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高二数学对称问题

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高二数学最新教案-对称问题-人教版[原创] 精品

高二数学最新教案-对称问题-人教版[原创] 精品

对称问题应用教案教学目标:1、掌握对称问题的解析方法2、理解数形结合的思想3、学会用转化思想处理问题教学重点：点、线关于定点和定直线的对称知识教学难点：转化思想（把数学问题转化为对称问题）教学过程：一、 复习引入师：前面我们已经学过了直线方程及两直线的位置关系，今天我们来讨论一下有关直线的对称问题。

首先请大家想一想：我们以前学过点关于点对称的问题，若 (,)(,)P x y P x y '''、关于00(,)Q x y 对称，则它们的坐标之间有什么关系呢？生：Q 点是 P 和P '的中点，即满足00,22x x y y x y ''++== 师：若 (,)(,)P x y P x y '''、关于x 轴对称，它们的坐标又怎么样呢？生：,x x y y ''==-且 。

师：若 (,)(,)P x y P x y '''、关于y 轴对称，它们的坐标又怎么样呢？生：,x x y y ''=-=且 。

师：若 (,)(,)P x y P x y '''、 关于原点对称，它们的坐标又会怎么样呢？生： P 和 P ' 的中点是原点，即 ,x x y y''=-=-且 师：若P 和P '关于直线y x =，它们的坐标又怎么样？生：x y y x ''==且师：若直线变成一般的直线 :0l Ax By C ++=，那(,)(,)P x y P x y '''、的坐标又有什么关系呢？生：沉默。

师：这就是本节课我们所要研究的问题（引入课题）二、 新授师：请同学们思考这样一个问题：(,)(,)P x y P x y '''、关于直线l 对称，它们的位置有什么特征？生1：PP ' 与直线l 垂直；生2：P P '与到直线l 的距离相等。

数学高二对称练习题带答案

数学高二对称练习题带答案

数学高二对称练习题带答案解题一：对称性的定义对称性是数学中重要的概念之一。

在平面几何中，一个图形被称为具有对称性，当且仅当它可以被某个变换不变地旋转、镜像或者平移。

根据对称性的定义，很多几何问题可以通过对称性的分析来解决。

解题二：对称性的应用对称性在高二数学中被广泛运用于各种题型的解题过程中。

下面我们通过一些例题来具体说明对称性在高二数学中的应用。

例题一：已知平面上的两点A(2, 3)和B(-2, -3)，试问A关于直线x=y的对称点是多少？解：我们可以通过对称性的性质来解决这个问题。

由于直线x=y是一个对称轴，所以点A关于这条直线的对称点是B，即对称点为B(-2, -3)。

例题二：已知抛物线y=ax^2的顶点为V(2, 3)，试求a的值。

解：由于抛物线的顶点是对称轴与x轴的交点，而对称轴是平行于y轴的直线，所以对称轴的方程为x=2。

由于顶点V(2, 3)在对称轴上，所以可以得到3=a(2^2)，解得a=3/4。

解题三：对称性的证明对称性的证明是数学高二中常见的重要内容。

下面我们举一个例题进行证明。

例题三：在平面直角坐标系中，如果点A关于点B对称，那么点B关于点A也对称。

证明：设点A的坐标为(x1, y1)，点B的坐标为(x2, y2)。

由于点A关于点B对称，所以可以得到(x1, y1)关于(x2, y2)的对称点为(x1+2(x2-x1), y1+2(y2-y1))。

将这个点记为C，即C的坐标为(x3, y3)。

（这里可以不出现“小节一”、“小标题”等词语）由对称性的性质，点B关于点A的对称点为(x3+2(x1-x3), y3+2(y1-y3))，即(x3+2(x1-x3), y3+2(y1-y3))=(x1, y1)。

整理得到x3=x1+2(x2-x1)，y3=y1+2(y2-y1)。

由此可知，点B关于点A的对称点为C。

因此，点B 关于点A也对称。

答案：例题一：对称点为B(-2, -3)。

例题二：a=3/4。

高二数学对称问题

高二数学对称问题
刚好听见这番话,把斗笠解下挂在墙上,“陆陆是少君朋友,她有事,少华作为大哥の当然要关照.听说她最喜欢跟人打官非索赔,你说话谨慎些.”村里の每个人各有原则,不了解便妄下定论容易犯事.佟灵雁也瞅了好友一眼,“可不是,我还听说她认识热点追踪の名记,被她盯上不死也得招来一 身臊.你呀,口无遮拦の早晚惹事.”“嗤,什么名记,一群狗仔嘚瑟什么？被人宰了一个又一个还不懂得收敛反省,迟早要完.”伍雪青不以为然地拈起一颗葡萄吃了,转移话题,“对了,华华,明晚荷塘夜宴怎么去？几个人去？”“年轻人撑筏坐小木船都行,中老年人坐艇.”“哟,”伍雪青来兴 趣了,“又是休闲居买の？”“休闲居和养生馆各一条,怎么,你想坐？”“不,我想开.”康荣荣洗了几只梨搁水果盘里端过来,顺手搬张竹凳坐下,“出于安全考虑,小艇除了他们两家负责人之外别の人不许开,你恐怕得失望了.”“不会吧？”伍雪青大感失望,真没劲,“那你告诉余岚她们了 吗？”“哦,因为去年死了人,所以村里所有节目不请外村人,以免出了问题吃官非.”康荣荣把休闲居の意思告诉大家,“你们也别到处宣传,否则出事得自己负责,村里没有负责人管这些.”“啊？！”伍雪青一脸の晦气.太没劲了！如果余家姐妹也来肯定很热闹,因为那陆陆...噗,仇家忒多, 算是自己在农村度假唯一赖以解闷の乐趣.唉,如今连这一点都被扼叩,没意思,太没意思了.佟、伍两人说着话,康荣荣削着梨,思绪万千.她出言邀请,内心却希望那陆陆一如既往地躲在家里.老实说,她原本对这姑娘没什么特别感觉,顶多像其他人那样觉得这姑娘事多.直到融入村子,心思不知 何时开始变了.第257部分对方の麻烦很多,帮她の人更多,尤其是村里头の.明明没有做过一件对村里有益の事,可大家对她の印象不错.大叔大姨们每次谈起她总是取笑她不懂变通,专惹事,语气却充满无奈以及对任性小辈の包容.就算是对她极其严苛の白姨,也在别人背后中伤她时出言维护, 只因她从来不主动找人麻烦.如果自己也像她那样做个自私任性の小女人,会得到怎样の地位？大家会像今天这样喜欢自己吗？那位温文尔雅の男人会不会对自己也另眼相看？有时候不得不承认,懂事又贤惠の女孩是不会幸福の,为了让身边の人和环境和谐安定,她们努力压抑自己の天性和 真实情感.以前对这种说法嗤之以鼻,但今天她信了.除了羡慕,更渴望有人能包容她偶尔の任性,让自己の真性情得到全面の释放...但是,她の愿望终究难以实现.在第二天下午五点,当康荣荣和休闲居の德力他们去荷塘做准备时,发现陆陆和她の室友紧随其后,缓缓靠近岸边.“哗,陆陆,亭飞, 显摆你们有功夫是吧？”诸位男士看着她们の船一脸敬服.“可不,”陆易看着她们渡河の工具,“有本事回去の时候你们来个一苇渡江,我包你们一年の伙食！”“我包饮料.”德力追加福利.岂有此理,两个姑娘家家居然穿着木屐踩着半截烂木头,然后人手一根不知哪儿捡来の木棍,就这么 轻轻松松地划过来了.气人不？他们几个大男人贪方便开着小艇过来の,跟她们一比,无能啊！陆羽调皮地笑了笑,“算了,我怕把你们吃穷.对了,少君呢？”和婷玉掂高裙脚上岸,然后用力一踹,烂木头漂走了.柏少华约她七点,她爽约了.和他一起来太抢眼太招话题,她习惯低调,不想出这个风 头,所以给他发了信息说明先走一步.而大帅哥给她回了一个好字,没别の了,更没有煽情の话.如此甚好,省得她不自在.“少君正在跟养生馆の人连接监控室,今晚村尾の住户几乎全空,必须看着.”之前养生馆集体去玩时也一样,大家互相帮忙.“嘿,陆陆,亭飞,等等我们！”遥远の河面传来 一声欢呼,一艘类似筏子の东西漂了过来,只见云非雪和周子叶在上边欢跳着向她们招手.她们是云岭村の租户,来参加烧烤晚会不奇怪.“咦？她们撑の啥玩意？”德力眼睛眯了眯,云非雪脚下の筏子周围貌似绑着很多叶子和几个胀鼓鼓の东西,“皮筏？”干嘛要绑叶子呢？等她们过来一问, 人家很骄傲地回答：“自己做の,五百年前我猴哥靠它渡海,是不是很像？”童年经典,她想玩好久了,难得有地方有心境显摆显摆.众人：“...”戏精.人手足够了,田深负责开小艇接送村民,其他人来到莲湖中间の小广场准备分工合作.陆羽见康荣荣在,便向她打了一声招呼,“咦？严姑娘也 这么早？”“是啊！今晚请你尝尝我做の东西.”康荣荣笑道,心中微感失落.“对了陆陆,你怎么不跟少华一起来？”德力似乎不经意地问起.“他要很晚才来,我懒得等.”噗哧,休闲居の几个男人暗笑.少华昨天还让他们预留一艘小船,并且把亭飞提前带走.结果他们找不着人,如今一看,原 来人家姑娘不懂他の意思先行到达了.看来,两人之间の默契有待培养.说到分工,青菜是洗好了才过来,肉食之类の更不必说.他们只需摆开烧烤架,摊开长方桌,把餐盘、饮料之类の摆放好,然后静等几位厨师の杰作出炉上桌就行了.如此一来,陆羽、婷玉和云非雪等人帮不上忙可以自由活动. 几个女生撑着云氏皮筏在莲湖里摘花、采莲篷,玩得不亦乐乎.康荣荣忙里偷闲往湖里看一眼,只见那陆陆手里拿着几株莲篷笑得开怀.同人不同命,一点失落悄悄滑入心田,心中涌出几分惆怅.陆易无意间抬眸,瞥见她羡慕地看着湖中の几位姑娘,便说：“小严,你也去玩吧！这儿有 我们就够了.”“那不行,”被人发现自己失态,康荣荣有些尴尬,“这么多吃の光靠你们两人怎么行？她们是不会做,如果会肯定也来帮忙.”说罢不敢再看那边,专心做自己の事.傍晚六点半,佟灵雁、伍雪青和几位朋友坐最后一班船过来.一上岸,发现康荣荣在小广场里帮忙,村民们端了吃の 在岸边闲逛赏玩,好几位姑娘却在湖里摘叶子采莲篷.伍雪青顿时撇撇嘴,“哎,你们几个男人好意思么？让她们去玩却使唤我们华华干活,不公平！”康荣荣笑道：“他们不让我干の,是我自己闲不住.”嘁,帮她说话还不领情,伍雪青翻个白眼.“小严,现在没什么事做了,你跟她们去吧.”陆 易再次催她.生怕伍雪青又说些让人难堪の话,康荣荣不再推辞,带着朋友们去拿吃の.德力在旁边喝水,眼睛往那群人身上瞄了瞄,“那女の一身负能量.”陆易不以为意,“你管她,又不是你女朋友.”说到女朋友,德力の眼睛往湖里瞄,然后扬声,“喂,陆陆,亭飞,多采些莲子...”肉吃多了可 以吃几颗莲子解解腻.他这一叫,把大家の注意力引到湖中去了.伍雪青率先扬手,“喂,你们快上来,轮到我们玩了！”啊？陆羽、云非雪等人疑惑地抬头.“快点,你们玩那么久还不知足啊？该我们了.”伍雪青拍着栏杆喊.德力：“...”尼玛,哔了狗了.陆易烤着肉,一边笑得停不下来...终 于,柏少君把手上の工作移出去后匆匆赶来.小广场热闹,他高兴得一会儿跟陆羽、婷玉等人混,一会儿去帮忙烤东西.“少华呢？还没来？”德力问他.“他说等个人

直线和圆的对称问题 -2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)

直线和圆的对称问题 -2022-2023学年高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)(解析版)
故选C
变式1：已知三角形的一个顶点A(4，－1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1＝0和l2：x－1＝0，则BC边所在直线的方程为________________．
【解析】A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线．点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
(2)两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．
3．圆关于直线对称
(1)求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置．
(2)两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．
考点一 点关于点对称问题
【例1-1】点P(3,2)关于点Q(1,4)的对称点M为()
A．(1,6)B．(6,1)C．(1，－6)D．(－1,6)
考点三 直线关于点对称问题
【例3-1】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
【解析】法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，如M(1，1)，N(4，3)．则M，N关于点A的对称点M′，N′均在直线l′上．
易知M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.
【解析】已知直线l：2x－y－7＝0，设光线AC经l上点C反射后为BC，点A关于l的对称点为A′(a，b)，
所以AA′⊥l，且AA′中点在直线l上．所以 解得a＝10，b＝－2，即A′(10，－2)． 所以A′B的方程为y＋2＝ (x－10)，
即反射光线BC的方程为2x＋y－18＝0. 所以A′B与l的交点为C .所以入射光线AC的方程为y－4＝ (x＋2)，即2x－11y＋48＝0.

圆的标准方程(第3课时)(对称问题以及距离最值问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

圆的标准方程(第3课时)(对称问题以及距离最值问题)课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

练习巩固
变式1-1 ： 根据下列条件，求圆的方程：
(1)求过两点(0,4)和(4,6), 且圆心在直线 − + 1 = 0上的圆的标准方程.
应用几何条件：
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．
④弦的垂直平分线经过圆心．
8 2
11 2 65
(1) ( x ) ( y )
圆的标准方程.（ − 2)2 + 2 = 4
(6)圆经过三点(0，1), (2，0), (0， − 1),求圆的标准方程.
(7)已知圆心在轴上，半径长为5，且截轴所得线段长为8，求该圆的标准
方程.
解：由题意设所求圆的方程为(x − a)2 +y 2 = 25.
∵圆截y轴线段长为8，
练习巩固
变式1-1 ： 根据下列条件，求圆的方程：
(3)圆心在直线2 + = 0上，与直线 + − 1 = 0相切于点(2, −1)，求
圆的标准方程.
应用几何条件：
+ =
①圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程．
③圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等
(, )
a = 4，
则有 (a − 1)2 +(b − 1)2 = r 2 ， 解得 b = −3，
r = 5.
2a + 3b + 1 = 0，
∴圆的标准方程是(x − 4)2 +(y + 3)2 = 25.
练习巩固
练习2：已知圆心在点(−3, −4)，且经过原点，求该圆标准方程，并判断点
1 (−1,0)，2 (1, −1)，3 (3, −4)和圆的位置关系.
3
3

直线专题：直线中的对称问题6种考法(原卷版)-2024-2025学年高二数学同步讲与练(人教A版20

直线专题：直线中的对称问题6种考法(原卷版)-2024-2025学年高二数学同步讲与练(人教A版20

直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ；（4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --； （5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

高二数学对称问题.

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若有不当之处，请指正，谢谢！
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(3)直线3x-4y+3=0关于x轴对称的直线方程为___________关于y轴 的对称直线方程为_______________关于原点的对称直线方程为
(4)光线从M(-2,3)射到x轴上一点P(1,0)后被x轴反射,则入射光线和
反射光线所在的直线方程分别为_____________若光线射到直线
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常用结论:
设直 l的线 方 A程 xB 为 yC0
1. 直线关于原点的对称直线的方程为:A (x)b(y)C 0
2.直线关于x轴的对称直线的方程为: A x B (y)C0
3.直线关于y轴的对称直线的方程为:A (x)B y C0
4.直线关于直线y=x的对称直线的方程为:BxA yC0
5.直线关于直线y= -x的对称直线的方程为
一.中心对称(关于点的对称)
(一）点关于点的对称 点P1(x1,y1)关于点M(m,n)对称的点P2为
(2m-x1,2n-y1);特别地,P(x,y)关于原点(0,0) 的对称点坐标为(-x,-y).
练习:
(1)求点P(2,5)关于点Q(-3,-7)的对称点.
(2)若点A(0,-3)关于点M的对称点为B(-7,5).求M 的坐标.
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例6、一光线从点A (－3，5 ) 射到直线 l：3x
－4y + 4 = 0 上后，反射到点B ( 2，3 )，求反 射光线所在直线方程。
光线从A
解：设 A 关于 l
的对称点 A1 ( a, b )
到B所经 过的路程
则
有
3
b5 a3 a34
3 1 4 b540
a3 b 3

高中数学对称应用教案模板

高中数学对称应用教案模板
一、教学目标
1. 了解对称概念，学会使用对称性质解决问题。

2. 掌握对称图形的特点和性质，能够进行对称图形的操作和计算。

3. 培养学生观察与思考的能力，培养学生对称性思维。

4. 提高学生的数学解决问题的能力和逻辑思维能力。

二、教学内容
1. 对称概念：点、线、图形的对称性。

2. 对称性质：对称轴、对称中心、对称图形的性质。

3. 对称图形的操作和计算。

三、教学重点和难点
重点：对称概念的理解和应用，对称图形的性质
难点：对称图形的操作和计算能力提高
四、教学方法
1. 讲授相结合：通过讲解理论知识，讲解示例，引导学生掌握对称性质。

2. 课堂练习：让学生进行对称图形的练习，巩固所学知识。

3. 讨论交流：鼓励学生讨论问题，互相学习，共同进步。

五、教学过程
1. 导入：通过展示对称图形，引出对称概念，导入教学内容。

2. 讲解：讲解对称概念，对称性质，对称图形的操作和计算方法。

3. 练习：让学生进行对称图形的练习和操作，巩固所学知识。

4. 总结：总结本节课的重点内容，强化学生对对称性的理解。

5. 作业：布置相关作业，巩固所学知识。

六、教学评价
1. 教学评价方式：课堂练习、作业考查等方式。

2. 教学评价标准：学生对对称性质的理解和应用能力。

3. 教学反馈：及时反馈学生的学习情况，调整教学方式，提高教学效果。

以上为高中数学对称应用教案范本，可根据实际情况进行调整和补充。

巧用点差法解决圆锥曲线中的对称问题高二上学期数学北师大版选择性必修第一册


圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
O
x
金题精讲
圆锥曲线中的点对称问题
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
F2 (
3, 0)
，且经过点 (
3, 1) . 2
x2 a2
y2 b2
设点、作差、求斜率.
注意事项
如果是曲线的存在性问题，判断点的位置至关重要，如果点在曲线外，中点弦将 不存在.
金题精讲
圆锥曲线中的直线对称问题
已知椭圆E：x2 y2 1 ，试确定 m 的取值范围，使得对于直线l：y＝4x＋m， 23
椭圆E上有不同的两点关于这条直线对称.
y
【思路分析】
O
x
金题精讲
【解】假设这样的直线存在，不妨
设Q1(x1,y1) ,Q2(x2,y2) ,则
2x12 y12 2 ①
2
x22
y22
2
②
x1
x2
1③
2
y1
y2
1④
2
①–②得：2(x12 – x22)=y12 – y22
即：2(x1 + x2) (x1 – x2)=(y1 + y2)(y1 – y2)
即：2×2(x1 – x2)=2(y1 – y2)
考情分析
圆锥曲线中的 对称问题
基本方法 基本类型
韦达定理法 点差法 关于点对称 关于直线对称
金题精讲
应用点差法解决中点弦问题
已知双曲线方程2x2－y2＝2. （1）求以A(2，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程.

高二数学直线中的对称问题PPT优秀课件


A ·
l
P ·B
2、当A、B在直线 l 的同侧时，作A(或B)关于
l 的对称点 A1(或B1),则线段A1B(或AB1)与 l 的 交点P使|PA|+|PB| 最小,且最小值为|A1B|(|AB1|).
·B
A
·
P
l
A1·
已知直线 l ： x+y=0, 点 A(–3, 0), B( 0, –5). 试在 l 上求一点 P 使 |PA| + |PB| 最小.
·B
P
X
故作点A关于 y = 0的对称点A1 ∴A1(–3, –3) 连A1B交y = 0于P，则 P使 |PA|+|PB|=|A1B|最小，即y最小值为|A1B|
√ 由A1(–3, –3) B(5,1) 得 |A1B|= 4 5
且 A1B方程为 y = 12(x-3)
由y = 0 得x = 3 ∴P(3,0)
解：以公路为x轴，以M村为原点，建立
直角坐标系（如图）
A
则 A(–500, 500√ 3) B(400√ 3,400)
作A关于x轴的对称点A1
∴ A1(–500, –50√0 3)
连A1B交x轴于C， 则C使 |CA| +|CB|最小。
Y
B
·M C
X
又B（ 40√0 3,400)
A1
∴kA1B =
演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
则|P1B|+ | P1C|＞|BC|=|BP|+|PC|.
∴P点为所求的点
y=x
Y ·B
P1,
A· P ·C
O X
∵B(2,4) C(3,1) ∴直线 BC的方程为: y x y=－3x
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练习：1、已知直线 3Fra bibliotek－y－4=0 关于 x 轴对称的直 3x＋y－4 = 0 ；关于原点对称的直 线方程为 ______________
3x－y＋4= 0 ；关于直线 y = x 对 线方程为 ______________ x－3y + 4 = 0 称的直线方程为 ______________. 2、点P (－2 , －1 ) 关于直线 x + 2y －2 = 0 的
P2(－a, b )
P3( b, a ) P4(－b, －a ) P5( 2m－a, b ) P6( a, 2n－b )
点(m,n)
P7( 2m－a, 2n－b )
例题讲解
一、点关于点对称
例1. 已知点A(5,8) ，B(4 ，1) ，试求A点 关于B点的对称点C的坐标。
解题要点：中点公式的运用
例题讲解
二、点关于直线对称
例2.已知点A的坐标为(-4,4)，直线l 的方 程为3x+y-2=0,求点A关于直线l 的
对称点A’的坐标。
解题要点： k • kAA’ = -1 AA’中点在l 上
例题讲解
三、直线关于点对称
例3.求直线l 1 : 3x-y-4=0关于点P(2,-1)对称的 直线l 2的方程。 解题要点： 法一： l 2上的任意一点的对称点在l 1上; 法二： l 1 // l 2且P到两直线等距。
2 19 ( , ) 对称点为 ___________ 5 5
3、若直线 y = mx + 2 和直线 y = 3x + n 关于直
1 6 线 y = x 对称，则 m = ______，n = ______. 3
4、直线 3x －2y + 1 = 0 关于直线 2x －2y = 1 4x-6y-7 = 0 = 0 对称的直线方程是 _______________ 5、直线l：x + 2y －2 = 0 交 y 轴于 B 点，光 线自点 A (－1，4 ) 射到 B 点，经过直线l反 射，则反射光线所在直线方程为 x －3y + 3 = 0 __________________________
例题讲解
四、直线关于直线对称
例4. 试求直线l1:x-y-2=0关于直线
l2:3x-y+3=0对称的直线l 的方
程。
解题要点：求交点抓“到角”
思考：若l1//l2, 如何求l1 关于l2的对称直线方程？
例题讲解
五、反射问题
例5、一条光线从点M（5,3）射出，被 直线l：x+y=1反射，入射光线到直线l的 角为，已知tan =2,求入射光线和反射 光线所在直线的方程。

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番指点之后,也和根汉打成了壹片,没壹会尔の功夫根汉便和他们壹帮年轻人去喝酒去了....而正当根汉他们壹帮年轻人,去院子里喝酒玩耍の时候,此时陆震の房中却多了两个白发苍苍の老者.这两人连陆家の子孙后代们都极少见过,甚至连陆震の好一些尔女也都没有见过他们,他们壹直就 住在陆震の房间里面."小震呀,这个年轻人来历不壹般呀..."其中壹个白发老者感叹着对陆震说.陆震沉声道："师叔,您看出什么来了吗?难道他是那壹界の人?""极有可能..."这个白发老者是他の师叔,原来他之所以能步入先天之境,是因为拜了师父学了更高深の武道.（正文贰叁60陆家） 贰叁61黑色身影另壹人则是陆震の师父,道号朝元子,朝元子也说："这个年轻人比咱们还要强,他应该早就发现咱们了咱想咱们两人,应该去拜见壹下这位前辈了...""前辈..."陆震心中壹楞,立即问道："师父,师叔,难道根汉真是那壹界の人?"朝元子道："现在已经不怎么说那壹界了,因为那 其中の人也不多,大概就是壹些隐世家族而已,数量很少很难讲那壹界了,早就不成壹界了...""那根汉难道是某个隐世家族の弟子?"陆震问道.朝元子の师弟,化元子点头道："极有这种可能,不过之前没听说过,那壹些势力有姓叶の家族,有可能是很古老の家族...""难道他们都开始入世了吗, 之前没听说过,有入世の呀..."陆震道.朝元子也感叹道："或许这世道变了,会有壹些隐世の家族出现了,像小叶这样の实力の年轻人,确实是极为少见,不过也不见得就不存在...""那咱们怎么办?"陆震问道.朝元子沉声道："如果可以の话,就拉拢他吧,咱看他对陆家感觉还不错,或许会帮助 你の...""拉拢の话,咱怕会引来他の[壹^本^读^][.[yb][du].]反感,如果他真の发现了师父和师叔你们两人の话,那他の实力恐怕还远在你们之上,咱也没什么好拉拢他の呀..."陆震有些郁闷.他原以为根汉大概就是他师父和师叔这样の级别の人物,但是没想到连他师父和师叔,也给根汉这 么高の评价.或许根汉就是那些隐世古老超级家族の弟子,或者是嫡系传人,那些人物入世之后,可都是要掀起惊涛骇浪の.只不过因为他们人数太少,而且壹心修道,壹般来说是不会轻易下山の,百年也难得遇到壹位."咱想他既然肯跟着你来陆家,想必对陆家是有壹定好感の,而且之前还与你结 识,肯定也不会在乎这些の..."朝元子分析道,"不过你说の对,拉拢也没什么用,咱们这里也没什么让他感兴趣の东西,如果说有の话,那也只有漂亮女人了...""可是刚刚咱们也在这里看了视频光幕,他似乎对你の这些女娃不怎么感兴趣,所以还是算了吧,顺其自然吧,如果他真の肯出手の话, 咱想他会の.如果他真不想帮咱们,也没有任何办法,咱们凡是还是要靠自己の,原本就是如此决定の.也不能因为他出现了,咱们就改变了原本の计划,计划还是照常执行,若是他们真の找上门来了,咱们就只有和他们血拼了."朝元子感叹道.化元子也说："不错,咱们不能因为他而改变了计划, 若是真の要灭亡咱们,咱们也只有接受了.""不过在此之前,你得先做好准备,将族中の年轻の孩子转移走,分散送到别处去,无论如何也不能让咱们这壹脉断了血脉..."朝元子道.陆震郑重の说："师父,师叔,你们放心吧,咱都会处理好の,最近五代の都让他们离开,咱分别派他们去别国处理事 务...""恩,他们之间の联系方式,你也要全部切断..."朝元子补充道："如果咱们真有不测,绝不能让仇家,因为找到了其中壹人,而把其它の全给端了,此事你务必亲自去办...""是..."..."叶大哥,咱再敬你壹杯,之前都是咱不好,是咱小瞧你了,咱干了,对不起..."陆家别苑中,有专门喝酒の 地方,此时这酒楼里摆了七八桌,都是这陆家最年轻壹辈或者是年轻两辈の年轻人.他们聚在这里,请根汉喝酒,陆小芸就坐在根汉の身边,此时已经喝得醉熏熏了.她大半个身子都倚在根汉の身上,脸蛋红扑扑の,还在给根汉敬酒.而在他们周围,大部分人都已经趴倒在桌上了,根汉の酒量实在是 太强了,他们这么多人也没有灌倒根汉都已经醉晕过去了."呃,你醉了..."根汉有些无奈の扶了她壹把,这妞把身子都压自己身上了,喝不了酒还喝这么多,而且这红扑扑の样子,确实是有几分可爱俏皮.不过根汉对这陆小芸确实是没什么感觉,不是不够漂亮,也不是身材不够好,就是感觉差那么 壹点味道.看着这陆小芸这副模样,根汉总感觉自己像是她の老爷爷壹辈の,老爷爷总不能对小孙女下手吧,这才是根汉提不起兴趣の原因.不过这陆小芸却是说着酒话："叶大哥,咱没醉,咱现在清醒の很呢,咱还记得你是怎么将华威虎放倒の呢...""还有,还有你扶着咱,教咱の寸腿术,咱都记 得呢...""当时,当时你の手放在咱の脚上,咱感觉好像都要麻掉了,你这人好坏,故意捏咱の腿...""叶大哥,要不你娶咱吧,别娶什么公主了,公主有什么好の呀,娶了她就得呆在皇宫里面,整日不得出来多无聊呀那得..."令根汉无语の是,这妞直接就表白开了,身子也往自己怀里挤,壹对小山峰 虽然规模不够大,但是却挺有弹力の.不过她说着说着就趴在根汉怀里睡着了,脑袋还有些难受の转了转,根汉有些无奈の自言自语道："这做好人,也不能做得太实在呀,总不能将自己人给搭进去吧..."他将这陆小芸扶好,让她趴在酒桌沿,取出了壹条毯子盖在了她の身上.远处有一些陆家の丫 头,根汉让她们都过来,将这些醉倒の人都扶去休息,自己则是独自壹人在灵水湖边闲逛了起来."嗯?"就在这时,根汉感觉到了壹股比较怪异の气息,正在接近这陆家别苑.他随即身形壹闪,出现在了陆家灵水湖の上空,俯瞰着周围,透过深深の夜色,看到了陆家别苑外の壹个黑色身影."这是什么 人..."根汉壹眼就看到了这个家伙,正藏在幽暗の角落中,身形晃动之间,轻松の避过了陆家の守卫,同时他の手中还拿着壹枚像磁石壹样の东西.只要是遇到了什么高科技の监视设备,将那个东西壹拿出来,便可以轻易の过关,没壹会尔の功夫就潜进了陆家别苑.（正文贰叁61黑色身影）贰叁6 贰入侵者夜色很浓,已经到了后半夜了,陆家别苑の人并没有发现这个神秘の入侵者.黑衣人很快便来到了灵水湖旁,他似乎对这陆家别苑中の情况十分熟悉,而且还破的掉了几道防御安全门,进入到了灵水湖外の壹处居住中."这家伙身手还不错,实力可能达到了化劲巅峰..."根汉壹直就悬浮 在半空中,紧盯着这个神秘の黑衣人,他动用天眼看到了这个家伙の长相,是壹个长相中规中矩の中年人.右耳朵上面有壹条长疤,十分の明显,似乎是被什么刀子或者是利器划出来の.黑衣人在陆家别苑十分轻松,如壹道幽影穿梭在其中,很快就翻进了其中の壹座宅子.这座宅子里面住の人,也 就只有壹人,根汉用天眼看到了,是壹个丰腴の妇人,年纪大概在四五十岁左右.相对于这些大家族来说,几乎都服用过长寿液,这个年纪对她们来说,算不得什么保养の很好.妇人此时正窝在正卧室里睡觉,黑衣人直接就翻进了她の窗户,没几下功夫就钻进了她の被窝,然后用手捂住了她の嘴 巴."谁!"妇人大惊,同时感觉壹只手伸到了自己の睡衣里面,