最大公因数和最小公倍数应用题区分

小学最大公因数和最小公倍数讲解指导及技巧辩认及实际习题操作人一、必须要掌握的基本概念说到最大公因数（又叫最大公约数），必须要掌握质数和合数的概念，下面三点基本的内容要掌握：1、数字1既不是质数，也不是合数，是一个特殊的自然数2、如果一个数的约数只有1和它本身，这个数就是质数，例如2,3,5,7,11,13,17,19,23等，一定要注意2是唯一的一个既是偶数又是质数的数字。

3、如果一个数的约数含有1和它本身，除这两个之外还有其它的公因数，我们称这个数是合数，例如4,6,8,9等，最小的合数是4，因为他的因数包含1,2,3。

二、最大公约数的定义及求解方法最大公因数，也称最大公约数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。

a,b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c），多个整数的最大公约数也有同样的记号。

求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法和观察法等。

1、质因数分解法定义：把每个数分别进行质因数分解，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例1：求78和36的最大公因数，78=2x3x13,36=2x2x3x3,从这两个式子可以看出，他们的最大公因数是2x3=6例2：求234,78,39的最大公因数234=2x3x3x13,78=2x3x13,39=3x13从中可以看到它们三个数进行分解之后都含有3和13，因此它们的最大公因数是13。

2、短除法短除法求最大公约数，先用这几个数的公约数连续去除，一直除到所有的商互质为止，然后把所有的除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公约数。

例3：求343和245的最大公约数343-245=98,245÷98=2......49,245÷49=5,所以最大公因数是493、观察法这种方法和第一种相似，第一种需要进行计算，这种需要对数字非常熟悉，一般来说要知道这些整除的概念：（1）、被2整除的数字尾数是偶数，例如32和36都是2的倍数，可以直接用2来进行整除。

最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数是数学中常用的概念，它们在我们的日常生活中也有很多应用。

本文将以最大公因数和最小公倍数为主题，分别对它们的定义、性质和应用进行讲解。

一、最大公因数最大公因数也被称为最大公约数，简称为GCD（Greatest Common Divisor）。

它表示两个或多个整数共有的约数中最大的一个数。

例如，对于整数12和16来说，它们的约数分别是1、2、3、4、6和12，其中最大的一个约数为4，因此12和16的最大公因数就是4。

最大公因数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和辗转相除法。

质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的公共质因数，并将这些质因数相乘得到最大公因数。

辗转相除法是通过不断用较小数去除较大数，然后用余数代替较大数，再继续进行除法运算，直到余数为0为止，此时较小数就是最大公因数。

最大公因数有很多重要的性质。

首先，最大公因数大于等于1，因为任意一个数都可以被1整除。

其次，最大公因数可以整除两个或多个数的所有公倍数。

最后，最大公因数与最小公倍数的乘积等于这些数的乘积。

这些性质在数论、代数和几何等领域都有广泛的应用。

最大公因数在日常生活中也有很多实际应用。

例如，在化简分数时，可以将分子和分母的最大公因数约掉，从而得到最简分数。

此外，在求解线性方程时，最大公因数可以帮助我们找到方程的整数解。

另外，最大公因数还可以用于求解模运算、密码学等领域的问题。

二、最小公倍数最小公倍数也被称为最小公约数，简称为LCM（Least Common Multiple）。

它表示两个或多个整数公有的倍数中最小的一个数。

例如，对于整数4和6来说，它们的倍数分别是4、8、12、16、20和6、12、18、24，其中最小的一个公倍数为12，因此4和6的最小公倍数就是12。

最小公倍数的计算方法有很多种，常用的有质因数分解法和列表法。

质因数分解法是将两个或多个数分别进行质因数分解，然后取出它们的所有质因数，并将这些质因数相乘得到最小公倍数。

最大公约数和最小公倍数的比较和应用最大公约数与最小公倍数的应用比较在整除的应用当中，最大公约数和最小公倍数的应用最为广泛，也是最重要的部分。

一道应用题，到底是用最大公约数解题还是用最小公倍数解题，学生最容易混乱。

不妨试用下面这种土方法判断下，问题就会迎刃而解了。

判断法则：如果题目已知总体，求部分，一般用最大公约数解题，先求出总体的最大公约数，再依题意解答；如果题目已知部分，求总体，一般用最小公倍数解题，先求出部分的最小公倍数，再依题意解答。

对比例子（一）1．把一张长60厘米，宽40厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米数的小正方形，且无剩余，最少可以剪成多少块？分析：正方形是在长方形里面剪，所以长方形是总体，正方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，告诉了总体，求的是小正方形，求部分，所以用最大公约数解题。

具体分析：由于题中求剪后无剩余，所以小正方形的边长必须是60和40的公约数。

又因为求最少剪多少块，就要求小正方形的边长最大，所以小正方形的边长一定是60和40的最大公约数。

（60，40）=20 -------这就是小正方形的边长。

（60÷20）×（40÷20）=6（块）或用面积计算：（60×40）÷（20×20）=6（块）2．用长5CM，宽3CM的长方形硬纸片摆成一个正方形（中间无空隙），至少要用几个长方形硬纸片？分析：多个长方形摆成正方形，所以正方形是总体，长方形是部分。

题目告诉你了长方形的长与宽，即告诉了部分，求正方形，即求总体，所以用最小公倍数解题。

具体分析：由于拼摆后正好一个正方形，所以正方形的边长必须是长方形的长与宽的公倍数，又因为要用最少的长方形来摆，所以正方形的边长一定是最小的公倍数。

〔5，3〕=15 CM------这就是正方形的边长（15÷5）×（15÷3）=15（个）长方形或用面积计算：（15×15）÷（5×3）=15（个）对比例子（二）1．一长方体木块，长56CM，宽40CM，高24CM，把它锯成尽可能大，且大小相同的正方体，且无剩余，能锯成多少块？分析：小正方体是从长方体中锯出来的，长方体就是总体，小正方体为部分。

最大公因数和最小公倍数讲解最大公因数和最小公倍数是数学中常见的概念，它们在我们的生活中有着广泛的应用。

本文将以最大公因数和最小公倍数为主题，介绍它们的定义、计算方法以及实际应用。

一、最大公因数的定义和计算方法最大公因数，简称最大公约数，是指两个或多个整数共有的约数中最大的一个。

最大公因数的计算方法有几种常见的方式。

1.1 辗转相除法辗转相除法是一种简单而有效的计算最大公因数的方法。

具体步骤如下：（1）将两个数中较大的数除以较小的数，得到商和余数。

（2）将较小的数除以余数，再次得到商和余数。

（3）重复上述步骤，直到余数为0为止。

此时，较小的数就是最大公因数。

例如，计算30和45的最大公因数：30 ÷ 45 = 0余3045 ÷ 30 = 1余1530 ÷ 15 = 2余0因此，最大公因数为15。

1.2 素因数分解法素因数分解法是一种将数进行质因数分解的方法。

具体步骤如下：（1）将两个数分别进行质因数分解。

（2）将两个数中相同的质因数相乘，得到的结果即为最大公因数。

例如，计算72和96的最大公因数：72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 396 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3公共质因数为2 × 2 × 2 = 8，因此，最大公因数为8。

二、最小公倍数的定义和计算方法最小公倍数指的是两个或多个数的公倍数中最小的一个。

最小公倍数的计算方法有几种常见的方式。

2.1 常用倍数法常用倍数法是一种简单而直观的计算最小公倍数的方法。

具体步骤如下：（1）将两个数列出它们的倍数。

（2）找出两个数中相同的倍数，其中最小的一个即为最小公倍数。

例如，计算6和8的最小公倍数：6的倍数：6、12、18、24、...8的倍数：8、16、24、32、...公共倍数为24，因此，最小公倍数为24。

公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数在数学中，我们常常需要求出多个数的公因数、最大公因数、公倍数和最小公倍数。

掌握这些概念和求法是非常重要的。

最大公因数是几个数公有的因数中最大的那个，可以用列举法、观察法和短除法等方法求得。

例如，求8和6的最大公因数，我们可以先列出它们的因数，然后找出它们的公因数，最后找出它们的最大公因数，即2.观察法可以应用于特殊情况，例如两个数具有倍数关系时，它们的最大公因数就是其中较小的数；两个数是互质数时，它们的最大公因数就是1.如果两个数不是倍数和互质关系，我们可以用小数缩小法，即把较小的数缩小，每次缩小后看得到的商是不是另一个数的因数，直到所得的商是另一个数的因数为止。

短除法是一般情况下求最大公因数的常用方法。

我们可以用这两个数除以它们的公因数，一直除到所得的两个商只有公因数1为止。

然后把最后所有的除数连乘，就得到了二个数最大公因数。

除了最大公因数，我们还需要掌握最小公倍数的求法。

最小公倍数是几个数公有的倍数中最小的那个，可以用列举法、分解质因数法和公式法等方法求得。

例如，求6和8的最小公倍数，我们可以先列出它们的倍数，然后找出它们的公倍数，最后找出它们的最小公倍数，即24.最后，我们需要学会如何解有关最大公因数和最小公倍数的应用题，例如求某些数的最大公因数或最小公倍数，或者求某些数的倍数关系等。

通过练，我们可以更好地掌握这些知识点，并在实际问题中灵活运用。

12和24的最大公因数是4，可以表示为（12，24）=4.互质数是指公因数只有1的两个数，例如1和任何自然数都是互质数，相邻两个自然数如2和3、8和9也是互质数。

两个质数一定是互质数，而两个合数可能是互质数，例如8和9、25和49.2和所有奇数都是互质数，质数与比它小的合数也是互质数。

需要注意的是，质数是对一个数来说，而互质数是对两个数的关系来说的。

在练中，需要判断每组数是不是互质关系或倍数关系，并求出它们的最大公因数。

如何区别运用最大公因数和最小公倍数解决问题一、教学内容：人教版小学数学五年级下册第四单元的内容二、教学背景：本节课是学生已经学习了公因数、最大公因数、约分、公倍数、最小公倍数以及最大公因数和最小公倍数的解决问题的基础上教学的，主要是针对综合练习最大公因数和最小公倍数解决问题时，学生出现解题方法判断混淆的情况而开展的本节课。

三、教学目标：1.通过有针对性的分析讲评，使学生进一步掌握区别运用最大公因数和最小公倍数解决问题的关键。

2.通过对比练习，总结方法，让学生解题思路更清晰。

3.培养了学生善于发现，归纳方法的能力。

四、教学重难点：如何掌握区别最大公因数和最小公倍数解决问题的方法。

五、教学方法：讲授法，演示法，观察法六、教学过程：（一）谈话导入今天我上微课的内容是人教版小学数学五年级下册第四单元的内容《如何区别运用最大公因数和最小公倍数解决问题》。

（二）授课过程1.出示教材课件第62页例3及教材70页例3。

（以下称为求最大公因数的例题和最小公倍数的例题）。

2.读题，分析题意。

（1）分析求最大公因数例题题意理解：假设正方形边长是a，它与长方形长和宽的关系，可以是多少求什么？最大又是多少又是求什么？（2）分析求最小公倍数例题题意理解：假设正方形边长为b，观察b与长方形长和宽的关系，正方形的边长可以是多少分米求什么？最小的又是多少分米又是求什么？3.小结求最大公因数的例题，我们引导发现已知总长度，求一块砖的长，我们可以理解为已知总数，求每份数，求最小公倍数的例题中，已知一块砖的长宽，求总长度，我们就可以理解为已知每份数，求总数。

（三）巩固练习1.教材第63页练习十五第6题。

2. 教材第71页练习十七第7题(四)课堂总结：通过今天的学习，了解到已知总数求每份数，用最大公因数的知识解答，已知每份数求总数，应该用最小公倍数的知识解决。

相信同学们通过今天的学习，更容易区别这两种应用题的异同，学会正确解决问题。

（五）课后练习1.参加数学竞赛的学生人数在40---50人之间，如果6人一组，那么有一个组多4人；如果8人一组，那么有两个组各少1人。

求最大公因数和最小公倍数的方法：一、 特殊情况：1、倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。

（如；6和12的最大公因数是6，最小公倍数是12。

）2、互质关系的两个数，最大公因数是１，最小公倍数是它们的乘积。

（如，5和7的最大公因数时1，最小公倍数是5×7=35）二、一般情况：1求最大公因数：列举法、单列举法、分解质因数法、短除法、除法算式法。

①列举法：如，求18和27的最大公因数：先找出两个数的所有因数 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27再找出两个数的公因数： 18的因数有：1、2、3、6、9、1827的因数有：1、3、9、27 1、3、9最后找出最大公因数： 9②单列举法：如，求18和27的最大公因数先找出其中一个数的因数：18的因数有：1、2、3、6、9、18再找这些因数中那些又是另一个数的因数：1、3、9又是27的因数最后找出最大公因数： 9> ③短除法：3 18 273 6 9 除到商是互质数为止，最后把所有的除数相乘2 3 3×3=9④除法算式法：用这两个数同时除以公因数，除到最大公因数为止。

18. 9就是18和27的最大公因数 27)2、求最小公倍数：列举法、单列举法、大数翻倍法、分解质因数法或短除法。

①列举法：如，求18和12的最小公倍数先按从小到大的顺序找出这两个数的倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48再找出两个数的最小公倍数： 18的倍数：18、36、54、7212的倍数：12、24、36、48 :②单列举法：如，求18和12的最小公倍数先找出一个数的倍数： 18的倍数有：18、36、54、72再按从小到大的顺序找这些倍数中那个又是另一个数的倍数，找出最小公倍数： 36 ③大数翻倍法：如，求18和12的最小公倍数把较大的数翻倍（2倍开始），每次翻倍后看结果是不是另一个数的倍数，直到找到最小公倍数为止。

倍数关系的最大公因数和最小公倍数倍数关系是数学中比较常见的一种关系，指两个数中一个是另一个的整数倍关系。

而最大公因数和最小公倍数是求解倍数关系常用的方法。

本文将介绍倍数关系的概念，并详细讲述最大公因数和最小公倍数的概念、求解方法以及应用。

一、倍数关系倍数关系是指两个数中一个是另一个的整数倍关系。

比如，6和12是倍数关系，因为12是6的2倍。

求解倍数关系的方法是用一个数去除以另一个数，如果余数为0，则这两个数存在倍数关系。

比如，用12去除以6，余数为0，所以6和12存在倍数关系。

二、最大公因数最大公因数是指两个或多个数中最大的公约数，常用符号是gcd。

求最大公因数的方法有很多种，常见的有质因数分解法、辗转相除法和欧几里得算法等。

1. 质因数分解法质因数分解法是将两个数分别进行质因数分解，然后找出两个数中相同的质因数，将它们相乘即为最大公因数。

比如，求48和60的最大公因数，首先将它们分别进行质因数分解：48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 360 = 2 × 2 × 3 × 5然后找出两个数中相同的质因数2和3，将它们相乘得到最大公因数为6。

2. 辗转相除法辗转相除法是指用一个数除以另一个数，然后用余数再去除以前一个数，一直重复这个过程，直到余数为0为止，此时最后一个被除数即为最大公因数。

比如，求48和60的最大公因数，先用大数60去除以小数48，余数为12，然后用12去除以48，余数为0，这时候48即为最大公因数。

3. 欧几里得算法欧几里得算法是指用一个数除以另一个数，然后用余数替换被除数，继续除以余数，重复这个过程，直到余数为0为止，此时最后一个被除数即为最大公因数。

比如，求48和60的最大公因数，先用大数60除以小数48，余数为12，然后用12去除以48，余数为0，这时候48即为最大公因数。

三、最小公倍数最小公倍数是指两个或多个数中最小的公倍数，常用符号是lcm。

最小公倍数与最大公因数典型的应用题汇总一、解题技巧：最大公因数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于小数（即处于除数、商、因数）的地位时，因为小数（即处于除数、商、因数）是大数（即处于被除数、被除数、积）的因数，此时，所求的数量就处于因数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最长的所求数量，即求他们的公因数/最大公因数的应用题。

最小公倍数解题技巧：通常从问题入手，所求的数量处于大数（即处于被除数、被除数、积）的地位时，因为大数（即处于被除数、被除数、积）是小数（即处于除数、商、因数）的倍数，此时，所求的数量应处于倍数的地位。

如果出现相同的（公有的）/最小的所求数量，即求他们的公倍数/最小公倍数的应用题。

补充部分公式小长方形个数=（大正方形边长÷小长方形长）×（大正方形边长÷小长方形的宽）小正方形个数=（大长方形的长÷小正方形边长）×（大长方形的宽÷小正方形边长）小长方体个数=（大正方体边长÷小长方体长）×（大正方体边长÷小长方体的宽）×（大正方体边长÷小长方体高）小正方体个数=（大长方体边长÷小正方体边长）×（大长方体的宽÷小正方体边长）×（大长方体的高÷小正方体边长）剩余定理余数相同时，总数（被除数）=最小公倍数＋余数缺数相同时，总数（被除数）=最小公倍数－缺数植树问题公式不封闭型：2、只有一端都栽1、两端都栽间隔个数=株数间隔个数=株数－1株数=间隔个数＋1 株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数3、两端都不栽间隔个数=株数＋1株数=间隔个数－1封闭型：间隔个数=株数株数=间隔个数距离=一个间隔的长度×间隔个数封闭型再正方形边上栽，并且4个顶点都栽：株数=（每边株数－1）×4备注：上下多少层楼以及锯段数及敲钟问题等实际运用实质上是两端都栽树的植树问题，这类题通常先求一层／一段需要多少时间，再乘以段数即可二、经典题目1、一个大长方形长24厘米，宽18厘米，把它裁成若干个小正方形而没有剩余，如小正方形的边长最长，边长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方形？2、一个长方形的长6厘米，宽4厘米，至少要多少个这样的小长方形才能拼成一个大的正方形？此时，大的正方形的边长是多少厘米？3、一个大长方体长24厘米，宽18厘米，高12厘米，把它裁成若干个小正方体而没有剩余，如小正方体的边长最长，正方体的棱长是多少厘米？最多能裁成多少个小正方体？4、一个长方体的长6厘米，宽4厘米，高2厘米。