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补课班高中数学教案模板课时安排：每周2次，每次2小时教学目标：1. 复习和巩固高中数学的基础知识，包括代数、几何、概率统计等方面的内容；2. 提高学生解题能力和思维逻辑能力；3. 帮助学生提高数学成绩，达到或超过年级要求。
教学内容：1. 代数：多项式、函数、方程、不等式等；2. 几何：平面几何、立体几何、向量等；3. 概率统计：概率、统计、排列组合等。
教学准备：1. 教材：准备一套高中数学教材作为参考，例如《高中数学》；2. 试题：准备一些高质量的习题，用于课堂训练和作业；3. 辅导资料：准备一些辅导资料，帮助学生巩固知识点；4. 讲义：准备课堂教案，包括知识点讲解、案例分析等。
教学方法：1. 知识讲解：通过讲解知识点，帮助学生理解基础概念；2. 课堂练习：给学生布置习题，检验他们对知识点的掌握程度；3. 案例分析：通过案例分析，引导学生运用知识解决实际问题；4. 互动讨论：鼓励学生提出问题，引导他们互相讨论和交流。
评估方式：1. 日常练习：每次课堂会布置一些练习题，检验学生对知识点的掌握程度；2. 作业考核：每周布置一些作业，用于检验学生对所学知识的应用能力；3. 期中期末考试：每学期进行一次期中考试和期末考试，评估学生整体学习情况。
教学过程：1. 暖身活动：进行一些简单的暖身活动，引起学生注意和兴趣；2. 知识讲解：讲解当天的知识点，帮助学生理解并掌握；3. 课堂练习：让学生做一些练习题，加深对知识点的理解；4. 案例分析：讲解一些案例，引导学生运用知识解决问题；5. 课堂互动：鼓励学生提问和讨论，促进交流和学习。
教学反馈：1. 及时纠正学生的错误和不足，帮助他们及时调整学习方法；2. 定期和家长沟通，反馈学生的学习情况和表现；3. 鼓励学生参加各类数学竞赛和活动，激发学习兴趣和动力。
高一数学必修一教案（精选10篇）第一篇：数学初识教学目标：•了解数学的起源和发展历程；•掌握数学基本概念和术语；•培养对数学的兴趣和好奇心。
教学内容：•数学的定义和分类；•数学的起源和发展；•数学的基本概念和术语。
教学重点和难点：•掌握数学的基本概念和术语；•了解数学的起源和发展历程。
教学方法：•课堂讲解结合小组讨论；•配合多媒体教学工具展示数学的发展历程；•指导学生进行实际例子分析。
教学过程：1.导入：通过提问引起学生的兴趣，如“你们对数学有什么认识吗？”2.课堂讲解：介绍数学的定义和分类，并与学生进行互动讨论。
3.小组活动：分成小组，让学生在小组内讨论并展示自己对数学起源和发展的了解。
4.多媒体展示：使用多媒体教学工具展示数学的发展历程，以图表和视频的形式呈现。
5.实例分析：指导学生通过实际例子来理解数学的基本概念和术语。
6.总结：通过课堂总结，巩固学生对数学的认识和理解。
第二篇：函数与方程教学目标：•掌握函数和方程的基本概念；•理解函数与方程之间的关系；•学会用函数解决实际问题。
教学内容：•函数的定义和性质；•方程的定义和性质；•函数与方程之间的关系；•使用函数解决实际问题。
教学重点和难点：•函数与方程之间的关系；•使用函数解决实际问题。
教学方法：•课堂讲解结合实例演练；•小组合作学习；•独立解决实际问题。
教学过程：1.导入：回顾上节课的内容，引出本节课的主题。
2.课堂讲解：介绍函数和方程的基本概念，并与学生进行互动讨论。
3.实例演练：通过具体的函数和方程实例，让学生理解函数与方程之间的关系。
4.小组合作学习：分成小组，让学生在小组内解决一系列与函数和方程相关的问题。
5.独立解决实际问题：指导学生通过函数解决实际问题，提高实际应用能力。
6.总结：通过课堂总结，巩固学生对函数和方程的理解。
第三篇：三角函数初步教学目标：•掌握三角函数的基本概念和性质；•学会计算三角函数的值；•熟练应用三角函数解决实际问题。
高中数学补课班教案时间：X月X日
教学内容：函数的概念及性质
一、教学目标：
1. 理解函数的概念，能够区分自变量和因变量；
2. 掌握函数的性质，包括奇函数、偶函数、周期函数等；
3. 能够用数学语言描述函数的特点；
4. 能够解决简单的函数题目。
二、教学重点：
1. 函数的概念和性质；
2. 函数的图像及特点；
3. 奇偶性和周期性的判断。
三、教学内容：
1. 函数的概念介绍及示例分析；
2. 函数的性质：奇函数、偶函数、周期函数等；
3. 函数的图像及特点；
4. 习题讲解及课堂练习。
四、教学方法：
1. 理论讲解结合示例分析；
2. 利用教学资源进行互动教学；
3. 师生互动讨论解题思路；
4. 课堂练习，巩固学习成果。
五、教学过程：
1. 引入：通过举例讲解函数的概念；
2. 理论讲解：介绍函数的性质及特点；
3. 讲解示例：展示几个典型函数的图像及特点；
4. 课堂练习：让学生自行解决几道函数题目；
5. 总结：回顾本节课的重点内容，梳理学习内容。
六、作业安排：
1. 完成课后习题，巩固学习成果；
2. 预习下节课内容。
七、教学反馈：
1. 学生的作业完成情况及理解程度；
2. 学生对函数概念及性质的掌握情况；
3. 对教学过程的评价建议。
八、教学资源：
1. 课本资料；
2. 多媒体教学资源；
3. 习题集。
以上为本次高中数学补课班教案范本，仅供参考。
高中数学必修一教案【优秀4篇】高中数学必修一教案篇一重点难点教学：1.正确理解映射的概念；2.函数相等的两个条件；3.求函数的定义域和值域。
一。
教学过程：1. 使学生熟练掌握函数的概念和映射的定义；2. 使学生能够根据已知条件求出函数的定义域和值域；3. 使学生掌握函数的三种表示方法。
二。
教学内容：1.函数的定义设A、B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么称：fAB为从集合A到集合B 的一个函数(function)，记作：(),yfxxA其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{()|}fxxA叫值域(range)。
显然，值域是集合B的子集。
注意：① “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”;②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2.构成函数的三要素定义域、对应关系和值域。
3.映射的定义设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集合B的一个映射。
4. 区间及写法：设a、b是两个实数，且a(1) 满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a,b];(2) 满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，表示为(a,b);5.函数的三种表示方法①解析法②列表法③图像法高中数学必修一教案篇二一、教学目标1、知识与技能（1）理解对数的概念，了解对数与指数的关系；（2）能够进行指数式与对数式的互化；（3）理解对数的性质，掌握以上知识并培养类比、分析、归纳能力；2、过程与方法3、情感态度与价值观（1）通过本节的学习体验数学的严谨性，培养细心观察、认真分析分析、严谨认真的良好思维习惯和不断探求新知识的精神；（2）感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性认知过程；（3）体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质、二、教学重点、难点教学重点（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化；教学难点（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解；三、教学过程：四、归纳总结：1、对数的概念一般地，如果函数ax=n（a0且a≠1）那么数x叫做以a为底n的对数，记作x=logan，其中a叫做对数的底数，n叫做真数。
教案高中数学必修一
1. 知识与技能：掌握数列的概念、基本性质和常见数列的求和公式等知识，能够运用数列的性质解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生观察问题、提出问题、解决问题的能力，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
3. 情感态度价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学重点与难点：
1. 了解数列的概念和性质。
2. 掌握数列的求和公式。
3. 理解并应用数列的相关知识解决问题。
教学准备：
1. 教材：高中数学必修一教材。
2. 教具：黑板、粉笔、投影仪等。
3. 学生自带：笔、笔记本等。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师出示一个数列，让学生分别讨论这个数列的特点，引导学生了解数列的概念。
二、讲授（30分钟）
1. 数列的概念和基本性质。
2. 等差数列和等比数列的性质及求和公式。
三、练习（15分钟）
教师设计一些相关练习题，让学生在课堂上进行练习，巩固所学知识。
四、讨论与解析（10分钟）
教师与学生共同讨论练习题的解法，并解析其中的难点。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，让学生回顾所学知识，巩固练习。
六、小结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调数列的重要性及应用，并激励学生努力学习数学。
高中数学必修一教案5篇在教学工作者开展教学活动前，时常需要编写教案，借助教案可以让教学工作更科学化。
那么写教案需要注意哪些问题呢?这里给大家分享一些关于高中数学必修1教案，方便大家学习。
高中数学必修1教案篇1一、本节课内容的数学本质本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的方程的近似解。
通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透逐步逼近和无限逼近思想(极限思想)，体会“近似是普遍的、精确则是特殊的”辩证唯物主义观点。
引导学生用联系的观点理解有关内容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的有机结合，使学生体会知识之间的联系。
所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。
二、本节课内容的地位、作用“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性(定理)”，本节课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸;是数学必修3算法教学的一个前奏和准备;同时渗透数形结合思想、近似思想、逼近思想和算法思想等。
三、学生情况分析学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的`关系，具备一定的用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符号提供了知识准备。
但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成一定困难。
四、教学目标定位根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解，从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。
借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为下一步学习算法做知识准备。
高中数学辅导班教案
目标：通过本次课程，学生能够掌握高中数学中的基础概念和解题方法，提升数学学习能力。
教学内容：
1. 数列与数学归纳法
2. 函数与方程
3. 三角函数与向量
教学步骤：
1. 导入环节（5分钟）
引入本节课的主题，并让学生展示对该主题的基本认识。
2. 知识讲解（30分钟）
1）数列与数学归纳法：讲解数列的概念、等差数列和等比数列的性质以及数学归纳法的应用。
2）函数与方程：介绍函数的定义和性质，以及解方程的基本方法。
3）三角函数与向量：解释三角函数的定义和性质，介绍向量的基本概念。
3. 练习训练（20分钟）
分发练习题，让学生在课堂上尝试解答，老师适时进行指导和点评。
4. 小结与作业布置（5分钟）
总结本节课的重点内容，并布置相关作业，鼓励学生在家继续复习和巩固所学知识。
5. 课后辅导（10分钟）
老师为学生答疑解惑，提供额外的辅导和指导，帮助学生进一步理解和掌握知识点。
扩展活动：
1. 定期组织模拟测试，检验学生学习效果。
2. 鼓励学生参加数学竞赛，激发学习兴趣和争强好胜的精神。
教学反思：
根据学生的表现和反馈，调整教学内容和方法，使教学更加贴近学生需求，提高教学效果。
高中数学必修一教案在一年的数学教育工作中，作为高中数学老师的你了解怎样写高中数学必修一教案吗？来写一篇高中数学必修一教案吧，它会对你的数学教学工作起到不菲的帮助。
下面是为大家收集有关于高中数学必修一教案，希望你喜欢。
高中数学必修一教案1教学目标1.了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握有关证明和判断的基本方法.(1)了解并区分增函数，减函数，单调性，单调区间，奇函数，偶函数等概念.(2)能从数和形两个角度认识单调性和奇偶性.(3)能借助图象判断一些函数的单调性，能利用定义证明某些函数的单调性;能用定义判断某些函数的奇偶性，并能利用奇偶性简化一些函数图象的绘制过程.2.通过函数单调性的证明，提高学生在代数方面的推理论证能力;通过函数奇偶性概念的形成过程，培育学生的观察，归纳，抽象的能力，同时渗透数形结合，从特殊到一般的数学思想.3.通过对函数单调性和奇偶性的理论讨论，增学生对数学美的体验，培育乐于求索的精神，形成科学，严谨的讨论态度.教学建议一、知识结构(1)函数单调性的概念。
包括增函数、减函数的定义，单调区间的概念函数的单调性的判定方法，函数单调性与函数图像的关系.(2)函数奇偶性的概念。
包括奇函数、偶函数的定义，函数奇偶性的判定方法，奇函数、偶函数的图像.二、重点难点分析(1)本节教学的重点是函数的单调性，奇偶性概念的形成与认识.教学的难点是领悟函数单调性，奇偶性的本质，掌握单调性的证明.(2)函数的单调性这一性质学生在初中所学函数中曾经了解过，但只是从图象上直观观察图象的上升与下降，而现在要求把它上升到理论的高度，用准确的数学语言去刻画它.这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生来说是比较困难的，因此要在概念的形成上重点下功夫.单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，学生在代数论证推理方面的能力是比较弱的，许多学生甚至还搞不清什么是代数证明，也没有意识到它的重要性，所以单调性的证明自然就是教学中的难点.三、教法建议(1)函数单调性概念引入时，可以先从学生熟悉的一次函数，，二次函数.反比例函数图象出发，回忆图象的增减性，从这点感性认识出发，通过问题逐步向抽象的定义靠拢.如可以设计这样的问题:图象怎么就升上去了?可以从点的坐标的角度，也可以从自变量与函数值的关系的角度来解释，引导学生发现自变量与函数值的的变化规律，再把这种规律用数学语言表示出来.在这个过程中对一些关键的词语(某个区间，任意，都有)的理解与必要性的认识就可以融入其中，将概念的形成与认识结合起来.(2)函数单调性证明的步骤是严格规定的，要让学生根据步骤去做，就必须让他们明确每一步的必要性，每一步的目的，特别是在第三步变形时，让学生明确变换的目标，到什么程度就可以断号，在例题的选择上应有不同的变换目标为选题的标准，以便帮助学生总结规律.函数的奇偶性概念引入时，可设计一个课件，以的图象为例，让自变量互为相反数，观察对应的函数值的变化规律，先从具体数值开始，逐渐让在数轴上动起来，观察任意性，再让学生把看到的用数学表达式写出来.经历了这样的过程，再得到等式时，就比较容易体会它代表的是无数多个等式，是个恒等式.关于定义域关于原点对称的问题，也可借助课件将函数图象进行多次改动，帮助学生发现定义域的对称性，同时还可以借助图象(如)说明定义域关于原点对称只是函数具备奇偶性的必要条件而不是充分条件.高中数学必修一教案2教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培育学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数.教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ当α=β时，sin(α+β)=sin2α=2sinαcosα即：sin2α=2sinαcosα(S2α)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ当α=β时cos(α+β)=cos2α=cos2α-sin2α即：cos2α=cos2α-sin2α(C2α)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ当α=β时，tan2α=2tanα1-tan2αⅠ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α+cos2α=1，公式C2α还可以变形为：cos2α=2cos2α-1或：cos2α=1-2sin2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角;但公式T2α只有当α≠π2 +kπ及α≠π4 +kπ2 (kⅠZ)时才成立，否则不成立(因为当α=π2 +kπ，kⅠZ 时，tanα的值不存在;当α=π4 +kπ2 ，kⅠZ时tan2α的值不存在).当α=π2 +kπ(kⅠZ)时,虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式：即：tan2α=tan2(π2 +kπ)=tan(π+2kπ)=tanπ=0(2)在一般情况下，sin2α≠2sinα例如：sinπ3 =32≠2sinπ6 =1;只有在一些特殊的情况下，才有可能成立[当且仅当α=kπ(kⅠZ)时，sin2α=2sinα=0成立].同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3)倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为α2 的2倍，将α2 作为α4 的2倍，将3α作为3α2 的2倍等等.高中数学必修一教案3一、教材的地位和作用本节课是“空间几何体的三视图和直观图”的第一课时，主要内容是投影和三视图，这部分知识是立体几何的基础之一，一方面它是对上一节空间几何体结构特征的再一次强化，画出空间几何体的三视图并能将三视图还原为直观图,是建立空间概念的基础和训练学生几何直观能力的有效手段。
课外辅导班高一数学教学计划（通用3篇）课外辅导班高一数学教学方案篇1一、制定的依据随着高一新教材的全面实施，本班级数学学科的教学进入了新课程改革实际阶段，高一数学教学方案本方案制定的依据主要是以下三个：(1)二期课改的理念：一个为本、三类课程、三维目标(2)新数学课程标准(3)三本书：课本、教参、练习册(4)本校教研组对本学期学科的要求二、基本状况分析高一(3)全班共52人，男生24人，女生28人。
上学期期末为区统测，平均分为54.1分，合格率为5%，优秀率为0%，低分率为56%。
高一(4)全班共53人，男生26人，_27人。
上学期期末为区统测，平均分为50.3分，合格率为3%，优秀率为0%，低分率为62%。
从上学期期末统测来看，我班的同学在数学学习上可以说既有优势也有不足。
优势是：1、有潜力;2、师生关系比较融洽，相互信任，协作默契。
存在的不足是：1、聪慧有余，而努力不足;2、男生聪慧，上课乐观，但不够勤奋、踏实;女生仔细，但上课效率不高，学得不够敏捷。
3、从期末统测来看，差生的比重大;4、个别同学懒散成性，学习态度、学习习惯极差;5、平常学习不够专心，自觉，用心思索、钻研的时间太少;6、一些同学学习成果起伏大，不稳定;7、一些好同学满意现状，傲慢自满，思想放松，导致成果退步;8、学习爱好，动力，上进心不足。
三、本学期力争达到的目标1、完成三类课程的教学任务。
基础性课程要扎扎实实，夯实基础;拓展性课程要适当延长和补充，进一步提高同学的力量和水平;讨论性课程要重过程，不重结果，培育同学自主学习，探究讨论的习惯与品质。
2、完成新数学课程标准规定的教学目标。
3、进一步规范同学的学习习惯(包括预习、上课、作业、复习等)。
4、转化学困生，提高成果。
有些同学成果总是上不去，以为不是块读数学的料，久而久之，产生放弃数学，厌烦数学的心理。
由此，我在学习中，要多方面激发其学习爱好，急躁指导，不断激励。
让其感受到胜利的喜悦，增加自信念，让其喜爱数学，找到学习数学的乐趣。
高中数学必修一教案全套优秀6篇高一上册数学教案篇一一、教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。
从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定；且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式；掌握利用方程组的方法来求直线的交点；具有用坐标法研究点与圆的位置关系的基础；具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、教学目标(一)知识与技能目标能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系；可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标激发求知欲和学习兴趣，锻炼积极探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、教学重难点(一)重点用解析法研究直线与圆的位置关系。
(二)难点体会用解析法解决问题的数学思想。
五、教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持。
在教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
高中数学必修1教案篇二一、教材分析本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》(人教A版)《1.2.1函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。
第一章集合与函数概念1．1.1集合的含义与表示第一课时集合的含义一、集合的概念1、元素：一般地，我们把统称为元素；通常用表示2、集合：把一些元素组成的叫做集合(简称为集)；通常用表示。
3、认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.二、元素的特性及集合相等1．集合相等：只要构成两个集合的元素是，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性：集合元素的特性：、、无序性．3、对集合中元素特性的理解(1)确定性：是指作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如1,2,3与3,2,1构成的集合是同一个集合．三、元素与集合的关系及常用数集的记法1．元素与集合的关系(1)如果a是集合A的元素，就说a 集合A，记作.(2)如果a不是集合A中的元素，就说a 集合A，记作.2．常用的数集及其记法3、对∈和∉的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果．(2)∈和∉具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．2．常用数集关系网实数集R ⎩⎪⎨⎪⎧有理数集Q ⎩⎪⎨⎪⎧整数集Z ⎩⎨⎧ ⎭⎪⎬⎪⎫正整数集N *{0}自然数集N 负整数集分数集无理数集题型一、集合的基本概念例1、(1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点a 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合；②由1，32，64，21-，12组成的集合有五个元素；③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合． 变式1、下列说法正确的是 ( ) A ．小明身高1.78 m ，则他应该是高个子的总体这一集合中的一个元素 B ．所有大于0小于10的实数可以组成一个集合，该集合有9个元素 C ．平面上到定直线的距离等于定长的所有点的集合是一条直线 D ．任意改变一个集合中元素的顺序，所得集合仍和原来的集合相等 题型二、元素与集合的关系 例2、(1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A ．0∈AB ．a ∉AC ．a ∈AD ．a ＝A(2)下列所给关系正确的个数是 ( ) ①π∈R ；② 3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N * A ．1B ．2C ．3D ．4变式二：设不等式3－2x<0的解集为M ，下列正确的是( ) A ．0∈M,2∈M B ．0∉M,2∈M C ．0∈M,2∉M D ．0∉M,2∉M题型三、集合中元素的特性及应用例3、已知集合A 中含有两个元素a 和2a ，若1∈A ，求实数a 的值．变式3、设A 表示由a 2＋2a －3,2,3构成的集合，B 表示由2，|a ＋3|构成的集合，已知5∈A ，且5∉B ，求a 的值．例4、若集合A 中有三个元素，x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x ＋x 2，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．例5、若集合A 中含有三个元素a －3,2a －1，a 2－4，且－3∈A ，则实数a 的值为________．随堂即时演练1．下列说法正确的是 ( ) A ．某班中年龄较小的同学能够形成一个集合 B ．由1,2,3和 9，1，4组成的集合不相等 C ．不超过20的非负数组成一个集合D ．方程(x －1)(x ＋1)2＝0的所有解构成的集合中有3个元素2．若以集合A 的四个元素a 、b 、c 、d 为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形3．下列说法中①集合N 与集合N ＋是同一个集合 ②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素 ③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素 ④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素，其中正确的有________． 4．设由2,4,6构成的集合为A ，若实数a ∈A 时，6－a ∈A ，则a ＝________.5．已知集合A 中含有两个元素x ，y ，集合B 中含有两个元素0，2x ，若A ＝B ，求实数x ，y 的值． 课后作业 一、选择题1．下列判断正确的个数为( )(1)所有的等腰三角形构成一个集合． (2)倒数等于它自身的实数构成一个集合． (3)质数的全体构成一个集合．(4)由2,3,4,3,6,2构成含有6个元素的集合． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．若a ∈R ，但a ∉Q ，则a 可以是( )A ．3.14B ．－5 C.37D.73．下列各组中集合P 与Q ，表示同一个集合的是( )A ．P 是由元素1，3，π构成的集合，Q 是由元素π，1，|－3|构成的集合B ．P 是由π构成的集合，Q 是由3.141 59构成的集合C ．P 是由2,3构成的集合，Q 是由有序数对(2,3)构成的集合D ．P 是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q 是方程x 2＝1的解集 4．下列四个说法中正确的个数是( )①集合N 中的最小数为1； ②若a ∈N ，则－a ∉N ；③若a ∈N ，b ∈N ，则a ＋b 的最小值为2； ④所有小的正数组成一个集合； ⑤π∈Q ； ⑥0∉N ； ⑦－3∈Z ； ⑧5∉R.A ．0B ．1C ．2D ．35．由实数－a ，a ，|a|，a 2所组成的集合最多含有________个元素．( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题6．方程x 2－2x －3＝0的解集与集合A 相等，若集合A 中的元素是a ，b ，则a ＋b ＝________. 7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b________A ，ab________A ．(填∈或∉)．8．若集合A 是不等式x －a>0的解集，且2∉A ，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题9．设集合A 中含有三个元素3，x ，x 2－2x.(1)求实数x 应满足的条件；(2)若－2∈A ，求实数x.10．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a 1－a ∈M(a≠±1且a≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？第二课时 集合的表示一、集合的表示方法1、列举法：把集合的元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2、使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a 1，a 2，…，a n }； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示. 3、描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的 及 ，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的 ． （3）描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法． （4）描述法的一般形式它的一般形式为{x ∈A|p(x)}，其中的x 表示集合中的代表元素，A 指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说集合元素x 的取值范围A 需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A 是明确的，则x ∈A 可以省略，只写元素x. 题型一、用列举法表示集合 例1若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．变式1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a ∈A ，有|a|∈B ，且B 中只有4个元素，求集合B.题型二、用描述法表示集合例2、(1)用符号“∈”或“∉”填空：①A ＝{x|x 2－x ＝0}，则1________A ，－1________A ； ②(1,2)________{(x ，y)|y ＝x ＋1}． (2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合； ③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合变式2、下列三个集合：①A ＝{x|y ＝x 2＋1}；②B ＝{y|y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y)|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义分别是什么？题型三、集合表示的应用 例3、(1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )A ．{x|x ＝2n ±1，n ∈N}B ．{x|x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N}C ．{x|x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N}D ．{x|x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N} (2)设集合B ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+∈N x Nx 26.①试判断元素1,2与集合B 的关系；②用列举法表示集合B.变式3、定义集合A ，B 的一种运算：A*B ＝{x|x ＝x 1＋x 2，其中x 1∈A ，x 2∈B}，若A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B.例4、集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围．（2）若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．（3）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围(4)是否存在实数a ，使A ＝{1}，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 课堂练习1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是 ( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y|y ＝2} B ．{x ＝2} C ．{2}D ．{x|x2－4x ＋4＝0}3．给出下列说法：①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y)|xy>0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y)|y ＝1－x}与{x|y ＝1－x}是相等的． 其中正确的是________(填写正确说法的序号)．4．若A ＝{－2,2,3,4}，B ＝{x|x ＝t2，t ∈A}，用列举法表示集合B 为________． 5．用适当的方法表示下列集合： (1)一年中有31天的月份的全体； (2)大于－3.5小于12.8的整数的全体； (3)梯形的全体构成的集合； (4)所有能被3整除的数的集合； (5)方程(x －1)(x －2)＝0的解集； (6)不等式2x －1>5的解集．课后作业 一、选择题1．下列各组中的两个集合M 和N ，表示同一集合的是( )A ．M ＝{π}，N ＝{3.141 59}B ．M ＝{2,3}，N ＝{(2,3)}C ．M ＝{x|－1<x ≤1，x ∈N}，N ＝{1}D ．M ＝{1，3，π}，N ＝{π，1，|－3|}2．已知x ，y ，z 为非零实数，代数式x |x|＋y |y|＋z |z|＋|xyz|xyz 的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是( )A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M3．集合{x ∈N *|x －3<2}的另一种表示法是( )A ．{0,1,2,3,4}B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}4．已知集合A ＝{x|x ＝2m －1，m ∈Z}，B ＝{x|x ＝2n ，n ∈Z}，且x 1、x 2∈A ，x 3∈B ，则下列判断不正确的是( )A ．x 1·x 2∈AB ．x 2·x 3∈BC ．x 1＋x 2∈BD ．x 1＋x 2＋x 3∈A5．设P ＝{1,2,3,4}，Q ＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q ＝{(a ，b)|a ∈P ，b ∈Q ，a≠b}，则P*Q 中元素的个数为( )A ．4B ．5C ．19D ．20二、填空题6．设集合A ＝{1，－2，a 2－1}，B ＝{1，a 2－3a,0}，若A ，B 相等，则实数a ＝________. 7．已知集合A ＝{x|2x ＋a>0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．8．已知－5∈{x|x 2－ax －5＝0}，则集合{x|x 2－4x －a ＝0}中所有元素之和为________． 三、解答题9．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，求x.10．(1)已知集合M ＝{x ∈N|61＋x ∈Z}，求M ；(2)已知集合C ＝{61＋x∈Z|x ∈N}，求C.1．1.2集合间的基本关系一、子集的概念1、定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有关系，称集合A为集合B的子集2、记法与读法：记作(或)，读作“A含于B”(或“B包含A”)3、图示：4、结论：(1)任何一个集合是它本身的子集，即A A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A C5、对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1},0∈{－1,0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A.此时记作A⃘B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N.而不能写成{0}∈N，“∈”只能用于元素与集合之间．如0∈N，而不能写成0⊆N.二、集合相等1、定义：如果集合A是集合B的(A⊆B)，且集合B是集合A的(B⊆A)，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作 .2、对两集合相等的认识(1)若A⊆B，又B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.三、真子集1、定义：如果集合A⊆B，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集2、记法：记作A B(或B A)3、图示：4、结论：(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B5、对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.四、空集1、定义：我们把的集合，叫做空集2、记法：∅3、规定：空集是任何集合的，即∅⊆A4、特性：(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅ A5、∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素的集合，∅{0}六、公式法求有限集合的子集个数1含n个元素的集合有2n个子集．2含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．3含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．4含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．5若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个题型一、集合间关系的判断例1(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0} A．1B．2 C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．变式1、能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是题型二、有限集合子集的确定例2、(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是()A．6 B．7 C．8 D．9(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．变式2、非空集合S⊆{1,2,3,4,5}且满足“若a∈S，则6－a∈S”，则这样的集合S共有________个．三、集合间关系的应用例3、已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，（1）若A⊆B，求实数m的取值范围．（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．（3）若将“A⊆B”改为“A B”，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围．课堂练习1．给出下列四个判断：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中，正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆C C．A B⊆C D．A＝B⊆C3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.4．集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数为________．5．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．课后作业一、选择题1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是( ) A．A⊆B B．A⊇B C．A B D．A B2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为( ) A．P＝{－3,0,1}B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z}D．S＝{x||x|≤3，x∈N}3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是( ) A．1 B．－1 B．－1 C．1或－1 D．0,1或－14．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为( ) A．6 B．5 C．4 D．35．已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么( ) A．P M B．M P C．M＝P D．M⃘P二、填空题6．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．7．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．8．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．三、解答题9．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.10．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1<x<2m＋1}．(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；(2)若A⊇B，求m的取值范围．1．1.3 集合的基本运算第一课时集合的并集、交集一、并集1．并集的概念：一般地，由所有的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作(读作“A并B”)2、符号语言：A∪B＝{x| }3、图形语言：4、并集的性质(1)A∪B＝，即两个集合的并集满足交换律．(2)A∪A＝，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身．(3)A∪∅＝∅∪A＝，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身．(4)A (A∪B)，B (A∪B)，即任何集合都是该集合与另一个集合并集的子集．(5)若A⊆B，则A∪B＝，反之也成立，即任何集合同它的子集的并集，等于这个集合本身．5、理解并集应关注三点(1)A∪B仍是一个集合，由所有属于A或属于B的元素组成．(2)“或”的数学内涵的形象图示如下：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在A∪B中仅出现一次.二、交集1．交集的概念：一般地，由属于的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作(读作“A交B”)2、符号语言：A∩B＝{x| }3、图形语言：4、交集的性质(1)A∩B＝，即两个集合的交集满足交换律．(2)A∩A＝，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身．(3)A∩∅＝∅∩A＝，即任何集合与空集的交集等于空集．(4)A∩B A，A∩B B，即两个集合的交集是其中任一集合的子集．(5)若A⊆B，则A∩B＝，反之也成立，即若A是B的子集，则A，B的公共部分是A.5、理解交集的概念应关注四点(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素．(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出．(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝∅.(4)定义中“x∈A，且x∈B”与“x∈(A∩B)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为A∩B.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于A∩B.题型一、并集的运算例1(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于（) A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8} D．{4,5,6,8}(2)若集合A＝{x|x>－1}，B＝{x|－2<x<2}，则A∪B等于()A．{x|x>－2} B．{x|x>－1} C．{x|－2<x<－1} D．{x|－1<x<2}变式1、若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有() A．1个B．2个C．3个D．4个题型二、交集的运算例2(1)若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B等于()A．{1,2} B．{0,1} C．{0,3} D．{3}(2)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2} B．{x|1≤x≤2} C．{x|0≤x≤4} D．{x|1≤x≤4}变式2、已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．题型三、交集、并集的性质及应用例3、已知集合A＝{x|－3<x≤4}，集合B＝{x|k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．例4、(1)已知M＝{2，a2－3a＋5,5}，N＝{1，a2－6a＋10,3}，M∩N＝{2,3}，则a的值是() A．1或2B．2或4 C．2 D．1(2)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，则a的取值范围为________．（3）设集合M＝{x|－2<x<5}，N＝{x|2－t<x<2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为________．随堂即时演练1．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}，N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝（)A．{0,1}B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}2．已知S＝{(x，y)|y＝1，x∈R}，T＝{(x，y)|x＝1，y∈R}，则S∩T＝()A．空集B．{1} C．(1,1) D．{(1,1)}3．若集合A ＝{x|－1<x<5}，B ＝{x|x ≤－1，或x ≥4}，则A ∪B ＝________，A ∩B ＝________.4．已知集合A ＝{x|x ≤1}，B ＝{x|x ≥a}，且A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．5．设集合A ＝{2，－1，2x －x ＋1}，B ＝{2y ，－4，x ＋4}，C ＝{－1,7}，且A ∩B ＝C ，求实数x ，y 的值及A ∪B.课后作业一、选择题1．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |－2≤x －1≤2}和N ＝{x |x ＝2k －1，k ∈N *}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A ．2个B ．3个C ．1个D ．无穷多个 2．设S ，T 是两个非空集合，且它们互不包含，那么S ∪(S ∩T )等于( )A ．S ∩TB ．SC ．∅D ．T 3．集合A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．44．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,5}，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B 等于( )A ．{1,2}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{1,2,5}5．设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >－2C ．a >－1D ．－1<a ≤2二、填空题6．若集合A ＝{x |x ≤2}，B ＝{x |x ≥a }，满足A ∩B ＝{2}，则实数a ＝________.7．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．8．满足{1,3}∪A ＝{1,3,5}的所有集合A 的个数是________．三、解答题9．已知S ＝{x |2x 2－px ＋q ＝0}，T ＝{x |6x 2＋(p ＋2)x ＋q ＋5＝0}，且S ∩T ＝{12}，求S ∪T .10．已知A ＝{x |a ＜x ≤a ＋8}，B ＝{x |x <－1，或x >5}．若A ∪B ＝R ，求a 的取值范围．第二课时补集及综合应用一、全集1、定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的，那么就称这个集合为全集．2、符号表示：全集通常记作.3、对全集概念的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集.二、补集1、定义：对于一个集合A，由全集U中的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作——2、符号语言：3、图形语言：4、性质：(1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝，∁U∅＝；(3)∁U(∁UA)＝；(4)A∪(∁UA)＝；A∩(∁UA)＝——5、理解补集应关注三点(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．(2)∁U A包含三层意思：①A⊆U；②∁U A是一个集合，且∁U A⊆U；③∁U A是由U中所有不属于A的元素构成的集合．(3)若x∈U，则x∈A或x∈∁U A，二者必居其一．题型一、补集的运算[例1](1)设全集U＝R，集合A＝{x|2<x≤5}，则∁U A＝________.(2)设U＝{x|－5≤x<－2，或2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，则∁U A ＝________，∁U B＝________.变式1、设全集U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1，|a－5|,9)，∁U A＝{5,7}，则a的值为________．题型二、集合的交、并、补的综合运算[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)，∁U(A∪B)．变式2、已知全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A＝{2,4,5,8}，B＝{1,3,5,8}，求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)，(∁U A)∩(∁U B)，(∁U A)∪(∁U B)．题型三、补集的综合应用[例3]设全集U＝R，M＝{x|3a<x<2a＋5}，P＝{x|－2≤x≤1}，若M ∁U P，求实数a的取值范围．变式3、已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x<－1，或x>0}，若A∩(∁R B)＝∅，求实数a的取值范围．例4、已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．例5、已知集合A＝{x|2m－1<x<3m＋2}，B＝{x|x≤－2，或x≥5}，是否存在实数m，使A∩B≠∅？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．课堂练习1．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则∁U(A∪B)＝()A．{6,8}B．{5,7} C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}2．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－1，或x>4}，那么集合A∩(∁UB)等于()A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤3，或x≥4} C．{x|－2≤x＜－1} D．{x|－1≤x≤3} 3．已知集合A＝{3,4，m}，集合B＝{3,4}，若∁AB＝{5}，则实数m＝________.4．已知全集U＝R，M＝{x|－1<x<1}，∁UN＝{x|0<x<2}，那么集合M∪N＝________. 5．设U＝R，已知集合A＝{x|－5<x<5}，B＝{x|0≤x<7}，求(1)A∩B；(2)A∪B；(3)A∪(∁UB)；(4)B∩(∁UA)；(5)(∁UA)∩(∁UB)．课后作业一、选择题1．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，B＝{2,4,5}，则(∁U A)∩(∁U B)＝( )A．∅B．{4} C．{1,5} D．{2,5}2．设全集U＝R，集合A＝{x|0<x<9}，B＝{x∈Z|－4<x<4}，则集合(∁U A)∩B中的元素的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．63．已知三个集合U，A，B及集合间的关系如图所示，则(∁U B)∩A＝( ) A．{3} B．{0,1,2,4,7,8} C．{1,2} D．{1,2,3}4．图中阴影部分所表示的集合是( )A．B∩(∁U(A∪C)) B．(A∪B)∪(B∪C)C．(A∪C)∩(∁U B) D．(∁U(A∩C))∪B5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题6设全集U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩(∁U B)＝________7．已知集合A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<2}，A∪(∁R B)＝R，则实数a的取值范围是________．8．全集U＝R，A＝{x|x<－3或x≥2}，B＝{x|－1<x<5}，则集合C＝{x|－1<x<2}＝________(用A、B或其补集表示)．三、解答题9．已知集合A＝{x|2≤x<7}，B＝{x|3<x<10}，C＝{x|x<a}．(1)求A∪B，(∁R A)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．10．已知全集U＝{不大于20的素数}，M，N为U的两个子集，且满足M∩(∁U N)＝{3,5}，(∁U M)∩N＝{7,19}，(∁U M)∩(∁U N)＝{2,17}，求M，N.1．2.1函数的概念题型一、函数的判断例1(1)设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形：其中，能表示从集合M 到集合N 的函数关系的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)下列各题的对应关系是否给出了实数集R 上的一个函数？为什么？①f ：把x 对应到3x ＋1； ②g ：把x 对应到|x |＋1； ③h ：把x 对应到1x；④r ：把x 对应到x .变式1、下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [例2] 求下列函数的定义域：(1)y ＝(x ＋1)2x ＋1－1－x ； (2)y ＝5－x |x |－3.变式2、求下列函数的定义域：(1)y ＝2＋3x －2； (2)y ＝3－x ·x －1； (3)y ＝(x －1)0＋2x ＋1.例3、已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R)．(1)求f (2)、g (2)的值；(2)求f [g (2)]的值；(3)求f (x )、g (x )的值域；变式3、求下列函数的值域：(1)y ＝x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}； (2)y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；(3)y ＝2x ＋1x －3； (4)y ＝2x －x －1.例4、下列各组函数：①f (x )＝x 2－x x ，g (x )＝x －1；②f (x )＝x x ，g (x )＝xx ；③f (x )＝x ＋1·1－x ，g (x )＝1－x 2；④f (x )＝(x ＋3)2，g (x )＝x ＋3；⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f (t )＝80t (0≤t ≤5)与一次函数g (x )＝80x (0≤x ≤5)．其中表示相等函数的是________(填上所有正确的序号)． 变式4、与函数y ＝x ＋1相等的函数是 ( ) A ．y ＝x 2－1x －1B ．y ＝t ＋1C ．y ＝x 2＋2x ＋1D ．y ＝(x ＋1)2课堂练习1．下列说法错误的是 ( ) A ．函数值域中的每一个值都有定义域中的一个值与它对应 B ．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集 C ．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了 D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素 2．下列函数中，f (x )与g (x )相等的是 ( )A ．f (x )＝x ，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2C ．f (x )＝x ＋2，g (x )＝x 2－4x －2 D ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 23．用区间表示下列数集： (1){x|x ≥1}＝________； (2){x|2<x ≤4}＝________； (3){x|x>－1且x ≠2}＝________.4．函数y ＝1x －2的定义域是A ，函数y ＝2x ＋6 的值域是B ，则A ∩B ＝________(用区间表示)．5．若f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f [f (2)]．课后作业 一、选择题1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( )A ．x ＝y 2＋1 B ．y ＝2x 2＋1 C ．x －2y ＝6 D ．x ＝y 2．下列各组中的两个函数为相等函数的是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x ＋1x －1B ．f (x )＝(2x －5)2，g (x )＝2x －5 C ．f (x )＝1－x x 2＋1与g (x )＝1＋xx 2＋1D ．f (x )＝x 4x与g (t )＝(t t)23．若函数y ＝f (x )的定义域M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )A ．y ＝xB ．y ＝1xC ．y ＝1xD ．y ＝x 2＋15．设f (x )＝x 2－1x 2＋1，则()⎪⎭⎫⎝⎛212f f ＝( )A ．1B ．－1 C.35 D ．－35二、填空题6．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________． 7．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.8．若函数f (x )＝3x －1mx 2＋x ＋3的定义域为R ，则m 的取值范围为________．三、解答题9．试求下列函数的定义域与值域：(1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1；(3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.10．已知函数f (x )＝x 21＋x 2.(1)求f (2)＋f (12)，f (3)＋f (13)的值；(2)求证：f (x )＋f (1x )是定值； (3)求f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋…＋f (2 012)＋f (12 012)的值．1．2.2函数的表示法第一课时函数的表示法题型一、函数的表示方法例1、(1)某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )(2)已知函数f (x )按下表给出，满足f [f (x )]>f (3)的x 的值为________.x 1 2 3 f (x )231变式1、汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是题型二、函数图象的作法及应用[例2] 作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]； (2)y ＝2x ，x ∈[2，＋∞)； (3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．变式二、作出下列函数图象：(1)y ＝1－x (x ∈Z 且|x |≤2)； (2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．例3、(1)已知函数f (x )是一次函数，若f [f (x )]＝4x ＋8，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x )的解析式．例4、已知f (x )＝2x 2＋1，求f (x ＋1)的解析式．例5、求下列函数的解析式：①已知f (1＋x x )＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； ②已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )．课堂练习1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点…….用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图中的s t 函数图象与故事情节相吻合的是( )2.函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是 ( ) A ．R B ．(－∞，1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，0)∪(0，＋∞) D ．(－1,0)3．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O 、A 、B 的坐标分别为(0,0)、(1,2)、(3,1)，则f[f(3)]的值等于________．4．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)＝6x ＋4，则f (x )＝________. 5．(1)已知函数f(x)＝2x ，求f(x －1)；(2)已知函数f(x －1)＝2x ，求f(x)． 课后作业 一、选择题1．设f (x )＝2x ＋3，g (x )＝f (x －2)，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋72．如图所示的四个容器高度都相同．将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h 和时间t 之间的关系，其中不正确的是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．函数y ＝f (x )(f (x )≠0)的图象与x ＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．0或1D ．1或24．已知x ≠0，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x ＋1xB ．f (x )＝x 2＋2C ．f (x )＝x 2D ．f (x )＝21⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x5．已知函数f (x )满足f (ab )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝p ，f (3)＝q ，那么f (12)＝( )A ．p ＋qB ．2p ＋qC ．p ＋2qD ．p 2＋q 二、填空题6．已知函数f (x )＝x －mx，且此函数图象过点(5,4)，则实数m 的值为________． 7．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R)，则f (2)＝______.8．某航空公司规定，乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________(kg)．三、解答题9.如图所示，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V 以x 为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．10．某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过20件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．第二课时 分段函数与映射题型一、分段函数求值问题[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ， －2<x <2，2x －1， x ≥2.(1)求f (－5)，f (－3)，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-25f f 的值；(2)若f (a )＝3，求实数a 的值．变式1、已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，(n ＝1)，2，(n ＝2)，f (n －2)＋f (n －1)，(n ∈N *，n ≥3).求：f (3)，f (4)，f [f (4)]的值．题型二、分段函数的图象及应用[例2] (1)如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为________，值域为________．(2)已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．①用分段函数的形式表示该函数；②画出该函数的图象；③写出该函数的值域．变式2、已知函数y ＝f (x )的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式．题型三、映射的概念[例3] 判断下列对应是不是从集合A 到集合B 的映射： (1)A ＝N *，B ＝N *，对应关系f ：x →|x －3|；(2)A ＝{平面内的圆}，B ＝{平面内的矩形}，对应关系f ：作圆的内接矩形； (3)A ＝{高一(1)班的男生}，B ＝R ，对应关系f ：每个男生对应自己的身高； (4)A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，对应关系f ：x →y ＝12x .变式3、已知A ＝{1,2,3，…，9}，B ＝R ，从集合A 到集合B 的映射f ：x →x2x ＋1.(1)与A 中元素1相对应的B 中的元素是什么？ (2)与B 中元素49相对应的A 中的元素是什么？例4、(12分)如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为22cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．变式4、某汽车以52 km /h 的速度从A 地行驶到260 km 远处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．。
