反三角函数教案

三角函数单元备课教案及反思教案标题：三角函数单元备课教案及反思教案目标：1. 理解三角函数的定义和性质。

2. 掌握三角函数的基本公式和图像。

3. 能够运用三角函数解决实际问题。

4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教案步骤：一、导入（5分钟）1. 引入三角函数的概念，提问学生对三角函数的了解程度。

2. 通过展示一些实际生活中的三角形图像，引发学生对三角函数的兴趣和思考。

二、概念讲解（15分钟）1. 介绍三角函数的定义和性质，包括正弦、余弦和正切函数。

2. 解释三角函数的周期性和对称性，展示三角函数的图像。

3. 引导学生探索三角函数的基本公式，如正弦定理和余弦定理。

三、练习与实践（25分钟）1. 分发练习题，让学生通过计算和分析来巩固所学的概念和公式。

2. 引导学生运用三角函数解决实际问题，如测量高楼的高度、计算船只的航向等。

四、总结与拓展（10分钟）1. 总结本节课所学的内容，强调三角函数的重要性和应用。

2. 提出一些拓展问题，激发学生的思考和求解能力。

五、反思（5分钟）1. 分析本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和解题能力。

2. 总结教学中存在的问题和不足，并提出改进措施。

教案反思：本节课的教学效果较好，学生对三角函数的定义和性质有了初步的了解。

通过展示实际生活中的三角形图像，激发了学生的兴趣和思考。

在概念讲解环节，学生能够积极参与讨论，并能够理解三角函数的周期性和对称性。

练习与实践环节，学生通过计算和分析练习题，巩固了所学的概念和公式，并能够运用三角函数解决实际问题。

然而，在教学中还存在一些问题。

首先，有部分学生对三角函数的定义和性质理解不够深入，需要更多的示例和练习来加深理解。

其次，部分学生在解题过程中存在一些计算错误，需要加强对基本公式的掌握和运用能力。

最后，教学时间安排上可能有些紧凑，有些学生在练习环节中没有足够的时间来巩固所学的知识。

为了改进教学效果，我会在下节课中加入更多的实例和练习，以加深学生对三角函数的理解。

高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数高中数学备课教案三角函数的反函数与反三角函数一、引言三角函数的反函数与反三角函数是高中数学中非常重要的概念，它们在解决三角函数方程、研究三角函数性质以及求解实际问题等方面发挥着重要作用。

本教案旨在帮助学生全面理解三角函数的反函数与反三角函数的概念、性质以及应用。

二、教学目标1. 理解三角函数的反函数与反三角函数的概念；2. 掌握三角函数的反函数与反三角函数的性质；3. 能够应用反函数与反三角函数解决实际问题。

三、教学内容1. 三角函数的反函数（1）概念与定义在定义域上，对于任意的三角函数y=f(x)，如果存在一个单调严格增函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么g(x)被称为函数f(x)的反函数，记作g(x)=f^(-1)(x)。

（2）性质①函数f(x)和反函数f^(-1)(x)关于y=x对称；②如果y=f(x)在[a,b]上是单调递增或单调递减的，则反函数f^(-1)(x)在[f(a),f(b)]上也是单调递增或单调递减的；③若f(x)在[a,b]上连续，则反函数f^(-1)(x)也在[f(a),f(b)]上连续。

2. 反三角函数（1）概念与定义对于三角函数y=f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x，那么函数g(x)被称为反三角函数，记作g(x)=sin^(-1)(x)或arcsin(x)。

同样地，我们还可以定义反余弦函数arccos(x)，反正弦函数arctan(x)等。

（2）性质①反三角函数的定义域和值域；②反三角函数的图像和性质；③反三角函数的基本关系式及推导；④反三角函数与三角函数之间的互换关系。

四、教学方法1. 导入新知识：通过练习与生活实例，引导学生思考三角函数的反函数与反三角函数的实际应用；2. 理论讲解：通过板书和讲解，向学生介绍三角函数的反函数与反三角函数的定义和性质；3. 示例演练：以典型例题为例，引导学生掌握如何求解反函数与反三角函数的具体步骤；4. 练习巩固：组织学生进行相关练习，巩固所学的知识点；5. 拓展应用：设计一些生活实例或综合应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。

第一课时反三角函数(教案)【复习目标】【知识与技能】1.理解反三角函数的定义，掌握反三角函数的图像及性质.2.能正确使用反三角函数的符号表示一个角的大小，会根据有关反三角函数的恒等式进行一些简单的变形.3.能够运用反三角函数的图像及性质解决一些简单的数学问题.【过程与方法】通过原函数与反函数的关系，以及三角函数的图像与性质，记忆反三角函数的图像与性质，体会概念之间的联系与区别，强化数形结合的思想方法.【情感态度与价值观】通过原有知识与新知识的联系，体验数学知识体系的形成过程，提升逻辑思维能力.【教学重点.难点】对反三角函数的定义的理解，用反三角函数的记号表示一个角，反三角函数的图像及性质【教学过程】【基础练习】1. 若x x ∈-∈[,]arcsin 10则,02π⎡⎤-⎢⎥若x x ∈-[,)arccos 112则 若x ∈-[,)13，则2．arcsin arccos ,x x x >时3．设a a ≤+1,arccos 则4．函数y x =1arcsin 5 A ．4)1arctan(π-=- C. 53)]53(sin[arcsin -=-D.2)2cot cot(=arc 6. 若23,41sin ππ<<-=x x ，则x 的值（ C ） A.)41arcsin(- B.)41arcsin(-+πC.)41arcsin(--πD.)41arcsin(2-+π7.)45arcsin(cos π的值（ A ） A.4π- B.43π C.4π D.43π8.计算：11sin(arccos )28=49.函数arccos(2)y x =-的图像为C ，函数()f x 的图像与C 关于原点对称，则()f x 的解析式arccos(2)y x π=+-10.等式arccos(cos )x x =成立的充要条件是x ∈[0,]π 【典型例题】【例1】若1cos 3α=-，求满足下列条件的α的值 （1）3(,0);(2)(,)2παπαπ∈-∈ 解：函数cos y x =与直线13y =-位于cos y x =主值区间[]0,π内的交点A 的横坐标为1arccos(),3-则位于区间(,0)π-的交点B 和位于区间3(,)2ππ的交点C 分别与点A 关于y 轴和直线x π=对称,(,0)απ∴∈-,则11arccos()arccos 33απ=--=-;当311(,),2arccos()arccos 233παπαππ∈=--=+ 减【例3】求满足下列条件的x 的范围21(1)arcsin (2)arccos arccos 3x x x >->解：（1）根据反三角函数图象，11sin()sin 33-=-，且反正弦函数在[1,1]-单调递增，11arcsin (sin ,1]33x x >-⇒∈- （2）原不等式等价于22111110x x x x x -≤≤⎧⎪-≤≤⇒-≤<⎨⎪<⎩注意反函数的定义域及函数在定义域上单调性【例4】求函数arcsin arctan y x x =+的定义域及值域.解：定义域[1,1]x ∈-；函数arcsin arctan y x y x ==在[1,1]-单调递增值域为33,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【变式】求函数2arcsin()y x x =-定义域、值域、单调区间.解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域1[arcsin ,]42π-，1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，11,22⎡+⎢⎣⎦递增. 【例5】 求函数 tan 2xy arc π=+的反函数.解：arctan ,tan()tan ,22x xy y y ππ=-∴=-=故2tan 2tan x y y x =⇒=所以，反函数为：32tan ,(,)22y x x ππ=∈ 求反函数的步骤：①用y 表示②,x y 互换③求出反函数的定义域，即原函数的值域.【例6】求1sin(2arctan )4的值.解：设11arctan,tan ,(0,)sin 4428sin 22sin cos 17παααααααα==∈⇒====【例7】已知7c o s 2,0,252παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭, 5sin 13β=-,3,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求αβ+(用反三角函数表示).解：由题设得sin α==53,从而cos α=54,且cos β=1213-又αβ+∈ (,2)ππ， αβπ+-(0,)π∈33cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=-. ∴33cos()cos(())65αβππαβ+-=-+=. ∴παβ-++=33arccos 65，即αβ+=33arccos 65π+ 【备用例题】1.解不等式2(arctan )3arctan 20x x -+>.解：(arctan 2)(arctan 1)0x x -->∴arctan 1x <或arctan 2x >.又-2π＜arctan x ＜2π. ∴2π-＜arctan x ＜1,即有x ＜tan12．满足arccos(1)arccos x x -≥的x 的取值范围是( D )A. 11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B. 1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦解：反余弦函数的定义域为[]1,1-,且为减函数.-1≤1x -≤1 ∴ -1≤x ≤1 ⇒21≤x ≤1 1x -≤x【巩固练习】1．函数sin y x =，35,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的反函数是（D ） A. ()11arcsin ≤≤-=x x y B. ()11arcsin ≤≤-+=x x y π C. ()11arcsin 2≤≤--=x x y π D. ()11arcsin 2≤≤-+=x x y π 2.下例各式中错误的是（A ）A.2>B.arccos arccos 22⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭C.(arctan arctan 2⎛-> ⎝⎭D.arctan 2<3.直线)0,0(<<=+b a ab ay bx 的倾斜角为（C ）A.arctan()b -B.tan()aarc -C.tan barc a π-D.tan aarc bπ-4.函数()2arcsin -=x y 的值域是,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，定义域是[1,3]；5.函数1arctan y x =的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，值域是,0(0,)22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭6.函数11arcsin +-=x x y 的反函数是1sin ,,1sin 22x y x x ππ+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭； 7.若()5arctan 2f x ax b x =+⋅+，若()102=f 则()=-2f 6- 8.求下列函数的定义域和值域：⑴()423arcsin 2π+-=x y 参考解答：定义域1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为35,44A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ⑵()arctan sin 3y x π=-参考解答：定义域为R ，值域为7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.已知函数)41arcsin()(2-=x x f ， （1）求)(x f 的定义域； （2）求)(x f 的值域；（3）设)(x f 的最大值为α，最小值为β，求)sin(βα-的值. 解：（1）定义域⎡⎢⎣⎦；（2）值域：1arcsin ,42π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦； （3）11sin(arcsin )cos(arcsin )2444π-== 10.函数()()x x x f -=2arccos ，求函数定义域，值域和单调区间，解关于a 不等式()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<212a f a f .解：函数定义域1122⎡+⎢⎣⎦，值域10,arccos 4π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，在1122⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增．11,22⎡⎢⎣⎦递减()11122221112(,)226122a a f a f a a a ⎧⎧->+-⎨⎪⎩⎛⎫<+⇒<<⇒- ⎪⎝⎭<+<⎪⎩11.若12,x x 是方程2670x x ++=的两根，求12arctan arctan x x +的值. 解：34π-。

6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f（x），x∈D，如果对它的值域中的任意一个值y，在定义域D中都有唯一确定的值x与它对应，使y=f（x），这样得到的x关于y的函数叫做y=f（x）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的.2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明]因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数.3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin =在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin 21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0. （3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]；（2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0]. 解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin 32；（2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51；（3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin 33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin 54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin 7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin 7π）=7π. （2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ， 因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x.解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31.[说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。

反三角函数教案教学目标：1.理解反三角函数的概念和定义2.掌握反正弦函数的性质和图像3.理解和应用反正弦函数在实际问题中的意义教学重点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数的性质和图像教学难点：1.反正弦函数的概念和定义2.反正弦函数在实际问题中的应用教学准备：1.教师准备课件、教学讲义和实物示例等教学资源2.学生准备笔记本和计算器等学习工具教学过程：Step 1：导入教师通过提问和展示一个实物示例引入反三角函数的概念。

例如，教师拿一根绳子让学生按照一定的长度将其弯曲成一个三角形，然后问学生如何计算这个三角形的角度。

Step 2：引入反正弦函数教师通过上述引入，引导学生思考如何反过来计算三角形的角度，从而引入反正弦函数的概念。

教师给出反正弦函数的定义：对于任意实数y，如果y=sin(x)，则称x为y的反正弦，记为x=arcsin(y)。

Step 3：反正弦函数的定义域和值域教师介绍反正弦函数的定义域和值域。

反正弦函数的定义域是[-1,1]，值域是[-π/2,π/2]。

Step 4：反正弦函数的性质教师讲解反正弦函数的基本性质，如奇函数、递减性、周期性等。

并通过具体的例子让学生观察和探讨这些性质。

Step 5：反正弦函数的图像教师通过计算并绘制反正弦函数的图像，让学生观察反正弦函数的图像特点。

特别注意强调反正弦函数的定义域和值域，以及函数图像在这个范围内的变化趋势。

Step 6：应用到实际问题教师通过具体的实例，如求解三角形内的一些角度，解释反正弦函数在实际问题中的应用意义。

并给出一些练习题让学生自主探究和解答。

Step 7：小结教师通过回顾和总结课堂内容，概括反正弦函数的概念、性质和应用。

并提醒学生掌握和记忆相关的公式和概念。

Step 8：作业布置作业，要求学生完成相关的练习题，巩固所学内容。

教学辅助方法：1.利用实物示例引入概念，增强学生的直观感受和理解。

2.使用图像和计算器等工具辅助讲解，提高学生的数学思维和计算能力。

“反三角函数”课后作业张堰中学张欢一、教学设计学情：学生的基础在整个金山区来说是属于中等偏上的，所以在设计教案和作业的时候，十分简单的直接计算类题型和不需要任何思考的送分题型出现得比较少，因此对于张堰中学学生来说，做我设计的作业，肯定不会觉得轻松，但是没有一个题目是超出他们的能力范围的，只要自己多多思考一下都是可以解决的。

现在张堰中学学生的智商都是比较好的，但是现在他们身上最大的问题是不肯自己独立思考，遇到真正难题肯定不会，遇到简单的题目都会，所以需要一点思考，但又不超出他们能力范围的题目是最适合他们的。

第一课时：教材分析：“反正弦函数”是高一第二学期中第六章——三角函数中所学内容。

这一节课所学内容不仅和刚刚学过的三角函数有着紧密的联系，而且还和高一第一学期所学的反函数的基本概念和性质有着紧密的联系，把三角函数和反函数的知识点有机地结合在了一起；通过这一节课的学习，学生不仅可以学习到反正弦函数的概念、图像和性质等知识点，还可以加深自己对正弦函数的性质的理解，还能够复习回顾反函数的概念，加深理解存在反函数的条件。

反正弦函数这节课是一个承上启下的转折点，它不仅和前面所学的函数知识点联系起来，还为后面学习反余弦函数和反正切函数做铺垫；反正弦函数具有模板作用，学好反正弦函数可以为后面的学习打下坚实的基础，所以反正弦函数是整个第六章中非常重要的一节课。

知识与技能：1．理解反正弦函数的定义；2．知道反正弦函数的图像；3．掌握反正弦函数的性质；4．掌握一些特殊值的反正弦函数值，能用反正弦函数值表示角。

过程与方法：1．在研究正弦函数是否存在反函数的过程中，注重数学教学的严谨性，并让学生体会化归思想的重要性；2．在探究反正弦函数的性质的教学过程中，注重学生的自主思考。

态度情感与价值观：1．学会使用数学方法思考问题；2．培养学生主动学习，自己独立思考问题的能力，从而提高学习数学的积极性。

教学重点：1．理解反正弦函数的概念；2．理解反正弦函数符号arcsin 的本质。

第4节反三角函数（2课时） 第1课时［教材分析］:反三角函数的重点是概念，关键是反三角函数与三角函数之间的联系与区别。

内容上，自然是定义和函数性质、图象；教学方法上，着重强调类比和比较。

另外，函数与反函数之间的关系，是本节内容中的一个难点， 同时涉及上学期内容，可能是个值得复习的机会。

［课题引入］:在辅助角公式中，我们知道样表述相当烦琐，我们想是否有比较简明的方法来表示辅助角 「呢？这就是我们今天要引入的问题一一反三角函数。

［教学过程］:师：首先我们回顾一下，什么样的函数才有反函数？答：一一对应的函数具有反函数，最典型的例子就是单调函数具有反函数（但反之不真） 师：我们知道正弦函数 y^sinx 在定义域R 上是周期函数，当然不是一一对应的，因而没 有反函数。

但是，如果我们截取其中的一个单调区间，比方说我们研究函数：y =sinx,，这个函数是单调函数，因而有反函数。

师：现在我们来求这个函数的反函数，那么求反函数有哪些步骤？（反解，互换x, y ）（这里我们使用符号 arcsin 表示反解）反解得 x = arcsin y ，互换得y 二arcsin x ，其中Ll,l!y，—，这就是要求的反正弦函数。

-2 21. 反正弦函数的图象个函数图象关于直线 y 二x 对称。

2. 反正弦函数的性质（由函数图象可得） ①定义域为51,值域为二，? ②y 二arcsin x 在定义域丨-1,1】上单调递增;③ y = arcsin x 是奇函数，即对任意 x 丨-1,1】，有 arcsin - x - - arcsin x 3. 反正弦函数的恒等式①由“一一对应”的性质知：对任意值〔-1,1 1,在 ，一上都有唯一对应的角IL 2 2asinx bcosx = a 2 b 2 sin x ， 其中cos =aa 2b 2 ,si n = -------------Ja 2 + b 2反正弦函数 y= arcsin x ,xL" 1与函数厂助―-,-互为反函数，因此两(3)(3).73 sin x , x - 3解：利用恒等式2来理解题意:U3/ 、 J3 (1) sinxarcsin sinx = arcsin ，而 x ,5 5! 2 2_，故有 x = arcsin 5 sin x 二—二3arcsin sin x 二 arcsin — 3，而xTt Tt二订，故不能直接利用恒等式2,需要利用诱导公式，将角度转化到Ji "I---上，此时涉及讨论:IL 2 2arcsinx ，使得它的正弦值为 x ，即得恒等式sin arcsinx =x,x ・L 1,11；②由“一一对应”的性质知：对任意角x/ ，在L 1,11上都有唯一对应的值 sinx ,IL 2 2使得它的反正弦值为 x ，即得恒等式arcsin sin x 二x, x , 1 2,2」例题选编：[例1]:求下列反三角函数值：解：利用恒等式1来理解题意（1）:说明：对于特殊值的反正弦函数值的处理， 利用恒等式1理解是一种本人以为较为机械的方法；但不知是否适合于初学者，有待讨论。

反三角函数教案教案标题：反三角函数教案教案目标：1. 了解反三角函数的定义、性质和应用。

2. 能够使用反三角函数解决实际问题。

3. 掌握反三角函数的图像和基本变换。

4. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教学重点：1. 反三角函数的定义和性质。

2. 反三角函数的应用。

3. 反三角函数的图像和基本变换。

教学难点：1. 反三角函数的应用问题解决。

2. 反三角函数的图像和基本变换的理解和应用。

教学准备：1. 教材：包含反三角函数的相关知识点和例题的教材。

2. 教具：黑板、白板、多媒体设备。

3. 学具：直尺、三角板、计算器。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）引导学生回顾正弦、余弦和正切函数的定义和性质，以及它们在三角函数中的应用。

激发学生对反三角函数的学习兴趣。

Step 2：引入反正弦函数（10分钟）介绍反正弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过简单的例题，让学生理解反正弦函数的概念和求解方法。

Step 3：引入反余弦函数（10分钟）介绍反余弦函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过例题，让学生掌握反余弦函数的概念和求解方法。

Step 4：引入反正切函数（10分钟）介绍反正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、奇偶性等。

通过例题，让学生掌握反正切函数的概念和求解方法。

Step 5：应用实例（15分钟）结合实际问题，引导学生运用反三角函数解决实际问题，如三角形的边长和角度的求解、航空导航中的角度计算等。

Step 6：反三角函数的图像和基本变换（15分钟）通过图像展示和讲解，介绍反三角函数的图像和基本变换，如平移、伸缩和翻转等。

引导学生观察和分析图像，理解基本变换的规律。

Step 7：练习与巩固（15分钟）提供一些练习题，让学生巩固所学的知识和技能。

鼓励学生积极参与，解答问题并互相交流讨论。

Step 8：拓展与应用（10分钟）提供一些拓展题目，让学生进行思考和探究，拓宽对反三角函数的理解和应用。

反函数知识点总结讲义教案本篇文章将分四个部分介绍反函数的知识点。

首先，我们将介绍反函数的概念和定义。

其次，我们将探讨如何验证一个函数的反函数是否存在。

然后，我们将讨论如何找出一个函数的反函数。

最后，我们将介绍一些与反函数相关的重要概念和应用。

一、概念和定义：反函数是指对于给定函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x对于所有在f的定义域内的x都成立，那么g(x)就是f(x)的反函数。

其中，f(x)称为原函数，g(x)称为反函数。

二、验证反函数存在的条件：一个函数f(x)的反函数是否存在可以通过以下条件进行验证：1.函数f(x)必须是单射函数（一一映射函数），即对于不同的x1和x2，f(x1)≠f(x2)。

2.函数f(x)必须是满射函数，即对于任意的y，存在一个x使得f(x)=y。

3. 函数f(x)必须是可逆的（invertible），即对于每一个y，存在一个x使得f(x) = y。

三、找出反函数的方法：要找到一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1.假设函数f(x)的反函数为g(x)。

2.将等式g(f(x))=x转换为f(x)=g(x)。

这步转换的过程中需要注意将x和f(x)互换。

3.解出g(x)。

这里的解出指的是将x和f(x)从方程中解出g(x)。

4.验证g(x)是否满足反函数的条件。

四、与反函数相关的重要概念和应用：1.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数。

指数函数以一些正常数为底，对数函数以相同的底为指数，两个函数可以相互取消。

2. 反三角函数：反三角函数是指与三角函数相互取消的函数。

例如，sin(x)和arcsin(x)是互为反函数的函数。

3.反函数的图像：函数f(x)的图像关于y=x的对称轴对称，与函数f(x)的图像是关于y=x的镜像。

通过这个性质，我们可以在画出函数f(x)的图像后，通过对称轴找到反函数g(x)的图像。

4.利用反函数求解方程：有时候，我们可以通过利用反函数来求解一些方程。