山东省2014届理科一轮复习试题选编12：正余弦定理的问题

2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）（2014•山东）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）22．（5分）（2014•山东）设集合A={x丨丨x﹣1丨＜2}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=3．（5分）（2014•山东）函数f（x）=的定义域为（）），），，＜）∪（4．（5分）（2014•山东）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个5．（5分）（2014•山东）已知实数x，y满足a x＜a y（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是．＞=，故32∫（x|=87．（5分）（2014•山东）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）=8．（5分）（2014•山东）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）），，＜9．（5分）（2014•山东）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a22=0作可行域如图，，解得：化目标函数为直线方程得：由图可知，当直线2a+b=2的最小值为10．（5分）（2014•山东）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）±x±y=0的方程为+的离心率为：，的方程为﹣的离心率为：，的离心率之积为，，±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）（2014•山东）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为3．12．（5分）（2014•山东）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．，再根据中，∵•A=时，有=AC=××=故答案为：．13．（5分）（2014•山东）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．面积的，=．故答案为：．14．（5分）（2014•山东）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为2．+=，15．（5分）（2014•山东）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈I），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈I），y=h（x）满足：对任意x∈I，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是（2，+∞）．的定义可知，，﹣﹣＞d=，或﹣222，三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）（2014•山东）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．（，，﹣），可得•=msin2x+ncos2x，（，=（sin2x+cos2x2x+）+=2k，，）﹣，17．（12分）（2014•山东）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．，，，，，，，，﹣的法向量=的法向量=CD AM，=，）（，（﹣，，﹣的法向量，∴的法向量=，|==所成的角（锐角）的余弦值为18．（12分）（2014•山东）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．+，+=×））×=+．）﹣=×））×=；×=×））×=；×+×=；×=×+1×+2×+3×+4×+6×=．19．（12分）（2014•山东）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=（﹣1）n﹣1，求数列{b n}的前n项和T n．=，，化为1==++．﹣++=1=．﹣++=1+=Tn=20．（13分）（2014•山东）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．当且仅当e，21．（14分）（2014•山东）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．，，，的左侧时，=p方程为联立方程，消去得的解为，直线，的方程为，即联立方程=的坐标为，点=，。

山东理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知,a b R ∈，i 是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则2()a bi += （A ）54i -（B ）54i +（C ）34i -（D ）34i +（2）设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =（A ）[0,2]（B ）(1,3)（C ）[1,3)（D ）(1,4)（3）函数()f x =（A ）1(0,)2（B ）(2,)+∞（C ）1(0,)(2,)2+∞（D ）1(0,][2,)2+∞（4）用反证法证明命题：“已知,a b 为实数，则方程20x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是（A ）方程20x ax b ++=没有实根（B ）方程20x ax b ++=至多有一个实根 （C ）方程20x ax b ++=至多有两个实根（D ）方程20x ax b ++=恰好有两个实根 （5）已知实数,x y 满足xya a <（01a <<），则下列关系式恒成立的是（A ）221111x y >++（B ）22ln(1)ln(1)x y +>+ （C ）sin sin x y >（D ）22x y >（6）直线4y x =与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （A ）22（B ）42（C ）2（D ）4（7）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa ）的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A ）1（B ）8（C ）12（D ）18（8）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =，若()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（A ）1(0,)2（B ）1(,1)2（C ）(1,2)（D ）(2,)+∞（9）已知,x y 满足约束条件10,230,x y x y --≤⎧⎨--≥⎩当目标函数(0,0)z ax by a b =+>>在该约束条件下取到最小值25时，22a b +的最小值为 （A ）5（B ）4（C ）5（D ）2（10）已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C 的离心率之积为3，则2C 的渐近线方程为 （A ）20x y ±=（B ）20x y ±=（C ）20x y ±=（D ）20x y ±=二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分（11）执行右面的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的n 的值为 .（12）在ABC ∆中，已知tan AB AC A ⋅=，当6A π=时，ABC ∆的面积为 .（13）三棱锥P ABC -中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V = . （14）若24()b ax x+的展开式中3x 项的系数为20，则22a b +的最小值为 .（15）已知函数()()y f x x R =∈.对函数()()y g x x I =∈，定义()g x 关于()f x 的“对称函数”为()()y h x x I =∈，()y h x =满足：对任意x I ∈，两个点(,())x h x ，(,())x g x 关于点(,())x f x 对称.若()h x 是2()4g x x =-关于()3f x x b =+的“对称函数”，且()()h x g x >恒成立，则实数b 的取值范围是 . 1.3.。

第6讲正弦定理和余弦定理【2014年高考会这样考】1．考查利用正、余弦定理解三角形的问题，常与边之间的和或积、角的大小或三角函数值等综合考查．2．考查正、余弦定理与平面向量、三角形的面积等结合问题．对应学生65考点梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bc sin A＝12ab sin C＝12ac sin B.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．【助学·微博】一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．考点自测1．(2012·湖北改编)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a ＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C＝()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由已知可得a2＋b2－c2＝－ab，根据余弦定理得：cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12.故C＝120°.答案 C2．(2012·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )． A.725 B ．－725 C ．±725 D.2425解析 因为8b ＝5c ，则由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理得cos B ＝sin C 2sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725，故选择A. 答案 A3．(2013·三亚模拟)在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状是( )．A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 由正、余弦定理得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a ＝c ，整理得a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 B4．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，∠A ＝π3，则∠C 的大小为________． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，得3sin π3＝3sin ∠B ， sin ∠B ＝12.∵a >b ，∴∠A >∠B ，∴∠B ＝π6， ∴∠C ＝π－π3－π6＝π2. 答案 π25．(2013·郑州调研)已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为________．解析 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ＝8，∴sin C ＝c8， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝116abc ＝116×162＝ 2. 答案2对应学生66考向一 利用正、余弦定理解三角形【例1】►(1)(2012·北京)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.(2)(2012·重庆)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________. [审题视点] (1)利用余弦定理．(2)利用正弦定理和三角形内角和定理求解．解析 (1)根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得b ＝4. (2)由已知条件可得sin A ＝45，sin B ＝1213，而sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，根据正弦定理b sin B ＝c sin C 得c ＝145. 答案 (1)4 (2)145(1)正弦定理是一个连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用． (2)运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．【训练1】 (1)(2011·辽宁)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝( )．A ．2 3B ．2 2 C. 3 D. 2(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．解析 (1)∵a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理可得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，∴sin B ＝2sin A ，即ba ＝ 2.(2)由题可知，sin B ＋cos B ＝2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4＝2，所以B ＝π4，根据正弦定理可知a sin A ＝b sin B ，可得2sin A ＝2sin π4，所以sin A ＝12，又a ＜b ，故A ＝π6.答案 (1)D (2)π6考向二 判断三角形形状【例2】►(2013·临沂一模)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C . (1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状．[审题视点] (1)由正弦定理进行角化边，再用余弦定理求cos A ；(2)利用三角形内角和定理用角B 表示角C ，求角B ，从而确定三角形的形状． 解 (1)由2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ，得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＋C ＝180°－60°＝120°. 由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. ∵0°<B <120°，∴30°<B ＋30°<150°.∴B ＋30°＝90°，B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，△ABC 为等边三角形．解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．【训练2】 (1)(2012·上海)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( )．A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定(2)在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状为________．解析 (1)由sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，得a 2＋b 2<c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c22ab <0，所以∠C 为钝角，即△ABC 为钝角三角形．(2)由a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，得：a sin A ＝b sin B ，由正弦定理，得a 2＝b 2，∴a ＝b ，故△ABC 为等腰三角形． 答案 (1)A (2)等腰三角形考向三 与三角形面积有关的问题【例3】►(2012·新课标全国)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [审题视点] (1)由正弦定理进行边化角；(2)由余弦定理和面积公式建立关于b ，c 的方程组，求b ，c . 解 (1)由a cos C ＋ 3a sin C －b －c ＝0，及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A ·sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6，故A ＝π3. (2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来． 【训练3】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos Ccos B＝2c －a b . (1)求sin Csin A 的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S . 解 (1)由正弦定理，则2c －a b ＝2sin C －sin Asin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A ＝2.(2)由sin Csin A ＝2，得c ＝2a .由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，得4＝a 2＋4a 2－4a 2×14.解得a ＝1，从而c ＝2.因为cos B ＝14，且0<B <π，所以sin B ＝154， 因此S＝12ac sinB＝12×1×2×154＝154.对应学生67热点突破11——解三角形与其他知识的交汇问题【命题研究】 通过近三年的高考试题分析，除了考查利用正、余弦定理、面积公式求三角形的边、角、面积之外，常常在解答题中考查解三角形与三角函数、平面向量、数列、不等式等知识交汇，难度中等．【真题探究】► (2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )． A.32 B.22 C.12 D ．－12[教你审题] 一审 由已知等式和余弦定理消去c ； 二审 用a ，b 表示出cos C ； 三审 由基本不等式求最小值．[解法] 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12，所以选C. [答案] C[反思] 本题考查余弦定理和基本不等式，易错点有三：一是余弦定理公式记错；二是不能消去参数c ，无法得出关于a ，b 的代数式；三是基本不等式用错．【试一试】 (2012·湖南)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝( )． A. 3 B.7C ．2 2 D.23解析 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .AB →·BC →＝1，即ac cos B ＝－1.在△ABC 中，再根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及AB ＝c ＝2，AC ＝b ＝3，可得a 2＝3，即a ＝ 3. 答案 A对应学生261A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )． A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 由a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，得a 2＝3bc ＋b 2，cb ＝2 3.由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－3bc 2bc ＝c 2b －32＝3－32＝32，所以A ＝30°，故选A. 答案 A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA至E ，使AE ＝1，连结EC 、ED ，则sin ∠CED ＝( )． A.31010 B.1010 C.510D.515解析 依题意得知，CD ＝1，CE ＝CB 2＋EB 2＝5，DE ＝EA 2＋AD 2＝2，cos ∠CED ＝CE 2＋ED 2－CD 22CE ·ED ＝31010，所以sin ∠CED ＝1－cos 2∠CED ＝1010，选B. 答案 B3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝( )． A. 2B. 3C.32D ．2解析 ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，∴B ＝60°. 又a ＝1，b ＝3，∴a sin A ＝bsin B ， ∴sin A ＝a sin Bb ＝32×13＝12，∴A ＝30°，∴C ＝90°.∴S △ABC ＝12×1×3＝32. 答案 C4．(2012·湖南)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于 ( )． A.32B.332C.3＋62D.3＋394解析 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos 60°，即7＝c 2＋4－4c cos 60°，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)． 又h ＝c ·sin 60°＝3×32＝332，故选B. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2)·tan B＝3ac，则角B的值为________．解析由余弦定理，得a2＋c2－b22ac＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝32，∴sin B＝32，∴B＝π3或2π3.答案π3或2π36．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：a2＋(2a)2－(2a)22a·2a＝－24.答案－2 4三、解答题(共25分)7．(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．(1)求cos B的值；(2)边a，b，c成等比数列，求sin A sin C的值．解(1)由已知2B＝A＋C，三角形的内角和定理A＋B＋C＝180°，解得B＝60°，所以cos B＝cos 60°＝1 2.(2)由已知b2＝ac，据正弦定理，得sin2B＝sin A sin C，即sin A sin C＝sin2B＝1－cos2B＝3 4.8．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．解 (1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝ 1－cos 2A ＝53. 又5cos C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C .所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16. 于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝ 2及正弦定理a sin A ＝c sin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．在△ABC 中，A ＝60°，且最大边长和最小边长是方程x 2－7x ＋11＝0的两个根，则第三边的长为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析 由A ＝60°，不妨设△ABC 中最大边和最小边分别为b ，c ，故b ＋c ＝7，bc ＝11.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°＝(b ＋c )2－3bc ＝72－3×11＝16，∴a ＝4.答案 C2．(2013·豫北六校联考)已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC的周长等于 ( )．A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.332解析 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即a 2＋c 2－ac ＝3.又△ABC 的面积为12ac sin π3＝32，即ac ＝2，所以a 2＋c 2＋2ac ＝9，所以a ＋c ＝3，即a ＋c ＋b ＝3＋3，故选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．在Rt △ABC 中，C ＝90°，且A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________．解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4.又A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴π4<A ＋π4<3π4，∴22<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4≤1，即x ∈(1，2]． 答案 (1，2]4．(2012·安徽)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①若ab >c 2，则C <π3②若a ＋b >2c ，则C <π3③若a 3＋b 3＝c 3，则C <π2④若(a ＋b )c <2ab ，则C >π2⑤若(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，则C >π3解析 ①由ab >c 2，得－c 2>－ab ，由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >2ab －ab 2ab＝12，因为C ∈(0，π)，函数y ＝cos x 在(0，π)上是减函数，所以C <π3，即①正确．②由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 222ab ＝4(a 2＋b 2)－(a ＋b )28ab ＝3(a 2＋b 2)－2ab 8ab ≥4ab 8ab ＝12，所以C <π3，即②正确．③若C是直角或钝角，则a 2＋b 2≤c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1，而a c ，b c ∈(0,1)，而函数y ＝a x(0<a <1)在R 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 3<⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2≤1与a 3＋b 3＝c 3矛盾，所以假设不成立，所以C <π2，即③正确．④因为(a ＋b )c <2ab ，所以c <2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故④错误．⑤因为(a 2＋b 2)c 2<2a 2b 2，所以c 2<2a 2b 2a 2＋b 2≤2a 2b 22ab ＝ab ，即ab >c 2，转化为命题①，故⑤错误． 答案 ①②③三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·郑州三模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，点(a ，b )在直线x (sin A －sin B )＋y sin B ＝c sin C 上．(1)求角C 的值；(2)若a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，求△ABC 的面积．解 (1)由题意得a (sin A －sin B )＋b sin B ＝c sin C ，由正弦定理，得a (a －b )＋b 2＝c 2，即a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，结合0<C <π，得C ＝π3.(2)由a 2＋b 2＝6(a ＋b )－18，得(a －3)2＋(b －3)2＝0，从而得a ＝b ＝3， 所以△ABC 的面积S ＝12×32×sin π3＝934.6．(13分)(2012·江西)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a . (1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝ 2，求△ABC 的面积．(1)证明 由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a 应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ， sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin B ＋22cos B ＝22， 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1.由于0＜B ，C ＜34π，从而B －C ＝π2.(2)解 B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.由a ＝ 2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝ 2cos π8sin π8＝12.。

第七节正弦定理和余弦定理[备考方向要明了][归纳²知识整合]1．正弦定理和余弦定理[探究] 1.在三角形ABC 中，“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的什么条件？“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的什么条件？提示：“A ＞B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件，“A ＞B ”是“cos A ＜cos B ”的充要条件．2．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况[探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A 为例) 提示：∵cos A 与b 2＋c 2－a 2同号，∴当b 2＋c 2－a 2＞0时，角A 为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；当b 2＋c 2－a 2＝0时，角A 为直角，三角形为直角三角形； 当b 2＋c 2－a 2＜0时，角A 为钝角，三角形为钝角三角形．[自测²牛刀小试]1．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝2，c ＝4，B ＝60°，则b 等于( ) A ．2 3 B ．12 C ．27D ．28解析：选A 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即b 2＝4＋16－8＝12，所以b ＝2 3.2．(教材习题改编)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A ．－223B.223 C ．－63D.63解析：选D ∵asin A ＝b sin B ，∴15sin 60°＝10sin B， ∴sin B ＝23³32＝33.又∵a ＞b ，A ＝60°， ∴B ＜60°，∴cos B ＝1－sin 2B ＝63. 3．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝22，则符合条件的三角形有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．0个解析：选B ∵a sin B ＝102，∴a sin B <b ＝3<a ＝5， ∴符合条件的三角形有2个．4．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12³32³23³223＝4 3.答案：4 35．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝12，∴A ＝30°或A ＝150°.答案：30°或150°[例1] (2012²浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝bsin B，得sin B ＝3cos B ，所以tan B ＝3，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝csin C ，得c ＝2a .由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. ———————————————————正、余弦定理的选用原则解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化．1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．解：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k ，则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin Asin B， 所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A sin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )． 又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A . 因此sin Csin A＝2.(2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2³14＝4a 2.所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.[例2] 在△ABC 中，若(a 2＋b 2)si n(A －B )＝(a 2－b 2)²si n(A ＋B )，试判断△ABC 的形状．[自主解答] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )， ∴b 2[sin(A ＋B )＋sin(A －B )]＝a 2[sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2sin A cos B ²b 2＝2cos A sin B ²a 2， 即a 2cos A sin B ＝b 2sin A cos B .法一：由正弦定理知a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ， ∴sin 2A cos A sinB ＝sin 2B sin A cos B ，又sin A ²sin B ≠0，∴sin A cos A ＝sin B cos B ， ∴sin 2A ＝sin 2B .在△ABC 中，0＜2A ＜2π，0＜2B ＜2π， ∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得：a 2b b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)， ∴(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2－b 2＝0或a 2＋b 2－c 2＝0. 即a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2.∴△ABC 为等腰或直角三角形．若将条件改为“sin B ＝cos A sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：∵sin B ＝cos A ²sin C ，∴b ＝b 2＋c 2－a 22bc²c ，即b 2＋a 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．———————————————————1.三角形形状的判断思路判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.1边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； 2角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C .(1)求角A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝3，试判断△ABC 的形状． 解：∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°.(2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．[例3] (2012²山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C .(1)求证：a ，b ，c 成等比数列；(2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S .[自主解答] (1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C ， 所以sin B ⎝⎛⎭⎪⎫sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ²sin C cos C，因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋C )＝sin B ，因此sin 2B ＝sin A sinC . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列．(2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22³1³2＝34，因为0<B <π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝74， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12³1³2³74＝74.———————————————————三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．3．(2012²新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得 sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2.1条规律——三角形中的边角关系在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A ＞B ⇔a ＞b ⇔sin A ＞sin B .2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2种途径——判断三角形形状的途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题(1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论．(2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.答题模板——利用正、余弦定理解三角形[典例] (2012²江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ――――――――→数式中既有边又有角，应统一sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A .2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证：B －C ＝π2――――――――――→应求角B －C 的某一个三角函数值sin(B －C )＝1或cos(B －C )＝0. 3．建联系，找解题突破口考虑到所求的结论只含有B ，C ，因此应消掉sin B ²sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A 中的角A =4π借助−−−−→A sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝22――――――――――→利用两角和与差的三角函数公式sin(B －C )＝1―――――――――――→要求角的值，还应确定角的取值范围由0＜B ，C ＜3π4，解得B －C ＝π2. 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：a ＝2，A ＝π4，B －C ＝π2―――――――→可求B ，C 的值 B ＝5π8，C ＝π8. 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求△ABC 的面积――――――→应具有两边及其夹角由asin A＝bsin B ＝c sin C ，得b ＝2sin 5π8，c ＝2sin π8.3．建联系，找解题突破口△ABC 的边角都具备―――――→利用面积公式求结论S ＝12bc sin A ＝ 2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.[准确规范答题](1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sinC sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分)整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1， 即sin(B －C )＝1，⇨(5分) 由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8，c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)[答题模板速成]解决解三角形问题一般可用以下几步解答：⇒⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012²上海高考)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定解析：选A 由正弦定理得a 2＋b 2＜c 2，故cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＜0，所以C 为钝角．2．(2012²广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．4 3 B ．2 3 C. 3D.32解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝3232³22＝2 3.3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.32B.332 C.3＋62D.3＋394解析：选B 由余弦定理得：(7)2＝22＋AB 2－2³2AB ²cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，得AB ＝3，故BC 边上的高是AB sin 60°＝332.4．在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )A.32B.22C.12 D ．－12解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A.725 B ．－725C ．±725D.2425解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.6．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积等于( ) A.32B.34C.32或 3 D.32或34解析：选D 依题意与正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，sin C ＝AB ²sin B AC ＝32，C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，A ＝90°，△ABC 的面积等于12AB ²AC ＝32；当C ＝120°时，A ＝30°，△ABC 的面积等于12AB ²AC ²sin A ＝34.因此，△ABC 的面积等于32或34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012²福建高考)已知△ABC 的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC 的三边长分别为a ，2a,2a (a ＞0)，则最大边2a 所对的角的余弦值为a 2＋2a 2－2a 22a ²2a ＝－24. 答案：－248．(2013²佛山模拟)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos A ＝35，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝________.解析：由题意知sin A ＝45，sin B ＝1213，则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665，所以c ＝b sin C sin B ＝145. 答案：1459．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，AB ＝2，AC ＝1，∠BAD ＝30°，则AD 的长度为________． 解析：延长AD 到M ，使得DM ＝AD ，连接BM 、MC ，则四边形ABMC 是平行四边形．在△ABM 中，由余弦定理得BM 2＝AB 2＋AM 2－2AB ²AM ²cos∠BAM ，即12＝22＋AM 2－2²2²AM ²cos30°，解得AM ＝3，所以AD ＝32. 答案：32三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos(A －C )＋cos B ＝1，a ＝2c ，求C .解：由B ＝π－(A ＋C )，得cos B ＝－cos(A ＋C )．于是cos(A －C )＋cos B ＝cos(A －C )－cos(A ＋C )＝2sin A sin C ， 由已知得sin A sin C ＝12.①由a ＝2c 及正弦定理得sin A ＝2sin C ．② 由①②得sin 2C ＝14，于是sin C ＝－12(舍去)，或sin C ＝12.又a ＝2c ，所以C ＝π6.11．(2012²江苏高考)在△ABC 中，已知AB ²AC ＝3BA ²BC.(1)求证：tan B ＝3tan A ； (2)若cos C ＝55，求A 的值． 解：(1)因为AB ²AC ＝3BA ²BC，所以AB ²AC ²cos A ＝3BA ²BC ²cos B ，即AC ²cos A ＝3BC ²cos B ，由正弦定理知ACsin B＝BCsin A， 从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0， 所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π， 所以sin C ＝1－cos 2C ＝255， 从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2，亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－2.由(1)得4tan A 1－3tan A ＝－2，解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.12．(2012²浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A ＝23，sin B ＝5cos C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．解：(1)因为0＜A ＜π，cos A ＝23，得sin A ＝1－cos 2A ＝53.又5cos C ＝sin B ＝sin (A ＋C ) ＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝53cos C ＋23sin C . 所以tan C ＝ 5.(2)由tan C ＝5，得sin C ＝56，cos C ＝16.于是sin B ＝5cos C ＝56.由a ＝2及正弦定理a sin A ＝csin C ，得c ＝ 3.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ac sin B ＝52.1．若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43 B ．8－4 3 C ．1D.23解析：选A 由(a ＋b )2－c 2＝4， 得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4.①由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，②将②代入①得ab ＋2ab ＝4，即ab ＝43.2．若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( ) A.154 B.34 C.31516D.1116解析：选D 依题意，结合正弦定理得6a ＝4b ＝3c ，设3c ＝12k (k ＞0)，则有a ＝2k ，b ＝3k ，c ＝4k ，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝2k 2＋4k 2－3k 22³2k ³4k＝1116. 3．在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B ²sin C ，则A 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，πC.⎝⎛⎦⎥⎤0，π3 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π解析：选C 由已知及正弦定理，有a 2≤b 2＋c 2－bc .而由余弦定理可知，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，于是b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，可得cos A ≥12.注意到在△ABC 中，0＜A ＜π，故A ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π3.4．已知A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，其所对的边分别为a 、b 、c ，且2cos 2A2＋cos A＝0.(1)求角A 的值；(2)若a ＝23，b ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)由2cos 2A2＋cos A ＝0，得1＋cos A ＋cos A ＝0，即cos A ＝－12，∵0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，A ＝2π3， 则a 2＝(b ＋c )2－bc ，又a ＝23，b ＋c ＝4， 有12＝42－bc ，则bc ＝4，1 2bc sin A＝ 3.故S△ABC＝。

第6讲正弦定理和余弦定理A级基础演练（时间：30分钟满分:55分)一、选择题(每小题5分，共20分）1．在△ABC中，内角A，B,C的对边分别是a,b，c，若a2－b2＝错误!bc，sin C＝23sin B，则A＝( ）．A．30° B．60° C．120° D．150°解析由a2－b2＝错误!bc，sin C＝2错误!sin B，得a2＝错误!bc＋b2，错误!＝2 3.由余弦定理,得cos A＝错误!＝错误!＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝错误!，所以A＝30°，故选A.答案A2.(2012·四川)如图，正方形ABCD的边长为1,延长BA至E，使AE＝1，连结EC、ED，则sin ∠CED＝( ）．A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!解析依题意得知，CD＝1，CE＝错误!＝错误!，DE＝错误!＝错误!,cos∠CED＝CE2＋ED2－CD22CE·ED＝错误!，所以sin∠CED＝错误!＝错误!,选B.答案B3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b，c，若角A，B，C依次成等差数列,且a＝1,b＝错误!，则S△ABC＝( )．A. 2 B。

错误! C.错误!D．2解析∵A，B,C成等差数列，∴A＋C＝2B,∴B＝60°。

又a＝1，b＝错误!，∴错误!＝错误!，∴sin A＝错误!＝错误!×错误!＝错误!，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝错误!×1×错误!＝错误!。

答案C4．（2012·湖南)在△ABC中,AC＝错误!，BC＝2,B＝60°，则BC边上的高等于( ）．A.错误!B。

错误! C.错误!D。

错误!解析设AB＝c,BC边上的高为h。

由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·c cos 60°,即7＝c2＋4－4c cos 60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin 60°＝3×错误!＝错误!，故选B.答案B二、填空题（每小题5分，共10分)5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2＋c2－b2）·tan B＝错误!ac,则角B的值为________．解析由余弦定理，得错误!＝cos B，结合已知等式得cos B·tan B＝错误!,∴sin B＝错误!,∴B＝错误!或错误!。

山东省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编16：正余弦定理一、选择题 1 ．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC △中 ,若（ ）【答案】C 2 ．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）在△ABC 中,角（ ）A ．B ．C 的对边分别为a.b.c, 若(a 2+c 2―b 2,则角B 的值为 （ ）A ．6πB ．3π C ．6π或56πD ．3π或23π【答案】D3 ．（山东省郯城一中2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）在△ABC 中,A=60°,B=75°,a=10,则c 等于 （ ）A ．B ．C ．D ．3【答案】D 4 ．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在△ABC 中,内角（ ） A ．B 的对边分别是a .b ,若abB A =cos cos ,则△ABC 为 （ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形【答案】C5 ．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中, ac b =2,且33,cos 4a c B +==,则⋅= （ ）A ．32B ．32-C ．3D ．-3【答案】B 6 ．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）在ABC ∆中,角A,B,C 所对边分别为a,b,c,且4524==B c ，,面积2=S ,则b 等于（ ）A ．2113B ．5C ．41D ．25【答案】B7 ．（山东省德州市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知ABC ∆中三内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若30,1,B b c =︒==则ABC ∆的面积为（ ）ABCD【答案】C8 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）在ABC ∆中,角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2222a b c +=,则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．C ．12D ．12-【答案】C9 ．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）在△ABC中,ABC S c ab b a ∆==-+32222,则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形 【答案】B 二、填空题 10．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =_________.【答案】23π11．（山东省聊城市堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测数学（理）试题）在ABC∆中,sin cos 2A A +=,4,5AC AB ==, 则ABC ∆的面积是___________ 【答案】26525+根据题意,由于ABC ∆中,1sin cos =sin =2424257==4612A A A A A A πππππ+=⇔+⇔+⇒+∴（）（）ABC ∆的面积为S=1745sin =212π⨯⨯⨯,故答案为26525+12．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知1,60a A c ABC ===∆，则的面积为__________.13．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若()()a b c a b c ab +-++=,则角C =______.【答案】120︒ 三、解答题14．（山东省济南一中等四校2014届高三上学期期中联考数学（理）试题）已知(sin cos ,3cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-,其中0ω>,若函数()f x m n =⋅,且函数()f x 的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为π. (l)求ω的值;(2)在△ABC 中,以a,b,c(分别是角A,B,C 的对边,且()1a f A ==,求△ABC 周长的取值范围.【答案】解:(1)()f x m n =⋅=()sin cos x x xωωω+()cos sin ,2sin x x x ωωω-22cos sin cos cos 22x x x x x x ωωωωωω=-+=+2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭0ω> ∴函数()f x 的周期22T ππωω== 函数()f x 的图象与直线2y =两相邻公共点间的距离为π.∴1ππωω=∴= (2)由(Ⅰ)可知1ω=,()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭()1f A = 2sin 216A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭ 1sin 262A π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭1302666A A ππππ<<∴<+<52663A A πππ∴+=⇒=由正弦定理得:2sin ,2sin b B c C ==,所以求ABC ∆周长22sin 2sin 2sin 2sin()3l B C B B π=++=++-3sin )6B B B π=++=++2503666B B ππππ<<∴<+<,所以三角形周长的取值范围是 15．（山东省青岛市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A B C 、、对边分别是a b c 、、,且满足222()AB AC a b c ⋅=-+.(Ⅰ)求角A 的大小;(Ⅱ)若a =ABC ∆的面积为求,b c . 【答案】解:(Ⅰ)由题意可得2222cos 2bc A a b c bc =---, 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-,∴1cos 2A =-, ∵0A π<<,∴23A π=(Ⅱ)1sin 162S bc A bc ==⇔= 222222cos 328a b c bc A b c b c =+-⇔+=⇔+=解得:4b c ==16．（山东省潍坊市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数)2(sin sin )sin cos 32()(2x x x x x f +-+=π(I)求函数)(x f 的最大值和单调区间;(II)△ABC 的内角A.B\.C 的对边分别为a .b .c ,已知2)2(=Cf ,2=c 且A B sin 3sin =,求△ABC 的面积.【答案】解:(I))2(sin sin )sin cos 32()(2x x x x x f +-+=πx x x x 22cos sin cos sin 32(-+=x x 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=x∴函数)(x f 的最大值为2由-2π+πk 2≤62π-x ≤2π+πk 2得-6π+πk ≤x ≤3π+πk , ∴函数)(x f 的单调区间为[-6π+πk ,3π+πk ],(k ∈Z)(II)∵2)2(=C f ,∴2)6sin(2=-πC ,又-6π<6π-C <65π,∴6π-C =2π,32π=C∵A B sin 3sin =,∴b =3a ,∵c =2,,4=2a +92a -2×a ×3a 32cos π,∴2a =134,∴S △ABC =21a b C sin =21×32a C sin =1333 17．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南 )102(cos =θθ方向300km 的海面P 处,并以20km/h 的速度向西偏北45°方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭?受到台风的侵袭的时间有多少小时?【答案】解: 设在时刻t(h)台风中心为Q,此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km),若在时刻t 城市O 受到台风的侵袭,则:OQ ≤10t+60有条件知:cos∠OPQ=cos(θ―45°)= cos θcos 45°+sin θsin45°=210×22+1-2102×22=45由余弦定理知: OQ 2=(20t)2+3002―2×20t ×300×45=202t 2―9600t +3002 故 202t 2―9600t +3002≤(10t+60)2t 2―36t +288≤0 12≤t≤24答:12小时后该城市开始受到台风的袭击,受到台风侵袭的时间有12小时. 18．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在△ABC 中,角A.B.C 的对边分别为a.b.c. 已知.272cos 2sin42=-+C B A a+b=5,c=7, (1)求角C 的大小; 2)求△ABC 的面积.【答案】(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵A+B+C=180°由272cos 2cos 4272cos 2sin422=-=-+C C C B A 得 ∴27)1cos 2(2cos 142=--+⋅C C 整理,得01cos 4cos 42=+-C C 解得:21cos =C∵︒<<︒1800C ∴C=60°(Ⅱ)由余弦定理得:c 2=a 2+b 2-2abcosC,即7=a 2+b 2-2ab∴ab b a 3)(72-+==25-3ab 6=⇔ab∴23323621sin 21=⨯⨯==∆C ab S ABC 19．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）在三角形ABC 中,角A.B.C 及其对边a,b,c 满足:()C b a B c cos 2cos -=.(1)求角C 的大小;(2)求函数y=2sin 2B―cos2A 的值域. .【答案】解:有条件得:20．（山东省实验中学2014届高三上学期第二次诊断性测试数学（理）试题）在锐角△ABC 中,a.b.c 分别为角A,B,C 所对的边,且sin a A =. (I)求角C 的大小;(II)若c =且ABC ∆求22a b +的值. 【答案】21．（山东省单县第五中学2014届高三第二次阶段性检测试题(数理)）已知向量)c o s ,(s i n ),sin 3,(sin x x x x -==,设函数x f ⋅=)(,若函数)(x g 的图象与)(x f 的图象关于坐标原点对称. (Ⅰ)求函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值,并求出此时x 的值; (Ⅱ)在ABC ∆中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,A 为锐角,若23)()(=-A g A f ,7=+c b ,ABC ∆的面积为32,求边a 的长.【答案】解:(Ⅰ)由题意得:21cos 2()sin cos 22x f x x x x x -==1sin(2)26x π=-+ 所以)62sin(21)(π---=x x g因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx 所以当262ππ-=-x 即6π-=x 时,函数)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最大值为21.(Ⅱ)由23)()(=-A g A f 得:23)62sin()62sin(1=-++-ππA A 化简得:212cos -=A又因为02A π<<,解得:3π=A由题意知:32sin 21==∆A bc S ABC ,解得8=bc , 又7=+c b ,所以22222cos ()2(1cos )a b c bc A b c bc A =+-=+-+14928(1)252=-⨯⨯+=故所求边a 的长为522．（山东省桓台第二中学2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在△ABC 中,.272cos 2sin 42=-+C B A 且a+b=5,c=7, (1)求角C 的大小; (2)求△ABC 的面积.【答案】23．（山东省淄博第一中学2014届高三上学期期中模块考试数学（理）试题）在△ABC中,a=3,b=26,∠B=2∠A.(I)求cosA 的值; (II)求c 的值.【答案】解:(I)因为,∠B=2∠A. 所以在△ABC 中,由正弦定理得3sin A =所以2sin cos sin A A A =.故cos A =24．（山东师大附中2014届高三第一次模拟考试数学试题）在,,,,ABC A B C a b c ∆中，内角所对的边分别为.已知sin (tan tan )B A C +tan tan .A C = (1) 求证:,,a b c 成等比数列.(2) 1,2,a c ABC S ==∆若求的面积.【答案】解:(1)由sin (tan tan )B A C +tan tan .A C =可得sin sin sin sin sin ()cos cos cos cos A C A CB AC A C+=⨯ 去分母得sin (sin cos sin cos )sin sin B A C C A A C += 即sin sin()sin sin B A C A C += 由A B C π++=可知sin()sin A C B += 于是2sin sin sin B A C =由正弦定理得2b ac =,故,,a b c 成等比数列(2)由1,2a c ==可得b =由余弦定理得222221223cos 22124a cb B ac +-+-===⨯⨯,∵0B π<<,∴sin B =∴11sin 1222S ac B ==⨯⨯=25．（山东省威海市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）ABC ∆的角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知sin sin sin sin a A b B c C a B +-=. (Ⅰ)求角C ;(Ⅱ)若5a b +=,ABC S ∆=求c 的值. 【答案】 解:(1)根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==,原等式可转化为: 222a b c ab +-= ---------------2221cos 22a b c C ab +-== ---∴60C =(Ⅱ)11sin 22ABC S ab C ab ∆===∴6ab = ----------------22222cos ()325187c a b ab C a b ab =+-⋅=+-=-=∴c =26．（山东省枣庄市2014届高三上学期期中检测数学（理）试题）如图,在ABC∆中,90,1,ABC AB BC P ∠=︒==为ABC ∆内一点,90BPC ∠=︒.(1)若2PC =,求PA ; (2)若120ABC ∠=︒,求ABP ∆的面积S .【答案】27．（山东省临沂市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为,,,sin sin sin sin cos21,a b c A C B C C++=且10.a b+=(I)求c的值;(II)若23Bπ=,求△ABC的面积.【答案】28．（山东省山师附中2014届高三11月期中学分认定考试数学（理）试题）在ABC ∆中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若AB a b c cos cos 2=- (1)求角A;(2)已知52=a ,求ABC ∆面积的最大值.【答案】29．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a ,b ,c .角A ,B ,C 成等差数列.(Ⅰ)求cos B 的值;(Ⅱ)边a ,b ,c 成等比数列,求sin sin A C 的值.【答案】30．（山东省桓台第二中学2014届高三第二次阶段性测试数学试题）在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知cos A =23,sin B C .(Ⅰ)求tan C 的值;(Ⅱ)若a 求∆ABC 的面积.【答案】解: (Ⅰ)∵cos A =23>0,∴sin A ,C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos Acos C +23sin C .整理得:tan C(Ⅱ):由tan C sin C 又由正弦定理知:sin sin a c A C=,故c =. (1)对角A 运用余弦定理:cos A =222223b c a bc +-=. (2)解(1) (2)得:b =或 b 舍去)∴∆ABC 的面积为:S . 31．（山东省菏泽市2014届高三上学期期中考试数学（理）试题）在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2cos ,sin 3A B C ==. (1)求tan C 的值; (2)若a =求ABC ∆的面积.【答案】解: (Ⅰ)∵cos A =>0,∴sin A =, 又cos C =sin B =sin(A +C )=sin A cos C +sin C cos A =cos C +sin C . 整理得:tan C =(Ⅱ):由tan C =得sin C =.又由正弦定理知:, 故. (1)对角A 运用余弦定理:cos A =. (2)解(1) (2)得: 或 b = (舍去) ∴ABC 的面积为:S =.32．（山东省聊城市某重点高中2014届高三上学期期初分班教学测试数学（理）试题）在△ABC 中,,,a b c分别为三个内角,,A B C 的对边,锐角B满足sin B =. (Ⅰ)求2sin 2cos 2A C B ++的值;(Ⅱ) 若b =当ac 取最大值时,求cos()3A π+的值. 【答案】(1)∵锐角B满足2sin cos 3B B =∴= ∵21cos()sin 2cos 2sin cos 22A C A CB B B ++++=⋅+1cos 2sin cos 2B B B -=+21233233218-=⨯+= (2) ∵2222cos 23a cb B ac +-==, ∴2242223ac a c ac =+-≥-∴3,ac a c ac ≤==当且仅当取到最大值∴22222b c a b ac bc c +-===取到最大值时，cosA=∴sin 6A ===∴1cos()cos cos sin sin 333626212A A A πππ+=-=-= 33．（山东省莱芜四中2014届高三第二次月考数学理试题）ABC ∆中,内角 A.B.C 成等差数列,其对边c b a ，，满足ac b 322=,求A.【答案】解:由C B A 、、成等差数列可得C A B +=2,而π=++C B A , 故33ππ=⇒=B B ,且A C -=32π 而由ac b 322=与正弦定理可得C A B sin sin 3sin 22=A A sin )32sin(33sin 22-=⨯⇒ππ 所以可得 ⇒=+⇒-=⨯1sin sin cos 3sin )sin 32cos cos 32(sin 34322A A A A A A ππ 21)62sin(122cos 12sin 23=-⇒=-+πA A A , 由67626320ππππ<-<-⇒<<A A , 故662ππ=-A 或6562ππ=-A ,于是可得到6π=A 或2π=A。

5.7正弦定理和余弦定理典例精析题型一利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中，AB＝错误!，BC＝1，cos C＝错误!.(1）求sin A的值；(2）求BC•CA的值.【解析】(1）由cos C＝错误!得sin C＝错误!。

所以sin A＝错误!＝错误!＝错误!.（2）由（1)知，cos A＝错误!.所以cos B＝－cos（A＋C）＝－cos Acos C＋sin Asin C＝－错误!＋错误!＝－错误!.所以BC·CA＝BC·（CB＋BA)＝BC•CB＋BC•BA＝－1＋1×2×cos B＝－1－错误!＝－错误!.【点拨】在解三角形时，要注意灵活应用三角函数公式及正弦定理、余弦定理等有关知识.【变式训练1】在△ABC中,已知a、b、c为它的三边，且三角形的面积为错误!，则∠C＝。

【解析】S＝错误!＝错误!absin C.所以sin C＝错误!＝cos C。

所以tan C＝1，又∠C∈(0,π)，所以∠C＝错误!.题型二利用正、余弦定理解三角形中的三角函数问题【例2】设△ABC是锐角三角形，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边长，并且sin2A＝sin(错误!＋B)sin(错误!－B)＋sin2B.(1)求角A的值；(2)若AB•AC＝12，a＝2错误!，求b,c（其中b＜c）。

【解析】（1)因为sin2A＝（错误!cos B＋错误!sin B）（错误!cos B－错误!sin B)＋sin2B＝错误!cos2B－错误!sin2B＋sin2B＝错误!，所以sin A＝±错误!。

又A 为锐角，所以A＝错误!.（2)由AB•AC＝12可得cbcos A＝12.①由（1)知A＝错误!，所以cb＝24.②由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，将a＝2错误!及①代入得c2＋b2＝52。

③③＋②×2，得（c＋b)2＝100，所以c＋b＝10。