【例1】(2009•广东)为了清理堵塞河道的冰凌，空军实施投弹爆破.飞机在河道上空高H 处以速度v 0水平匀速飞行，投掷炸弹并击中目标.求炸弹刚脱离飞机到击中目标所飞行的水平距离及击中目标时的速度大小(不计空气阻力).【解析】设飞行的水平距离为s ，在竖直方向上H ＝21gt 2 解得飞行时间为t ＝gH 2 则飞行的水平距离为s ＝v 0t ＝v 0g H 2 设击中目标时的速度为v ，飞行过程中，由机械能守恒得mgH ＋2021mv ＝21mv 2 解得击中目标时的速度为v ＝202v gH【思维提升】解平抛运动问题一定要抓住水平与竖直两个方向分运动的独立性与等时性，有时还要灵活运用机械能守恒定律、动能定理、动量定理等方法求解.【拓展1】用闪光照相方法研究平抛运动规律时，由于某种原因，只拍到了部分方格背景及小球的三个瞬时位置(见图).若已知闪光时间间隔为t ＝0.1s ，则小球运动中初速度大小为多少？小球经B 点时的竖直分速度大小多大？(g 取10 m/s 2，每小格边长均为L ＝5 cm).【解析】由于小球在水平方向做匀速直线运动，可以根据小球位置的水平位移和闪光时间算出水平速度，即抛出的初速度.小球在竖直方向做自由落体运动，根据匀变速直线运动规律即可算出竖直分速度.因A 、B (或B 、C )两位置的水平间距和时间间隔分别为x AB ＝2L ＝(2×5) cm＝10 cm ＝0.1 mt AB ＝Δt ＝0.1 s所以，小球抛出的初速度为v 0＝ABAB t x ＝1 m/s 设小球运动至B 点时的竖直分速度为v By 、运动至C 点时的竖直分速度为v Cy ，B 、C 间竖直位移为y BC ，B 、C 间运动时间为t B C .根据竖直方向上自由落体运动的公式得BC B C gy v v yy 222=- 即(v By ＋gt BC )2－BC B gy v y 22= v By ＝BCBC BC t gt y 222- 式中y BC ＝5L ＝0.25 mt BC ＝Δt ＝0.1 s代入上式得B 点的竖直分速度大小为v By ＝2 m/s2.平抛运动与斜面结合的问题【例2】如图所示，在倾角为θ的斜面上A 点以水平速度v 0抛出一个小球，不计空气阻力，它落到斜面上B 点所用的时间为( ) A.g v θ sin 20 B. g v θ tan 20 C. g v θ sin 0 D. gv θ tan 0 【解析】设小球从抛出至落到斜面上的时间为t ，在这段时间内水平位移和竖直位移分别为x＝v 0t ，y ＝21gt 2 如图所示，由几何关系可知 tan θ＝002221v gt t v gt x y == 所以小球的运动时间t ＝gv θ tan 20 【答案】B【思维提升】上面是从常规的分运动方法来研究斜面上的平抛运动，还可以变换一个角度去研究.如图所示，把初速度v 0、重力加速度g 都分解成沿斜面和垂直斜面的两个分量.在垂直斜面方向上，小球做的是以v 0y 为初速度、g y 为加速度的竖直上抛运动.小球“上、下”一个来回的时间等于它从抛出至落到斜面上的运动时间，于是立即可得 t ＝gv g v g v y yθθθ tan 2 cos sin 22000== 采用这种观点，还可以很容易算出小球从斜面上抛出后的运动过程中离斜面的最大距离、从抛出到离斜面最大的时间、斜面上的射程等问题.【拓展2】一固定的斜面倾角为θ，一物体从斜面上的A 点平抛并落到斜面上的B 点，试证明物体落在B 点的速度与斜面的夹角为定值.【证明】作图，设初速度为v 0，到B 点竖直方向速度为v y ，设合速度与竖直方向的夹角为α，物体经时间t 落到斜面上，则tan α＝yx gt t v gt v v v y x 2200=== α为定值，所以β＝(2π－θ)－α也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛初速度无关，只与斜面的倾角有关.3.类平抛运动【例3】如图所示，有一倾角为30°的光滑斜面，斜面长L 为10 m ，一小球从斜面顶端以10 m/s 的速度沿水平方向抛出，求：(1)小球沿斜面滑到底端时的水平位移x ；(2)小球到达斜面底端时的速度大小(g 取10 m/s 2).【解析】(1)在斜面上小球沿v 0方向做匀速运动，垂直v 0方向做初速度为零的匀加速运动，加速度a ＝g sin 30°x ＝v 0t ①L ＝21g sin 30°t 2② 由②式解得t ＝︒30 sin 2g L ③由①③式解得x ＝v 0︒30 sin 2g L ＝105.010102⨯⨯ m ＝20 m (2)设小球运动到斜面底端时的速度为v ，由动能定理得mgL sin 30°＝21mv 2－2021mv v ＝101010220⨯+=+gL v m/s≈14.1 m/s【思维提升】物体做类平抛运动，其受力特点和运动特点类似于平抛运动，因此解决的方法可类比平抛运动——采用运动的合成与分解.关键的问题要注意：(1)满足条件：受恒力作用且与初速度的方向垂直.(2)确定两个分运动的速度方向和位移方向，分别列式求解.【例4】如图所示，一高度为h ＝0.2 m 的水平面在A 点处与一倾角为θ＝30°的斜面连接，一小球以v 0＝5 m/s 的速度在水平面上向右运动.求小球从A 点运动到地面所需的时间(平面与斜面均光滑，取g ＝10 m/s 2). 【错解】小球沿斜面运动，则θ sin h ＝v 0t ＋21g sin θ•t 2，可求得落地的时间t . 【错因】小球应在A 点离开平面做平抛运动，而不是沿斜面下滑.【正解】落地点与A 点的水平距离x ＝v 0t ＝v 0102.0252⨯⨯=g h m ＝1 m 斜面底宽l ＝h cot θ＝0.2×3m ＝0.35 m因为x >l ，所以小球离开A 点后不会落到斜面，因此落地时间即为平抛运动时间.所以t ＝102.022⨯=g h s ＝0.2 s【思维提升】正确解答本题的前提是熟知平抛运动的条件与平抛运动的规律.。

第2讲抛体运动目标要求 1.掌握平抛运动的规律，学会运用运动的合成与分解处理类平抛、斜抛运动问题.2.学会处理斜面或圆弧面约束下的平抛运动问题.3.会处理平抛运动中的临界、极值问题．考点一平抛运动的规律及应用平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：化曲为直(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：自由落体运动．4．基本规律如图，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy.1．平抛运动的加速度方向与速度方向总垂直．(×)2．相等时间内做平抛运动的物体速度变化量相同．(√)3．相等时间内做平抛运动的物体速度大小变化相同．(×)1．平抛运动物体的速度变化量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度变化量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．2．两个推论：(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α .例1 (多选)a 、b 两个物体做平抛运动的轨迹如图所示，设它们抛出的初速度分别为v a 、v b ，从抛出至碰到台上的时间分别为t a 、t b ，则( )A ．v a ＞v bB ．v a ＜v bC ．t a ＞t bD ．t a ＜t b答案 AD解析 由题图知，h b ＞h a ，因为h ＝12gt 2，所以t a ＜t b ，又因为x ＝v 0t ，且x a ＞x b ，所以v a ＞v b ，选项A 、D 正确．例2 (2023·广东江门市模拟)如图所示，滑板运动员以速度v 0从离地高h 处的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( )A ．v 0越大，运动员在空中运动时间越长B ．v 0越大，运动员落地瞬间速度越大C ．运动员落地瞬间速度与高度h 无关D．运动员落地位置与v0大小无关答案 B解析由t ＝2hg可知运动员在空中运动时间与v0无关，故A错误；由动能定理mgh＝12m v2－12m v02，得v＝v02＋2gh，可知v0越大，h越大，运动员落地瞬间速度越大，故B正确，C错误；由x＝v0t＝v02hg，知运动员落地位置与v0大小有关，故D错误．考点二与斜面或圆弧面有关的平抛运动已知条件情景示例解题策略已知速度方向从斜面外平抛，垂直落在斜面上，如图所示，已知速度的方向垂直于斜面分解速度tan θ＝v0v y＝v0gt从圆弧形轨道外平抛，恰好无碰撞地进入圆弧形轨道，如图所示，已知速度方向沿该点圆弧的切线方向分解速度tan θ＝v yv0＝gtv0已知位移方向从斜面上平抛又落到斜面上，如图所示，已知位移的方向沿斜面向下分解位移tan θ＝yx＝12gt2v0t＝gt2v0在斜面外平抛，落在斜面上位移最小，如图所示，已知位移方向垂直斜面分解位移tan θ＝xy＝v0t12gt2＝2v0gt利用位移关系从圆心处水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图所示，已知位移大小等于半径R⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0ty ＝12gt 2x 2＋y 2＝R2从与圆心等高的圆弧上水平抛出，落到半径为R 的圆弧上，如图所示，已知水平位移x 与R 的差的平方与竖直位移的平方之和等于半径的平方⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R ＋R cos θx ＝v 0ty ＝R sin θ＝12gt2(x －R )2＋y 2＝R2考向1 与斜面有关的平抛运动例3 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P 以速度v 0拋出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q 点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v 0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是( )A ．夹角α将变大B ．夹角α与初速度大小无关C ．小球在空中的运动时间不变D ．PQ 间距是原来间距的3倍 答案 B解析 根据tan θ＝y x ＝12gt2v 0t ，解得t ＝2v 0tan θg ，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C 错误；根据x ＝v 0t ＝2v 02tan θg 知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ ＝xcos θ，故PQ 间距变为原来间距的4倍，D 错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝v y v 0＝gtv 0＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A 错误，B 正确．例4 如图所示，1、2两个小球以相同的速度v 0水平抛出．球1从左侧斜面抛出，经过时间t 1落回斜面上，球2从某处抛出，经过时间t 2恰能垂直撞在右侧的斜面上．已知左、右两侧斜面的倾角分别为α＝30°、β＝60°，则( )A ．t 1∶t 2＝1∶2B ．t 1∶t 2＝1∶3C ．t 1∶t 2＝2∶1D ．t 1∶t 2＝3∶1答案 C解析 由题意可得，对球1，有tan α＝12gt12v 0t 1＝gt 12v 0，对球2，有tan β＝v 0gt 2，又tan α·tan β＝1，联立解得t 1∶t 2＝2∶1，A 、B 、D 错误，C 正确． 考向2 与圆弧面有关的平抛运动例5 (2023·广东汕头市模拟)水车是中国古代常用的一种农用工具，水车的简易模型如图所示，水流自水平的水管流出，水流轨迹与水车的边缘相切，使轮子连续转动，水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角．若水管出水口水流的流速v 0＝6 m/s ，不计空气阻力，取重力加速度大小g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是( )A ．水流从水管流出到与水车的边缘相切，经过了0.6 sB ．水流从水管流出到与水车的边缘相切，下落了5 mC ．轮子边缘的线速度大小为10 m/sD ．水流与水车的边缘相切时，速度大小为8 m/s 答案 C解析 水到达轮子边缘时的速度与轮子边缘的线速度近似认为相同，切点对应的半径与水平方向成37°角，在切点根据几何关系tan 37°＝v0gt ，解得t＝0.8 s，下落了h＝12gt2＝3.2 m，故A、B错误；轮子边缘的线速度大小为v＝v02＋(gt)2＝10 m/s，水流与水车的边缘相切时，速度大小为10 m/s，故C正确，D错误．考点三平抛运动的临界和极值问题1．平抛运动的临界问题有两种常见情形：(1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物体的速度方向恰好为某一方向．2．解题技巧：在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题．考向1平抛运动的临界问题例6如图所示，一网球运动员将网球(可视为质点)从O点水平向右击出，网球恰好擦网通过落在对方场地的A点，A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍．已知球网的高度为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则网球击出后在空中飞行的时间为()A.3hg B.32hgC.5h2g D.322hg答案 B解析设网球击出后在空中飞行的时间为t，因为A点到球网的水平距离是击球点到球网的水平距离的2倍，所以网球从击球点运动到球网的时间为t3，则H＝12gt2，H－h＝12g(t3)2，联立解得t＝32hg，故选B.考向2平抛运动的极值问题例7某科技比赛中，参赛者设计了一个轨道模型，如图所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高点距离水平地面2 m，右端出口水平．现让小球在最高点由静止释放，忽略阻力作用，为使小球飞得最远，右端出口距离桌面的高度应设计为()A ．0B ．0.1 mC ．0.2 mD ．0.3 m答案 C解析 小球从最高点到右端出口，机械能守恒，有mg (H －h )＝12m v 2，从右端出口飞出后，小球做平抛运动，有x ＝v t ，h ＝12gt 2，联立解得x ＝2(H －h )h ，根据数学知识可知，当H －h＝h 时，x 最大，即h ＝1 m 时，小球飞得最远，此时右端出口距离桌面高度为Δh ＝1 m － 0.8 m ＝0.2 m ，故C 正确．考点四 斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动． 2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线． 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：匀变速直线运动． 4．基本规律以斜抛运动的抛出点为坐标原点O ，水平向右为x 轴的正方向，竖直向上为y 轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy .初速度可以分解为v 0x ＝v 0cos θ，v 0y ＝v 0sin θ. 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x ＝v 0x t ＝(v 0cos θ)t ① v x ＝v 0x ＝v 0cos θ②在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y ＝v 0y t －12gt 2＝(v 0sin θ)t －12gt 2③v y ＝v 0y －gt ＝v 0sin θ－gt ④1．斜抛运动中的极值在最高点，v y ＝0，由④式得到t ＝v 0sin θg ⑤将⑤式代入③式得物体的射高y m ＝v 02sin 2θ2g ⑥物体落回与抛出点同一高度时，有y ＝0， 由③式得总时间t 总＝2v 0sin θg⑦将⑦式代入①式得物体的射程x m ＝v 02sin 2θg当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大．所以对于给定大小的初速度v 0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大． 2．逆向思维法处理斜抛问题对斜上抛运动，从抛出点到最高点的运动可逆过程分析，看成平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题．例8 (2023·广东深圳市调研)如图，射击训练场内，飞靶从水平地面A 点以仰角θ斜向上飞出，落在相距100 m 的B 点，最高点距地面20 m ．忽略空气阻力，重力加速度取10 m/s 2.则( )A ．飞靶从A 到B 的飞行时间为2 s B ．飞靶在最高点的速度为20 m/sC ．抬高仰角θ，飞靶飞行距离增大D ．抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大 答案 D解析 飞靶在竖直方向做竖直上抛运动，根据对称性可得飞靶从A 到B 的飞行时间为t ＝2t 1＝22h g ＝4 s ，故A 错误；飞靶在水平方向的速度v x ＝xt＝25 m/s ，在最高点竖直方向速度为零，则飞靶在最高点的速度为25 m/s ，故B 错误；根据运动的分解可得v x ＝v cos θ，v y ＝ v sin θ，飞靶飞行的时间t ＝2v y g ＝2v sin θg ，则飞行距离x ＝v x t ＝2v 2sin θcos θg ＝v 2sin 2θg ，可知θ＝45°时，飞行距离有最大值，故C 错误；根据t ＝2v sin θg，可知抬高仰角θ，飞靶的飞行时间增大，故D 正确．课时精练1.(多选)如图，x 轴沿水平方向，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( )A ．a 的飞行时间比b 长B ．b 和c 的飞行时间相等C ．a 的水平速度比b 的小D ．b 的初速度比c 的大 答案 BD解析 平抛运动可看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动的合运动，因y ＝12gt 2，y a ＜y b ＝y c ，所以b 和c 的飞行时间相等且比a 的飞行时间长，A 错误，B 正确；因x ＝v t ，x a ＞x b ＞x c ，t a ＜t b ＝t c ，故v a ＞v b ＞v c ，C 错误，D 正确．2.(2022·广东卷·6)如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P 点等高且相距为L .当玩具子弹以水平速度v 从枪口向P 点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t .不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是( )A ．将击中P 点，t 大于L vB ．将击中P 点，t 等于Lv C ．将击中P 点上方，t 大于LvD ．将击中P 点下方，t 等于Lv 答案 B解析 由题意知枪口与P 点等高，子弹和小积木在竖直方向上均做自由落体运动，当子弹击中积木时子弹和积木的运动时间相同，根据h ＝12gt 2，可知下落高度相同，所以将击中P 点；又由于初始状态子弹到P 点的水平距离为L ，子弹在水平方向上做匀速直线运动，故有t ＝Lv ，故选B.3.(多选)如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g .下列说法正确的是( )A ．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θB ．小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为θ2C ．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长D ．若小球初速度增大，则θ减小 答案 AD解析 由tan θ＝gt v 0可得小球平抛的初速度大小v 0＝gttan θ，A 正确；设小球在t 时间内的位移方向与水平方向的夹角为α，由tan α＝h x ＝12gt 2v 0t ＝gt 2v 0＝12tan θ可知，α≠θ2，B 错误；小球做平抛运动的时间t ＝2h g ，与小球初速度无关，C 错误；由tan θ＝gtv 0可知，v 0越大，θ越小，D 正确．4．(2023·广东韶关市模拟)环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中排出污水．环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为10 cm ，管口中心距离河水水面的高度为80 cm ，污水注入河道处到排污管管口的水平距离为120 cm ，重力加速度g 取10 m/s 2，则该管道的排污量(即流量——单位时间内通过管道某横截面的流体体积)约为( )A ．24 L/sB ．94 L/sC ．236 L/sD ．942 L/s答案 A解析 根据平抛运动规律有x ＝v t 0，h ＝12gt 02，解得v ＝3 m/s ，根据流量的定义有Q ＝Vt ，而V ＝SL ＝π(d2)2·v t ，解得Q ≈0.024 m 3/s ＝24 L/s ，故A 正确，B 、C 、D 错误．5.(2023·黑龙江省建新高中高三月考)如图所示，将a 、b 两小球(均可视为质点)以大小为20 5 m/s 的初速度分别从A 、B 两点先后相差1 s 水平相向抛出，a 小球从A 点抛出后，经过时间t ，a 、b 两小球恰好在空中相遇，且速度方向相互垂直，不计空气阻力，g 取10 m/s 2，则抛出点A 、B 间的水平距离是( )A ．85 5 mB ．100 mC ．200 mD ．180 5 m答案 D解析 a 的运动时间为t ，则b 的运动时间为t －1 s ，gt v 0·g (t －1 s )v 0＝1，解得t ＝5 s ，又因为x＝v 0t ＋v 0(t －1 s)，解得x ＝180 5 m ，故选D.6．(2023·山东烟台市高三模拟)如图所示，小球以v 0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t 为(重力加速度为g )( )A ．t ＝v 0tan θB ．t ＝2v 0tan θgC ．t ＝v 0g tan θD ．t ＝2v 0g tan θ答案 D解析 如图所示，要使小球到达斜面的位移最小，则要求落点与抛出点的连线与斜面垂直，所以有tan θ＝x y ，而x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，联立解得t ＝2v 0g tan θ，故选D.7．(多选)(2023·广东汕头市模拟)如图所示为某喷灌机的喷头正在进行农田喷灌，喷头出水速度的大小和方向可以调节，已知图示出水速度方向与水平方向夹角θ＝30°，假设喷头贴近农作物表面，忽略空气阻力，下列哪种调整方式可使水喷得更远( )A ．减小出水速度B ．增大出水速度C ．适当减小θ角D ．适当增大θ角 答案 BD解析 设出水速度为v ，根据斜抛运动规律可得水在空中运动的时间为t ＝2v sin θg ，则喷水距离为x ＝(v cos θ)t ＝v 2sin 2θg ，θ＝45°时射程最远，根据上式可知若要使水喷得更远，即增大x ，可以增大出水速度、适当增大θ角，故选B 、D.8.(多选)(2023·辽宁省模拟)如图所示，一倾角为θ且足够长的斜面固定在地面上，将小球A 从斜面顶端以速度v 1水平向右抛出，小球击中了斜面上的C 点，将小球B 从空中与小球A 等高的某点以速度v 2水平向左抛出，小球恰好垂直斜面击中C 点，不计空气阻力，斜面足够长，重力加速度为g ，下列说法中正确的是( )A ．小球A 在空中运动的时间为2v 1tan θgB ．小球B 在空中运动的时间为v 2tan θgC ．若将小球B 以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则竖直下抛落到斜面上所用时间最短D ．若将小球B 以大小相等的初速度从该点向各个方向抛出，则垂直斜面向上抛出落到斜面上所用时间最长 答案 AD解析 设小球A 在空中运动的时间为t 1，则x 1＝v 1t 1，y 1＝12gt 12，tan θ＝y 1x 1，联立解得t 1＝2v 1tan θg ，故A 正确；设小球B 在空中运动的时间为t 2，则tan θ＝v 2gt 2，解得t 2＝v 2g tan θ，故B 错误；根据运动的合成与分解可知，小球B 落到斜面上所用时间取决于其在垂直于斜面方向的分运动的情况，易知小球B 在垂直于斜面方向的加速度大小始终为g cos θ，则当小球B 以垂直于斜面向下的初速度抛出时，其落到斜面上所用时间最短，当小球B 以垂直于斜面向上的初速度抛出时，其落到斜面上所用的时间最长，故C 错误，D 正确．9.套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m 处水平抛出半径为0.1 m 的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m 、高度为0.25 m 的竖直细圆筒．若重力加速度大小取g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )A ．4.3 m/sB ．5.6 m/sC ．6.5 m/sD ．7.5 m/s答案 B解析 根据h 1－h 2＝12gt 2得t ＝2(h 1－h 2)g＝2(0.45－0.25)10s ＝0.2 s ，则平抛运动的最大速度v 1＝x ＋2R t ＝1.0＋2×0.10.2 m/s ＝6.0 m/s ，最小速度v 2＝x t ＝1.00.2 m/s ＝5.0 m/s ，则5.0 m/s ＜v ＜6.0 m/s ，故选B.10.如图所示，在距地面高h 的A 点以与水平面成α＝60°的角度斜向上抛出一小球，不计空气阻力．发现小球落在右边板OG 上，且落点D 与A 点等高．已知v 0＝2 3 m/s ，h ＝0.2 m ，g 取10 m/s 2.则下列说法正确的是( )A ．小球从A 到D 的水平位移为1.8 mB ．小球在水平方向做匀加速运动C ．若撤去OG 板，则经过D 点之后小球在竖直方向做自由落体运动，故再经0.2 s 它将落地 D ．小球从A 到D 的时间是0.6 s 答案 D解析 小球在竖直方向的分速度为v 0y ＝v 0sin α＝3 m/s ，小球在水平方向的分速度为v 0x ＝v 0cos α＝ 3 m/s ，小球从A 到D 的时间为t ＝2v 0y g ＝2×310 s ＝0.6 s ，小球从A 到D 的水平位移为x ＝v 0x t ＝335 m ，所以A 错误，D 正确；小球在水平方向做匀速直线运动，所以B 错误；若撤去OG 板，在D 点，小球在竖直方向速度大小为v y ＝v 0y ＝3 m/s ，则经过D 点之后小球在竖直方向做匀加速直线运动，不是自由落体运动，所以C 错误．11．(2023·广东潮州市模拟)2022年2月5日，北京冬奥会跳台滑雪项目比赛在位于张家口的国家跳台滑雪中心举行，国家跳台滑雪中心是中国首座跳台滑雪场馆，主体建筑灵感来自于中国传统饰物“如意”，因此被形象地称作“雪如意”．如图所示，现有两名运动员(均视为质点)从跳台a 处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v 1∶v 2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法正确的是( )A ．他们飞行时间之比为t 1 ∶t 2＝1∶2B ．他们飞行的水平位移之比为x 1∶x 2＝2∶1C ．他们在空中离坡面的最大距离之比为s 1∶s 2＝2∶1D ．他们落到坡面上的瞬时速度方向与水平方向的夹角之比为θ1∶θ2＝1∶1 答案 D解析 斜面倾角即为位移与水平方向的夹角，则有y x ＝12gt2v 0t ＝gt2v 0＝tan θ ，得t ＝2v 0tan θg ，故时间与速度成正比，甲、乙两人飞行时间之比为2∶1，故A 错误；根据x ＝v 0t ，水平位移之比为4∶1，故B 错误；把运动员的运动分解为沿斜面方向的运动和垂直斜面方向的运动，由几何关系可知，运动员在垂直斜面方向上做初速度为v 0sin θ、加速度大小为g cos θ的匀减速运动，当速度减小到零时，则离坡面距离最大，为s m ＝(v 0sin θ)22g cos θ，则他们在空中离坡面的最大距离之比为4∶1，故C 错误；根据平抛运动的推论：瞬时速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在斜坡上，位移与水平方向夹角相同，所以两人落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故D 正确．12.(2022·全国甲卷·24)将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔0.05 s 发出一次闪光．某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示．图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度s 1和s 2之比为3∶7.重力加速度大小取g ＝10 m/s 2，忽略空气阻力．求在抛出瞬间小球速度的大小．答案255m/s 解析 频闪仪每隔0.05 s 发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为t ＝4T ＝4×0.05 s ＝0.2 s ．设抛出瞬间小球的速度为v 0，每相邻两球间的水平方向上位移为x ，竖直方向上的位移分别为y 1、y 2，根据平抛运动位移公式有x ＝v 0t ，y 1＝12gt 2＝12×10×0.22 m ＝0.2 m ，y 2＝12g (2t )2－12gt 2＝12×10×(0.42－0.22) m ＝0.6 m ，令y 1＝y ，则有y 2＝3y 1＝3y已标注的线段s 1、s 2分别为s 1＝x 2＋y 2s 2＝x 2＋(3y )2＝x 2＋9y 2 则有x 2＋y 2∶x 2＋9y 2＝3∶7整理得x ＝255y ，故在抛出瞬间小球的速度大小为v 0＝x t ＝255m/s.13．(多选)(2023·广东广州市模拟)如图所示，一小钢球从平台上的A 处以速度v 0水平飞出，经t 0时间落在斜坡上B 处，速度方向恰好沿斜坡向下，又经t 0时间到达坡底C 处．斜坡BC 与水平面夹角为30°，不计摩擦阻力和空气阻力，则小钢球从A 到C 的过程中水平、竖直两方向的分速度v x 、v y 随时间变化的图像是下列选项中的( )答案 BD解析 从A 到B 做平抛运动，分速度v x 不变，分速度v y 均匀增大，加速度为g .从B 到C 做匀加速直线运动，加速度a ＝g sin 30°＝12g ，在水平方向上有分加速度，所以水平方向上做匀加速直线运动，水平分加速度a x ＝12g cos 30°＝34g ，在竖直方向上的分加速度为a y ＝12g sin 30°＝14g ，做匀加速直线运动，则0～t 0和t 0～2t 0时间内在竖直方向上的加速度之比为4∶1.故B 、D 正确，A 、C 错误．。

第四章第2讲：抛体运动一、复习目标：1.掌握平抛运动的特点和性质2.掌握研究平抛运动的方法，并能应用解题3.知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析一般的抛体运动 二、基础知识梳理（阅读课本，完成以下基础检测） 1．思考判断(1)以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动．( )(2)做平抛运动的物体的速度方向时刻在变化，加速度方向也时刻在变化．( ) (3)做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化量是相同的．( ) (4)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中飞行时间越长．( ) (5)无论平抛运动还是斜抛运动，都是匀变速曲线运动．( )2．[平抛运动规律及其应用]一物体从某高度以初速度v 0水平抛出，落地时速度大小为v ，重力加速度为g ，则它运动的时间为( ) A.v －v 0g B.v －v 02gC.v 2－v 022gD.v 2－v 02g3．[多体抛体问题](多选)如图所示，从地面上的同一位置抛出两小球A 、B ，分别落在地面上的M 、N 点，两球运动的最大高度相同．空气阻力不计，则( )A ．B 的加速度比A 的大 B ．B 的飞行时间比A 的长C ．B 在最高点的速度比A 在最高点的大D ．B 落地时的速度比A 落地时的大三、考点分析考点1.平抛运动规律及其应用 1．平抛运动的四个物理量物理量 决定因素飞行时间(t ) t ＝2hg，即飞行时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关 水平射程(x )x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定 落地速度(v )v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，偏角θ满足tan θ＝v y v x ＝2ghv 0，即落地速度也只与初速度v 0和下落高度h 有关速度改变量任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 相同，方向恒为竖直向下，如图所示2.平抛运动的两个重要推论(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A2.推导：⎭⎬⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2yAxA→x B＝x A2 (2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α.推导：⎭⎬⎫tan θ＝v y v 0＝gt v 0tan α＝y x ＝gt 2v→tan θ＝2tan α例1．[对平抛运动的理解]如图，这是探究平抛运动规律的一种方法．用两束光分别沿着与坐标轴平行的方向照射物体，在两个坐标轴上留下了物体的两个“影子”，O 点作为计时起点，其运动规律为x ＝3t ，y ＝t ＋5t 2(式中的物理量单位均为国际单位制基本单位)，经1 s 到达轨迹A 点(g ＝10 m/s 2)。