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数学建模中的差分方程模型数学建模是一种将实际问题转化为数学模型并寻求与之相连的数学方法的学科，不仅仅在理论研究上有很大的应用，也在实际生活中有着广泛的应用。
在各种数学模型中，差分方程模型也是一种很重要的模型。
本文将结合实例，介绍差分方程模型的定义、建立、求解以及应用。
差分方程模型定义差分方程模型是一种通过离散化的方法，将连续时间问题转化为离散时间问题，来描述变量随时间的变化规律的数学模型。
这种数学模型以时间为自变量，以某个状态量为因变量，由一定的关系式组成。
例如：y(n+1)=ay(n)+b，式子中y(n)代表第n时刻系统状态，y(n+1)代表第n+1时刻系统状态，a和b为常数。
差分方程模型建立建立差分方程模型的关键是将实际问题中的连续变化离散化。
一般情况下，对于所建立的模型，首先要确定它的思路和范围，然后根据实际情况，确定差分方程的形式。
此外，还需要进行参数的估计和参数变化的分析，以及对模型精确性的验证。
以物理学中的简谐振动为例，建立一个差分方程模型描述其运动，即一个质点在回复力作用下以简谐运动形式振动。
设t为时间，y为质点的位移，v为质点的速度，a为质点的加速度，则有：$$y=n\Delta y \\v=\dfrac{y(n+1)-y(n-1)}{2\Delta t} \\a=\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2}$$其中n为时间步长，$\Delta t$为时间间隔。
我们利用受力平衡的原理，即简谐振动中的$F=-ky$得到：$$\dfrac{y(n+1)-2y(n)+y(n-1)}{(\Delta t)^2} = -\dfrac{k}{m}y(n)$$将$\alpha=\dfrac{k}{m}$带入上式得到：$$y(n+1)-2(1+\alpha)y(n)+y(n-1) = 0$$此时，我们便成功地建立了描述简谐振动的差分方程模型。
差分方程模型求解对差分方程模型求解通常有两种方法：一种是使用递推公式进行求解，另一个方法是使用其它数学方法，如拉普拉斯变换或离散傅立叶变换等。
差分方程模型①建立差分方程利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律来建立差分方程模型。
一阶常系数线性差分方程的一般形式为1(),(0)t t y ay f t a +-=≠（1）②求解一阶常系数齐次线性差分方程10,(0)t t y ay a +-=≠（2）常用的两种解法1）迭代法假设0y 已知，则有2112210(),n n n n n n y ay a ay a y a y a y ----======一般有0(0,1,2,).t t y a y t ==10t t y ay +-=（3）2）特征方程法假设(0)t Y λλ=≠为方程（3）的解，代入（3）得方程的特征方程10(0),t t a λλλ+-= ≠解得特征根：.a λ=则t t y a =是方程（3）的解，所以齐次方程的通解为 (t t y ca c =为任意常数)例题：设某房屋总价为a 元,先付一半可入住,另一半由银行以年利r 贷款, n 年付清，问平均每月付多少元？共付利息多少元？解：设每月应付x 元，月利率为12r ，则第一个月应付利息为 1.12224r a ra y =⨯=第二月应付利息为2111,2121212a r r rx y x y y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭以此类推得到 11,1212t t r rx y y +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭此方程为一阶常系数非线性差分方程。
其相应的特征方程为(1)012r λ-+= 特征根为112r + 则得到通解为1(12t t r y c c ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为任意常数). 解得特解为t y x *=所以原方程通解为 112t t r y c x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当112224r a ra y =⨯=时，解得24112ra x c r -=+。
所以解得满足初始条件的特解为112411211211.2121212t t t t ra x r y x r a r r r x x ---⎛⎫=++ ⎪⎝⎭+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 于是得到n 年的利息之和为11212121212121221112nnn I y y a r r a n r =++⎛⎫⨯+⨯ ⎪⎝⎭=⨯-⎛⎫+- ⎪⎝⎭ 元，平均每月需要付12121212121112nna r rr⎛⎫⨯+⨯⎪⎝⎭⎛⎫+-⎪⎝⎭元。
差分方程对连续型变量而言，我们常常回导致到微分方程的问题. 对离散型变量将导致一类的问题.一、差分的定义定义 设)(x y y =是一个函数, 自变量从x 变化到x +1, 这时函数的增量记为)()1(x y x y y x -+=∆, 我们趁这个量为)(x y 在点x 步长为1的一阶差分,简称为)(x y 的一阶差分. 为了方便我们也记)(),1(1x y y x y y x x =+=+,即 x x x y y y -=∆+1.称x x x x x x x x y y y y y y y y +-=---=∆∆+++++121122)()()(为)(x y 二阶差分,简记为x y 2∆.同样记)(2x y ∆∆为x y 3∆,并称为三阶差分.一般记)(1x n x n y y -∆∆=∆,称为n 阶差分.且有i n x i ni i n x ny C y -+=-=∆∑)1(0. 性质: 当a,b,C 是常数, y x 和z x 是函数时,(1) Δ(C )=0;(2) Δ(Cy x )= C Δ(y x );(3) Δ(ay x + b z x )= a Δy x + b Δ z x ;(4) Δ(y x z x )= z x+1Δy x +y x Δ z x = y x+1Δz x +z x Δy x ;(5) 1111++++∆-∆=∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆x x x x x x x x x x x x x x z z z y y z z z z y y z z y . 例 已知),0(≠=x x y x α求Δ(y x ).解 Δ(y x )= ααx x -+)1(.特别, 当n 为正整数时, Δ(y x )= i n n i i n x C -=∑1, 阶数降了一阶.推论 若m, ,n 为正整数时, m,> n P(x)为n 次多项式,则0)(=∆x P m .例 已知),10(≠<=a a y x x 求Δ(y x ).解 Δ(y x )= )1(1-=-+a a a a x x x .二、差分方程定义 设是含有未知函数差分的等式，称为差分方程。
差分方程建模举例差分方程建模方法的思想与与一般数学建模的思想是一致的，也需要经历背景分析、确定目标、预想结果、引入必要的数值表示（变量、常量、函数、积分、导数、差分、取最等）概念和记号、几何形式（事物形状、过程轨迹、坐标系统等），也就是说要把事物的性态、结构、过程、成分等用数学概念、原理、方法来表现、分析、求解。
当然，由于差分方程的特殊性，首先应当把系统或过程进行特别分解，形成表现整个系统的各个部分的离散取值形式，或形成变化运动过程的时间或距离的分化而得到离散变量。
然后通过内在的机理分析，找出变量所能满足的平衡关系、增量或减量关系及规律，从而得到差分方程。
另外，有时有可能通过多个离散变量的关系得到我们关心的变量的关系，这实际上建立的是离散向量方程，它有着非常重要的意义。
有时还需要找出决定变量的初始条件。
有时还需要将问题适当分成几个子部分，分别求解。
模型1 种群生态学中的虫口模型：在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种类型的昆虫数目的变化 ，他的变化规律是：每年夏季这种昆虫成虫产卵后全部死亡，第二年春天每个虫卵孵化成一个虫子。
建立数学模型来表现虫子数目的变化规律。
模型建立：假设第n 年的虫口数目为n P ，每年一个成虫平均产卵c 个（这个假设有点粗糙，应当考虑更具体的产卵分布状况），则有：n n cP P =+1，这是一种简单模型；如果进一步分析，由于成虫之间会有争斗以及传染病、天敌等的威胁，第n+1年的成虫数会减少，如果考虑减少的主要原因是虫子之间的两两争斗，由于虫子配对数为)1(21-n n p p 221n p ≈，故减少数应当与它成正比，从而有： 21n n n bP cP P -=+这个模型可化成：)1(1n n n x x x -=+λ，这是一阶非线性差分方程。
这个模型的解的稳定性可以用相应一阶差分方程的判断方法来获得。
如果还考虑其它的影响成虫孵卵及成活的因素的定量关系，这个模型在此基础上仍可进一步改进，更加符合实际情形。
数学建模中的差分方程算法在数学建模中，差分方程算法是常用的一种方法。
它可以用来模拟各种现象，例如人口增长、物理运动等。
差分方程算法采用差分逼近的方法来解决连续变量的问题。
本文将介绍差分方程算法的基本原理和应用。
一、差分方程算法的基本原理差分方程算法是在连续变量上进行离散化的方法。
它将一个连续变量的函数f(x)离散化为一个由离散节点组成的序列f(x1),f(x2), …, f(xn)。
这些离散节点通常是等间距的。
通过差分逼近的方法，我们可以将f(x)的导数、二阶导数等进行离散化，从而得到相应的差分方程。
一个一阶常微分方程的一般形式为：dy/dx = f(x,y)如果我们将x、y离散化，可以得到以下的形式：(yi+1-yi)/(xi+1-xi) = f(xi, yi)其中，xi和yi表示第i个离散节点上的值，xi+1和yi+1表示第i+1个离散节点上的值。
这个式子就是一个一阶差分方程。
二、差分方程算法的应用差分方程算法可以用来模拟各种现象。
下面将介绍几个常见的应用。
(一) 人口增长人口增长可以用一个简单的模型来描述：每年有一定比例的人口出生，同时有一定比例的人口死亡。
假设出生率为b，死亡率为d，那么人口增长的速率就是(b-d)N，其中N是当前人口数量。
将时间离散化，可以得到以下的差分方程：Nt+1 - Nt = (b-d)Nt这个式子表示，下一年的人口数量等于当前的人口数量加上人口增长的数量。
每一年人口增长的数量是(b-d)N，其中N表示当前的人口数量。
(二) 物理运动物理运动可以用牛顿第二定律来描述：加速度等于力除以质量。
假设物体的质量为m，力为F，速度为v，物体的位置为x，那么可以得到以下的差分方程：v(t+dt) = v(t) + a(t)dtx(t+dt) = x(t) + v(t)dt + 0.5a(t)dt^2a(t) = F(t)/m这三个式子分别表示，下一时刻的速度等于当前速度加上加速度乘以时间变化量dt；下一时刻的位置等于当前位置加上速度乘以时间变化量dt加上1/2的加速度乘以时间变化量的平方；加速度等于力除以质量。
数学建模课程设计实验报告题目：差分阻滞增长模型问题研究姓名：班级：日期：摘要该文以生物数量增长的预测为例，建立了logistic 阻滞增长的微分方程模型，并把它离散化而得相应的差分方程模型。
将logistic 阻滞增长模型的差分形式进行简化并对简化差分形式进行迭代求解。
做出随固有增长率的变化， 按logistic 阻滞增长模型的差分形式增长的序列{k y }收敛、 2倍周期、 4倍周期......直至一片混乱的图形。
以参数b 为横坐标、 序列{k y }的收敛点为纵坐标，用数学软件模拟展示了这一简单差分方程从收敛、分叉、倍周期收敛进入混沌现象的过程。
为部分工程领域的混沌现象的研究提供了模拟方法。
关键词：logistic 模型 分叉 倍周期收敛 混沌现象一：问题分析生物数量在增长过程中，由于环境因素与自然资源的作用，受到阻滞。
此时，其增长率呈现递减趋势。
基于此的logistic 模型可以对类似问题进行分析。
但是，现实对象的活动一般都是具有周期性的，所以采用离散化的时间比采用连续的时间更为方便，于是采用差分形式的离散模型。
对于平衡点的稳点问题，我们知道，logistic 模型中x*=N 是稳定平衡点，x*=0不是稳定平衡点，那么对于差分形式的离散模型)1(1k k k x bx x -=+，k=0,1,2，... 是否还具有同样的性质?以下，我们将对模型从平衡点和稳定性的角度进行分析并借助计算机对倍周期收敛、分岔和混沌的现象进行分析；二：模型假设（1）自然资源，环境条件等对生物的增长起着阻滞作用，并随着数量的增加阻滞作用越来越大。
（2）自然资源与黄精条件所容纳的最大生物数量，现有生物数量和固有增长率已知。
（3）阻滞作用体现在对增长率的影响上，使得增长率随着生物数量表的增加而下降。
（4）所研究该对象每年有固定的周期性活动。
三：模型建立与图解模型建立设当前（即 t=0时） 生物数量为0x ,固有增长率为r 生物数量为x 。
记未来任意t 时刻种群的数量为)(t x ，将其视为连续可微函数。
则单位时间内)(t x 的增量dtdx等于r 乘以)(t x ，于是得到)(t x 满足微分方程 0)0(x x rx dtdx== (1)由假设可知，生物增长率r 随着生物数量x 的增加而下降。
若将r 表示为x 的函数)(x r ，则其应为减函数，假定其是线性的且sx r x r -=)(（r ，s >0）。
此时，用)(x r 取代方程（1）中的r ，则方程（1）变为x sx r dtdx)(-= 0)0(x x = (2) 为确定s ，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大生物数量N 。
当N x =时生物数量停止增长吧，即0)(=N r ，代入sx r x r -=)(中可知N r s /=。
因此，得到logistic 模型的微分形式)1(Nxrx dt dx -= 0)0(x x = (3) 将方程（3）用差分形式表示，就有 )1(1Ny ry y y kk k k -=-+，k=0,1,2,3... (4) 进一步可写成⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=+k k k y N r ry r y )1(1)1(1 (5) 令 b=r+1，k k y Nr rx )1(+=，则（5）就可化简为)1(1k k k x bx x -=+，k=0,1,2，... (6) (6)就是一阶线性差分方程。
平衡点及稳定性：由方程（6）的平衡点及其稳定性（非线性差分方程平衡点稳定性判定）。
因为r>0，由b=r+1知b>1, 解代数方程x=f(x) =bx(1-x) （7）容易得到（6）的非零平衡点为 bx 11*-= （8） 利用b=r+1,k k y Nr rx )1(+=可验证， *x 相当于原方程（4）的非平衡点*y =N 。
为分析*x 的稳定性，计算'f (*x ) =b(1-2*x )=2-b （9） 根据*x 稳定的条件 )(*'x f <1，得到1<b<3。
由此可知，当且仅当1<b<3成立时*x 才是稳定平衡点。
由b=r+1式可知，它相当于仅当r<2时*y =N 才是方程（2）的稳定平衡点，这与无论r 多大*x =N 都是微分方程（1）的稳定平衡点是不同的。
在条件1<b<3下，k x 收敛于*x 的状况可以通过方程（6）的图解法清楚的表示出来。
以x 为横坐标作x=f(x) =bx(1-x)和y=x 的图形（图1），曲线y=f(x)和直线y=x 交点的横坐标为平衡点*x 。
图1 方程（6）的图解法(*x x k →)对于初值 0x ，由方程（6）求1x ，2x ，…的过程表示为图上的折线。
此时：当1<b<2时，*x <21，k x →*x 的过程基本上是单调的（见图1（a ））；当2<b<3时，*x > 21， k x →*x 的过程则会出现形如蛛网模型图1那样的衰减震荡（图1（b ））.当b>3时，虽然方程（6）仍可形式地求解，但*x 不稳定，其图解法如图2所示，出现形如蛛网模型图2那样的发散震荡（k x →*x ）。
事实上，对不同的b 值，用方程（6）做计算，可以看得k x 的变化趋势（参考文献1）倍周期收敛：如果称b<3时k x →*x 为单周期收敛（生物繁殖周期），那么存在两个收敛的子序列就可以称为2倍周期收敛。
一般地，方程（6）可表示为1+k x =f(k x ) (11) 在讨论2倍周期收敛时，应考察2+k x =f(1+k x )=f(f(k x ))=()2f (k x ) (12) 为求平衡点，对模型（6）要解代数方程x=f(f(x))=b.bx(1-x)[1-bx(1-x)] (13)由于平衡点*x 满足*x =()2f (k x )，所以除了零点和原来的bx 11*-=是它的平衡点外，满足*1x =f(*2x )，*2x =f(*1x ) (14) 的点*1x ，*2x 也是（12）的平衡点，*2,1x 可由（13）解得*2,1x =bb b b 23212--+ (15)不难验证，当b>3时0<*1x <*x <*2x <1 (16)下面在b >3 下讨论这些平衡点的稳定性，*x 显然是不稳定的，对于*1x 和*2x 因为*1(2)''*'*21(())()()x x f x f x f x ==，*2(2)''*'*12(())()()x x f x f x f x ==故*1x 和*2x 的稳定性相同，再由**21(2)'2**12,(())(12)(12)x x x f x b x x ==-- （17）和稳定判据(2)*'1,2(())1f x <，并将（15）代入（17）可得*1,2x 的稳定条件为16 3.449b <+≈ （18）有上述计算可知, 当3 3.449b <<a 时，虽然*x 不稳定，但是 *2,1x 是方程的稳定平衡点即 k x ，2+k x ，…→*1x （*2x ）。
于是对于原方程（6）*2,1x 是序列{k x }的两个子序列的极限，即2k x 和21k x +分别趋向于*1x 或*2x ， 以b =3.3代入（15）式，可得*1x =0.4794, *2x =0.8236,与数值计算中的结果相同，以上的迭代过程也可以从方程的图解法中看到。
图3 方程（12）图解法四：结果分析与检验由三中所分析的，作为生物数量阻滞增长的离散模型，当固有增长率2 2.449r <<时，从一个繁殖周期的角度看，其数量增长是不稳定的，即没有极限。
但从两个繁殖周期的角度看，却实稳定的，这就是所谓的2被周期收敛。
当b >3.449时 *2,1x 不再是方程（12）的稳定平衡点，从而对于方程（6） 来说2倍周期也不收敛了，但是可以讨论4倍周期收敛，进一步考察方程(4)4()k k x f x += （19） 用类似的方法可得， 当3.449 3.644b <<时（19）有4个稳定平衡点，数值计算中 b=3.45就是这种情况 于是对于原来的模型（6）从4个繁殖周期的角度看， 增长是稳定的 。
按照这样的规律我们可以对模型（6）的增长序列{kx } 讨论2n 倍周期收敛问题，n=1,2,3,…… 收敛性完全由参数b 的取值确定。
研究表明，当n → ∞时，→n b 3.569. 当b >3.569时，就不在存在任何n 2倍的周期收敛， 出现所谓混沌现象 用matlab 进行求解，可以得到图4 其给出了模型（6） 的收敛、分岔、和混沌情况，分析结果相一致。
2.533.5400.10.20.30.40.50.60.70.80.91图4 模型（6）的收敛分叉和混沌五：模型的优缺点，改进方向，推广新思想(简述)本次实验描述了阻滞增长规律的Logistic 模型的微分方程形式以及差分形式,其并没有涉及具体的实际应用。
但是：首先，从数学角度看，方程（6）是非常简单的非线性差分方程，可以方便的地退求解，如我们看到的，它的收敛性的研究引出了相当复杂和有趣的现象，可以作为反差理论和混沌现象的导入。
再者，模拟的logistic 模型的差分形式从收敛、 分叉、倍周期收敛到混沌的过程， 为粉末注射成形工艺过程和其它工程领域的混沌现象的研究提供了模拟方法。
有一定的参考价值。
六：参考文献1.姜启源,数学模型[M],高等教育出版社,19872.傅一平,周笠时滞周期logistic 方程的周期解的稳定[J]数学物理学报，2001-03附录(相关程序源代码)1：方程（6）图解法function f=sss(b,x0,m,n)x=0:0.01:1;y=b*x.*(1-x);plot(x,x,'r',x,y,'r');hold on;clear x,y;x(1)=x0;y(1)=b*x(1)*(1-x(1));x(2)=y(1);if m<2,plot ([x(1),x(1),x(2)],[0,y(1),y(1)]);endfor i=2:n;y(i)=b*x(i)*(1-x(i));x(i+1)=y(i);if i>m,plot([x(i),x(i),x(i+1)],[y(i-1),y(i),y(i)]);endendhold offsubplot(2,2,1),sss(1.7,0.1,1,100),title('1<b<2') subplot(2,2,2),sss(2.7,0.1,1,100),title('2<b<3') subplot(2,2,3),sss(3.3,0.1,1,100),title('b>3') subplot(2,2,4),sss(4,0.1,1,100),title('b>3.569')2：模型（6）的收敛、分叉和混沌m=50;x=0:0.01:1;a(1)=2.5;hold on;x(1)=0.2000;for j=1:100a(j+1)=a(j)+0.015;for i=1:150x(i+1)=a(j)*x(i)*(1-x(i));if i>mplot(a(j),x(i));endendendhold off;。
