河南省郑州市第一中学_学年高二数学下学期入学考试试题理(PDF)【含答案】

郑州一中19届 高二数学 导数及其应用测试题(3.25)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知函数()f x 在1x =处的导数为1，则(1)(1)3limx f x f x x→--+=( )A ．3B ．23-C ．13D ．32-2．下列求导运算正确的是( ) A ．(cos )sin x x '= B ．1(ln 2)x x'=C ．3(3)3log x x e '=D ．2()2x x x e xe '=3．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则(1)f ＋(1)f '＝( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值5．可化为 ( )A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．D ．错误！未找到引用源。

6．设函数，其中，则导数(1)f '的取值范围是 ( ) A ．[]2,2-B ．[]32，C ．[]23，D ．[]22，7．已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则a 的取值范围为（ ）A ．(1,2)-B ．(3,6)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞D ．(,3)(6,)-∞-+∞8. 曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( )A ．5B ．52C ．53D ．09．设函数()f x 的导函数为()f x '，且2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '=（ ） A ．0 B ．4-C ．2-D ．210. 如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧拉长6cm ，则力所做 的功为（ ）A ．0.28JB ．0.12JC ．0.26JD ．0.18J11．已知,(0,)a b e ∈，且a b <，则下列式子中正确的是（ ） A ．ln ln a b b a <B ．ln ln a b b a >C ．ln ln a a b b >D ．ln ln a a b b <12．已知函数1()ln ln f x x x=+，则下列结论正确的是（ ） A ．若1212,()x x x x <是()f x 的极值点，则()f x 在区间12(,)x x 内是增函数B ．若1212,()x x x x <是()f x 的极值点，则()f x 在区间12(,)x x 内是减函数C ．0x ∀>，且1,()2x f x ≠≥D ．00,()x f x ∃>在0(,)x +∞上是增函数二、填空题．(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上)13.2(2|1|)x dx --=⎰________.14.设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a =．15.函数f (x )=x 2+2x+alnx ，若函数f (x )在(0，1)上单调，则实数a 的取值范围是_. 16. 已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,0)1(=f ,0)()(2>-'x x f x f x (0)x >,则不等式()0f x >的解集是.三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或算法步骤) 17.（本小题满分10分）(Ⅰ) 计算：212()x e dx x-⎰（Ⅱ）2(sin2x dx ππ-+⎰18.（本小题满分12分）已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值.（Ⅰ）讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（Ⅱ）过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程.19.（本小题满分12分）如图所示，已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－x 2＋2ax (a>1)交于点O 、A ，直线x ＝t (0<t ≤1)与曲线C 1、C 2分别相交于点D 、B ，连接OD 、DA 、AB .(Ⅰ)求曲边四边形ABOD (阴影部分)的面积S 与t 的函数关系式S ＝f (t )； (Ⅱ) a ≥2＋22时，求函数S ＝f (t )在区间(0,1]上的最大值．20.（本小题满分12分）设函数1()2ln ().f x x m x m R x=-+∈讨论()f x 的单调性.21.( 本小题满分12分)已知函数f (x )= x -1+x ae(a ∈R ，e 为自然对数的底数). (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值.(Ⅱ)当a=1时，若直线l ：y=kx-1与曲线y=f(x)没有公共点，求k 的最大值.22.已知函数f (x )＝a ln x －x 2＋1（0a ≠）.(Ⅰ)若 f (x )≤0对任意x >0恒成立，求实数a 的取值范围.(Ⅱ)若a 18≤-，对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，都有|f (x 1)－f (x 2)|≥|x 1－x 2|．导数及其应用测试题 参考答案一. BBDCB D D A B D B D二.13.3 14.115. a ≤-4或a ≥0 16.(1,0)(1,)-+∞三.17.(Ⅰ)22ln 2e e --(Ⅱ)原式=2sin 2xdx ππππ--+⎰⎰11sin 428x x ππππ--=-+312π 312ππ=+18.解：（Ⅰ）323)(2-+='bx ax x f ，依题意，0)1()1(=-'='f f ，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a 解得0,1==b a . ∴)1)(1(333)(,3)(23-+=-='-=x x x x f x x x f .令0)(='x f ，得1,1=-=x x .若),1()1,(∞+--∞∈ x ，则0)(>'x f ，故)(x f 在)1,(--∞上是增函数，)(x f 在),1(∞+上是增函数.若)1,1(-∈x ，则0)(<'x f ，故)(x f 在)1,1(-上是减函数.所以，2)1(=-f 是极大值；2)1(-=f 是极小值.（Ⅱ）曲线方程为x x y 33-=，点)16,0(A 不在曲线上.设切点为),(00y x M ，则点M 的坐标满足03003x x y -=.因)1(3)(200-='x x f ，故切线的方程为))(1(30200x x x y y --=- 由点A （0，16）在切线上，有)0)(1(3)3(16020030x x x x --=-- 化简得830-=x ，解得20-=x .所以，切点为)2,2(--M ，切线方程为0169=+-y x .19.(Ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝－x 2＋2ax ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝a 2.∴O (0,0)，A(a ，a 2)．又由已知得B(t ，－t 2＋2at)，D(t ，t 2)，∴S ＝⎠⎛0t (－x 2＋2ax)dx －12t×t 2＋12(－t 2＋2at －t 2)×(a －t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋ax 2⎪⎪t－12t 3＋(－t 2＋at)×(a －t ) ＝－13t 3＋at 2－12t 3＋t 3－2at 2＋a 2t ＝16t 3－at 2＋a 2t .故S ＝f(t)＝16t 3－at 2＋a 2t(0<t≤1)．(Ⅱ)f′(t)＝12t 2－2at ＋a 2，令f′(t)＝0，即12t 2－2at ＋a 2＝0，解得t ＝(2－2)a 或t ＝(2＋2)a . ∵0<t ≤1，a >1，∴t ＝(2＋2)a 应舍去．若(2－2)a ≥1，即a ≥12－2＝2＋22，∵0<t ≤1，∴f ′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增，S 的最大值是f (1)＝a 2－a ＋16.20．()f x 的定义域为(0,)+∞，2221221()1m x mx f x x x x++'=++= 令2()21g x x mx =++，其判别式22444(1)m m ∆=-=-①11m -≤≤时，0,()0g x ∆≤≥，则()0f x '≥，故()f x 在区间(0,)+∞上单调递增②1m >时，0,()0g x ∆>=的两根都小于0，在(0,)+∞上()0g x >，则()0f x '>，故()f x 在区间(0,)+∞上单调递增③1m <-时，0,()0g x ∆>=的两根为12x m x m =--=-+10x x <<时，()0g x >，即()0f x '>；当12x x x <<时，()0g x <，即()0f x '<，()f x 单调递减；当2x x >时，()0g x >，即()0f x '>故()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减. 综上，1m ≥-时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，1m <-时，()f x 在1(0,)x 和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，其中12x m x m =--=-+21. (Ⅰ)由f (x )= x -1+x a e ，得f′错误！未找到引用源。

3 2017-2018学年河南省郑州市第一中学高二下学期入学考试理科数学试题说明：1．本试卷分第I卷（选择题）和第I I 卷（非选择题），满分150 分，考试时间120 分钟．2．将第I卷的答案代表字母和第I I 卷的答案填在答题表（答题卡）中．第Ⅰ卷（选择题，共60 分）一、选择题：本大题共12 小题，每小题5分，共60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．不等式x2 +x - 2 ≥0的解集是（）A．{x | x ≤-2 或x≥1} B．{x | x ≥1}C．{x | x ≤-2}D．{x | -2 ≤x ≤1}2．如果命题p是假命题，命题q是真命题，则下列错误的是（）A．“⌝q ”是真命题B．“p∨q”是真命题C．“⌝p ”是真命题D．“p∧q”是假命题3．命题“∀x ∈R ，e x >x2 ”的否定是（）A．不存在x∈R ，使e x >x2B．∃x0∈R ，使e x0 <x2C．∃x0 ∈R ，使e x0 ≤x2D．∀x ∈R ，使e x≤x24．“2 <m < 5 ”是“方程22125x ym m+=--表示椭圆”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知等比数列{a n}中，a1 =a8 =3，则其前n项和S n 为( )A．(3n-1)2B．n2C．3n D．3n6．已知向量a=(1,0,-1) ，则下列向量中与a成60°夹角的是( )A．(-1,1,0)B．(1,-1,0)C．(0,-1,1)D．(-1,0,1)127．若x , y 满足2-0+30x y x y x ≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩, 则 2x + y 的最大值为( ) A ．0B ．3C ．4D ．58．∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 s in B + sin A (sin C - cos C ) = 0 ，a = 2, c =C = ( )A. 12πB. 6πC.4π D.3π9．若双曲线2222-1x y a b =的一条渐近线方程为 y=3x ，它的一个顶点到较近焦点的距 离为 1，则双曲线的方程为 ()A. 22-179x y =B.22-1169x y = C. 22-197x y = D. 22-1916x y = 10．海洋中有 A , B , C 三座灯塔．其中 A , B 之间距离为 a ，在 A 处观察 B ，其方向是南偏东 40 ，观察 C ，其方向是南偏东 70 ，在 B 处現察 C ，其方向是北偏东 65 ，B , C 之间的距离是 ()A ． a BC ．12 a D．2a 11．已知 F 1、F 2 分别为椭圆2212516x y +=的左、右焦点．若 M 为椭圆上的一点，且∆MF 1 F 2 的内切圆的周长等于 3π，则满足条件的点 M 的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．412．已知 x > 0 ， y > 0 ，且 x + 2 y - xy = 0 ，若 x + 2 y > m 2 + 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围（）A ． (- ∞,-2]⋃ [4,+∞)B ． (- ∞,-4]⋃ [2,+∞)C ． (- 2,4)D ． (- 4,2)3第 II 卷（非选择题，共 90 分）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．13．已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) ，过其焦点且斜率为 -1 的直线交抛物线于 A 、B 两点，若线段 A B 的中点的纵坐标为 -2 ，则 p =．1 14．数列{a n } 满足 a n +1 =1 - a n, a 8 = 2 ，则 a 1 =． 15 ． 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 的 平 面 外 一 点 ， 如 果 AB =(2, -1, -4) ，AD = (4, 2, 0) ， AP = (-1, 2, -1) ．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③ A P 是平面ABCD 的法向量；④ A P // BD ．其中正确的个数是．16．已知函数 f ( x ) = {是．x > 0x 2- 4x , x ≤ 0，若 f ( x ) ≥ ax -1 恒成立，则实数 a 的取值范围三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分 10 分)已知等差数列 {a n }的前 n 项和为 S n ， 且满足 a 3 = 6 ， S 11 = 132（Ⅰ）求 {a n }的通项公式；⎧ 1 ⎫ （Ⅱ）求数列 ⎨ ⎬ 的前n 项和T n ． ⎩ S n ⎭18．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为ρsin 2 θ = 2a cos θ (a > 0) ，过点 P (-2, -4) 的直线 l的参数方程为242x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（ t 为参数），直线l 与曲线 C 相交于 A , B 两点．（Ⅰ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（Ⅱ）若| P A | ⋅ | PB |=| AB |2，求 a 的值．419．（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 A BCD 为矩形，侧面 P AD ⊥底面 A BCD ， A B =， A D = 2 ， P A = PD = 2 ．（Ⅰ）求证： P B ⊥ AC ；（Ⅱ）求二面角 A - PB - C 的余弦值． 20．（本小题满分 12 分）在 ∆ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ，cos A cos B sin C 且 + = ．a b c （I ）证明： s in A sin B = sin C ；（II ）若 b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求 t an B ． 521．（本小题满分 12 分）某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产 x 千．件．，需另投入成本为 C ( x ) ，当年产 量 不 足 80 千 件 时 ， C ( x ) = 1 x 2 + 10 x （万 元 ）． 当 年 产量 不 小 于 80 千 件 时 ， 3C ( x ) = 51 x +10000 x- 1450 （万元），每．件．商品售价为 0．05 万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．（Ⅰ）写出年利润 L (x ) （万元）关于年产量 x （千．件．）的函数解析式；（Ⅱ）年产量为多少千．件．时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？22．（本小题满分 12 分）已知椭圆 C : 2213x y m m+=，直线 l : x + y - 2 = 0 与椭圆 C 相交于 P ，Q 两点，与 x 轴交于点 B ，点 P , Q 与点 B 不重合．（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；（Ⅱ）当 S ∆OPQ = 2 时，求椭圆 C 的方程；（Ⅲ）过原点O作直线l的垂线，垂足为N. 若PN=λBQ ，求λ的值．。

河南省郑州市新郑第一中学高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，bcosA＝acosB ，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形参考答案：C略2. （）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.【详解】根据复数的运算法则得到：.故选：C．【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.3. 给定实数x，定义为不大于的最大整数，则下列结论不正确的是（）A。

B。

C。

是周期函数D。

是偶函数参考答案：D4. 函数的部分图象如图所示，则的值是（）A．4B.2C.D.参考答案：B5. 如图:图①、图②、图③、图④分别包含1、5、13和25个互不重叠的单位正方形，按同样的方式构造图形，则第n个图包含的单位正方形的个数是()A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，寻找规律，可得第个图包含个互不重叠的单位正方形，求和即可得到答案。

【详解】设第个图包含个互不重叠的单位正方形，图①、图②、图③、图④分别包括1，5，13，和25个互不重叠的单位正方形，，，，，由此类推可得：经检验满足条件。

故答案选C【点睛】本题考查归纳推理能力，解题的关键是研究相邻两项的关系得出递推公式，再由累加法法得出第项的表达式，利用等差数列的求和公式即可得出答案，属于中档题。

6. 为了分析高二年级的8个班400名学生第一次考试的数学成绩，决定在8个班中每班随机抽取12份试卷进行分析，这个问题中样本容量是（）A、 8B、400C、96 D 、96名学生的成绩参考答案：C7. 在等差数列{a n}中，，，则公差d=（）A.－1B. 0C. 1D. 2参考答案：C【分析】全部用表示，联立方程组，解出【详解】【点睛】本题考查等差数列的基本量计算，属于基础题。

2017-2018学年下期中考 19届 高二理科数学试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a R ∈，若复数3a i z i -=+（i 是虚数单位）的实部为15，则a 的值为（ ） A ．43 B ．53C ．1D ．-1 2.函数ln 2()x xf x x-=的图象在点(1,2)-处的切线方程为（ ）A ．240x y --=B ．20x y +=C ．30x y --=D ．10x y ++= 3.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于060”时，假设正确的是（ ） A ．假设三内角都不大于060 B ．假设三内角都大于060 C ．假设三内角至多有一个大于060 D ．假设三内角至多有两个大于0604.已知i 为虚数单位，若复数1a iz i+=+（a R ∈）的模为该复数z 倍，则a =（ ） A ．0 B ．-4 C. 1或-1 D ．15.由抛物线2x y =和直线1y =所围成的封闭图形的面积等于（ ） A ．1 B ．43 C. 23 D ．136.函数()f x 的定义域为(,)a b ，导函数'()f x 在(,)a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在(,)a b 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个 C.3个 D ．4个7.（选修4-4：参数方程选讲）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以射线Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是cos sin 0ρθρθ--=，则直线l 与曲线C 相交所得的弦AB 的长为（ ）A B（选修4-5：不等式选讲）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则a 的最小值为（ ）A ．8B ．6 C.4 D ．28.郑州市了为缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末（周六和周日）不限行，某公司有,,,,A B C D E 五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶，已知E 车周四限行，B 车昨天限行，从今天算起，,A C 两车连续四天都能上路行驶，E 车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是（ ）A ．今天是周六B ．今天是周四 C. A 车周三限行 D ．C 车周五限行 9.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在R 单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[1,1]- B ．1[1,]3- C. 11[,]33- D ．1[1,]3--10.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(,1)-∞ C. (0,)+∞ D ．1(0,)211.给出下面类比推理（其中Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集）：①“若,a b R ∈，则0a b -=⇒a b =”类比推出“,a b C ∈，则0a b a b -=⇒=” ②“若,,,a b c d R ∈，则复数,a bi c di a c b d +=+⇒==”类比推出“,,,a b c d Q ∈，则,a c a c b d +=+==”；③“,a b R ∈，则0a b a b ->⇒>”类比推出“若,a c C ∈，则0a b a b ->⇒>”； ④“若x R ∈，则111x x <⇒-<<”类比推出“若z C ∈，则111z z <⇒-<<” 其中类比结论正确的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．412.对于函数()f x 和()g x ，设{()0}m x f x ∈=，{()0}n x g x ∈=，若存在,m n 使得223m n -≤，则称()f x 和()g x 互为“友邻函数”，若函数lg(21)()23x f x e x -=+-与2()25g x x tx t =--+互为“友邻函数”，则实数t 的取值范围是（ ）A ．(,2]-∞B ．9[,)4+∞ C. 9[2,]4D ．[2,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么这个质点在2秒末的瞬时速度是 ．14.有一个奇数列1,3,5,7,9……，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组合含两个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；第四组含四个数{13,15,17,19}……；则观察每组内各数之和()()f n n N ∈与组的编号数n 的关系式为 ．15.（选修4-4：参数方程选讲）以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22(13sin )4ρθ+=，则在直角坐标系下曲线C 的方程为 ．（选修4-5：不等式选讲）若21x y ++=则222x y z ++的最小值为 ．16.定义在R 上的函数()f x 满足：'()1()f x f x >-，(0)6f =，'()f x 是()f x 的导函数，则不等式()5xxe f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （1）设1z i =+（i 是虚数单位），求22z z+的值. （2）设,x y R ∈，复数z x yi =+，且满足23()2iz z z i i-++=+，试求,x y 的值.18. 求由曲线y =2y x =-，13y x =-所围成的封闭图形的面积.19. 已知3335311111()12345f n n =++++++，231()22g n n=-，*n N ∈（1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()f n 的大小关系，并给出证明.20. 设函数3()65f x x x =-+，x R ∈.（1）若关于x 的方程()f x a =有3个不同实根，求实数a 的取值范围； （2）已知当(1,)x ∈+∞时，()(1)f x k x ≥-恒成立，求实数k 的取值范围. 21. 已知函数()(ln 1)f x x k x =--（k R ∈）. （1）当1x >时，求()f x 的单调区间和极值；（2）若12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：212kx x e <请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为6sin ρθ=.（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点,A B ，求AB 的最小值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知不等式2342x x a -+-<. （1）若1a =，求不等式的解集；（2）若已知不等式的解集不是空集，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: CCBAB 6-10: ACBCD 11、12：BD 二、填空题13. 0 14. 3()f n n = 15. （选修4-4）2214x y += ；（选修4-5）1816. (0,)+∞ 三、解答题17.（1）2222(1)1211z i i i i z i+=+=-+=++ （2）将z x yi =+代入23()2i z z z i i-++=+，得2221x y xi i ++=-∴22121x y x ⎧+=⎨=-⎩，∴12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 18.解：130111)(2)33x dx x x dx +-+⎰⎰ 32221321121()(2)0133232x x x x =+∙+-∙214133636=++= 19.解：（1）当1n =时，()1f x =，231(1)1221g =-=⨯，所以(1)(1)f g =； 当2n =时，319(2)128f =+=，23111(2)2228g =-=⨯，所以(2)(2)f g <； 当3n =时，3311251(3)123216f =++=，23113(3)2239g =-=⨯，所以(3)(3)f g < （2）由（1）猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明. ①当1n =时，不等式显然成立. ②假设当n k =*()k N ∈时不等式成立.即33332111131123422k k +++++≤-⨯ 那么，当1n k =+时，3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+≤-+++因为22332321113131[]02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++ 所以231(1)(1)2(1)f k g k k +<-=++ 由①②可知，对一切*n N ∈，都有()()f n g n ≤成立.20.解：（1）'2()3(2)f x x =-，令'()0f x =，得1x =2x =∴当x <x >'()0f x >；当x <<时，'()0f x <，∴()f x 的单调递增区间是(,-∞和)+∞，单调递减区间是(当x =()f x 有极大值5+当x =()f x 有极小值5-可知()y f x =图象的大致形状及走向∴当55a -<<+y a =与()y f x =的图象有3个不同交点，即当55a -<<+()f x α=有三解. （2）()(1)f x k x ≥-即2(1)(5)(1)x x x k x -+-≥- ∵1x >，∴25k x x ≤+-在(1,)+∞上恒成立.令2()5g x x x =+-，由二次函数的性质，()g x 在(1,)+∞上是增函数， ∴()(1)3g x g >=-，∴所求k 的取值范围是3k ≤- 21.解：（1）'1()ln 1ln f x x x k x k x=∙+--=-， ①0k ≤时，因为1x >，所以'()ln 0f x x k =->函数()f x 的单调递增区间是(1,)+∞，无单调递减区间，无极值；②当0k >时，令ln 0x k -=，解得kx e =，当1k x e <<时，'()0f x <；当kx e >，'()0f x >.所以函数()f x 的单调递减区间是(1,)ke ，单调递增区间是(,)ke +∞，在区间(1,)+∞上的极小值为()(1)k k kf e k k e e =--=-，无极大值.（2）因为12()()f x f x =，由（1）知，函数()f x 在区间(0,)ke 上单调递减， 在区间(,)ke +∞上单调递增，不妨设12x x <，则120kx e x <<<，要证212kx x e <，只要证221k e x x <，即证221k ke e x x <<因为()f x 在区间(,)ke +∞上单调递增，所以221()()ke f x f x <，又12()()f x f x =，即证211()()ke f x f x <，构造函数222()()()(ln 1)(ln 1)k k ke e e h xf x f x k x k x x x=-=-----， 即2ln 1()ln (1)()kx k h x x x k x e x x-=-++-，(0,)k x e ∈. 22'22221ln 1()()ln 1(1)()(ln )k kx k x e h x x k e x k x x x ---=+-+++=-，因为(0,)kx e ∈，所以ln 0x k -<，22kx e <，即'()0h x >，所以函数()h x 在区间(0,)ke 上单调递增，故()()kh x h e <，而2()()()0kkkk e h e f e f e=-=，故()0h x <，所以211()()k e f x f x <，即2211()()()ke f x f x f x =<，所以212k x x e <成立.22.解：（1）由6sin ρθ=得26sin ρρθ=，化为直角坐标方程为226x y y +=，即22(3)9x y +-=所以圆C 的直角坐标方程为22(3)9x y +-=.（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(cos sin )70t t αα+--=， 由已知得2(2cos 2sin )470αα∆=-+⨯>，所以可设12,t t 是上述方程的两根，则12122(cos sin )7t t t t αα+=--⎧⎨=-⎩，12AB t t =-===≥=所以AB的最小值为23.解：（1）当1a =时，不等式即为2342x x -+-<， 若4x ≥，则3102x -<，4x <，∴舍去； 若34x <<，则22x -<，∴34x <<； 若3x ≤，则1032x -<，∴833x <≤ 综上，不等式的解集为8{4}3xx <<. （2）设()234f x x x =-+-，则310,4()2,34103,3x x f x x x x x -≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤⎩作出函数()f x 的图象，如图所示： 由图象可知，()1f x ≥ ∴21a >，12a >，即a 的取值范围为1(,)2+∞。

河南省平顶山市第一中学2021-2021学年高二数学下学期开学考试试题 理第一卷一、选择题：共12小题，每题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的一项．1．复数z ＝(tan θ－3)i －1i ，那么“θ＝π3〞是“z 是纯虚数〞的( )A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2. “干支纪年法〞是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干〞，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支〞．“天干〞以“甲〞字开始，“地支〞以“子〞字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、…、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，…、癸亥，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2021年是“干支纪年法〞中的己亥年，那么2026年是“干支纪年法〞中的( )A ．甲辰年B ．乙巳年C ．丙午年D ．丁未年3. 某面粉供给商所供给的某种袋装面粉质量(单位：kg)服从正态分布N (10,0.12)，现抽取500袋样本，X 表示抽取的面粉质量在区间(10,10.2)内的袋数，那么X 的数学期望约为( )注：假设Z ～N (μ，σ2)，那么P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. A ．171 B ．239 C ．341 D ．4774．假设不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4的解集非空，那么实数m 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－3,5]C ．[－5,3]D ．[3,5]5．某次联欢会要安排3个歌舞类节目, 2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，那么同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B.120C.144D.168 6．由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为〔 〕A ．B ．4C ．D ．67. 等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，那么(0)f '=A ．62B ．92C ．122D ．1528. 函数2()sin 2cos f x x x x x =+，(2,2)x ππ∈-，那么其导函数'()f x 的图象大致是〔 〕A. B.C. D.9．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a x ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 5的展开式中各项系数的和为2，那么该展开式中常数项为( )A ．－80B ．－40C ．40D ．8010. 甲、乙、丙、丁、戊和己6人围坐在一张正六边形的小桌前，每边各坐一人．：①甲与乙正面相对；②丙与丁不相邻，也不正面相对．假设己与乙不相邻，那么以下选项正确的选项是( ) A ．假设甲与戊相邻，那么丁与己正面相对 B ．甲与丁相邻C ．戊与己相邻D ．假设丙与戊不相邻，那么丙与己相邻11.假设关于x 的不等式0xxe ax a -+<的解集为(,)m n 〔0n <〕，且(,)m n 中只有一个整数，那么实数a 的取值范围是〔 〕 A ．221(,)3e e B ．221[,)3e e C ．221(,)32e e D ．221[,)32e e12．定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，假设()0f x <，且()'()2112f x f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭，那么〔 〕A ．()()22213f f e < B ．()()21f f e < C ．()()2212f f e< D ．()()231f e f <⋅ 二、填空题〔共4小题，每题5分，总分值20分〕13．抛掷一个骰子，假设掷出5点或6点就说试验成功，那么在3次试验中恰有2次成功的概 率为__________.14．观察以下等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 …照此规律，第n 个等式为 ． 15．随机变量ξ的取值为0,1,2，假设()105P ξ==，()1E ξ=，那么(21)D ξ+=________. 16．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，那么以下结论中正确的选项是 〔写出所有正确结论的编号〕．①；②； ③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P〔B 〕的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．三、解答题〔共6小题，总分值70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 17．〔本小题总分值10分〕选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C :2x =-，圆2C ：()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.〔Ⅰ〕求1C ，2C 的极坐标方程；〔Ⅱ〕假设直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积18．〔此题总分值12分〕有一款击鼓小游戏规那么如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得50分，没有出现音乐那么扣除150分(即获得－150分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓是否出现音乐相互独立．(1)玩一盘游戏，求至少出现一次音乐的概率； (2)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(3)许多玩过这款游戏的人都发现，玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析其中的道理．19．〔此题总分值12分〕A 市积极倡导学生参与绿色环保活动，其中代号为“环保卫士——12369〞的绿色环保活动小组对2021年1月——2021年12月〔一年〕内空气质量指数API 进行监测，下表是在这一年随机抽取的100天的统计结果：〔1〕假设A 市某企业每天由空气污染造成的经济损失P 〔单位：元〕与空气质量指数API 〔记为t 〕的关系为：0,01004400,1003001500,300t P t t t ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，在这一年内随机抽取一天，估计该天经济损失(]200,600P ∈元的概率；〔2〕假设本次抽取的样本数据有30天是在供暖季节，其中有8天为重度污染，完成22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为A 市本年度空气重度污染与供暖有关？下面临界值表供参考．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．20. (本小题总分值12分) “既要金山银山，又要绿水青山〞。

一中2019-2020学年下学期高二期末复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·遵化期中]i 是虚数单位，复数1i z =+，则22z z+=（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i +D ．1i -2．[2018·潍坊检测]观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，L ，则88a b +=（ ）A ．18B ．29C ．47D ．763．[2018·牡丹江一中]若()42f x x x=-，则()1f '等于（ ） A ．1-B ．2C ．3D ．64．[2018·伊春二中]4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人限报其中的1科，不同的报名方法种数（ ） A ．24B ．4C ．34D ．435．[2018·山东师范附中]在二项式521x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含4x 的项的系数是（ ）A ．10-B ．10C ．5-D ．5此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号6．[2018·重庆期末]根据如下样本数据：x 3 5 7 9 y6a32得到回归方程 1.412.ˆ4yx =-+，则（ ） A ．5a =B ．变量x 与y 线性正相关C ．当11x =时，可以确定3y =D ．变量x 与y 之间是函数关系7．[2018·棠湖中学]已知随机变量ξ服从正态分布()20N σ,，若()20.023P ξ>=， 则()22P ξ≤≤=﹣（ ） A ．0477.B ．0625.C ．0954.D ．0977.8．[2018·济南一中]下列关于函数()()22e x f x x x =-的判断正确的是（ ） ①()0f x >的解集是{}|02x x <<； ②()2f -极小值，()2f是极大值；③()f x 没有最小值，也没有最大值． A ．①③B ．①②③C ．②D ．①②9．[2018·重庆一模]如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）种A ．120B ．260C ．340D ．42010．[2018·西城14中]口袋中装有大小、轻重都无差别的5个红球和4个白球，每一次从袋中摸出2个球，若颜色不同，则为中奖．每次摸球后，都将摸出的球放回口袋中，则3次摸球恰有1次中奖的概率为（ ） A ．80243B ．100243C ．80729D ．10072911．[2018·赤峰二中]口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0，1，2，3，4，从中任取3个球，以ξ表示取出球的最小号码，则E ξ=（ ） A ．045.B ．05.C ．0.55D ．0.612．[2018·天津一中]已知定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x <'，且()02f =，则不等式）A ．(),0-∞B ．()0,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·黑龙江期中]若复数()()3i 2i a -+是纯虚数，则实数a =___________． 14．[2018·长春十一中]已知下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③在回归直线方程ˆ0.52y x =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少05．个单位；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越大．其中正确命题的序号是__________．15．[2018·三明质检]设()9210012101241b x x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭L ，则10120210222a a aa ++++=L _______．16．[2018·福建师范附中]已知函数()()1ln f x x a x a x=-+∈R 在其定义域上不单调，则a 的取值范围是__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·辽宁实验中学]已知()*n ∈N ，在()2nx +的展开式中，第二项系数是第三项（1）求展开式中二项系数最大项；（2）若()()()()20122111nnn x a a x a x a x +=+++++++L ， 求①12n a a a +++L 的值；②122n a a na +++L 的值．18．（12分）[2018·大庆实验中学]已知函数()2ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）若1a =，求曲线()y f x =在点()()11f ,处的切线方程； （2）若函数()f x 在[]13,上是减函数，求实数a 的取值范围；19．（12分）[2018·牡丹江一中]5月14日，第一届“一带一路”国际高峰论坛在北京举行，为了解不同年龄的人对“一带一路”关注程度，某机构随机抽取了年龄在1575-岁之间的100人进行调查，经统计“青少年”与“中老年”的人数之比为9:11．（1）根据已知条件完成上面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为关注“一带一路”是否和年龄段有关？（2）现从抽取的青少年中采用分层抽样的办法选取9人进行问卷调查．在这9人中再选取3人进行面对面询问，记选取的3人中关注“一带一路”的人数为X，求X的分布列及数学期望．，其中c d=+++．n a b临界值表：20．（12分）[2018·孝感八校]现有5名男生、2名女生站成一排照相，（1）两女生要在两端，有多少种不同的站法？（2）两名女生不相邻，有多少种不同的站法？（3）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？21．（12分）[2018·榆林模拟]2018年2月22日，在韩国平昌冬奥会短道速滑男子500米比赛中，中国选手武大靖凭着连续打破世界纪录的优异表现，为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌，也创造了中国男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破．根据短道速滑男子500米的比赛规则，运动员自出发点出发进入滑行阶段后，每滑行一圈都要依次经过4个直道与弯道的交接口()1,2,3,4k A k =．已知某男子速滑运动员顺利通过每个交接口的概率均为34，摔倒的概率均为14．假定运动员只有在摔倒或到达终点时才停止滑行，现在用X 表示该运动员滑行最后一圈时在这一圈内已经顺利通过的交接口数．（1）求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过3个交接口的概率；（2）求X的分布列及数学期望()E X．22．（12分）[2018·福建师范附中]设函数()()=-+，()a∈R，f x x a xln1（1）讨论函数()f x的单调性；（2）当函数()a-时，求a的取值范围．f x有最大值且最大值大于31理科数学答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C【解析】由复数1i z =+，可得()()2221i 221i 12i 12i 1i 1i 1i 11z z -+=++=+-+=+-=+++． 故选C ． 2．【答案】C【解析】1a b +=Q ，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，L ，∴通过观察发现，从第三项起，等式右边的常数分别为其前两项等式右边的常数的和，6611718a b ∴+=+=，77181129a b +=+=，88291847a b +=+=．故选C ．3．【答案】D 【解析】()42f x x x =-Q ，()3224f x x x∴=+'，()1426f '∴=+=．故选D ． 4．【答案】D【解析】根据题意，4名同学分别报名参加数、理、化竞赛，每人都有3种选择方法， 则不同的报名方法种数有433333⨯⨯⨯=种．故选D ． 5．【答案】B【解析】根据所给的二项式写出展开式的通项()()521031551C 1C rrr rr rr T x x x --+⎛⎫=-=-⋅ ⎪⎝⎭， 令1034r -=，解得2r =，解得()224351C 10T x =-⋅=，即4x 的系数为10．故选B ．6．【答案】A【解析】由题意可得，357964x +++==，6321144a ay ++++==，回归方程过样本中心点，则11 1.4612.44a +=-⨯+，求解关于实数a 的方程可得5a =，由 1.40ˆb=-<可知变量x 与y 线性负相关；当11x =时，无法确定y 的值；变量x 与y 之间是相关关系，不是函数关系．故选A ． 7．【答案】C【解析】由题意可知正态分布的图象关于直线0x =对称，则()()220023P P ξξ<=>=.，8．【答案】D【解析】由()()2202e 02002x f x x x x x x >⇒->⇒->⇒<<，故①正确；()()2e 2x f x x '=-，由()0f x '=得x =()0f x '<得x >x <， 由()0f x '>得x <()f x ∴的单调减区间为(,-∞和)+∞，单调增区间为(．()f x ∴的极大值为f，极小值为(f ，故②正确；x <Q 时，()0f x <恒成立．()f x ∴无最小值，但有最大值f，故③不正确．故选D ． 9．【答案】D【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同， 则共有5431354322180240420⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+=．故选D ． 10．【答案】A【解析】每次摸球中奖的概率为114529C C 20536C 9==，由于是有放回地摸球， 故3次摸球相当于3次独立重复实验， 所以3次摸球恰有1次中奖的概率2135580C 199243P ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭．故选A ． 11．【答案】B【解析】()2435C 305C P ξ===，()2335C 3110C P ξ===，()3511210C P ξ===，331101205510102E ξ=⨯+⨯+⨯==.．故选B ． 12．【答案】B ，从而()F x 为R 上的单调增函数，即为()2F x >，从而其解集为()0,+∞．故选B ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】23-【解析】()()()3i 2i 326i a a a -+=++-为纯虚数，则320 60a a +=-⎧⎨⎩≠，解得23a =-． 故答案为23-．14．【答案】①②③【解析】①相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于1，表示回归效果越好，是正确的；②两个变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值就越接近于1，是正确的；③在回归直线方程0.ˆ52x y =-+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量ˆy 平均减少05．个单位是正确的，因为回归方程，并不是样本点都落在方程上，故只能是估计值，所以说是平均增长；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 说，k 越小，“X 与Y 有关系”的把握程度越小，故原命题错误； 故答案为①②③． 15．【答案】5【解析】由题易知()999b C 11=⨯-=-，令12x =，可得1012021032b 222a a a a =+++++L ， 101202105222a a a a ∴++++=L ．故答案为5． 16．【答案】2a >【解析】()()1ln 0f x x a x x x =-+>Q ，()211a f x x x∴=--+'．①若函数()f x 在()0+∞,上单调递增，则()2110af x x x=--+≥'在()0,+∞上恒成立，1a x x ∴≥+在()0,+∞上恒成立，由于1y x x=+在()0,+∞上无最大值， ∴函数()f x 在()0+∞,上不单调递增．②若函数()f x 在()0+∞,上单调递减，则()2110af x x x =--+≤'在()0+∞,上恒成立，1a x x ∴≤+在()0+∞,上恒成立，又因为12x x +≥，所以当且仅当1x x=，即1x =时等号成立，2a ∴≤．综上可得，当函数()f x 在其定义域上不单调时，实数a 的取值范围是()2+∞,．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）333346C 2160T x x ==；（2）63；192． 【解析】（1，解得6n =，∴展开式中二项式系数最大项为333346C 2160T x x ==．（2）①()()()()()66260126211111x x a a x a x a x ⎡⎤⎣+=++=+++++++⎦L ， 令0x =，得6016264a a a +++==L ，又令1x =-，得01a =． 1263n a a a +++=L ，②()()()()()66260126211111x x a a x a x a x ⎡⎤+=++=+++++++⎣⎦L ， 两边求导，得()()()511262211n n x a a x na x -+=+++++L ，令0x =，得122192n a a na +++=L ．18．【答案】（1）20x y -=；（2）173⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,．【解析】（1）当1a =时，()2ln f x x x x =+-，所以()121f x x x+'=-，()12f '=， 又因为()12f =，所以曲线()y f x =在点()()11f ,处的切线方程为20x y -=．（2）因为函数在[]13,上是减函数，所以()212120x ax f x x a x x+-'=+-=≤在[]13,上恒成立． 做法一：令()221h x x ax =+-，有()()1030h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩，得1173a a ≤-⎧⎪⎨≤-⎪⎩．故173a ≤-．∴实数a 的取值范围为173⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,．做法二：即2210x ax +-≤在[]13,上恒成立，则12a x x≤-在[]13,上恒成立， 令()12h x x x =-，显然()h x 在[]13,上单调递减，则()()min 3a h x h ≤=，得173a ≤-． ∴实数a 的取值范围为173⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,．19．【答案】（1）有99%的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关；（2）()1E X =．【解析】（1）依题意可知抽取的“青少年”“中老年”共有1004555-=人．完成的22⨯列联表如：()2 6.6350.01P K >=Q ，9.091 6.635>，∴有99%的把握认为关注“一带一路”和年龄段有关． （2）根据题意知，选出关注的人数为3，不关注的人数为6，在这9人中再选取3人进行面对面询问，X 的取值可以为0，1，2，3，则，，， 所以X 的分布列为：20．【答案】（1）240；（2）3600；（3）3720．【解析】（1）两端的两个位置，女生任意排，中间的五个位置男生任意排，2525A A 240⋅=（种）． （2）把男生任意全排列，然后在六个空中（包括两端）有顺序地插入两名女生，5256A A 3600⋅=（种）．（3）采用去杂法，在七个人的全排列中，去掉女生甲在左端的66A 个，再去掉女生乙在右端的66A 个，但女生甲在左端同时女生乙在右端的55A 种排除了两次，要找回一次．765765A 2A A 3720∴-+=（种）． 21．【答案】（1）27256；（2）见解析． 【解析】（1）由题意可知3312744256P ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭．（2）X 的所有可能值为0，1，2，3，4． 则()()31,2,3,44k P A k ==，且1A ，2A ，3A ，4A 相互独立． 故()()1104P X P A ===，()()1231314416P X P A A ==⋅=⨯=， ()()212331924464P X P A A A ⎛⎫==⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭，()()312343127344256P X P A A A A ⎛⎫==⋅⋅⋅=⨯= ⎪⎝⎭，()()4123438144256P X P A A A A ⎛⎫==⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭．从而X 的分布列为：()13927815250123441664256256256E X ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． 22．【答案】（1）见解析；（2）()10-,．【解析】（1）()()ln 1(0)f x x a x x =-+>Q ，()()()1111a x f x a x x-+'∴=-+=． ①当10a +≤，即1a ≤-时，()0f x '>，∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增． ②当10a +>，即1a >-时，令()0f x '=，解得11x a =+， 当101x a <<+时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当11x a >+时，()0f x '<，()f x 单调递减． 综上，当1a ≤-时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当1a >-时，函数()f x 在10,1a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭上单调递增，在1,1a ⎛⎫+∞⎪+⎝⎭上单调递减． （2）由（1）得若1a ≤-，则()f x 单调递增，无最值．若1a >-，则当11x a =+时，()f x 取得最大值，且()max 11ln111f x f a a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． Q 函数()f x 的最大值大于31a -，1ln1311a a ∴->-+，即()ln 130a a ++<， 令()()()ln 131g a a a a =++>-，则()g a 在()1-+∞,上单调递增， 又()00g =，∴当10a -<<时()()00g a g <=， 故a 的取值范围为()10-,．。

2018-2019学年河南省郑州市第一中学高二下学期开学考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}R12,1,0,1,2,|02x A B x x -⎧⎫=--=≥⎨⎬+⎩⎭ð，则A B =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0-C ．{}2,1,0--D ．{}0,1,2【答案】C【解析】由已知，可得R {|1B x x =≥ð或}2x <-，{}|21B x x ∴=-≤<，又{}{}2,1,0,1,2,2,1,0A A B =--∴⋂=--Q ，故选C.2．用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60︒”时，反设正确的是（ ）A ．假设三内角都不大于60︒B ．假设三内角都大于60︒C ．假设三内角至多有一个大于60︒D ．假设三内角至多有两个小于60︒【答案】B【解析】根据命题的否定是否定结论，且至少有一个的反面，是一个也没有，由此可得到答案． 【详解】证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60︒”时， 应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60︒”的否定是：三角形的三个内角都大于60︒. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查求一个命题的否定，用反证法证明数学命题，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()112,1N n n a a S n *+==+∈，则5S= （ ）A ．31B ．42C ．37D ．47【答案】D【解析】由11n n a S +=+ , ① 可得()112n n a S n -=+≥, ② ①-②得12n n a a +=，又()4211531213,2,24712a S a S ⨯-=+==∴=+=-Q ，故选D.4．在ABC ∆中，()2,0B-，()2,0C ，(),A x y ，给出ABC ∆满足条件，就能得到动点A 的轨迹方程下表给出了一些条件及方程：则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为（ ） A ．3C ，1C ，2C B ．1C ，2C ，3CC ．3C ，2C ，1CD ．1C ，3C ，2C【答案】A【解析】①中可转化为A 点到B 、C 两点距离之和为常数，符合椭圆的定义，利用定义法求轨迹方程；②中利用三角形面积公式可知A 点到BC 距离为常数，轨迹为两条直线；③中90A ∠=︒，可用斜率或向量处理. 【详解】解：①ABC ∆的周长为10，即10AB AC BC ++=，4BC =Q ，6AB AC BC ∴+=>，故动点A 的轨迹为椭圆，与3C 对应；②ABC ∆的面积为10，1102BC y ∴⋅=，即5y =，与1C 对应； ③90A ∠=︒Q ，()()222,2,40AB AC x y x y x y ∴⋅=---⋅--=+-=uu u r uu u r，与2C 对应..故选：A. 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直接法、定义法求轨迹方程，是基础题.5．(2017安徽黄山二模)已知a=1⎰(x 2-1)d x ,b=1-log 23,c=cos5π6,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a<b<c B ．c<a<bC ．a<c<bD ．b<c<a【答案】B【解析】∵a=1⎰(x 2-1)d x=1311-?33x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭-1=-23≈-0.667, b=1-log 23=1-lg3lg2≈-0.58, c=cos5π6=-3≈-0.866,∴c<a<b ,故选B .6．在区间[0,8]上随机取一个x 的值，执行如下的程序框图，则输出3y ≥的概率为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【答案】A【解析】解：由条件知，当0≤x≤6，2x ﹣1≥3，解得2≤x≤6；当6＜x≤8时，33x≥，无解，∴输出的y≥3的概率为12. 点睛：利用分段函数，求出输出的y≥3时，x 的范围，以长度为测度求出相应的概率． 7．过圆锥顶点的平面截去圆锥一部分，所得几何体的三视图如图所示，则原圆锥的体积为（ ）A ．1B ．23π C ．43π D ．83π 【答案】D【解析】由已知中的三视图，圆锥母线5322l =+=，圆锥的高512h =-=，圆锥底面半径为312r =+=，故原圆锥的体积为11842333V Sh ππ==⨯⨯=，故选D.8．已知m >1，x ，y 满足约束条件405001x y mx y m x -+≥⎧⎪-+-≤⎨⎪≤≤⎩若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为3，则1a ＋2b（ ） A ．有最小值11210+ B ．有最大值11210+ C ．有最小值11210- D ．有最大值11210- 【答案】A【解析】直线50mx y m -+-=，过40x y -+=上的定点()1,5A ，画出40{5001x y mx y m x -+≥-+-≤≤≤表示的可行域，如图，由图知z ax by =+过()1,5A 时，最大值为53a b +=，所以()1211253a b a b a b ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭152111133b a a b +⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，故选A. 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键.9．已知,,P A B 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且,A B 关于原点对称，若直线,PA PB 的斜率乘积34PA PB k k =，则该双曲线的离心率是（ ） A ．2 BCD．【答案】C【解析】由题意，设1111(,),(,),(,)P x y A x y B x y --，则22221122221,1x y x y a b a b-=-=，即2222221122(1),(1)x x y b y b a a=-=-，因为34PA PB k k =，所以222122222111222221111[(1)(1)34x x b y y y y y y b a a x x x x x x x x a ----+-⋅====-+--，则该双曲线的离心率为c e a ==== C. 点睛：在处理圆锥曲线问题或直线和圆锥曲线的位置关系时，往往利用“设而不求”的思想进行处理，如本题中设出点的坐标，但没有求点的坐标，只是利用其横纵坐标间的关系进行求解.10．已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ） A ．11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -Q 是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y +=Q ， ② ①-②得():221AB m x my -+=，可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 11．函数()()()ln 0{0x x f x x x >=--≤与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(],32ln 2-∞- B ．[)32ln 2,-+∞ C ．),e ⎡+∞⎣ D ．(,e ⎤-∞-⎦【答案】B【解析】要使函数与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，只需()g x 关于y 轴的对称的函数()()112h x x a =-+图象与()y f x =的图象有交点即可，即设()112y x a =-+与ln y x =相切时，切点为()00,ln x x ，则0011,22x x ==，又点()2,ln 2与1,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭两点连线斜率1ln 212.32ln 222a a -=∴=--，由图知a 的取值范围是[)32ln 2,-+∞时，函数()()112h x x a =-+图象与()y f x =的图象有交点，即a 范围是[)32ln 2,-+∞时，函数()()()ln 0{0x x f x x x >=--≤与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，故选B.【思路点睛】本题主要考查数学解题过程中的数形结合思想和化归思想，导数以及直线斜率的灵活应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形相互转化来解决数学问题，这种思想方法在解题中运用的目的是化抽象为直观，通过直观的图像解决抽象问题，尤其在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效，大大提高了解题能力与速度. 12．将函数3sin 4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()3sin 4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ ）A ．13B ．23C ．13+D ．23-+【答案】D【解析】将函数3sin 4y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数3sin ()4y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭得34ϕπ=，由图可知：(3),(3,3)M N --,MON △中，利用余弦定理可得：2223cos 283OM ON MN OM ON θ+-===⋅,150θ︒=,所以：()tan ϕθ-=tan 45tan 30tan (15)tan (4530)231tan 45tan 30︒︒︒︒︒︒︒--=--=-=-++点睛：根据平移规则求出ϕ，然后根据三角想余弦定理可求出θ，再根据三角和差公式进行求解即可，要注意计算的准确性.二、填空题13．已知1,1,222a b a b ⎛==+= ⎝⎭r r r r，则b r 在a r 方向上的投影为__________． 【答案】14-【解析】1,1,222a b a b ⎛==+= ⎝⎭r r Q r r ，得()2244?cos ?4b a a b a b ++=r r rr r r ，将1,1a b ==r r 代入上式，得b r 在a r 方向上的投影为1cos ,4b a b 〈〉=-r rr ，故答案为14-.14．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有()()22f x xf x x '+>，则不等式()()()22016201610x f x f ++-->的解集_____．【答案】(),2017-∞-【解析】令()()2g x x f x =，因为()()22f x xf x x '+>，且0x <，所以()()()()()23220g x xf x x f x x f x xf x x ⎡⎤=+=+<<⎣⎦'''，即函数()()2g x x f x =在(),0-∞上单调递减，因为()()()22016201610x f x f ++-->，即()()()()222016201611x f x f ++>-⨯-，所以20161x +<-，即2017x <-，即不等式的解集为(),2017-∞-.点睛：处理本题的关键是合理利用()()22f x xf x x '+>和()()()22016201610x f x f ++-->的形式，恰当地构造函数，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法. 15．从抛物线214y x =上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且5PM =.设抛物线的焦点为F ，则MPF ∆的面积为______. 【答案】10【解析】先设处P 点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P 点横坐标，代入抛物线方程求得P 的纵坐标，进而利用三角形面积公式求得答案. 【详解】抛物线24x y =上一点P 引抛物线准线的垂线， 设()00,P x y依题意可知抛物线准线1y =-，0514y ∴=-=.04x ∴=，MPF ∴∆的面积为：011||541022PM x =⨯⨯=. 故答案为：10. 【点睛】本题主要考查了抛物线的应用.解题的关键是灵活利用了抛物线的定义. 16．设()A n 表示正整数n 的个位数，()()2,n a A nA n A =-为数列{}na 的前202项和，函数()1xf x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()N n b g n n *=∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】2332nn n +-+ 【解析】由题意得，1234560,2,6,2,0,0a a a a a a ======，7891011122,4,8,0,0,2a a a a a a ==-=-===，…, 可得{}n a 是周期为10的周期数列，12310...0a a a a ++++=，前202项和为122a a +=，即2A =，()1x f x e e =-+Q 单调递增，且()()111,1Ax f g x Ax -=∴-=，()()21211,122n x nx n g x b g n --=+==+，()211113...21,222n n S n n =⨯+⨯++-⨯+，设()211113 (21222)n n T n =⨯+⨯++-⨯，()()211111113 (232122222)n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯， 相式()21111112...22122222n n n T n +=+⨯++⨯--⨯，可得23233,322n n n n T S n n n ++=-=-+，故答案为2332n n n+-+.【方法点晴】本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决数列与函数的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的函数问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知交汇点上命题的特点.本题是将函数的单调性、数列的周期性和特殊数列求和综合起来命题，也正体现了这种命题特点.三、解答题17．ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，向量m =r，(cos 1,sin )n A A =+r ，且m n ⋅r r的值为2.（1）求A ∠的大小； （2）若a =cos B =ABC ∆的面积. 【答案】(1)6A π=;(2)2. 【解析】试题分析：(1)由·2m n =r r可得sin 13A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，从而可得结果；（2）在ABC ∆中，由cos B =，得sin B =，又由正弦定理sin sin a b A B =，解得b =故b的长为试题解析：(1)·sin 2sin 3m n A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭r r Q ,sin 136A A ππ⎛⎫∴+=⇒= ⎪⎝⎭.(2)cos sin B B =∴=由sin sin b a B A =得312b ==())1sin sin cos cos sin 22ABC S ab C A B A B A B ∆∴==+=+=+.18．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，面PAD ⊥底面ABCD ，且PAD ∆是边长为2的等边三角形，PC M =在PC 上，且PA P 面MBD .（1）求证:M 是PC 的中点；（2）在PA 上是否存在点F ，使二面角F BD M --为直角？若存在，求出AFAP的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 见解析;(2)38AF AP =. 【解析】试题分析：(1)连AC 交BD 于E 可得E 是AC 中点，再根据PA P 面MBD 可得,PA ME P 进而根据中位线定理可得结果；(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求出面MBD 的一个法向量n r ，用λ表示面FBD 的一个法向量m u r ，由·0n m =r r可得结果.试题解析：(1)证明：连AC 交BD 于E ，连.ME ABCD Q 是矩形，E ∴是AC 中点.又PA P 面MBD ，且ME 是面PAC 与面MDB 的交线，,PA ME M ∴∴P 是PC 的中点.(2)取AD 中点O ，由（1）知,,OA OE OP 两两垂直. 以O 为原点，,,OA OE OP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图），则各点坐标为()()()()()1331,0,0,1,3,0,1,0,0,1,3,0,0,0,3,,,22A B D C P M ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭.设存在F 满足要求，且AFAPλ=，则由AF AP λ=u u u r u u u r 得：()1,0,3F λλ-，面MBD 的一个法向量为231,,3n r ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，面FBD 的一个法向量为21,,33m λ⎛=- ⎪⎝⎭r ，由·0n m r r=，得421093λλ-++=，解得38λ=，故存在F ，使二面角F BD M --为直角，此时38AF AP =. 19．设数列{}n a 的前n 项和n S ，()*111,1,1n n a a S n N λλ+==+∈≠-，且123,2,3a a a +为等差数列{}n b 的前三项．（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和．【答案】（1）12n n a -=，；（2）()3525nn T n =-⋅+.【解析】试题分析：（1）依据题设条件建立方程求解；（2）借助题设条件运用错位相减法求解. 试题解析:（1）解法1：∵()11n n a S n N λ*+=+∈，∴()112n n a S n λ-=+≥ ∴，即()()11,2,10n n a a n λλ+=+≥+≠，又1211,11a a S λλ==+=+，∴数列{}n a 为以1为首项，公比为1λ+的等比数列， ∴()231a λ=+，∴()()241113λλ+=+++，整理得，得1λ=∴12n n a -=，()13132n b n n =+-=-解法2：∵()111,1n n a a S n Nλ*+==+∈，∴()2213211,111121a S a S λλλλλλλ=+=+=+=+++=++， ∴()2411213λλλ+=++++，整理得，得1λ=∴()11n n a S n N*+=+∈，∴()112n n a S n -=+≥∴1n n n a a a +-=，即()122n n a a n +=≥， 又121,2a a ==∴数列{}n a 为以1为首项，公比为2的等比数列，∴12n n a -=，()13132n b n n =+-=-（2）()1322n n n a b n -=-⋅∴()121114272322n n T n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅①∴()()12312124272352322n n n T n n -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅②①-②得()12111323232322n n n T n --=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅--⋅()()12121332212n nn -⋅-=+⋅--⋅-整理得：()3525nn T n =-⋅+【考点】等差数列等比数列的通项前项和等有关知识的运用．20．已知椭圆(222:122x y E a a +=>的离心率6e ，右焦点(),0F c ，过点2,0a A c ⎛⎫⎪⎝⎭的直线交椭圆E 于,P Q 两点. （1）求椭圆E 的方程；（2）若点P 关于x 轴的对称点为M ，求证:,,M F Q 三点共线； (3) 当FPQ ∆面积最大时，求直线PQ 的方程.【答案】(1) 22162x y +=;(2)见解析;(3)630x ±-=.【解析】试题分析：(1)根据离心率可求得a 的值，从而可求得b 的值，进而可得结果；(2) 设()()1122,,,P x y Q x y ，只需用平面向量坐标法证明MF FQ P u u u r u u u r即可得结论；（3）设直线PQ 的方程为3x my =+，根据韦达定理、弦长公式、三角形面积公式将FPQ ∆面积表示为关于m 的函数式，换元后根据配方法求最值，取得最值时可以确定m 的值，进而可得结果.试题解析：(1)由3a a =⇒=∴椭圆E 的方程是22162x y +=. (2)由（1）可得()3,0A ，设直线PQ 的方程为()3y k x =-. 由方程组()221{623x y y k x +==-，得()222231182760k x k x k +-+-=，依题意()212230k∆=->，得k <<.设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()()()2212121111222218276,,2,0,,,2,,2,3131k k x x x x F M x y MF x y FQ x y k k -+==-=-=-++u u u r u u u r Q ，由()()()()()()12211221222?32?3x y x y x k x x k x ---=----- ()221212221827652125?2?1203131k k k x x x x k k k ⎛⎫-⎡⎤=+--=--= ⎪⎣⎦++⎝⎭，得,,,MF FQ M F Q ∴u u u r u u u rP 三点共线.(3)设直线PQ 的方程为3x my =+. 由方程组221{623x y x my +==+，得()223630my my +++=，依题意()22361230m m ∆=-+>，得232m >.设()()1122,,,P x y Q x y ，则12121233631,.?332FPQm y y y y S AF y y m m ∆+=-=∴=-++====，令23t m =+，则212111,3929FPQS y y t m t ∆=-====+=，即26,m m ==FPQ S ∆最大，FPQS ∆∴最大时直线PQ 的方程为30x ±-=.【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用配方法法求三角形最值的. 21．已知33331111()1234f n n =++++L ，231()22g n n=-，*n N ∈． （1）当1,2,3n =时，试比较()f n 与()g n 的大小关系； （2）猜想()f n 与()g n 的大小关系，并给出证明．【答案】（1） (2)(2)f g <； (3)(3)f g <．（2）猜想()()f n g n ≤，证明见解析 【解析】【详解】（1） 当1n =时，(1)1f =，(1)1g =，所以(1)(1)f g =当2n =时，9(2)8f =，11(2)8g =，所以(2)(2)f g < 当3n =时，251(3)216f =，312(3)216g =，所以(3)(3)f g <（2） 由（１），猜想()()f n g n ≤，下面用数学归纳法给出证明 ①当1,2,3n =时，不等式显然成立 ②假设当(3)n k k =≥时不等式成立，即33332111131123422k k ++++<-L 那么，当1n k =+时，3231311(1)()(1)22(1)f k f k k k k +=+<-+++因为22332321113131()02(1)2(1)2(1)22(1)k k k k k k k k k+----=-=<++++ 所以231(1)(1)22(1)f k g k k +<-=++ 由①、②可知，对一切*n N ∈，都有()()f n g n ≤成立. 【考点】数学归纳法. 22．已知函数()ln f x x x =-（1）证明：对任意的1x ，()20,x ∈+∞，都有()212ln x f x x >；（2）设0m n >>，比较()()()f m m f n n m n+-+-与22mm n-的大小，并说明理由.. 【答案】（1）证明见解析；（2）()()()22f m m f n n mm nm n+-+>-+，理由见解析. 【解析】(1)分别对不等式两段构造函数，利用导数研究两函数的单调性和最值，证明()()max min G x f x <成立即可；(2) 先等价化简，再作差构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可判定 【详解】（1）证明：因为()1xf x x-'=，故()f x 在()0,1上是单调递增的， 在()1,+∞上是单调递减的，()()max 1ln111f x f ==-=-，()min 1f x =， 设()ln x G x x =，则()21ln xG x x-'=， 故()G x 在()0,e 上是单调递增的，在(),e +∞上是单调递减的，故()()max 11G x G e e==<， ()()max min G x f x <，所以()212ln x f x x >对任意的1x ，()20,x ∈+∞恒成立； （2）解：()()lnln ln 11mf m f n m n m n n m m n m n n n-+--==⋅---， 且2211m n m m n n m n=⨯++，0m n >>Q ，10m n ∴->，故只需比较ln m n 与1m n n m m n-+的大小， 令m t n =（1t >），设()()211ln ln 11t t t G t t t t t t--=-=-++则()()()()3222221112111t t t t t G t t t t t -+++-'=-=++， 因为1t >，所以()0G t '>，所以函数()G t 在()1,+∞上是增加的，故()()10G t G >=，所以()0G t >对任意1t >恒成立，即1ln m m n n m n m n->+，从而有()()()22f m m f n m m m nm n +-+>-+. 【点睛】利用导数研究不等式的解集或不等式恒成立问题时，关键步骤是合理构造函数，将不等式问题转化为求函数的最值问题.。

2024学年郑州市高二下学期开学摸底考试数学（答案在最后）考生注意：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知等比数列{}n a 的首项11a >，公比为q ，记12n n T a a a =⋅⋅⋅（*n ∈N ），则“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件2．已知函数()32,,x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若存在实数m ，使函数()()g x f x m =-+有两个零点，则a 的取值范围是（）A．()[),01,-∞⋃+∞B．()(),01,-∞⋃+∞C．(][),12,-∞-⋃+∞D．(](),12,-∞-+∞ 3．函数()2f x x =）A．B．C．2D．44．已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上的点，12,F F 分别为椭圆C 的左､右焦点，椭圆C 的离心率为12，12F PF ∠的平分线交线段12F F 于点Q ，则11PF QF =（）A．2B．3C．D．25．已知,A F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点和左焦点，,B C 是椭圆上关于原点对称的点，若直线CF 交线段AB 于1,2M AM MB =，则椭圆的离心率为（）A．23B．12C．154D．56．在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD = ，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A．15B．5C．10D．107．甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行校园厨艺总决赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你和甲的名次相邻.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况种数为（）A．54B．48C．42D．368．下列命题中，真命题的是（）A．若回归方程 0.450.6y x =-+，则变量y 与x 正相关B．线性回归分析中决定系数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C．若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为18D．若()()()()0,0,P A P B P BA PB >>=∣，则()()P A B P A =∣二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且点O 到平面PAC 的距离为22，则（）A．该圆锥的体积为3πB．直线OP 与平面PAC 所成的角为45︒C．二面角P AC O --为45︒D．直线PA 与BC 所成的角为60︒10．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B．函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C．()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D．若函数()()0y f x λλ=>在[]0,π上没有零点，则50,12λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭11．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，12AB AA =，且11cos cos BCC DCC ∠∠==，则（）A．11AA BC ⋅= B．1AA BD⊥C．1AC D．直线1AA 与平面ABCD 所成的角为π3三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．设函数()()21ln 1f x x x=+-，则满足()()21f x f x >+的x 的取值范围为.13．已知A 是抛物线()220x py p =>上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点.当4AF =时，2π3OFA ∠=，则OA =.14．位于坐标原点的一个点A 按下述规则移动：A 每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为15.那么A 移动5次后位于点()4,1--的概率是.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（13分）已知函数()22g x mx mx n =-+，(0,0)m n >>在[]1,2x ∈时最大值为1，最小值为0.设()()g x f x x=.(1)求实数m ，n 的值；(2)若关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解，求实数a 的取值范围.16．（15分）平面直角坐标系xOy 中，单位圆与x 轴正半轴交于点A ，角θ的终边与单位圆的交点P 位于第二象限.(1)若弧AP 的长为2π3，写出P 的坐标，并计算扇形AOP 的面积；(2)角θ的终边绕点O 逆时针旋转π4后恰与角α的终边重合，若1tan 3α=，求tan θ的值.17．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,ABC AC CB D ⊥为AB 的中点，12AC CB CC ===．(1)求证：1//AC 平面1B CD ；(2)求点1A 到平面1B CD 的距离．18．（17分）已知双曲线C ：()222102x y a a -=>的右焦点2F 与抛物线28y x =的焦点重合.(1)求双曲线C 的方程；(2)若斜率为3l 经过右焦点2F ，与双曲线的右支相交于A ，B 两点，双曲线的左焦点为1F ，求1ABF 的周长.19．（17分）在2019中国北京世界园艺博览会期间，某工厂生产、、A B C 三种纪念品，每一种纪念品均有精品型和普通型两种，某一天产量如下表:（单位:个）纪念品A纪念品B 纪念品C精品型100150n普通型300450600A 种纪念品有40个.(1)求n 的值；(2)用分层抽样的方法在C 种纪念品中抽取一个容量为5的样木，从样本中任取2个纪念品，求至少有1个精品型纪念品的概率；(3)从B 种精品型纪念品中抽取5个，其某种指标的数据分别如下：10119x y 、、、、，把这5个数据看作一个总体，其均值为10，方差为2，求x y -的值.参考答案一、单项选择题1．【答案】C【解析】由题意，()()1123(1)1121211110n n n n n n n n a a q a qaT qa qa a a a --+++-=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅>= ，(1)12111(1)21n n n n n n n n nT a qa q T a q +++-⋅==⋅⋅，当11,01a q ><<时，11n a q ⋅<对于N n *∈不一定恒成立，例如122,3a q ==；当{}n T 为递减数列时，0q >且11na q ⋅<对于N n *∈恒成立，又因为11a >，所以得01q <<，因此“01q <<”是“数列{}n T 为递减数列”的必要不充分条件，故选：C.2．【答案】B【解析】因为函数()()g x f x m =-+有两个零点，令()0g x =，可得()m f x -=-，即()y f x =-与y m =-的图象有两个交点，由32x x =可得，0x =或1x =.①当1a >时，函数()y f x =-的图象如图所示，此时存在m 使得()y f x =-与y m =-有两个交点，满足题意，故1a >满足题意；②当1a =时，由于函数()y f x =-在R 上单调递增，故不符合题意；③当01a <<时，函数()y f x =-单调递增，故不符合题意；④当0a =时，()y f x =-单调递增，故不符合题意；⑤当a<0时，函数()y f x =-的图象如图所示，此时存在m 使得()y f x =-与y m =-有两个交点.综上可得，a<0或1a >.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3．【答案】B【解析】由240x -≥，解得22x -≤≤，故()f x 的定义域为[]22-,.设ππ2sin ,,22x αα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，则()4sin 4sin 2cos sin y ααααϕ==+=+，其中，πcos 0,2ϕϕϕ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，∵ππ,22α⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππππ222ϕαϕϕ-<-+≤+≤+<，∴当π2αϕ+=，即ππsin sin cos cos sin 22αϕϕαϕϕ⎛⎫⎛⎫=-===-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y αϕ=+取最大值()f x 的最大值是故选：B.4．【答案】A【解析】因为12F PF ∠的平分线交线段12F F 于点Q ，所以12F PQ F PQ ∠=∠，由正弦定理得1111sin sin PF QF PQF F PQ∠∠=，2222sin sin PF QF PQF F PQ∠∠=，.又因为12sin sin PQF PQF ∠∠=，12sin sin F PQ F PQ ∠∠=，所以1212PF PF QF QF =，即1122PF QF PF QF =.不妨设()1,,0PF x Q n =-，则2x c na x c n -=-+，解得()a c n x c-=，所以()1112a c n PF x a c QF c n c n c e-=====--.故选：A.5．【答案】B【解析】由题意得(,0),(,0)A a F c --，设()()1111,,,C x y B x y --，又12AM MB =，所以12AM MB = ，即()()111212M M M M x a x x y y y ⎧+=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得11123313M M a x x y y ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即11121,333a M x y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，又由,,C F M 三点共线得FC FM k k =.所以1111131233y x c cy a x -⎛=⎫-- ⎪⎝⎭++，整理得2433c a =，所以12c e a ==.故选：B.6．【答案】D【解析】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,A B C D E ，所以(110,0,4422AF AD ⎛==-=- ⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,2222CF CA AF ⎛⎛=+=+-= ⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅==-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D.7．【答案】C【解析】由题意，第一种情况：乙是冠军，则甲在第二位，剩下的三人安排在其他三个名次，有33A 6=种情况；第二种情况：先从丙、丁、戊中选1人为冠军，再排甲，乙两人，再把甲和乙捆绑与其他人排列，共有123323A A A 36⨯⨯=种；综上可得共有64362+=种不同的情况.故选：C.8．【答案】D【解析】因为0.450b =-<$，所以变量y 与x 负相关，故A 错误；在线性回归分析中2R 越大，则模型拟合效果越好，故B 选项错误；若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=，故C 选项错误；因为()()()()0,0,P A P B P BA PB >>=∣，所以()()()()P AB P B A P B P A ==∣，所以()()()P AB P A P B =⋅，所以()()()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ===∣，故D 正确.故选：D二、多项选择题9．【答案】BCD【解析】取线段AC 的中点M ，连接PM ，过O 作ON PM ⊥，垂足为N ，易知,AC OM AC PM ⊥⊥，又OM PM M ⋂=，,OM PM ⊂面PMO ，所以AC ⊥面PMO ，又ON ⊂面PMO ，所以AC ON ⊥，又ON PM ⊥，且AC PM M = ，,AC PM ⊂面PAC ，所以ON ⊥面PAC ，所以线段ON 的长为点O 到平面PAC 的距离，即ON =，对于A：在等腰三角形APB 中，60APO ∠= ，2PA =，所以2cos601,2sin 60PO AO ====所以该圆锥的体积为21π1π3⨯⨯⨯=，A 错误；对于B：由ON ⊥面PAC 可得直线OP 与平面PAC 所成的角为OPN ∠，在直角三角形OPN 中，sin 2ON OPN OP ∠==，所以45OPN ∠=︒，B 正确；对于C：由AC ⊥面PMO 可得二面角P AC O --的平面角为PMO ∠，在直角三角形PMO 中，cos cos 2ON PMO PON OP ∠=∠==，所以45PMO ∠=︒，C 正确；对于D：取线段PC 的中点D ，连接,DM DO ,,DM DO OM ，明显有,BC OM AP MD ∥∥，则直线PA 与BC 所成的角为DMO ∠或其补角，因为45PMO ∠=︒，则1,OM OP PM ==在直角三角形POC 中，112OD PC ==，在直角三角形PMC 中，112MD PC ==，在DMO 中，2221111cos 222MD MO DO DMO MD MO +-+-∠===⋅，所以60DMO ∠=︒，D正确.故选：BCD.10．【答案】BD【解析】依题意，可得2A =，又0ω>，则12π2ππ4312ω5⨯=-，所以2=ω，结合五点法作图，可得5π2π12ϕ⨯+=，则π6ϕ=，所以π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A，ππ2sin 22cos262f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然是偶函数，故A 错误；对于B，πππ2sin 01266f ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故B正确；对于C，当π6x =时，ππ262x +=，函数取得最大值，所以()f x 在ππ,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不是单调增函数，故C 错误；对于D，因为π()2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则π()2sin 26f x x λλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为0λ>，当[]0,πx ∈时，πππ2,2π666x λλ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，因为()(0)y f x λλ=>在[]0,π上没有零点，可得π2ππ6λ+<，解得50,12λ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故D 正确，故选：BD.11．【答案】BD【解析】对于选项A:在四棱柱1111ABCD A B C D -中，易得11AA CC = ,112cos ,cos 4CC BC BCC =-∠=-所以1111cos ,214AA BC CC BC CC BC CC BC ⎛⋅=⋅=⋅=⨯-=-⎝⎭，故选项A 错误；对于选项B:因为BD CD CB =-,所以()1111AA BD CC CD CB CC CD CC CB ⋅=-=⋅-⋅1111cos cos 220,44CC CD C CD CC CB C CB =⋅∠-⋅∠=-= 所以1AA BD ⊥，即1AA BD ⊥,故选项B 正确；对于选项C:由111AC CC CA CC CB CD =-=--,所以()222211112224CC CB CDCC CB CD CC CB CC CD CD CB --=++-⋅-⋅+⋅=所以12AC ==,故选项C 错误；对于选项D:取,AC BD 的交点O ,连接11,C B C D ,因为底面ABCD 是正方形，且11cos cos BCC DCC ∠∠==所以11CC B CC D ≅ ,所以11C B C D =，所以1C O BD ⊥,因为()11112CC CA CC CB CD CC CB CC CD ⋅=⋅+=⋅+⋅= ,所以()1110C O CA CO CC CA CO CA CC CA ⋅=-⋅=⋅-⋅=,所以1C O CA ⊥，即1C O CA ⊥.因为,,CA BD C O A BD =⊂ 面ABCD ，所以1C O ⊥面ABCD .所以CO 为1CC 在面ABCD 的投影，即1C CO ∠为直线1AA 与平面ABCD 所成的角.在1C CA △中，易得112AC CC CA ===，所以1π3C CO ∠=,故选项D 正确.故选：BD.三、填空题12．【答案】1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】()()21ln 1f x x x=+-，则()f x 的定义域为{|0}x x ≠；又()()f x f x =-，故()f x 为偶函数；当0x >时，()()21ln 1f x x x=+-，又()21ln 1,y x y x=+=-在()0,+∞上都是单调增函数，故()f x 在()0,+∞上单调递增，在(),0-∞上单调递减；因为()()21f x f x >+，所以021021x x x x ≠⎧⎪+≠⎨⎪>+⎩∣∣∣∣，解得012113x x x ⎧⎪≠⎪⎪≠-⎨⎪⎪-<<-⎪⎩，故x 的取值范围为1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：1111,,223⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.13．【答案】【解析】由抛物线的对称性，不妨设A 在第一象限，过A 作准线的垂线AC ，过F 作AC 的垂线，垂足分别为,C B ．如图所示，由题意知π2πππ2326BFA OFA ∠∠==-，因为4AF =，易知2AB =，又A 点到准线的距离为：24d AB BC p =+=+=，解得2p =，在AFO V 中，1,4OF AF ==，2π3OFA ∠=，由余弦定理得22212cos 161214()212OA OF FA OF FA OFA =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以OA =，故答案为：14．【答案】4625【解析】因为向左移动的概率为15，所以向下移动的概率为45，由题意得A 必须向左移动4次，向下移动1次，所以所求的概率为415114C 155625⎛⎫⎛⎫⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：4625四、解答题15．（13分）【答案】(1)1m =，1n =(2)1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由()()2221g x mx mx n m x n m =-+=-+-可知，函数()g x 关于1x =对称，又0m >，所以函数()g x 在[]1,2单调递增，可得()()1021g g ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01n m n -=⎧⎨=⎩，解得1m =，1n =.（2）易知()()12g x f x x x x==+-，所以()332log 310log a f x a x +--=即为33312log 2310log log a x a x x+-+--=，可化为()233log 31log 210x a x a -+++=，令()3log 0,x λ∞=∈+，即()231210a a λλ-+++=；则关于x 的方程()332log 310log af x a x+--=有四个不同的实数解等价为于关于λ的一元二次方程()231210a a λλ-+++=有两个不相等的正实数根1λ，2λ，需满足()()()21212Δ914210310210a a a a λλλλ⎧=+-+>⎪+=+>⎨⎪=+>⎩，解得12a >-；所以实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.16．（15分）【答案】(1)1(2P -，π3，(2)12-【解析】（1） AP 的长为2π3，2π13θ∴=⨯，解得2π3θ=，若点P 位于第二象限，且在单位圆上，设(,)P x y ，扇形AOP 的面积为S ，故有2π1cos32x ==-，2πsin 3y ==1(2P -，结合扇形面积公式得21ππ1323S =⨯⨯=，（2）易知角θ的终边绕点O 逆时针旋转π4后恰与角α的终边重合，1tan 3α=故11π13tan tan()14213θα-=-==-+，即1tan 2θ=-.17．（15分）【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）连接1BC 交1B C 于E ，连接DE ，侧面11BCC B 为平行四边形，E ∴为1BC 的中点，又D 为AB 的中点，1//DE AC ∴,1AC ⊄Q 平面1,B CD DE ⊂平面1B CD ，所以1//AC 平面1B CD ；（2）以C 为原点，1,,CA CB CC 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()111,1,0,0,2,2,2,0,2D B A ，()()()111,1,0,0,2,2,2,0,2CD CB CA ∴=== ，设平面1B CD 的法向量为(),,n x y z = ，则100n CD n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，则1,1y z =-=，()1,1,1n ∴=-，1A ∴到平面1B CD 的距离11cos ,d CA CA n =⋅13CA n n ⋅==.18．（17分）【答案】(1)22122x y -=；(2).【解析】（1）拋物线28y x =的焦点坐标为()2,0，则双曲线C 的半焦距2c =，由224a +=，得22a =，所以双曲线C 的方程为22122x y -=.（2）由（1）知2(2,0)F ，直线AB的方程为)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，由)221222x y y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得2670x x -+=，显然0∆>，则126x x +=，127x x ⋅=，AB ===因此2121||||48||||2||2AF BF AB B a AF a F a =+=++=++所以1ABF的周长为.19．（17分）【答案】(1)400(2)710(3)4【解析】（1）由题意可知，该工厂一天所生产的纪念品数为1003001504506001600.n n +++++=+现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个，其中A 种纪念品有40个，则400401600200n =+，解得400.n =（2）设所抽取的样本中有p 个精品型纪念品，则40051000p =，解得2,p =所以，容量为5的样本中，有2个精品型纪念品，3个普通型纪念品.因此，至少有1个精品型纪念品的概率为225325C C 7.C 10-=（3）由题意可得10119105x y ++++=，得20.x y +=由于总体的方差为2，则()()22101001125x y -+-+++=，可得22208,x y +=所以，4.x y -=。