椭圆测试题
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高二数学(文)练考题一.选择题:1、到两定点()13,0F -、()23,0F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹( ) A .椭圆B .线段C .双曲线D .两条射线2.若方程2288x my m +=表示双曲线,则此双曲线的虚轴长为 (A ) A.B .m 2 C .m D3.若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆,则实数k 的取值范围为( D )A .(0,+∞)B .(0,2)C .(1,+∞)D .(0,1)4.离心率为23,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是 ( ) A 2214x y +=. B.2214x y +=或2214y x += C.2241x y += D.2214x y +=或221416x y += 5、已知双曲线221259x y -=在左支上一点M 到右焦点F 1的距离为18,N 是线段MF 1的中点, O 为坐标原点,则|ON |等于 (A )A.4B.2C.1D.32 6、已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点, 若△ABF 2是正三角形,则这个椭圆的离心率是(C )二.填空题:7.双曲线2218y x -=的焦距为________________________6. 8. 椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长分别为__________,__________。
9.过双曲线221169x y -=左焦点F 1的弦AB 长为6,则2ABF D (F 2为右焦点) 的周长是2810.如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0.直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,则点M 的轨迹方程________________________..三.解答题:11.已知△ABC 的一边长BC =6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程.12.求以椭圆221169x y +=短轴的两个顶点为焦点,且过点A (4,5)-的双曲线的标准方程.13.已知双曲线的中心在原点,焦点F 1、F 2且过点(4,10)-(1)求此双曲线的标准方程;(2)若点(3,)M m 在双曲线上,求证:12MF MF ^ (3)求12F MF D 的面积。
圆与椭圆单元测试题及答案
1. 圆的定义是什么?
- 答:圆是平面上与一个固定点的距离相等的所有点的集合。
2. 圆的要素有哪些?
- 答:圆心、半径。
3. 椭圆的定义是什么?
- 答:椭圆是平面上到两个固定点的距离之和恒定的所有点的集合。
4. 椭圆的要素有哪些?
- 答:焦点和长轴短轴。
5. 圆与椭圆的共同特点是什么?
- 答:它们都是闭合曲线。
6. 圆与椭圆的区别是什么?
- 答:圆的焦点只有一个,长轴和短轴相等;椭圆的焦点有两个,长轴和短轴不相等。
7. 如何画一个圆?
- 答:以圆心为中心,半径为距离,在平面上画一个闭合的曲线。
8. 如何画一个椭圆?
- 答:以焦点为中心,在平面上画一个长轴和短轴的区域,使到焦点的距离之和恒定。
9. 圆的面积公式是什么?
- 答:圆的面积公式为πr²,其中 r 为圆的半径。
10. 椭圆的面积公式是什么?
- 答:椭圆的面积公式为πab,其中 a 和 b 分别为长轴和短轴的一半。
11. 如何计算圆的周长?
- 答:圆的周长公式是2πr,其中 r 为圆的半径。
12. 如何计算椭圆的周长?
- 答:椭圆的周长没有简单的公式,但可以近似计算,例如使用椭圆周长的公式为2π√(a²+b²/2),其中 a 和 b 分别为长轴和短轴的一半。
以上是关于圆与椭圆的单元测试题及答案。
希望能对你有所帮助!。
数学拓展模块第二章椭圆、双曲线、抛物线(试卷A )一、选择题:(本大题有15个小题,每小题3分,共45分。
在每小题所给出的选项中只有一个符合题目要求)1.已知椭圆221169+=x y 上一点到椭圆的一个焦点的距离为3,则P 到另一个焦点的距离为( ). A .3 B .4 C .5 D .62.椭圆2211625+=x y 的焦距是( ). A .6 B .4 C .10 D .93.已知椭圆方程是224520+=x y ,则它的离心率是( ).A .2B .C .D . 124.长轴是短轴的2倍,且经过点P (-2.0)的椭圆方程是( ).A . 2214+=x yB . 221416+=x yC . 221164+=x y 或2214+=x y D . 221416+=x y 或2214+=x y 5.焦点在x 轴上,长轴长为8.离心率为12,那么椭圆的标准方程为( ). A .2211612+=x y B . 2211612-=x y C . 2211216+=x y D . 2211216-=x y6.与椭圆2211625+=x y 有共同的焦点且过点(-的双曲线的方程是( ). A .22154-=y x B . 22153-=y x C . 22154-=x y D . 22153-=x y 7.双曲线的两个焦点坐标是1F (0,-5), 2F (0,5),且2a =8.则双曲线的方程为( ).A .221169-=y x B . 2211625-=y x C . 2211625-=x y D . 2216425-=x y 8.若双曲线焦点在x 轴上,且它的一条渐进线方程为34=y x ,则离心率是( ).A .54B . 4C . 7D . 79.双曲线221169-=x y ,若过右焦点2F ,且在双曲线右半支上的弦AB 长为5,另一焦点为1F 则△AB 1F 的周长为( ).A .16B .11C . 26D .610.设()0,απ∈,方程221sin cos αα+=x y 表示中心在坐标原点,焦点在x 轴上的双曲线,则α的取值范围是( ).A . ()0,π В. [)0,π C . ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭D .,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭11.抛物线250-=x y 的准线方程是( ).A . 54=-x B . 52=x C . 54=y D . 54=-y 12.顶点在原点,准线方程为y =4的抛物线标准方程为( ). A . 216=y x B . 216=-y x C . 216=x y D . 216=-x y13.顶点在原点,对称轴是y 轴,顶点与焦点的距离等于2的抛物线方程是( ). A . 24=±x y B . 24=±y x C . 28=±x y D . 28=±y x 14.顶点在原点,以坐标轴为对称轴且过点(2,-3)的抛物线方程是( ). A . 292=y x 或243=-x y B . 292=-y x C . 292=-y x 或243=x y D . 243=-x y 15.顶点在坐标原点,焦点是(0,-1)的抛物线的标准方程是( ). A . 24=x y B . 24=-x y C . 24=-y x D . 24=y x 二、填空题(本在题有15个小空,每空2分,共30分) 16.已知椭圆221625400+=x y ,其离心率为___________.17.已知椭圆的右焦点F (3,0),F 到右顶点距离为3,则椭圆的方程为___________.18.已知曲线的方程22194+=--x y k k为椭圆的标准方程,则k 的取值范围为___________.19.椭圆各22214+=x y a 与双曲线器22212-=x y a 有相同的焦点,则2a =___________. 20如果方程222+=x ky 表示焦点在y 轴上的椭圆,那么实数k 的取值范围是___________.21.已知1F ,2F 是椭圆221259+=x y 的两个焦点,过1F 的直线与椭圆交于M .N 两点,则△MN 2F 的周长是___________.22.双曲线222516400-=x y 的两条渐近线方程是___________.23.双曲线的实轴长为6,离心率2=e ,焦点在x 轴上,则双曲线的标准方程为___________. 24.双曲线2288-=kx ky 的一个焦点是(0,3),那么k =___________.25.与双曲线221916-=x y 有相同的渐近线,且过点(3,-C 的双曲线方程是___________. 26.方程22125-=--x y k k表示双曲线,则k 的取值范围是___________. 27.抛物线214=-y x 的焦点坐标是___________.28.抛物线上24=-y x 上一点M 到焦点的距离是6,则M 到准线的距离是___________. 29.若抛物线22=y px 上到焦点距离为3的点的横坐标为2.则p =___________.30.抛物线218=-y x 的准线方程是___________.三、解答题:(本大题共45分)31.已知椭圆的短轴长是2,中心与抛物线24=y x 的顶点重合,椭圆的一个焦点是此抛物线的焦点,求该椭圆的方程及离心率.32.椭圆的长轴是短轴的3倍,过点P (3,0),求椭圆的标准方程.33.一椭圆的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,焦距为 的焦点,且双曲线的实半轴比椭圆的长半轴小4,且双曲线的离心率与椭圆的离心率之比为73,求此椭圆和双曲线的方程。
椭圆与双曲线综合测试题椭圆与双曲线综合测试题一、选择题(本题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求。
)1、以x2/412+y2/16=1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程是()。
A、x2/16+y2/4=1B、x2/4+y2/16=1C、x2/9+y2/16=1D、x2/16+y2/9=12、已知双曲线x2/9-y2/4=1上的一点P为该双曲线的两个焦点,设P到F2的距离为3,到F1的距离为2,则三角形F1PF2的面积是()。
A、12B、63C、123D、2433、已知以x2/20+y2/16=1为焦点的椭圆C与直线L:x+3y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆C的长轴长是()。
A、32B、26C、27D、424、已知双曲线C的对称中心在原点,对称轴是坐标轴,且一条渐近线方程是3x+4y=0,双曲线C过点P(2,1),则双曲线C的方程是()。
A、9x2/25-4y2/9=1B、4x2/9-9y2/25=1C、9x2/16-4y2/25=1D、4x2/25-9y2/16=15、已知椭圆E:9x2/4+y2/16=1的左右焦点是(-5,0)和(5,0),点P为E上一动点,当∠EPF2为钝角,则点P的横坐标的取值范围是()。
A、(-3,3)B、(-5,3)C、(-5,5)D、(3,5)6、若F1、F2是椭圆的两个焦点,满足MF1/MF2=2,则椭圆的离心率的取值范围是下列的选项()。
A、(2/3,1)B、(1/2,1)C、(1,2/3)D、(1,1/2)7、已知椭圆x2/5+y2/4=1(n>2)和双曲线-3y2/5+x2/9=1有相同的焦点F1、F2,P(7,2)是两条双曲线的一个交点且PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积是()。
A、1B、1/2C、2D、3/28、如果已知双曲线的左右焦点分别是F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长是5,若半轴a=5,则三角形ABF2的周长是()。
椭圆单元测试题(含答案)一. 选择题1. 下列哪个不是椭圆的性质?A. 任何椭圆都有两个焦点B. 椭圆的离心率小于1C. 椭圆是一条闭合曲线D. 直径是椭圆上任意两点的距离的最大值答案:D2. 下列哪个公式可以用来计算椭圆面积?A. $S = \frac{\pi}{2}ab$B. $S = \pi ab$C. $S = \frac{4}{3}\pi ab$D. $S = 2\pi ab$答案:B3. 一个椭圆的长轴长度是6,短轴长度是4,则该椭圆的离心率是多少?A. $\frac{3}{4}$B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$C. $\frac{4}{5}$D. $\frac{5}{6}$答案:C二. 填空题1. 椭圆的离心率等于$\rule{1.5cm}{.15mm}$除以$\rule{1.5cm}{.15mm}$。
答案:焦距差,长轴长度2. 设椭圆的长轴长度为$a$,短轴长度为$b$,则其离心率的计算公式为$\rule{5cm}{.15mm}$。
答案:$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$三. 计算题1. 已知一个椭圆的长轴长度是10,短轴长度是8,求它的面积。
解:由公式$S = \pi ab$可得,该椭圆的面积为$S = \pi \times 10 \times 8 = 80\pi$。
答案:$80\pi$2. 已知一个椭圆的长轴长度是12,离心率是$\frac{1}{2}$,求它的短轴长度。
解:由公式$\epsilon = \frac{\sqrt{a^2 - b^2}}{a}$可得,$b =a\sqrt{1-\epsilon^2}$。
代入数据,可得$b = 6\sqrt{3}$。
答案:$6\sqrt{3}$。
专题12椭圆测试题【高频考点】本知识涉及椭圆的定义,标准方程以及简单的几何性质的应用,直线与椭圆的位置关系。
【考情分析】本阶段是高考考查重点内容之一,涉及客观题和解答题,客观题主要考查椭圆方程的求解,椭圆的几何性质等,难度中等,在解答题中多以椭圆为载体,考查直线与椭圆的位置关系,定值定点,以及最值问题,常常以探索性问题形式出现,难度较大。
【重点推荐】基础卷第11题,数学文化题,第22题考察与不等式的交汇,考察综合解决问题的能力。
一.选择题1.方程表示焦点在x轴上的椭圆,则实数m的取值范围为()A.(1,+∞)B.(﹣∞,1] C.(0,1)D.(﹣1,0)二.【答案】C三.【解析】:方程表示焦点在x轴上的椭圆,可得m∈(0,1).故选:C.四. 2. 设P是椭圆=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()五.A.2 B.2 C.2 D.4六.【答案】:C七.【解析】椭圆=1的焦点坐标在x轴,a=,P是椭圆=1上的动点,由椭圆的定义可知:则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2.八.故选:C.九. 3. 设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,|PF1|+|PF2|=10,则椭圆的短轴长为()十.A.6 B.8 C.9 D.10十一.【答案】:A十二.【解析】设F1、F2是椭圆的两个焦点,点P为椭圆上的点,且|F1F2|=8,可得c=4,十三.|PF1|+|PF2|=10,可得a=5,则椭圆的短轴长为:2b=2=6.故选:A.十四.十五. 4. (2018•大连二模)设椭圆的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C交于A,B两点,则|AF|+|BF|的值是()十六.A.2 B.C.4 D.十七.【答案】:C十八.【解析】如图,设F2是椭圆的右焦点,∵O点为AB的中点,丨OF丨=丨OF2丨,则四边形AFBF2是平行四边形,∴AF=BF2.∴|AF|+|BF|=丨BF丨+丨BF2丨=2a=4,故选:C.十九.二十.二十一.5若点F1,F2为椭圆的焦点,P为椭圆上的点,满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为()二十二.A.1 B.2 C.D.4二十三.【答案】:A二十四.6. (2018•齐齐哈尔二模)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长大于2,则该椭圆的长轴长的取值范围是()二十五.A.(2,+∞)B.(4,+∞)C.(2,4)D.(4,8)二十六.【答案】:B二十七.【解析】根据题意,椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,即e==,则c=a,又由椭圆短轴长大于2,即2b>2,则b>1,则有a2﹣c2=b2>1,即>1,解可得a>2,则该椭圆的长轴长2a>4,即该椭圆的长轴长的范围为(4,+∞);故选:B.二十八.7. (2018•大连二模)设椭圆的左焦点为F,直线l:y=kx(k≠0)与椭圆C 交于A,B两点,则△AFB周长的取值范围是()二十九.A.(2,4)B.C.(6,8)D.(8,12)三十.【答案】:C三十一.【解析】∵椭圆的左焦点为F(﹣,0),右焦点F2(,0),直线l:y=kx (k≠0)与椭圆C交于A,B两点,连结BF2,则AF=BF2,AB=2OB,由一的定义可知:BF+BF2=2a=4,OB∈(1,2),则△AFB周长的取值范围是(6,8).故选:C.三十二.15. 设圆(x+1)2+y2=25的圆心为C,A(1,0)是圆内一定点,Q为圆周上任一点,线段AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M,则M的轨迹方程为.三十三.三十四.【答案】:三十五.【解析】由圆的方程可知,圆心C(﹣1,0),半径等于5,设点M的坐标为(x,y ),三十六.∵AQ的垂直平分线交CQ于M,∴|MA|=|MQ|.又|MQ|+|MC|=半径5,∴|MC|+|MA|=5>|AC|.三十七.依据椭圆的定义可得,点M的轨迹是以 A、C 为焦点的椭圆,且2a=5,c=1,∴b=,三十八.故椭圆方程为+=1,即+=1.故答案为:三十九.16(2018•西宁二模)已知椭圆C:=1,F1,F2是该椭圆的左右焦点,点A(4,1),P是椭圆上的一个动点,当△APF1的周长取最大值时,△APF1的面积为.四十.【答案】:四十一.【解析】:如图所示,由椭圆C=1可得a=5,右焦点F2(4,0).|F1F2|=8四十二.∵|PF1|+|PF2|=2a=10,∴|PF1|+|PA|=10﹣|PF2|+|PA|≤10+|AF2|.四十三.△APF1的周长取最大值时,三点P、A、F2共线,且点P在第四象限,四十四.此时F1F2⊥AP,|PF2|==,△APF1的面积S=|F1F2|×|PA|=.四十五.故答案为:.四十六.四十七.四十八.三.解答题四十九.17. 已知椭圆的离心率为22,其中左焦点F(-2,0).五十.(1)求椭圆C的方程;五十一.(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点M在圆x2+y2=1上,求m 的值.五十二. 【解析】:(1) 由题意,得五十三. 解得22,2.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为22184x y +=.…………5分五十四.(2) 设点A 、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段AB 的中点为M(x0,y0),五十五. 由消y 得,3x2+4mx+2m2-8=0,五十六.Δ=96-8m2>0,∴-23<m <23.…………8分五十七. .五十八.∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=1上,五十九.,355m ∴=±.……10分六十. 18. (2018•广陵区校级四模)已知椭圆C :(a >b >0)的左焦点为F ,上顶点为A ,直线AF 与直线x+y ﹣3垂直,垂足为B ,且点A 是线段BF 的中点.六十一. (1)求椭圆C 的方程;六十二.(2)若M ,N 分别为椭圆C 的左,右顶点,P 是椭圆C 上位于第一象限的一点,直线MP 与直线x=4交于点Q ,且=9,求点P 的坐标.六十三.六十四.【分析】(1)由直线AF 与直线x+y ﹣3垂直,可得:=1,则直线AF 的方程为:y=x+c .与椭圆方程联立可得B(,),于是﹣c=0,解得c,即可得出椭圆方程.六十五.(2)设P(x0,y0),则直线MP的方程为y=(x+2),可得Q.9==2(x0+2)+,由点P在椭圆上可得:=2﹣,代入解出即可得出.六十六.六十七.(2)设P(x0,y0),则直线MP的方程为y=(x+2),∴Q.六十八.∴9==2(x0+2)+,………7分六十九.由点P在椭圆上可得:=2﹣,代入可得:9=2(x0+2)+,七十.化为:+x0﹣2=0,解得x0=1或﹣2.(舍),七十一.∴P.…………12分七十二.19. (2018•江苏一模)已知椭圆C:(a>b>0)经过点,,点A是椭圆的下顶点.七十三.(1)求椭圆C的标准方程;七十四.(2)过点A且互相垂直的两直线l1,l2与直线y=x分别相交于E,F两点,已知OE=OF,求直线l1的斜率.七十五.【分析】(1)根据题意,将两点的坐标代入椭圆的方程有,解可得、的值,即可得椭圆的方程;七十六.(2)设直线l1:y=k1x﹣1,与直线y=x联立方程有,可得E的坐标,设直线l2:,同理可得F的坐标,又由OE=OF,所以,解可得k的值,即可得答案.七十七.【解析】:(1)根据题意,椭圆C:(a>b>0)经过点,,七十八.则有,解得,…………3分七十九.所以椭圆C的标准方程为;…………5分八十.(2)由题意知A(0,﹣1),直线l1,l2的斜率存在且不为零,八十一.设直线l1:y=k1x﹣1,与直线y=x联立方程有,得,八十二.设直线l2:,同理,…………7分八十三.因为OE=OF,所以,八十四.①,无实数解;八十五.②,,,解得,八十六.综上可得,直线l1的斜率为.……12分八十七.20 (2018•辽宁模拟)已知M()是椭圆C:(a>b>0)上的一点,F1F2是该椭圆的左右焦点,且|F1F2|=2.八十八.(1)求椭圆C的方程;八十九.(2)设点A,B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点,直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k2=k2.试探究|OA|2+|OB|2是否为定值,若是,求出定值,若不是,说明理由.九十.【分析】(1)根据椭圆的定义及椭圆的性质,即可求得a和b的值,即可求得椭圆方程;九十一.(2)设直线AB的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及直线的斜率公式,求得k2=,即可求得|OA|2+|OB|2=5为定值.九十二.【解析】:(1)由题意,F1(﹣,0),F2(,0),根据椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a,九十三.所以2a=+=4,九十四.所以a2=4,b2=a2﹣c2=1九十五.椭圆C的方程;…………5分九十六.(2)设直线AB:y=kx+m,(km≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),九十七.由,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0,九十八.△=(8km)2﹣4(1+4k2)(4m2﹣4)>0,x1+x2=﹣,x1x2=,九十九.因为k1k2=k2,所以•=k2,百.即km(x1+x2)+m2=0(m≠0),解得k2=,…………8分百一.|OA|2+|OB|2=x12+x22+y12+y22=[(x1+x2)2﹣2x1x2]+2=5,百二.所以|OA|2+|OB|2=5为定值.…………12分百三.21. (2018•南充模拟)已知椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.百四.(1)求椭圆C的方程;百五.(2)直线l平行于OM,且与椭圆C交于A,B两个不同的点,若∠AOB为钝角,求直线l在y轴上的截距m的取值范围.百六.【分析】(1)由椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上,列出方程组,求出a,b,由此能求出椭圆C的方程.百七.(2)设l的方程为y=x+m,再与椭圆方程联立,将∠AOB 为钝角,转化为<0,且m≠0,利用韦达定理,即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围.百八.【解析】:(1)∵椭圆C :+=1(a>b>0)的离心率为,点M(2,1)在椭圆C上.百九.∴,解得a=2,b=,c=,…………3分百十.∴椭圆C 的方程为=1.………………5分百十一.(2)由直线l平行于OM,得直线l的斜率k=kOM=,百十二.又l在y轴上的截距为m,∴l的方程为y=12x m.百十三.由,得x2+2mx+2m2﹣4=0.…………8分百十四.又直线l与椭圆交于A、B两个不同点,△=(2m)2﹣4(2m2﹣4)>0,于是﹣2<m<2.百十五.∠AOB为钝角等价于<0,且m≠0,百十六.设A(x1,y1),B(x2,y2),百十七.则=x1x2+y1y2==,百十八.由韦达定理x1+x2=﹣2m,x1x2=2m2﹣4,代入上式,百十九.化简整理得m2<2,即,故所求范围是(﹣)∪(0,). (12)分百二十.22. (2018•聊城一模)已知圆x2+y2=4经过椭圆C:的两个焦点和两个顶点,点A(0,4),M,N是椭圆C上的两点,它们在y轴两侧,且∠MAN的平分线在y轴上,|AM|≠|AN|.百二十一.(Ⅰ)求椭圆C的方程;百二十二.(Ⅱ)证明:直线MN过定点.百二十三.【分析】(Ⅰ)根据题意,由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标,即可得c、b的值,由椭圆的几何性质计算可得a的值,即可得椭圆的标准方程;百二十四.(Ⅱ)设直线MN的方程为y=kx+m,与椭圆的方程联立,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),由根与系数的关系分析直线AM、AN的斜率,进而分析可得k1+k2==0,解可得m的值,由直线的斜截式方程即可得答案.百二十五.百二十六.(Ⅱ)证明:设直线MN的方程为y=kx+m.百二十七.由,消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣8=0.百二十八.设M(x1,y1),N(x2,y2),则,.百二十九.直线AM的斜率=;百三十.直线AN的斜率=.百三十一.k1+k2===.…………8分百三十二.由∠MAN的平分线在y轴上,得k1+k2=0.百三十三.即=0,百三十四.又因为|AM|≠|AN|,所以k≠0,百三十五.所以m=1.百三十六.因此,直线MN过定点(0,1).……12分。
椭圆的几何性质 2017/9/221.椭圆x 2+4y 2=1的离心率为 ( )A.32B.34C.22D.232.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是 ( )A.x 23+y 24=1B.x 24+y 23=1C.x 24+y 22=1D.x 24+y 23=1 3.若椭圆经过原点,且焦点分别为1(1,0)F ,2(3,0)F ,则其离心率为 ( ) A .34 B .23 C .12 D .144.已知椭圆的对称轴是坐标轴,离心率为13,长轴长为12,则椭圆方程为 ( )A .x 2144+y 2128=1或x 2128+y 2144=1B .x 26+y 24=1C .x 236+y 232=1或x 232+y 236=1D .x 24+y 26=1或x 26+y 24=15.椭圆+=1与+=1(0<k<9)的关系为 ( )A.有相等的长、短轴B.有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相等的离心率 6.已知F 1,F 2为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,过F 2作椭圆的弦AB ,若△AF 1B 的周长为16,椭圆离心率e=,则椭圆的方程是 ( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,离心率为33,过F 2的直线l 交C于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为 ( )A .x 23+y 22=1B .x 23+y 2=1C .x 212+y 28=1D .x 212+y 24=18.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ,F 2为右焦点,若∠F 1PF 2=60°,则椭圆的离心率为 ( ) A.B.C.D.9.设F 1,F 2是椭圆E :+=1(a>b>0)的左、右焦点,P 为直线x=上一点,△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形,则E 的离心率为 ( )A. B. C. D.10.设e 是椭圆+=1的离心率,且e ∈,则实数k 的取值范围是 ( )A.(0,3)B.C.(0,3)∪D.(0,2)二、填空题:11.求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是10,离心率是45的椭圆的标准方程: .(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6的椭圆的标准方程: .(3)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为3的椭圆的标准方程: . 12.已知椭圆+=1的两个焦点是F 1,F 2,点P 在该椭圆上,若|PF 1|-|PF 2|=2,则△PF 1F 2的 面积是 .13.若直线022=+-y x 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点F 和一个顶点B ,则该椭圆的离心率为_______。
3.1椭圆测试卷(原卷版)1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是()A.x 23+y 24=1 B.x 24+y 23=1C.x 24+y 22=1 D.x 24+y 23=12.若椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32,则ab的值为()A.32B.233C.932D.23273.(2018·课标全国Ⅱ,文)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为()A .1-32B .2-3C.3-12D.3-14.如图,圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.325.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A .(0,1),12D.22,6.【多选题】设椭圆的方程为x 22+y 24=1,斜率为k 的直线l 不经过原点O ,且与椭圆相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列结论正确的是()A .k AB ·k OM =-1B .若点M 坐标为(1,1),则直线l 的方程为2x +y -3=0C .若直线l 的方程为y =x +1,则点M 的坐标为(13,43)D .若直线l 的方程为y =x +2,则|AB |=4237.与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为________.8.椭圆x 2+4y 2=16被直线y =12x +1截得的弦长为________.9.椭圆C :x 28+y 24=1的弦AB 的中点为点Q (2,1),则弦AB 所在直线的方程为________,若点P 为椭圆上的任意一点,F 为左焦点,O 为原点,则OP →·FP →的取值范围为________.10.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程;(2)求△PAB 的面积.11.过点M (-2,0)的直线m 与椭圆x 22+y 2=1交于P 1,P 2,线段P 1P 2的中点为P ,设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0),直线OP 的斜率为k 2,则k 1k 2的值为()A .2B .-2C.12D .-1212.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,左顶点为A ,下顶点为B ,离心率为32,且△BF 1F 2的面积为3.则椭圆C 的标准方程为________,若点P 在椭圆C 上,且以AP 为直径的圆过B 点,则直线AP 的斜率为________.13.已知中心为坐标原点O ,焦点在y 轴上的椭圆M 的焦距为4,且椭圆M 过点(1,3).(1)求椭圆M 的方程;(2)若过点C (0,1)的直线l 与椭圆M 交于A ,B 两点,且AC →=2CB →,求直线l 的方程.1.设a >0,则椭圆x 2+2y 2=2a 的离心率是()A.12B.22C.13D .与a 的取值有关2.已知点P 是椭圆x 216+y 24=1上一点,其左、右焦点分别为F 1,F 2,若△F 1PF 2外接圆的半径为4,则△F 1PF 2的面积是()A.433B .43C .4D.433或433.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的两个端点,M ,N 是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2(k 1k 2≠0).若椭圆的离心率为32,则|k 1|+|k 2|的最小值为()A .1 B.2C.32D.34.已知直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A ,B 两点,若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12,则这样的点P 共有()A .1个B .2个C .3个D .4个5.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的最短距离为3,则这个椭圆的方程为________.6.2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功.已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ,350km.设地球半径为R km ,则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示).7.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线l :y =bc x 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________.8.设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)4,F 1,F 2是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆,直线l :y =kx +m 与⊙O 相切,并与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,若OA →·OB →=-32,求k 的值.10.如图,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为(3,0)1M 是x 轴上的一点,过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点(点A 在x 轴的上方).(1)求椭圆C的方程;(2)若AM→=2MB→,且直线l与圆O(O为坐标原点):x2+y2=47相切于点N,求MN的长.11.已知椭圆C过点(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C的方程;(2)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明直线EF的斜率为定值,并求出这个定值.3.1椭圆测试卷(解析版)1.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0),离心率等于12,则C 的方程是()A.x 23+y 24=1 B.x 24+y 23=1C.x 24+y 22=1 D.x 24+y 23=1答案D2.若椭圆ax 2+by 2=1与直线y =1-x 交于A ,B 两点,过原点与线段AB 中点的直线的斜率为32,则ab的值为()A.32B.233C.932D.2327答案A 3.(2018·课标全国Ⅱ,文)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为()A .1-32B .2-3C.3-12 D.3-1答案D解析在Rt △PF 1F 2中,∠PF 2F 1=60°,不妨设椭圆焦点在x 轴上,且焦距|F 1F 2|=2,则|PF 2|=1,|PF 1|=3,由椭圆的定义可知,|PF 1|+|PF 2|=2a ,所以2a =1+3,2c =2,得a =1+32,c =1.所以离心率e =ca =21+3=3-1.故选D.4.如图,圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状,则该椭圆的离心率为()A.33B.12C.22D.32答案B解析设圆柱的底面半径为1,则椭圆的短半轴长为1,长轴长为2sin 60°=433,即长半轴长为233,所以半焦距为33,故离心率为12.5.已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1→·MF 2→=0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是()A .(0,1),12D.22,答案C解析依题意,以F 1,F 2为直径且过点M 的圆在椭圆内,得c <b ,即c 2<b 2,c 2<a 2-c 2,2c 2<a 2.故-22<e =c a <22,又0<e <1,所以0<e <22.6.【多选题】设椭圆的方程为x 22+y 24=1,斜率为k 的直线l 不经过原点O ,且与椭圆相交于A ,B 两点,M 为线段AB 的中点,则下列结论正确的是()A .k AB ·k OM =-1B .若点M 坐标为(1,1),则直线l 的方程为2x +y -3=0C .若直线l 的方程为y =x +1,则点M 的坐标为(13,43)D .若直线l 的方程为y =x +2,则|AB |=423答案BD解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x 0,y 0)+y 124=1,+y 224=1,两式相减,得x 12-x 222+y 12-y 224=0,即y 1-y 2x 1-x 2·y 1+y 2x 1+x 2=-2,即k AB ·k OM =-2,所以A 不正确;对于B ,由k AB ·k OM =-2,M (1,1),得k AB =-2,所以直线l 的方程为y -1=-2(x -1),即2x +y -3=0,所以B 正确;对于C ,若直线l 的方程为y =x +1,k AB ·k OM =1×4=4≠-2,所以C 不正确;对于D ,由x +2,+y 24=1,得3x 2+4x =0,解得x =0或x =-43,所以|AB |=1+12|-43-0|=423,所以D 正确.故选BD.7.与椭圆4x 2+9y 2=36有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为________.答案x 215+y 210=18.椭圆x 2+4y 2=16被直线y =12x +1截得的弦长为________.答案35解析2+4y 2=16,=12x +1,消去y 并化简得x 2+2x -6=0,Δ>0.设直线与椭圆的交点为M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),则x 1+x 2=-212所以弦长|MN |x 1-x 2|=54[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=54×(4+24)=35.9.椭圆C :x 28+y 24=1的弦AB 的中点为点Q (2,1),则弦AB 所在直线的方程为________,若点P 为椭圆上的任意一点,F 为左焦点,O 为原点,则OP →·FP →的取值范围为________.答案x +y -3=0[2,8+42]解析设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)+y 124=1,+y 224=1,即x 12-x 22+2(y 12-y 22)=0,变形为y 1-y 2x 1-x 2=-12·x 1+x 2y 1+y 2.又AB 的中点为点Q (2,1),则有x 1+x 22=2,y 1+y 22=1,所以y 1-y 2x 1-x 2=-1,即直线AB 的斜率为-1,所以弦AB 所在直线的方程为y =-(x -2)+1,即x +y -3=0.设P (x 0,y 0),又F (-2,0),所以OP →=(x 0,y 0),FP →=(x 0+2,y 0),所以OP →·FP →=2x 0+x 02+y 02=2x 0+x 02+4-x 022=12(x 0+2)2+2.又-22≤x 0≤22,所以当x 0=-2时,OP →·FP →有最小值2;当x 0=22时,OP →·FP →有最大值8+42,所以OP →·FP →∈[2,8+42].10.已知椭圆G :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63,右焦点为(22,0),斜率为1的直线l与椭圆G 交于A ,B 两点,以AB 为底边作等腰三角形,顶点为P (-3,2).(1)求椭圆G 的方程;(2)求△PAB 的面积.解析(1)由已知得c =22,c a =63,解得a =2 3.则b 2=a 2-c 2=4,所以椭圆G 的方程为x 212+y 24=1.(2)设直线l 的方程为y =x +m ,x +m ,+y 24=1,得4x 2+6mx +3m 2-12=0.①由Δ=(6m )2-4×4×(3m 2-12)>0,得m 2<16.设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0),则x1+x2=-3m2,则x0=x1+x22=-3m4,y0=x0+m=m4.因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率k=2-m4-3+3m4=-1,解得m=2,满足Δ>0.此时方程①为4x2+12x=0,解得x1=-3,x2=0.所以y1=-1,y2=2.所以|AB|=32.此时,点P(-3,2)到直线AB:x-y+2=0的距离d=|-3-2+2|2=322.所以△PAB的面积S=12|AB|·d=92.11.过点M(-2,0)的直线m与椭圆x22+y2=1交于P1,P2,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为()A.2B.-2C.12D.-12答案D解析设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y)y12=1,①y22=1.①-②,得(x1+x2)(x1-x2)2+(y1+y2)(y1-y2)=0.即2x·(x1-x2)2+2y(y1-y2)=0.∴k1=y1-y2x1-x2=-x2y.又k2=yx,∴k1·k2=-12.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左顶点为A,下顶点为B,离心率为32,且△BF1F2的面积为3.则椭圆C的标准方程为________,若点P在椭圆C上,且以AP为直径的圆过B点,则直线AP的斜率为________.答案x24+y2=1310解析由题意可知ca=32,S△BF1F2=bc=3.又a2-b2=c2,所以b=1,c=3,a=2,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.以AP为直径的圆过B点,即AB⊥BP.因为k AB=-ba=-12,所以k BP=2.所以直线BP的方程为y=2x-1.2x-1,y2=1,=0,=-1=1617,=1517,所以点PAP的斜率k AP=1517-01617+2=310.13.已知中心为坐标原点O,焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4,且椭圆M过点(1,3).(1)求椭圆M的方程;(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆M交于A,B两点,且AC→=2CB→,求直线l的方程.解析(1)设椭圆M的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).∵2c=4,∴c=2,∴a2-b2=c2=4.又椭圆M过点(1,3),∴3a2+1b2=1.b2=4,+1b2=1,解得a2=6,b2=2.∴椭圆M的方程为y26+x22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=0.设此时点A,B的坐标为(0,-6)和(0,6),不满足AC→=2CB→,∴直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y=kx+1,kx+1,+x22=1,消去y并整理,得(3+k2)x2+2kx-5=0.则Δ=4k2+20(3+k2)=24k2+60>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2k3+k2,x1x2=-53+k2.又∵AC→=2CB→,∴(-x 1,1-y 1)=2(x 2,y 2-1),∴x 1=-2x 2,∴x 1+x 2=-x 2=-2k3+k 2,x 1x 2=-2x 22=-53+k 2,∴8k 2(3+k 2)2=53+k 2,即8k 23+k 2=5,解得k 2=5,∴k =± 5.故直线l 的方程为y =±5x +1.1.设a >0,则椭圆x 2+2y 2=2a 的离心率是()A.12B.22C.13D .与a 的取值有关答案B2.已知点P 是椭圆x 216+y 24=1上一点,其左、右焦点分别为F 1,F 2,若△F 1PF 2外接圆的半径为4,则△F 1PF 2的面积是()A.433B .43C .4 D.433或43答案D解析由正弦定理得|F 1F 2|sin ∠F 1PF 2=2×4=8,∴sin ∠F 1PF 2=32.∴cos ∠F 1PF 2=±12,符合题意.由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2=|F 1F 2|2.又|PF 1|+|PF 2|=8,∴|PF 1||PF 2|=16或163.∴S △F 1PF 2=12PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=433或4 3.3.已知A ,B 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)长轴的两个端点,M ,N 是椭圆上关于x 轴对称的两点,直线AM ,BN 的斜率分别为k 1,k 2(k 1k 2≠0).若椭圆的离心率为32,则|k 1|+|k 2|的最小值为()A .1 B.2C.32D.3答案A 解析不妨令A (-a ,0),B (a ,0).设M (x ,y ),N (x ,-y )(-a <x <a ),则k 1=y x +a ,k 2=y a -x.又椭圆的离心率为32,所以b a =1-e 2=12,所以|k 1|+|k 2|=|y |x +a +|y |a -x≥2y 2a 2-x 2=2b a =1(当且仅当|y |x +a =|y |a -x,即x =0时等号成立).故选A.4.已知直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 29=1相交于A ,B 两点,若椭圆上存在点P 使△ABP 的面积等于12,则这样的点P 共有()A .1个B .2个C .3个D .4个答案B解析可求出|AB |=5,设P (4cos θ,3sin θ),θ∈[0,2π),则P 点到AB 的距离为d =|12(cos θ+sin θ)-12|5=245.∴θ=π或3π2,∴这样的点P 有2个.5.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上的最短距离为3,则这个椭圆的方程为________.答案x 212+y 29=1或y 212+x 29=1解析依题意可得a =2c ,a -c =3,∴c = 3.∴a =23,b 2=9.故椭圆的方程为x 212+y 29=1或y 212+x 29=1.6.2013年我国载人航天飞船神舟十号飞行获得圆满成功.已知神舟十号飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200km ,350km.设地球半径为R km ,则此时飞船轨道的离心率为________(结果用含R 的式子表示).答案75275+R解析由题意得a -c =200+R ,a +c =350+R ,求得a =275+R ,c =75.所以离心率e =c a =75275+R.7.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点F (c ,0)关于直线l :y =b cx 的对称点Q 在椭圆上,则椭圆的离心率是________.答案22解析设椭圆的左焦点为F 1,O 为坐标原点,连接OQ ,QF 1,QF ,由F 关于直线l :y =b c x 的对称点Q 在椭圆上,得|OQ |=|OF |.又|OF 1|=|OF |,所以F 1Q ⊥QF .所以F 1Q ∥l .不妨设|QF 1|=ck (k >0),则|QF |=bk ,|F 1F |=ak ,因此2c =ak .又2a =ck +bk ,由以上二式可得2c a =k =2a b +c,即c a =a b +c ,即a 2=c 2+bc ,所以b =c ,e =22.8.设椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ,B 两点,F 1B 与y 轴相交于点D ,若AD ⊥F 1B ,则椭圆C 的离心率等于________.答案33解析利用直线与直线、直线与椭圆的位置关系求交点坐标,再利用两直线垂直时斜率的关系列式以确定离心率.直线AB :x =c ,代入x 2a 2+y 2b 2=1,得y =±b 2a.不妨令∴kBF 1=-b 2a -0c -(-c )=-b 2a 2c=-b 22ac .∴直线BF 1:y -0=-b 22ac(x +c ).令x =0,则y =-b 22a.∴k AD =b 2a +b 22a c=3b 22ac .∵AD ⊥BF 1,∴-b 22ac ·3b 22ac=-1.∴3b 4=4a 2c 2,∴3b 2=2ac ,即3(a 2-c 2)=2ac .∴3e 2+2e -3=0.∴e =-2±4-4×3×(-3)23=-2±423.∵e >0,∴e =-2+423=33.9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)4,F 1,F 2是椭圆的两个焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)⊙O (O 为坐标原点)是以F 1F 2为直径的圆,直线l :y =kx +m 与⊙O 相切,并与椭圆C 交于不同的两点A ,B ,若OA →·OB →=-32,求k 的值.解析(1)∵2a =4,∴a =2.∴椭圆C 的方程为x 24+y 2b2=1.∵椭圆C,∴14+94b2=1.∴b 2=3,∴椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设O 到l 的距离为d ,⊙O 的半径为r ,则d =r =1.即|m |1+k2=1,∴m 2=1+k 2.①+y 23=1,kx +m ,得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2-12=0.则Δ=(8km )2-4(3+4k 2)(4m 2-12)=192k 2-48m 2+144=144k 2+96>0.设A ,B 坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∴x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1·x 2=4m 2-123+4k2.∴y 1·y 2=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2.∴x 1x 2+y 1y 2=7m 2-12k 2-123+4k 2.②将①代入②,得x 1x 2+y 1y 2=-5-5k 23+4k 2.∵OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=-32,∴-5-5k 23+4k 2=-32,∴k =±22.10.如图,已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为(3,0)1M 是x 轴上的一点,过M 点的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点(点A 在x 轴的上方).(1)求椭圆C 的方程;(2)若AM →=2MB →,且直线l 与圆O (O 为坐标原点):x 2+y 2=47相切于点N ,求MN 的长.解析(1)2=3,1,解得a 2=4,b 2=1,∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.(2)设M (m ,0),直线l :x =ty +m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).∵直线l 与圆O :x 2+y 2=47相切,∴原点O 到直线l 的距离d =|m |1+t 2=47,即t 2=74m 2-1.由AM →=2MB →,得y 1=-2y 2.y 2=1,ty +m ,得(t 2+4)y 2+2tmy +m 2-4=0,则Δ=16(t 2-m 2+4)=12m 2+48>0.∴y 1+y 2=-2tm t 2+4,y 1y 2=m 2-4t 2+4.∵y 1y 2=-2y 22,y 1+y 2=-2y 2+y 2=-y 2,∴y 1y 2=-2[-(y 1+y 2)]2=-2(y 1+y 2)2,即m 2-4t 2+4=-,化简得(m 2-4)(t 2+4)=-8t 2m 2.m 2-4)(t 2+4)=-8t 2m 2,=74m 2-1,消去t 2,得21m 4-16m 2-16=0,即(3m 2-4)(7m 2+4)=0,解得m 2=43,此时t 2=43,∴±233,连接ON ,在Rt △OMN 中,|MN |=43-47=42121,∴MN 的长为42121.11.已知椭圆C 过点(-1,0),(1,0).(1)求椭圆C 的方程;(2)E ,F 是椭圆C 上的两个动点,如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数,证明直线EF 的斜率为定值,并求出这个定值.解析(1)由题意,得c =1,可设椭圆方程为x 21+b 2+y 2b 2=1(b >0).因为点A 在椭圆上,所以11+b 2+94b 2=1,解得b 2=3或b 2=-34(舍去).所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设直线AE 的方程为y =k (x -1)+32,代入x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+4k (3-2k )x +-12=0.由Δ=36(2k +1)2>0,得k ≠-12.设E (x E ,y E ),F (x F ,y F ).因为点A所以x E y E =kx E +32-k .又直线AF 的斜率与AE 的斜率互为相反数,在上式中以-k 代替k ,可得k ≠12,且x F y F =-kx F +32+k .所以直线EF 的斜率k EF =y F -y E x F -x E =-k (x F +x E )+2k x F -x E=12.即直线EF 的斜率为定值,其值为12.。
椭圆测试题一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1、离心率为32,长轴长为6的椭圆的标准方程是( ) (A )22195x y += (B )22195x y +=或22159x y += (C )2213620x y += (D )2213620x y +=或2212036x y += 2、动点P 到两个定点1F (- 4,0)、2F (4,0)的距离之和为8,则P 点的轨迹为( )A.椭圆B.线段12F FC.直线12F F D .不能确定3、已知椭圆的标准方程22110y x +=,则椭圆的焦点坐标为( )A.(B.(0,C.(0,3)±D.(3,0)±4、已知椭圆22159x y +=上一点P 到椭圆的一焦点的距离为3,则P 到另一焦点的距离是( )A.3B.2C.3D.6 5、如果22212x y a a +=+表示焦点在x 轴上的椭圆,则实数a 的取值范围为( ) A.(2,)-+∞ B.()()2,12,--⋃+∞ C.(,1)(2,)-∞-⋃+∞ D.任意实数R6、关于曲线的对称性的论述正确的是( )A.方程220x xy y ++=的曲线关于X 轴对称 B.方程330x y +=的曲线关于Y 轴对称 C.方程2210x xy y -+=的曲线关于原点对称 D.方程338x y -=的曲线关于原点对称7、方程 22221x y ka kb +=(a >b >0,k >0且k ≠1)与方程22221x y a b+=(a >b >0)表示的椭圆( ). A.有相同的离心率B.有共同的焦点C.有等长的短轴.长轴D.有相同的顶点.8、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2,过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A B 、两点.若3AF FB =,则k =( )(A )1 (B (C (D )29、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( )A.54 B.53 C. 52 D. 51 10、若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP 的最大值为( )A .2B .3C .6D .811、椭圆()222210x y a a b+=>b >的右焦点为F ,其右准线与x 轴的交点为A .在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是( )(A )(0,2] (B )(0,12] (C )1,1) (D )[12,1)12 若直线y x b =+与曲线3y =b 的取值范围是( )A.[1-1+B.[1C.[-1,1+D.[1-二、填空题:(本大题共5小题,共20分.)13 若一个椭圆长轴的长度.短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是14 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆两焦点F 1, F 2的连线的夹角为直角,则Rt △PF 1F 2的面积为 . 15 已知F 是椭圆C 的一个焦点,B 是短轴的一个端点,线段BF 的延长线交C 于点D , 且D F F B 2=,则C 的离心率为 .16 已知椭圆22:12x c y +=的两焦点为12,F F ,点00(,)P x y 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值范围为三、解答题:(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.(10分)已知点M 在椭圆221259x y +=上,M 'P 垂直于椭圆焦点所在的直线,垂足为'P ,并且M 为线段P 'P 的中点,求P 点的轨迹方程.18.(12分)椭圆221(045)45x y m m+=<<的焦点分别是1F 和2F ,已知椭圆的离心率e =O 作直线与椭圆交于A ,B 两点,O 为原点,若2ABF 的面积是20,求:(1)m 的值(2)直线AB 的方程19(12分)设1F ,2F 分别为椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点,过2F 的直线l 与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为(Ⅰ)求椭圆C 的焦距;(Ⅱ)如果222AF F B =,求椭圆C 的方程.20(12分)设椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ,过点F 的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =.(I) 求椭圆C 的离心率; (II) 如果|AB|=154,求椭圆C 的方程.21(12分)在平面直角坐标系xOy 中,点B 与点A (-1,1)关于原点O 对称,P 是动点,且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹方程;(Ⅱ)设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N ,问:是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由。
专题2.1 椭圆单元测试(A 卷提升篇)(浙江专用)参考答案与试题解析 第Ⅰ卷(选择题)一.选择题(共10小题,满分50分,每小题5分)1.(2019·浙江高二期中)椭圆22143x y +=的焦点坐标为( )A .(﹣1,0),(1,0)B .())C .(0,﹣1),(0,1)D .((00-,,【答案】A 【解析】由椭圆方程知焦点在x 轴,1c ==,焦点坐标为(1,0),(1,0)-.故选:A .2.(2019·黑龙江高二期中(文))椭圆2214x y +=的离心率为( )A B .34C .2D .23【答案】A 【解析】椭圆2214x y +=的长半轴长a =2,短半轴长b =1∴椭圆的半焦距c ===∴椭圆的离心率e c a ==故选:A .3.(2019·四川成都外国语学校高二期中(理))已知椭圆222125x y m +=(0m >)的左焦点为()1F 4,0-,则m =( )A .9B .4C .3D .2【答案】C 【解析】根据焦点坐标可知焦点在轴,所以,,,又因为,解得,故选C.4.(2019·福建高二月考)在平面直角坐标系xOy 中,已知动点(,)P x y 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和是10,则点P 的轨迹方程是( )A .221259x y +=B .2212516x y +=C .221259y x +=D .2212516y x +=【答案】A 【解析】由于动点(,)P x y 到两定点12(4,0),(4,0)F F -的距离之和为1210F F >,故P 点的轨迹为椭圆,所以210,5,4a a c ===,所以2229b a c =-=,所以P 点的轨迹方程为221259x y +=.故选:A.5.(2019·益阳市第六中学高二期中)已知椭圆C :22213x y a +=的一个焦点为()1,0,则C 的离心率为( ) A .13B .12C .22D .223【答案】B 【解析】椭圆222:13x y C a +=的一个焦点为(1,0),可得231a -=,解得2a =,所以椭圆的离心率为:12c e a ==. 故选:B.6.(2019·江苏高二期中)椭圆22116x y m+=的焦距为m 的值为( )A .9B .23C .9或23 D.16或16+【答案】C 【解析】椭圆22116x y m=+的焦距为当0<m <16时,焦点在x轴上时,=m =9, 当m >16时,焦点在y轴上时,=m =23. 则m 的值为9或23. 故选:C7.(2019·辽宁高二期中)方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( )A .()1,+∞B .()0,∞+C .()0,1D .()0,2【答案】A 【解析】椭圆的标准方程为2211x y m+=,由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆,则101m<<,解得1m ,因此,实数m 的取值范围是()1,+∞,故选:A. 8.(2019·四川雅安中学高二期中)椭圆2213x y +=的左右焦点分别为1F ,2F ,一条直线经过1F 与椭圆交于A ,B 两点,则2ABF ∆的周长为( ) A.B .6C.D .12【答案】C 【解析】由题意,根据椭圆定义,得到11222+=+==AF AF BF BF a所以2ABF ∆的周长为:2122214++=+++==AF BF A AF BF BF a AF B . 故选:C9.(2019·四川雅安中学高二期中)如果方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围是( ). A .45m << B .92m > C .942m << D .952m << 【答案】D 【解析】由题意方程22154x y m m +=--表示焦点在y 轴上的椭圆,可得:40m ->,50m ->并且45m m ->-, 解得:952m <<. 故选:D .10.【山西大学附属中学2018-2019学年高二12月月考】设点F 1,F 2分别是椭圆2222:1(0)3x y b b C b +=>+的左、右焦点,弦AB 过点F 1,若2ABF ∆的周长为8,则椭圆C 的离心率为( )A.12B.14C.4D.2【答案】D 【解析】∵弦AB 过点1F ,∴2ABF ∆的周长为1212AF AF BF BF 4a 8+++===,解得:b 1(b 0)=>,a 2∴=,b 1=,则c =,则椭圆的离心率为c e a 2==. 故选:D .第Ⅱ卷(非选择题)二.填空题(共7小题,单空每小题4分,两空每小题6分,共36分)11.(2018·浙江台州中学高二期中)椭圆2211612x y +=的焦点坐标为_______,离心率为_______.【答案】(20) 12【解析】由椭圆的标准方程可得4,a b ==∴2c =,2142c e a ===, ∴椭圆的焦点坐标为()2,0±,离心率为12. 12.(2017·浙江高二期中)椭圆22143x y +=的长轴长是______,离心率是______.【答案】4 12【解析】由椭圆22143x y +=可知,椭圆焦点在x 轴上,224,3a b ==.所以,2,a b ==.所以椭圆的长轴长为224⨯=,短轴长为离心率为c e a ==. 13.(2017·上海高二期末)如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6,则点P 到另一个焦点2F 的距离为____ 【答案】14 【解析】根据椭圆的定义122PF PF a +=,又椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6, 2620PF ∴+=,故214PF =,故答案:14.14.(2019·上海市通河中学高二期中)已知方程221410x yk k+=--表示椭圆,则实数k的取值范围为__________【答案】(4,7)(7,10)【解析】根据题意可得方程221410x yk k+=--表示椭圆的方程∴40100410kkk k->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩解得:410k<<且7k≠∴实数k的取值范围是(4,7)(7,10). 故答案为:(4,7)(7,10).15.(2018·上海市通河中学高二期末)椭圆22143x y+=的右焦点到直线y=的距离为_____.【解析】因为椭圆方程为221 43x y+=所以2221c a b=-=所以右焦点的坐标为()1,0y-=由点到直线距离公式可得2 d==故答案为16.(2019·浙江诸暨中学高二月考)已知椭圆中心在原点,一个焦点为()F-,且长轴长是短轴长的2倍.则该椭圆的长轴长为______;其标准方程是________.【答案】8221 164x y+=【解析】已知222224 2,1628ba b caa b ca⎧⎧=⎪==⎪∴=⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎩则该椭圆的长轴长为8;其标准方程是221 164x y+=.故答案为:椭圆的长轴长为8;其标准方程是221 164x y+=.17.(2019·浙江高二期中)已知椭圆22143x y+=的左、右焦点为F1,F2,则椭圆的离心率为_____,过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A,则|F1A|=_____.【答案】1252【解析】椭圆22143x y+=,可得a=2,b=c=1,所以椭圆的离心率为:e12ca==.过F2且垂直于长轴的直线与椭圆交于点A,所以|AF2|232ba==,由椭圆的定义可知:|F1A|=2a﹣|AF2|=435 22 -=.故答案为:12;52.三.解答题(共5小题,满分64分,18--20每小题12分,21,22每小题14分)18.(2017·全国高二课时练习)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率35e=,经过点22A⎛⎫-⎪⎪⎝⎭,求椭圆的标准方程.【答案】221 2516x y+=【解析】设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),∵椭圆经过点53,2 A⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭∴+=1.①,由已知e=,∴=,∴c=a,∴b2=a2-c2=a2-(a)2,即b2=a2.②,把②代入①,得+=1,解得a2=25,∴b2=16,∴椭圆的标准方程为+=1.19.(2018·黑龙江高二期中(文))求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)长轴长是10,离心率是45;(2)在x轴上的一个焦点,与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6.【答案】(1)225x+29y=1或29x+225y=1;(2)218x+29y=1【解析】(1)设椭圆的方程为:22xa+22yb=1(a>b>0)或22ya+22xb=1(a>b>0),由已知得:2a=10,a=5,e=ca=45,故c=4,故b2=a2-c2=25-16=9,故椭圆的方程是:225x+29y=1或29x+225y=1;(2)设椭圆的标准方程为22x a +22y b=1,a >b >0,∵在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为6,如图所示,∴△A 1F A 2为一等腰直角三角形,OF 为斜边A 1A 2的中线(高),且OF =c ,A 1A 2=2b , ∴c =b =3.∴a 2=b 2+c 2=18.故所求椭圆的方程为218x +29y =1. 20.(2018·内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二月考(文))设点是椭圆上一动点,椭圆的长轴长为,离心率为.(1)求椭圆的方程; (2)求点到直线距离的最大值.【答案】(1);(2)【解析】 (1)由已知得,得椭圆(2)设,则当时,.21.(2018·福建龙岩二中高二期中(理))已知椭圆C 的两焦点分别为()()1222,022,0F F -、,长轴长为6.⑴求椭圆C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为1的直线交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的长度.【答案】(1)22191x y +=;(2)63【解析】⑴由()()1222,022,0F F -、,长轴长为6 得:22,3c a ==所以1b =∴椭圆方程为22191x y +=⑵设1122(,),(,)A x y B x y ,由⑴可知椭圆方程为22191x y +=①,∵直线AB 的方程为2y x =+②把②代入①得化简并整理得21036270x x ++= 所以12121827,510x x x x +=-=又222182763(11)(4)5105AB =+-⨯=22.(2018·西藏拉萨中学高二期末(理))椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,右焦点F 的坐标为(2,0),且点F 到短轴的一个端点的距离是.(1)求椭圆C 的方程;(2)过点F 作斜率为k 的直线l ,与椭圆C 交于A 、B 两点,若,求k 的取值范围.【答案】解(I )(II )【解析】 (I )由已知,;,故椭圆C 的方程为………………4分(II )设则A、B坐标是方程组的解.消去,则,………………7分所以k的取值范围是………………12分。
数学周测验(60分) 2012.09.13 姓名:
一、选择题(每小题4分,共20分)
1.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,则△ABC 的周长是( )
A. B.6 C. D.12
2.椭圆2228x y +=的焦点坐标是( )
A. (2,0)±
B. (0,2)±
C. (±
D. (0,±
3.椭圆22
1259
x y +=的焦点为12,F F ,P 为椭圆上的一点,已知120PF PF →→= ,则12F PF ∆的面积为()
A.9
B.12
C.10
D.8
4. 已知椭圆2
2:
12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,3FA FB = ,则||AF =
5.直线y=x+1被椭圆22
142
x y +=所截得的弦的中点坐标是 ( ) A.5233(), B.7433(), C.2133()-, D.131722()-,-
二.填空题(每题4分,共12分)
6.方程(1)0x y +-=所表示的曲线是____ .
7.已知椭圆的方程为2221(0)16x y m m +=>.如果直线y 2
x = 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为_____ .
8.顶点是(0,2),离心率为1/2,对称轴为坐标轴的椭圆的标准方程为 .
三、解答题(9,10题每题8分,11题12分,共28分 )
9.已知B,C 是两个定点,|BC|=8,且△ABC 的周长等于18,求△ABC 顶点A 的轨迹方程.
10.已知椭圆C 的焦点1(0)F -和20)F ,长轴长6,设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点,求线段AB 的中点坐标.
11.设A,B 是椭圆223x y λ+=上的两点,点N(1,3)是线段AB 的中点,线段AB 的垂直平分线与椭圆
交于C,D 两点.
(1)当3λ=时,过点P(0,1)且倾斜角为3π
的直线与椭圆相交于E 、F 两点,求|EF|的长;
(2)确定λ的取值范围,并求直线CD 的方程.。