1998数学1考研试题 Word试卷版

1988年数学(一)真题解析⑴【解】由怏|亍卜怛(” + 1； • 3屮I 入=寻得收敛半径R = 3,当工一3 = —3,即h = 0时，工-—9-收敛;“ =i 九当工一3 = 3,即工=6时，工~~发散，□ n故级数乞 & 的收敛域为：0,6).”=i n • 32 _______________(2) 【解】 由 e 95 (x) = 1 —工，得申(z ) = 5/ln(l — j;),由1 —工得卩(工)的定义域为(-oo,01(3) 【解】由高斯公式得s3 dydz + 夕3 dz d«z + n ' dz dyf2K fn fl= 3j d&J dyj r 4 sin cpdr12?r ~5-二、填空题(1)【答案】(l + 2C/・【解】/(Z) =limr(l + —) 2<X = Him r (l + —) X "l " = te 21 ,工-*8 \ JC ' x-*°° L' JC )」则 /(z) = / +2te 〃 = (l + 2t)e “.3⑵【答案】 y.【解】/Q)的傅里叶级数在Z = 1处收敛于/(1-0) + /(1 + 0) /(1-0)+/(-1 + 0) 1 + 2 32 = 2 = 2 = T'(3) 【答案】春.「工 3 _ ]【解】 = x 两边对无求导得3j :2/(x 3 —1) = 1,J 0取工=2得于(7)=春.(4) 【答案】40.【解】 由 A+B = (a+j?,2r 2,2r 3,2y 4 )得\A+B\=丨 a + ",2”，2人，2人 I = 8 I a + 0,"，人，人丨=8 ( Ct 9 y 2 » y 3 » / 4 | + |09丫2，丫39丁4 丨)=8( I A + B I ) = 40 ・三、选择题(l)【答案】(B)・【解】 因为于(工)在无=工0处可导，所以/(工)在无=工0处可微，于是dy = f J jc %工=-y-Ax ，故函数在工=X q 处的微分dy 是与同阶而非等价的无穷小，应选(B).（2） 【答案】（A ）.【解】 将 x = x 0 代入 y" — 2y' + 4^ = 0,得 /"（乂o ） — 2仆工烏 + 4/（x 0） = 0,从而r （x 0）= -4/（x 0） < 0,由极值判别法得z =工。

1998年全国普通高等学校招生统一考试（文史类）数学第I卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）－（10）题每小题4分，第（11）－（15）题每小题5分，共65分。

在每小题给出的四项选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．sin600°的值是A．1/2 B．-1/2 C．/2 D．- /22．函数y=a|x|(a>1)的图象是3．已知直线x=a(a>0)和圆(x-1)2+y2=4相切，那么a的值是A．5 B．4 C．3 D．24．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0垂直的充要条件是A．A1A2+B1B2=0 B．A1A2-B1B2=0C．A1A2/B1B2=-1 D．B1B2/A1A2=15．函数f(x)=1/x(x≠0)的反函数f-1(x)=A．x(x≠0) B．1/x(x≠0)C．-x(x≠0) D．-1/x(x≠0)6．已知点P（sinα-cosα,tgα）在第一象限，则[0,2π]内α的取值范围是A．(π/2,3π/4)∪(π,5π/4) B．(π/4,π/2)∪(π,5π/4)C．(π/2,3π/4)∪(5π/2,3π/2) D．(π/4,π/2)∪(3π/4,π)7．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面积展开图扇形的圆心角为A．120° B．150° C．180° D．240°8．复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是A．/2±1/2 B．- /2±1/2iC．±/2+1/2i D．±/2-1/2i9．如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么A．2 = + B．S0＝C．2S0＝S＋S' D．S02＝2S'S10．2名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士。

不同的分配方法共有A．6种 B．12种 C．18种 D．24种11．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是12．椭圆x2/12+y2/3＝1的焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是A．±/4 B．±/2 C．±/2 D．±3/413．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A．4 B．2 C．2 D．14．一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为A．arccos -1/2 B．arcsin -1/2C．arccos1- /2 D．arcsin1- /215．等比数列{a n}的公比为-1/2，前n项的和S n满足S n=1/a1，那么a1的值为A．± B．±3/2 C．± D．±/2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰=_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()xd tf x t dt dx -⎰= (A)2()xf x (B)2()xf x - (C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 (A)3 (B)2 (C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy xα∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π (B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有 (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组k x =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0 证明:向量组1,,,k -αA αA α是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T T T n n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程.附:t 分布表 {()()}p P t n t n p ≤=1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14-【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,原式22x →=24x →-=)221lim4x x →=2220112112lim 24x x xx →-- =-.方法2：采用洛必达法则.原式)()022limxx →''洛0x→= 0x →=0x →=0x → 洛 14==-.方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2x 项,()22111128x x o x =+-+()22211128x x o x =--+, 从而 原式()()2222122011111122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()222122014lim x x o x o x x →-++=14=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++ 【分析】因为1()(),,z f xy y x y f xϕϕ=++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求z x ∂∂或z y∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求z x∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦,2221()()()11()()()()()11()()()()()()()().z y f xy f xy y x y x y y x x yf xy x f xy f xy x x y y x y x x xf xy f xy yf xy x y y x y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求z y∂∂. 11()()()()()()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x xf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []22()()()()()().z z f xy x y y x y x y y x xyf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：()[][][]21()()1()()()()()()().z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x yyf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦⎣⎦∂∂⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20Lxyds ⇒=⎰.又在L 上,22222213412(34)1212.43L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰因此, 原式222(34)12LLxyds x y ds a =++=⎰⎰.【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分(),lf x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l 关于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：()()()()12,,,,0,l lf x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：()()()()22,,,,0,l lf x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰关于为偶函数,，关于为奇函数. (4)【答案】 21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】方法1：设A 的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有,(0)A ξλξξ=≠.由0A ≠,知0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),将上式两端左乘A *,得A A A A A ξξλξλξ***===,从而有 *,AA ξξλ=(即A *的特征值为Aλ).将此式两端左乘A *,得()22**AA A A ξξξλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭.又E ξξ=,所以()()22*1A A E ξξλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.方法2：由0A ≠,A 的特征值0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),则1A -有特征值1λ,A *的特征值为A λ；*2()A E +的特征值为21A λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.若AX X λ=,则()()A kE X AX kX k X λ+=+=+.即若λ是A 的特征值,则A kE +的特征值是k λ+.2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且11AA A-*=. (5)【答案】14【解析】首先求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y .21(,)|1,0D x y x e y x ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭, 区域D 的面积为22111ln 2.e e D S dx x x===⎰1,(,),(,)20, x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.其次求关于X 的边缘概率密度.当1x <或2x e >时,()0X f x =；当21x e ≤≤时,1011()(,)22x X f x f x y dy dy x+∞-∞===⎰⎰. 故1(2).4X f =二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换22,u x t =-2:0:0t x u x →⇒→,()222du d x t tdt =-=-12dt du t⇒=-, 222022220001()()211()(),22xx xx tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰()2220022221()()211()()2(),22x x d d tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x -='=⋅=⋅=⎰⎰选(A).【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()()()()t t F t f x dx βα=⎰,()t α,()t β均一阶可导,则[][]()()()()()F t t ft t f t ββαα'''=⋅-⋅.(2)【答案】(B)【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.由 22222222(2)(1),1,(2)(1),10,()(2)(1),01,(2)(1),1,x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧---<-⎪----≤<⎪=⎨---≤<⎪⎪---≤⎩⇒ ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x ---→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0(1)lim lim 011x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,即()f x 在1x =-处可导.又()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x ---→→-----'===, ()()22000(2)(1)0(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x+++→→-----'===-,所以()f x 在0x =处不可导.类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断：设函数()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ϕ=. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y x y x α∆∆=++有2.1y y x x xα∆=+∆+∆ 令0,x ∆→得α是x ∆的高阶无穷小,则0lim0x xα∆→=∆,0limx y x ∆→∆∆20lim 1x yx x α∆→⎛⎫=+ ⎪+∆⎝⎭200lim lim 1x x y x x α∆→∆→=++∆21y x =+ 即21dy y dx x=+. 分离变量,得2,1dy dx y x=+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.xy C e=代入初始条件(0),y π=得()arctan0110.y C e C π===所以,arctan xy eπ=.故 arctan 1(1)xx y eπ==arctan1eπ=4.e ππ=【相关知识点】无穷小的比较：设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()lim ()x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()()x x αβ；(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()lim()x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:x a y b z c L a a b b c c ---==---,1112232323:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 11112121222223232333333312230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.又由333121212x a y b z c a a b b c c ---==---得333121212111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,即()()()312312312121212x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==---. 同样由111232323x a y b z c a a b b c c ---==---,得111232323111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,即 ()()()123323323232323x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立. 【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知{}{}{}{}{}{}{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A-==-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).【相关知识点】条件概率公式：{}{}{}|P AB P B A P A =.三、(本题满分5分)【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪=⎨⎪=-⎩代入平面∏的方程,得(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11:112x y z L --'==-,即1,,12.x t y t z t =+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩并求L '与平面∏的交点2N ：1(1)()2(12)103t t t t +--++-=⇒=-,交点为2211(,,)333N .1N 与2N 的连接线即为所求021:421x y zL --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是111110112x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：2,1(1).2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为,,.xy yzθθ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩消去θ得S的方程为()222212(1)2x z y y⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦,即2224174210.x y z y-++-=四、(本题满分6分)【解析】令42(,)2(),P x y xy x yλ=+242(,)(),Q x y x x yλ=-+则(,)((,),(,))A x y P x y Q x y=在单联通区域右半平面0x>上为某二元函数(,)u x y的梯度Pdx Qdy⇔+在0x>上∃原函数(,)u x y⇔,0.Q Pxx y∂∂=>∂∂其中, 42242132()()4Qx x y x x y xxλλλ-∂=-+-+⋅∂,424212()2()2Px x y xy x y yyλλλ-∂=+++⋅∂.由Q Px y∂∂=∂∂,即满足4224213424212()()42()2()2x x y x x y x x x y xy x y yλλλλλλ---+-+⋅=+++⋅,424()(1)01x x yλλλ⇔++=⇔=-.可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.为求(,)u x y,采用折线法,在0x>半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有2(,)42(1,0)2(,)x yxydx x dyu x y Cx y-=++⎰24421020x yx xdx dy Cx x y⋅-=++++⎰⎰(折线法)242y x dy Cx y-=++⎰2242(1)yx dy C y x x -=+⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(第一类换元法)222222004221(1)(1)yy x x y y d C d C x x y y x x x ⋅⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 2arctan yC x=-+(基本积分公式) 其中C 为任意常数.【相关知识点】1.二元可微函数(,)u x y 的梯度公式：u u gradu i +j x y∂∂=∂∂. 2.定理：设D 为平面上的单连通区域,函数()P x,y 与(,)Q x y 在D 内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：(1),(,)Q Px y D x y∂∂≡∈∂∂； (2) 0,LPdx Qdy L +=⎰为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；(3)LABPdx Qdy +⎰仅与点,A B 有关,与连接,A B 什么样的分段光滑曲线无关；(4) 存在二元单值可微函数(,)u x y ,使du Pdx Qdy =+(即Pdx Qdy +为某二元单值可微函数(,)u x y 的全微分； (5) 微分方程0Pdx Qdy +=为全微分方程；(6) 向量场P +Q i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度u P +Q =grad i j .换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)u x y .五、(本题满分6分)【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得202,0,0.t t d ym mg B g kv y vdtρ===--== (*)由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程10,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫=--= ⎪⎝⎭.分离变量得 mvdy dv mg B kv ρ=--,两边积分得 mvdy dv mg B kv ρ=--⎰⎰,2222()()()Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dvk mg B kv m m mg B dv dvk k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+=------+=--⎛⎫- ⎪=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰⎰⎰⎰⎰1()()()()m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2()ln()m m mg B v mg B kv C k kρρ-=----+.再根据初始条件0|0,y v ==即22()()ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k k ρρρρ----+=⇒=-.故所求y 与v 函数关系为()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭六、(本题满分7分)【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含12222()x y z ++,因此不能立即加、减辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：2212222()1().()axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a x y z ∑∑++==++++⎰⎰⎰⎰ 添加辅助面2221:0x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,其侧向下(由于∑为下半球面z =侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有11222211()()()1()().D I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a z a ax dV a dxdy a x z ∑+∑∑Ω=++-++⎛⎫⎡⎤∂+⎛⎫∂⎣⎦ ⎪=-+-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz 平面投影面积为零,则10axdydz ∑=⎰⎰,而1∑上0z =,则()22z a a +=.21(2())D I a z a dV a dxdy a Ω⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰,其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D 为1∑在xoy 面上的投影222{(,)|}D x y x y a =+≤. 从而,220322001321232.3D a I a dv zdv a dxdy a a a d rdr a a a ππθπΩΩ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式.()2042400242200242300224224440411222112()21()1122242412a a a aI a d r z dr a a a d r a r dr a a d a r r draa r r a a a a a a a a a a ππππθππθπθππππππ⎛⎫⎛=--+ ⎪⎝⎝⎭⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⋅-=-+⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4342a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 方法2：逐项计算：2212222212()1()()1().axdydz z a dxdyI axdydz z a dxdy a x y z xdydz z a dxdy I I a ∑∑∑∑++==++++=++=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中,12,Dyz DyzDyzI xdydz ∑==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域∑的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积函数在x 取负数.yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤,用极坐标,得2102203223320212()2222()(0),333aI d a r a r a a ππθππππ=-=-⋅--=-=-=-⎰⎰⎰(222222002302300042230044411()1(22)2(22)2222123422(3Dxya a a a a a a I z a dxdy a dxdya a d a r rdra a r r dr a a rdr a r dr a r a r a a a a a a aπθππππ∑=+=-=-=-⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3),46a π=其中yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|}yz D y z y z a =+≤.故312.2I I I a π=+=-【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.七、(本题满分6分)【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.当各项分母均相同是n 时,n 项和式2sin sinsin n n n n n x nnnπππ=+++是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分1sin xdx π⎰求得极限lim nn x→∞.【解析】由于sinsin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n iπππ≤≤=⋅⋅⋅++,于是,111sinsin sin 11nn ni i i i i i n n n n nn iπππ===≤≤++∑∑∑.由于 1011sin12limlim sin sin nnn n i i i i n xdx n n n ππππ→∞→∞=====∑∑⎰,10111sin112lim lim sin lim sin sin 11nn nn n n i i i i n i i n xdx n n n n n n πππππ→∞→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦∑∑∑⎰根据夹逼定理知,1sin2lim1nn i i n n iππ→∞==+∑. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞→+∞==,则lim n n x a →+∞=.八、(本题满分5分)【解析】方法1：因正项数列{}n a 单调减少有下界0,知极限lim n n a →∞存在,记为a ,则n a a ≥且0a ≥.又1(1)nn n a ∞=-∑发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a >(否则级数1(1)n n n a ∞=-∑收敛).又正项级数{}n a 单调减少,有11,11nnn a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭而1011a <<+,级数11()1n n a ∞=+∑收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 方法2：同方法1,可证明lim 0n n a a →∞=>.令1,1nn n b a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则11lim1,11n n na a →∞==<++根据根值判别法,知级数11()1nn n a ∞=+∑也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑满足：(1)1,1,2,;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞=则11(1)n n n u ∞-=-∑收敛,且其和满足1110(1),n n n u u ∞-=<-<∑余项1.n n r u +<反之,若交错级数11(1)n n n u ∞-=-∑发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足条件(2)lim 0n n u →∞=,所以有lim 0.n n u →∞>(否则级数11(1)n n n u ∞-=-∑收敛)2.正项级数的比较判别法：设1n n u ∞=∑和1n n v ∞=∑都是正项级数,且lim,nn nv A u →∞=则(1)当0A <<+∞时,1nn u∞=∑和1nn v∞=∑同时收敛或同时发散；(2)当0A =时,若1nn u∞=∑收敛,则1nn v∞=∑收敛；若1nn v∞=∑发散,则1nn u∞=∑发散；(3)当A =+∞时,若1nn v∞=∑收敛,则1nn u∞=∑收敛；若1nn u∞=∑发散,则1nn v∞=∑发散.3.根值判别法：设0n u >,则当111, 1, lim 0,1, .n n n n n n n u u u ρ∞=∞→∞=⎧<⎪⎪⎪=>≠⎨⎪⎪=⎪⎩∑∑时收敛，时发散，且时此判别法无效九、(本题满分6分)【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0100()()x x f x f x dx =⎰；令1()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：(0)0Φ=,11111111000(1)()()(())()()()0,xx x x x dx xf x dx f t dt dxxf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：1(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.十、(本题满分6分)【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则存在正交矩阵P ,使得 1000010004P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦B 记,即A B 与相似.由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,211014,3, 1.(1)0.a a b A b B ++=++⎧⎪⇒==⎨=--==⎪⎩从而,111131.111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦当10λ=时,()1110131111E A ---⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥---⎣⎦1(1)23⨯-行分别加到，行111020000---⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为12320,20.x x x x ---=⎧⎨-=⎩(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为1(1,0,1).Tα=-当21λ=时,()011121110E A --⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥⎢⎥--⎣⎦3(1)2⨯-加到行011011110--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1(1)2⨯-行加到行011000110--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，行互换011110000--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 于是得方程组()0E A x -=的同解方程组为23120,0.x x x x --=⎧⎨--=⎩()2r E A -=,可知基础解系的个数为()321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为2(1,1,1).Tα=-当34λ=时,()3114111113E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦12，行互换111311113--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦1行的3,(-1)倍分别加到2，3行111024024--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23行加到行111024000--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,于是得方程组(4)0E A x -=的同解方程组为123230,240.x x x x x -+-=⎧⎨-=⎩(4)2r E A -=,可知基础解系的个数为(4)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,选2x 为自由未知量,取22x =,解得基础解系为3(1,2,1).Tα=由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123,,ααα相互正交. 将123,,ααα单位化,得111222333,,.TTTαηααηααηα======因此所求正交矩阵为0P ⎡⎢⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎣. 评注：利用相似的必要条件求参数时,iiiia b=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用E A E B λλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.【相关知识点】1.特征值的性质：11nni iii i aλ===∑∑2.相似矩阵的性质：若矩阵A B 与相似,则A B =.十一、(本题满分4分)【解析】用线性无关的定义证明.设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得10110.()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*两边左乘1k A -,则有()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,即 12(1)0110k k k k A A Aλαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0kA α=,可知()2110k k A A αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以00.λ=将00λ=代入()*,有1110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.两边左乘2k A -,则有 ()21110k k k A A A λαλα---+⋅⋅⋅+=,即123110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.同样,由0kA α=,()2110k k A A αα-+==,可得110.k A λα-=由题设10k Aα-≠,所以10.λ=类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,,k 使11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．十二、(本题满分5分) 【解析】()II 的通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.理由：可记方程组22()0,()0,n n n n I A X II B Y ⨯⨯==()I ,()II 的系数矩阵分别记为,A B ,由于B 的每一行都是20n n A X ⨯=的解,故0T AB =.TB 的列是()I 的基础解系,故由基础解系的定义知,T B 的列向量是线性无关的,因此()r B n =.故基础解系所含向量的个数2()n n r A =-,得()2r A n n n =-=.因此,A 的行向量线性无关.对0TAB =两边取转置,有()0TT T ABBA ==,则有T A 的列向量,即A 的行向量是0BY =的线性无关的解.又()r B n =,故0BY =基础解系所含向量的个数应为2()2n r B n n n -=-=,恰好等于A 的行向量个数.故A 的行向量组是0BY =的基础解系,其通解为1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,其中,111121,2(,,,),Tn a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.十三、(本题满分6分)【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y-,这样可以简化整题的计算.【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且()()()0E Z E X E Y =-=,11()()()122D Z D X D Y =+=+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.()()()()()()()22222()1.D X Y D ZE ZE Z D Z E Z E ZE Z-==-=+-=-而2222z z E Z z dz ze dz +∞+∞---∞==⎰2222202z z z ed e+∞+∞--⎡⎤⎛⎫==-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ 故21.D X Y π-=-【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.2.方差的定义：22()DX EX EX =-.3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞-∞=⎰.十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：212,,,~(3.4,6)n X X X N ,11nn i i X X n ==∑,各样本相互独立,根据独立正态随机变量的性质,211~(,)n n i i X X N n μσ==∑.其中11n n i i EX E X n μ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑,211n n i i DX D X n σ=⎛⎫== ⎪⎝⎭∑.根据期望和方差的性质,1122222211111 3.4 3.4,11166.n nn i i i i n n nn i i i i i i n EX E X EX n n n n DX D X D X DX n n n n n μσ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑所以,2116~(3.4,)n n i i X X N n n ==∑.把n X 标准化,~(0,1)X U N =. 从而,{}{}{}{}1.4X 5.4 1.4 3.4X 3.4 5.4 3.42X 3.42X 3.42210.95,P P P P P <<=-<-<-=-<-<=-<=<=Φ-≥⎝⎭⎪⎩⎭故0.975,Φ≥⎝⎭查表得到 1.96,3≥即()21.96334.57,n ≥⨯≈所以n 至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数. 2.若2~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z uN σ-十五、(本题满分4分)【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：001:70,:70,H H μμμ==≠由于2σ未知,故用t 检验.选取检验统计量,X T ==在070μμ==时,2~(70,),~(35).X N T t σ 选择拒绝域为{}R T λ=≥,其中λ满足：{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：1.42.0301t ==<.所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.。

1988年全国硕士研究生入学统一考试数学Ⅰ一、（每小题5，本题满分15分）（1）求幂级数133nnn x n的收敛域.（2）已知 2x f x e ， 1f x x，且 0x .求 x 并写出它的定义域.（3）设S 为曲面2221x y z 的外侧，计算曲面积分333SI x dydz y dzdx z dxdy.二、填空题：（本题满分12分，每小题3分）（1）若 21lim 1t xx f t t x，则 f t（2）设 f x 是周期为2的周期函数，它在区间 1,1 上定义为 32,10,01x f x x x ，则 f x 的傅里叶级数在1x 处收敛于.（3）设 f x 是连续函数，且31x f t dt x，则7f .（4）设4阶矩阵 234,,,A ， 234,,,B ，其中，234,,,, 均为4维列向量，且已知行列式4A ，1B ，则行列式A B.三、选择题（每小题3分，满分15分）（1）若函数 y f x 有 012f x ，则当0x 时，该函数在0x x 处的微分dy 是（ ）（A ）与x 等价的无穷小 （B ）与x 同阶的无穷小 （C ）比x 低阶的无穷小 （D ）比x 高阶的无穷小（2）设()y f x 是方程240y y y 的一个解，若()0f x ，且0()0f x ，则函数()f x 在点0x （A ）取得极大值（B ）取得极小值（C ）某个邻域内单调增加（D ）某个邻域内单调减少（3）设有空间区域22221:,0x y z R z 及22222:x y z R ，0,0,0x y z ，则（ ） （A ）124xdv xdv（B ）124ydv ydv（C ）124zdv zdv（D ）124xyzdv xyzdv（4）若11nn n a x在1x 处收敛，则此级数在2x 处（ ）（A ）条件收敛 （B ） 绝对收敛（C ）发散（D ）收敛性不能确定（5）n 维向量组 12,,,3s s n 线性无关的充分必要条件是（ ）（A ）有一组不全为0的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k （B ）12,,,s 中任意两个向量都线性无关（C ）12,,,s 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出 （D ）12,,,s 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出四、（本题满分6分）设x y u yf xg y x，其中,f g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y .五、（本题满分8分）设函数 y y x 满足微分方程322x y y y e ，且图形在点 0,1处的切线与曲线21y x x 在该点的切线重合，求函数 y y x .六、（本题满分9分）设位于点 0,1的质点A 对质点M 的引力大小为2kr 0k 为常数，r 为质点A 与M 之间的距离），质点M 沿曲线y 2,0B 运动到 0,0O .求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所做的功.七、（本题满分6分）已知AP PB ，其中100000001B ，100210211P，求A 及5A .八、（本题满分8分）已知矩阵20000101A x与2000001B y相似，（1）求x 与y ，（2）求一个满足1P AP B 的可逆矩阵P .九、（本题满分9分）设函数 f x 在区间 ,a b 上连续，且在 ,a b 内有 0f x .证明：在 ,a b 内存在唯一的 ，使曲线 y f x 与两直线 y f ，x a 所围平面图形面积1S 是曲线y f x 与两直线 y f ，x b 所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题（每小题2分，满分6分）（1）设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于1927，则事件A 在一次试验中出现的概率为（2）在区间 0,1中随机地取两个数，则事件“两数之和小于65”概率为（3）设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知22u xx du， 2.50.9938 ，则X 落在区间 9.95,10.05内的概率为十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度函数为21()1X f x x，求随机变量1Y 的概率密度函数()Y f y .一、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第一（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第一（3）题】二、填空题（本题满分12分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （2）【同数学Ⅰ第二（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第二（4）题】三、选择题（本题满分15分，每小题3分） （1）【同数学Ⅰ第三（1）题】（2）【同数学Ⅰ第三（2）题】 （3）【同数学Ⅰ第三（3）题】 （4）【同数学Ⅰ第三（4）题】 （5）【同数学Ⅰ第三（5）题】四、（本题满分18分，每小题6分） （1）【同数学Ⅰ第四题】 （2）计算2421222xxxdx dy dx dyyy（3）求椭球面2222321x y z 上某点M 处的切平面 的方程，使平面 过已知直线6321:212x y z l .五、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第五题】六、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第六题】 七、（本题满分 6 分）【同数学Ⅰ第七题】 八、（本题满分 8 分）【同数学Ⅰ第八题】九、（本题满分 9 分）【同数学Ⅰ第九题】一、填空题（每小题4分，满分20分）（1）若 sin cos ,02,0x e x x x f x x a x 是 , 上的连续函数，则a（2）【同数学Ⅰ第二（1）题】 （3）【同数学Ⅰ第二（3）题】 （4）0lim tanxx（5）4二、选择题（每小题4分，满分20分）（1）3211()6132f x x x x 的图形在点 0,1处切线与x 轴交点的坐标是（ ）（A ）1,06（B ） 1,0 （C ）1,06（D ）1,0（2）若()f x 与()g x 在 , 上皆可导，且()()f x g x ，则必有（ ）（A ）()()f x g x （B ）()()f x g x （C ）0lim ()lim ()x x x x f x g x （D ）()()xxf t dtg t dt（3）【同数学Ⅰ第二（1）题】（4）曲线 32sin ,0y x x 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转体体积是（ ） （A ）43（B ）43（C ）223（D ）23（5）【同数学Ⅰ第三（5）题】 三、（本题满分15分，每小题5分） （1）【同数学Ⅰ第一（2）题】（2）已知1xy y xe ，求0y x 及0y x （3）求微分方程2111y y x x x的通解（一般解）. 四、（本题满分12分） 作函数2624y x x 的图形，并填写下表.单调增区间单调减区间极值点极值凹 区间凸 区间拐 点渐近线五、（本题满分8分）将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？六、（本题满分10分）【同数学Ⅰ第五题（分值不同）】 七、（本题满分7分） 设1x ，求11||xt dt .八、（本题满分8分）设 f x 在 , 上有连续导数，且 m f x M .（1）求 201lim4aaa f t a f t a dt a；（2）证明1,02aa f t dt f x M m a a.数学Ⅳ一、填空题（本题满分12分，每空1分）（一）已知函数 212xt f x edt，x（1） f x （2） f x 的单调性：（3） f x 的奇偶性：（4） f x 图形的拐点：（5） f x 图形的凹凸性：（6） f x 图形的水平渐近线：（二）1110110110110111（三）10001001001001000（四）假设 0.4P A ， 0.7P A B ，那么（1）若A 与B 互不相容，则 P B （2）若A 与B 相互独立，则 P B二、判断题（本题满分10分，每小题答对得2分，答错得-1分，不答得0分，全题最低0分）（1）若极限 0lim x x f x 与 0lim x x f x g x 都存在，则极限 0lim x x g x 必存在.（ ）（2）若0x 是函数 f x 的极值点，则必有 0f x .（ ）（3）等式aaf x dx f a x dx，对任何实数a 都成立.（ ）（4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且0AB ，则A 的秩必小于n .（ ） （5）若事件A ，B ，C 满足等式A B B C ，则A B .（ ）三、计算下列各题（每小题4分，满分16分）（1）求极限 11limln x x x x x （2）已知uu e xy ，求2ux y.（3）求定积分3（4）求二重积分66cos yxdy dx x四、（本题满分6分，每小题3分）（1）讨论级数111!n n n n的敛散性（2）已知级数21nn a与2ii nb都收敛，试证明级数1n nn a b绝对收敛.五、（本题满分6分）已知某商品的需求量D 和供给量S 都是价格P 的函数： 2aD D p p， S S p bp ，其中0a 和0b 是常数；价格P 是时间t 的函数且满足方程 dpk d p s p dt，（k 是常数），假设当0t 时价格为1，试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数 P t ；（3）极限lim t P t六、（本题满分8分）在曲线 2,0y x x 上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的面积为112，试求：（1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程：（3）由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.七、（本题满分8分）已给线性方程组123412341213412342231363315351012x x x x x x x x x x k x x x x x x k，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.八、（本题满分7分）已知向量组 12,,,2s a a a s 线性无关，设112a a ，223a a ，…，11s s s a a ，1s s a a ，讨论向量组12,,,s 的线性相关性.九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式12A，求行列式 132A A 的值. 十、（本题满分6分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0,1,2只残次品的概率是0.8,0.1,0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求： （1）顾客买下该箱的概率 ；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率 .十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. （1）写出X 的概率分布；（2）利用棣莫佛拉普拉斯定理.求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. （附：(2.5)0.994,(1.5)0.993 ）十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间 1,2上服从均匀分布.试求随机变量2x Y e 的概率密度 f y .数学Ⅴ一、【同数学Ⅳ第一题】 二、【同数学Ⅳ第二题】三、（每小题４分，满分16分）（１）求极限21lim 1tan 2x xx （２）已知xyu e ，求2ux y（３）【同数学Ⅳ第三（3）题】 （４）【同数学Ⅳ第三（4）题】 四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数 2,1,1ax b x f x x x处处可导.五、（本题满分8分）【同数学Ⅲ第五题】 六、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第六题】 七、（本题满分8分）【同数学Ⅳ第七题】 八、（本题满分6分）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程2320A A E ,E 是单位矩阵.证明A 可逆并求出其逆矩阵1A .九、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第八题】十、（本题满分7分）【同数学Ⅳ第十题】 十一、（本题满分7分） 假设有十只同种电器元件，其中有两只废品，装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则扔掉重新任取一只：若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望与方差.十二、（本题满分5分）【同数学Ⅳ第十二题】1988年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷一）一．(本题满分15分，每小题5分)(1) 求幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域. 解：因11(3)1(1)3lim lim 33,(3)3(1)33n n n n n nx n n x x x n n ++→∞→∞-+⋅=-=--+⋅故131063x x -<<<即时，幂级数收敛.……3分当0x =时，原级数成为交错级数11(1)nn n∞=-∑，是收敛的. ……4分 当6x =时，原级数成为调和级数11n n ∞=∑，是发散的.……5分所以，所求的收敛域为[)0,6.(2) 已知f(x)= e2x ,f []()x ϕ=1-x,且 ϕ(x)≥0.求 ϕ(x)并写出它的定义域.解：由2[()]1x e x ϕ=-，得()x ϕ=.……3分 由ln(1)0x -≥，得11x -≥即0x ≤. ……5分所以()x ϕ=，其定义域为(,0).-∞(3)设S 为曲面1222=++z y x 的外侧，计算曲面积分⎰⎰++=sdxdy z dxdx y dydz x I 333. 解：根据高斯公式，并利用球面坐标计算三重积分，有2223()I x y z dv Ω=++⎰⎰⎰（其中Ω是由S 所围成的区域）……2分 212203d sin d r r dr ππθϕϕ=⋅⎰⎰⎰……4分 125π=.……5分二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 若f(t)=∞→x lim t tx x2)11(+，则()f t '=2(21)tt e +(2) 设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(]1,1-上的定f(x)= {1,210,3≤<-≤<x x x ,则f(x)的付立叶级数在x=1处收敛于23.(3) 设f(x)是连续函数，且⎰-=13,)(x x dt t f 则f(7)=112.(4) 设4*4矩阵A=),(4,3,2γγγα，B=),(4,3,2γγγβ，其中，4,32,,,γγγβα均为4维列向量， 且已知行列式 ,1,4==B A 则行列式B A +=.40.三、选择题 ( 本题满分15分，每小题3分)(1) 若函数y=f(x)有21)(0='x f ，则当0→∆x 时，该函x=0x 处的微分dy 是 (B) (A) 与x ∆等价的无穷小 (B) 与x ∆同阶的无穷小 (C) 比x ∆低阶的无穷小 (D) 比x ∆高阶的无穷小(2) 设()y f x =是方程042=+'-''y y y 的一个解，若()0f x >，且0)(0='x f ，则函数()f x 在点0x (A)(A) 取得极大值(B) 取得极小值(C) 某个邻域内单调增加(D) 某个邻域内单调减少(3) 设有空间区域 22221:R z y x ≤++Ω,;0≥z 及22222:R z y x ≤++Ω,,0,0,0≥≥≥z y x 则 (C)(A)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xdv xdv(B)⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124ydv ydv(C) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124zdv zdv(D) ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=124xyzdv xyzdv(4) 若nn n x a )1(1-∑∞=在x=-1处收敛，则此级数在x=2处(B)(A) 条件收敛 (B) 绝对收敛(C) 发散 (D) 收敛性不能确定(5) n 维向量组12,,,(3)s s n ααα≤≤ 线性无关的充分必要条件是(D)(A) 有一组不全为0的数12,,,,s k k k 使11220s s k k k ααα+++≠ .(B) 12,,,s ααα 中任意两个向量都线性无关.(C) 12,,,s ααα 中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出.(D)12,,,s ααα 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出.四．(本题满分6分)设)()(xyxg y x yf u +=，其中f,g 具有二阶连续导数，求222u u x y x x y ∂∂+∂∂∂.解：.u x y y y f g g x y x x x ⎛⎫∂⎛⎫⎛⎫''=+- ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭……2分 22231.u x y y f g x y y x x ⎛⎫∂⎛⎫''''=+ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭ ……3分 222.u xx y y f g x y y y xx ⎛⎫∂⎛⎫''''=-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ……5分 所以2220u ux y x x y∂∂⋅+⋅=∂∂∂.……6分五、(本题满分8分)设函数y=y(x)满足微分方程,223x e y y y =+'-''且图形在点(0，1)处的切线与曲线12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数).(x y y =解：对应齐次方程的通解为212x x Y C e C e =+.……2分 设原方程的特解为*,x y Axe = ……3分 得2A =-.……4分 故原方程通解为2212()2x x x y x C e C e xe =+-.……5分 又已知有公共切线得00|1,|1x x y y =='==-，……7分 即12121,21c c c c +=⎧⎨+=⎩解得121,0c c ==. ……8分所以2(12).x y x e =-六、(本题满分9分)设位于点(0，1)的质点A 对质点M 的引力大小为2r k(k>0为常数，r 为质点A 与M 之间的距离—)，质点M 沿曲线22x x y -=自B(2,0)运动到O(0，0).求在此运动过程中质点A 对质M 点的引力所做的功.解：{0,1}MA x y =--……2分r =因引力f的方向与MA 一致，故3{,1}k f x y r =--.……4分从而 3[(1)]BO kW xdx y dy r=-+-⎰ ……6分(1k =⋅.……9分七、(本题满分6分)已知PB AP =,其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112012001,100000001P B 求A 及5A .解：先求出1100210411P -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭. ……2分因PB AP =，故1100100100210000210211001411A PBP -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪==-- ⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭100100100200210200201411611⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……4分从而555111511A AAAAA PBP PBP PBP PB P PBP A -----===个个（）()()==. ……6分八、(本题满分8分)已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=10000002y B 相似，(1) 求x 与y ； (2) 求一个满足B AP P =-1的可逆矩阵P .解：(1) 因A 与B 相似，故||||λλ-=-E A E B ，即……1分20020001000101yx λλλλλλ---=---+，亦即22(2)(1)(2)((1))x y y λλλλλλ---=-+--.比较两边的系数得0,1x y ==.此时200001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，200010001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……3分 (2) 从B 可以看出A 的特征值2,1,1λ=-. ……4分对2λ=，可求得A 的特征向量为1100p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=，可求得A 的特征向量为2011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭. 对1λ=-，可求得A 的特征向量为3011p ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭. ……7分因上述123,,p p p 是属于不同特征值的特征向量，故它们线性无关. 令123100(,,)011011p p p ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭P ，则P 可逆，且有B AP P =-1.……8分九、(本题满分9分)设函数)(x f 在区间[]b a ,上连续，且在),(b a 内有0)(>'x f .证明：在),(b a 内存在唯一的ξ，使曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积1s 是曲线)(x f y =与两直线a x y ==),(ξ所围平面图形面积2s 的3倍.证：存在性 在[,]a b 上任取一点t ，令⎰⎰---=btt adx t f x f dx x f t f t F )]()([3)]()([)(()()()3()()()t ba t f t t a f t dx f x dx f tb t ⎡⎤⎡⎤=-----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰…3分 则()F t 在[,]a b 上连续.又因0)(>'x f ,故()f x 在[,]a b 上是单调增加的. 于是在(,)a b 内取定点c ，有()3[()()]3[()()]3[()()]bcbaacF a f x f a dx f x f a dx f x f a dx=--=----⎰⎰⎰[]113[()()]3()()()0,bcf x f a dx f f a b c c b ξξ≤--=---<≤≤⎰..()[()()][()()][()()]bcbaacF b f b f x dx f b f x dx f b f x dx=-=-+-⎰⎰⎰[()()]caf b f x dx ≥-⎰[]22()()()0,f b f c a a c ξξ=-->≤≤.……5分 所以由介值定理知，在(,)a b 内存在ξ,使0)(=ξF ，即.321S S =……6分 唯一性 因()()[()3()]0F t f t t a b t ''=-+->，……8分 故)(t F 在(,)a b 内是单调增加的.因此，在(,)a b 内只有一个ξ, 使.321S S =……9分十、填空题(共6分，每个2分)(1) 设三次独立实验中，事件A 出现的概率相等.若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为13.(2) 在区间)1,0(中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为1725.(3) 设随机变量X 服从均值为10，均方差为0.02的正态分布.已知)(x Φ=du e u x 2221-∞-⎰π，9938.0)5.2(=Φ，则X 落在区间(9.95，10.05)内的概率为0.9876.十一、(本题满分6分)设随机变量X 的概率密度函数为)1(1)(2x x f x +=π，求随机变量31X Y -=的概率密度函数)(y f Y .解：因Y 的分布函数()()Y F y P Y y =<……1分3{1}1}{(1)}P y P y P X y ==>-=>-……2分 333(1)(1)211arctan ar (ctan(11))2y y dx x y x ππππ+∞+∞--⎡⎤===--⎢⎥+⎣⎦⎛⎜⎠. ……4分故Y 的概率密度函数为)(y f Y 363(1)()1(1)Y dy F y dyy π-==+-. ……6分数 学（试卷二）一．(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一 第一、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第一、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第一、(3) 题 】二、填空题：(本题满分12分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第二、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第二、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第二、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第二、(4) 题 】三、选择题(本题满分15分，每小题3分) (1) 【 同数学一 第三、(1) 题 】 (2) 【 同数学一 第三、(2) 题 】 (3) 【 同数学一 第三、(3) 题 】 (4) 【 同数学一 第三、(4) 题 】 (5) 【 同数学一 第三、(5) 题 】四．(本题满分18分，每小题6分) (1) 【 同数学一 第四题 】 (2) 计算dy yxdx dy y xdx x xx⎰⎰⎰⎰+422212sin2sinππ.解：dy yx dx dy y x dx x x x ⎰⎰⎰⎰+422212sin 2sin ππ221sin2y y xdy dx y π=⎰⎰……3分 212cos cos 22y y dy πππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰.……4分 33284cos ()(2)2y t tdt t ππππππ=-==+⎰令. (6)分(3) 求椭球面2132222=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使平面π过已知直线2121326:--=-=-z y x l . 解：令222(,,)2321,F x y z x y z =++-则2,4,6.x y z F x F y F z ===椭球面在点000(,,)M x y z 处的切平面π的方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321x x y y z z ++=.……2分 因为平面π过直线L ，故L 上的任两点，比如点17(6,3,)(0,0,)22A 、B 应满足π的方程，代入有000366212x y z ++= (1)02z = (2)又因 2220002321,x y z ++= (3)于是有0000003,0,21,2,2x y z x y z ======及.……4分 故所求切平面π的方程为274+621x z x y z +=+=和.……6分五、（本题满分8分）【 同数学一 第五题 】 六、（本题满分9分）【 同数学一 第六题 】 七、（本题满分6分）【 同数学一 第七题 】 八、（本题满分8分）【 同数学一 第八题 】 九、（本题满分9分）【 同数学一 第九题 】数 学（试卷三）一、填空题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 若⎩⎨⎧≤+>+=0,20),cos (sin )(2x x x x x e x f α是),(∞-∞上的连续函数，则=α1.(2) 【 同数学一 第二、（1）题 】 (3) 【 同数学一 第二、（3）题 】 (4)0tgxx →+=1.(5)4=⎰22(1)e +二、选择题 (本题满分20分，每小题4分)(1) 162131)(23+++=x x x x f 的图形在点（0，1）处切线与x 轴交点的坐标是 (A)(A) 1(,0)6- (B) (1,0)-(C) 1(,0)6- (D) (1,0)(2) 若)(x f 与)(x g 在),(∞-∞上皆可导，且)(x f 〈)(x g ，则必有(C)(A) ()()f x g x ->-(B) ()()f x g x ''< (C) 0lim ()lim ()x x x x f x g x →→<(D)()()Xxf t dtg t dt<⎰⎰(3) 【 同数学一 第二（1）题 】(4) 曲线)0(sin 23π≤≤=x x y 与x 轴围成的图形绕x 轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43π (C)223π(D)23π【B 】(5) 【 同数学一 第三（5）题 】三、(本题满分15分，每小题5分) (1) 【 同数学一第一、（2）题 】(2) 已知xy xe y +=1，求0='x y 及0=''x y . 解： 显然0x =时，1y =.……1分 2()(1)xy xy xy y xe xy y e e x y xy '''=++=++.……2分 因此001x y e ='==；……3分而22(2)(1)(1)xy xy y e x y xy xy y e x y xy xy ''''''''=+++++++，……4分 即得000|2x y e e =''=+=.……5分(3) 求微分方程)1(112+=+'x x y x y 的通解（一般解）. 解：1121(1)dx dx x xy e e dx C x x -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥+⎣⎦⎰……3分 2111dx C x x ⎡⎤=+⎢⎥+⎣⎦⎰……4分 []1arctan x C x=+，其中C 是任意常数. ……5分四、(本题满分12分) 作函数4262+-=x x y 的图形，并填写下表其图形为：五、(本题满分8分)将长为a 的铁丝切成两段，一段围成正方形，另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小？解： 设圆形的周长为x ，则正方形的周长为a x -，而两面积之和为222244216816a x x a a A x x ππππ-+⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ……3分 4088a A x ππ+'=- （令），得4a x ππ=+. ……5分 408A ππ+''=>.……7分 故当圆的周长为4a x ππ=+时，正方形的周长为44aa x π-=+时，A 之值最小.……8分六、(本题满分10分)【 同数学一 第五题（分值不同）】 七、(本题满分7分) 设1-≥x ，求dt t x)1(1⎰--.解：当10x -≤<时，11(1||)(1)xxt dt t dt---=+⎰⎰……1分 211(1)2xt -=+……2分 21(1)2x =+. ……3分当0x ≥时，011(1||)(1)(1)xxt dt t dt t dt---=++-⎰⎰⎰……5分 211(1)2x =--.……7分八、(本题满分8分)设)(x f 在),(∞-∞上有连续导数，且M x f m ≤≤)(. (1) 求[]dt a t f a t f a aaa ⎰-+→--+)()(41lim20； (2) 证m M x f dt t f aaa -≤-⎰-)()(21)0(>a . 解：(1) 由积分中值定理和微分中值定理有201lim [()()]4aaa f t a f t a dt a +-→+--⎰01lim [()()]2a f a f a aξξ+→=+--()a a ξ≤≤ ……2分 ****0lim ()lim ()(22)a f f a a a a ξξξξξξ+→→''==-≤-<<+≤=(0)f '. ……4分 (2) 证：由()f x 的有界性及积分估值定理有……5分 1()2aam f t dt M a -≤≤⎰,……6分 又 ()M f x m -≤-≤-，……7分故有 1()()()2aa M m f t dt f x M m a ---≤-≤-⎰， 即1()()2aa f t dt f x M m a--≤-⎰. ……8分数 学（试卷四）一、填空题（本题满分12分，每空1分） (一) 已知函数∞<<-∞=⎰-x dt ex f xt ,)(0212.（1）=')(x f 221t e-.（2）)(x f 的单调性： 单调增加 . （3）)(x f 的奇偶性： 奇函数 . （4）)(x f 图形的拐点：（0，0） （5）)(x f 图形的凹凸性：0x <时上凹（下凸）,0x >时下凹（上凸）. （6）)(x f图形的水平渐近线近线：y y ==(二)=11101101101101113-.(三) =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-10001001001001000⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001001001001000. (四) 假设()0.4()0.7P A P A B == ，，那么（1）若A 与B 互不相容，则P （B ）=0.3. （2）若A 与B 相互独立，则P （B ）=0.5.二、（本题满分10分）（每小题，回答正确得2分，回答错误得-1分，不回答得0分；全题最低得0分）（1）若极限)(lim 0x f x x →与)(lim 0x f x x →)(x g 都存在，则极限)(lim 0x g x x →必存在.（⨯） （2）若0x 是函数)(x f 的极值点，则必有0)(0='x f . （⨯） （3）等式⎰⎰--=aadx x a f dx x f 0,)()(对任何实数a 都成立.（⨯） （4）若A 和B 都是n 阶非零方阵，且AB=0，则A 的秩必小于n .（√）（5）若事件A ，B ，C 满足等式,A C B C ⋃=⋃ 则 A=B. （⨯）三、（本题满分16分，每小题4分.）(1) 求极限 11limln x x x x x→-解一： 此极限为0型未定式，由罗必塔法则，则11(ln 1)=lim lim 1ln 1x x x x x x x x →→+==+原式.……4分 解二： 令ln t x x =，则x tx e =.由于当1x →时，0t →，可见001=lim lim 1t t t t e e t→→-==原式.……4分 (2) 已知Ｕ＋xy e u=，求yx u ∂∂∂2.解：由于11u uu y u xx e y e∂∂==∂+∂+，， ……2分 可见221(1)u u u u e yeu u y x y y x e ∂+-∂∂∂∂⎛⎫== ⎪∂∂∂∂+⎝⎭……3分 311(1)uu u xye e e =-++. ……4分 (3) 求定积分)1(30x x dx+⎰.解一：2d =，可见原式0=⎛⎜⎠……2分23π=. ……4分 解二：2,2t x t dx tdt ===，；当0x =时，0t =；当3x =时，t =；……1分于是，22=1dt t +原式……2分2arctan =……3分23π=. ……4分(4) 求二重积分66cos yxdy dx xππ⎰⎰. 解： 在原式中交换积分次序，得 原式60cos xxdx dy xπ=⎰⎰……2分60=cos xdx π⎰601=sin 2x π=……4分.四、（本题满分６分，每小题３分） (1) 讨论级数∑∞=++11)!1(n n n n 的敛散性 解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)n n n n n n n u n n n n n u n n n n n n+++++++++=⋅=⋅=++++++⋅，有 11lim lim 21111(11)n n n n n n eu u n n+→∞→∞++=+=+<⋅， ……2分故由级数收敛的比值判别法，知∑∞=++11)!1(n n n n 收敛. ……3分(2) 已知级数∑∞=12n a和2ii nb∞=∑都收敛，试证明级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证： 由于级数∑∞=12n a 和2ii n b ∞=∑都收敛，所以2211()2i i n a b ∞=+∑收敛. ……2分而221()2n n n n a b a b ≤+， 故由比较判别法，知级数1||n nn a b∞=∑收敛，即∑∞=1n n n b a 绝对收敛.……3分五、（本题满分8分）已知某商品的需求量Ｄ和供给量都是价Ｐ的函数：2()aD D p p ==，()S S p bp ==，其中a>0和b>0是常数：价格p 是时间t 的函数且满足方程()],()([p s p d k dtdp-=k 是常数），假设当t=0时价格为1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格e P ； （2）价格函数)(t p ； （3）极限)(lim t p t ∞→.解：(1) 当需求量等于供给量时，有2a bp p =，即3a p b=. 故13()e a p b =.……1分(2) 由条件知322[()()][][]dp a b ak D p S p k bp k p dt p p b=-=-=-.因此有332[]e dp b k p p dt p=-，即233e p dp kbdt p p =--. ……3分 在该式两边同时积分得333kbt e p p ce -=+.……5分故由条件(0)1P =，可得31e c p=-.于是价格函数为13333()[(1)]kbt e ep t p p e-=+-. ……6分(3) 13333lim ()lim[(1)]kbt e e et t p t p p ep-→∞→∞=+-=……8分六、（本题满分8分）在曲线2(0)y x x =≥上某点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围图形的面积为112，试求： (1) 切点A 的坐标； (2) 过切点A 的切线方程；(3) 由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积.解：设切点A 的坐标为2(,)a a ，则过点A 的切线方程的斜率为|2x a y a ='=，切线方程为22()y a a x a -=-，即22y ax a =-.……2分可见，切线与x 轴的交点为2(,0)2a . 故曲线、x 轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412a a a a a S x dx =-=-=⎰.……4分 而由题设知112S =，因此1a =. ……5分于是，切点A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21y x =-. ……6分旋转体的体积为11222102()(21)30V x dx x dx πππ=--=⎰⎰. ……8分七、（本题满分8分）已给线性方程组1234123412341234231231231231x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++=⎩，问1k 和2k 各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解： 以A 表示方程组的系数矩阵，以(|)A B 表示增广矩阵，因121112331361(|)33115151012k k ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭A B 1211123101214002250003k k ⎛⎫⎪- ⎪→ ⎪-+ ⎪ ⎪+⎝⎭……2分故当12k ≠时，()(|)4R R ==A A B ，方程组有唯一解；……3分当12k =时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000k k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭A B ……4分这时，若21k ≠，则()3(|)4R R =<=A A B ，故方程组无解；若21k =，则()(|)34R R ==<A A B ，故方程组有无穷多组解，此时有 ……6分112311004010008012110121101203(|)000120001200012000000000000000⎛⎫⎛⎫⎛-⎫⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪→→→⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ……7分相应的方程组为12348;322.x x x x =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，取3x c =（c 为任意常数），得方程组的一般解：12348,32,,2x x c x c x =-=-==.……8分综上所述：当12k ≠时，方程组有唯一解；当12k =而21k ≠时，方程组无解；当12k =且21k =时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,32,,2x x c x c x =-=-==，其中c 为任意常数.八、（本题满分7分）已知向量组1,2,,s a a a （S ≥2）线性无关，设11222311,,,,s s s s a a a a a a a ββββ-=+=++=+ ，讨论向量组12,,,s βββ 的线性相关性.解：假设12,,,s k k k 是一数组，满足条件11220s s k k k βββ+++= ……1分那么，有111221()()()0s s s s k k k k k k ααα-++++++= .由于,,2,1s a a a 线性无关，故有1122310000s s s k k k k k k k k -+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩ （*）……3分此方程组的系数行列式为s 阶行列式：110001112,1(1)011000,011s D +⎧==+-=⎨⎩若s 为奇数若s 为偶数……5分若s 为奇数，则20D =≠，故方程组（*）只有零解，即12,,,s k k k 必全为0.这时，向量组12,,,s βββ 线性无关.若s 为偶数，则0D =，故方程组（*）有非零解，即存在不全为0的数组12,,,s k k k ， 使11220s s k k k βββ+++= .这时，向量组12,,,s βββ 线性相关,……7分九、（本题满分6分）设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式.21=A 求行列式*--A A 2)3(1的值. 解： 因 111(3)3--=A A ， ……2分 故 *111||2--=⋅=A A A A ， ……3分 所以 311111122(3)2||||333A A -*----⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭A A A A……5分 1627=-.……6分十、（本题满分7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率是8.0，0.1和0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察4只，若无残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1) 顾客买下该箱的概率α； (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率β. 解：设i B ＝｛箱中恰有i 件残品次品｝（0,1,2i =），A ＝｛顾客买下所察看的一箱｝.……1分由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P B P B P B ===；419014204(|)1,(|)5C P A B P A B C ===；418242012(|)19C P A B C ==.……3分(1) 由全概率公式20.4 1.2()()(|)0.80.94519i i i P A P B P A B α====++≈∑； ……5分 (2) 由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A B P B A P A β==≈≈.……7分 十一、（本题满分6分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1) 写出X 的概率分布；(2) 利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于14户且不多于30户的概率的近似值. 解：(1) X 服从二项分布，参数100,0.2n p ==，其概率分布为100100{}0.20.8(0,1,100)kk kP X k C k -=== .……2分 (2) 由(,)X B n p 知，20,(1)16EX np DX np p ===-=,……4分故根据棣莫佛－拉普拉斯定理，有{1430}P X P ≤≤=≤≤201.5 2.54X P -⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭ ……5分 (2.5)( 1.5)(2.5)[1(1.5)]≈Φ-Φ-=Φ--Φ0.994[10.933]0.927=--=. ……6分十二、（本题满分6分）假设随机变量X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xe Y 2=的概率密度f(y).解：由条件知，X 的密度函数为1,12()0,x p x <<⎧=⎨⎩若其他……1分记(){}F y P Y y =≤为Y 的分布函数，则有21ln 242140,2(),31,4yy e F y dx e y e y e ⎧≤⎪⎪=<<⎨⎪≥⎪⎩⎰若……分若……分若……分因此22440,1()(),20,y e f y F y e y e yy e⎧<⎪⎪'==<<⎨⎪⎪>⎩若若若于是（当24,y e e =时，补充定义()0f y =），得2441,2()0e y eyf y y e ⎧<<⎪=⎨⎪>⎩若若. ……6分数 学（试卷五）一、 【 同数学四 第一题 】 二、 【 同数学四 第二题 】 三、（本题满分16分，每小题4分.） (1) 求极限x tgx x 2)1(lim 21π-→.解：211lim cot2x xxπ→-=原式……1分212limsin 22x x x ππ→-=⋅-……3分4π=. ……4分(2) 已知x yu e =，求yx u∂∂∂2. 解： 1xyu e x y∂=∂，……1分22211xxy y u x e e x y y y y ⎛⎫∂=-+- ⎪∂∂⎝⎭……3分3.xy x ye y+=-……4分(3) 【 同数学四 第三、（3）题 】 (4) 【 同数学四 第三、（4）题 】四、（本题满分6分）确定常数a 和b ，使函数2,1(),1ax b x f x x x +>⎧=⎨≤⎩，处处可导.解：当1x ≠时，显然()f x 可导；……1分为使1x =时，导数()f x '存在，()f x 在1x =处必须连续， 故有(10)(10)(1)f f f +=-=，……2分由此可得1a b +=.……3分 又由(10),(10)2,f a f ''+=-=……4分 以及()f x 在1x =处的可导性，有(10)(10)f f ''+=-.由此得2a =， ……5分 从而1b =-.……6分五、（本题满分8分.）【 同数学三 第五题 】 六、（本题满分8分.）【 同数学四 第六题 】 七、（本题满分8分.）【 同数学四 第七题 】 八、（本题满分6分.）已知n 阶方阵A 满足矩阵方程0232=--E A A ，其中A 给定，而E 是单位矩阵. 证明A 可逆，并求出其逆矩阵1-A .解一：由2320--=A A E ，可见232-=A A E ，(3)2-=A A E E .在上式两端同取行列式，得|(3)||2|-=A A E E ；|||(3)||2|20n ⋅-==≠A A E E ……3分由此可见||0≠A ，从而A 可逆. ……4分 在(3)2-=A A E E 两端同时左乘112-A ，得11(3)2-=-A A E . ……6分解二：由2320--=A A E ，可见232-=A A E . 从而有1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A A E E 及1(3)2⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦A E A E .……3分 记1(3)2B =-A E ，则==AB BA E . 由逆矩阵的定义知A 可逆，且B 是A 的逆矩阵：11(3)2-==-A B A E .……6分 九、（本题满分7分.）【 同数学四 第八题 】 十、（本题满分7分.）【 同数学四 第十题 】 十一、（本题满分7分）假设有十只同种电器元件，其中有两只废品装配仪器时从这批元件中任取一只，如是废品，则倒掉重新任取一只；若仍是废品，则扔掉再取一只.试求在取到正品之前，已取出的废品只数的分布，数学期望和方差.解： 以X 表示在取到正品前已取出的废品数. 知X 是一随机变量，其有3个可能的取值：0,1,2.……1分（1）分布：8{0}0.810P X ===；288{1}10945P X ==⋅=； 2181{2}109845P X ==⋅⋅=.……4分 （2）数学期望：81200.81245459EX =⨯+⨯+⨯=.……5分 （3）方差：222281400.812454515EX =⨯+⨯+⨯=，……6分 2288()405DX EX EX =-=. ……7分十二、（本题满分5分.）【 同数学四 第十二题 分值不同 】。

1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)0x →(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2zx y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________. (4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰= (A)2()xf x (B)2()xf x - (C)22()xf x(D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π (B)π(C)4e π(D)4e ππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==--- (A)相交于一点 (B)重合 (C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有 (A)(|)(|)P A B P A B = (B)(|)(|)P A B P A B ≠ (C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数. 七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分） 设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11()1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由. 九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的. 十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αA αAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分） 已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).T TTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差. 十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大? 附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70 分?并给出检验过程. 附:t 分布表{()()}p P t n t n p ≤=1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)2011lim()tan x xx x→-=_____________. (2)20sin()xd x t dt dx -⎰=_____________. (3)24e x y y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是 _____________. (5)设两两相互独立的三事件,A B 和C 满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________. 二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则 (A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数 (B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数 (D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处 (A)极限不存在 (B)极限存在,但不连续 (C)连续,但不可导 (D)可导 (3)设01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑ 其中102()cos n a f x n xdx π=⎰ (0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则 (A)1{0}2P X Y +≤= (B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤= (D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x L I y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点(,)P x y 作该曲线的切线及x 轴的垂线,上述两直线与x 轴所围成的三角形的面积记为1S ,区间[0,]x 上以()y y x =为曲线的曲边梯形面积记为2S ,并设122S S -恒为1,求曲线()y y x =的方程.六、(本题满分7分)论证:当0x >时,22(1)ln (1).x x x -≥- 七、(本题满分6分)为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s 的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N ⨯1m=1Jm,N,s,J 分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分) 设S 为椭球面222122x y z ++=的上半部分,点(,,),P x y z S π∈为S 在点P 处的切平面,(,,)x y z ρ为点(0,0,0)O 到平面π的距离,求.(,,)SzdS x y z ρ⎰⎰九、(本题满分7分) 设40tan :n n a xdx π=⎰ (1)求211()n n n a a n∞+=+∑的值.(2)试证:对任意的常数0,λ>级数1n n a nλ∞=∑收敛. 十、(本题满分8分)设矩阵153,10a c b c a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 其行列式||1,=-A 又A 的伴随矩阵*A 有一个特征值0λ,属于0λ的一个特征向量为(1,1,1),T =--α求,,a b c 和0λ的值. 十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定,B 为m n ⨯实矩阵,TB 为B 的转置矩阵,试证TBAB为正定矩阵的充分必要条件是B 的秩().r n =B 十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(,)X Y 联合分布率及关于X 和关于Y 的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.十三、(本题满分6分)设X 的概率密度为36() 0< ()0 其它xx x f x θθθ⎧-<⎪=⎨⎪⎩,12,,,n X X X 是取自总体X 的简单随机样本 (1)求θ的矩估计量ˆθ. (2)求ˆθ的方差ˆ().D θ。