吉林省吉林市2019届高三上学期第一次调研测试数学文科试卷(精品解析)

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 设复数z =（5+i ）（1-i ）（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ）A. 4iB. 4C. −4iD. −42. 已知集合A ={x|y =√2−x 2，x ∈R}，B ={x |-1≤x ≤3，x ∈Z }，则集合A ∩B 中元素的个数为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线经过点(√2，√6)，则该双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. √2 C. 3 D. √34. 某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：不喜欢 喜欢 男性青年观众 30 10 女性青年观众3050现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ）A. 12B. 16C. 24D. 325. 若一个圆锥的轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）A. √2πB. 2√2πC. 2πD. 4π6. 设x ，y 满足约束条件{x +2y −4≤0，x −y −1≤0，2x +y +1≥0，，则z =-2x +y 的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 77. 已知函数f(x)={sinx ，x ≤π4cosx ，x ＞π4，则下列结论正确的是（ ）A. f(x)是周期函数B. f(x)奇函数C. f(x)的图象关于直线x =π4对称D. f(x)在x =5π2处取得最大值8. 若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B 等于（ ）A. 4B. 13C. 40D. 419. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =1，a （2sin B -√3cos C ）=√3c cos A ，点D 是边BC 的中点，且AD =√132，则△ABC 的面积为（ ）A. √3B. √32C. √3或2√3D. 3√34或√3 10. 已知抛物线C ：y 2=6x ，直线l 过点P （2，2），且与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点恰好为点P ，则直线l 的斜率为（ ）A. 13B. 54C. 32D. 1411. 函数f （x ）=x sin2x +cos x 的大致图象有可能是（ ）A.B.C.D.12. 已知x ＞0，函数f （x ）=(e x −a)2+(e −x +a)2e x −e −x的最小值为6，则a =（ ）A. −2B. −1或7C. 1或−7D. 2二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，m ⃗⃗⃗ =2a ⃗ −3b ⃗ ，n ⃗ =3a ⃗ +k b⃗ ，如果m ⃗⃗⃗ ∥n ⃗ ，则k =______． 14. 已知函数f （x ）满足f(x2)=x 3−3x ，则曲线y =f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为______．15. 已知sin10°+m cos10°=-2cos40°，则m =______．16. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知数列{a n }为等差数列，a 7-a 2=10，且a 1，a 6，a 21依次成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =1a n a n+1，数列{b n }的前n 项和为S n ，若S n =225，求n 的值．18. 随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数y i （单位：人）与时间t i （单位：年）的数据，列表如下： t i 1 2 3 4 5 y i2427416479（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若|r |＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） 附：相关系数公式r =∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=∑t i n i=1y i −nt −y−√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2，参考数据√5695≈75.47．（2）建立y 关于t 的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．（参考公式：b ̂=∑(ni=1t i −t −)(y i −y −)∑(n i=1t i −t −)2=∑t i ni=1y i −nt −y −∑t i 2n i=1−nt−2，a ̂=y −−b ̂t −）19. 在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为平行四边形，AA 1⊥平面ABCD ．AB =2AD =4，∠DAB =π3． （1）证明：平面D 1BC ⊥平面D 1BD ；（2）若直线D 1B 与底面ABCD 所成角为π6，M ，N ，Q 分别为BD ，CD ，D 1D 的中点，求三棱锥C -MNQ 的体积．20. 顺次连接椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的四个顶点恰好构成了一个边长为√3且面积为2√2的菱形．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点Q （0，-2）的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，k OA •k OB =-1，其中O 为坐标原点，求|AB |．21. 已知函数f(x)=lnx +12x 2−(m +1)x +m +12．（1）设x =2是函数f （x ）的极值点，求m 的值，并求f （x ）的单调区间； （2）若对任意的x ∈（1，+∞），f （x ）＞0恒成立，求m 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：{y =acost x=a(1+sint),（a ＞0，t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：θ=π6（ρ∈R ）．（1）说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；（2）若直线C 3的方程为y =-√3x ，设C 2与C 1的交点为O ，M ，C 3与C 1的交点为O ，N ，若△OMN 的面积为2√3，求a 的值．23. 已知函数f （x ）=|4x -1|-|x +2|．（1）解不等式f （x ）＜8；（2）若关于x 的不等式f （x ）+5|x +2|＜a 2-8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵z=（5+i）（1-i）=6-4i，∴z的虚部是-4．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．2.【答案】B【解析】解：，B={-1，0，1，2，3}；∴A∩B={-1，0，1}；∴A∩B中元素的个数为：3．故选：B．可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可求出A∩B，从而得出A∩B中元素的个数．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．3.【答案】A【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由题意可得=，即b=a，即有双曲线的e====2．故选：A．求得双曲线的渐近线方程，结合a，b，c的关系，再由离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由分层抽样的性质得：，解得n=24．故选：C．由分层抽样的性质列方程能求出n的值．本题考查样本单元数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】A【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，由题意知，r=h=l，则轴截面的面积为•=1，解得r=1，所以l=；所以该圆锥的侧面积为S圆锥侧=πrl=π．故选：A．设圆锥的底面圆半径、高和母线长，根据直角三角形的边角关系和面积公式列方程求出r和l 的值，再计算圆锥的侧面积公式．本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-2x+y，得y=2x+z表示，斜率为2纵截距为Z的一组平行直线平移直线y=2x+z，当直线y=2x+z经过点A时，直线y=2x+z的截距最大，此时z 最大，由解得A（-2，3）此时-2x+y=7，即此时z=7，故选：D．作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．7.【答案】C【解析】解：作出函数f（x）的图象如图：则由图象知函数f（x）不是周期函数，故A错误，不是奇函数，故B错误，若x＞0，f （+x）=cos （+x）=cos cosx-sinsinx=（cosx-sinx），f （-x）=sin （-x）=sin cosx-cos sinx=（cosx-sinx），此时f （+x）=f （-x），若x≤0，f （+x）=sin （+x）=sin cosx+cos sinx=（cosx+sinx），f （-x）=cos （-x）=cos cosx+sin sinx=（cosx+sinx），此时f （+x）=f （-x），综上恒有f （+x）=f （-x），即图象关于直线对称，故C正确，f（x ）在处f（x）=f （）=cos=0不是最大值，故D错误，故选：C．作出函数f（x）的图象，结合函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质分别进行判断即可．本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，涉及函数周期性，奇偶性对称性以及最值性的性质，利用定义法结合数形结合是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=0满足条件A≤4，执行循环体，B=1，A=2满足条件A≤4，执行循环体，B=4，A=3满足条件A≤4，执行循环体，B=13，A=4满足条件A≤4，执行循环体，B=40，A=5此时，不满足条件A≤4，退出循环，输出B的值为40．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量B的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵a（2sinB-cosC）=ccosA，∴2sinAsinB-sinAcosC=sinCcosA，即2sinAsinB=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB≠0，∴2sinA=，即sinA=，即A=或∵点D是边BC的中点，∴=（+），平方得2=（2+2+2•），即=（b2+c2+2bccosA），即13=1+c2+2ccosA，若A=则c2+c-12=0得c=3或c=-4（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==若A=则c2-c-12=0得c=4或c=-3（舍），此时三角形的面积S=bcsinA==，综上三角形的面积为或，故选：D．根据正弦定理先求出A的大小，结合中线的向量公式以及向量数量积的公式进行转化求出c 的值进行求解即可．本题主要考查三角形的面积的计算，结合正弦定理了以及向量的中点公式以及向量数量积的应用是解决本题的关键．10.【答案】C【解析】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由y12=6x1，y22=6x2，相减可得（y1+y2）（y1-y2）=6（x1-x2），∵y1+y2=4，∴k===，故选：C．根据点差法和中点坐标公式即可求出本题考查了点差法求出直线的斜率，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：f（-x）=-xsin（-2x）+cos（-x）=xsin2x+cosx=f（x），则函数f（x）是偶函数，排除D，由f（x）=x2sinxcosx+cosx=0，得cosx（2xsinx+1）=0，得cosx=0，此时x=或，由2xsinx+1=0得sinx=-，作出函数y=sinx和y=-，在（0，2π）内的图象，由图象知两个函数此时有两个不同的交点，综上f（x）在（0，2π）有四个零点，排除B，C，故选：A．判断函数的奇偶性，判断函数零点个数进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性以及函数零点个数进行排除是解决本题的关键．12.【答案】B【解析】解：∵x＞0，∴e x-e-x＞0∴f（x）===（e x-e-x）+-2a≥2-2a，∵函数f（x）=的最小值为6，∴2-2a=6，解得a=-1或7，故选：B．根据基本不等式即可求出函数的最值．本题考查了函数的最值和基本不等式的应用，考查了转化与化归能力，属于中档题13.【答案】−92【解析】解：∵不共线；∴；∵；∴存在实数λ，使；∴；∴根据平面向量基本定理得，；解得．故答案为：．根据不共线即可得出，从而根据得出，存在实数λ，使得，从而得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出k即可．考查共线向量基本定理，平面向量基本定理．14.【答案】18x-y-16=0【解析】解：函数f（x）满足，可得f（x）=8x3-6x，即有f′（x）=24x2-6，可得y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=18，切点为（1，2），可得切线方程为y-2=18（x-1），即为18x-y-16=0．故答案为：18x-y-6=0．由x替换2x，可得f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程．本题考查函数的解析式的求法，以及导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．15.【答案】−√3【解析】解：sin10°+mcos10°=-2cos40°，整理得：sin10°+mcos10°=-2cos（10°+30°）=-2[]，整理得：m=-，故答案为：-直接利用和角公式的展开式，利用对应关系求出m的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．16.【答案】20π【解析】1解：根据几何体的三视图，转换为几何体为：如图所示：所以：O为外接球的球心，所以：R，故：S=4=20π故答案为：20π首先把几何体的三视图转换为几何体，进一步确定几何体的外接球球心，在算出几何体的外接球半径，最后求出球的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．17.【答案】解：（1）设数列{a n}为公差为d的等差数列，a7-a2=10，即5d=10，即d=2，a1，a6，a21依次成等比数列，可得a62=a1a21，即（a1+10）2=a1（a1+40），解得a1=5，则a n=5+2（n-1）=2n+3；（2）b n=1a n a n+1=1(2n+3)(2n+5)=12（12n+3-12n+5），即有前n项和为S n=12（15-17+17-19+…+12n+3-12n+5）=12（15-12n+5）=n5(2n+5)，由S n=225，可得5n=4n+10，解得n=10．【解析】（1）设等差数列的公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得b n===（-），运用裂项相消求和可得S n，解方程可得n ．本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由题知t −=3，y −=47，∑t i 5i=1y i =852，√∑(n i=1t i −t −)2=√10，√∑(n i=1y i −y −)2=√2278， 则r =∑(n i=1t i −t −)(y i −y −)√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=∑t i n i=1y i −nt −y−√∑(ni=1t i −t −)2√∑(n i=1y i −y −)2=147√22780=1472√5695≈147150.94≈0.97＞0.75． 故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合．（2）由（1）得b ̂=∑t i ni=1y i −nt −y −∑t i 2n i=1−nt−2=14.7，a ̂=47−14.7×3=2.9． 所以y 与t 的回归方程为y =14.7t +2.9． 将t =6带入回归方程，得y =91.1≈91，所以预测第6年该公司的网购人数约为91人． 【解析】（Ⅰ）根据表格数据，计算相关系数r 进行判断即可． （Ⅱ）根据线性规划关系公式求出回归系数进行预报即可．本题主要考查线性回归方程的应用，根据表格数据进行计算，考查学生的计算能力． 19.【答案】证明：（1）∵D 1D ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴D 1D ⊥BC ．又AB =4，AD =2，∠DAB =π3， ∴BD =√22+42−2×2×4×cos π3=2√3，∵AD 2+BD 2=AB 2，∴AD ⊥BD ． 又∵AD ∥BC ，∴BC ⊥BD ．又∵D 1D ∩BD =D ，BD ⊂平面D 1BD ，D 1D ⊂平面D 1BD ， ∴BC ⊥平面D 1BD ，而BC ⊂平面D 1BC ， ∴平面D 1BC ⊥平面D 1BD ． 解：（2）∵D 1D ⊥平面ABCD ，∴∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即∠D 1BD =π6， 而BD =2√3，∴DD 1=2． V C−MNQ =V Q−CMN =14V Q−BDC ，∴三棱锥C -MNQ 的体积V C−MNQ =14×13×12×2√3×2×1=√36．【解析】（1）推导出D 1D ⊥BC ，AD ⊥BD ，BC ⊥BD ．从而BC ⊥平面D 1BD ，由此能证明平面D 1BC ⊥平面D 1BD ．（2）由D 1D ⊥平面ABCD ，得∠D 1BD 即为直线D 1B 与底面ABCD 所成的角，即，由，能求出三棱锥C-MNQ 的体积．本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.【答案】解：（1）由题可知，2ab =2√2，a 2+b 2=3，解得a =√2，b =1． 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为y =kx -2， 代入方程x 22+y 2=1，整理得（1+2k 2）x 2-8kx +6=0．由△=64k 2-24（2k 2+1）＞0，解得k 2＞32， 所以x 1+x 2=8k 1+2k 2，x 1x 2=61+2k 2． k OA ⋅k OB =y 1y2x 1x 2=k 2x 1x 2−2k(x 1+x 2)+4x 1x 2=−1，解得k 2=5．∴.|AB|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√2111．【解析】（1）由题可知，，a 2+b 2=3，解得即可求出椭圆的方程，（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当直线l 斜率不存在时，明显不符合题意，故设l 的方程为y=kx-2，代入方程，整理得（1+2k 2）x 2-8kx+6=0．然后根据根与系数的关系以及已知条件求解即可本题考查了直线与椭圆的位置关系，考查了弦长公式，根与系数的关系，是中档题． 21.【答案】解：（1）由f(x)=lnx +12x 2−(m +1)x +m +12（x ＞0），得f′(x)=x +1x −m −1．∵x =2是函数f （x ）的极值点，∴f′(2)=2+12−m −1=0，故m =32． 令f′(x)=x +1x−52=2x 2−5x+22x＞0，解得0＜x ＜12或x ＞2．∴f （x ）在（0，12）和（2，+∞）上单调递增，在（12，2）上单调递减； （2）f′(x)=x +1x −m −1（x ＞0），当m ≤1时，f ′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增， 又f （1）=0，∴lnx +12x 2−(m +1)x +m +12＞0恒成立；当m ＞1时，求导可知f′(x)=x +1x −m −1在（1，+∞）上单调递增， 故存在x 0∈（1，+∞），使得f ′（x 0）=0，∴f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 又f （1）=0，则f （x 0）＜0，这与f （x ）＞0恒成立矛盾． 综上，m ≤1． 【解析】（1）求出原函数的导函数，利用x=2是函数f （x ）的极值点，可得f′（2）=0，由此求得m 值，代入导函数，再由导函数大于0求得原函数的增区间，导函数小于0求得原函数的减区间； （2）求出原函数的导函数（x ＞0），可得当m≤1时，f′（x ）＞0，则f （x ）在（1，+∞）上单调递增，结合f （1）=0，可知f （x ）＞0恒成立；当m ＞1时，可知存在x 0∈（1，+∞），使得f′（x 0）=0，得到f （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增，结合f （1）=0，得f （x 0）＜0，这与f （x ）＞0恒成立矛盾，可得m≤1．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题的求解方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.【答案】解：（1）曲线C 1：{y =acost x=a(1+sint),（a ＞0，t 为参数）．转换为直角坐标方程为：（x -a ）2+y 2=a 2， 该曲线为以（a ，0）为圆心a 为半径的圆． 圆的极坐标方程为ρ=2a cosθ． （2）直线C 3的方程为y =-√3x ， 转换为极坐标方程为：θ=2π3．将θ=π6，θ=2π3代入ρ=2cosθ，解得：|ρ1|=√3a ，|ρ2|=a ，则：S △OMN =12⋅√3a ⋅a ⋅sin(π6+π3)=2√3， 解得：a =2．【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程进行转换．（2）利用极径建立方程组，进一步利用三角形的面积建立等量关系，求出参数的值．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系的应用，三角函数关系式的恒等变变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．23.【答案】解：（1）由题意可得f （x ）={−3x +3，x ≤−2−5x −1，−2＜x ＜143x −3，x ≥14，当x ≤-2时，-3x +3＜8，得x ＞−53，无解；当−2＜x ＜14时，-5x -1＜8，得x ＞−95，即−95＜x ＜14； 当x ≥14时，3x -3＜8，得x ＜113，即14≤x ＜113． 所以不等式的解集为{x|−95＜x ＜113}． （2）f （x ）+5|x +2|=|4x -1|+|4x +8|≥9， 则由题可得a 2-8a ＞9， 解得a ＜-1或a ＞9． 【解析】（1）求出f （x ）的分段函数的形式，解各个区间上的不等式的解集，取并集即可； （2）求出f （x ）+5|x+2|的最小值，得到关于a 的不等式，解出即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。

吉林市普通中学2018—2019学年度高中毕业班第一次调研测试文科数学一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1.设集合，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【详解】因为集合，所以=.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.若为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得，再根据为第二象限角求出最后根据同角三角函数基本关系式可得.【详解】，又为第二象限角，则故选A.【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 是与的等比中项C. 若是不共线的向量，且，则∥D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能.所以该选项错误; B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作由向量加法的平行四边形法则可知故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5.若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求.【详解】因为成等比数列，所以所以故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列和等比数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式6.已知, 则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】,则故选：C．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先转化为求-，再代入求解.【详解】=-.故答案为：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8.在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取 ，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，则 ．故选B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.中国古代数学著作《算法统综》中有这样的一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问此人第2天走的路程为A. 24里B. 48里C. 72里D. 96里【答案】D【解析】【分析】由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由S6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求得a2的值，即可得该人第2天走的路程里数，可得答案．【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{a n}，可知{a n}是公比q=的等比数列，由S6=378，得S6==378，解可得a1=192，则a2=a1×q=192×=96；即此人第二天走的路程里数为96；故答案为：D【点睛】本题考查等比数列的前n项公式的应用，关键是正确分析题意，确定等比数列的数学模型．10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的模的计算公式求解.【详解】由题得=故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象大致是A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】判断f （x ）的奇偶性，及f （x ）的函数值的符号即可得出答案． 【详解】函数的定义域为，∵∴f（x ）是奇函数，故f （x ）的图象关于原点对称， 当x ＞0时，，∴当0＜x ＜1时，f （x ）＜0，当x ＞1时，f （x ）＞0， 故选：C ．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题． 12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值． 【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2019年吉林省名校高考数学一模试卷（文科）一、选择题。

1.设复数(5)(1)z i i =+-（i 为虚数单位），则z 的虚部是（ ） A. 4i B. 4C. 4i -D. -4【答案】D 【解析】 【分析】由复数()()5164z i i i =+-=-，即可得到复数的虚部，得到答案。

【详解】由题意，复数()()51z i i =+-=255i i i -+-64i =-，所以复数z 的虚部为4-，故选D 。

【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的概念，其中解答中熟记复数的乘法运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

2.已知集合{}|A x y x R ==∈，{|13,}B x x x Z =-≤≤∈集合A B 中元素的个数为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集的运算，求得{}1,0,1A B ⋂=-，即可得到答案。

【详解】由题意，可得集合{|A x x =≤≤，{}1,0,1,2,3B =-，则{}1,0,1A B ⋂=-，故选B 。

【点睛】本题主要考查了集合的运算，以及构成集合的元素的个数的判定，其中解答中熟记集合的交集的运算，得到集合A B 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。

3.已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2C. 3【解析】 【分析】将点代入双曲线的渐近线方程，由此求得ba 的值，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为by x a=，将点代入双曲线的渐近线方程得b a =b a =2e ===，故选A. 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线的离心率的求法，属于基础题.4.某机构对青年观众是否喜欢跨年晚会进行了调查，人数如表所示：现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取n 人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了6人，则n =（ ） A. 12 B. 16C. 24D. 32【答案】C 【解析】 【分析】先求得总人数，然后根据总人数中“不喜欢的男性青年观众”所占的比例列方程，解方程求得抽取的人数.【详解】依题意，总人数为30301050120+++=，其中“不喜欢的男性青年观众”有30人，故306120n=，解得24n =.所以本小题选C. 【点睛】本小题主要考查分层抽样的有关计算，考查图表分析能力，属于基础题.5.若一个圆锥轴截面是面积为1的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（ ）B.C. 2πD. 4π【解析】 【分析】由轴截面是面积为1的等腰直角三角形，得到底面半径及母线长即可得到该圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，母线长为l ，由题可知，，则)2112⨯=，∴r 1l ==，侧面积为πrl =故选：A【点睛】本题考查圆锥的计算；得到圆锥的底面半径是解决本题的突破点；注意圆锥的侧面积πrl =的应用．6.设x ，y 满足约束条件240,10,210,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪++≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）A. 1B. 4C. 6D. 7【答案】D 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可． 【详解】由条件画出可行域如图：2z x y =-+表示直线在y 轴上的截距，当l ：2y x z =+平移到过点A 时，z 最大，又由24210x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得()A 2,3-此时，max 7z =. 故选D.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．7.已知函数sin ,4()cos ,4x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则下列结论正确的是（ ）A. ()f x 是周期函数B. ()f x 奇函数C. ()f x 的图象关于直线4x π=对称D. ()f x 在52x π=处取得最大值 【答案】C 【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象，结合函数的周期性，奇偶性、对称性以及最值的性质，分别进行判断，即可得到答案。

2019-2020学年吉林省吉林市高三（上）第一次调研数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={x ∈N|2x −7<0}，B ={x|x 2−3x −4≤0}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {0,1，2，3}C. {x|x ≤72}D. {x|0<x ≤72}2. 函数f (x )=sin (2x −π6)的最小正周期是( )A. π2B. πC. 2πD. 4π3. 如图所示，M 是边AB 的中点，若CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 2b ⃗ −2a ⃗B. a ⃗ +2b ⃗C. 2a ⃗ −2b ⃗D. 2a ⃗ +b ⃗ 4. 已知函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1，则f(1)的值为( )A. 1B. −1C. 2D. −25. 已知正项等比数列{a n }中，a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 100+a 101a 98+a 99的值为( )A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√26. 已知sin(π+α)=13，则cos2α=( )A. 79 B. 89 C. −79 D. 4√297. 在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则向量|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |= ( ) A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38. 函数f (x )=sin (x +π6)的图象向左平移π3个单位，再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12，那么所得图象的一条对称轴方程为( )A. x =−π2B. x =−π4 C. x =π8 D. x =π49. 函数y =2log 4(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.10. 在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，点E 满足BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A. 1 B. 3 C. √10D. 92 11. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3=4，S 3=7，则S 6的值为( )A. 31B. 32C. 63或13327D. 6412. 已知函数f(x)=x 2e x，下列关于f(x)的四个命题：①函数f(x)在[0,1]上是增函数； ②函数f(x)的最小值为0；③如果x ∈[0,t]时，f(x)max =4e 2，则t 的最小值为2； ④函数f(x)有2个零点； 其中真命题的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 已知函数f(x)={e x ,x <0,lnx,x >0,则f[f(1e )]=_____________.14. 设平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)，若m ⃗⃗⃗ //n ⃗ ，则|n ⃗ |等于______． 15. 已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{x|x =a i +a j ,i ∈N,j ∈N,1≤i <j ≤n}的元素个数为c n ，把{c n }的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中c 5= ; 第17行由左向右数第10个数为 ．16. 函数f(x)=2sin(ωx +φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π)的值为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.如图，有一壁画，最高点A距离地面AE为4米，最低点B距离地面BE为2米．如果在距离地面高CF为1.5米、与墙壁距离EF为4米的C处观赏壁画，但效果不佳．为了提高欣赏效果(视角∠ACB=θ越大，效果越好)，现在有两种方案可供选择：①与壁画距离EF不变，调节高度CF；②与地面距离CF不变，调节与壁画的距离EF．(1)按照方案①，设CF为h米(2<ℎ<4)，当h为何值时，视角θ最大？(2)按照方案②，设EF为x米(x<4)，当x为何值时，视角θ最大？18.在等差数列{an}中，公差d=4,a2+a5=22，记数列{an}的前n项和为S n．(1)求S n；}的前n项和为T n，求T14．(2)设数列{n(2n+1)S n19.在锐角△ABC中，a，b，c为内角A，B，C的对边，且满足．(1)求角B的大小．(2)已知c=2，边AC边上的高BD=3√21，求△ABC的面积S的值．720.已知等比数列{a n}的公比q>0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记b n=2n，求数列{b n}的前n项和T n．a n21.设函数f(x)=2x3−12x+c的图象经过原点．(1)求c的值及函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[−1,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f(x)=lnx−a(x2−x)(a∈R)．(Ⅰ)当a=1时，求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)在[1,2]的最大值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：A ={0,1，2，3}，B ={x|−1≤x ≤4}； ∴A ∩B ={0,1，2，3}． 故选：B ．可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可． 本题考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析： 【分析】本题考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象与性质，属于基础题． 由正弦函数的周期公式即可求解． 【解答】解： 因为函数f (x )=sin (2x −π6)， 所以最小正周期是T =2π2=π．故选B ．3.答案：C解析： 【分析】本题考查平面向量的基本定理及向量的三角形法则，属于基础题． 根据向量的三角形法则得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，由此即可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ ， 因为M 为AB 的中点，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ −2b ⃗ ， 故选C ．4.答案：B解析：解：函数f(x)为奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−1， 则f(1)=−f(−1)=−(2×12−1)=−1． 故选：B ．直接利用函数的奇偶性以及函数的解析式求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．5.答案：C解析： 【分析】设等比数列的公比为q ，q >0，运用等比数列通项公式和等差数列中项性质，解方程可得q ，进而得到所求值．本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 【解答】解：正项等比数列{a n }的公比设为q ，(q >0)， a 1，12a 3，2a 2成等差数列， 可得a 3=a 1+2a 2， 即a 1q 2=a 1+2a 1q ， 解得q =1+√2(负的舍去)， 则a 100+a 101a 98+a 99=q 2(a 98+a 99)a 98+a 99=q 2=3+2√2，故选C ．6.答案：A解析：解：∵sin(π+α)=13，∴可得sinα=−13， ∴cos2α=1−2sin 2α=1−2×19=79． 故选：A ．由已知及诱导公式可求sinα，由二倍角的余弦函数公式即可得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．解析：【分析】本题考查向量加法的几何意义，属于基础题．由向量加法的几何意义，将AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 转化为2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再求向量的模． 【解答】解：在矩形ABCD 中|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，故选C 项． 8.答案：A解析： 【分析】本题主要考查了三角函数图象的平移和伸缩变换，y =Acos(ωx +φ)型函数的性质， 准确写出变换后函数的解析式是解决本题的关键．先利用三角函数图象的平移和伸缩变换理论求出变换后函数的解析式，再利用余弦函数图象和性质，求所得函数的对称轴方程，即可得正确选项.属于基础题． 【解答】解：将函数f(x)=sin(x +π6)的图象向左平移π3个单位， 得到函数y =sin(x +π3+π6)=cosx 的图象， 再将图象上各点的横坐标压缩为原来的12， 得到函数y =cos2x 的图象， 由2x =kπ， 得x =12kπ，k ∈Z ，∴所得图象的对称轴方程为x =12kπ，k ∈Z ， k =−1时，x =−π2． 故选A ．9.答案：C解析：本题考查函数的图象的判断，考查函数图象与性质的应用，是基础题． 利用函数的定义域以及函数的单调性判断函数的图象即可． 【解答】解：由题意可知函数的定义域为：x <1，函数是减函数． 故选C ．10.答案：A解析： 【分析】本题主要考查平面向量数量积的计算，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解决本题的关键． 根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法进行求解即可． 【解答】解：∵E 满足BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴E 是BC 的中点， 建立平面直角坐标系如图：则A(0,0)，E(1,1)，B(0,1)， 则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)⋅(0,1)=1， 故选：A ．11.答案：C解析：解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 3=4，S 3=7， ∴a 1q 2=4，a 1(1+q +q 2)=7，解得a1=1，q=2，或q=−23，a1=9．当a1=1，q=2时，则S6=26−12−1=63．当q=−23，a1=9时，S6=9[1−(−23)6]1−(−23)=13327．∴S6=63或13327，故选：C．设等比数列{a n}的公比为q，由a3=4，S3=7，可得a1q2=4，a1(1+q+q2)=7，解得a1，q.再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查数形结合思想方法，以及运算能力和判断能力，属于中档题．求得f(x)的导数和单调区间、极值和最值，作出f(x)的图象，结合图象可得单调性、最值和t的范围，以及零点个数．【解答】解：函数f(x)=x2e x，导数为f′(x)=x(2−x)e x，可得0<x<2时，f′(x)>0，f(x)递增；x>2或x<0，f′(x)<0，f(x)递减，即有f(x)的极小值为f(0)=0，极大值为f(2)=4e2，作出函数f(x)的图象，如下：①函数f(x)在[0,1]上是增函数，正确；②函数f(x)的最小值为0，正确；③如果x∈[0,t]时，f(x)max=4e2，则t的最小值为2，正确；④函数f(x)有1个零点，即为0，故④不正确． 其中真命题的个数为3， 故选C ．13.答案：1e解析： 【分析】本题考查分段函数的求值问题，属于基础题.理解分段函数的概念是关键． 【解答】解：f[f(1e )]=f(−1)=e −1=1e ． 故答案为1e ．14.答案：2√5解析：解：∵平面向量m⃗⃗⃗ =(−1,2)，n ⃗ =(2,b)， ∴由m ⃗⃗⃗ //n ⃗ 可得−1×b −2×2=0，解得b =−4，∴|n ⃗ |=√22+(−4)2=2√5故答案为：2√5由向量平行可得b 的值，再由向量的模长公式可得． 本题考查平面向量的平行关系和模长公式，属基础题．15.答案：7；293解析： 【分析】本题考查对等差数列通项公式与求和公式，属于中档题． 对于题意的理解是关键，利用特殊条件，可以进行简便求解． 【解答】解：设a n =a 1+(n −1)d ， 则a i +a j =2a 1+(i +j −2)d ， 由题意1≤i <j ≤n ，当i =1，j =2时，i +j −2 取最小值1， 当i =n −1，j =n 时，i +j −2取最大值2n −3， 易知i +j −2可取遍1,2,3,…,2n −3， 即c n =2n −3(n ≥3)，∴c 5=2×5−3=7，数阵中前16行共有1+2+3+⋯+16=(1+16)×162=136个数，所以第17行左数第10个数为c 148=2×148−3=293． 故答案为7；293．16.答案：−√3解析： 【分析】本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，属于基础题． 由周期求出ω，由特殊点的坐标结合φ的范围求出φ的值，可得函数的解析式． 【解答】解：由图可知T =4(π6+π12)=π，∴ω=2， ∴f(x)=2sin(2x +φ)．∵f(−π12)=2sin(φ−π6)=−2，∴sin(φ−π6)=−1.再根据|φ|<π2， ∴φ=−π3，∴f(x)=2sin(2x −π3)，∴f(π)=−√3， 故答案为：−√3．17.答案：解：(1)如图(1)所示，由题意知，tanα=4−ℎ4，tanβ=ℎ−24，∴tanθ=tan(α+β)=4−ℎ4+ℎ−241−4−ℎ4×ℎ−24=8(ℎ−3)2+15，2<ℎ<4；当ℎ=3时tanθ取得最大值为815；因为函数y =tanθ在(0,π2)上是增函数，所以当ℎ=3时θ取得最大值；(2)如图(2)所示，由题意知，tanα=2−1.5x，tanβ=4−1.5x，∴tanθ=tan(β−α)=2.5x −0.5x 1+2.5x ⋅0.5x=2x+54x≤2√5，x >0，当且仅当x =√52时取“=”，所以x =√52时，视角θ取得最大值．解析：本题考查了三角函数模型的应用问题，是中档题．(1)根据题意画出图形，结合图形求出tanθ的解析式，计算tanθ取得最大值时h的值；(2)根据题意画出图形，结合题意求出tanθ的解析式，计算tanθ取最大值时对应θ的值．18.答案：解：(1)等差数列{a n}中，由a2+a5=22可得2a1+5d=22，又因为d=4，所以a1=1，于是a n=4n−3，则S n=(1+4n−3)n2=2n2−n．(2)因为n(2n+1)S n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)．所以T14=12(1−13+13−15+...+127−129)=12(1−129)=1429．解析：此题考查等差数列的通项公式、求和公式的应用，及裂项相消求和的应用．(1)利用等差数列的通项公式求出首项，得出通项公式，利用等差数列的求和公式S n=(1+4n−3)n2= 2n2−n；(2)由裂项相消法得出T14．19.答案：解：(1)∵(2c−a)cosB−bcosA=0，由正弦定理得(2sinC−sinA)cosB−sinBcosA=0，∴(2sinC−sinA)cosB=sinBcosA，2sinCcosB=sin(A+B)，∵A+B=π−C，且sinC≠0，∴2sinCcosB=sinC，∴cosB=12，∵B∈(0,π)，∴B=π3．(2)∵S=12acsinB=12BD⋅b，代入c =2，BD =3√217且sinB =√32，得b =√7a3， 由余弦定理得：b 2=a 2+c 2−2accosB =a 2−2a +4， 代入b =√7a3，得a 2−9a +18=0，解得{a =3b =√7，或{a =6b =2√7，又∵锐角三角形， ∴a 2<c 2+b 2， ∴a =3，∴S △ABC =12acsinB =12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，正余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．(1)由已知及正弦定理，三角函数恒等变换的应用，结合sinC ≠0，可得cosB =12，根据范围B ∈(0,π)可求B 的值．(2)由已知利用三角形面积公式可得b =√7a3，由余弦定理可得a 2−9a +18=0，结合a ，b 的关系，进而根据三角形面积公式即可计算得解．20.答案：解：(1)由a 1a 5=8a 2得：a 1q 3=8，即a 4=8，又∵3a 4，28，a 6成等差数列，∴3a 4+a 6=56， 将a 4=8代入得：a 6=32． 从而：a 1=1，q =2． ∴a n =2n−1；(2)b n =2n a n=2n ⋅(12)n−1，T n =2×(12)0+4×(12)1+6×(12)2+⋯+2(n −1)⋅(12)n−2+2n ⋅(12)n−1……………………①12T n =2×(12)1+4×(12)2+6×(12)3+⋯+2(n −1)⋅(12)n−1+2n ⋅(12)n ……………………② ①−②得：12T n =2×[(12)0+2(12)1+(12)2+⋯+(12)n−1]−2n ⋅(12)n =2+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n ⋅(12)n =4−(n +2)⋅(12)n−1．∴T n =8−(n +2)⋅(12)n−2．解析：(1)利用等差数列以及等比数列的通项公式列出方程组，求出数列的首项与公比，然后求解数列的通项公式；(2)化简通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力，是中档题．21.答案：解：(1)∵f(0)=0∴c=0…(2)，∴f(x)=2x3−12x…(4分)∴f′(x)=6x2−12=6(x+√2)(x−√2)，…(5分)列表如下：递减区间是(−√2,√2)…(8分)(2)∵f(−1)=10，f(√2)=−8√2，f(3)=18∴f(x)在[−1,3]上的最大值是f(3)=18，最小值是f(√2)=−8√2…(12分)解析：(1)由f(0)=0，求出c的值，求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；(2)根据函数的单调性求出函数的最值即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．22.答案：解：(I)当a=1时f(x)=lnx−x2+xf′(x)=1x−2x+1，∴f(1)=0，f′(1)=0即：所求切线方程为：y=0，(II)∵f′(x)=1x−2ax+a=−2ax2+ax+1x,x>0∴当a=0时，f′(x)>0，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2，当a≠0时可令g(x)=−2ax2+ax+1，x∈[1,2]．∵g(x)的对称轴x=14且过点(0,1)∴当a<0时，f′(x)>0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递增∴f(x)max=f(2)=ln2−2a，当a>0时，若g(1)≤0，即：a≥1时，f′(x)<0在[1,2]恒成立，f(x)在[1,2]上递减，∴f(x)max=f(1)=0，若g(1)>0，g(2)<0，即：16<a<1时，f′(x)在[1,a+√a2+8a4a)上大于零，在(a+√a 2+8a4a,2]上小于零f(x)在[1,a+√a 2+8a4a)上递增，在(a+√a2+8a4a,2]上递减，∴f(x)max =f(a+√a 2+8a4a)=lna+√a 2+8a4a+√a 2+8a+a−48，若g(1)>0，g(2)≥0，即：0<a ≤16时，f′(x)>0在[1,2]恒成立， f(x)在[1,2]上递增，∴f(x)max =f(2)=ln2−2a ，综上：f(x)max ={ ln2−2a,a ≤16ln a+√a 2+8a 4a +√a 2+8a+a−48,16<a <10,a ≥1解析：(Ⅰ)通过a =1，求出函数的导数，得到切线的斜率，然后求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (Ⅱ)求出函数的导数，通过a 与0的大小，讨论，分别判断函数的单调性求解求f(x)在[1,2]的最大值．本题考查函数的导数的应用，闭区间上的函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．。

吉林省吉林市普通中学2018-2019学年高三文数第一次调研测试试卷一、单选题 (共12题；共12分)1．（1分）设集合A={x|−1<x<6},B={x|x〉0}，则A∩B=（）A．B．C．D．2．（1分）若sin(π2−α)=−35,α为第二象限角，则tanα=（）A．B．C．D．3．（1分）在下列给出的四个结论中，正确的结论是（）A．已知函数在区间内有零点，则B．是与的等比中项C．若是不共线的向量，且，则∥D．已知角终边经过点，则4．（1分）已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则BE⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A．B．C．D．5．（1分）若公差为2的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a1,a2,a5成等比数列，则S10=（）A．B．C．D．6．（1分）已知tan(α+β)=25,tan(β−π4)=14, 则tan(α+π4)的值为（）A．B．C．D．7．（1分）已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+4x，则f(−12)=（）A．B．C．D．8．（1分）在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量a⃗,b⃗的大小与方向如图所示，则向量a⃗,b⃗所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（1分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了（ ） A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里10．（1分）已知等边 ΔABC 的边长为2，则 |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= （ ）A ．B ．C ．D ．11．（1分）函数 f(x)=ln|x|x的图象可能是 ( )A ．B ．C ．D ．12．（1分）将函数 f(x)=2cos 2(πx +π6)−1 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移 φ(φ>0) 个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则 φ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题 (共4题；共4分)13．（1分）已知向量 a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,4), 若 (a +mb ⃗ )⊥a ，则 m = .14．（1分）已知 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 a =3b ， c =√5 ，且 cosC =56 ，则 a = ．15．（1分）设函数 f(x)={1−x,x <1lnx,x≥1，若 f(m)>1 ，则实数m 的取值范围是 ． 16．（1分）已知数列 {a n } 是等差数列，前 n 项和为 S n ，满足 S 1+4a 4=S 9 ，给出下列四个结论：①a 7=0 ；②S 14=0 ； ③S 5=S 8 ； ④S 7 最小.其中一定正确的结论是 （只填序号）.三、解答题 (共6题；共12分)17．（2分）已知数列 {a n } ,点 (n,a n ) 在直线 y =3x −22 上.（1）（1分）求证：数列 {a n } 是等差数列；（2）（1分）设 b n =|a n | ，求数列 {b n } 的前20项和 S 20 .18．（2分）已知函数 f(x)=2cos(π2−x)cos(2π−x) .（1）（1分）求函数 f(x) 的最小正周期；（2）（1分）当 x ∈[0,π2] 时，求函数 y =f(x)+cos2x 的最大值与最小值. 19．（2分）设 S n 为数列 {a n } 的前 n 项和，已知 a 2=3,a n+1=2a n +1 ．（1）（1分）证明： {a n +1} 为等比数列；（2）（1分）求 {a n } 的通项公式，并判断 n,a n ,S n 是否成等差数列？说明理由.20．（2分）在 ΔABC 中，内角 A,B,C 的边长分别为 a,b,c ，且 c =2 . （1）（1分）若 A =π3 ， b =3 ，求 sinC 的值；（2）（1分）若 sinAcos 2B 2+sinBcos 2A 2=3sinC ，且 ΔABC 的面积 S =252sinC ，求 a 和 b 的值.21．（2分）已知函数 f(x)=x 3−6ax 2+9a 2x(a ∈R) ．（1）（1分）当 a =1 时，求函数 f(x) 在点 (2,f(2)) 处的切线方程；（2）（1分）当 a ≥1 时，若对任意 x ∈[0,3] 都有 f(x)≤27 ，求实数a 的取值范围．22．（2分）设函数 f(x)=lnx +ax 2−(2a +1)x(a ∈R) .（1）（1分）当 a =1 时，求函数 f(x) 的单调区间； （2）（1分）求函数 f(x) 的极值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】因为集合 A ={x|−1<x <6},B ={x|x〉0} ，所以 A ∩B = (0,6) .故答案为：C【分析】利用集合交集的运算法则借助数轴求出集合的交集。

吉林吉林2019高三上开学摸底考试-数学（文）数 学〔文科〕本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共22小题，共150分，共4页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

第一卷〔选择题 共60分〕【一】选择题：本大题共12题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。

1、设全集{1,2,3,4,5}U =,集合{1,2}A =,{2,3}B =,那么()UA B ð=A 、{4,5}B 、{2,3}C 、{1}D 、{1,2}2. 复数22(1)i i +=A 、-4B 、4C 、-4iD 、4i3. 假设4cos 5α=-，且α是第二象限角，那么tan α的值为A 、34B 、43C 、34-D 、43-4. 抛物线24y x =的准线方程为 A. 2x =B. 2x =-C. 1x =D. 1x =-5. 假设m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，那么以下结论正确的选项是A. 假设m 、n 都平行于平面α，那么m 、n 一定不是相交直线；B. 假设m 、n 都垂直于平面α，那么m 、n 一定是平行直线；C. α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，假设m ⊥α，那么n ⊥β；D. m 、n 在平面α内的射影互相垂直，那么m 、n 互相垂直. 6. 如图，该程序运行后输出的结果为A 、15B 、21C 、28D 、367. 在等差数列*456{}(),27,n a n N a a a ∈++=中若 A 、9 B 、 27C 、 A 、()f x 是周期为1的奇函数 B 、 C 、()f x 是周期为1的非奇非偶函数D 、()f x 是周期为2的非奇非偶函数9.函数2(0)()(3)(0)xx f x f x x ⎧≤=⎨->⎩,那么(5)f =A.32B.16C.12D.13210.以下命题:(1)命题2000",0"x R x x ∃∈->的否定是“2,0x R x x ∀∈-<”;(2),"1"x R x ∈>则是“2x >”的必要不充分条件;(3)假设,[0,2]a b ∈，那么不等式2214a b +<成立的概率是16π.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.311.设()f x '是函数()y f x =的导函数,()y f x '=的图象如图, 那么()y f x =的图象可能是 A.B.C D12.设函数()f x 的定义域为D ，如果对于任意的1x D ∈，存在唯一的2x D ∈，使得12()()2f x f x C+=成立〔其中C 为常数〕，那么称函数()y f x =在D 上的“算术均值”为C ，那么以下函数在其定义域上的“算术均值”可以为2的函数是A 、2y x =B 、4sin y x =C 、ln y x =D 、2x y =第二卷〔非选择题共90分〕【二】填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分、把答案填在答题卡的相应位置、 13、假设一个几何体的三视图如右，那么这个几何体的表面积为14.实数,x y 满足不等式组5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =+的最小值是.15.向量),4,(),2,1(x =-=且,//那么||+的值是__________[16.点(1,0)M 是圆C ：22420x y x y +--=内一点，那么过点M 的最长弦所在的直线方程是________.【三】解答题：本大题共6小题，共70分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 17、〔本小题总分值10分〕设锐角△ABC 的三内角A B C 、、的对边长分别为a 、b 、c ，a 、b 、c 成等比数列，且xyo 213sin sin 4A C =.(1)求角B 的大小；(2)假设[0,)x π∈，求函数()sin()sin f x x B x =-+的值域.18、〔本小题总分值12分〕各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式；19、〔本小题总分值12分〕按分层抽样的方法在该月生产的轿车中抽取50辆，其中A 类轿车20辆。

2019届高三上学期期末数学文科试题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1. 设集合力= {x|-2<2%<4}, B = {x\x < 1},则力 nF =()A. {x| — 1 < % < 1}B. {x| - 2 < % < 1}C. {x| — 1 < % < 1}D. {x| — 2 < % < 1} 2. (2 + V2i)(l - V2i)=()A. 4-V2iB. 一屈iC. 4 +V2i D ・ V2i3. 八卦是屮国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号•八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“一 ”代表阳，用“一一”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组 合，组成八种不同的形式(如图所示)•从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“一一” 的概率为( )4.设等比数列仙}的前项和为S n ,且S2 =4QI ，则公比g =( )A. |B. |C. 2D. 35•双曲线C:石一召=l(a >Q,b> 0)的左焦点为(-3,0),6. 某公司在十周年庆典中有一个抽奖活动，主持人将公司450名员工随机编号为001, 002, 003,・・・,450,采用系统抽样的方法从中抽取50名幸运员工.已知抽取的幸运员工中有一个编号为025,那么 以下编号中不是幸运员工编号的是()A. 007B. 106C. 356D. 448 7. 函数f (町=凳1的图像大致为()兑；11且C 的离心率为I ，贝IJC 的方程为(坎5 4&设s n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S2+S4 = 2Ss+S5，ai =9,则公差d =（ ）A. -5B. -4C. -3 I ）. -29.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A. 80 + 127TB. 80 + 13.5TTC. 59 + 13.5兀D. 59 + 12兀10. 已知曲线y =，+兀2一处在区间（0,1）内存在垂直于y 轴的切线，贝忆的取值范围为（ ）A. （0上 + 1）B. （1疋 + 1）C. （0上 + 2）D. （1上 + 2）11. 若函数/（%） = sin2x — V3cos2x 在[0,上的值域为[-靖,2],贝•）啲取值范围为（ ）A. E 罟]B ・爲乎]C. [p/r] D.篇 7T] 12.椭圆C ：若+召=l （a >b> 0）上一点力（2,1）到两焦点的距离之和为4返若以M （0, -1）为圆心的圆经 过点4,则圆"与<7的四个交点鬧成的四边形的面积为（ ）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. ______________________________________________________________ 已知向量五，b 的夹角为0,且|五| = 2, |b| = V5, a - b = 3^则0 = ________________________________________A.A 20+87179 B 20+WI79 C 24+WI79D 24+8厢9B.（2x-y> 0,14. _______________________________________________________ 设尢、y满足约束条件” -2y < 0,则z = 2x + y的最大值为______________________________________________________I x - 2 < 0,15•设log23 = a, log215 = b,贝ljlog275 = ____________ （结果用a, b表示）•16•正三棱锥P - 4BC的每个顶点都在半径为2的球。

吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，则A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接求得解.【详解】因为集合，所以=.故答案为：C【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.2.若为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式求得，再根据为第二象限角求出最后根据同角三角函数基本关系式可得. 【详解】，又为第二象限角，则故选A.【点睛】本题考查诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属基础题.3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 是与的等比中项C. 若是不共线的向量，且，则∥D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】A. 已知函数在区间内有零点，不一定有，还有可能.所以该选项错误; B. 是与的等比中项是错误的，因为与的等比中项是；C. 若是不共线的向量，且，所以，所以∥，所以该选项是正确的；D. 已知角终边经过点，则，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查零点定理和等比中项，考查向量共线和任意角的三角函数，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的加法法则运算即可.【详解】如图，过E作由向量加法的平行四边形法则可知故选A.【点睛】本题考查平面向量的加法法则，属基础题.5.若公差为的等差数列的前项和为,且成等比数列，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出，再求.【详解】因为成等比数列，所以所以故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等差数列和等比数列的通项，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 等差数列的前项和公式：一般已知时，用公式，已知时，用公式6.已知, 则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用两角和的正切函数化简求解即可．【详解】,则故选：C．【点睛】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在上的奇函数，当时，，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先转化为求-，再代入求解.【详解】=-.故答案为：B【点睛】本题主要考查奇函数的性质和对数指数幂的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.8.在小正方形边长为1的正方形网格中, 向量的大小与方向如图所示，则向量所成角的余弦值是A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，利用向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式即可得出．【详解】如图所示，建立直角坐标系，不妨取，则．故选B.【点睛】本题考查了向量夹角公式、数量积运算性质、平行四边形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第三天走了A. 192里B. 96里C. 48里D. 24里【答案】B【解析】由题意有：此人每天所走的路程形成等比数列，其中公比，则，解出，所以，选C.10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用向量的模的计算公式求解.【详解】由题得=故答案为：A【点睛】本题主要考查向量的模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.11.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得f(x)为奇函数，再由，＞0，可判断出函数图像，可得答案.【详解】解：由题意得：，故f(x)为奇函数，故B、C项不符合题意，又，＞0，故D项不符合题意，故选A.【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，根据函数的性质来判读图像是解题的关键.12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象变换规律，利用余弦函数图象的对称性和诱导公式，求得的最小值．【详解】由已知将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得的图象向右平移（＞0）个单位长度，可得的图象；根据所得函数的图象对应的函数为奇函数，则解得；令k=-1，可得的最小正值是．故选：D．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换规律以及余弦函数的图象与对称性问题，是中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量若，则_________ .【答案】【解析】【分析】根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得的坐标，进而由向量垂直与向量数量积的关系可得，即可得答案．【详解】已知向量，则若，则即.故答案为.【点睛】本题考查向量数量积的坐标计算以及向量的坐标计算，关键掌握向量数量积的坐标计算公式．14.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则______．【答案】3；【解析】【分析】根据余弦定理，即可求得a的值．【详解】因为a=3b，∴b=a；又c=，且cosC=，∴c2=a2+b2﹣2abcosC，∴5=a2+a2﹣2a•a•，化简得a2=9，解得a=3．故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，是基础题．15.设函数，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】画出的图像及y=1的图像，可得其交点为（0，1），（e，1），由可得m的取值范围. 【详解】解：如图所示：可得的图像与y=1的交点分别为（0，1），（e，1），所以，则实数m的取值范围是，可得答案：.【点睛】本题主要考查函数及不等式的性质，数形结合是解题的关键.16.已知数列是等差数列，前项和为，满足，给出下列四个结论：①；②；③；④最小.其中一定正确的结论是________ （只填序号）.【答案】①③【解析】【分析】逐一判断每一个命题的真假得解.【详解】由题得①，所以该命题是真命题；②，，不一定为零，所以该命题是假命题；③，，所以该命题是真命题.故答案为：①③【点睛】本题主要考查等差数列的通项和求和，考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列,点在直线上.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前20项和.【答案】(1)见解析(2)330【解析】【分析】（1）由已知：，作差，即可证明；（2）由（1）知：公差，当时，；当时，，所以，即可求出.【详解】解：（1）由已知：因为（）所以数列是公差为3的等差数列（2）由（1）知：公差，当时，；当时，所以=【点睛】本题考查等差数列的证明，及求等差数列的前和，属基础题.18.已知函数.（1）求函数的最小正周期；（2）当时，求函数的最大值与最小值.【答案】(1) (2) 最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．（2）根据（1）中函数f（x）的解析式确定的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值．【详解】解：（1），所以函数的最小正周期为（2）因为，所以所以所以函数的最大值为，最小值为【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域．考查了学生综合运用所学知识的能力．19.设为数列的前项和，已知．（1）证明：为等比数列；（2）求的通项公式，并判断是否成等差数列？说明理由.【答案】（1）见解析（2）,，，成等差数列．【解析】【分析】（1）直接利用定义证明即得证.(2) 由（1）求，再计算得到，再计算，即，，成等差数列．【详解】（1）证明：∵∴由题意知，，∴是首项为2，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，，∴，∴，∴∴，即，，成等差数列．【点睛】（1）本题主要考查等比数列性质的证明，考查等比数列的通项的求法和分组求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.这叫分组求和法.20.在中，内角的边长分别为，且.（1）若，，求的值；（2）若，且的面积，求和的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理计算即可得到所求值；（2）运用二倍角的余弦公式和两角和的正弦公式，化简可得sinA+sinB=5sinC，运用正弦定理和三角形的面积公式可得a，b的方程组，解方程即可得到所求值．【详解】解：（1）由余弦定理由正弦定理得（2）由已知得：所以------①又所以------②由①②解得【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，以及三角函数的恒等变换，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)把代入原方程可得，可得，，可得函数在点处的切线方程；(2)，分，两种情况讨论，结合函数的单调性及对任意都有，可得a的取值范围.【详解】解当时，，，，，切线方程为：，整理得：．．在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当时，函数在上单调递增．函数在上的最大值是，由题意得，解得：，，此时a的值不存在；当时，，此时在上递增，在上递减．函数在上的最大值是，由题意得，解得：．综上，a的取值范围是．【点睛】本题主要考查导数的性质及应用，注意分类讨论思想的灵活运用. 22.设函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）求函数的极值.【答案】（1）递增区间为，；递减区间是（2）见解析【解析】【分析】直接利用导数求函数的单调区间.（2）对a分四种情况讨论求函数的极值. 【详解】（1）的定义域为，当时，所以当时，，函数单调递增当时，，函数单调递减当时，，函数单调递增综上，函数递增区间为，；递减区间是（2）当时，，函数单调递增，，函数单调递减.所以在区间上有极大值，无极小值当时，，单调递增；，单调递减；，单调递增所以，.当时，在区间上有，单调递增，无极值当时，，单调递增；，单调递减；，单调递增所以，.综上,当时，极大值为，无极小值；当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为【点睛】本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.。

吉林省吉林市普通中学2019届高三第一次调研测试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：．故选：C．进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，以及交集的运算．2.若，为第二象限角，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：由，得，为第二象限角，．则．故选：A．由已知求得，进一步得到，再由商的关系求得．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.在下列给出的四个结论中，正确的结论是A. 已知函数在区间内有零点，则B. 6是3与9的等比中项C. 若，是不共线的向量，且，，则D. 已知角终边经过点，则【答案】C【解析】解：函数在区间内有零点，且在单调，则，故A错误；3与9的等比中项为，即，故B错误；若，是不共线的向量，且，，即有，则，故C正确；，角终边经过点，则，故D错误．故选：C．由函数零点存在定理可判断A；由等比中项的定义计算可判断B；由向量共线定理可判断C；运用任意角的三角函数定义可判断D．本题考查函数零点存在定理和等比中项的定义、向量共线定理和任意角的三角函数定义，考查运算能力，属于基础题．4.已知四边形ABCD是平行四边形，点E为边CD的中点，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，，，，故选：A．作出图形，利用向量加法的平行四边形法则，容易得解．此题考查了向量的加法法则，属容易题．5.若公差为2的等差数列的前n项和为，且，，成等比数列，则A. 90B. 100C. 110D. 120【答案】B【解析】解：由，，成等比数列，可得：，，解得．则．故选：B．由，，成等比数列，可得：，即，解得利用求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6.已知，，则的值为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，则．故选：C．直接利用两角和的正切函数化简求解即可．本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力．7.已知是定义在R上的奇函数，当时，，则A. 1B.C. 2D.【答案】B【解析】解：是定义在R上的奇函数，且时，；．故选：B．根据时的解析式，即可求出，再根据是奇函数，即可求出．考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，对数的运算．8.在小正方形边长为1的正方形网格中，向量，的大小与方向如图所示，则向量，所成角的余弦值是A.B.C.D.【答案】B【解析】解：由题意知向量，，，，，，，即向量所成角的余弦值为．故选：B．用坐标不是向量、，计算所成角的余弦值即可．本题考查了平面向量的数量积与夹角公式应用问题，是基础题．9.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了A. 192 里B. 96 里C. 48 里D. 24 里【答案】B【解析】解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得，解得，第此人二天走里，第二天走了96里，故选：B．由题意得：每天行走的路程成等比数列、且公比为，由条件和等比数列的前项和公式求出，由等比数列的通项公式求出答案即可．本题考查等比数列的前项和公式、通项公式的实际应用，属于基础题．10.已知等边的边长为2，则A. B. C. D.【答案】A【解析】解：如图，延长BC至D，使，易知，故选：A．连续两次利用向量加法的三角形法则，容易化简所给向量，从而得解．此题考查了向量加法的三角形法则，属容易题．11.函数的图象可能是A. B.C. D.【答案】A【解析】解：，函数定义域为，，函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除B、C，当时，，，故排除D．故选：A．先求出函数的定义域，再判断函数为奇函数，即图象关于原点对称，故可以排除BC，再根据函数值域，可排除D．本题主要考查了绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性，属于基础题．12.将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得函数的图象向右平移个单位长度，最后得到图象对应的函数为奇函数，则的最小值为A. B. C. D.【答案】D【解析】解：将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象；再把所得函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象．最后得到图象对应的函数为奇函数，则，．故当时，取得最小值为，故选：D．利用二倍角公式化简函数的解析式，再根据函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，求得的最小值．本题主要考查二倍角公式的应用，函数的图象变换规律，三角函数的奇偶性，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，若，则______．【答案】【解析】解：；；；．故答案为：．可先得出，根据可得出，进行数量积的坐标运算即可求出m．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．14.已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则______．【答案】3【解析】解：，，且，由余弦定理可得，，解可得，，故答案为：3由余弦定理可得，，代入即可求解a本题主要考查了余弦定理在三角形中的简单应用，属于基础试题15.设函数，若，则实数m的取值范围是______．【答案】【解析】解：函数，当，，即为，解得；当，即为，解得．综上可得，或．故答案为：．由分段函数的解析式，讨论，，再由对数函数的单调性，解不等式，求并集即可得到．本题考查分段函数的运用，考查对数函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．16.已知数列是等差数列，前n项和为，满足，给出下列四个结论：；；；最小，其中一定正确的结论是______只填序号．【答案】【解析】解：是等差数列，，，整理可得，，即，故正确；故错误；，，故正确；，无法判断其是否有最小值，故错误．故答案为：．由是等差数列及，求出与d的关系，结合等差数列的通项公式及求和公式即可进行判断．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列，点在直线上．求证：数列是等差数列；设，求数列的前20项和．【答案】解：证明：，数列是公差为3的等差数列；由知：，公差，当时，，当时，，．【解析】由得数列是公差为3的等差数列，即定义法；先判断当时，，当时，，而后转化到等差数列根据公式可求．本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.已知函数．求函数的最小正周期；当时，求函数的最大值和最小值．【答案】解：因为所以函数的最小正周期为．因为由，得，从而所以当时，的最大值为，最小值为．【解析】利用二倍角公式和诱导公式对函数的解析式进行化简整理，进而利用三角函数的周期公式求得函数的最小正周期．根据中函数的解析式确定的解析式，利用两角和公式进行化简整理，进而利用正弦函数的性质求得的最大值和最小值．本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，两角和公式和二倍角公式的化简求值，以及三角函数的值域考查了学生综合运用所学知识的能力．19.设为数列的前n项和，已知，．证明：为等比数列；求的通项公式，并判断n，，是否成等差数列？说明理由．【答案】证明：，，，即，由题意知，，是首项为2，公比为2的等比数列；由知，，，，．，即n，，成等差数列．【解析】由已知数列递推式求得首项，再由等比数列的定义证明为等比数列；由为等比数列求出数列的通项公式，进一步求出数列的前n项和，再由等差数列的性质说明n，，成等差数列．本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，训练了等比数列前n项和的求法，是中档题．20.在中，内角A，B，C的边长分别为a，b，c，且．若，，求的值；若，且的面积，求a和b的值．【答案】解：中，，，；由余弦定理得，，解得；分由正弦定理，得；分由，降幂得，化简得，分即；又，得；分由解得分【解析】由余弦定理和正弦定理，即可求得；由题意，利用降幂公式和正弦定理，结合三角形的面积公式，即可求得a、b的值．本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形的面积公式应用问题，是综合题．21.已知函数．当时，求函数在点处的切线方程；当时，若对任意都有，求实数a的取值范围．【答案】解当时，，，，，切线方程为：，整理得：．．在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．当时，函数在上单调递增．函数在上的最大值是，由题意得，解得：，，此时a的值不存在；当时，，此时在上递增，在上递减．函数在上的最大值是，由题意得，解得：．综上，a的取值范围是．【解析】把代入函数解析式，求出函数的导函数，并求得与，代入直线方程点斜式得答案；求出函数的导函数，可得在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增，然后对a分类求出函数在上的最大值，由最大值小于等于27求解实数a的取值范围．本题考查利用导数求过某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．22.设函数．当时，求函数的单调区间；求函数的极值．【答案】解：当时，函数，，令得：，，当x变化时，，的变化情况如下表：在单调递增，在单调递减，在单调递增-------分当时，，，函数单调递增，，函数单调递减所以在区间上有极大值，无极小值-----------分当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以极大值，极小值---------分当时，在区间上有，单调递增，无极值---------------------------------分当时，，，单调递增；，，单调递减；，，单调递增所以极大值极小值----------------------------分综上，当时，极大值为，无极小值；当时，极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，极大值为，极小值为----------------------------分【解析】当时，函数，求出的导数，令，即可得出函数的单调性；求出函数的导数，求出的定义域，讨论当时，当，当时及当时，求出函数的单调区间即可求得极值；本题考查导数的应用：求单调区间、极值，考查分类讨论的思想方法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题和易错题．第11页，共11页。