高中数学第二章概率5第2课时离散型随机变量的方差学案北师大版选修

§5 离散型随机变量的均值与方差1．离散型随机变量的均值(数学期望)设随机变量X 的可能取值为a 1，a 2，…，a r ，取a i 的概率为p i (i ＝1,2，…，r )，即X 的分布列为P (X ＝a i )＝p i (i ＝1,2，…，r )．X 的均值为：a 1P (X ＝a 1)＋a 2P (X ＝a 2)＋…＋a r P (X ＝a r )＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r ，即随机变量X 的取值a i 乘上取值为a i 的概率P (X ＝a i )再求和．X 的均值也称作X 的数学期望(简称期望)，它是一个数，记为EX ，即EX ＝a 1p 1＋a 2p 2＋…＋a r p r .均值EX 刻画的是X 取值的“中心位置”．两点分布的均值为p ，二项分布的均值为p (1－p )． 预习交流1离散型随机变量的均值一定是在试验中出现概率最大的值吗？ 提示：不一定，如，EX ＝0.5 2．离散型随机变量的方差一般地，设X 是一个离散型随机变量，我们用E (X －EX )2来衡量X与EX的平均偏离程度，E (X －EX )2是(X －EX )2的期望，并称之为随机变量X 的方差，记为DX .方差越小，则随机变量的取值就越集中在均值周围，反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散，两点分布的方差为p (1－p )，二项分布的方差为npq .预习交流2随机变量的方差与样本方差有何联系和区别？提示：随机变量的方差是常数，样本方差是随机变量，对于简单的随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越接近于总体方差．一、离散型随机变量的均值(数学期望)某运动员投篮命中率为0.6.(1)求一次投篮时命中次数X 的期望；(2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的期望．思路分析：(1)X 只能取0,1这两个值，列出分布列再求期望；(2)Y ～B (5,0.6)利用公式进行求解．解：(1)投篮一次，命中次数，则EX ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)，则EY ＝np ＝5×0.6＝3.在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的配方方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用不同的添加剂．现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用．根据试验设计学原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．(1)写出X的分布列；(2)求X的数学期望EX.(2)由EX的定义得：EX＝(1＋2＋8＋9)×15＋(3＋4＋6＋7)×15＋5×5＝5.求离散型随机变量的均值(数学期望)一般分为两个步骤：(1)列出离散型随机变量的分布列；(2)利用公式求出均值(数学期望)．二、离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X，Y，X和Y的分布列如下：思路分析：对这两名工人的技术水平进行比较：一是比较两名工人在加工零件数相等的条件下生产出次品数的平均值，即期望；二是看次品数的波动情况，即方差的大小．解：工人甲生产出次品数X的期望和方差分别为：EX＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝0.81；工人乙生产出次品数Y的期望和方差分别为：EY＝0×510＋1×310＋2×210＝0.7，DY＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝0.61.易得，EX＝EY，所以两人生产出次品数的均值相同，技术水平相当，但DX＞DY，可见乙的技术比较稳定．已知X(1)求DX；(2)设Y ＝2X －EX ，求DY .解：(1)∵EX ＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴DX ＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.(2)∵Y ＝2X －EX∴EY ＝－16×13＋4×5＋24×15＋84×15＋104×15＝16，∴DY ＝(－16－16)2×13＋(4－16)2×25＋(24－16)2×115＋(84－16)2×215＋(104－16)2×115＝1 536.已知分布列求离散型随机变量的方差时，首先计算数学期望，然后代入方差公式DX ＝E (X －EX )2求方差，在实际问题中方差反映了数据的稳定与波动情况，在均值相等或相差不大的情况下，方差越小，说明数据越稳定，波动情况越小．1．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝14(k ＝1,2,3,4)，则EX ＝( )．A ．52B ．3.5C ．0.25D ．2 答案：A解析：EX ＝1×14＋2×14＋3×14＋4×14＝52.2．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX ＝( )．A ．43B ．83C ．89D ．19 答案：C解析：∵X ～B (4，13)，∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.3．设随机变量X ～B (n ，p )，且EX ＝1.6，DX ＝1.28，则( )．A ．n ＝4，p ＝0.4B ．n ＝8，p ＝0.2C ．n ＝5，p ＝0.32D ．n ＝7，p ＝0.45 答案：B解析：∵X ～B (n ，p )，∴EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．∴⎩⎪⎨⎪⎧np ＝1.6，np (1－p )＝1.28，解得n ＝8，p ＝0.2.4．若随机变量X若EX ＝1.1，则DX ＝答案：0.49解析：由15＋p ＋310＝1，得p ＝12.∴EX ＝0×15＋1×12＋x ×310＝1.1，解得x ＝2.∴DX ＝(0－1.1)2×15＋(1－1.1)2×12＋(2－1.1)2×310＝0.49.5．海关大楼顶端镶有A ，B 两面大钟，它们的日走时误差分别为X 1，X 2(单位：s)，其分布列为：解：∵EX 1＝0，EX 2＝0，∴EX 1＝EX 2.又∵DX 1＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋02×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5，DX 2＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋02×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2，∴DX 1＜DX 2.∴大钟A 的质量较好．。

5 离散型随机变量的均值与方差一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (a ξ+b )= a 2D ξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则D ξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x 得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程：（一）、复习引入：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 分布列:6. 分布列的两个性质： ⑴P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵P 1+P 2+ (1)7.二项分布:ξ～B (n ，p )，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．08.几何分布： g (k ，p )= 1k qp -，其中k ＝0,1,2,…， p q -=1．9.数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 =ξE+11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．10. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 11 平均数、均值:在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 12. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(；13.若ξB （n,p ），则E ξ=np （二）、探析新课：2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛（三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.解：抛掷散子所得点数X 的分布列为从而123456 3.5666666EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=; 2222221111(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)666611(5 3.5)(6 3.5) 2.9266DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯≈1.71X σ=≈.例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得EX 1 = 1200×0.4 + 1 400×0.3 + 1600×0.2 + 1800×0.1 = 1400 ,DX 1 = (1200-1400) 2 ×0. 4 + (1400-1400 ) 2×0.3 + (1600 -1400 )2×0.2+(1800-1400) 2×0. 1= 40 000 ;EX 2＝1 000×0.4 +1 400×0.3 + 1 800×0.2 + 2200×0.1 = 1400 ,DX 2 = (1000-1400)2×0. 4+(1 400-1400)×0.3 + (1800-1400)2×0.2 + (2200-1400 ) 2×0.l= 160000 .因为EX 1 =EX 2, DX 1<DX 2，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．（四）、课堂练习：1、设ξ～B(n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p2、已知随机变量ξ服从二项分布即ξ~B(6、31)求b (2；6，31) 3、已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，已知ξ和 η的分布列如下：（注得分越大，水平越高）试分析甲、乙技术状况。

§ 离散型随机变量的均值与方差自主整理.设随机变量的可能取值为,…,取的概率为(,…),即的分布为()(,…).则定义的均值为，即随机变量的取值乘上取值的概率（）再求和.的均值也称作的数学期望(简称期望),它是一个数,记为,即.均值刻画的是取值的“”，均值能够反映随机变量取值的“”，这是随机变量的一个重要特征..一般地,设是一个离散型随机变量,我们用来衡量与的平均偏离程度()是的期望,并称之为随机变量的方差,记为.方差越小,则随机变量的取值就越在其均值周围;反之,方差越大,则随机变量的取值就越.高手笔记.期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均.是一个实数,由的分布列唯一确定.即作为随机变量是可变的,可取不同值,而是不变的,它描述取值的平均状态.…直接给出了的求法,即随机变量取值与相应概率值分别相乘后再相加..∵(),∴随机变量的线性函数的期望等于随机变量的期望的线性函数.此式可有如下几种特殊形式:当时()，此式表明常量与随机变量乘积的数学期望，等于这个常量与随机变量的期望的乘积. 当时(),此式表明随机变量与常量和的期望,等于随机变量的期望与这个常量的和.当时(),此式表明常量的期望等于这个常量.表示随机变量对的平均偏离程度越大表明平均偏离程度越大,说明的取值越分散;反之越小的取值越集中在附近.统计中常用来描述的分散程度(称为标准差).与一样也是一个实数,由的分布列唯一确定..要注意()，而易错记为();().名师解惑.期望和方差有哪些性质?剖析：()期望的性质:()(为常数),().()方差的性质:()(为常数),().()期望与方差的联系:()..几个常用离散型随机变量的期望与方差的求解公式是什么？剖析：（）两点分布：设服从两点分布则.（）超几何分布：设服从参数为，的超几何分布，即()(,…｛｝).则（此公式只作为了解，不要求记忆）.（）二项分布：设服从二项分布（）,即()(, …),则，.讲练互动【例】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等.而两个保护区每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为:甲保护区:乙保护区:试评价这两个保护区的管理水平.分析：数学期望仅体现了随机变量取值的平均大小,但有时仅知道均值大小还是不够的,比如:两个随机变量的均值相等了(即数学期望值相等),这就还需要知道随机变量的取值如何在均值周围变化,即计算其方差(或是标准差).方差大说明随机变量取值分散性大;方差小说明取值分散性小,或者说取值比较集中、稳定.一是要比较一下甲、乙两个保护区内每季度发生的违规事件次数的均值,即数学期望;二是要看发生违规事件的波动情况,即方差值的大小(当然,亦可计算其标准差,同样说明道理). 解：甲保护区的违规次数的数学期望和方差为:××××;()×()×()×()×.乙保护区的违规次数的数学期望和方差为：×××;()×()×()×.因为，＞,所以两个保护区内每季度发生的违规平均次数是相同的,但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定,而甲保护区的违规事件次数相对分散,波动性较大.绿色通道:期望决定了随机变量的取值的平均水平、集中位置，而方差求的是随机变量的稳定与波动情况.要防止只由期望来评价两者稳定性,而应该进一步考查其方差.变式训练.有张卡片,其中张标有数字,两张标有数字,从中随机地抽取张卡片,设张卡片数字和为,求和.解：这张卡片上的数字之和这一随机变量的可能取值为.表示取出的张卡片上标有,则().。

第2课时离散型随机变量的方差学习目标 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．知识点离散型随机变量的方差甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列为思考1 试求EX，EY.思考2 能否由EX与EY的值比较两名工人技术水平的高低？思考3 试想用什么指标衡量甲、乙两工人技术水平的高低？梳理(1)离散型随机变量的方差的含义设X是一个离散型随机变量，用E(X－EX)2来衡量X与EX的________________，E(X－EX)2是(X－EX)2的________，称E(X－EX)2为随机变量X的方差，记为________．(2)方差的大小与离散型随机变量的集中与分散程度间的关系方差越____，随机变量的取值越分散；方差越____，随机变量的取值就越集中在其均值周围．(3)参数为n，p的二项分布的方差当随机变量服从参数为n，p的二项分布时，其方差DX＝np(1－p)．类型一求离散型随机变量的方差命题角度1 已知分布列求方差例1 已知X的分布列如下：(1)求X2(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．反思与感悟方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式DX＝EX2－(EX)2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2DX.跟踪训练1 已知η的分布列为(1)求方差；(2)设Y＝2η－Eη，求DY.命题角度2 未知分布列求方差例2 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分为n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列、均值及方差．反思与感悟(1)求离散型随机变量X的均值和方差的基本步骤①理解X的意义，写出X可能取的全部值．②求X取每个值的概率．③写X的分布列．④求EX，DX.(2)若随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．跟踪训练2 在一个不透明的纸袋里装有5个大小相同的小球，其中有1个红球和4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X的均值和方差．类型二 方差的实际应用例3 某投资公司在2017年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率为79和29.项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由．反思与感悟 均值体现了随机变量取值的平均大小，在两种产品相比较时，只比较均值往往是不恰当的，还需比较它们的取值的离散型程度，即通过比较方差，才能做出更准确的判断． 跟踪训练3 甲、乙两名射手在一次射击中的得分分别为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a ，b 的值；(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的射击技术状况．1．已知随机变量X 的分布列为则下列式子：①EX ＝－13；②DX ＝2327；③P (X ＝0)＝13.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．43．已知离散型随机变量X 的分布列如下表所示，若EX ＝0，DX ＝1，则a ＝________，b ＝________.4.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知EX ＝EY ，DX >DY ，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)5．编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E ξ和D ξ.1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．答案精析问题导学思考1 EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝710，EY ＝0×510＋1×310＋2×210＝710.思考2 不能，因为EX ＝EY . 思考3 方差．梳理(1)平均偏离程度 均值 DX (2)大 小 题型探究例1 解 (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为(2)方法一 由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差DX ＝(－1＋14)2×12＋(0＋14)2×14＋(1＋14)2×14＝1116.方法二 由(1)知a ＝14，所以X 的均值EX ＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值EX 2＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差DX ＝EX 2－(EX )2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以EY ＝4EX ＋3＝2，DY ＝42DX ＝11.跟踪训练1 解 (1)∵E η＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D η＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，(2)∵Y ＝2η－E η，∴DY ＝D (2η－E η)＝22D η＝4×384＝1 536. 例2 解 X 可能的取值为0,1,2,3,4， 且P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835，P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835，P (X ＝4)＝1C 48＝170.即X 的分布列为∴EX ＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×170＝2，DX ＝(0－2)2×170＋(1－2)2×835＋(2－2)2×1835＋(3－2)2×835＋(4－2)2×170＝47.跟踪训练2 解 X 的可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(4＋1＋0＋1＋4)＝2.例3 解 若按项目一投资，设获利X 1万元， 则X 1的分布列为∴EX 1＝300×79＋(－150)×29＝200(万元)．DX 1＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，若按项目二投资，设获利X 2万元， 则X 2的分布列为∴EX 2＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200(万元)．DX 2＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000，∴EX 1＝EX 2，DX 1＜DX 2，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资．跟踪训练3 解 (1)由离散型随机变量的分布列的性质，可知a ＋0.1＋0.6＝1，所以a ＝0.3.同理，0.3＋b ＋0.3＝1，所以b ＝0.4. (2)E ξ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E η＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2.D ξ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D η＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E ξ>E η，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D ξ>D η，说明在平均得分相差不大的情况下，甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人射击技术水平都不够优秀，各有优势与劣势． 当堂训练1．C 2.A 3.512 144.乙5．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的分布列为E ξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1.D ξ＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.。

2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第2章概率5 离散型随机变量的均值与方差第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第2课时离散型随机变量的方差课后演练提升北师大版选修2-3 一、选择题1．设投掷一个骰子的点数为随机变量ξ，则Dξ为( )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误!解析：ξ的分布列为∴Eξ＝1×错误!＋2×错误!错误!错误!错误!错误!＝7 2Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!×错误!＝错误!.答案:C2．已知ξ的分布列如下表．则在下列式子中：①Eξ＝－错误!;②Dξ＝错误!;③P（ξ＝0）＝13.正确的有( )A．0个C．2个D．3个解析：易求得Dξ＝错误!2×错误!＋错误!2×错误!＋错误!2×错误!＝错误!，故只有①③正确,故选C．答案：C3．若X的分布列如下表所示且EX＝1。

1，则（）A．DX＝2C．DX＝0。

5 D．DX＝0.49解析:0。

2＋p＋0.3＝1,∴p＝0.5.又EX＝0×0.2＋1×0.5＋0。

离散型随机变量的方差教案第一章：离散型随机变量的方差概念引入教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的概念。

2. 让学生了解方差的概念及其在概率论中的重要性。

3. 让学生掌握计算离散型随机变量方差的方法。

教学内容：1. 离散型随机变量的定义及其数学表达式。

2. 方差的定义及其数学表达式。

3. 离散型随机变量方差的计算方法。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的概念，通过实例让学生理解离散型随机变量的含义。

2. 引入方差的概念，解释方差在概率论中的重要性。

3. 讲解离散型随机变量方差的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量方差计算方法的掌握。

第二章：离散型随机变量的期望值与方差教学目标：1. 让学生理解离散型随机变量的期望值的概念。

2. 让学生掌握计算离散型随机变量期望值的方法。

3. 让学生理解期望值与方差之间的关系。

教学内容：1. 离散型随机变量的期望值的定义及其数学表达式。

2. 离散型随机变量期望值的计算方法。

3. 期望值与方差之间的关系。

教学过程：1. 引入离散型随机变量的期望值的概念，通过实例让学生理解期望值的含义。

2. 讲解离散型随机变量期望值的计算方法，并通过例题让学生掌握计算方法。

3. 讲解期望值与方差之间的关系，并通过例题让学生理解两者之间的关系。

教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对离散型随机变量期望值概念的理解。

2. 通过练习题，检查学生对离散型随机变量期望值计算方法的掌握。

3. 通过练习题，检查学生对期望值与方差之间关系的理解。

第三章：离散型随机变量方差的性质教学目标：1. 让学生掌握离散型随机变量方差的性质。

2. 让学生能够运用方差的性质解决实际问题。

教学内容：1. 离散型随机变量方差的性质及其数学表达式。

2. 离散型随机变量方差的性质在实际问题中的应用。

教学过程：1. 讲解离散型随机变量方差的性质，并通过例题让学生理解方差的性质。

第2课时 离散型随机变量的方差1．离散型随机变量的方差和标准差 (1)方差DX ＝E (X －EX )2. (2)2．方差的性质D (aX ＋b )＝a 2DX .3．方差的意义方差可用来衡量X 与EX 的平均偏离程度，方差越小，则随机变量的取值就越集中在其均值周围；方差越大，则随机变量的取值就越分散．1．若随机变量X 服从两点分布，且在一次试验中事件A 发生的概率P ＝0.5，则EX 和DX 分别为( )A ．0.25,0.5B ．0.5,0.75C ．0.5,0.25D ．1,0.75 C [EX ＝0.5，DX ＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，D ξ＝19，则ξ的标准差为________．13[ξ的标准差D ξ ＝19＝13.] 3．已知随机变量ξ的分布列如下表：则－13 59 [均值E ξ＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13；方差D ξ＝(x 1－E ξ)2·p 1＋(x 2－E ξ)2·p 2＋(x 3－E ξ)2·p 3＝59.]规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[解] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.1．求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值时的概率； (3)写X 的分布列； (4)求EX ，DX .2．若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )， 则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．1．某网站针对某歌唱比赛的歌手A ，B ，C 三人进行网上投票，结果如下：值；(2)若在参加活动的20岁以下的人中，用分层抽样的方法抽取7人作为一个样本，从7人中任意抽取3人，用随机变量X 表示抽取出3人中支持B 的人数，写出X 的分布列，并计算EX ，DX .[解] (1)因为利用分层抽样的方法抽取n 个人时，从“支持A ”的人中抽取了6人， 所以6100＋200＝n200＋400＋800＋100＋100＋400，解得n ＝40.(2)X 的所有可能取值为0,1,2，则分布列为所以EX ＝0×7＋1×7＋2×7＝7，DX ＝7×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－7＋7×⎝⎛⎭⎪⎫1－7＋7×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－672＝2049.1．A ，B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A 机床12[提示] EX 1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX 2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.2．在探究1中，由EX 1＝EX 2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？ [提示] 不能．因为EX 1＝EX 2.3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例2】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤(1)比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高.(2)在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定.(3)下结论.依据方差的几何意义做出结论.2．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：[解] 甲保护区的违规次数X 的数学期望和方差分别为：EX ＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX ＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y 的数学期望和方差分别为：EY ＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；DY ＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX ＝EY ，DX >DY ，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量.1.设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8， 12，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X 的值等于( ) A ．1 B ．2 C ．12D ．4C [随机变量X 服从二项分布，所以D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12X ＝14DX ＝14×8×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝12.]2．已知X 的分布列为则DX 等于( ) A ．0.7 B ．0.61 C ．－0.3D ．0B [EX ＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，DX ＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．已知随机变量X ，D (10X )＝1009，则X 的方差为________．19 [D (10X )＝100DX ＝1009，∴DX ＝19.] 4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，则自动包装机________的质量较好．乙 [因为EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，故乙包装机的质量稳定．]5．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设X 为成活沙柳的株数，已知EX ＝4，DX ＝43，求n ，p 的值．[解] 由题意知，X 服从二项分布B (n ，p )， 由EX ＝np ＝4，DX ＝np (1－p )＝43，得1－p ＝13，∴p ＝23，n ＝6.。

5．2 离散型随机变量的方差一、教学目标1 了解离散型随机变量的方差、标准差的意义。

2 会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

二、教学重点离散型随机变量的方差、标准差。

三、教学难点比拟两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程1、问题情境高二〔21〕班两名同学在同一条件下射击，两名同学的测试成绩统计如下：现要从两名射击手挑选一名射击手参加比赛假设你是老师，你认为挑选哪一位比拟适宜？解：甲、乙射手所得环数X1、X2的分布列如下：∵,∴甲、乙两射手的射击平均水平相同因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平思考交流：发现两个均值相等？怎样解决老师的烦恼？从上面的实例可以看出：仅知道随机变量取值的均值是不够的，为此需要引进另一个数字特征, 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度。

这就是我们这节课要学习的离散型随机变量的方差。

2、讲解新课数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差回忆一组数据的方差的概念：设在一组数据，，…，中，各数据与它们的平均值得差的平方分别是，，…，，那么＋＋…＋叫做这组数据的方差1复习回忆初中的方差在一组数：，，…，中，各数据的平均数为，那么这组数据的方差为：问题情境的解答上式可变形为〔2〕方差的定义对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，…，那么,＝＋＋…＋＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的是随机变量ξ的期望．〔3〕记忆方法: “三个X〞方差的意义：方差越小，那么随机变量的取值就越集中在其均值周围；反之，方差越大，那么随机变量的取值就越分散=求一次投篮命中次数的分布列、期望、方差解：投篮1次命中次数X的分列为那么EX=0×1×=,DX=2×2×=故一次投篮命中次数的期望为，方差为探究1：一次投篮命中次数X与投篮命中的得分数Y之间满足Y=2X1，求得分Y的方差解：投篮1次命中次数Y的分列为那么EY=1×3×=,DY=〔〕2×〔〕2×=故一次投篮命中次数得分Y的方差为探究2：在探究1中，DX与DY有怎样的关系呢？D〔aξ b〕与Dξ呢？证明你的猜测解：DY =4DX猜测：D〔aξ b〕=a 2 Dξ证明：Dξ=Eaξ＋b＝aEξ＋b，Daξb=a2Dξ．〔3〕稳固提升小明的爸爸准备买块手表，现有两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差〞分别为X，Y〔单位：〕，X，Y的分布列如下：X～Y～请你帮小明的爸爸挑选一个品牌的较好手表解：先考虑两块手表的“日走时误差〞X，Y的期望EX=EY=DX= 222=DY=显然，DX> DY, Y这块手表好些。

2.5.2离散型随机变量的方差和标准差一：学习目标：（1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．二：课前自学：（一）、问题情境：甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用表示，的概率分布如下．我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？（二）、知识建构：1．则()(())i x E X -=描述了i 相对于均值的偏离程度，故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中 120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2σ．2．方差公式也可用公式221()ni i i V X x p μ==-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X的标准差，即σ=思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？三、问题探究：例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X ．例2．高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏,在一个口袋中装有10个红球,20个白球,这些球除颜色外完全相同.某学生一次从中摸出5个球,其中红球的个数为X,求X 的数学期望.方差和标准差.（超几何分布H(5,10,30)）例3．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查,若这批产品的不合格品率为0.05,随机变量X 表示这10件产品中的不合格品数,求随机变量X 的方差和标准差。

（二项分布B(10,0.5)）说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)X H n M N 时，2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-， 当~(,)X B n p 时，()(1)V X np p =-． 例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：试分析两名学生的答题成绩水平．四．反馈小结：书上p73 练习 1,2小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法．。

第二课时 离散型随机变量的方差[对应学生用书P33][例1]若EX ＝23，求DX 的值．[思路点拨] 解答本题可先根据∑i ＝1nP i ＝1求出p 的值，然后借助EX ＝23求出x 的取值，最后代入相应的公式求方差．[精解详析] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又EX ＝0×12＋1×13＋16x ＝23，∴x ＝2.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59. [一点通] 求离散型随机变量的方差的方法： (1)根据题目条件先求分布列．(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差．1．(浙江高考)随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.解析：由题意设P (ξ＝1)＝p ，ξ的分布列如下由E (ξ)＝1，可得p ＝35，所以D (ξ)＝12×15＋02×35＋12×15＝25.答案：252．已知随机变量X 的分布列为试求DX 和D (2X －解：EX ＝0×0.2＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.2＋4×0.1 ＝1.8.所以DX ＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.2X －1的分布列为所以E (2X －1)＝所以D (2X －1)＝(－1－2.6)2×0.2＋(1－2.6)2×0.2＋(3－2.6)2×0.3＋(5－2.6)2×0.2＋(7－2.6)2×0.1＝6.24.[例2] 4个黄球，规定每次从袋中任意摸出一球，若摸出的是黄球则不再放回，直到摸出红球为止，求摸球次数X 的均值和方差．[思路点拨]确定X的取值→计算概率 →列出分布列 →求EX ，DX[精解详析] X 可能取值为1,2,3,4,5.P (X ＝1)＝15， P (X ＝2)＝45×14＝15， P (X ＝3)＝45×34×13＝15， P (X ＝4)＝45×34×23×12＝15， P (X ＝5)＝45×34×23×12×1＝15.∴X 的分布列为由定义知，EX ＝0.2×(1＋2＋3＋4＋5)＝3.DX ＝0.2×(22＋12＋02＋12＋22)＝2.[一点通] (1)求离散型随机变量X 的均值和方差的基本步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值时的概率； ③写X 的分布列； ④求EX ，DX .(2)若随机变量X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )， 则EX ＝np ，DX ＝np (1－p )．3．一批产品中次品率为13，现在连续抽查4次，用X 表示次品数，则DX 等于( )A.43 B.83 C.89D.19解析：∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13， ∴DX ＝np (1－p )＝4×13×23＝89.答案：C4．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X 表示所取球的标号．求X 的分布列，均值和方差．解：由题意，得X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，所以P (X ＝0)＝1020＝12，P (X ＝1)＝120，P (X ＝2)＝220＝110，P (X ＝3)＝320，P (X ＝4)＝420＝15.故X 的分布列为所以EX ＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.DX ＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[例3] 所得次品数分别为X ，Y ，X 和Y 的分布列如下表．试对这两名工人的技术水平进行比较．[思路点拨] 解本题的关键是，一要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即数学期望，二要看出次品数的波动情况，即方差值的大小．根据数学期望与方差值判断两名工人的技术水平情况．[精解详析] 工人甲生产出次品数X 的数学期望和方差分别为EX ＝0×610＋1×110＋2×310＝0.7，DX ＝(0－0.7)2×610＋(1－0.7)2×110＋(2－0.7)2×310＝分)工人乙生产出次品数Y 的数学期望和方差分别为EY ＝0×510＋1×510＋2×210＝0.7，DY ＝(0－0.7)2×510＋(1－0.7)2×310＋(2－0.7)2×210＝分)由EX ＝EY 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但DX ＞DY ，可见乙的技术比较稳定．分)[一点通] 均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中．因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析．5．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y ，且X ，Y 的分布列为求：(1)a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的数学期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 解：(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，∴a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2)EX ＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，EY ＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，DX ＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，DY ＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于EX >EY ，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但DX >DY ，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势．6．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案： 第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利与亏损的概率均为12.第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，也可能损失10%，还可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15.第三种方案：李师傅妻子认为：投入股市、基金均有风险，应该将10万块钱全部存入银行一年，现在存款年利率为4%，存款利息税率为5%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为X 万元，则其分布列为EX ＝4×12＋(－2)×12＝1(万元)．若按方案二执行，设收益为Y 万元，则其分布列为EY ＝2×35＋0×15＋(－1)×5＝1(万元)．若按方案三执行，收益z ＝10×4%×(1－5%)＝0.38(万元)， ∴EX ＝EY >z .又DX ＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9.DY ＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85. 由上知DX >DY ，说明虽然方案一、二收益相等，但方案二更稳妥． ∴建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度．方差越小，则随机变量的取值越集中在其均值周围；反之，方差越大，则随机变量的取值就越分散．2．随机变量的方差与样本方差的区别：样本方差是随着样本的不同而变化的，因此，它是一个变量，而随机变量的方差是一个常量．[对应课时跟踪训练十四1．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X 为途中遇到红灯的次数，则随机变量X 的方差为( )A.65 B.1825 C.625D.18125解析：由X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25，∴DX ＝3×25×35＝1825. 答案：B2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝13(k ＝1,2,3)，则D (3X ＋5)＝( )A ．6B ．9C ．3D ．4解析：EX ＝(1＋2＋3)×13＝2，∵Y ＝3X ＋5可能取值为8,11,14，其概率均为13，∴EY ＝8×13＋11×13＋14×13＝11.∴DY ＝D (3X ＋5)＝(8－11)2×13＋(11－11)2×13＋(11－14)2×13＝6.答案：A3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )A ．EX ＝0，DX ＝1B ．EX ＝12，DX ＝12C ．EX ＝0，DX ＝12D ．EX ＝12，DX ＝1解析：EX ＝1×0.5＋(－1)×0.5＝0，DX ＝(1－0)2×0.5＋(－1－0)2×0.5＝1.答案：A4．若随机变量X 的分布列为P (X ＝0)＝a ，P (X ＝1)＝b .若EX ＝13，则DX 等于( )A.13B.23C.19D.29解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b ＝13，∴a ＝23，b ＝13.DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－132×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－132×13＝29. 答案：D5．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________． 解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴EX ＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.56．变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若EX ＝3，则DX 的值为________．解析：由a ，b ，c 成等差数列可知2b ＝a ＋c . 又∵a ＋b ＋c ＝3b ＝1，∴b ＝13，a ＋c ＝23.又∵EX ＝－a ＋c ＝13，∴a ＝16，c ＝12.∴DX ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12 ＝59. 答案：597．(全国新课标改编)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列、数学期望及方差．解：(1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80. 当日需求量n ＜16时，利润y ＝10n －80. 所以y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －80，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)X 可能的取值为60,70,80，并且P (X ＝60)＝0.1，P (X ＝70)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7.X 的分布列为X 的数学期望为EX ＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76. X 的方差为DX ＝(60－76)2×0.1＋(70－76)2×0.2＋(80－76)2×0.7＝44.8．(浙江高考)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E η＝53，D η＝59，求a ∶b ∶c .解：(1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13， P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19， P (ξ＝6)＝1×16×6＝136. 所以ξ的分布列为(2)由题意知η11所以E η＝a a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＋a ＋b ＋c ＝3， D η＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59. 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.。

第2课时离散型随机变量的方差1．理解离散型随机变量的方差的意义．(重点)2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理离散型随机变量的方差的概念阅读教材P61～P62“习题2－5”以上部分，完成下列问题．1．离散型随机变量的方差和标准差(1)方差DX＝________.(2)标准差为________．【答案】(1)E(X－EX)2(2)DX2．方差的性质D(aX＋b)＝________.【答案】a2DX3．方差的意义方差可用来衡量X与EX的________，方差越小，则随机变量的取值就越__________________；方差越大，则随机变量的取值就越________．【答案】平均偏离程度集中在其均值周围分散1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．()(2)若X是常数，则DX＝0.()(3)若DX＝0，则X是常数．()(4)如果X是离散型随机变量，Y＝3X＋2，那么DY＝9DX.()【答案】(1)×(2)√(3)√(4)√2．已知随机变量X的分布列是则DXA．0B．0.8C．1 D．2【解析】∵EX＝1×0.4＋2×0.2＋3×0.4＝2，∴DX＝0.4×(1－2)2＋0.2×(2－2)2＋0.4×(3－2)2＝0.8.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：[小组合作型]生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求Eξ和Dξ.【精彩点拨】首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，进而求出Eξ和Dξ的值．【自主解答】ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位学生全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位学生只有1位学生坐对了，则P (ξ＝1)＝C 13A 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座， 则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以，ξ的分布列为Eξ＝0×13＋1×12＋3×16＝1；Dξ＝13×(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.求离散型随机变量的方差的类型及解决方法1．已知分布列型(超几何分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下： (1)求均值；(2)求方差．2．已知分布列是超几何分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下， (1)若X 服从超几何分布，则DX ＝n M N ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－M N N －n N －1. (2)若X ～B (n ，p )，则DX ＝np (1－p )．3．未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后转化成1中的情况．4．对于已知DX求D(aX＋b)型，利用方差的性质求解，即利用D(aX＋b)＝a2DX求解．[再练一题]1．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求Eξ和Dξ.【解】这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6,9,12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝C 38 C310＝7 15.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝C 28C12 C310＝7 15.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝C 18C22 C310＝1 15.∴ξ的分布列为∴Eξ＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.Dξ＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ为3，方差Dξ为3 2.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．【精彩点拨】(1)利用二项分布的期望与方差计算公式求解．(2)利用互斥事件的概率计算公式求解．【自主解答】由题意知，ξ服从二项分布B(n，p)，P(ξ＝k)＝C k n p k(1－p)n －k，k＝0,1，…，n.(1)由Eξ＝np＝3，Dξ＝np(1－p)＝3 2，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A，则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P(A)＝1－P(ξ>3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aξ＋b)＝a2Dξ，这样处理既避免了求随机变量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程.[再练一题]2．(1)已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且EX＝7，DX＝6，则p等于()A.17 B.16C.15 D.14【解析】np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝6 7，∴p＝17.【答案】 A(2)已知η的分布列为：①求方差；②设Y＝2η－Eη，求DY.【解】①∵Eη＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，Dη＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384.②∵Y＝2η－Eη，∴DY＝D(2η－Eη)＝22Dη＝4×384＝1 536.[探究共研型]探究1A次品的概率如下表：A机床试求12【提示】EX1＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.EX2＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.探究2在探究1中，由EX1＝EX2的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？【提示】不能．因为EX1＝EX2.探究3在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？【提示】利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．【精彩点拨】(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值．【自主解答】(1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：Eξ＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；Eη＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；Dξ＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；Dη＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于Eξ>Eη，Dξ<Dη，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．[再练一题]3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：【解】甲保护区的违规次数X的数学期望和方差分别为：EX＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；DX＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差分别为：EY＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；DY＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41.因为EX＝EY，DX>DY，所以两个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高．[构建·体系]1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎨⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差Dξ等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )【解析】 随机变量ξ的分布列为：∴Eξ∴Dξ＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． 【答案】 D2．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10,0.6)，则EY ，DY 分别是( ) A ．6和2.4 B ．2和2.4 C ．2和5.6D ．6和5.6 【解析】 由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得EY ＝8－EX ＝8－10×0.6＝2，DY ＝(－1)2DX ＝10×0.6×0.4＝2.4. 【答案】 B3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X 1，X 2，已知EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，则自动包装机________的质量较好. 【导学号：62690044】【解析】 因为EX 1＝EX 2，DX 1>DX 2，故乙包装机的质量稳定． 【答案】 乙4．已知离散型随机变量X 的分布列如下表：若【解析】 由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＋112＝1，(－1)×a ＋0×b ＋1×c ＋2×112＝0，(－1－0)2×a ＋(0－0)2×b ＋(1－0)2×c ＋(2－0)2×112＝1，解得a ＝512，b ＝c ＝14.【答案】 512 145．已知某运动员投篮命中率p ＝0.6，(1)求一次投篮命中次数ξ的均值与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的均值与方差．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为则Eξ＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，Dξ＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知，重复5次投篮，命中次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布期望与方差的计算公式，有Eη＝5×0.6＝3，Dη＝5×0.6×0.4＝1.2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。