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《第四讲因式分解》基础演练【基础演练】1．(2012·温州)把多项式a3－4a分解因式，下列结果正确的是( ) A．a3－4a B．(a－2)(a＋2)C．a(a＋2)(a－2) D．(a－2)2－4解析因为a3－4a＝a(a2－4)＝a(a＋2)(a－2)，所以选C.答案 C2．(2012·恩施自治州)分解因式a4b－6a3b＋9a2b的正确结果是( ) A．a2b(a2－6a＋9) B．a2b(a＋3)(a－3)C．b(a2－3)2D．a2b(a－3)2解析因为a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)＝a2b(a－3)2，所以选D.答案 D3．下列等式不成立的是 ( ) A．m2－16＝(m－4)(m＋4)B．m2＋4m＝m(m＋4)C．m2－8m＋16＝(m－4)2D．m2＋3m＋9＝(m＋3)2答案 D4．把代数式3x3－6x2y＋3xy2分解因式，结果正确的是( ) A．x(3x＋y)(x－3y)B．3x(x2－2xy＋y2)C．x(3x－y)2D．3x(x－y)2解析先利用提公因式法，再利用公式法分解即可，所以3x3－6x2y＋3xy2＝3x(x－y)2.答案D5．(2012·无锡)分解因式(x－1)2－2(x－1)＋1的结果是( ) A．(x－1)(x－2) B．x2C．(x＋1)2D．(x－2)2解析因为(x－1)2－2(x－1)＋1＝(x－1－1)2＝(x－2)2，所以选D.答案 D6．(2012·广东广州)分解因式：a3－8a＝________．解析a3－8a＝a(a2－8)．答案a(a2－8)7．分解因式：x2＋3x＝________．解析利用提公因式法分解即可．答案x(x＋3)8．(2012·义乌)分解因式：x2－9＝________．答案(x＋3)(x－3)9．(2012·宜宾)分解因式：3m2－6mn＋3n2＝________．答案3(m－n)210．(2012·绍兴)分解因式：a3－a.解析a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)答案(x2＋2)(x＋2)(x－2)11．(2012·苏州)已知a＝2，a＋b＝3，求a2＋ab的值．答案a2＋ab＝a(a＋b)＝2×3＝6【能力提升】12．(2011·杭州)在实数范围内分解因式：x4－4＝________．解析x4－4＝(x2＋2)(x2－2)＝(x2＋2)(x＋2)(x－2)答案(x2＋2)(x＋2)(x－2)13．分解因式：16－8(x－y)＋(x－y)2＝________．解析实质考查完全平方公式因式分解，把(x－y)看成一个整体．答案(x－y－4)214．分解因式：a4－2a2＋1＝________．解析先利用完全平方公式分解，再利用平方差公式．a 4－2a 2＋1＝(a 2－1)2＝[(a ＋1)(a －1)]2＝(a ＋1)2(a －1)2.答案 (a ＋1)2(a －1)2 15.7或－5 15．(2012·天门)若多项式a 2＋(k －1)ab ＋9b 2能运用完全平方公式进行分解因式，则实数k ＝________．解析 因原式可用完全平方公式分解，所以k －1＝±6，∴k ＝1±6，即k ＝7或－5. 答案 7或－516．分解因式：8(x 2－2y 2)－x (7x ＋y )＋xy .解 原式＝8x 2－16y 2－7x 2－xy ＋xy＝x 2－16y 2＝(x ＋4y )(x －4y ) 17．(2012·宁波)已知：x ＝3＋1，y ＝3－1，求x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2的值． 解 x 2－2xy ＋y 2x 2－y 2＝（x －y ）2（x ＋y ）（x －y ）＝x －y x ＋y又∵x ＋y ＝23，x －y ＝2 ∴原式＝223＝3318．先化简，再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x －x －2x ＋1÷2x 2－x x 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0. 解 原式＝（x －1）（x ＋1）－x （x －2）x （x ＋1）×x 2＋2x ＋12x 2－x＝2x －1x （x ＋1）·（x ＋1）2x （2x －1）＝x ＋1x2 又当x 2－x －1＝0，∴x 2＝x ＋1，∴原式＝x ＋1x ＋1＝1. 19．先化简、再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＋1÷x x 2－1，其中x ＝2＋1. 解 原式＝x ＋1－1x ＋1×x 2－1x ＝xx ＋1·（x ＋1）（x －1）x ＝x －1∴当x ＝2＋1时， 原式＝2＋1－1＝ 2.20．(2012·广东珠海)先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫x x －1－1x 2－x ÷(x ＋1)其中x ＝ 2. 解 原式＝x 2－1x （x －1）×1x ＋1＝（x －1）（x ＋1）x （x －1）·1x ＋1＝1x∴当x ＝2时，原式＝12＝22. 21．(2012·广东广州)已知1a ＋1b ＝5(a ≠b )，求a b （a －b ）－b a （a －b ）的值． 解 ∵1a ＋1b＝5， ∴a ＋b ab ＝5， ∴a b （a －b ）－b a （a －b ）＝a 2ab （a －b ）－b 2ab （a －b ）＝a 2－b 2ab （a －b ）＝（a ＋b ）（a －b ）ab （a －b ） ＝a ＋b ab＝ 5. 22．(2012·潍坊)阅读下列材料，你能得到什么结论？并利用(1)的结论分解因式．(1)形如x 2＋(p ＋q )x ＋pq 型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和，把这个二次三项式进行分解因式，可以这样来解： x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝x 2＋px ＋qx ＋pq＝(x 2＋px )＋(qx ＋pq )＝x (x ＋p )＋q (x ＋p )＝(x ＋p )(x ＋q )．因此，可以得x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝________．利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．(2)利用(1)的结论分解因式：①m2＋7m－18；②x2－2x－15.(1)解析x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q) 答案(x＋p)(x＋q)(2)解①m2＋7m－18＝m2＋(9－2)m＋(－2)×9＝(m＋9)(m－2)②x2－2x－15＝x2＋(－5＋3)x＋(－5)×3＝(x－5)(x＋3)。
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍 多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a 2-b 2 ---------a 2-b 2=(a+b)(a-b)；(2) (a ±b)2 = a 2±2ab+b 2 ——— a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；&(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a bc ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++， 则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.;（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
