固体物理学能带理论小结

能带理论一、本章难易及掌握要求要求重点掌握：1）理解能带理论的基本假设和出发点；2）布洛赫定理的描述及证明；3）三维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论；4）紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算；5）明白简约布里渊区的概念和能带的意义及应用；6）会计算能态密度。

本章难点：1）对能带理论的思想理解，以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体，导体，半导体； 2）对三种模型的证明推导。

了解内容：1）能带的成因及对称性；2）万尼尔函数概念；3）波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设：1）绝热近似：由于电子质量远小于离子质量，电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子，可认为离子不动，或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2）平均场近似：在上述多电子系统中，可把多电子中的每一个电子，看作是在离子场及其它电子产生的平均场中运动，这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3）周期场近似：假定所有离子产生的势场和其它电子的平均势场是周期势场，其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1）定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时，电子波动方程的解具有以下性质：形式一：()()ni k R n r R e r ψψ⋅+= ，亦称布洛赫定理，反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二：()()ik rr e u r ψ⋅= ，亦称布洛赫函数，反映了周期场的波函数可用受)(r u k 调制的平面波表示.其中()()n u r u r R =+ ，n R 取布拉维格子的所有格矢成立。

2）证明过程：a. 定义平移算符 T ，)()()()(332211321a T a T a T R T m m m m =b ． 证明 T 与ˆH 的对易性。

ααHT H T = c.代入周期边界条件，求出 T 在 T 与ˆH 共同本征态下的本征值 λ。

本文是关于能带结构概念部分学习的小结，不保证理解准确，欢迎高中低手们批评指教，共同提高。

能带结构是目前采用第一性原理(从头算abinitio)计算所得到的常用信息，可用来结合解释金属、半导体和绝缘体的区别。

能带可分为价带、禁带和导带三部分，导带和价带之间的空隙称为能隙，基本概念如图1所示。

1. 如果能隙很小或为0,则固体为金属材料，在室温下电子很容易获得能量而跳跃至传导带而导电；而绝缘材料则因为能隙很大（通常大于9电子伏特），电子很难跳跃至传导带，所以无法导电。

一般半导体材料的能隙约为1至3电子伏特，介于导体和绝缘体之间。

因此只要给予适当条件的能量激发，或是改变其能隙之间距，此材料就能导电。

2. 能带用来定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点。

价带（valence band），或称价电带，通常指绝对零度时，固体材料里电子的最高能量。

在导带（conduction band）中，电子的能量的范围高于价带（v alence band），而所有在传导带中的电子均可经由外在的电场加速而形成电流。

对于半导体以及绝缘体而言，价带的上方有一个能隙（b andgap），能隙上方的能带则是传导带，电子进入传导带后才能再固体材料内自由移动，形成电流。

对金属而言，则没有能隙介于价带与传导带之间，因此价带是特指半导体与绝缘体的状况。

3. 费米能级(Fermi level)是绝对零度下电子的最高能级。

根据泡利不相容原理，一个量子态不能容纳两个或两个以上的费米子(电子)，所以在绝对零度下，电子将从低到高依次填充各能级，除最高能级外均被填满，形成电子能态的“费米海”。

“费米海”中每个电子的平均能量为（绝对零度下）为费米能级的3/5。

海平面即是费米能级。

一般来说，费米能级对应态密度为0的地方，但对于绝缘体而言，费米能级就位于价带顶。

成为优良电子导体的先决条件是费米能级与一个或更多的能带相交。

4. 能量色散（dispersion of energy）。

k
y
k
x
dZ=2(k)(k空间中能量在E → E+dE两等能面间的体积)
V
2 8 3 Econst dSdk
和自由电子情形不同，这里的等能面 已经不是球面，需要根据等能面形状 具体积分才行。
因为：
dE kE dk
所以：
N ( E )
1 V
dZ dE
1
4 3
dS Econst k E(k )
电子的能量只在布里渊区边界附近偏离自由电子能量，在 布里渊区边界产生能隙。等能面在布里渊区边界面附近发 生畸变，形成向外突出的凸包 等能面几乎总是与布里渊区边界面垂直相交； 费米面所包围的总体积仅依赖于电子浓度，而不取决于电 子与晶格相互作用的细节； 周期场的影响使费米面上的尖锐角圆滑化。
证明：在一般情况下，等能面与布里渊区边界面垂直相交，
近代的能带计算也采用建立在密度泛函理论基础上的局域 密度近似（Local density approximation）方法，理论基础是 非均匀相互作用电子系统的基态能量唯一的由基态电子密度确 定，是基态电子密度 n(r) 的泛函。
其计算流程见下表，上面提到的几种模型都可以用来进行 密度泛函计算。
小结：
由此我们给出对近自由电子能态密度的估计：在能量没 有接近EA时，N(E)和自由电子的结果相差不多，随着能量的 增加，等能面一个比一个更加强烈地向外突出，态密度也超 过自由电子，在 EA处达到极大值，之后，等能面开始残破， 面积开始下降，态密度下降，直到 EC时为零。所以近自由 电子近似下的N(E)如图所示。
k
1 2
Gn
沿布里渊区边界面的法线方向上，
En k
1 2
Gn
En k

ik ( r R n ) u ( r Rn ) e u (r )
u ( r ) ，代入上式有：
(2 )
则：u (r Rn ) u (r )
即布洛赫波是振幅受到具有同晶格周期相同的周期性函数调制的平面 波。
ˆ ( R ) H HT ( R ) 0 ˆ ˆˆ T n n
根据量子力学知识可知：哈密顿量和平移算符有共同的本征态，可选 择哈密顿量的本征态 (r ) 为共同本征态。
采用波恩-卡曼周期性边界条件有： N ˆ ˆ ˆ ˆ (r ) (r N1a1 ) T ( N1a1 ) (r ) T (a1 )T (a1 )T (a1 ) (r ) 1 1 (r )
，而内层电子的变化较小，可以把内层电子和原子实近似看成离子实 这样价电子的等效势场包括离子实的势场，其他价电子的平均势场以 及电子波函数反对称性而带来的交换作用。 能带理论是单电子近似理论，即把每个电子的运动看成是独立的 在一个等效势场中的运动。单电子近似理论最早用于研究多电子原子
，又称为哈特里（Hartree）-福克（o ）自洽场方法。 把多体问题简化为单电子问题需要进行多次简化。1、绝热近似： 原子核或者离子实的质量比电子大的多，离子的运动速度慢，在讨论 电子问题时可以认为离子是固定在瞬时位置上。这样多种粒子的多体 问题就简化为多电子问题；
能带理论取得相当的成功，但也有他的局限性。如过渡金属化 合物的价电子迁移率较小，相应的自由程和晶格常数相当，这时不 能把价电子看成共有化电子，周期场的描述失去意义，能带理论不 再适用。此外，从电子和晶格相互作用的强弱程度来看，在离子晶 体中的电子的运动会引起周围晶格畸变，电子是带着这种畸变一起 前进的，这些情况都不能简单看成周期场中单电子运动。

固体物理中关于能带理论的认识摘要:本文运用能带理论就晶体中的电子行为作一些讨论,以期对能带理论的概念更细致的把握。

关键词:能带理论电子共有化绝热近似平均场近似周期场假定引言能带理论(Energy band theory)是研究晶体(包括金属、绝缘体和半导体的晶体)中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。

它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,即是单电子近似的理论，对于晶体中的价电子而言,等效势场包括原子核的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用,是一种晶体周期性的势场。

能带理论认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子,并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动。

1 能带理论的假定能带理论是目前的固体电子理论中最重要的理论。

量子自由电子理论可作为一种零级近似而归入能带理论。

能带理论是一个近似理论,下面对该理论所作的假定作为一探讨。

实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。

如果不采用一些简化近似,从理论上研究固体的能级和波函数是极为困难的。

1.1 绝热近似考虑到电子与核的质量相差悬殊。

可以把核与电子的运动分开考虑,相当于忽略了电子——声子相互作用。

电子运动时,可以认为核是不动的。

电子是在固体不动的原子核产生的势场中运动。

1.2 平均场近似因为所有电子的运动是关联的。

可用一种平均场来代替价电子之间的相互作用，即假定每个电子所处的势场都相同。

使每个电子的电子间相互作用能仅与该电子的位置有关，而与其它电子的位置无关，在上述近似下，每个电子都处在同样的势场中运动，既所有电子都满足同样的薛定谔方程，只要解得方程，就可得晶体电子体系的电子状态和能量。

使多电子问题简化为一个单电子问题，所以上述近似也称单电子近似。

1.3 周期场假定薛定谔方程中势能项是原子实对电子的势能，具有与晶格相同的周期性。

代表一种平均势能，应是恒量。

因此，在单电子近似和晶格周期场假定下，就把多电子体系问题简化为在晶格周期势场的单电子定态问题，上述在单电子近似基础上的固体电子理论称能带论。

k ( x) eikxuk ( x)
uk ( x) 是周期等于晶格常数
a 的周期函数 uk ( x) uk ( x na)
9
这一结果称为布洛赫定理
证明布洛赫定理 势场具有周期结构,则电子概率密度具有相同的周期性,即
| k ( x) |2 | k ( x a) |2
则:
4
•隧道效应：
晶体是由大量原子有规则 地排列形成的,晶体中包含 着大量的离子,如正离子和 电子,它们之间存在着相互 作用。 离子实
u (r )
r0
f (r )
r
r0
单个正离子 的库仑势
r
各离子的库仑势场迭加形 成周期势场，这个势场是 由一系列势垒组成的。
各库仑势叠加
成的周期势
5
离子实
单个正离子 的库仑势
28
六. 固体能带与原子能级
设想组成晶体的N个原子原来都是孤立存在的，都处于某一能 级，具有相同的能量，当它们靠拢来形成晶体时，每个原子中 的电子不仅受到本身正离子或原子核的作用，还要受到其它正 离子或原子核的作用，这些相互作用都具有相应的能量，电子 原来（原子孤立时）的能量状态就发生了改变，原来的一个能 级就分裂为非常接近的N个。 原子能级分裂成能带。如图。 能带是从原子能级分裂（或 称展宽）而成的，因此表示能 带时常沿用分裂前原子能级的 名称，如 s, p, d , 带
正是能带论，导致了电子科学与技术学科的形成和发展。
1
“能带理论”:是一个近似的理论。在固体中存在着 大量的电子，它们的运动是相互关联着的，每个电 子的运动都要受其它电子运动的牵连，这种多电子 系统严格的解显然是不可能的。 “能带理论”:是单电子近似的理论，就是把每个电子 的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。

第三步简化 —— 周期性势场 所有离子势场和其它电子的平均场是周期性势场
能量本征值的计算 选取某个具有布洛赫函数形式的完全集合，晶体中
的电子的波函数按此函数集合展开。
将电子的波函数代入薛定谔方程，确定展开式中的 系数应满足的久期方程，求解久期方程得到能量本征 值。
电子波函数的计算
根据能量本征值确定电子波函数展开式中的系数, 得到具体的波函数。
能带理论是研究固体中电子运动的主要理论基础。 能带理论对固体中电子的状态进行了较为精确的物理 描述，成功地解释了固体的导电性，所以它一直是固 体物理学的核心部分之一。
(#) (#)中
能带理论是用量子力学研究固体中电子的运动规律，把原 本复杂的多体问题经过一定的近似处理后，转化为一个电子在 周期性势场中的运动，晶体中其它所有电荷的影响均可以用此 单电子的周期性势场来概括。有时也称能带理论为固体的单电 子理论。
这一能级分裂成由 N条能级组成的能带后，能 带最多能容纳 2N(2l +1)个电子。
例如，1ｓ、2ｓ能带，最多容纳 2N个电子。
2ｐ、3ｐ能带，最多容纳 6N个电子。
电子排布时，应从最低的能级排起。
能带理论强调了共有化的价电子以及在波矢 空间中的色散关系，在解释实验现象和预测物理 性质方面都取得了可观的成功。说明了导体、非 导体的区别，是研究半导体理论问题的基础，推 动了半导体技术的发展。
能带理论是一个近似理论，存在着一定的局限性。
注意:能带理论的局限性
1. 一些过渡金属化合物晶体 价电子的迁移率小, 自由程与晶格间距相当, 电
子不为原子所共有, 周期场失去意义，能带理论不适 用了。
2.非晶态固体 非晶态固体和液态金属只有短程有序，两种物质的电
子能谱显然不是长程序的周期场的结果。

能带理论能带理论是目前研究固体中电子运动的一个主要理论基础，它预言固体中电子能量会落在某些限定范围或“带”中，因此，这方面的理论称为能带理论。

对于晶体中的电子，由于电子和周围势场的相互作用，晶体电子并不是自由的，因而其能量与波失间的关系E(k)较为复杂，而这个关系的描述这是能带理论的主要内容。

本章采用一些近似讨论能带的形成，并通过典型的模型介绍能带理论的一些基本结论和概念。

一、三个近似绝热近似：电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以认为离子不动，考察电子运动时，可以不考虑离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。

平均场近似：让其余电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场。

周期场近似： 无论电子之间相互作用的形式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性。

原本哈密顿量是一个非常复杂的多体问题，若不简化求解是相当困难的，但 经过三个近似处理后使复杂的多体问题成为周期场下的单电子问题，从而本章的中心任务就是求解晶体周期势场中单电子的薛定谔方程，即其中二、两个模型（1）近自由电子模型1、模型概述在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

（也称为弱周期场近似） (222U m ∇+)()(r U R r U n =+2、怎样得到近自由电子模型近自由电子近似是晶体电子仅受晶体势场很弱的作用，E(K)是连续的能级。

由于周期性势场的微扰 E(K)在布里渊区边界产生分裂、突变形成禁带，连续的能级形成能带，这时晶体电子行为与自由电子相差不大，因而可以用自由电子波函数来描写今天电子行为。

3、近自由电子近似的主要结果1) 存在能带和禁带：在零级近似下，电子被看成自由粒子，能量本征值 E K0 作为 k 的函数具有抛物线形式。

能带理论课程总结能带理论是一种近似的理论，在固体中存在大量的电子，它们的运动是相互联系着的，每个电子的运动都要受到其它电子运动的牵连。

这种多电子系统严格的解显然是不可能的。

能带理论是单电子近似的理论，就是把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动。

能带理论的出发点是固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动，称为共有化电子。

在讨论共有化电子的运动状态时假定原子实处在平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰，对于理想晶体，原子规则排列成晶格，晶格具有周期性，因而等效势场也具有周期性，晶体中的的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为：也有：为任意晶格矢量。

在研究能带理论时，我们往往通过近似模型的转化，将相关问题简单化。

通过假定体积为V=，有N个带正电荷Ze的例子是，结合系统哈密顿量和体系中的薛定谔方程，首先应用绝热近似的观点将系统哈密顿量简化，实现多粒子问题到多电子问题的转化，再通过单电子近似即用分离变量法对单个电子独立求解得单电子所受势场为：从而实现了多电子问题到单电子问题的转化，最后假定电子所受到的势场具有平移对称性即存在周期场近似，则把能带理论顺利转化为周期性场中的单电子近似问题了。

1、布洛赫定理布洛赫定理指出，当势场具有晶格周期性时，波动方程的解具有以下性质：上式就是布洛赫定理。

根据该定理得到波函数：即布洛赫函数。

Bloch 发现，不管周期势场的具体函数形式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。

具体波动图像如下所示：2、近自由电子模型在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自由的。

因此，我们可以把自由电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。

近自由电子（NFE）模型的定性描述：在NFE 模型中，是以势场严格为零的Schrödinger方程的解（即电子完全是自由的）为出发点的，但必须同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。

固体能带理论（学号：1120120332 姓名：马英 ）摘要：固体能带理论是凝聚态物理学的重要组成部分，在密度泛函理论基础上，对固体能带理论70年来的发展作简单的论述和分析，并阐述固体能带计算各种方法的物理原理及共典型应用。

关键词：固体、半导体、金属、单电子、准粒子、离子、晶体、应力一、自由电子模型在这个模型中，电子与电子，晶格与电子之间的相互作用被忽略.也可以这样说晶格对电子的影响视为平均势场索米菲理论：自由电子模型＋费米狄拉克分布 解释： 1.电子气热容量 2.电子发射3.电子气的顺磁与逆磁效应 二、3个重要近似和周期性势场 绝热近似：由于原子核质量比电子的质量大得多，电子的运动速度远大于原子核的运动速度，即原子核的运动跟不上电子的运动。

所以在考虑电子的运动时，认为原子实不动。

单电子近似：：一个电子在离子实和其它电子所形成的势场中运动。

又称hartree-Fock 自洽场近似。

周期场近似：原子实和电子所形成的势场是周期性的。

周期性势场 ：单电子近似的结果：周期性势场（周期为一个晶格常数）。

3. Bloch 波（1）Bloch 定理：在周期性势场中运动的电子，气波函数由如形式 ：其中u 具有晶格的周期性，即（2）Bloch 波的性质a.波函数不具有晶体周期性，而（k 为实数时）电子分布几率具有晶格的周期性b.当k 为虚数，描写电子的表面态，k ＝is(s>0)(S 小于0时无意义.)c. 周期边界条件：)()(r u e r rk i⋅=ϕ)()(332211a n a n a n r u r u+++=)()(x u e x ika=ϕ222|)(||)(||)(|x u a x x =+=ϕϕ)()(x u e x sx-=ϕ)()(x Na x ϕϕ=+)()(ˆ)(x e x TNa x ikNaϕϕϕ==+)()(a x x n K k k +=+ϕϕd. 波矢相差倒格矢整数倍的Bloch 波等效.因此把波矢限制在第一布区内.且第一布区内的分立波矢数为晶体原胞数N 可容纳的电子数为2N.三、单电子近似下电子的能量状态. 电子满足的薛定谔方程：在克龙尼克—潘纳模型下：周期运动中的离子许可能级形成能带.能带之间存在不许可能量范围称为禁带，且禁带位于布区边界. 关于能带的讨论：1.在原理布区边界的区域内， 电子的能量可粗略的视为自由电子的能量.2.在布区边界上，电子能量不连续，出现禁带，禁带的宽度为：3.在同一能带中，能量最大的地方称为带顶，能量最小的地方称为带底，能量最大值与最小值之差称为能带宽度.带底附近能量曲线是一开口向上的小抛物线，带顶附近，能量曲线是一开口向下的小抛物线.4.能量是k 的周期函数，周期为倒格子矢量.5.能量曲线的三种表示方法:（1）第一布区图 （2）扩展区图 （3）周期区图6.E 为k 的多值函数，以视区别 表示第s 个能带的能量，而k 表示在第一布区中取值. 7.每个能带可容纳2N 个电子，第一布区分立k 的数目为N. 考虑自旋2N.)()()()()())(2(22x u e x V na x V x E x x V m ikx ==+=+∇-ψψψ其中： a -b -0c a 0V cb a +=禁带a πa π232V 22V 12V m k E 222 =|2|g l l V E =禁带a πa π232V 22V 12V )(k E s ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=N Na a ππ22四、费米面的构造费米面是电子的占据态与非占据态之间的分界面.晶体（特别是导体）的许多性质决定于费米面附近电子的行为.因此费米面的形状十分重要。

固体物理总结能带理论完全版目录一、本章难易及掌握要求 (1)二、基本内容 (1)1、三种近似 (1)2、周期场中的布洛赫定理 (2)1)定理的两种描述 (2)2)证明过程: (2)3) 波矢k的取值及其物理意义 (3)3、近自由电子近似 (3)A、非简并情况下 (4)B、简并情况下 (5)C、能带的性质 (6)4、紧束缚近似 (6)5、赝势 (9)6、三种方法的比较 (10)7、布里渊区与能带 (11)8、能态密度及费米面 (11)三、常见习题 (14)简答题部分 (14)计算题部分 (15)一、本章难易及掌握要求要求重点掌握:1)理解能带理论的基本假设与出发点;2)布洛赫定理的描述及证明;3)一维近自由电子近似的模型、求解及波函数讨论,明白三维近自由电子近似的思想;4)紧束缚近似模型及几个典型的结构的计算;5)明白简约布里渊区的概念与能带的意义及应用;6)会计算能态密度及明白费米面的概念。

本章难点:1)对能带理论的思想理解,以及由它衍生出来的的模型的应用。

比如将能带理论应用于区分绝缘体,导体,半导体; 2)对三种模型的证明推导。

了解内容:1)能带的成因及对称性;2)费米面的构造;3)赝势方法;4)旺尼尔函数概念;5)波函数的对称性。

二、基本内容1、三种近似在模型中它用到已经下假设:1)绝热近似:由于电子质量远小于离子质量,电子的运动速度就比离子要大得多。

故相对于电子,可认为离子不动,或者说电子的运动可随时调整来适合离子的运动。

多体问题化为了多电子问题。

2)平均场近似:在上述多电子系统中,可把多电子中的每一个电子,瞧作就是在离子场及其它电子产生的平均场中运动,这种考虑叫平均场近似。

多电子问题化为单电子问题。

3)周期场近似:假定所有离子产生的势场与其它电子的平均势场就是周期势场,其周期为晶格所具有的周期。

单电子在周期性场中。

2、周期场中的布洛赫定理1)定理的两种描述当晶体势场具有晶格周期性时,电子波动方程的解具有以下性质:形式一:()()nik R n r R e r ψψ⋅+=r u u r r v u u v ,亦称布洛赫定理,反映了相邻原包之间的波函数相位差形式二:()()ik rr e u r ψ⋅=r r r r ,亦称布洛赫函数,反映了周期场的波函数可用受)(r u k ϖ调制的平面波表示、其中()()n u r u r R =+r v u u v ,nR ρ取布拉 菲格子的所有格矢成立。

能带理论的学习心得这学期学习了《固体物理学》这门课，《固体物理学》这门课是后续专业课的一门基础课，具有重要的地位。

其中的第四章的能带理论又是这门课的重中之重，现在我就把我读过能带理论后的一些理解和感受写出来，和大家一起来分享。

《固体物理学》基本把能带理论的基础的东西都说的很清楚了，概括起来的话，能带理论研究的是固体中电子运动规律的一种近似理论。

固体由原子组成，原子又包括原子实和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。

为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。

能带理论就属这种单电子近似理论。

首先，我来说说能带理论中的几个重要名词。

能级(Energy Level)：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。

每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。

为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。

能带(Energy Band)：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有5×1022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。

致使高原子核较远的壳层发生交叠，売层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子売层上去，这种现象称为电子的共有化。

从而使本来处于同一能量状态的电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。

禁带(Forbidden Band)：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。

原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。

被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。

注意：因各原子相似壳层上的电子才有相同
的能级，电子只能在相似壳层间转移。因此， 共有化运动的产生是由于不同原子的相似壳层 间的交叠。例：2p支壳层的交叠，3s支壳层的 交叠。也可以说，结合成晶体后，每一个原子 能引起“与之相应”的共有化运动。例：3s能级 引起“3s”的共有化，2p能级引起“2p”的共有化 运动，等等。由于内外壳层交叠程度很不相同， 所以只有最外层电子的共有化运动才显著。
求晶体中的电子态，要解定态薛定谔方程 ∇ 2 ψ(k,r)＋[E －V(r)] ψ(k,r)＝0 其中势能函数V(r)具有晶格周期性，即
V (r ) = V (r + Rn )
= V (r + n1a1 + n2 a2 + n2 a2 )
（一）布洛赫定理
晶体中的电子波函数是按照晶格周期性 进行的调幅平面波. 进行的调幅平面波 即（以一维为例） ψ（k ,x）＝u（k，x）eikx 其中 u（k，x）＝u（k ,x+na） 晶体中的电子波又称为Bloch波。
以Na晶体为例： 设想N个Na原子按Na晶体的体心立方晶 格在空间排列，但近邻原子间的距离R比 实际Na晶体的晶格常数a大得多，原子间 的相互作用可以忽略。两个原子的所有电 子都被厚为R ≫ a的势垒隔开，电子几乎不 可能从一个原子跑到另一个原子去。例如 当R≈30A时，严格计算表明，大约要等 1020年，电子才能从一个原子转移到另一 个原子一次。
3、周期势场假设 由于晶体结构的周期性，使我们有 理由认为：晶体中的每个价电子都处于一 个完全相同的严格周期性势场之内。于是 求解晶体中电子的能量状态的问题——能 带论就归结为求解这样一个周期性势场内 的单电子薛定谔方程的问题。
问题转变为求解单电子定态薛定谔方程： ∇2ψ＋ [E－V(r)]ψ＝0 其中V(r) 是势函数，V(r)=V(r+Rn), Rn为 正格矢，所以能带论即是周期场中的单电 子理论。

对入射波的传播无什么影响，与x-ray在晶体中的传播
是相同的。
π 但当 k n 时，如k a

， a
此时平面波
e
ikx
满足Bragg条件，波程差为2a，相位差为2π，从相邻的
原子反射的波有相同的位相，发生相长干涉，产生向反
方向传播的波 Bragg反射，再一次反向，这样就形成了向相反方向传 播的两列行进波，平衡时两波叠加形成驻波。
ik r
晶体中的电子既有共有化运动也有原子内运动，因
此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带 相间组成的能带结构。
需要指出的是，在固体物理中，能带论是从周期性 势场中推导出来的。但是，周期性势场并不是电子具有
能带结构的必要条件，在非晶固体中，电子同样有能带
结构。 电子能带的形成是由于当原子与原子结合成固体时， 原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集 在一起是晶态还是非晶态，即原子的排列是否具有平移 对称性并不是形成能带的必要条件。
G
2k 2 k 2m
因此用一组代数方程取代了原来的微分方程。该方程组的方程数目巨大，看 起来难以求解，但实际上常常只要解少数几个就足够了
能隙的起因
能隙的起因 对于一维点阵（点阵常数为a），电子的波函数 e
ikx
π 若k远离Bz边界时（即 k a n 时 ），电子波不受
Bragg反射，从各原子散射的波没有确定的位相关系，
bi bi ki ， ( i 1， 2， 3) 2 2
k ( r ) k K ( r )
h
在此范围内k共有N个值(N为晶体原胞数) 。
由Bloch定理可得两个重要结论： 〈1〉Bloch定理表明周期势场中电子的本征函数有Bloch函数

电子枪发射稀疏到，任何时刻空间至多一个电子，但时间足够长后，量子力学的适用范围：量子力学的适用范围：判定常数：h =6.626×10-34J.S ---普朗克常数判定常数：h =6.626×10-34J.S ---普朗克常数hp x x ≥Δ⋅Δhp y y ≥Δ⋅Δhp z z ≥Δ⋅Δ体系的作用量= [长度] ×[动量]体系的作用量= [长度] ×[动量]= [时间] ×[能量]hE t ≥Δ⋅Δ= [角度] ×[角动量]体系的作用量与h 相比拟时，经典力学不再适用。

体系的作用量与h 相比拟时，经典力学不再适用。

¾一个原子内部不可能同时有两个或两个以上的电子具有完全相同的量子数。

泡利不相容原理¾两个自旋相同的电子不可能同时占据同一个状态。

即：同一个状态上只能容纳两个自旋相反的电子lnlm ψlnlm ψ研究的历史发展：1900年，Drude和Lorrentz—金属的经典电子气理论——麦克斯韦—玻尔兹曼统计1928年，Sommerfeld—索末菲自由电子理论—费米—狄拉克统计量子自由电子理论三十年代初期，Bloch和Brilliouin—能带理论量子自由电子理论可作为一种零级近似纳入能带理论！特鲁德模型：①价电子→自由电子（组成电子气），离子实保持原子在自由状态时的构型；③电子气遵从麦克斯韦—玻尔兹曼统计(M -B )②自由电子之间的相互作用忽略不记；二、模型的成功可定性解释金属的电导、霍尔（Hall ）效应和热传导等问题！例如：证明了金属热导率除以电导率与绝对温度的积是一个与温度无关的普适常数（Lorentz 常数）κT σ1、模型2、边界条件3、薛定谔方程的解4、K 空间和能态密度5、费米—狄拉克（Fermi-Driac ）分布6、电子热容量量子力学建立后，索末菲将薛定谔方程应用于自由电子气体模型，建立了量子自由电子理论。

一、考试重点晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识二、复习内容第一章晶体结构基本概念1、晶体分类及其特点：单晶粒子在整个固体中周期性排列非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序）多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间2、晶体的共性：解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质各向异性晶体的性质与方向有关旋转对称性平移对称性3、晶体平移对称性描述：基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元格点用几何点代表基元，该几何点称为格点晶格、平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量基矢元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。

原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。

每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。

晶格常数WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。

WS原胞含一个格点复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格简单格子点阵格点的集合称为点阵布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。

4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、金刚石闪锌矿铅锌矿氯化铯氯化钠钙钛矿结构5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。

六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列5、晶体对称性及分类：对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质对称面对称中心旋转反演轴8种基本点对称操作14种布拉菲晶胞32种宏观对称性7个晶系6、描述晶体性质的参数：配位数晶体中一个原子周围最邻近原子个数称为配位数。

讨 论：
（1）电子出现的几率具有正晶格的周期性 ∣（k ,x）∣2＝∣u（k，x）∣2 ∣（k ,x＋la）∣2=∣u（k ,x+la）∣2 ∵ u（k，x）= u（k ,x+la） ∴∣（k ,x）∣2=∣（k ,x＋la）∣2 物理解释：晶格具有周期性，因而在其中运动 的电子也具有相同周期的的概率分布。
（2）布洛赫定理的另一种表示（理解）。 证明: ∵ （k ,x）＝u（k，x）eikx， u（k，x）＝u（k ,x+la） 所以： u（k，x+la）= u（k，x） ＝（k,x）e-ikx (A) 同时， u（k ,x+la）=（k ,x+la）e-ik(x+la) = [e-ikla （k ,x+la）] e-ikx (B) 比较（A）（B）二式，左右分别相等 ∴ （k ,x+la）＝（k ,x）eikla 物理意义：晶格中两个格点之间的波函数有一个振动的相位差 两种表示实际上是等价的.
2 2 H 晶体中单电子的哈密顿量为： V(r), 其中 V(r) V(r R n ) 2m
2 2 T Hf (r) r a V(r a ) f (r a ) 2m 2 2 V(r) f (r a ) HT f (r) 2m
R m m1a1 m 2a 2 m 3a 3 若平移任意晶格矢量:
T T T T 0
m1 1 m2 2 m3 3
有:
T T T f (r) f (r m1a1 m 2a 2 m 3a 3 )
（2）平移算符与系统哈密顿量对易
所以
N 1 1 ei 2 l1 , 1 ei 2 l1 / N1 ,