安徽省2017年中考数学总复习 第一轮 中考考点系统复习 第五单元 四边形 第20讲 矩形、菱形和正方形试题

方法技巧训练(二) 几何中与中点有关的计算与证明方法指导1 有关中点的常见考法 (1)直角三角形斜边上的中线如图,在Rt △ABC 中,点D 是斜边AB 的中点,则BD ＝12AB,AD ＝CD ＝DB.反过来,在△ABC 中,点D 在AB 边上,若AD＝BD ＝CD ＝12AB,则有∠ACB ＝90°.解题通法：直角＋中点⇒直角三角斜边上的中线．(1)图 (2)图 (3)图(2)等腰三角形“三线合一”如图,在△ABC 中,若AB ＝AC,通常取底边BC 的中点D,则AD ⊥BC,且AD 平分∠BAC.解题通法：事实上,在△ABC 中：①AB ＝AC ；②AD 平分∠BAC ；③BD ＝CD ；④AD ⊥BC.对于以上四条语句,任意选择两个作为条件,就可以推出另两条结论,即“知二得二”．(3)线段垂直平分线如图,直线l 是线段BC 的垂直平分线,则可以在直线l 上任意取一点A,得到AB ＝AC,即△ABC 是等腰三角形． 解题通法：遇到垂直平分线⇒线段相等⇒等腰三角形． (4)倍长中线在△ABC 中,M 为BC 的中点．①如图1,连接AM 并延长至点E,使得AM ＝ME,连接CE,则△ABM ≌△ECM.②如图2,点D 在AB 边上,连接DM 并延长至点E,使得ME ＝DM,连接CE,则△DMB ≌△EMC.解题通法：遇到三角形一边上的中点,常常倍长中线,利用“8”字形全等将题中条件集中,以达到解题的目的．图1 图2(5)构造三角形的中位线在△ABC 中,D 为AB 边的中点．①如图1,取AC 边上的中点E,连接DE,则DE ∥BC,且DE ＝12BC.②如图2,延长BC 至点F,使得CF ＝BC,连接CD,AF,则DC ∥AF,且DC ＝12AF.解题通法：三角形的中位线从位置关系和数量关系两个方面将图形中分散的线段关系集中起来,通常需要再找一个中点来构造中位线,或倍长某段线段构造中位线．拓展：如果已知中点的边不在一个三角形中,则需先添加辅助线构造中点,然后构造三角形的中位线解题．如在四边形ABCD 中,点E,H 分别为AB,CD 边的中点,则先连接AC,然后取AC 边的中点F,连接EF,FH,则EF 为△ABC 的中位线,FH 为△ACD 的中位线．图1 图2(6)中点四边形如图,在四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是四边形的边AB,BC,CD,AD的中点．结论：①连接EF,FG,GH,EH,则中点四边形EFGH是平行四边形．②若对角线AC和BD相等,则中点四边形EFGH是菱形．③若对角线AC与BD互相垂直,则中点四边形EFGH是矩形．④若对角线AC与BD互相垂直且相等,则中点四边形EFGH是正方形．方法指导2中考数学中涉及“一半”的相关内容①直角三角形斜边中线等于斜边的一半；②30°角所对的直角边等于斜边的一半；③三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半；④圆周角的度数等于它所对弧圆心角度数的一半．题组11．如图,在△ABC中,E为BC边的中点,CD⊥AB,AB＝2,AC＝1,DE＝32,则∠CDE＋∠ACD＝(C)A．60°B．75°C．90°D．105°2．如图,在△ABC中,D是BC上一点,AB＝AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF＝2,则AC的长是(B) A．3 B．4 C．5 D．63．如图,在四边形ABCD中,∠DAB＝90°,∠DCB＝90°,E,F分别是BD,AC的中点,AC＝6,BD＝10,则EF的长为(B) A．3 B．4 C．5 D.74．如图,在钝角△ABC中,已知∠A为钝角,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.若BD2＋CE2＝DE2,则∠A的度数为135°．5．(青岛)如图,已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AE＝DF＝2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连接GH,则GH的长为342．题组26．如图,在△ABC 中,两条中线BE,CD 相交于点O,则S △DOE ∶S △DCE ＝(B)A ．1∶4B ．1∶3C ．1∶2D ．2∶37．(陕西)如图,在菱形ABCD 中,点E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD 和DA 的中点,连接EF,FG,GH 和HE.若EH ＝2EF,则下列结论正确的是(D)A ．AB ＝2EF B ．AB ＝2EFC ．AB ＝3EFD ．AB ＝5EF8．(苏州)如图,在△ABC 中,延长BC 至D,使得CD ＝12BC,过AC 中点E 作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧),且EF ＝2CD,连接DF.若AB ＝8,则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 29．如图,在△ABC 中,AB ＝10,AC ＝6,则BC 边上的中线AD 的取值范围是2＜AD ＜8．10．(武汉)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝60°,AC ＝1,D 是边AB 的中点,E 是边BC 上一点．若DE 平分△ABC 的周长,则DE 的长是32．11．(1)如图1,在四边形ABCD 中,F,E 分别是BC,AD 的中点,连接FE 并延长,分别与BA,CD 的延长线交于点M,N,已知∠BME ＝∠CNE,求证：AB ＝CD ；(提示：取BD 的中点H,连接FH,HE 作辅助线)(2)如图2,在△ABC 中,点O 是BC 边的中点,D 是AC 边上一点,E 是AD 的中点,直线OE 交BA 的延长线于点G.若AB ＝DC ＝5,∠OEC ＝60°,求OE 的长度．图1 图2解：(1)证明：连接BD,取DB 的中点H,连接EH,FH. ∵F,E 分别是BC,AD 的中点, ∴EH ∥AB,EH ＝12AB,FH ∥CD,FH ＝12CD.∴∠BME ＝∠HEF,∠CNF ＝∠HFE.∵∠BME ＝∠CNE, ∴∠HEF ＝∠HFE.∴HE ＝HF.∴AB ＝CD.(2)连接BD,取DB 的中点H,连接EH,OH. ∵O,E 分别是BC,AD 的中点,∴EH 平行且等于12AB,OH 平行且等于12CD.∵AB ＝CD,∴HO ＝HE.∴∠HEO ＝∠HOE ＝∠OEC. ∵∠OEC ＝60°,∴∠HEO ＝∠HOE ＝60°. ∴△OEH 是等边三角形． ∵AB ＝DC ＝5,∴OE ＝52.。

第五章四边形5.1多边形与平行四边形1.如图,在△ABC中,∠A=40°,AB=AC,点D在AC边上,以CB,CD为边作▱BCDE,则∠E的度数为(D)A.40°B.50°C.60°D.70°第1题图第2题图2.如图,AC是正五边形ABCDE的对角线,∠ACD的度数是(A)A.72°B.36°C.74°D.88°3.(2022·安庆模拟)如图,在△ABC中,D,E分别是边AB,BC的中点,点F在DE的延长线上.若添加一个条件使四边形ADFC为平行四边形,则这个条件可以是(B)A.∠B=∠FB.∠B=∠BCFC.AC=CFD.AD=CF第3题图第4题图4.(2022·四川内江)如图,在▱ABCD中,已知AB=12,AD=8,∠ABC的平分线BM交CD边于点M,则DM的长为(B)A.2B.4C.6D.85.(2022·马鞍山一模)如图,P是面积为S的▱ABCD内任意一点,△PAD的面积为S1,△PBC的面积为S2,则(C)A.S 1+S 2>S2 B.S 1+S 2<S 2C.S 1+S 2=S 2D.S 1+S 2的大小与P 点位置有关6.如图,在▱ABCD 中,∠ADC =119°,BE ⊥DC 于点E ,DF ⊥BC 于点F ,BE 与DF 交于点H ,则∠BHF = 61 °.7.(2021·湖南怀化)如图,四边形ABCD 为平行四边形,点E ,A ,C ,F 在同一条直线上,AE =CF.求证: (1)△ADE ≌△CBF ; (2)ED ∥BF.证明:(1)∵四边形ABCD 为平行四边形, ∴AD =CB ,AD ∥CB ,∴∠DAC =∠BCA.∵∠DAC +∠EAD =180°,∠BCA +∠FCB =180°, ∴∠EAD =∠FCB.在△ADE 和△CBF 中,{AE =CF,∠EAD =∠FCB,AD =CB,∴△ADE ≌△CBF (SAS). (2)由(1)知△ADE ≌△CBF , ∴∠E =∠F ,∴ED ∥BF.8.如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿AC 折叠后,点D 恰好落在DC 延长线上的点E 处.若∠B =60°,AB =3,则△ADE 的周长为 (C )A.12B.15C.18D.21第8题图第9题图9.如图,在▱ABCD 中,∠ABC 和∠BCD 的平分线交于AD 边上的一点E ,且BE =4,CE =3,则AB 的长是 (A ) A.52 B.3 C.4 D.5【解析】∵AB ∥CD ,∴∠ABC +∠BCD =180°.∵BE 平分∠ABC ,CE 平分∠BCD ,∴∠EBC +∠ECB =90°,∴∠BEC =90°,∴BC =√BE 2+CE 2=5,∴AD =BC =5.∵AD ∥BC ,∴∠ABE =∠EBC =∠AEB ,∴AB =AE.同理DC =DE.∵AB =CD ,∴AB =12AD =52.10.(2022·江苏宿迁)如图,在正六边形ABCDEF 中,AB =6,点M 在边AF 上,且AM =2.若经过点M 的直线l 将正六边形面积平分,则直线l 被正六边形所截的线段长是 4√7 .【解析】设正六边形ABCDEF 的中心为O ,连接MO 并延长交CD 于点N ,则MN 将正六边形的面积平分,过点O 作OH ⊥AF 于点H ,连接AC.由题知AF =AB =6,易得AH =12AF =3,AC =6√3,∴OH =12AC =3√3,MH =AH -AM =1,∴OM =√MH 2+OH 2=√(3√3)2+1=2√7,∴MN =2OM =4√7.11.如图,在▱ABCD 中,E 为CD 边的中点,连接AE ,已知AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F. (1)[一题多解]求证:BC =CF.(2)连接DF ,AC ,BE ,AC 和BE 相交于点G ,作CM ∥BE 交DF 于点M.求证:△ABG ≌△DCM.证明:(1)解法1:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD ∥BC ,AD =BC , ∴∠ADC =∠FCE.∵E 为CD 边的中点,∴ED =EC. ∵∠AED =∠CEF ,∴△ADE ≌△FCE , ∴AD =CF ,∴BC =CF.解法2:∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥CD ,AB =CD. ∵E 为CD 边的中点, ∴CE =12CD =12AB ,∴CE 为△ABF 的中位线,∴BC =CF. (2)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AB ∥DC ,AB =DC ,∴∠BAD +∠ADC =180°,∠ABC =∠DCF , ∴∠BAC +∠CAD +∠ADC =180°. ∵CM ∥BE ,∴∠CBE =∠FCM , ∴∠ABG =∠DCM.由(1)可知,AD =CF ,∴四边形ADFC 是平行四边形,∴AC ∥DF , ∴∠CAD +∠ADF =180°, 即∠CAD +∠ADC +∠CDM =180°, ∴∠BAC =∠CDM , ∴△ABG ≌△DCM.解法1:证明△ADE ≌△FCE ,得AD =CF ,即可得证; 解法2:根据CE 为△ABF 的中位线,即可得证.12.(2021·马鞍山二模)如图,△ABC 与△ADE 均为等腰三角形,且△ABC ≌△ADE ,连接CE ,BD 交于点F. (1)求证:BD =CE ;(2)当四边形ABFE 是平行四边形,且AB =2,∠BAC =30°时,求CF 的长.解:(1)∵△ABC ≌△ADE ,△ABC 与△ADE 均为等腰三角形, ∴AB =AC =AD =AE ,∠BAC =∠DAE ,∴∠BAC +∠CAD =∠DAE +∠CAD ,即∠BAD =∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中,{AD =AE,∠BAD =∠CAE,AB =AC,∴△BAD ≌△CAE (SAS),∴BD =CE. (2)过点A 作AH ⊥CE 于点H. ∵四边形ABFE 是平行四边形, ∴EF =AB =2,EF ∥AB , ∴∠ACH =∠BAC =30°. 由(1)知AE =AC =AB =2, ∴∠AEH =∠ACH =30°. 在Rt △ACH 中,AH =12AC =1, ∴CH =√AC 2−AH 2=√22−12=√3. ∵AC =AE ,AH ⊥CE , ∴CE =2CH =2√3, ∴CF =CE -EF =2√3-2.。

中考数学第一轮总复习典例精讲考点聚集查漏补缺拓展提升第五单元 四边形专题5.2 特殊平行四边形知识点矩 形01菱 形02正 方 形03中点四边形04拓展训练05【例1-1】如图,在□ABCD中,E为BC的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接BF,AC,若AD=AF.求证：四边形ABFC是矩形.A EFD CB利用对角线相等的平行四边形是矩形证明方法一：利用△ABE≌△FCE证平行四边形；证法二：利用△ABE∽△FCE证平行四边形考点聚焦一个角为直角对角线相等平行四边形平行四边形直角证明四边形ABCD 是矩形的方法(三种)①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的____________；【例1-2】如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,若点E,F分别在AB,CD上,且BE=2AE,DF=2FC,G,H分别是AC的三等分点,则四边形EHFG的面积为( ) A.1 B.1.5 C.2 D.4AHGECBD F C 考点聚焦对边平行且相等四角都是直角对角线互相平分且相等矩形的性质(1)边：________________；(2)角：________________；(3)对角线：______________________.1.已知□ABCD,下列条件中,不能判定这个平行四边形为矩形的是( ) A.∠A=∠B B.∠A=∠C C.AC=BD D.AB⊥BC2.如图,矩形ABCD的对角线AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ=_____．3.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,则图中四个小矩形的周长之和为____.4.如图,矩形OCDE,矩形OFGH,矩形OMNP各有一边在半⊙O的直径AB上,D,G,N都在半⊙O上,比较EC,HF,MP的大小_________.B 2.514EC=HF=EP5.如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4,E为CD边上一点,CE=5,点P从B点出发,以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动,设点P运动的时间为t秒,则当t=_______时,△PAE是以PE为腰的等腰三角形.6.如图,将矩形ABCD绕点B顺时针旋转,得到矩形EBFG,且点E落在CD上,过点C作FG的垂线,垂足为H,若FH=HG,则BC:AB的值为_______.7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90º,BA=3,AC=4,点D是斜边BC上的一个动点,过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN的最小最为_____.M2.4知识点矩 形01菱 形02正 方 形03中点四边形04拓展训练05【例2-1】如图,在等腰△ABC中,AD平分顶角∠BAC,交底边BC于点H,点E在AD上,BE=BD,求证:四边形BDCE是菱形.考点聚焦证明四边形ABCD 是菱形的方法（三种）①先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的任意_____________；②先证明四边形ABCD为___________,再证明□ABCD的________________平行四边形一组邻边相等平行四边形对角线互相垂直四边相等AH E DCB利用“三线合一”得出AD 垂直平分BC,从而得出四边相等。