《柱、锥、台表面积》111

柱、锥、台表面积的求法求关于柱、锥、台体的表面积时，必须分清所求几何体的结构特征，即柱、锥、台体等的哪种几何体，或是由几个柱、锥、台等构成的几何体(组合体)，然后选用相应的面积公式求解.下面举例说明.一﹑求棱体的表面积棱柱的侧面展开图是平行四边形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积可求；棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各个三角形面积之和；棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各个梯形的面积之和.由此可知，求棱体的表面积主要分为两次运算，一次是计算侧面积，一次是计算底面积.例1六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8cm 和18cm ，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm ，求它的表面积.解析：一个侧面如右图，易知a ＝18－82＝5，h ＝132－52＝12. 则S 侧面积＝6×18＋82×12＝936(cm 2)， S 上底＝12×8×(8×sin60︒)×6＝963(cm 2)，S 下底＝12×18×(18×sin60︒)×6＝4863(cm 2)，所以，表面积为936＋963＋4863＝936＋5823(cm 2).点评：本题在作图上比较麻烦，因此在解答时，根据所涉及的六棱台特殊性，可先通过解决一个侧面的面积，从而求侧面积，这是解答本题的一个关键.这种处理方法在求面积中用得较为广泛.二、求圆体的表面积圆柱的侧面展开图是矩形，上、下底面面积相等，因此只要计算出侧面积与一个底面的面积，其表面积就可求：设柱体的底面周长为c ，高为l ，则侧面积为S 侧面积＝cl ，故圆柱表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆锥的侧面展开图为扇形，利用扇形面积公式可求侧面积，故圆锥表面积公式为S 表面积＝S 侧面积＋S 底.圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，所以它们的表面积公式为：S 表面积＝S 侧面积＋S 上底＋S 下底.例2一个立体几何圆台教具的上底半径是4cm ，下底半径为6cm ，母线长为12cm ，求此圆台的表面积.解析：如图，设圆台的侧面展开图的圆心角为∠B 'O B ＝θ，O A ＝x .又设圆台上下底面半径分别是r 、R ，则R ＝6cm ，r ＝4cm ，由相似三角形知识得x x ＋12＝23，解得x ＝24， 则圆心角θ＝2π×424＝π3， 所以S 扇形A 'OA ＝12×2π×4×24＝96π(cm 2)，S 扇形B OB ＝π(x ＋AB)2＝12×2π×6×(24＋12)＝216π(cm 2)， 所以圆台的表面积为216π－96π＝120π(cm 2).点评：（1）本题解答充分体现了立几问题平面化的一种重要思想方法，特别是在解决几何体表面上的相关问题时，作用尤为显著；（2）在解决与台休相关的问题时，一般都要用到三角的相似，建立方程，求得相关量；（3）求圆台的表面积（或侧面积）的一个关键就是确定侧面展开图所对就的圆心角.三﹑求三视图给出的几何体的表面积此类题没有直接给出或描述出所求几何体图形，而是通过给出一个几何体的三视图.因此求此类几何体的表面积时，要认真分析三视图，根据“长对正，宽相等，高平齐”的基本原则，明确三视图中数据对应于原几何体哪个量，一般根据一种或两种视图相结合可得出一个对应于原几何体中的一个量.例3右图所示的是一个三棱柱的三视图，此三棱柱的侧棱垂直底面，且底面为正三角形，求这个正三棱柱的表面积.解析：由三视图知三棱柱的侧棱长为2mm ，由左视图知正三棱柱的底面三角形的高23mm ，设底面边长为a ，则32a ＝23，∴a ＝4， ∴三棱柱的表面积为S ＝S 侧＋2S 底＝3×4×2＋2×12×4×23＝24＋83(mm 2). 点评：由于本题的原几何体是一个侧棱垂直底面，且底面为正三角形，因此在上面的解法中求出了三棱柱的侧棱长和底面边长就顺利作答了.一般地，由正视图和侧视图可以得到原几何体的高或底面的某些边的长，由俯视图可以得到原几何本的底面上的某些线段对应的量.四、求组合体的表面积求组合体的表面积的解答策略：(1)分解组合体：明确组合体的构成，即由几种基本几何体组成；(2)求各面面积：求出各个几何体为组合体表面的各个面的面积；(3)求各面面积和.例4如图，已知Rt △ABC 的斜边AB ＝13cm ，一条直角边AC ＝5cm ，以直线AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．解析：首先应了解这个几何体的形状是上下两个圆锥，共用一个底面，表面积即为两个圆锥的侧面积之和．根据公式S 侧＝πrl 可知，用第二个公式比较好求，但是得求出底面圆的半径，因为AB 垂直于底面圆，在Rt △ABC 中，由OC ·AB ＝BC ·AC 可求出r ，问题就解决了．在Rt △ABC 中，AB ＝13cm ，AC ＝5cm ，∴BC ＝12cm ．∵OC ·AB ＝BC ·AC ，∴r ＝OC ＝B C ·AC AB2＝5×1213＝6013． ∴S 表＝πr (BC ＋AC )＝π×6013×(12＋5)＝102013πcm 2． 点评：本题解答中必须注意组合体表面积为两个圆锥的侧面积之和．而不是两个圆锥的表面积之和，例5 右图中的几何体是一棱长为4厘米的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2厘米，深为1厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（π＝3.14）？解析：因为正方体的棱长为4厘米，而孔深只有1厘米，所以正方体没有被打透。