最大公因数课件ppt

整块：不能切割
整块正方形地砖正好铺满？
3
分析与解答
答：可以选择边长是1分米、2分米、4分米的地砖，边长最大是4分米。
分析与解答
整正方形地砖正好铺满？
分析与解答
整块正方形地砖正好铺满？
16÷（ 地砖边长）=整数块
正方形地砖的边长既是16的因数又是12的因数， 也就是16和12的公因数。
整分米数：正方形的边长是整数
铺满：不能有缝隙
整块：不能被切割
16 和 12 分别除以1、2、4，都符合要求。
用公因数的知识来解决
回顾与反思
怎样解决铺地砖的实际问题？
求公因数和最大公因数的数学问题
有一张长方形纸，长70cm,宽50cm。如果要剪成若干同样大小的正方形而没有剩余，剪出的正方形的边长最大是几厘米？
答：每根小棒最长有4厘米。
你有什么收获
学
习
容
内
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
最大公因数（第2课时）
什么是最大公因数？怎么求最大公因数？
最大公因数有什么用？
小亮家储藏室的长方形地面长16dm,宽12dm。如果要用边长是整分米数的正方形地砖把储藏室的地面铺满(使用的地砖必须都是整块),可以选择边长是几分米的地砖?边长最大是几分米?
阅读与理解
整分米数：正方形的边长是整数
铺满：不能有缝隙
12的因数：1，2，3，4，6，12
16和12的公因数有1，2，4，最大公因数是4。所以，可以选边长是1dm,2dm,4dm的地砖，边长最大是4dm。
12÷（ 地砖边长）=整数块
分析与解答

老师把最后的一个奖给拿了两 次奖的最大的那个数,你们认为是 谁呢？
游1请11它161为1最作分最请313公5它1111求121用5求游33它它16找6用122请， ， 和 ， ， ，， 、， 和 和 ， 、5555040500570既戏摸们什大业享大摸因们最自最戏们们出自摸和和和和和和的和的和 和和的32933223992在 在9规 到 的 么 公 ： 。 公 到 数 的 大 己 大 规 的 的 下 己 到，2，2225，1因，、 2、，因552、因的111111071010则乒公学因回因乒是公公喜公则公公面喜乒既4既数既55既数5数88的的的的的的的的因既， ，和 ，和：乓因号数家数乓两因因欢因：因因每欢乓是是：是是：：最最最最公最最最数是11212如球数是的后的球个数数的数如数数组的球1111111大大大大因大0大大0707又55551，，，， ，相 ，相果是求让概是数。方。果数方是11111公公公公数公公公的6的的的是，、，，，223的既 既同 既同你解自念的法你的法111因因因因是因因因因因，因因，，122232333,,,因的 的0摸方己：因选摸最选333的，、的，，，的数数数数数数数1559数数数数的000，，，，数因 因到法的两数择到大择因94因999因的 的的是是是是是是是又又又又因中的中中中2112又数 数盒：家个中自盒公自数数数因 因因3333313是是是是、007数同9999。。。。。0。是用 用，，。子列人或相己子因己的的的数 数数2最2最22最最5。，学12111自 自,22的举出多同喜的数喜1同同同1又 又又大大大大0的的的的5596拿0己 己的乒法两个的欢乒。欢，，和学学和学是 是是。。。。因因因因了喜 喜因乓和组整因一乓一551起起4起555数数数数000两8000欢 欢数球筛数数数组球组立立立的的 的的，，，，。。个的 的，是选字公；数是数，，，最因 因因1111礼方 方5那555老法，有老报报报大数 数数和和和和物式 式就师。快因师111出出出公， ，，2222555呢圈 圈把给速数给1111自自自和和和因333的的的的？出 出000它的的中的己己己111数和 和和最最最最222来 来们数用最数摸摸摸是555大大大大。 。叫000的自大的到到到1的 的的公公公公。作因己的因的的的最 最最因因因因1数喜一数1数数数6大 大大数数数数5你欢个你和，，，和公 公公是是是是有的。有2展展展1因 因因303336小方小。的。。。示示示数 数数小式小公给给给是 是是奖找奖因大大大111品出品444000数家家家222。 。。。公。。。。。和和和因555444数和最大公因数，把你的结果和家人、小朋友、老师一起

长的小段，这根木条可能长多少分米？至少截多少段？
求公倍数 解题关键：这根木条的长度不会少于5dm或6dm。公倍数问题 [5，6]=30 最小公倍数 30的倍数：30，60，90… 30÷6=5（段） 答：这根木条可能长30dm,60dm,90dm…。至少截5段。
对比练习3： 1.六（5）同学排练自编操，既可以每排站6人，也可以 每排站7人，六（5）班至少多少人？
12÷6=2（块） 12÷4=3（块） 2×3=6（块）
答：正方形的边长可能是12dm，24dm，36dm…，至少要用6块这样的纸板。
2、贝贝用一块长6分米、宽4分米的长方形纸板裁成若干个边长是整分米数的小
正方形，小正方形的边长可能是多少？至少可以裁成多少块？
求公因数
求块数
解题关键：裁成的正方形边长不会多于长方形的长、宽。
根据下面的短除，选择正确答案． 最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
1和56
(8,15）=1 (37,74）=37 答：每段可能长1dm,2dm,3dm,6dm，至少可以截成7段。
求这三个数的最小公倍数呢？ 答：两人下一次在敬老院相遇是7月19日。
(1,56）=1
[8,15]=120 [37,74]=74 2×3×3×5＝90
答：五一班至少有38人。
C. 2×3×3×5＝90
18和30的最小公倍数是（ B ）
A：2×3＝6 B：2×3×3×5＝90
C：18×30＝540
5.判断
（1）两个数成倍数关系，其中一个数一定是这两个数的最
小公倍数。
（√ ）
（2）两个数的公因数只有1，这两个数的最小公倍数就是1。
两个数的公因数只有1，说明它们互质， （ × ）
或1和63

03
最大公因数的应用
在分数化简中的应用
总结词
最大公因数在分数化简中起到关键作用，通过找到分子和分母的最大公因数，可 以将分数化简为最简形式。
详细描述
在数学中，分数化简是一个常见的操作。通过找到分子和分母的最大公因数（ GCD），可以将分数中的分子和分母同时除以这个最大公因数，从而化简分数。 这个过程可以有效地简化分数，使其更容易进行后续的数学运算。
最大公因数的性质
互质关系
如果两个整数的最大公因数为1，则 它们互质。
整除性质
如果一个整数a能被另一个整数b整除 ，那么a的最大公因数一定是b的倍数 。
最大公因数在数学中的应用
1 2
3
分数的约分
最大公因数在分数约分中起到关键作用，通过找到分子和分 母的最大公因数，可以将分数约简为最简形式。
解方程
在解线性方程组时，可以利用最大公因数来消元，简化方程 组。
因此，24和36的最大公因数是12。
最大公约数的性质和求法
最大公约数的性质：两数的最大公约数 与它们的整数倍数的最大公约数相同。
2. 如果求30和45的2倍数的最大公约数 ，结果仍然是15。
1. 30和45的最大公约数是15。
求法：如果两数的最大公约数是GCD， 那么它们的整数倍数的最大公约数也是 GCD。
最大公约数与最小公倍数的运算性质
性质一
两数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，即ab=GCD(a,b)LCM(a,b)。
性质二
两数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数，即GCD(a,b)=GCD(a,b-a)。
性质三
两数的最小公倍数等于它们的最大公约数和它们的乘积的商，即LCM(a,b)=ab/GCD(a,b)。

4. 找出下列各分数中分子和分母的最大公因数，写在 括号里。
1
4
18
3
7
11
（选题源于教材P63第4题）
提示：点击 进入习题
1
2
3
4
5
6
7
知识点 1 最大公因数
1. 把16和24的因数、公因数分别填在相应的位置， 再圈出它们的最大公因数。
圈出略。 16和24的最大公因数是( 8 )。
知识点 2 求两个数的最大公因数的方法
(4) 12、30和36的公因数有( 1，2，3，6 )，最大公 因数是( 6 )。
易错点 没有理解公因数和最大公因数的意义
3.以下说法正确的有( A )个。 ①两个合数的最大公因数不可能是1。
②两个数的最大公因数一定比这两个数都小。
③两个质数没有最大公因错在忽略了两个合数是互质数的情况， 如8和9，14和15，它们的最大公因数都 是1。②错在忽略了当两个数是倍数关 系时，较小数就是它们的最大公因数。 ③两个质数的公因数是1，故它们的最 大公因数是1。
4 分数的意义和性质
第9课时 最大公因数
RJ 五年级下册
教材习题
1．填空。
（选题源于教材P63第1题）
（1）10和15的公因数有
1, 5
。
（2）14和49的公因数有
1, 7
。
2. 找出下面每组数的最大公因数。
3
3
6
15
9
1
17
16
1
13
（选题源于教材P63第2题）
3. 先用“√”画出第一列各个数的因数，再填空。
10 5 11 1 4
提升点 2 求两个数的最大公因数的两种特殊情况

因为 d rn qnrn1 rn2
=( )a+( )b 令第一个括号里数为x,第二个括号里数为y, 即得。
第14页
推论：(a,b)=1 存在整数x,y使得
ax+by=1
证： 显然。
设ax+by=1，又设d=(a,b)，
则有 d|a,d|b,有d|1,即d=1
注:以上给出了证实(a,b)=1一个常规方 法.即先设d=(a,b)，然后证实d|1,即得 d=1
1 2 9 |1k 2k 9k
第19页
例3：设n,a 是正整数，试证若 n a不是整数，
则一定是无理数.

证：若n a 是非整数有理数，则可设
n a p , q 1, ( p, q) 1 ,
因为(p,q)=q1,所以有( pn , qn ) 1
于是有 a , 但 qn 1
pn qn
,
所以有q n† pn
a1, a2 ,an 互素。
若对 i j,有(ai , a j ) 1 ,则称
a1, a2 ,an 两两互素。
显然两两互素可推出互素，反之不行。
例（2，3，4）=1，但（2，4）=2。 下面主要讨论两个数最大公因数性质.
第2页
性质：
1、(a1, a2 ,an )= (| a1 |, | a2 |,| an |)
2、(0,b)=|b|, b≠0. 3、(a,b)=(b,a)
前3条比较简单. 4、若a=bq+c，则（a，b）=（b，c） 分析: (1)可证(a,b) 和(b,c)相互整除. (2)利用集合知识说明a,b和b,c公因子集相同.
第3页
证：设d是a，b任一公因数，则有d|a，d|b， 则有d|c=a-bq，说明d也是b，c公因数，反之 设d是b，c任一公因数，则d|b，d|c，则有d|a， 说明d也是a，b公因数。所以a，b 全体公因 数集合就是b，c全体公因数集合。则最大一 个也相等即（a，b）=（b，c）

8和12的公因数
找公因数和最大公因数的妙招
少中求公法 比一比，看谁找得快？
1. 请你找出9和24的公因数和最大公因数。 9的因数：1、3、9。 9和24的公因数：1、3，最大公因数是3。
2、快速说出36和49的公因数和最大公因数 49的因数：1、7、49。 36和49的公因数：1，最大公因数是1。
8的因数
12的因数
8
12 4
3
6 12
8和12的公因数
练习：
12的因数有（ 1、 2、 3、4、6、12 ）；
42的因数有（1、2、3、6、7、14、21、42）；
12和42的公因数有（ 1、2、3、6 ）；
12和42的最大公因数有（ 6
）。
12的因数
42的因数
4 12
12 36
7 14 21 42
15和16 （15,16）=1
7和49 10和40
24和8
（7,49）=7 （10,40）=10 （24,8）=8 倍数关系的两个数，较小数是这两个数的最大公因数。
3和7 1和9
15和16
（3,7）=1 （1, 9）=1 （15,16）=1 公因数只有1的两个数叫做互质数。
互质关系的两个数，1是这两个数的最大公因数。
快速写出下列各组数的最大公因数
（8，14）= 2 （30，5）= 5 （7，63）= 7 （24，25）= 1 （20，30）= 10 （15，30）= 15 （36，12）= 12 （17，13）= 1 （ 9，15）= 3
（1）两个数的公因数的个数是有限的。
（ √）
（2）两个不同自然数的最大公因数一定比这两个
公因数和最大公因数
这是我家厨房地面的示意图。如果铺正方 形地砖，正好铺满。地砖边长可以是几分 米？（地砖边长是整分米数）

较小的数是这两个数的最大公约数。
欧几里得算法的优点是适用范围广，可以用于任意大的整数，而且其效 率比辗转相除法更高。
04
CHAPTER
最大公因数的应用
在分数化简中的应用
总结词：分数化简
详细描述：最大公因数在分数化简中有着广泛的应用。通过找到分子和分母的最 大公因数，可以将分数化简为最简形式，简化数学计算过程。
找最大公因数公开课教学ppt 课件
目录
CONTENTS
• 课程导入 • 最大公因数的基本概念 • 最大公因数的求法 • 最大公因数的应用 • 课程总结与回顾
01
CHAPTER
课程导入
课程简介
课程名称：找最大公因数 课程时长：45分钟
适用年级：小学中高年级 课程类型：数学公开课
教学目标
01
02
趣和热情。
下节课预告与预习内容
下节课将学习最小公 倍数的计算方法及应 用。
准备一些与最小公倍 数相关的实际问题， 以便在课堂上学以致 用。
请同学们提前预习相 关知识，了解最小公 倍数的概念和计算方 法。
课后作业与拓展阅读
完成课本及练习册中相关练习题， 巩固所学知识。
阅读数学史相关资料，了解最大 公因数的发展历程和应用背景。
05
CHAPTER
课程总结与回顾
本节课的收获与体会
01
02
03
04
掌握了找最大公因数的基本方 法，如质因数分解法、辗转相
除法等。
学会了如何运用最大公因数解 决实际问题，如计算最小公倍 数、判断两个数是否互质等。
通过实际操作和小组讨论，提 高了数学思维能力和合作探究
能力。
感受到了数学在生活中的广泛 应用，激发了对数学学习的兴

即时练习：
12的因数
1、12、 3 4、2、 6
12和15的 公因数
1、3
15的因数
1、 15 3、 5
12和18的 公因数
1、2 3、6
18的因数
1、18、2 9、3、6
15和18的 公因数
1、3
通过以上练习，我们总结出了找两个数的 最大公因数的方法（列举法）:
先找各个数的因数。 找出两个数公有的因数。 确定最大公因数。
点。
单击此处添加正 文，文字是您思 想的提炼，为了 演示发布的良好 效果，请言简意 赅地阐述您的观
点。
小结：如果这两 个数是不相等的 质数,最大的公因
数是1。
练习：
找2和3，11和 19，3和7的最
大公因数。
3.利用相邻两个自然数找最大公因数：
8的因数有: 1、8、2、 9的因数有: 41、9、3 8和9的公因数只有 1 8和9的最大公因数是 1
大 公
如果两个数是倍数关系时,较小数 是这两个数的最大公因数。
因
三、用互质数找： 两个不相等的质数,最大的公因数是1。
数
四、用相邻两个自然数找：
相邻两个自然数(0除外)的最大公因 数是1。
练习：找11和16，5和6，1和2的最大公因
数小。结：相邻两个自然数(0除外)的最大公
因 数是1
找出下面各组数的最大公因数。
5和11
8和9
5和8
4和8 和6
9和3 8和10
28和7 9 20和25
（六）总结: 一、列举法：
1.先找各个数的因数。
2.找出两个数公有的因数。
找
3.确定最大公因数。
最பைடு நூலகம்

4和8 12和36 2和7 8和9 14和15
12的因数：1,2,3,4,6,12 36的因数：1,2,3,4,6,9,12,18,36 12和36的公因数：1,2,3,4,6,12；最大公因数：12
12如是果36两的个因数数是，倍1数2的关所系有，因那数么都较是小36 的因数数就。是1这2两是个12数和的3最6的大最公大因公数因。数。
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.7.2721.7.2715:17:2415:17:24July 27, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月27日星期二下午3时17分24秒15:17:2421.7.27
人教版五年级下册第四单元第五课
最大公因数
激情导入
填一填
1.一个数的最小因数是（1），最大因数是（它本身）。 2.一个数，只有1和它本身2个因数，这样的数叫做 （质数），一个数，除了1和它本身两个因数，还有 其他的因数，这样的数叫做（合数）。
用这个数依次除以怎1样、找2一、个3、数4的..因.如数果？商 是整数，那么除数和商都是这个数的因数。
2 24 36 2 12 18 36 9
23 24和36的最大公因 数：2×2×3=12
小组合作（3分钟）
探究新知
最大公因数
观察思考：（1）每次用什么去除？ （2）除到什么时候为止？ （3）怎样求出最大公因数？
2 24 2 12
36 … 用公有的质因数2除 18 … 用公有的质因数2除
3 6 9 … 用公有的质因数3除 2 3 … 除到两个商只有公因数1为止

商南县城关小学： 商南县城关小学：赵瑞萍
我们家贮藏室
1
长 16 dm，宽 ， 12 dm。 。
如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮 如果要用边长是整分米数的正方形地砖把贮 整分米数 室的地面铺满(使用的地砖都是整块 整块) 藏 室的地面铺满(使用的地砖都是整块)。可以选 长是几分米的地砖? 边长最大是几分米? 择边 长是几分米的地砖 边长最大是几分米
11 12 13 14 15 ＿ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
、 、 、 18和30的公因数有 ： 1、2、3、6 和 的公因数有
最大公因数是 6 。
在相应的( 在相应的(
)里写出相邻阶梯上两 )里写出相邻阶梯上两
个数的最大公因数。 个数的最大公因数。
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
单位（ ） 单位（dm）
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16
ห้องสมุดไป่ตู้
单位（ ） 单位（dm）
1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
男生有 48 人。
女生有 36 人。
说一说： 说一说：
通过本节课的学习, 通过本节课的学习, 你有什么收获? 你有什么收获?
要使所用的正方形地砖都是整块 的 ， 地砖的边长必须既是 16 的 因数， 的因数。 因数，又是 12 的因数。 16 的因数 1，2，4， ， ， ， 8，16 ， 12 的因数 1，2，3， ， ， ， 4，6，12 ， ，

2、5的因数有( 7的因数有（ 5和7的公因数有（ 5和7的最大公因数有（
） ） ）
） )
） ） ）
找两个数的最大公因数的方法: 1、先找各个数的因数. 2、找出两个数公有的因数. 3、确定最大公因数.
二、练习。
1、找出下列各组数的最大公因数。
8和9
5和17
2和3
1和10
9和27
6和30
24和36 45和60
12 的因數有 1， 2， 3， 4， 6 ， 12。 18 的因數有 1， 2， 3， 6， 9 ， 18。 12、18 的公因數有 1， 2， 3 ， 6。
可分成 1、 2、 3 或 6 人一組 。
五、有三根木棒，分别长12㎝，44㎝，56㎝， 要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余， 每根小棒最长能有多少㎝？
3、确定最大公因数.
最
大 公
如果两个数是倍数关系时,较小数 是这两个数的最大公因数
因
两个不相等的质数,最大的公因
数
数是1。
相邻两个自然数(0除外)的最大 公因数是1
提问：什么叫公因数？什么叫最大公因数？
几个数公有的因数，叫做它们的公因数。 其中，最大的公因数，叫做它们的最大 公因数。
1.什么是公因数?
（16，20）＝ 4
用短除法找出14和42的公 因数及最大公因数。
2 14 . 42
7 7 21 13
14和42的公因数有1.2.7
14和42的最大公因数是 7
用短除法找出14和42的公 因數及最大公因數。
2 14 . 42
7 7 21 13
14和42的公因數有1.2.7
14和42的最大公因數是 7也可以這樣表示 (14，42)=7

高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
班主任 孙烨：杨蕙心是一个目标高远 的学生，而且具有很好的学习品质。学 习效率高是杨蕙心的一大特点，一般同 学两三个小时才能完成的作业，她一个 小时就能完成。杨蕙心分析问题的能力 很强，这一点在平常的考试中可以体现。 每当杨蕙心在某科考试中出现了问题， 她能很快找到问题的原因，并马上拿出 解决办法。
边长 12cm 24cm
36cm 24 ÷ 12=2 36÷12=3 8是 24 和 36的公因数吗？为什么？
12和18的公因数有哪些？最大公因数是几？ 1.分别写出12和18的所有的因数, 再找出公因数。 2.先找出12的因数,再从12的因数中 找出18的因数。 12和18的公因数中最大的一个是6, 6就是12和18的最大公因数。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
曹杨二中高三(14)班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：北京 大学中文系 高考成绩：语文121分数学146分 英语146分历史134分 综合28分总分 575分 (另有附加分10 分)