2021版新高考数学(山东专用)一轮学案：第九章第七讲离散型随机变量及其分布列

第九章统计、统计案例第一节随机抽样课标要求考情分析1.理解随机抽样的必要性和重要性．2．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本．3．了解分层抽样方法．1.主要考查学生在应用问题中构造抽样模型、识别模型、收集数据等能力方法，是统计学中最基础的知识．2．高考试题中主要以选择题或填空题的形式出现，题目多为中低档题，重在考查抽样方法的应用.知识点一简单随机抽样1．定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．2．最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．知识点二分层抽样1．定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．2．应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．(1)不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的．(2)分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( ×)(2)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( ×)(3)要从1 002个学生中用简单随机抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( ×)2．小题热身(1)2018年2月，为确保食品安全，北京市质检部门检查一箱装有1 000袋方便面的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是( D )A．总体是指这箱1 000袋方便面B．个体是一袋方便面C．样本是按2%抽取的20袋方便面D．样本容量为20(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( D )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481C．02 D．01(3)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( B )A．100,20 B．200,20C．200,10 D．100,10(4)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为1_800件．解析：(1)总体是指这箱1 000袋方便面的质量；个体是一袋方便面的质量；样本为20袋方便面的质量；样本容量为20.(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.(3)由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 000×2%＝200，抽取的高中生人数是 2 000×2%＝40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以高中生的近视人数为40×50%＝20，故选B.(4)分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4 800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为53，所以乙设备生产的产品的总数为1 800件.考点一简单随机抽样【例1】(1)某班级有男生20人，女生30人，从中抽取10人作为样本，其中一次抽样结果是：抽取了4名男生、6名女生，则下列命题方向方向正确的是( ) A．这次抽样可能采用的是简单随机抽样B．这次抽样一定没有采用系统抽样C．这次抽样中每个女生被抽到的概率大于每个男生被抽到的概率D．这次抽样中每个女生被抽到的概率小于每个男生被抽到的概率(2)假设要考察某企业生产的袋装牛奶质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，先将500袋牛奶按000,001，…，499进行编号，如果从随机数表(下面摘取了随机数表第7行至第9行)第8行第4列的数开始按三位数连续向右读取，则依次写出最先检测的5袋牛奶的编号分别为( )84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54A．163,198,175,129,395B．163,199,175,128,395C．163,199,175,128,396D．163,199,175,129,395【解析】(1)利用排除法求解．这次抽样可能采用的是简单随机抽样，A正确；这次抽样可能采用系统抽样，男生编号为1～20，女生编号为21～50，间隔为5，依次抽取1号，6号，…，46号便可，B错误；这次抽样中每个女生被抽到的概率等于每个男生被抽到的概率，C和D均错误．故选A.(2)随机数表第8行第4列的数是1，从1开始读取：163 785 916 955 567 199 810 507 175 128 673 580 744 395.标波浪线的5个即是所取编号．【答案】(1)A (2)B方法技巧1简单随机抽样需满足：①抽取的个体数有限；②逐个抽取；③是不放回抽取；④是等可能抽取.2简单随机抽样常有抽签法适用总体中个体数较少的情况、随机数法适用于个体数较多的情况.1．在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( A )A．总体B．个体C．样本的容量D．从总体中抽取的一个样本解析：由题意知，5 000名居民的阅读时间是总体，200名居民的阅读时间为一个样本；每个居民的阅读时间为个体；200为样本容量．故选A.2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为 ( B )A ．134石B ．169石C ．338石D ．1 365石解析：28254×1 534≈169(石)．故选B.考点二 分层抽样命题方向1 分层抽样的计算【例2】 (1)如下图所示，某学校共有教师120人，用分层抽样的方法从中选出一个容量为30的样本，其中被选出的青年女教师的人数为( )A ．12B ．6C ．4D ．3(2)某高中计划从全校学生中按年级采用分层抽样方法抽取20名学生进行心理测试，其中高三年级有学生900人，已知从高一与高二年级共抽取了14人，则全校学生的人数为( )A ．2 400B ．2 700C ．3 000D ．3 600【解析】 (1)青年教师的人数为120×30%＝36，所以青年女教师有12人，故青年女教师被选出的人数为12×30120＝3，故选D.(2)900÷20－1420＝3 000，故选C.【答案】 (1)D (2)C命题方向2 分层抽样的应用【例3】 某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了统计表格，由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A 产品的样本容量比C 产品的样本容量多10，根据以上信息可得C 产品的数量是________件.产品类别 A BC产品数量(件) 1 300 各层抽取件数130【解析】 设样本的容量为x ，则x3 000×1 300＝130，所以x ＝300.所以A 产品和C 产品在样本中共有300－130＝170(件)． 设C 产品的样本容量为y ，则y ＋y ＋10＝170，y ＝80， 所以C 产品的数量为3 000300×80＝800.【答案】 800 方法技巧分层抽样的解题策略 1分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.2为了保证每个个体等可能入样，所有层中每个个体被抽到的可能性相同. 3在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样.1．(方向1)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( D )A ．p 1＝p 2<p 3B ．p 2＝p 3<p 1C ．p 1＝p 3<p 2D ．p 1＝p 2＝p 3解析：由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p 1＝p 2＝p 3. 2．(方向1)某校高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取55人，其中从高一年级学生中抽取20人，则从高三年级学生中抽取的人数为17.解析：设从高二年级学生中抽取x 人，由题意得x 360＝20400，解得x ＝18，则从高三年级学生中抽取的人数为55－20－18＝17人．3．(方向2)《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”其意为：“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出17钱(所得结果四舍五入，保留整数)．解析：依照钱的多少按比例出钱，所以丙应该出钱为180560＋350＋180×100＝18 0001 090≈17.。

第九讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__.知识点二 均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __. (2)D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__. *(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.知识点三 两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝__p (1－p )__. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝__np (1－p )__. 知识点四 正态分布 (1)正态曲线：函数f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X ～N (μ，σ2)__.(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴__上方__，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x ＝μ__对称；③曲线在__x ＝μ__处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝__0.682_6__； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝__0.954_4__； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要结论计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( ABC )A ．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定B ．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小C ．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差D ．若X ～N (0,1)，则P (x <－12)<P (x ≥12)题组二 走进教材2．(P 68A 组T1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A ．73B ．4C ．－1D ．1 [解析]E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.3．(P 75B 组T2改编)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( B )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] 由题意知(a －5)＋(a ＋1)2＝4，∴a ＝6.题组三 考题再现4．(2019·南通模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( A )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7[解析] ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2<X <4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A ．5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.[解析] 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×0.98＝1.96.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 离散型随机变量的均值与方差的概念与性质——自主练透例1 (1)(2018·课标Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3(2)(2020·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B )A ．85B ．65C ．45D ．25(3)(2019·浙江卷，7)设0<a <1.随机变量X 的分布列是则当a 在(0,1)内增大时，( A ．D (X )增大 B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大[解析] (1)由题知X ～B (10，p )，则D (X )＝10×p ×(1－p )＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P (X＝4)<P (X ＝6)，即C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4⇒(1－p )2<p 2⇒p >0.5， ∴p ＝0.6，故选B ．(2)由题意知，X ～B (5，3m ＋3)，∴E (X )＝5×3m ＋3＝3，解得m ＝2，∴X ～B (5，35)，∴D (X )＝5×35×(1－35)＝65.故选B ．(3)随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝[(0－a ＋13)2＋(a －a ＋13)2＋(1－a ＋13)2]×13＝29(a 2－a ＋1) ＝29(a －12)2＋16， 当a ∈(0，12)时，D (X )单调递减，当x ∈(12，1)时，D (X )单调递增，故选D ．名师点拨 ☞若X 是随机变量，则Y ＝f (X )一般仍是随机变量，在求Y 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求Y 的分布列带来的烦琐运算．〔变式训练1〕(2019·辽宁省丹东质量测试)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望E (X )＝__300__.[解析] 设没有发芽的种子数为Y ，则有X ＝2Y ，由题意可知Y 服从二项分布，即Y ～B (1 000,0.15)，E (Y )＝1 000×0.15＝150， E (X )＝2E (Y )＝300.考点二 求离散型随机变量的均值与方差——多维探究角度1 二项分布的均值、方差问题例2 (2019·沈阳模拟)某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X 的分布列和数学期望E (X )和方差D (X )．[解析] (1)依题意，培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5＝60，在[95,100)小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意职工人数为80人，所求概率估计为P ＝60＋20200＝25.(2)依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 03(35)3＝27125， P (X ＝1)＝C 13×25×(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2×35＝36125， P (X ＝3)＝C 33(25)3＝8125， 则随机变量X 的分布列为X123。

基础知识反馈卡·9.9时间：20分钟分数：60分一、选择题(每小题5分，共30分)1．袋中有大小、质地都相同的红球6个、白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球时为止，所需要的取球次数为随机变量ξ，则ξ的可能值为( ) A．1,2，…，6 B．1,2，…，7C．1,2，…，11 D．1,2,3，…2．抛掷两枚均匀的骰子，所得点数之和为ξ，则ξ＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点B．两枚都是2点C．两枚都是4点D．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点3．设随机变量X等可能地取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )A．n＝3 B．n＝4 C．n＝9 D．n＝104．盒子中有10个正品和4个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取得的次品数为x，那么x的可能值是( )A．2,3,4 B．1,2,3,4C．0,1,2,3,4 D．0,1,2,35．已知某离散型随机变量则常数k的值为( )A.15B.16C.19D．不存在6．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒子中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布规律为P(X)，则P(X＝4)的值为( )A.1220B.2755C.27220D.2155二、填空题(每小题5分，共15分)7．抛掷2枚均匀的骰子，所得点数之和X是一个随机变量，则P(X≤4)＝________. 8．某射击运动员射击所得环数ξ的分布列如下表，则P(ξ＝8)＝________.9.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝15，k ＝1,2,3,4,5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________. 三、解答题(共15分)10．一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列．基础知识反馈卡·9.91．B 2.D 3.D 4.C 5.C 6.C 7.16 8.0.28 9.1510．解：(1)由题意知，在7张卡片中，编号为3的卡片有2张，故所求概率为P ＝1－C 45C 47＝67. (2)由题意知，X 的可能取值为1,2,3,4，且P (X ＝1)＝C 33C 47＝135， P (X ＝2)＝C 34C 47＝435， P (X ＝3)＝C 35C 47＝27， P (X ＝4)＝C 36C 47＝47. ∴随机变量X。

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核心考点·精准研析考点一离散型随机变量及其分布列1.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X;②某人射击2次,击中目标的环数之和记为X;③测量一批电阻,在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X;④一个在数轴上随机运动的质点,它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是( )A.①②B.①③C.①④D.①②④2.若随机变量X的概率分布列为X x1x2P p1p2且p1=p2,则p1等于( )A. B. C. D.3.某学习小组共12人,其中有五名是“三好学生”,现从该小组中任选5人参加竞赛,用ξ表示这5人中“三好学生”的人数,则下列概率中等于的是 ( )A.P(ξ=1)B. P(ξ≤1)C.P(ξ≥1)D. P(ξ≤2)4.已知随机变量X的概率分布为P(X=i)= (i=1,2,3,4),则P(2<X ≤4)=________.【解析】1.选A,①②的变量所有取值可以一一列举,是离散型的,③④中的变量取值不可以一一列举,为区间内的连续型的变量.2.选B.由p1+p2=1且p2=2p1,可解得p1=.3.选B.因为P=,P=,所以P=P+P.4.因为由分布列的性质得+++=1,所以a=5,所以P=P+P=+=.答案:1.判断离散型随机变量的方法判断一个随机变量是否是离散型随机变量的关键是判断随机变量的所有取值是否可以一一列出,具体方法如下:(1)明确随机试验的所有可能结果.(2)将随机试验的结果数量化.(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出,如能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是.2.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率;(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.考点二两点分布、超几何分布【典例】1.某学校调查高三年级学生的体育达标情况,随机抽取了一班10人,二班15人,三班12人,四班13人,四个班的达标人数分别为9,14,11,12,以这四个班的平均达标率为高三年级的达标率,若达标记1分,不达标记0分,求高三年级的一个学生的得分X的分布列.2.在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列. 【解题导思】1.(1)先求出这四个班的平均达标率,作为高三学生的达标率.(2)因为X 的取值为1,0,联想到两点分布.2.序号题目拆解(1)接受甲种心理暗示的志愿者求从6男4女中取5人的方法数包含A1但不包含B1的概率求从除了A1与B1外的8人中取4人的方法数(2) 用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数先写出X的所有取值0,1,2,3,4 求X的分布列用古典概型概率公式求X取每个值时的概率【解析】1.由题意可得这四个班的平均达标率为=0.92, 所以依此估计一个高三学生的达标率为0.92,不达标率为1-0.92=0.08,所以高三年级的一个学生的得分X的分布列为X 1 0P 0.92 0.082.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M)==.(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==.因此X的分布列为X 0 1 2 3 4P求超几何分布的分布列的步骤1.设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中恰有6个红球的概率为( )A. B.C. D.【解析】选D.若随机变量X表示任取10个球中红球的个数,则X服从参数为N=100,M=80,n=10的超几何分布.取到的10个球中恰有6个红球,即X=6,P(X=6)= (注意袋中球的个数为80+20=100).2.根据以往数据测得一个学生投篮一次,投中的概率为0.44,设他投篮一次,投中记1分,否则记0分,求他的得分X的分布列.【解析】因为P(X=1)=0.44,所以P(X=0)=1-0.44=0.56,所以他的得分X的分布列为X 1 0P 0.44 0.56考点三离散型随机变量的分布列的综合问题命题精解读考什么:(1)重点考查求离散型随机变量的分布列.(2)与数列、函数等知识交汇考查分布列问题怎么考:以统计、古典概型等实际问题为背景考查求离散型随机变量的分布列,常常以解答题形式考查,两点分布多数是以选择题或填空题形式考查,超几何分布以解答题的形式考查新趋势:结合新背景,与数列、函数等知识交汇考查分布列问题学霸好方法1.解答有关分布列问题时的注意点(1)明确随机变量的取值,掌握分布列的性质(2)求分布列时逐一求出随机变量的各个取值对应的概率,并把所有概率相加所得和是1加以验证.2.交汇问题解决分布列与统计、数列、函数等知识交汇问题,注意拆分到各个知识块中,各个击破.以统计知识为背景考查分布列【典例】某校暑假开展“名师云课”活动,获得广大家长和学生的高度赞誉,其中数学学科推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:点击量(单位:千) [0,1] (1,3] (3,+∞)节数 6 18 12(1)现从36节云课中按照点击量采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3千的节数;(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1,3]内,则需要花费20分钟进行剪辑,点击量超过3千,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列. 【解析】(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 千的节数为×6=2.(2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1]内的有1节,点击量在区间(1,3 ]内的有3节,点击量在(3,+∞)内的有2节,故X的可能取值为0,20,40,60.P(X=0)==,P(X=20)===,P(X=40)===,P(X=60)===,则X的分布列为X 0 20 40 60P求分布列的关键和关注点是什么?提示:求离散型随机变量的分布列的关键和关注点(1)关键:求随机变量取值所对应的概率,在求解时,常用随机变量取值的频率来估计概率.(2)关注点:求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.以古典概型为背景考查分布列【典例】为振兴旅游业,四川省2019年面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡).某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.(1)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列.【解析】(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.设事件B为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”.P(B)=P(A1)+P(A2)=+=+=,所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.(2)ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为ξ0 1 2 3P分布列与函数、数列等知识的交汇问题【典例】(1)由离散型随机变量X的分布列得知P=p3，则当p= _________ 时，P取到最大值.(2)随机变量X的分布列为X 1 2 3 4 …n …P …p n…①求p n；②若P<，求n的最大值.【解析】(1)设f=p3，则f′=3p2+p3=p2，由f′=0，得p=，当p∈时，f′>0，f是增函数，当p∈时，f′<0，f是减函数，所以当p=时，f取到最大值f，P取到最大值f.答案：(2)①因为p1=，p2=，p3=，p4=，所以归纳得p n=.②因为p n==-，所以由已知得p1+p2+p3+…+p n<，即-+-+-+…+-<，所以1-<，解得n<2 019，因为n是正整数，所以n的最大值为2 018.1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动).该校合唱团共有100名学生,他们参加活动的次数统计如图所示.(1)求合唱团学生参加活动的人均次数;(2)从合唱团中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率.(3)从合唱团中任选两名学生,用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)由图可知,参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、50和40.该合唱团学生参加活动的人均次数为==2.3.(2)从合唱团中任选两名学生,他们参加活动次数恰好相等的概率为P0==.(3)从合唱团中任选两名学生,记“这两人中一人参加1次活动,另一人参加2次活动”为事件A,“这两人中一人参加2次活动,另一人参加3次活动”为事件B,“这两人中一人参加1次活动,另一人参加3次活动”为事件C.易知P(ξ=1)=P(A)+P(B)=+=;P(ξ=2)=P(C) ==;所以ξ的分布列为ξ0 1 2P2.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进17枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N*)的函数解析式.(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.若花店一天购进17枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列. 【解析】(1)当日需求量n≥17时,利润y=(10-5)×17=85; 当日需求量n<17时,利润y=10n-85,所以y关于n的解析式为y=(n∈N*).(2)X可取55,65,75,85,P(X=55)=0.1,P(X=65)=0.2, P(X=75)=0.16,P(X=85)=0.54.X的分布列为X 55 65 75 85P 0.1 0.2 0.16 0.541.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数.(2)求P(ξ=7).(3)求随机变量ξ的分布列.【解析】(1)因为f(x)=所以-0.4+-0.4+-0.4+-+b+-+b=1,所以b=1.9. 估计该班的考试平均分数为-0.4×55+-0.4×65+-0.4×75+-+1.9×85+-+1.9×95=76.(2)由题意可知,考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人, 所以P(ξ=7)==.(3)由题意,ξ的可能取值为5,6,7,8,9,P(ξ=5)==,P(ξ=6)==,P(ξ=7)=,P(ξ=8)==,P(ξ=9)==.所以ξ的分布列为:ξ 5 6 7 8 9P2.某校在高二年级实行选课走班教学,学校为学生提供了多种课程,其中数学学科提供5种不同层次的课程,分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5,每个学生只能从5种数学课程中选择一种学习,该校高二年级1800名学生的数学选课人数统计如表:课程数学1 数学2 数学3 数学4 数学5 合计选课180 540 540 360 180 1800 人数为了了解数学成绩与学生选课情况之间的关系,用分层抽样的方法从这1800名学生中抽取10人进行分析.(1)从选出的10名学生中随机抽取3人,求这3人中至少有2人选择数学2的概率.(2)从选出的10名学生中随机抽取3人,记这3人中选择数学2的人数为X,选择数学1的人数为Y,设随机变量ξ=X-Y,求随机变量ξ的分布列.【解析】抽取的10人中选修数学1的人数应为10×=1人,选修数学2的人数应为10×=3人,选修数学3的人数应为10×=3人,选修数学4的人数应为10×=2人,选修数学5的人数应为10×=1人.(1)从10人中选3人共有=120种选法,并且这120种选法出现的可能性是相同的,有2人选择数学2的选法共有·=21种,有3人选择数学2的选法有=1种,所以至少有2人选择数学2的概率为=.(2)X的可能取值为0,1,2,3,Y的可能取值为0,1,ξ的可能取值为-1,0,1,2,3.P(ξ=-1)=P(X=0,Y=1)==;P(ξ=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=1,Y=1)=+=+=;P(ξ=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=1)=+=+=;P(ξ=2)=P(X=2,Y=0)==;P(ξ=3)=P(X=3,Y=0)==,所以ξ的分布列为:ξ-1 0 1 2 3P关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差基础篇固本夯基【基础集训】考点一 离散型随机变量及其分布列1.若离散型随机变量X 的分布列如下表,则常数c 的值为( )X 0 1 P9c 2-c3-8cA.23或13B.23C.13D.1 答案 C2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X 的分布列及数学期望.解析 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人, 送考2次的有100人,送考3次的有80人, ∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为20×1+100×2+80×3200=2.3.(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A, “这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B, “这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C, “这两人送考次数相同”为事件D, 由题意知X 的所有可能取值为0,1,2,P(X=1)=P(A)+P(B)=C 201C 1001C 2002+C 1001C 801C 2002=100199, P(X=2)=P(C)=C 201C 801C 2002=16199, P(X=0)=P(D)=C 202+C 1002+C 802C 2002=83199, ∴X 的分布列为X 0 1 2P83199 100199 16199E(X)=0×83199+1×100199+2×16199=132199. 考点二 离散型随机变量的均值与方差3.设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X 的数学期望为E(X)=3,则a-b=( ) A.110B.0C.-110D.15答案 A4.已知离散型随机变量X 的分布列为X 01 2 3P82749m127则X 的数学期望E(X)=( ) A.23B.1C.32D.2 答案 B5.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=13,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=23-x,若0<x<23,则( ) A.E(ξ)随着x 的增大而增大,D(ξ)随着x 的增大而增大 B.E(ξ)随着x 的增大而减小,D(ξ)随着x 的增大而增大 C.E(ξ)随着x 的增大而减小,D(ξ)随着x 的增大而减小 D.E(ξ)随着x 的增大而增大,D(ξ)随着x 的增大而减小 答案 C6.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n ∈N )的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列、数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解析 (1)当日需求量n ≥16时,y=80.当日需求量n<16时,y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y={10n-80,n<16,80,n≥16(n∈N).(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.故X的分布列为X607080P0.10.20.7X的数学期望EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44.(ii)答案不唯一.答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.结合(2)(i)可知DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.结合(2)(i)可知EX<EY,即购进17枝玫瑰花时平均每天的利润大于购进16枝时平均每天的利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.综合篇知能转换【综合集训】考法求离散型随机变量的期望与方差的方法1.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是( )A.185B.92C.367D.163答案D2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明的口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是( )A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5答案A3.(2019河北冀州期末,19)有编号为1,2,3,…,n 的n 个学生,入座编号为1,2,3,…,n 的n 个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法. (1)求n 的值;(2)求随机变量X 的概率分布列及数学期望E(X).解析 (1)因为当X=2时,有C n 2=n(n -1)2种坐法, 所以n(n -1)2=6,即n 2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去), 所以n=4.(2)因为X 表示的是学生所坐的座位号与该生的编号不同的人数,所以X 的可能取值是0,2,3,4, 所以P(X=0)=1A 44=124,P(X=2)=C 42×1A 44=14,P(X=3)=C 43×2A 44=13,P(X=4)=1-124-14-13=38, 所以X 的概率分布列为X 0234P124 14 1338所以数学期望E(X)=0×124+2×14+3×13+4×38=3.4.(2019广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:日需求量X(个)20 30 40 50 天数510105(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X 的分布列,并求该月的日需求量X 的期望; (3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为3203;现有员工建议扩大生产,一天生产45个,求对应利润的期望值,判断此建议该不该被采纳.解析 (1)从这30天中任取两天,两天的日需求量均为40个的概率为C 102C 302=329. (2)日需求量X 的分布列为X 20304050P1613 13 16日需求量X 的期望E(X)=20×16+30×13+40×13+50×16=35.(3)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y 元,对应的分布列如下:利润Y(元) -2060140180概率16131316利润Y 的期望E(Y)=-20×16+60×13+140×13+180×16=2803.因为2803<3203,所以此建议不该被采纳. 思路分析 (1)直接根据对应关系求概率即可;(2)列出日需求量的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解即可;(3)列出利润的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解,然后比较两个期望值,从而判断此建议该不该被采纳.5.(2019安徽宣城二模,19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动,有N 人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七组,其频率分布直方图如图所示,已知[25,30)这组的参加者是6人. (1)根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数;(2)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学教师的概率;(3)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X 的分布列和均值.解析 (1)设[30,35)这一组对应的矩形的高为x, ∵(0.01+0.03+x+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=1, ∴x=0.06.∵(0.01+0.03+0.06)×5=0.5, ∴中位数为35.(2)记事件A 为“从[35,40)和[40,45)两组中各选出2人,选出的人中恰有1名数学教师”,参加活动的总人数N=6÷(0.03×5)=40,年龄在[35,40)的人数为40×(0.04×5)=8,年龄在[40,45)的人数为40×(0.03×5)=6, ∴P(A)=C 21C 61C 82×C 42C 62+C 62C 82×C 21C 41C 62=1635. (3)年龄在[45,55)的人数为40×(0.02+0.01)×5=6, X 的可能取值为1,2,3,∵P(X=1)=C 41C 22C 63=15,P(X=2)=C 42C 21C 63=35,P(X=3)=C 43C 63=15, ∴X 的分布列为X 123P153515E(X)=1×15+2×35+3×15=2.【五年高考】考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2019课标Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,p i(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,p i=ap i-1+bp i+cp i+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.(i)证明:{p i+1-p i}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识.(1)X的所有可能取值为-1,0,1.P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β).所以X的分布列为X-101P(1-α)βαβ+(1-α)(1-β)α(1-β)(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.因此p i=0.4p i-1+0.5p i+0.1p i+1,故0.1(p i+1-p i)=0.4(p i-p i-1),即p i+1-p i=4(p i-p i-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{p i+1-p i}(i=0,1,2, (7)是公比为4,首项为p1的等比数列.(ii)由(i)可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=48-13p1.由于p8=1,故p1=348-1,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=44-13p1=1257.p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=1257≈0.0039,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.试题分析本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.2.(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(6分)(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.(10分)当n=20时,EY=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)思路分析(1)确定X的可能取值,分别求其对应的概率,进而可列出分布列.(2)根据(1)中求得的概率可得P(X≤18)以及P(X≤19)的值,由此即可确定n的最小值.(3)求出n=19,n=20时的期望值,比较大小即可作出决策.3.(2019北京,17,13分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)(0,1000](1000,2000]大于2000支付方式仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.解析本题主要考查用样本分布估计总体分布,离散型随机变量的分布列与期望,以实际生活为背景考查学生解决实际问题的能力,渗透了数据分析的核心素养,体现了应用与创新意识.(1)由题意知,样本中仅使用A的学生有18+9+3=30人,仅使用B的学生有10+14+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两=0.4.种支付方式都使用的概率估计为40100(2)X 的所有可能值为0,1,2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”,事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人,该学生上个月的支付金额大于1 000元”. 由题设知,事件C,D 相互独立,且P(C)=9+330=0.4,P(D)=14+125=0.6. 所以P(X=2)=P(CD)=P(C)P(D)=0.24,P(X=1)=P(C D ∪C D)=P(C)P(D )+P(C )P(D)=0.4×(1-0.6)+(1-0.4)×0.6=0.52, P(X=0)=P(CD )=P(C )P(D )=0.24. 所以X 的分布列为X 0 1 2 P0.240.520.24故X 的数学期望E(X)=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.(3)记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人,他们本月的支付金额都大于2 000元”.假设样本仅使用A 的学生中,本月支付金额大于2 000元的人数没有变化,则由上个月的样本数据得P(E)=1C 303=14 060.答案示例1:可以认为有变化.理由如下:P(E)比较小,概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生,就有理由认为本月的支付金额大于2 000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下:事件E 是随机事件,P(E)比较小,一般不容易发生,但还是有可能发生的,所以无法确定有没有变化. 思路分析 (1)由频率=频数样本容量即可求解相应频率,进而用频率估计概率.(2)仅使用A,且支付金额大于1 000元的概率P=9+330=0.4,仅使用B,且支付金额大于1 000元的概率P=14+125=0.6,进而求分布列和期望.(3)开放性题目,从事件发生的概率说明理由即可.评析 本题以移动支付的出现及普及为背景来设计问题,样本数据来源于学生熟悉的情景,不仅使学生体会到数学应用的广泛性,同时也体现了人们生活方式的巨大变化.第(3)问结合古典概型考查概率的意义,体会统计中的决策思想.4.(2017天津,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14. (1)记X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X 的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解析 本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件的相互独立性,互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.(1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=(1-12)×(1-13)×(1-14)=14,P(X=1)=12×1-13×1-14+1-12×13×1-14+(1-12)×(1-13)×14=1124,P(X=2)=(1-12)×13×14+12×(1-13)×14+12×13×(1-14)=14, P(X=3)=12×13×14=124. 所以,随机变量X 的分布列为X 0123P14112414124随机变量X 的数学期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数,Z 表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+1124×14=1148. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的意义是解决这类问题的必要前提.5.(2017山东,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1,A 2,A 3,A 4,A 5,A 6和4名女志愿者B 1,B 2,B 3,B 4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率;(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X 的分布列与数学期望EX. 解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望.(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M, 则P(M)=C 84C 105=518. (2)由题意知X 可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=C 65C 105=142,P(X=1)=C 64C 41C 105=521,P(X=2)=C 63C 42C 105=1021,P(X=3)=C 62C 43C 105=521,P(X=4)=C 61C 44C 105=142.因此X 的分布列为X 01234P142 5211021 521 142X 的数学期望是EX=0×P(X=0)+1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3)+4×P(X=4)=0+1×521+2×1021+3×521+4×142=2. 解后反思 (1)求离散型随机变量X 的分布列的步骤: ①理解X 的含义,写出X 所有可能的取值.②求X取每个值时的概率;③写出X的分布列.(2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意应用计数原理、古典概型概率公式等知识.考点二离散型随机变量的均值与方差6.(2019浙江,7,4分)设0<a<1.随机变量X的分布列是X0a1P 131313则当a在(0,1)内增大时,( )A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大答案D7.(2017浙江,8,4分)已知随机变量ξi满足P(ξi=1)=p i,P(ξi=0)=1-p i,i=1,2.若0<p1<p2<12,则( )A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)B.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)C.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2)D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2)答案A8.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .答案 1.969.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件做检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C202p2(1-p)18.因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,当p∈(0,0.1)时,f'(p)>0;当p ∈(0.1,1)时, f '(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果对余下的产品做检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品做检验.教师专用题组考点一 离散型随机变量及其分布列1.(2015四川,17,12分)某市A,B 两所中学的学生组队参加辩论赛,A 中学推荐了3名男生、2名女生,B 中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率;(2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X 表示参赛的男生人数,求X 的分布列和数学期望. 解析 (1)由题意得,参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 43C 63C 63=1100. 因此,A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1-1100=99100. (2)根据题意,X 的可能取值为1,2,3. P(X=1)=C 31C 33C 64=15,P(X=2)=C 32C 32C 64=35,P(X=3)=C 33C 31C 64=15.所以X 的分布列为X 123P153515因此,X 的数学期望为E(X)=1×P(X=1)+2×P(X=2)+3×P(X=3) =1×15+2×35+3×15=2.2.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率;(2)设X 表示取到的豆沙粽个数,求X 的分布列与数学期望.解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)=C 21C 31C 51C 103=14. (2)X 的所有可能值为0,1,2,且 P(X=0)=C 83C 103=715,P(X=1)=C 21C 82C 103=715,P(X=2)=C22C81C103=1 15.综上知,X的分布列为X012P 715715115故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(个).3.(2013课标Ⅰ,19,12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件做检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件做检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件做检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为12,且各件产品是否为优质品相互独立.(1)求这批产品通过检验的概率;(2)已知每件产品的检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品做质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.解析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品都是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2)=4 16×116+116×12=364.(2)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=400)=1-416-116=1116,P(X=500)=116,P(X=800)=14.所以X的分布列为X400500800P 111611614EX=400×1116+500×116+800×14=506.25.思路分析(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,进而求解.(2)X可能的取值为400,500,800,分别求其对应的概率,进而可得分布列、期望.4.(2013课标Ⅱ,19,12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(1)将T表示为X的函数;(2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.解析(1)当X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39000,当X∈[130,150]时,T=500×130=65000.所以T={800X-39 000,100≤X<130, 65 000,130≤X≤150.(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150.由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T的分布列为T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以ET=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+65000×0.4=59400.思路分析(1)经分段讨论(分X∈[100,130)和X∈[130,150])得函数解析式.(2)先求出利润T不少于57000元时X的范围,然后根据直方图得到概率的估计值.(3)T可能的取值是45000,53000,61000,65000,由此结合题意列出分布列,进而得期望.易错警示(1)中容易忽略100≤X≤150而导致出错.考点二离散型随机变量的均值与方差5.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ); (3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论) 解析 本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y 的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D 四人中,指标x 的值大于1.7的有2人:A 和C. 所以ξ的所有可能取值为0,1,2. P(ξ=0)=C 22C 42=16,P(ξ=1)=C 21C 21C 42=23,P(ξ=2)=C 22C 42=16. 所以ξ的分布列为ξ 012P162316故ξ的期望E(ξ)=0×16+1×23+2×16=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y 数据的方差大于未服药者指标y 数据的方差.方法总结 ①在求解离散型随机变量的分布列与数学期望时,先确定随机变量的取值及各个取值对应的概率,利用期望的公式求数学期望;②在比较数据的方差时,可以根据两组数据的集中或分散程度进行比较.6.(2016山东,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是34,乙每轮猜对的概率是23;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX.解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“‘星队’至少猜对3个成语”.由题意得,E=ABCD+A BCD+A B CD+AB C D+ABC D , 由事件的独立性与互斥性,得P(E)=P(ABCD)+P(A BCD)+P(A B CD)+P(AB C D)+P(ABC D )=P(A)P(B)P(C)P(D)+P(A )P(B)P(C)P(D)+P(A)·P(B )P(C)P(D)+P(A)P(B)P(C )P(D)+P(A)P(B)P(C)·P(D )。

§9.5 离散型随机变量的分布列和数字特征考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w ，都有唯一的实数X (w )与之对应，我们称X 为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X 的可能取值为x 1，x 2，…，x n ，我们称X 取每一个值x i 的概率P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 为X 的概率分布列，简称分布列． 3．离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 4．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n ＝∑i ＝1nx i p i 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D (X )＝(x 1－E (X ))2p1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x n －E (X ))2p n ＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，并称D (X )为随机变量X 的标准差，记为σ(X )，它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度． 5．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )(a ，b 为常数)．微思考1．某电子元件的使用寿命x 1，掷一枚骰子，正面向上的点数x 2，思考x 1，x 2可作为离散型随机变量吗？提示 x 1不可作为离散型随机变量，x 2可作为离散型随机变量． 2．期望和算术平均数有何区别？提示 期望刻画了随机变量取值的平均水平；而算术平均数是针对若干个已知常数来说的．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ ) 题组二 教材改编2．设随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 P112161316p则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取出的次品数X 的可能取值为0,1,2,3. 4．若随机变量X 满足P (X ＝c )＝1，其中c 为常数，则D (X )的值为________． 答案 0解析 ∵P (X ＝c )＝1，∴E (X )＝c ×1＝c ， ∴D (X )＝(c －c )2×1＝0. 题组三 易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2. 6．若随机变量X 的分布列为X －2 －1 0 1 2 3 P0.10.20.20.30.10.1则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．(1,2] D ．(1,2)答案 C解析 由随机变量X 的分布列知，P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范围是(1,2].题型一 分布列的性质例1 (1)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 因为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，所以a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，所以a ＝54，所以P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝54×12＋54×16＝56.故选D.(2)设离散型随机变量X的分布列为X 0123 4P 0.20.10.10.3m求2X＋1的分布列．解由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.列表为X 0123 42X＋113579从而2X＋1的分布列为2X＋113579P 0.20.10.10.30.31.若例1(2)中条件不变，求随机变量η＝|X－1|的分布列．解由例1(2)知m＝0.3，列表为X 0123 4|X－1|1012 3所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为η012 3P 0.10.30.30.32.若例1(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为X 0 1 2 3 4 X 214916从而η＝X 2的分布列为η 0 1 4 9 16 P0.20.10.10.30.3思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．跟踪训练1 (1)已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ，k ＝1,2，…，则P (2<X ≤4)等于( )A.316B.14C.116D.516 答案 A解析 P (2<X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.(2)已知随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P110310x310yz则P (X ≥2)等于( )A ．0.3B ．0.4C ．0.5D ．0.6 答案 D解析 P (X ≥2)＝x ＋310＋y ＋z ＝1－⎝⎛⎭⎫110＋310＝0.6.题型二 分布列的求法例2 (2021·河南新乡模拟)2021年元旦班级联欢晚会上，某班设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求a 同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X 为a 同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X 的分布列． 解 (1)设“a 同学摸球三次后停止摸球”为事件E ， 则P (E )＝A 23A 34＝14，故a 同学摸球三次后停止摸球的概率为14.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝14，P (X ＝1)＝2A 24＝16，P (X ＝2)＝1A 24＋A 22A 34＝16，P (X ＝3)＝C 12A 22A 34＝16，P (X ＝4)＝A 33A 44＝14.所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1416161614思维升华 离散型随机变量分布列的求解步骤跟踪训练2 有编号为1,2,3，…，n 的n 个学生，入座编号为1,2,3，…，n 的n 个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ，已知X ＝2时，共有6种坐法． (1)求n 的值；(2)求随机变量X 的分布列．解 (1)因为当X ＝2时，有C 2n 种方法，因为C 2n ＝6，即n (n －1)2＝6，也即n 2－n －12＝0， 解得n ＝4或n ＝－3(舍去)，所以n ＝4.(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X ， 由题意可知X 的可能取值是0,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1A 44＝124，P (X ＝2)＝C 24×1A 44＝14，P (X ＝3)＝C 34×2A 44＝13，P (X ＝4)＝1－124－14－13＝38，所以X 的分布列为X 0 2 3 4 P124141338题型三 离散型随机变量的数字特征例3 为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)． 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为1－14－12＝14，1－16－23＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.思维升华 求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤 (1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部值． (2)求ξ取每个值的概率． (3)写出ξ的分布列． (4)由均值的定义求E (ξ)． (5)由方差的定义求D (ξ)．跟踪训练3 现有A ，B ，C 3个项目，已知某投资公司投资A 项目的概率为23，投资B ，C 项目的概率均为p ，且投资这3个项目是相互独立的，记X 是该投资公司投资项目的个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的均值E (X )＝________.答案 53解析 由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2,3，由于P (X ＝0)＝112，故13(1－p )2＝112，∴p＝12.P (X ＝1)＝23×12×12＋13×12×12＋13×12×12＝412＝13， P (X ＝2)＝23×12×12＋23×12×12＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝1－112－412－512＝212＝16，∴E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.课时精练1．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( ) A ．第一枚6点，第二枚2点 B ．第一枚5点，第二枚1点 C ．第一枚1点，第二枚6点 D ．第一枚6点，第二枚1点 答案 D解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5.故选D. 2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝i2a (i ＝1,2,3)，则P (X ＝2)等于( )A.19B.16C.13D.14答案 C解析 由分布列的性质，得1＋2＋32a ＝1，解得a ＝3，所以P (X ＝2)＝22×3＝13，故选C.3．(2020·沈阳模拟)设离散型随机变量X 可能的取值为1,2,3,4，P (X ＝k )＝ak ＋b ，若X 的均值为E (X )＝3，则a －b 等于( ) A.110 B ．0 C ．－110 D.15 答案 A解析 由题意知(a ＋b )＋(2a ＋b )＋(3a ＋b )＋(4a ＋b )＝1，即10a ＋4b ＝1，又X 的均值E (X )＝3，则(a ＋b )＋2(2a ＋b )＋3(3a ＋b )＋4(4a ＋b )＝3，即30a ＋10b ＝3，∴a ＝110，b ＝0，∴a －b＝110. 4．已知随机变量的分布列如下，且E (ξ)＝6.3，则a 的值为( )ξ 4 a 9 P0.50.1bA.5B ．6C ．7D ．8答案 C解析 由概率分布列性质，知0.5＋0.1＋b ＝1，所以b ＝0.4，所以E (ξ)＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a ＝7，故选C.5．(多选)(2020·泰安期末)设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1，则下列结果正确的有( ) A ．q ＝0.1B ．E (X )＝2，D (X )＝1.4C ．E (X )＝2，D (X )＝1.8 D ．E (Y )＝5，D (Y )＝7.2 答案 ACD解析 因为q ＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q ＝0.1，故A 正确； 又E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C 正确；因为Y ＝2X ＋1，所以E (Y )＝2E (X )＋1＝5，D (Y )＝4D (X )＝7.2，故D 正确．故选ACD. 6．(多选)(2020·杭州质检)已知随机变量ξ的分布列如下：则当a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时( ) A ．E (ξ)增大B ．E (ξ)减小C ．D (ξ)先增大后减小 D ．D (ξ)先减小后增大答案 AC解析 由随机变量ξ的分布列得⎩⎪⎨⎪⎧0≤b －a ≤1，0≤b ≤1，0≤a ≤1，b －a ＋b ＋a ＝1，解得b ＝0.5,0≤a ≤0.5，∴E (ξ)＝0.5＋2a ,0≤a ≤0.5.故a 在⎝⎛⎭⎫0，12内增大时，E (ξ)增大． D (ξ)＝(－2a －0.5)2(0.5－a )＋(0.5－2a )2×0.5＋(1.5－2a )2a ＝－4a 2＋2a ＋14＝－4⎝⎛⎭⎫a －142＋12， 所以当a ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，D (ξ)单调递增，当a ∈⎝⎛⎭⎫14，12时，D (ξ)单调递减，故选AC. 7．某射击选手射击环数的分布列为若射击不小于9环为优秀，其射击一次的优秀率为______． 答案 40%解析 由分布列的性质得a ＋b ＝1－0.3－0.3＝0.4，故射击一次的优秀率为40%. 8．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.9．已知随机变量ξ的分布列为若E (ξ)＝158，则D (ξ)＝________.答案5564解析 由分布列性质，得x ＋y ＝0.5.又E (ξ)＝158，得2x ＋3y ＝118，可得⎩⎨⎧x ＝18，y ＝38.D (ξ)＝⎝⎛⎭⎫1－1582×12＋⎝⎛⎭⎫2－1582×18＋⎝⎛⎭⎫3－1582×38＝5564. 10．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P (ξ＝2)＝________. 答案310解析 由题意可知，P (ξ＝2)＝C 13C 12C 14＋C 23C 22C 24C 26＝310. 11．(2021·皖南八校模拟)小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A ，B 平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A ，B 和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A ，B ，C 猜中的概率分别为13，12，13，且A ，B ，C 是否猜中互不影响．(1)求A 恰好获得4元的概率；(2)设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列． 解 (1)依题意，当且仅当C 猜中时A 恰好获得4元， ∴A 恰好获得4元的概率为23×12×13＝19.(2)X 的所有可能取值为0,4,6,12， P (X ＝0)＝23×12×23＝29，P (X ＝4)＝19，P (X ＝6)＝23×12＝13，P (X ＝12)＝13，∴X 的分布列为12．某投资公司在2021年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，X 1的所有可能取值为300，－150.则X 1的分布列为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．若按“项目二”投资，设获利X 2万元，X 2的所有可能取值为500，－300,0.则X 2的分布列为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.所以E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．13．已知在10件产品中可能存在次品，从中抽取2件检查，其次品数为ξ，已知P (ξ＝1)＝1645，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为( ) A ．10% B ．20% C ．30% D ．40% 答案 B解析 设10件产品中有x 件次品，则P (ξ＝1)＝C 1x ·C 110－xC 210＝x (10－x )45＝1645，所以x ＝2或8.因为次品率不超过40%，所以x ＝2，所以次品率为210＝20%.14.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝________.答案 65解析 由题意知X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝27125，P (X ＝1)＝54125，P (X ＝2)＝36125，P (X ＝3)＝8125，∴E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.15．(多选)(2020·烟台质检)某学校共有6个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐(选择每个餐厅的概率相同)，则下列结论正确的是( ) A ．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为518B ．四人去了同一餐厅就餐的概率为11 296C ．四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为25216D ．四人中去第一餐厅就餐的人数的均值为23答案 ACD解析 四人去餐厅就餐的情况共有64种，其中四人去了四个不同餐厅就餐的情况有A 46种，则四人去了四个不同餐厅就餐的概率为A 4664＝518，故A 正确；同理，四人去了同一餐厅就餐的概率为664＝1216，故B 错误；四人中恰有两人去了第一餐厅就餐的概率为C 24×5264＝25216，故C正确；设四人中去第一餐厅就餐的人数为ξ，则ξ＝0,1,2,3,4.则P (ξ＝0)＝5464，P (ξ＝1)＝C 145364，P (ξ＝2)＝C 245264，P (ξ＝3)＝C 34×564，P (ξ＝4)＝164，则四人中去第一餐厅就餐的人数的分布列为则四人中去第一餐厅就餐的人数的均值E (ξ)＝0×5464＋1×C 145364＋2×C 245264＋3×C 34×564＋4×164＝23，故D 正确． 16．(2020·唐山模拟)某城市美团外卖配送员底薪是每月1 800元，设每月配送单数为X ，若X ∈[1,300]，每单提成3元，若X ∈(300,600]，每单提成4元，若X ∈(600，＋∞)，每单提成4.5元，饿了么外卖配送员底薪是每月2 100元，设每月配送单数为Y ，若Y ∈[1,400]，每单提成3元，若Y ∈(400，＋∞)，每单提成4元，小王想在美团外卖和饿了么外卖之间选择一份配送员工作，他随机调查了美团外卖配送员甲和饿了么外卖配送员乙在2020年4月份(30天)的送餐量数据，如下表： 表1：美团外卖配送员甲送餐量统计表2：饿了么外卖配送员乙送餐量统计(1)设美团外卖配送员月工资为f (X )，饿了么外卖配送员月工资为g (Y )，当X ＝Y ∈(300,600]时，比较f (X )与g (Y )的大小关系；(2)将4月份的日送餐量的频率视为日送餐量的概率． ①计算外卖配送员甲和乙每日送餐量的均值E (x )和E (y )； ②请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由． 解 (1)因为X ＝Y ∈(300,600]，所以g(X)＝g(Y)，当X∈(300,400]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋3X)＝X－300>0，当X∈(400,600]时，f(X)－g(X)＝(1 800＋4X)－(2 100＋4X)＝－300<0，故当X∈(300,400]时，f(X)>g(Y)，故X∈(400,600]时，f(X)<g(Y)．(2)①甲日送餐量x的分布列为乙日送餐量y的分布列为则E(x)＝13×115＋14×15＋16×25＋17×15＋18×115＋20×115＝16，E(y)＝11×215＋13×16＋14×25＋15×110＋16×16＋18×130＝14.②E(X)＝30E(x)＝480∈(300,600]，E(Y)＝30E(y)＝420∈(400，＋∞)，美团外卖配送员，估计月薪平均为1 800＋4E(X)＝3 720(元)，饿了么外卖配送员，估计月薪平均为2 100＋4E(Y)＝3 780元>3 720元，故小王应选择做饿了么外卖配送员．。

［考案9］第九章综合过关规范限时检测(时间：120分钟满分150分）一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．（2020·广西柳州模拟）《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男,共有五级．若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为( C ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析］给有巨大贡献的2人进行封爵，总共有5×5＝25种，其中两人被封同一等级的共有5种，所以两人被封同一等级的概率为错误!＝错误!,所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为：1－错误!＝错误!。

故选C。

2．(2020·山东烟台期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼"“乐"“射”“御”“书”“数”六门体验课程,每周一门，连续开设六周．若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ C )A．216 B．480C．504 D．624[解析] 当课程“御”排在第一周时，则共有A错误!＝120种；当课程“御”“乐”均不排在第一周时，则共有C错误!×C错误!×A错误!＝384种；则120＋384＝504，故选：C.3．(2020·黑龙江大庆质检）某公司安排甲、乙、丙3人到A，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为( B ）A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!［解析] P＝错误!＝错误!，故选B。

4．（2019·河北衡水金卷联考)如图所示,分别以正方形ABCD两邻边AB、AD为直径向正方形内做两个半圆，交于点O。

若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每点的可能性均相同），则该球落在阴影部分的概率为( C )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析] 设正方形的边长为2.则这两个半圆的并集所在区域的面积为π·12－2×(错误!－错误!）＝错误!＋1，所以该质点落入这两个半圆的并集所在区域内的概率为错误!＝错误!。

2021年高考数学一轮复习概率第4课时离散型随机变量的分布列教学案2．如果随机变量可能取的值，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．从函数的观点来看，P(＝x k)＝P k，k＝1， 2，…，n，…称为离散型随机变量的概率函数或概率分布，这个函数可以用表示，这个叫做离散型随机变量的分布列．4．离散型随机变量分布列的性质(1) 所有变量对应的概率值（函数值）均为非负数，即．(2) 所有这些概率值的总和为即．(3) 根据互斥事件的概率公式，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的5．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率，有了这个函数，就能写出它的分布列，由于是二项式展开式的通项，所以称这个分布为二项分布列，记作例1.袋子中有1个白球和2个红球．⑴每次取1个球，不放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．⑵每次取1个球，放回，直到取到白球为止．求取球次数的分布列．⑶每次取1个球，放回，直到取到白球为止，但抽取次数不超过5次．求取球次数的分布列．⑷每次取1个球，放回，共取5次．求取到白球次数的分布列．解：⑴＝＝所求的分布列是123⑵每次取到白球的概率是，不取到白球的概率是，所求的分布列是123……P……⑶12345P⑷∴ P＝(＝k)＝C5k()k·()5－k，其中∴所求的分布列是012345 P变式训练1.是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝（）A．1 B．C．D．解：D例2. 一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，现从中随机取出3个球，以表示取出球的最大号码，求的分布列．解：随机变量的取值为3，4，5，6从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为，事件“”包含的基本事件总数为；事件“”包含的基本事件总数为；事件包含的基本事件总数为；从而有∴随机变量的分布列为：3456变式训练2：现有一大批种子，其中优质良种占30%，从中任取2粒，记为2粒中优质良种粒数，则的分布列是 .解：012P0.490.420.09例3.一接待中心有A、B、C、D四部热线电话，已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5，电话C、D占线的概率均为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有部电话占线，试求随机变量的概率分布.解：012340.090.30.370.20.04变式训练3：将编号为1，2，3，4的贺卡随意地送给编号为一，二，三，四的四个教师，要求每个教师都得到一张贺卡，记编号与贺卡相同的教师的个数为，求随机变量的概率分布.解：0124P1．本节综合性强，涉及的概念、公式较多，学习时应准确理解这些概念、公式的本质内涵，注意它们的区别与联系．例如，若独立重复试验的结果只有两种（即与，是必然事件），在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率就是二项式展开式中的第项，故此公式称为二项分布公式；又如两事件的概率均不为0，1时，“若互斥，则一定不相互独立”、“若相互独立，则一定不互斥”等体现了不同概念、公式之间的内在联系．2．运用(),()()(),()mP A P A B P A P B P A B n=+=+= P(A ·B)＝P(A)·P(B)等概率公式时，应特别注意各自成立的前提条件，切勿混淆不清．例如，当为相互独立事件时，运用公式便错． 3．独立重复试验是指在同样条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，每次试验都只有两重结果（即某事件要么发生，要么不发生），并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等．独立重复试验是相互独立事件的特例（概率公式也是如此），就像对立事件是互斥事件的特例一样，只是有“恰好”字样的用独立重复试验的概率公式计算更简单，就像有“至少”或“至多”字样的题用对立事件的概率公式计算更简单一样． 4．解决概率问题要注意“三个步骤，一个结合”： （1）求概率的步骤是：第一步，确定事件性质，即所给的问题归结为四类事件中的某一种．第二步，判断事件的运算，即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件．第三步，运用公式求得．和事等可能事件：互斥事件：P(A ＋B)＝P(A)＋P(B)，P(A ·B)＝0（2）概率问题常常与排列组合问题相结合．。

2021版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率第60讲离散型随机变量及其分布列学案202105072122考纲要求考情分析 命题趋势1.明白得取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列关于刻画随机现象的重要性．2．明白得超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.2021·全国卷Ⅰ，19 2020·重庆卷，17 2020·四川卷，17 利用排列、组合知识求解离散型随机变量的分布列，运用概率知识解决实际问题. 分值：5分1．随机变量随着试验结果变化__而变化__的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量所有取值能够__一一列出__的随机变量． 3．离散型随机变量分布列的概率若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n__P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n __表示X 的分布列．4．离散型概率分布列的性质 (1)__p i ≥0(i ＝1,2，…，n )__；(2) i ＝1np i ＝1.5．两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为X 0 1P__1－p __p其中p ＝__P (X ＝1)__6．超几何分布在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为：P (X ＝k )＝__C k M C n －kN －MC n N__(k ＝0，1,2，…，m )，其中m ＝__min{M ，n }__，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，假如随机变量X 的分布列具有下表形式.X 0 1 …mP__C 0M C n －0N －MC n N____C 1M C n －1N －MC n N__…__C m M C n －mN －MC n N__1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．(1)随机试验所有可能的结果是明确的，同时不止一个．( √ ) (2)离散型随机变量的所有取值有时无法一一列出．( × ) (3)离散型随机变量的分布列中p i >0(i ＝1,2，…，n )．( × )(4)离散型随机变量在某一范畴内取值的概率等于它取那个范畴内各个值的概率之和．( √ )解析 (1)正确．依照随机试验的条件可知正确． (2)错误．离散型随机变量的所有取值能够一一列出．(3)错误．离散型随机变量的分布列中p i ≥0(i ＝1,2,3，…，n )． (4)正确．由离散型随机变量的分布列的性质可知该命题正确．2．投掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X ，那么X ＝4表示的事件是( C ) A ．一颗是3点，一颗是1点 B ．两颗差不多上2点C ．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗差不多上2点D ．以上答案都不对解析 甲是3点，乙是1点与甲是1点，乙是3点是试验的两个不同结果，故选C ． 3．设随机变量X 的分布列如下.X 1 2 3 4 5P112161316p则p ＝A ．16 B ．13 C ．14D ．112解析 由112＋16＋13＋16＋p ＝1，得p ＝14.4．用X 表示投掷一枚平均的骰子获得的点数，且X 的分布列为P (X ＝i )＝16(i ＝1,2，…，6)，则掷出的点数是偶数的概率为__12__.解析 概率P ＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＋P (X ＝6)＝16＋16＋16＝12.5．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是__12__. 解析 从10件产品中任取4件共有C 410＝210种不同的取法，因为10件产品中有7件正品、3件次品，因此从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37＝105种不同的取法，故所求的概率为P ＝105210＝12.一 离散型随机变量的分布列及性质(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，现在要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范畴内的概率时，依照分布列，将所求范畴内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例1】 设随机变量X 的分布列为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝k 5＝ak (k ＝1,2,3,4,5)．(1)求a ；(2)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35；(3)求P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110<X ≤710.解析 (1)由分布列的性质，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝a ＋2a ＋3a ＋4a ＋5a ＝1，因此a ＝115.(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ≥35＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝45＋P (X ＝1)＝ 3×115＋4×115＋5×115＝45. (3)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫110＜X ≤710＝P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝15＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝25＋P ⎝ ⎛⎭⎪⎫X ＝35＝115＋215＋315＝615＝25.二 离散型随机变量分布列的求法求离散型随机变量X 的分布列的步骤①明白得X 的意义，写出X 可能取的全部值；②求X 取每个值的概率；③写出X 的分布列．注：求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．【例2】 端午节包粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．(1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽的个数，求X 的分布列． 解析 (1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”， 则由古典概型的概率运算公式有P (A )＝C 12C 13C 15C 310＝14.(2)X 能取到的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 38C 310＝715，P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝715，P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝115.综上知，X 的分布列为X 0 1 2 P715715115【例3】 日销售量/件0 1 2 3 频数15953件，当天营业终止后检查存货，若发觉存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为翌日开始营业时该商品的件数，求X 的分布列．解析 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310. (2)由题意知，X 的可能取值为2,3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.因此X 的分布列为【例4】 5局仍未显现连胜，则判定获胜局数多者赢得竞赛．假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局竞赛结果相互独立． (1)求甲在4局以内(含4局)赢得竞赛的概率； (2)记X 为竞赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列．解析 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得竞赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”．则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为X 2 3 4 5 P59291081881三 超几何分布超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，超几何分布的特点是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的分布列．超几何分布要紧用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，事实上质是古典概型．【例5】 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 解析 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，解得x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布． P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0,1,2,3.因此可得其分布列为X 0 1 2 3 P1125125121121．设离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4P0.20.10.10.3m求：(2)|X －1|的分布列．解析 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3.第一列表为(1)2X ＋1的分布列(2)|X2．4(1)从中任取一支，求其标价X 的分布列；(2)从中任取两支，若以Y 表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y 的分布列．解析 (1)X 的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X 的分布列为(2)且P (Y ＝20)＝1C 24＝16，P (Y ＝30)＝2C 24＝13，P (Y ＝40)＝3C 24＝12.因此Y 的分布列为3区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测终止．(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解析 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A .P (A )＝A 12A 13A 25＝310. (2)X 的可能取值为200,300,400.P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－110－310＝35.故X 的分布列为4．在10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X 的分布列；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．解析 (1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0，1,2,3.因此随机变量X 的分布列为(2)1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3， 而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P(A3)＝P(X＝3)＝1120.∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝340＋740＋1120＝31120.易错点随机变量取值不全错因分析：弄清随机变量的取值，正确应用概率公式是关键．有时尽管弄清了随机变量的所有取值，但对某个取值考虑不全面．幸免这种错误发生的有效方法是验证随机变量的概率和是否为1.【例1】盒子中有大小相同的球10个，其中标号为1的球3个，标号为2的球4个，标号为5的球3个．第一次从盒子中任取1个球，放回后第二次再任取1个球(假设取到每个球的可能性都相同)，记第一次与第二次取得球的标号之和为ξ，求随机变量ξ的可能取值及其分布列．解析由题意可得，随机变量ξ的可能取值是2,3,4,6,7,10.P(ξ＝2)＝0.3×0.3＝0.09，P(ξ＝3)＝C12×0.3×0.4＝0.24，P(ξ＝4)＝0.4×0.4＝0.16，P(ξ＝6)＝C12×0.3×0.3＝0.18，P(ξ＝7)＝C12×0.4×0.3＝0.24，P(ξ＝10)＝0.3×0.3＝0.09.故随机变量ξ的分布列为ξ2346710P 0.090.240.160.180.240.09被剔除．机器有一易损零件，在购进机器时，能够额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，假如备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2.从而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.因此X的分布列为(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.课时达标第60讲[解密考纲]离散型随机变量及其分布列在高考中一样与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合，以实际问题为背景出现在三种题型中，难度中等或较大．一、选择题1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝( C)A ．0B ．12 C ．13D ．23解析 设X 的分布列为：即“X p ，则成功率为2p ，∴由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故选C ．2．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设现在取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n的是( D ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3)D ．P (X ＝2)解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n . 3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝( C A ．1 B ．32±336 C ．32－336D ．32＋336解析 由分布列的性质知⎩⎪⎨⎪⎧2－3q ≥0，q 2≥0，13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q ＝32－336.4．随机变量X 的概率分布为P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝( D )A ．23 B ．34 C ．45D ．56解析 ∵P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.5．若随机变量X 的分布列为A ．(－∞，2]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)解析 由随机变量X 的分布列知：P (X <－1)＝0.1，P (X <0)＝0.3，P (X <1)＝0.5，P (X <2)＝0.8，则当P (X <a )＝0.8时，实数a 的取值范畴是(1,2]．6．已知随机变量X 的概率分布列如下表.A ．239 B ．2310 C ．139 D ．1310 解析 由题易知：P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋…＋P (X ＝10)＝1⇒23＋232＋…＋239＋m ＝1⇒m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋232＋…＋239＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－139＝139，故选C ．二、填空题7．设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝12. 解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.8．由于电脑故障，使得随机变量X 的分布列中部分数据丢失(以“x ，y ”代替)，其分布列如下.__2,5__.解析 由于0.20＋0.10＋(0.1·x ＋0.05)＋0.10＋(0.1＋0.01·y )＋0.20＝1，得10x ＋y ＝25，又因为x ，y 为正整数，故两个数据依次是2,5.9．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝__13__，P (X ＝1)＝__13__.解析 由离散型随机变量分布列的性质可知： ⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ＋3－8c ＝1，0≤9c 2－c ≤1，0≤3－8c ≤1，解得c ＝13.P (X ＝1)＝3－8×13＝13.三、解答题10．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条：当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1.(1)求概率P (ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．解析 (1)若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的1个，过任意1个顶点恰有3条棱，因此共有8C 23对相交棱，因此P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝8×366＝411.(2)若两条棱平行，则它们的距离为1或2，其中距离为2的共有6对， 因此P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.因此随机变量ξ的分布列是11).取18人，结果拳击社被抽出了6人．(1)求拳击社团被抽出6人中有5人是男生的概率； (2)设拳击社团有X 名女生被抽出，求X 的分布列．解析 (1)由于按分层抽样的方法从三个社团成员中抽取18人，拳击社被抽出了6人， ∴628＋m ＝1820＋40＋28＋m，∴m ＝2. 设A 为“拳击社团被抽出的6人中有5人是男生”， 则P (A )＝C 528C 12C 630＝48145.(2)由题意可知X ＝0,1,2，P (X ＝0)＝C 628C 630＝92145，P (X ＝1)＝C 528C 12C 630＝48145，P (X ＝2)＝C 428C 22C 630＝5145＝129，X 的分布列为12分别为12，13，23.(1)求该高中获得冠军个数X 的分布列；(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分Y 的分布列． 解析 (1)由题意知X 的可能取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝19，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝2)＝12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×23＋12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×23＝718，P (X ＝3)＝12×13×23＝19.∴X 的分布列为(2)∵X 的可能取值为0,1,2,3， ∴Y 的可能取值为6,9,12,15，则P (Y ＝6)＝P (X ＝0)＝19，P (Y ＝9)＝P (X ＝1)＝718， P (Y ＝12)＝P (X ＝2)＝718，P (Y ＝15)＝P (X ＝3)＝19.∴Y 的分布列为。

第九讲 离散型随机变量的均值与方差、正态分布知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X 的分布列为P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n .(1)均值：称E (X )＝__x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n __为随机变量X 的均值或数学期望． (2)方差：称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的__标准差__.知识点二 均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝__aE (X )＋b __. (2)D (aX ＋b )＝__a 2D (X )__. *(3)D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2.知识点三 两点分布与二项分布的期望与方差(1)若X 服从两点分布，则E (X )＝__p __，D (X )＝__p (1－p )__. (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝__np __，D (X )＝__np (1－p )__. 知识点四 正态分布(1)正态曲线：函数f (x )＝12πσe－(x －μ)22σ2，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ＞0)为参数．我们称函数f (x )的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为μ、标准差为σ的正态分布通常记作__X ～N (μ，σ2)__.(2)正态曲线的性质：①曲线位于x 轴__上方__，与x 轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线__x ＝μ__对称；③曲线在__x ＝μ__处达到峰值1σ2π；④曲线与x 轴之间的面积为__1__；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿着x 轴平移；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越__集中__；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越__分散__.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值： ①P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝__0.682_6__； ②P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝__0.954_4__； ③P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝__0.997_4__.重要结论计算均值与方差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求； (2)已知随机变量X 的均值、方差，求X 的线性函数Y ＝aX ＋b 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求．双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列结论中正确的是( ABC )A ．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定B ．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小C ．正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差D ．若X ～N (0,1)，则P (x <－12)<P (x ≥12)题组二 走进教材2．(P 68A 组T1)已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )A ．73B ．4C ．－1D ．1 [解析]E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.3．(P 75B 组T2改编)设随机变量ξ服从正态分布N (4,3)，若P (ξ<a －5)＝P (ξ>a ＋1)，则实数a 等于( B )A ．7B ．6C ．5D ．4[解析] 由题意知(a －5)＋(a ＋1)2＝4，∴a ＝6.题组三 考题再现4．(2019·南通模拟)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X ≥4)＝0.158 7，则P (2<X <4)＝( A )A ．0.682 6B ．0.341 3C ．0.460 3D ．0.920 7[解析] ∵随机变量X 服从正态分布N (3,1)，∴正态曲线的对称轴是直线x ＝3，∵P (X ≥4)＝0.158 7，∴P (2<X <4)＝1－2P (X ≥4)＝1－0.317 4＝0.682 6.故选A ．5．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝__1.96__.[解析] 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×0.98＝1.96.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 离散型随机变量的均值与方差的概念与性质——自主练透例1 (1)(2018·课标Ⅲ，8)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D (X )＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( B )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3(2)(2020·甘肃兰州一中月考)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知E (X )＝3，则D (X )＝( B )A ．85B ．65C ．45D ．25(3)(2019·浙江卷，7)设0<a <1.随机变量X 的分布列是X 0 a 1 P131313则当a 在(0,1)内增大时，(A ．D (X )增大B ．D (X )减小C ．D (X )先增大后减小D ．D (X )先减小后增大[解析] (1)由题知X ～B (10，p )，则D (X )＝10×p ×(1－p )＝2.4，解得p ＝0.4或0.6.又∵P (X ＝4)<P (X ＝6)，即C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4⇒(1－p )2<p 2⇒p >0.5，∴p ＝0.6，故选B ．(2)由题意知，X ～B (5，3m ＋3)，∴E (X )＝5×3m ＋3＝3，解得m ＝2，∴X ～B (5，35)，∴D (X )＝5×35×(1－35)＝65.故选B ．(3)随机变量X 的期望E (X )＝0×13＋a ×13＋1×13＝a ＋13，D (X )＝[(0－a ＋13)2＋(a －a ＋13)2＋(1－a ＋13)2]×13＝29(a 2－a ＋1) ＝29(a －12)2＋16， 当a ∈(0，12)时，D (X )单调递减，当x ∈(12，1)时，D (X )单调递增，故选D ．名师点拨 ☞若X 是随机变量，则Y ＝f (X )一般仍是随机变量，在求Y 的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求Y 的分布列带来的烦琐运算．〔变式训练1〕(2019·辽宁省丹东质量测试)某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望E (X )＝__300__.[解析] 设没有发芽的种子数为Y ，则有X ＝2Y ， 由题意可知Y 服从二项分布，即Y ～B (1 000,0.15)，E (Y )＝1 000×0.15＝150， E (X )＝2E (Y )＝300.考点二 求离散型随机变量的均值与方差——多维探究角度1 二项分布的均值、方差问题例2 (2019·沈阳模拟)某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75,80)，[80,85)，[85,90)，[90,95)，[95,100](单位：小时)进行统计，其频率分布直方图如图所示．(1)求抽取的200名职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数，试求X 的分布列和数学期望E (X )和方差D (X )．[解析] (1)依题意，培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5＝60，在[95,100)小时的人数为200×0.02×5＝20，故满足题意职工人数为80人，所求概率估计为P ＝60＋20200＝25.(2)依题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 03(35)3＝27125， P (X ＝1)＝C 13×25×(35)2＝54125， P (X ＝2)＝C 23(25)2×35＝36125， P (X ＝3)＝C 33(25)3＝8125， 则随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 P2712554125361258125∵X ～B (3，25)，∴E (X )＝3×25＝65，D (X )＝3×25×35＝1825.角度2 非二项分布的均值、方差问题例3 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动，该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)． [解析] (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为(1－14－12)＝14，(1－16－23)＝16.两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14.P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003. 名师点拨 ☞(1)求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤①理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值；②求ξ取每个值的概率；③写出ξ的分布列；④由均值的定义求E (ξ)；⑤由方差的定义求D (ξ)．(2)二项分布的期望与方差如果ξ～B (n ，p )，则用公式E (ξ)＝np ，D (ξ)＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．〔变式训练2〕(1)(角度2)(2019·包头模拟)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．①若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验，求至少有1件是合格品的概率；②若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列及数学期望E (ξ)，并求该商家拒收这批产品的概率．(2)(角度1)(2020·甘肃天水一中模拟)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．①求顾客抽奖1次能获奖的概率；②若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[解析] (1)①记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A ，用对立事件A 来算，有P (A )＝1－P (A )＝1－0.24＝0.998 4.②ξ可能的取值为0,1,2，P (ξ＝0)＝C 217C 220＝6895，P (ξ＝1)＝C 13C 117C 220＝51190，P (ξ＝2)＝C 23C 220＝3190，故ξ的分布列为E (ξ)＝0×6895＋1×51190＋2×3190＝310.记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率P ＝1－P (B )＝1－6895＝2795.所以商家拒收这批产品的概率为2795.(2)①记事件A 1＝{从甲箱中摸出的1个球是红球}，A 2＝{从乙箱中摸出的1个球是红球}， B 1＝{顾客抽奖1次获一等奖}，B 2＝{顾客抽奖1次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖1次能获奖}． 因为P (A 1)＝410＝25，P (A 2)＝510＝12，所以P (B 1)＝P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝25×12＝15，P (B 2)＝P (A 1A 2＋A 1A 2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝P (A 1)[1－P (A 2)]＋[1－P (A 1)]·P (A 2)＝25×(1－12)＋(1－25)×12＝12.故所求概率为P (C )＝P (B 1＋B 2)＝P (B 1)＋P (B 2)＝15＋12＝710.②顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验， 由(1)知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为15，所以X ～B (3，15)．于是P (X ＝0)＝C 03(45)3＝64125， P (X ＝1)＝C 13(15)1(45)2＝48125， P (X ＝2)＝C 23(15)2(45)1＝12125， P (X ＝3)＝C 33(15)3＝1125. 故X 的分布列为X 0 1 2 3 P6412548125121251125X 的数学期望为E (X )＝3×15＝35.考点三 均值与方差在决策中的应用——师生共研例 4 (2019·广东揭阳模拟)某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电，下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量K (单位：万立方米)的频率分布直方图(不完整)，已知X ∈[0,120]，历年中日泄流量在区间[30,60)的年平均天数为156，一年按364天计．(1)请把频率分布直方图补充完整；(2)该水电站希望安装的发电机尽可能都运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4 000元；若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？[解析] (1)在区间[30,60)的频率为156364＝37，频率组距＝37×30＝170. 设在区间[0,30)上，频率组距＝a ，则(a ＋170＋1105＋1210)×30＝1，解得a ＝1210.补充完整的频率分布直方图如图所示．(2)记水电站日利润为Y 元．由(1)知，无法运行发电机的概率为17，恰好运行一台发电机的概率为37，恰好运行两台发电机的概率为27，恰好运行三台发电机的概率为17.①若安装一台发电机，则Y 的所有可能取值为－500，4 000，其分布列为Y －500 4 000 P1767E (Y )＝－500×17＋4 000×67＝23 5007.②若安装两台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 000，3 500，8 000，其分布列为Y －1 000 3 500 8 000 P173737E (Y )＝－1 000×17＋3 500×37＋8 000×37＝33 5007.③若安装三台发电机，则Y 的所有可能取值为－1 500，3 000，7 500,12 000，其分布列为Y －1 500 3 000 7 500 12 000 P17372717E (Y )＝－1 500×17＋3 000×37＋7 500×27＋12 000×17＝34 5007.因为34 5007>33 5007>23 5007.所以要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装三台发电机． 名师点拨 ☞利用均值与方差解决实际问题的方法(1)对实际问题进行具体分析，将实际问题转化为数学问题，并将问题中的随机变量设出来．(2)依据随机变量取每一个值时所表示的具体事件，求出其相应的概率． (3)依据期望与方差的定义、公式求出相应的期望与方差值． (4)依据期望与方差的意义对实际问题作出决策或给出合理的解释． 〔变式训练3〕(2020·广东化州模拟)为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．[解析] (1)设顾客所获的奖励额为X (单位：元)．①依题意，P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.②依题意，X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)．(2)根据商场的预算，每位顾客的平均奖励额为60 0001 000＝60(元)，所以先寻找数学期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值，所以数学期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1(单位：元)，则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316所以X 1的数学期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60(元)，X 1的方差为D (X 1)＝ (20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003(元)．对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2(单位：元)，则 同理可求得E (X 2)＝60(元)，D (X 2)＝4003(元)，由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求，但方案2的奖励额的方差比方案1的小，顾客所获的奖励额相对均衡，所以应该选择方案2.考点四 正态分布——自主练透例5 (1)(2019·四川遂宁一诊)已知随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，若P (ξ<2)＝P (ξ>6)＝0.15，则P (2≤ξ<4)＝( B )A ．0.3B ．0.35C ．0.5D ．0.7 (2)(2020·山东新高考质量测评联盟联考)在2019年高中学生信息技术测试中，经统计，某校高二学生的测试成绩X ～N (86，σ2)，若已知P (80<X ≤86)＝0.36，则从该校高二年级任选一名考生，他的测试成绩大于92分的概率为( D )A ．0.86B ．0.64C ．0.36D ．0.14[解析] (1)由P (ξ<2)＝P (ξ>6)知，μ＝4，∴P (2≤ξ<4)＝0.5－P (ξ<2)＝0.5－0.15＝0.35.故选B ． (2)由题意P (86<x ≤92)＝P (80<x ≤86)＝0.36， ∴P (X >92)＝0.5－0.36＝0.14，故选D ．[引申]本例(2)中若有1 000名学生参加测试，则测试成绩在80分以上的人数为__860__. [解析] 1 000×P (X >80)＝1 000×[1－(0.5－0.36)]＝860. 〔变式训练4〕(1)(2020·山东潍坊期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，且P (ξ<4)＝0.9，则P (－2<ξ<1)＝( C )A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.6(2)(2019·云南昆明质检)某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布N (84，σ2)，且P (78<X ≤84)＝0.3，该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为( B )A ．60B ．80C ．100D ．120[解析] (1)由P (ξ<4)＝0.9，得P (ξ≥4)＝0.1.又正态曲线关于x ＝1对称． 则P (ξ≤－2)＝P (ξ≥4)＝0.1，所以P (－2<ξ<1)＝1－P (ξ≤－2)－P (ξ≥4)2＝0.4.故选C ．(2)由题意知P (X ≥90)＝P (x ≤78) ＝0.5－P (78<x ≤84)＝0.5－0.3＝0.2. ∵0.2×400＝80，∴选B ． 名师点拨 ☞关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等；②P (X <a )＝1－P (X ≥a )，P (X <μ－a )＝P (X ≥μ＋a )．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG名师讲坛·素养提升 正态分布的实际应用问题例6 (2020·广西柳州铁路一中、玉林一中联考)从某公司生产线生产的某种产品中抽取1 000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：(1)求这1 000件产品质量指标的样本平均数x －和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (175.6<Z <224.4)；②已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品(质量指标值Z ∈(175.6,224.4))的定价为16元；若为次品(质量指标值Z ∉(175.6,224.4))，除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元，若该公司卖出100件这种产品，记Y 表示这些产品的利润，求E (Y )．附：150≈12.2，若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)≈0.68，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)≈0.95. [解析] (1)由题意得x －＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200s 2＝(170－200)2×0.02＋(180－200)2×0.09＋(190－200)2×0.22＋(200－200)2×0.33＋(210－200)2×0.24＋(220－200)2×0.08＋(230－200)2×0.02＝150.即样本平均数为200，样本方差为150. (2)①由(1)可知，μ＝200，σ＝150≈12.2， ∴Z ～N (200,12.22)，∴P (175.6<Z <224.4) ＝P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)≈0.95 ②设X 表示100件产品的正品数， 题意得X ～B (100,0.95)，∴E (X )＝95， ∴E (Y )＝16E (X )－48×5－100×10＝280. 名师点拨 ☞解决正态分布问题的三个关键点若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则 (1)对称轴x ＝μ； (2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率〔变式训练4〕(2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性； ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x ＝116∑16i ＝1x i＝9.97，s ＝116∑16i ＝1(x i －x )2＝116∑16i ＝1(x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.[解析] (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.X 的数学期望为E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小．因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x －＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，因此μ的估计值为10.02.∑16i ＝1x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.。