高中数学人教A版选修2-11.4 全称量词与存在量词.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.4全称量词与存在量词同步检测一、选择题1. 命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x x x ∀∈++≤RC ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R答案：A解析：解答：由特称命题和全称命题的关系可知“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定为2,220x x x ∀∈++>R分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.2. 已知命题:,cos 1p x x ∀∈≤R ，则A ．:,cos 1p x x ⌝∃∈≥RB ．:,cos 1p x x ⌝∀∈≥RC ．:,cos 1p x x ⌝∃∈>RD ．:,cos 1p x x ⌝∀∈>R答案：C解析：解答：命题:,cos 1p x x ∀∈≤R 是全称命题，它的否定须全称改特称，且结论否定，所以:,cos 1p x x ⌝∃∈>R ，故选C ．分析：本题主要考查了特称命题与全称命题，解决问题的关键是根据存在量词，全称量词定义进行分析判断即可.3. 已知命题p ：x R ∀∈，sin 1x ≤，则（ ）A ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x ≥B ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x ≥C ．￢p ：x R ∃∈，sin 1x >D ．￢p ：x R ∀∈，sin 1x >答案：C解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，所以,只需将原命题中的条件全称改特称，并对结论进行否定，故答案为C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的关系进行判断即可.4. 下列命题中为假命题的是（ ）A 、,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠B 、,tan 2014x R x ∃∈=C 、,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠D 、22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈答案：D解析：解答：因为当1x a=时，log 1a x =-，所以，“,log 1(0,1)a x R x a a ∃∈=->≠”为真命题；因为函数tan y x =的值域为实数集R ，所以命题“,tan 2014x R x ∃∈=”为真命题； 因为函数x y a =的值域为()0,+∞，所以命题“,0(0,1)x x R a a a ∀∈>>≠”为真命题； 因为当0x a == 时，220x ax a ++=，所以命民题“22,0()x R x ax a a R ∀∈++>∈”为假命题.故选D.分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据命题进行判断即可.5. 命题“)0(∞+∈∀，x ，12>x ”的否定是（ ） A.)0(0∞+∉∃，x ，02x ≤1 B.)0(0∞+∈∃，x ，02x ≤1 C.)0(∞+∉∀，x ，2x ≤1 D.)0(∞+∈∀，x ，2x ＜ 1 答案：B解析：解答：全称命题的否定为特称命题，“任意的x ”否定为“存在x 0”，同时注意否定要彻底，“2x ＞1”的否定为“2x ≤1”，由此可知选B分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.6. 已知命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤，则¬p 为 （ ）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+>C ．2,240x R x x ∀∉-+≤D ．2000,240x R x x ∃∉-+>答案：B解析：解答：因为命题:p 2,240x R x x ∀∈-+≤是全称命题，所以它的否定将全称命题改为特称命题，然后对结论否定.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定是特称命题进行具体分析判断即可.7. 已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ）A.R x p ∈∀⌝0:，1sin 0≥xB.:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >C.:p x ⌝∃∉R ，sin 1x >D.R x p ∈∃⌝0:，1sin 0>x答案：D解析：解答：全程命题的否定为特称命题.故D 正确.分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据全称命题的否定为特称命题进行具体分析判断即可.8. 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是（ ）A ．R ∉∀x ，x x ≠2B ．R ∈∀x ，x x =2C ．R ∉∃x ，x x ≠2D ．R ∈∃x ，x x =2答案：D解析：解答： 命题“R ∈∀x ，x x ≠2”是全称命题，∴命题“R ∈∀x ，x x ≠2”的否定是R ∈∃x ，x x =2 ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据命题关系进行具体分析即可. 9. 已知命题p: 存在x> 1， 使x 2-1> 0， 那么¬p 是（ ）A ．任意x> 1， 使x 2-1> 0B ．存在x> 1， 使x 2-1≤0C ．任意x> 1，使 x 2-1≤0D ．存在x≤1，使 x 2-1≤0答案：C解析：解答：：存在命题：“,x A p ∃∈”的否定为“,x A p ∀∈⌝”．所以该命题的否定为：任意x> 1，使 x 2-1≤0，选C ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可. 10. 命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是（ ）A ．对任意x R ∈，都有21x <B ．不存在x R ∈，使得21x <C ．存在0x R ∈，使得201x ≥D ．存在0x R ∈，使得201x <答案：D解析：解答：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“对任意x R ∈都有21x ≥”的否定是：存在R x ∈0，使得120<x ．故应选D ．分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是命题关系进行具体分析即可 11. 全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（ ）A ．所有被5整除的整数都不是奇数B ．所有奇数都不能被5整除C ．存在一个被5整除的整数不是奇数D ．存在一个奇数，不能被5整除答案：C解析：解答：全程命题的否定是特称命题，故C 正确.分析：本题主要考查了特称命题，全称命，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的关系进行具体分析即可.12. ．已知命题p ：200,10x R mx ∃∈+≤，命题q ：2,10.x R x mx ∀∈++>若q p ∨为假命题，则实数m 的取值范围为( )A ．22≤≤-mB ．2-≤m 或2≥mC ．2-≤mD ．2≥m答案：D解析：解答：当命题p 为真时0m <;当命题q 为真时240m ∆=-<,解得22m -<<.qp ∨为假命题则,p q 均为假命题,所以022m m m ≥⎧⎨≤-≥⎩或解得2m ≥.故D 正确. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题的真假关系判定即可.13. 已知命题p ：“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q ：“022,2=-++∈∃a ax x R x ”． 若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ）A ．2-≤a 或1=aB ．2-≤a 或21≤≤aC ．1≥aD ．12≤≤-a答案：A解析：解答：若p 为真，则20x a -≥即2a x ≤对[1,2]x ∈恒成立，因为2x 的最小值为1，则a ≤1，若q 为真，即2220x ax a ++-=有实根，则∆=2(2)41(2)0a a -⨯⨯-≥，解得2-≤a 或a ≥1，所以命题“p 且q ”是真命题，则实数a 满足2-≤a 或1=a ，故选A. 分析：本题主要考查了特称命题，全称命题，解决问题的关键是根据特称命题，全称命题定义进行真假判定即可.14. 给出下列三个命题：①x ∀∈R ，02>x ；②0x ∃∈R ，使得200x x ≤成立；③对于集合,M N ，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈.其中真命题的个数是（ ）A.0B.1C.2D.3答案：C解析：解答：因为0x =时，20x =，所以①是假命题；由200x x <得，001,x <<所以②是真命题；由交集的定义，若x M N ∈⋂，则x M ∈且x N ∈，③是真命题，故选C .分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给特称命题，全称命题进行具体分析即可.15. 下列命题正确的个数是（ ）①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限； ②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠或x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”；A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C解析：解答：①已知复数1z i i =-（），z 在复平面内对应的点位于第四象限是错误的，因为1z i =+，为第一象限；②若,x y 是实数，则“22x y ≠”的充要条件是“x y x y ≠≠-或” 是错误的，因为“22x y ≠”的充要条件是“x y ≠且x y ≠-”；③命题P ：“2000,--1>0x R x x ∃∈”的否定⌝P ：“01,2≤--∈∀x x R x ”是正确的，特称命题的否定是全称命题．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据所给命题判定真假即可.二、填空题16. “0x ∀>，1x +>”的否定是 ．答案：0,x 使1x +解析：解答：根据含有量词的否定命题的规则，可写出：0,x 使1x +≤. 分析：本题主要考查了特称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系判定即可. 17. 已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+2x+3＞0，如果命题￢p 是真命题，那么实数a 的取值范围是．答案：a≤1 3解析：解答：根据命题￢p是真命题，等价于命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，解得a的取值范围，从而得出当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围．解析：因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，这时就有4120aa>⎧⎨∆=-<⎩，解得a＞13，因此当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围是a≤13．故答案：a≤1 3分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是根据特称命题与全称命题关系求解对应参数即可.18. 已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为．答案：∀n∈N，2n≤1000解析：解答：由于特称命题的否定是全称命题，因而￢p：∀n∈N，2n≤1000．故答案为：∀n∈N，2n≤1000．分析：本题主要考查了全称命题，解决问题的关键是根据命题p是特称命题，所以特称命题的否定是全称命题．19. 下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x02﹣3x0+6＜0成立．答案：②解析：解答：①含有全称量词“每个”，所以为全称命题．当二次函数的二次项系数小于时，二次函数的图象开口向下，所以①为假命题．②含有全称量词“任意”，所以为全称命题．∵c≤0，∴b+c≤b．∵a≤b+c，∴a≤b．所以②为真命题．③含有特称量词“存在一条”，所以不是为全称命题．所以③不满足条件．④含有特称量词“存在一个”，所以不是为全称命题．所以④不满足条件．故答案为：②．分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是先确定各命题中是否含有全称量词，然后再判断真假．20. 已知命题p ：“∀x ∈[1,2]都有x 2≥a”．命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 02＋2ax 0＋2－a ＝0成立”，若命题“p ∧q”是真命题，则实数a 的取值范围为____________答案：(－∞，－2]∪{1}解析：解答：若p 是真命题，即a≤(x 2)min ，x ∈[1,2]，所以a≤1；若q 是真命题，即x 02＋2ax 0＋2－a ＝0有解，则Δ＝4a 2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.命题“p ∧q”是真命题，则p 是真命题，q 也是真命题，故有a≤－2或a ＝1.分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是特称命题与全称命题的真假进行分析计算即可.三、解答题21. 设命题 2000:,20p x R x ax a ∃∈+-=；命题22:,42 1.q x R ax x a x ∀∈++≥-+.如果命题“p q ∨为真命题，“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．答案：解：当命题p 为真时，Δ＝4a 2＋4a≥0得a≥0或a≤－1，当命题q 为真时，（a ＋2）x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，∴a ＋2＞0且16－4（a ＋2）（a －1）≤0，即a≥2.由题意得，命题p 和命题q 一真一假．当命题p 为真，命题q 为假时，得a≤－1∪0≤a ＜2当命题p 为假，命题q 为真时，得a ∈∅；∴实数a 的取值范围为（－∞，－1]∪[0,2）解析：分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是由题意，命题p 与命题q 一真一假，化简命题p 与命题q 为真时实数a 的取值范围，从而求得．22. 已知命题p ：任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，命题q ：存在0R x ∈，使得200(1)10x a x +-+<．若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，求实数a 的取值范围．答案：解：p 真，任意[1,2]x ∈，有20x a -≥，即2a x ≤在[1,2]x ∈恒成立，[]21,4x ∈ 则a ≤1 ；q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1∵“p 或q ”为真,“p 且q ”为假,∴p, q 中必有一个为真,另一个为假 当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ； 当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3 ∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞3解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是：若“p 或q 为真”，“p 且q 为假”，则 p, q 中必有一个为真,另一个为假．先分别求出p, q 为真时，a 的取值范围：p 真，2min 1a x ≤=（），q 真，则△=（a-1）2-4＞0,即a ＞3或a ＜-1当p 真q 假时，有a 11a 3≤⎧⎨-≤≤⎩得-1≤a ≤1 ，当p 假q 真时，有a 1a 3a 1⎧⎨-⎩＞＞或＜得a ＞3∴实数a 的取值范围为-1≤a ≤1或a ＞323. 判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：（1）p ：对任意的x ∈R ，x 2+x+1=0都成立；答案：解：由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，￢p ：存在一个x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立，即“∃x ∈R ，使x 2+x+1≠0成立”； （2）p ：∃x ∈R ，x 2+2x+5＞0．答案：解：由于“∃x ∈R”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p ：对任意一个x 都有x 2+2x+5≤0，即“∀x ∈R ，x 2+2x+5≤0”．解析： 分析：本题主要考查了特称命题、全称命题，解决问题的关键是利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．24. 命题p:“0],2,1[2≥-∈∀a x x ”，命题q:“022,0200=-++∈∃a ax x R x ”，若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。

人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【考点2存在量词命题的否定】【例2.1】命题“∃0∈s 02+30−2=0”的否定为（）A．∀∈s 2+3−2=0B．∀∈s 2+3−2≠0C．∃∉s 12+31−2=0D．∃1∈s 12+31−2≠0【例2.2】已知命题：∃∈N,2−2是素数，则¬为（）A．∀∉N,2−2不是素数B．∃∈N,2−2不是素数C．∃∉N,2−2不是素数D．∀∈N,2−2不是素数【变式2.1】命题“∃>0，2++1≥0”的否定是（）A．∀≤0，2++1<0B．∀≤0，2++1≥0C．∀>0，2++1<0D．∃>0，2++1<0【变式2.2】关于命题“∃0∈R，02−0+1<0”的否定，下列说法正确的是（）A．¬：∀∈R,2−+1>0，为假命题B．¬：∀∈R,2−+1>0，为真命题C．¬：∃∈R,2−+1>0，为真命题D．¬：∀∈R,2−+1≥0，为真命题1．命题的否定与原命题的真假一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．2．命题否定的真假判断(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.【考点1命题否定的真假判断】【例1.1】已知命题G∀∈s2−−2>0．(1)写出命题的否定；(2)判断命题的真假，并说明理由．【例1.2】写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)G∀∈R,2++1>0；(2)p：有些三角形的三条边相等；(3)p：菱形的对角线互相垂直；(4)G∃∈N,2−2+1≤0．【变式1.1】写出下列存在量词命题的否定，并判断所得命题的真假：(1)∃∈，2+2+3≤0；(2)至少有一个实数，使3+1=0；(3)∃s∈，2+=3．【变式1.2】对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假：(1)∀∈R，2−2+1≥0；(2)∃∈Q，2=2；(3)∃∈R，2−0；(4)∀≠0，+∈2,+∞；(5)任意三角形都有内切圆；(6)任意两个直角三角形都是相似三角形．【考点2根据命题否定的真假求参数】【例2.1】已知命题G∃∈s−2+2−5>0，若p的否定为假命题，求实数m的取值范围．【例2.2】已知命题G∀1≤≤3，都有≥，命题G∃1≤≤3，使≥，若命题为真命题，命题q 的否定为假命题，求实数m的取值范围．【变式2.1】已知命题：方程2+B+1=0有两个不等的负实根；命题：方程42+4−2+1=0无实根.(1)若命题¬为真，求实数的取值范围；(2)若命题，中有且仅有一个为真一个为假，求实数的取值范围.【变式2.2】已知：∀∈，B2+1>0，：∃∈，2+B+1≤0．（1）写出命题的否定¬；命题的否定¬；（2）若¬和¬至少有一个为真命题，求实数的取值范围．一、单选题1．下列正确命题的个数为（）①∀∈，2+2>0；②∀∈s4≥1；③∃∈s3<1；④∃∈s2=3．A．1B．2C．3D．42．已知命题G∀>0,e+3≤2，则¬为（）A．∃≤0,e+3>2B．∃>0,e+3>2C．∃>0,e+3≤2D．∀>0,e+3>23．下列命题中正确的是（）A．∃∈，≤0B．至少有一个整数，它既不是合数也不是质数C．∃∈{U是无理数}，+5是无理数D．存在∈R，使得2+1<24．下列命题是全称量词命题，且是真命题的是（）A．所有的素数都是奇数B．∀∈，+1≥1C．有一个实数，使2+2+3=0D．有些平行四边形是菱形5．已知“∃0∈，202402−20240−<0”为真命题，则实数a的取值范围为（）A．>−506B．≥−506C．≤−506D．<−5066．下列结论中正确的个数是（）①命题“有些平行四边形是矩形”是存在量词命题；②命题“∀∈R,+1≥1”是全称量词命题；③命题“∃∈R,2−+1=0”的否定为“∀∈R,2−+1=0”；④命题“∀∈Z,∈N”是真命题；A．0B．1C．2D．37．已知命题：∀∈，2−+2>0，则“≤0”是“¬是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．设∈R，用表示不超过的最大整数，则=称为“取整函数”，如：1.6=1，−1.6=−2.现有关于“取整函数”的两个命题：①集合=U2−−1=0,−1<<2是单元素集：②对于任意∈R，+=2成立，则以下说法正确的是（）A．①②都是真命题B．①是真命题②是假命题C．①是假命题②是真命题D．①②都是假命题二、多选题9．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（）A．存在实数，使2≤0B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是180∘10．已知命题G∃∈{b−1≤≤1}，2−5+3<+2，若p是假命题，则实数a的取值范围是（）A．≤0B．≥5C．≥0D．≤5三、填空题11．命题“∃∈−1,1,2+2≤1”的否定是．12．若“∃∈，使得22−B+1<0”是假命题，则实数m的取值范围是．四、解答题13．判断下列命题是不是存在量词命题，如果是，指出其中的存在量词：(1)实数都能写成小数；(2)在实数集内，有些一元二次方程无解；(3)在平面内，过直线外一点，存在另一条直线与其垂直；(4)存在一个自然数n，使代数式2−2+2的值是负数．14．写出下列命题的否定：(1)一切分数都是有理数；(2)正方形都是菱形；(3)∃∈，使2−2=0；(4)∀∈，有2+2+2≤0．15．已知集合=−3≤≤10，=2+1≤≤3−2，且≠∅．(1)若命题p：“∀∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题q：“∃∈，∈”是真命题，求实数m的取值范围．16．已知命题G∀∈，2+2−3>0，命题G∃∈，2−2B++2<0.(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题p，q至少有一个为真命题，求实数m的取值范围.人教A版高一数学必修第一册：全称量词与存在量词答案1．全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号∀全称量词含有全称量词的命题命题形式“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示∃存在量词含有存在量词的命题命题形式“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”,表示整体或全部的含义.常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.【考点1全称量词命题与存在量词命题的理解】【例1.1】下列语句不是全称量词命题的是（）A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高一(一)班绝大多数同学是团员D．每一个实数都有大小【解题思路】由全称命题的定义，全称命题应包含所有，任意的…等表示全部元素都满足的语句，如果含有存在、有一个…等表示非全部元素都满足的语句的命题为特称命题，由此对四个答案进行分析，即可得到答案．【解答过程】A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选：C.【例1.2】已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（）A．命题非p是真命题B．命题p是存在量词命题C．命题p是全称量词命题D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题【解题思路】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．【解答过程】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，因此非p是假命题，A错；命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．故选：C．【变式1.1】已知命题：①任何实数的平方都是非负数；②有些三角形的三个内角都是锐角；③每一个实数都有相反数；④所有数与0相乘，都等于0.其中，其中含存在量词的命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据存在量词的意义逐一判断选择即可.【解答过程】①任何实数的平方都是非负数，含全称量词“任何”，不符；②有些三角形的三个内角都是锐角，含存在量词“有些”，符合；③每一个实数都有相反数，含全称量词“每一个”，不符；④所有数与0相乘，都等于0，含全称量词“所有”，不符；故选：A.【变式1.2】下列命题中，存在量词命题的个数是（）①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④任意x∈R，y∈R，都有2+>0.A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据存在量词命题和全称量词命题的定义作出判断.【解答过程】命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．故选：B.【考点2全称量词命题与存在量词命题的真假判断】【例2.1】下列命题中的假命题是（）A．∃∈s=0B．∀∈s2+1>0C．∀∈s3>0D．∃∈s2−10=1【解题思路】利用全称量词命题与存在量词命题真假性的判断即可得解.【解答过程】对于A，当=0时，=0，为真命题，故A错误；对于B，因为∈，所以2≥0，则2+1≥1>0，为真命题，故B错误；对于C，当=0时，3=0，为假命题，故C正确；对于D，由2−10=1，得=112，为真命题，故D错误.故选：C.【例2.2】下列命题中为真命题的是（）A．1:∃∈，2+1<0B．2:∀∈，+|U>0C．3:∀∈，|U∈D．4:∃∈，2−7+15=0【解题思路】对A：由2+1≥1>0判断命题为假；对B：当=0时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由Δ=72−4×15<0判断命题为假.【解答过程】∀∈，2+1≥1>0，故1是假命题；当=0时，+|U=0，故2是假命题；∀∈，|U∈，故3是真命题；方程2−7+15=0中Δ=72−4×15<0，此方程无解，故4是假命题.故选:：C.【变式2.1】下列三个命题中有几个真命题（）①∃∈R，2−5−6=0；②∀∈，2+2+3<0；③至少有一个实数，使得3+1=0A．0B．1C．2D．3【解题思路】根据已知命题的描述判断真假，即可得答案.【解答过程】①由2−5−6=(+1)(−6)=0，可得=−1或=6，为真命题；②由2+2+3=(+1)2+2>0，为假命题；③当=−1时3+1=0，为真命题.故选：C.【变式2.2】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A．至少有一个∈，使得2<3成立B．菱形的两条对角线长度相等C．∃∈，2=D．对任意，∈，都有2+2⩾2(+−1)【解题思路】由定义选择全称量词命题，再判断真假.【解答过程】AC为存在量词命题，BD为全称量词命题，菱形的两条对角线长度不一定相等，B选项错误，对任意，∈，都有2+2−2(+−1)=2−2+1+2−2+1=(−1)2+(−1)2≥0，即2+2≥2(+−1)，D选项正确.故选：D.【考点3根据命题的真假求参数】【例3.1】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则的取值范围为（）A．−∞,0∪12,+∞B．−∞,0∪12,+∞C．0,12D．0,12【解题思路】根据全称命题为真，结合不等式恒成立分类讨论，即可求得的取值范围.【解答过程】若命题“∀∈R,B2−2B+12>0”是真命题，则当=0时，不等式为12>0对∀∈R恒成立；当≠0时，要使得不等式恒成立，则>0Δ=42−48<0，解得0<<12综上，的取值范围为0,12.故选：D.【例3.2】已知“∃∈，>2−1”为真命题，则实数的取值范围为（）A．>−1B．>1C．<−1D．<1【解题思路】由题意知需要大于2−1的最小值，求出其最小值即可得.【解答过程】由题意得>2−1min，又2−1min=−1，此时=0，故>−1.故选：A.【变式3.1】已知命题p为“∃∈[−2,1]，2+2B−3≥0”．若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A．≥1B．>1C．47<<1D．47≤≤1【解题思路】将问题转化为命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B−3<0”为真命题，令=2+2B−3，利用二次函数的性质求解.【解答过程】解：因为命题p “∃∈[−2,1]，2+2B −3≥0”为假命题，所以命题¬“∀∈[−2,1]，2+2B −3<0”为真命题，令=2+2B −3，其对称轴为=−，当−≤−2，即≥2时，1=1+2−3<0，解得>1，此时≥2；当−≥1，即≤−1时，−2=4−4−3<0，解得>47，此时无解；当−2<−<1，即−1<<2时，1=1+2−3<0−2=4−4−3<0，即>1>47，此时1<<2，综上：实数a 的取值范围是>1，故选：B.【变式3.2】已知命题：任意∈1,2,2−≥0，命题：存在0∈R,02+2B 0+2−=0，若“且”是假命题，则实数的取值范围是（）A．−∞,−2B．−∞,1C．−∞,−2∪1D．−2,1∪1,+∞【解题思路】首先分别求两个命题为真命题时的取值范围，取其补集即可得答案.【解答过程】命题为真时≤2恒成立，∈1,2，即≤2min ，≤1，命题为真时Δ≥0，即42−42−≥0，解得：≤−2或≥1.命题“且”是真命题时，取交集部分，可得≤−2或=1，所以命题“且”是假命题时，可得>−2且≠1，故选：D.1．全称量词命题与存在量词命题的否定(1)全称量词命题p ：∀x ∈M ，p (x )的否定：∃x ∈M ，¬p (x )；全称量词命题的否定是存在量词命题．(2)存在量词命题p ：∃x ∈M ，p (x )的否定：∀x ∈M ，¬p (x )；存在量词命题的否定是全称量词命题．2．对全称量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词(∀)――→改为存在量词(∃)．②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．3．对存在量词命题否定的两个步骤：①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词(∃)――→改为全称量词(∀)．②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．【考点1全称量词命题的否定】【例1.1】命题“∀∈，2≥0”的否定是（）A．∃∈，2≥0B．∃∉，2≤0C．∃∈，2<0D．∃∉，2<0【解题思路】根据命题“∀∈，”的否定是“∃∈，¬”直接得出结果.【解答过程】命题“∀∈，2≥0”的否定是“∃∈，2<0”．故选：C．【例1.2】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是（）A．∃≥0, 2−+1<0B．∀<0,2−+1≥0C．∀≥0,2−+1<0D．∃≥0,2−+1≥0【解题思路】含量词的命题的否定可通过通过改变量词，否定结论得到.【解答过程】命题“∀≥0,2−+1≥0”的否定是“∃≥0, 2−+1<0”，故选：A.【变式1.1】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是（）A．∀∈0,1，3>2B．∀∉0,1，3≥2C．∃0∈0,1，03≥02D．∃0∉0,1，03≥02【解题思路】由命题否定的定义即可得解.【解答过程】命题“∀∈0,1，3<2”的否定是∃0∈0,1，03≥02.故选：C.【变式1.2】命题“∀∈，∃∈∗，>2”的否定形式是（）A．∀∈，∀∈∗，≤2B．∃∈，∃∈∗，<2C．∃∈，∀∈∗，≤2D．∃∈，∀∈∗，<2【解题思路】本题考查全称量词命题与存在量词命题的否定。

1.4全称量词与存在量词一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为( )①平行四边形的对角线互相平分②梯形有两边平行③存在一个菱形，它的四条边不相等A．0 B．1 C．2 D．3[答案] C[解析] ①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是( )①∃x∈R，x≤0 ②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数A．0 B．1 C．2 D．3[答案] D[解析] ①②③都是真命题．3．(2010·湖南文，2)下列命题中的假命题．．．是( )A．∃x∈R，lg x＝0B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x2＞0D．∀x∈R,2x＞0[答案] C[解析] 本题主要考查全称命题和存在性命题真假的判断．对于选项C ，∀x ∈R ，x 2≥0，故C 是假命题．4．下列语句是特称命题的是( )A ．整数n 是2和5的倍数B ．存在整数n ，使n 能被11整除C ．若3x －7＝0，则x ＝73D ．∀x ∈M ，p (x )[答案] B5．命题“存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m ≤0”的否定是( )A ．存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0B ．不存在x ∈Z ，使x 2＋2x ＋m >0C ．对于任意的x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m ≤0D ．对于任意x ∈Z 都有x 2＋2x ＋m >0[答案] D[解析] “不存在x ∈Z 使x 2＋2x ＋m ≤0”等价于对于任意x ∈Z ，都有x 2＋2x ＋m >0.6．命题p ：∀x >1，log 2x >0，则綈p 是( )A ．∀x >1，log 2x ≤0B ．∀x ≤1，log 2x >0C ．∃x >1，log 2x ≤0D ．∃x ≤1，log 2x >0[答案] C[解析] 全称命题的否定是特称命题．7．下列命题中，是真命题且是全称命题的是( )A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0B ．菱形的两条对角线相等C ．∃x ，x 2＝xD ．对数函数在定义域上是单调函数[答案] D[解析] A 中含有全称量词“任意的”，因为a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0；故是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B 是假命题，C 是特称命题，故选D.8．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立．．．．的是( )A．a＋b>2abB．(a－b)＋1a－b≥2C．a2＋b2＋c2>ab＋bc＋caD．|a－b|≤|a－c|＋|c－b|[答案] B[解析] 本题考查有关均值不等式成立的条件问题，对于B项当a－b<0时有－(a－b)＋1－(a－b)≥2，所以(a－b)＋1a－b≤－2.9．已知命题“非空集合M的元素都是集合P的元素”是假命题，那么下列说法：①M的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有P的元素；④M中元素不都是P的元素．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4[答案] B[解析] 结合韦恩图可知②④正确．10．(2009·辽宁文，11)下列4个命题其中的真命题是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4[答案] D[解析] 考查指数函数、对数函数图像和性质．选D.二、填空题11．(2010·安徽文，11)命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是____________．[答案] 对∀x∈R，都有x2＋2x＋5≠0.[解析] 该题考查命题的否定．注意存在性命题的否定是全称命题．12．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________(填“真”或“假”)命题．[答案] ∃x，y∈R，x＋y>1；∀x，y∈R，x＋y≤1；假[解析] 注意练习符号∃、∀、綈、∧、∨等，原命题为真，所以它的否定为假．13．下列命题中真命题为________，假命题为________．①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等④有的实数是无限不循环小数⑤有些三角形不是等腰三角形⑥所有的菱形都是正方形[答案] ①②③④⑤⑥14．命题∀x∈R，x2－x＋3>0的否定是________，命题∃x∈R，x2＋1<0的否定是________．[答案] ∃x∈R，x2－x＋3≤0 ∀x∈R，x2＋1≥0三、解答题15．写出下列命题的否定．(1)所有自然数的平方是正数；(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；(3)对任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；(4)有些质数是奇数．[解析] (1)的否定：有些自然数的平方不是正数．(2)的否定：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．(3)的否定：存在实数x，对所有实数y，有x＋y≤0.(4)的否定：所有的质数都不是奇数．16．判断命题的真假，并写出命题的否定．(1)存在一个三角形，它的内角和大于180°.(2)所有圆都有内接四边形．[答案] (1)假命题所有的三角形，它的内角和都不大于180°.(2)真命题存在一个圆，没有内接四边形．17．写出下列命题的否定：(1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．[解析] (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.(2)的否定：存在m ≥0使x 2＋x －m ＝0无实根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条不相等． 18．若方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，求实数a 的取值范围． [解析] 方程log 2(ax 2－2x ＋2)＝2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解． 即方程ax 2－2x ＋2＝4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解． 即ax 2－2x －2＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解． 方程ax 2－2x －2＝0可化为 a ＝2x ＋2x 2＝2x 2＋2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12令t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋122－12，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12. ∴要使原方程在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2内有解，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，12.。

1．4全称量词与存在量词1．4.1全称量词 1.4.2存在量词整体设计教材分析全称量词与存在量词是《课程标准》新增加的内容，旨在使学生认识这两类在现实生活中广泛使用的量词，会判断含有一个量词的全称命题或特称命题的真假，从而为我们从量的形式和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法．课时分配1课时教学目标知识与技能通过生活和数学中的实例，理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容．过程与方法通过生活和数学中的丰富实例，让学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力．情感、态度与价值观在学习新知的过程中，培养学生的辨析能力以及培养他们的良好的思维品质．重点难点教学重点：理解全称量词与存在量词的意义.教学难点：全称命题和特称命题真假的判定.教学过程引入新课在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：(1)2x＋1是整数；(2) x＞3；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；(4)平行于同一条直线的两条直线互相平行；(5)所有有中国国籍的人都是黄种人；(6)对所有的x∈R, x＞3；(7)对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．提出问题：上述语句是命题吗？假如是命题，你能判断它的真假吗？活动设计：学生先独立思考，形成自己的初步结论，再通过学生之间的讨论形成最后答案．教师可以参与学生的讨论．对于(5)(6)，最好是引导学生将反例用命题的形式写出来，因为这些命题的反例涉及“全称命题”的否定形式．活动成果：(1)(2)不能判断真假，不是命题，(3)～(7)是命题．其中(3)(4)(7)是真命题，(5)(6)是假命题.设计意图：通过学生对上述问题的思考，复习回顾命题的定义，并运用已学知识对命题的真假做出判断．探究新知提出问题1：请同学们思考一下，命题(3)～(7)有哪些共同特征？活动设计：留给学生两分钟的思考讨论时间，学生自由发言．活动成果：(5)～(7)命题中都含有“所有的”“任意”等表示全体的量词，命题(3)中隐含有量词，即任意两个全等的三角形，其对应边相等．命题(4)也含有隐含的量词，即平行于同一条直线的任意两条直线互相平行．设计意图：通过学生对5个命题的对比思考，寻找其共同点，使学生对全称量词有一个初步认识．提出问题2：问题1中的量词的含义是什么？含有这些量词的命题如何用符号语言表述？活动设计：第一个小问题学生可以通过独立思考或小组交流解决，第二个小问题可以在教师的指导下通过阅读课本的相关章节找到问题的解决方法. 最后教师引导学生形成规范的概念．活动成果：命题(3)～(7)都用到“所有的”“任意一个”这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“ ”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．命题(3)～(7)都是全称命题．通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)…表示，变量x的取值范围用M表示. 那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为： x∈M, p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．设计意图：通过提出问题，进一步探究答案，最后师生共同形成规范的全称量词及全称命题的定义，让学生感受从感性到理性的认识过程，体会符号语言准确、严密、简明、抽象的特点．提出问题3：为什么说(5)(6)是假命题？说出你的理由．活动设计：学生自由发言．活动成果：命题(5)是假命题，因为存在一个(个别、部分)有中国国籍，但不是黄种人的人．于是可得命题1：存在一个(个别、部分)有中国国籍的人不是黄种人．命题(6)是假命题，因为存在一个(个别、某些)实数(如x＝2), x≤3，也可以说至少有一个x∈R, x≤3.于是可得命题2：存在一个(个别、某些)实数x(如x＝2)，使x≤3(或至少有一个x∈R, x≤3)．设计意图：通过问题的回答，形成命题1、2，引出存在量词的概念，同时为下一课时《含有一个量词的命题的否定》做准备．提出问题4：观察上面得出的新命题1、2，它们有什么共同特征？它们与全称命题有什么区别？活动设计：学生自由发言．活动成果：这些命题用到了“存在一个”“至少有一个”这样的词语，在逻辑中，表示整体的一部分的词通常叫做存在量词，用符号“ ”表示．含有存在量词的命题叫做特称命题．命题1、命题2都是特称命题．特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可以用符号简记为： x0∈M，p(x0)．读作“存在M中的元素x0, 使p(x0)成立”．全称量词相当于日常语言中“凡”“所有”“一切”“任意一个”等；存在量词相当于日常语言中“存在一个”“有一个”“有些”“至少有一个”“至多有一个”等．设计意图：类比教学可以使学生对全称量词与存在量词的定义有全面而深刻的认识，提升学生通过联想类比的方法去认识发现新知的能力．理解新知提出问题：判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1) 指数函数都是单调函数；(2)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除；(3) x ∈{ |x x 是有理数}，x 2是有理数；(4) x ∈{ |x x ∈Z }，log 2x>0.活动设计：学生独立思考后自由发言．活动结果：全称命题有：(1)(3)；特称命题有：(2)(4)．设计意图：让学生知道，辨析一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．运用新知1判断下列命题中哪些为全称命题？哪些为特称命题？并判断其真假．(1)任何一条直线都有斜率；(2)有一个实数α，使得tanα无意义；(3)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(4)凡圆内接四边形，其内对角互补．思路分析：通过观察分析命题中所含量词是全称量词还是特称量词来判定命题是全称命题还是特称命题，然后在正确理解题意的基础上，根据已学数学知识判断命题的真假．解：(1)为全称命题，且是假命题，因为倾斜角是π2的直线斜率不存在． (2)为特称命题，且是真命题，当α＝π2时，tanα无意义． (3)(4)为全称命题，且都是真命题. 证明略．点评：要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x ，使命题p(x)为假．要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x ，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p(x)为假. 即全称命题与特称命题之间可以相互转化，它们之间并不是对立的关系．2判断下列命题是全称命题还是特称命题：(1)负数的平方是正数；(2)有的实数是无限不循环小数；(3)有些三角形不是等腰三角形；(4)每个二次函数的图象都与x 轴相交．思路分析：根据全称命题与特称命题的定义，逐个进行判断．解：(2)(3)中分别含有存在量词“有的”和“有些”，因此是特称命题； (1)的含义是“任意负数的平方是正数”，因此是全称命题；(4)中含有全称量词“每个”，因此是全称命题．点评：判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看命题中含有的量词是全称量词还是存在量词，当不含量词时，则注意理解命题含义的实质．巩固练习1．下列全称命题中是真命题．．．的为( ) A ．所有奇数都是质数B ． x ∈R ，x 2＋1≥1C ．若x 是无理数， 则x 2也是无理数D ．x ∈R ，x ＋1x≥2 2．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( )A ．x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xy B ．x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyC ．x>0，y>0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．x<0，y<0，都有x 2＋y 2≤2xy答案：1.解：A 是假命题．比如实数1是奇数，但1既不是质数也不是合数．B 是真命题．证明：对 x ∈R ，x 2≥0，∴x 2＋1≥0＋1＝1.C 是假命题．比如x ＝2是无理数，但x 2＝(2)2＝2是有理数．D 是假命题．比如当x ＝0时，该式无意义．因此，选B.2．解：不等式“x 2＋y 2≥2xy ”的含意为 “对于任意的实数x ，y ，恒有x 2＋y 2≥2xy ”．因此应该选A.变练演编1．对 x ∈R ＋，x 2－ax ＋1>0恒成立，则a 的取值范围是________．2．是否存在a ∈R ，使得x 2－ax ＋1>0恒成立？答案：1.解：∵x ∈R ＋，由x 2－ax ＋1>0可得a<x ＋1x ，因为 x ∈R ＋，x ＋1x≥2，∴只需 a<2即可．2．解：二次函数y ＝x 2－ax ＋1的图象开口向上，因此只要函数图象与x 轴没有公共点， 不等式x 2－ax ＋1>0恒成立．由Δ＝a 2－4<0，得－2<a<2，因此只需－2<a<2，不等式x 2－ax ＋1>0恒成立．设计意图：进一步增强学生对符号语言、自然语言、图形语言的互译能力，加深学生对全称命题和特称命题的理解．达标检测1．下列特称命题中真命题的个数是( )① x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③ x ∈{ |x x 是无理数}，x 2是无理数．A ．0B ．1C ．2 D. 32．下列全称命题中假命题．．．的个数是( ) ①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x>3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题为特称命题的是( )A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行线D ．存在一个实数不小于34．“若a ⊥α，则直线a 垂直于平面α内的任意一条直线”是( )A ．全称命题B ．特称命题C ．不是命题D ．假命题答案：1.D 2.C 3.D 4.A课堂小结知识收获：1.全称量词与存在量词的意义．2．全称命题和特称命题真假的判定方法．方法收获：归纳方法、类比方法．思维收获：类比思想、转化与化归的思想．布置作业课本习题1.4 A组第1、2题．补充练习基础练习1．“xy≠0”是指()A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0C．x，y至少有一个为0D．不都是02．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a，b不全为0B．a，b全不为0C. a，b至少有一个为0D．a≠0且b＝0或a＝0且b≠03．“经过两条相交直线有且只有一个平面”是()A．全称命题B．特称命题C．不是命题D．假命题4．全称命题“x2－x＋1>0，x∈R”可记作：________.5．用符号“ ”与“ ”表示下列含有量词的命题：(1)圆x2＋y2＝r2上任意一点到圆心的距离是r；(2)存在一对实数x，y，使得2x＋4y＝3.答案：1.A 2.A 3.A4．x∈R，x2－x＋1>05．(1)P∈{P|P在圆x2＋y2＝r2上}，||OP＝r(O为圆心)；(2)(x，y)∈{(x，y)|x，y是实数}, 2x＋4y＝3.拓展练习6．把下列定理表示的命题写成含有量词的命题：(1)勾股定理：________.(2)正弦定理：________.答案：(1)Rt△ABC，若∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则c2＝a2＋b2；(2)△ABC，若∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则asinA＝bsinB＝csinC.设计说明通过教师引导学生观察分析出命题的特点：含有量词“所有的”“每一个”“一切”“有些”“至少”“存在一个”，有了以上引入“量词”的教学“场”，教师自然归纳：“所有的”“每一个”“一切”“任给”“任意一个”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这些词都是全称量词；“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都表示个别或一部分的含义，这些词都是存在量词．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为特称命题．教师有目的地创设学习情境，整合教材顺序，有效的问题引导，让学生经历观察特征、认识概念、运用概念的过程，对学生完整地、深刻地理解全称量词、存在量词的含义很有帮助．备课资料1．判断下列命题的真假．(1)x 1，x 2∈[a ，b]，x 1<x 2，都有f(x 1)－f(x 2)<0，则f(x)为[a ，b]上的增函数；(2) a ，b ∈R ，a 2＋b 2>2ab ；(3) x ∈R ，使得a x <－1(a>0，a ≠1)；(4)若a 2＋b 2≥1，则直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1至少有一个公共点．思路分析：正确理解全称量词与存在量词的含义，并与已学数学知识相结合，是解决本题的关键．解：(1)真命题．(2)假命题，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab.(3)假命题，x ∈R ，a x >0>－1(a>0，a ≠1)．(4)真命题，直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交或相切．点评：本题考查了学生对符号语言的阅读能力，进一步提高学生判断含一个量词命题的真假的能力．2．函数f(x)对一切实数x ，y 均有f(x ＋y)－f(y)＝(x ＋2y ＋1)x 成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)当f(x)＋2<log a x ，x ∈(0，12)恒成立时，求a 的取值范围． 思路分析：第一问应用了赋值法，第二问需要学生有很强的化归与转化及分类讨论的能力．解：(1)由已知等式f(x ＋y)－f(y)＝(x ＋2y ＋1)x ，令x ＝1，y ＝0得f(1)－f(0)＝2，又因为f(1)＝0，所以f(0)＝－2.(2)由(1)知f(0)＝－2，所以f(x)＋2＝f(x)－f(0)＝f(x ＋0)－f(0)＝(x ＋1)x.因为x ∈(0，12)，所以f(x)＋2∈(0，34)．要使x ∈(0，12)时，f(x)＋2<log a x 恒成立，显然当a>1时不可能，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a<1，log a 12≥34，解得344≤a<1. 点评：本题考查了学生对符号语言的阅读理解能力，作为抽象函数问题有一定难度．(设计者：赵传俊)。

1.4.1-1.4.2全称量词与存在量词【学习目标】三、理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假．四、明确判断全称命题、特称命题真假的判断方法．【自主学习】1．全称量词、全称命题(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“______”表示，含有全称量词的命题叫做． (2)常见的全称量词有：“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“全部的”．(3)全称命题的形式：对M 中任意一个x ，有p (x )成立，可简记为： ． 2．存在量词 特称命题(1)短语“ ”、“ ”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号_______表示，含有存在量词的命题叫做 ． (2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”．(3)特称命题的形式：存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立，可简记为 ．【自主检测】 判断下列语句是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)有一个实数α，tan α无意义；(2)所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径；(3)圆内接四边形，其对角互补；(4)对数函数都是单调函数．【典型例题】例1：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数是奇数；（2）x R ∈,210x +≥.（3）对每一个无理数x,它的平方也是无理数.例2：判断下列特称命题的真假：（1）有些整数只有两个正因数；（2）有一个实数0x ，使200230x x ++= ；（3）存在两个相交平面垂直于同一条直线.【课堂检测】1.下列全称命题中，真命题是（ ）A. 所有的素数是奇数B.()01,2>-∈∀x R x C.1,2x R x x∀∈+≥ D.1(0,),sin 22sin x x x π∀∈+≥ 2.下列特称命题中，假命题是（ ）A.2,230x R x x ∃∈--=B.至少有一个,x Z x ∈能被2和3整除C. 存在两个相交平面垂直于同一直线D.{|x x x ∃∈是无理数},x 2是有理数．。

第一章 1.4第1课时一、选择题1．下列命题中全称命题的个数为()①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不相等．A．0B．1C．2D．3[答案] C[解析]①②是全称命题，③是特称命题．2．下列特称命题中真命题的个数是()①∃x∈R，x≤0；②至少有一个角，它既不是锐角，也不是钝角；③∃x∈{x|x是整数}，x2是整数．A．0 B．1C．2 D．3[答案] D[解析]①②③都是真命题．3．下列命题中，是真命题且是全称命题的是()A．对任意的a，b∈R，都有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．菱形的两条对角线相等C．∃x∈R，x2＝xD．对数函数在定义域上是单调函数[答案] D[解析]A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D.4．下列命题中，真命题是()A．∃x∈R,2x>1 B．∃x∈R，x2－x＋1≤0C．∀x∈R，lg x>0 D．∀x∈N*，(x－2)2>0[答案] A[解析]对于选项B，x2－x＋1>0，错误；对于选项C，当x＝110时，lg110＝－1<0，错误；对于选项D ，当x ＝2时，(x －2)2＝0，错误．故选A.5．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 [答案] A[解析] 显然当m ＝0时，f (x )＝x 2为偶函数，故选A. 6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是( ) A ．存在一个角α，使得tan(90°－α)＝tan α B ．存在实数x 0，使得sin x 0＝π2C ．对一切α，sin(180°－α)＝sin αD ．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β [答案] A[解析] ∵α＝45°时，tan(90°－45°)＝tan45°，∴A 为真命题，且为特称命题，故选A.B 中对∀x ∈R ，有sin x ≤1<π2；C 、D 都是全称命题．二、填空题7．(2014·高州四中质量检测)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋1，若命题“∃x 0>0，f (x 0)<0”为真，则m 的取值范围是________．[答案] (－∞，－2)[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－m 2>0，m 2－4>0，∴m <－2.8．四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∃x ∈R,4x 2>2x －1＋3x 2.其中真命题的个数为________．[答案] 0[解析] x 2－3x ＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x >2或x <1时，x 2－3x ＋2>0才成立，∴①为假命题．当且仅当x ＝±2时，x 2＝2，∴不存在x ∈Q ，使得x 2＝2，∴②为假命题， 对∀x ∈R ，x 2＋1≠0，∴③为假命题，4x 2－(2x －1＋3x 2)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0， 即当x ＝1时，4x 2＝2x －1＋3x 2成立， ∴④为假命题． ∴①②③④均为假命题．9．在R 上定义运算⊙：x ⊙y ＝x (1－y )．若对任意x ∈R ，不等式(x －a )⊙(x ＋a )<1恒成立，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－12，32)[解析] 由x ⊙y ＝x (1－y )，得(x －a )⊙(x ＋a )＝(x －a )(1－x －a )＝－(x －a )[x －(1－a )]<1， 整理得x 2－x －a 2＋a ＋1>0恒成立，则Δ＝1－4(－a 2＋a ＋1)＝4a 2－4a －3<0，解得－12<a <32.三、解答题10．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)对任意实数α，有sin 2α＋cos 2α＝1； (2)存在一条直线，其斜率不存在；(3)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解； (4)存在实数x 0，使得1x 20－x 0＋1＝2.[解析] (1)是全称命题，用符号表示为“∀α∈R ，sin 2x ＋cos 2α＝1”，是真命题． (2)是特称命题，用符号表示为“∃直线l ，l 的斜率不存在”，是真命题．(3)是全称命题，用符号表示为“∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解”，是假命题． (4)是特称命题，用符号表示为“∃x 0∈R ，1x 20－x 0＋1＝2”，是假命题．一、选择题11．(2014·新课标Ⅰ理，9)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4的解集记为D .有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2， p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 4C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3[答案] C[解析] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1x －2y ≤4表示的平面区域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)， ∵目标函数u ＝x ＋2y 的斜率k ＝－12，－1<－12<4，∴当直线x ＋2y ＝u 过A 时，u 取最小值0. 故选项p 1，p 2正确，所以选C.12．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝c·b ＝1，则对任意的正实数t ，|c ＋t a ＋1tb |的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2[答案] A[解析] ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，a ·c ＝b ·c ＝1，∴c ·(a －b )＝0，由a ·c ＝|a |·|c |·cos45°＝22|c |＝1得|c |＝2，∵U ＝(|c ＋t a ＋1t b |)2＝|c |2＋t 2|a |2＋1t 2|b |2＋2t a ·c ＋2t b ·c ＋2a ·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t ＝(t ＋1t )2＋2(t ＋1t )，令x ＝t ＋1t ，∵t >0，∴x ≥2，∴U ＝x 2＋2x (x ≥2)，∴当x ＝2时，U 取最小值4，∴选A.13．(2013·唐山高二检测)下列命题中，真命题是( ) A ．∀x ∈R ，x 2≥xB ．命题“若x ＝1，则x 2＝1”的逆命题C ．∃x 0∈R ，x 20≥x 0D．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题[答案] C[解析]∵x2－x≥0的解为x≤0或x≥1，∴存在x0∈{x|x≤0或x≥1}，使x20≥x0，故C 为真命题．14．下列命题中的假命题是()A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβB．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβC．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβD．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ[答案] B[解析]cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.二、填空题15．下列特称命题是真命题的序号是________．①有些不相似的三角形面积相等；②存在一实数x0，使x20＋x0＋1<0；③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大；④有一个实数的倒数是它本身．[答案]①③④[解析]①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②中对任意x∈R，x2＋x＋1＝(x＋12＋34>0，所以不存在实数x0，使x20＋x0＋1<0，故②为假2)命题；③中当实数a大于0时，结论成立，为真命题；④中如1的倒数是它本身，为真命题，故选①③④.16．下列语句：①能被7整除的数都是奇数；②|x－1|<2；③存在实数a使方程x2－ax ＋1＝0成立；④等腰梯形对角线相等且不互相平分．其中是全称命题且为真命题的序号是________．[答案]④[解析]①是全称命题，但为假命题，②不是命题，③是特称命题．三、解答题17．判断下列命题的真假：(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，a x>0；(2)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |； (3)∃x 0∈R ，x 20＋1<0.[解析] 命题(1)为全称命题，根据指数函数的性质可知，该命题为真命题． 命题(2)是特称命题，存在T 0＝π，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |，故该命题为真命题． 命题(3)是特称命题，因为对任意的x ∈R ，都有x 2＋1>0，故该命题为假命题． 18．若x ∈[－2,2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解析] 设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2,2]时，[f (x )]min ≥0即可． ①当－a 2<－2，即a >4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a >4，所以a 不存在．②当－2≤－a2≤2，即－4≤a ≤4时，f (x )min ＝f (－a 2)＝12－4a －a24≥0，解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a2>2，即a <－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a <－4，所以－7≤a <4.综上所述，a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。