复合函数讲义

第13讲 复合函数知识回顾】1.复合函数定义： 设y=f(u)的定义域为A ，u=g(x)的值域为B ，若A ⊇B ，则y 关于x 函数的y=f ［g(x)］叫做函数f 与g 的复合函数，u 叫中间量.u=g(x)叫做y=f ［g(x)］的内层函数，y=f(u)叫做y=f ［g(x)］的外层函数.如：①23log (1)y x =+ 外层函数是 ，内层函数是 ；②22414x x y --+=外层函数是 ，内层函数是 。

2. 复合函数定义域问题：(1)已知f x ()的定义域，求[]f g x ()的定义域；设函数f x ()的定义域为D ，即x D∈，所以f 的作用范围为D ，又f 对g x ()作用，作用范围不变，所以D x g ∈)(，解得x E ∈，E 为[]f g x ()的定义域。

如：设函数f u ()的定义域为（0，1），则函数f x (ln )的定义域为_____________。

(2)已知[]f g x ()的定义域，求f x ()的定义域；设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得gx E ()∈，所以f 的作用范围为E ，又f 对x 作用，作用范围不变，所以x E E ∈，为f x ()的定义域。

如：①已知f x x x ()l g 22248-=-，则函数f x ()的定义域为______________。

②已知f x ()32-的定义域为[]x ∈-12，，则函数f x ()的定义域为_________。

(3)已知[]f g x ()的定义域，求[]f h x ()的定义域；设[]f g x ()的定义域为D ，即x D ∈，由此得gx E ()∈，f 的作用范围为E ，又f 对h x ()作用，作用范围不变，所以h x E ()∈，解得x F ∈，F 为[]f h x ()的定义域。

如：①若函数f x ()2的定义域为[]-11，，则f x (l o g )2的定义域为____________。

复合函数零点问题一、基础知识：1、复合函数定义：设()y f t =，()t g x =，且函数()g x 的值域为()f t 定义域的子集，那么y 通过t 的联系而得到自变量x 的函数，称y 是x 的复合函数，记为()y f g x =éùëû2、复合函数函数值计算的步骤：求()y g f x =éùëû函数值遵循“由内到外”的顺序，一层层求出函数值。

例如：已知()()22,x f x g x x x ==-，计算()2g f éùëû解：()2224f ==()()2412g f g \==éùëû3、已知函数值求自变量的步骤：若已知函数值求x 的解，则遵循“由外到内”的顺序，一层层拆解直到求出x 的值。

例如：已知()2x f x =，()22g x x x =-，若()0g f x =éùëû，求x 解：令()t f x =，则()2020g t t t =Þ-=解得0,2t t ==当()0020xt f x =Þ=Þ=，则x ÎÆ当()2222x t f x =Þ=Þ=，则1x =综上所述：1x =由上例可得，要想求出()0g f x =éùëû的根，则需要先将()f x 视为整体，先求出()f x 的值，再求对应x 的解，这种思路也用来解决复合函数零点问题，先回顾零点的定义：4、函数的零点：设()f x 的定义域为D ，若存在0x D Î，使得()00f x =，则称0x x =为()f x 的一个零点5、复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =éùëû根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层()f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =éùëû的根的个数6、求解复合函数()y g f x =éùëû零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =éùëû中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围复合函数：二、典型例题例1：设定义域为R 的函数()1,111,1x x f x x ì¹ï-=íï=î，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=由3个不同的解123,,x x x ，则222123x x x ++=______思路：先作出()f x 的图像如图：观察可发现对于任意的0y ，满足()0y f x =的x 的个数分别为2个（000,1y y >¹）和3个（01y =），已知有3个解，从而可得()1f x =必为()()20f x bf x c ++=的根，而另一根为1或者是负数。

复合函数的导数讲义知识要点：一、复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的函数一般形式是)]([x f y ϕ=，其中u 称为中间变量．二、复合函数的导数：设函数u=ϕ(x)在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x)，函数y=f(u)在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u)，则复合函数y=f(ϕ (x))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x(ϕ (x))=f ′(u) ϕ′(x).三、复合函数的求导法则复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 四、复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．题型讲解：例1 试说明下列函数是怎样复合而成的？（1）32)2(x y -=； （2）2sin x y =；（3）)4cos(x y -=π； （4）)13sin(ln -=x y ．解：（1）函数32)2(x y -=由函数3u y =和22x u -=复合而成；（2）函数2sin x y =由函数u y sin =和2x u =复合而成； （3）函数)4cos(x y -=π由函数u y cos =和x u -=4π复合而成；（4）函数)13sin(ln -=x y 由函数u y ln =、v u sin =和13-=x v 复合而成．说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等． 例2 写出由下列函数复合而成的函数：（1）u y cos =，21x u +=； （2）u y ln =，x u ln =． 解：⑴)1cos(2x y +=； ⑵)ln(ln x y =． 例3 求5)12(+=x y 的导数．解：设5u y =，12+=x u ，则x u x u y y '''⋅=)'12()'(5+⋅=x u x 2)12(52534⋅+=⋅=x u 4)12(10+=x ． 例4 求y=sin 2(2x+3π)的导数. 解：令y=u 2，u=sin(2x+3π)，再令u=sinv ，v=2x+3π∴x u x u y y '''⋅==y ′u (u ′v ·v ′x )∴y ′x =y ′u ·u ′v ·v ′x =(u 2)′u ·(sinv)′v ·(2x+3π)′x =2u ·cosv ·2=2sin(2x+3π)cos(2x+3π)·2=4sin(2x+3π)cos(2x+3π)=2sin(4x+32π)即y ′x =2sin(4x+32π) 例5 求32c bx ax y ++=的导数.解：令y=3u ，u=ax 2+bx+c∴x u x u y y '''⋅==(3u )′u ·(ax 2+bx+c)′x =3231-u ·(2ax+b)=31(ax 2+bx+c)32-(2ax+b)=322)(32c bx ax b ax +++ 即y ′x =322)(32c bx ax b ax +++例6 求y=51xx-的导数. 解：令xxu u y -==1,5 ∴x u x u y y '''⋅==(5u )′u ·(xx -1)′x 4455221(1)(1)11(1)()55x x x x x x x u x x x --''-------=⋅=⋅21x -=== 即y ′x =－542)(51x x x - 例7 求函数y=(2x 2－3)21x +的导数.解：令y=uv ，u=2x 2－3，v=21x +, 令v=ω，ω=1+x 2x x v v ωω'''=⋅=ω' (1+x 2)′x =22211122)2(21xx x x x +=+=-ω ∴y ′x =(uv)′x =u ′x v+uv ′x =(2x 2－3)′x ·21x ++(2x 2－3)·21xx +=4x 23232161321xx x xx x x ++=+-++ 即y ′x =2316xx x ++例8 求y=(ax －bsin 2ωx)3对x 的导数.解：y ′=3(ax －bsin 2ωx)2·(ax －bsin 2ωx)′=3(ax －bsin 2ωx)［a －(bsin 2ωx)′］ =3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·(sin ωx)′］=3(ax －bsin 2ωx)［a －b2sin ωx ·cos ωx ·ω］=3(ax －bsin 2ωx)(a －b ω·sin2ωx) 例9 求y=sin nxcosnx 的导数.解： y ′=(sin n x)′cosnx+sin n x(cosnx)′=nsin n －1x ·(sinx)′cosnx+sin n x ·(－sinnx)(nx)′=nsin n －1xcosxcosnx －nsin n xsinnx=nsin n －1x(cosxcosnx －sinxsinnx)=nsin n －1xcos(n+1)x. 例10 求函数y=－x 2(3x －2)(3－2x)的导数.分析:根据公式(uv ω)′=u ′v ω+uv ′ω+uv ω′解：y ′=(－x 2)′(3x －2)(3－2x)+(－x 2)(3x －2)′(3－2x)+(－x 2)·(3x －2)(3－2x)′ =－2x(3x －2)(3－2x)－x 2·3(3－2x)－x 2(3x －2)(－2)=24x 3－39x 2+12x. 例11 求函数y=)4)(3()2)(1(++++x x x x 的导数.解：y ′={21])4)(3()2)(1([++++x x x x }′121(1)(2)(1)(2)[][]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x -++++'=++++ 12221(1)(2)(21)(3)(4)(1)(2)(43)[]2(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x x x x x x x -+++++++-+++++=⋅++++112221122221(1)(2)420222(3)(4)(3)(4)x x x x x x x x ----++++=⋅++++112223322(1)(2)(21011)(3)(4)x x x x x x --++++=++2=例12 求y=(3x+1)252151-+x x 的导数.解：y ′=［(3x+1)2］′52151-+x x +(3x+1)2［(1512-+x x )51］′=2(3x+1)·(3x+1)+(3x+1)24225111()()55151x x x x -++'-- =2(3x+1)·3·52151-+x x +(3x+1)2·22542)15(5)1()15(2)151(51-⋅+---+-x x x x x x =6(3x+1)52151-+x x +51 (3x+1)2·4225425(1)525(51)(51)x x x x x --+--⋅-- =6(3x+1)22随堂演练：1、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导). (1)y=(5x －3)4(2)y=(2+3x)5(3)y=(2－x 2)3(4)y=(2x 3+x)2解：(1)令y=u 4，u=5x －3 ∴x u x u y y '''⋅==(u 4)′u ·(5x －3)′x =4u 3·5=4(5x －3)3·5=20(5x －3)3 (2)令y=u 5，u=2+3x ∴x u x u y y '''⋅==(u 5)′u ·(2+3x)′x =5u 4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4 (3)令y=u 3，u=2－x 2∴x u x u y y '''⋅==(u 3)′u ·(2－x 2)′x =3u 2·(－2x)=3(2－x 2)2(－2x)=－6x(2－x 2)2 (4)令y=u 2，u=2x 3+x∴x u x u y y '''⋅==(u 2)′u ·(2x 3+x)′x =2u ·(2·3x 2+1)=2(2x 3+x)(6x 2+1)=24x 5+16x 3+2x 2、求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n ∈N *) (1)y=sin nx (2)y=cos nx (3)y=tan nx (4)y=cot nx 解：(1)令y=sinu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(sinu)′u ·(nx)′x =cosu ·n=ncosnx (2)令y=cosu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cosu)′u ·(nx)′x =－sinu ·n=－nsinnx (3)令y=tanu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(tanu)′u ·(nx)′x =(uucos sin )′u ·n =2)(cos )sin (sin cos cos u u u u u --⋅·n=nx n n u 22cos cos 1==n ·sec 2nx (4)令y=cotu ，u=nxx u x u y y '''⋅==(cotu)′u ·(nx)′x =(uusin cos )′u ·n =2)(sin cos cos sin sin u u u u u ⋅-⋅-·n=－u 2sin 1·n=－nx n 2sin =－ncsc 2nx 3、求下函数的导数. (1)y=32)12(1-x (1)解：y=32)12(1-x =(2x 2－1)-3y ′=［(2x 2－1)－3］′=－3(2x 2－1)－4(2x 2－1)′=－3(2x 2－1)－4(4x)=－12x(2x 2－1)－4(2)y=4131+x (2)解：y=41414)13()131(131-+=+=+x x xy ′=［(3x+1)41-］′=－41 (3x+1)45-(3x+1)′=－41 (3x+1)45-·3=－43(3x+1)45-.(3)y=sin(3x －6π) (3)解：y ′=［sin(3x －6π)］′=cos(3x －6π)(3x －6π)′=cos(3x －6π)·3=3cos(3x －6π) (4)y=cos(1+x 2)(4)解：y ′=［cos(1+x 2)］′=－sin(1+x 2)(1+x 2)′=－sin(1+x 2)·2x=－2xsin(1+x 2). 4、下列函数中，导数不等于21sin2x 的是( D ) A.2－41cos2x B.2+21sin 2x C. 21sin 2x D.x －21cos 2x 5、函数y=xcosx －sinx 的导数为( B )A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx 6、求y=21xx -的导数.解：y ′=(21xx -)′2222)1()1(1x x x x x -'---'=122221(1)(1)21x x x x -'⋅--=-==223221(1)x ==-322(1)x -=-7、下列结论正确的是（ B ）A ．x y x y 2cos ,2sin ='=B ．22cos 2,sin x x y x y ='=C ．x x y x y cos 2,cos 2='=D ．xx y x y 1sin 1,1cos -='= 8、设x a y -++=11，则y '等于（ D ） A ．x a -++121121 B ．x -121 C ．x a --+121121 D ．x--1219、22cos 53sin x x y +=的导数是（ D ）A ．2sin 53sin 2x x -B ．2sin 106sin x x x -C ．2sin 106sin 3x x x +D ．2sin 106sin 3x x x -10、1212-+=x x y 的导数是（ B ）A ．22)12(12-++x x xB ．22)12(12-++-x x xC ．22)12(24-+-x x x D ．1)12(24222+-+-x x x x 11、x y 1sin 3=的导数是（ C ） A ．x x 1sin 322- B ．x x 2sin 2322- C ．x x x 1sin 1cos 322⋅- D ．xx x 2sin 1sin 232⋅12、已知函数1)(2-=ax x f 且2)1(='f ，则a 的值为（ B ） A ．1=a B ．2=a C ．2=a D ．0>a13、设)43sin(2)(π+=x x f ，则__6___.4f π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭14、曲线3213+=x y 在点)4,1(3处的切线方程为_____.0123=+-y x __________． 15、求下列函数的导数． （1）33sin sin x x y +=；（.cos 3cos sin 3)(sin )(sin 32233x x x x x x y +⋅='+'='） （2）5)5cos 5(sin x x y -=；)5sin 55cos 5()5cos 5(sin 5)5cos 5(sin )5cos 5(sin 544x x x x x x x x y +-='--=' ).5cos 5(sin )5cos 5(sin 254x x x x +-= （3）)1(log cos 22-=x y ；（)295()(21)()(21,)(274212952952129521295x x x x x x x x y x x y ++='++='+=--）（4）.76433⎪⎭⎫⎝⎛-+=x x y（.)76()43(135)76()43(18)76()43(9424332----+-=-+--+='x x x x x x y ）16、设x y 3sin 8=，求曲线在点⎪⎭⎫⎝⎛1,6πP 处的切线方程．提示：易知点P 在曲线上，故点P 就是切点，.33,cos sin 2462='⋅='=πx y x x y∴所求切线方程为)6(331π-=-x y ，即.023236=+--πy x17、求证双曲线5:221=-y x C 与椭圆7294:222=+y x C 在交点处的切线互相垂直．提示：由于曲线的图形关于坐标轴对称，故只要证其中一点的切线互相垂直即可，联立两曲线方程解得第一象限交点为)2,3(P ，不妨证明过P 点的两切线互相垂直．点P 在第一象限，故由522=-y x 得.23.5,53122='=∴-='-==x y k x xy x y 由729422=+y x ，得.23.94894,9483222-='=∴--='-==x y k x x y x y而121-=⋅k k ，∴两切线互相垂直． 18、已知102)1()(x x x f ++=，求.)1()1(f f ' 提示：)1()1(10)(292'++++='x x x x x f21022921)1(1011)1(10x x x x xx x +++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++= .25210)1()1(,110)1(:1)1(10)(:)(21022102=='∴+=+++++='f f xx x x x x x f x f。

1、复合函数的概念如果y是a的函数,a又是x的函数,即y=fa,a=gx,那么y关于x的函数y=fgx叫做函数y=fx和a=gx的复合函数,其中a是中间变量,自变量为x,函数值y;例如：函数是由复合而成立;函数是由复合而成立;a是中间变量;2、复合函数单调性由引例对任意a,都有意义a＞0且a≠1且;对任意,当a＞1时,单调递增,当0＜a＜1时,单调递减;∵当a＞1时,∵y=fu是上的递减函数∴∴∴是单调递减函数类似地, 当0＜a＜1时,是单调递增函数一般地,定理：设函数u=gx在区间M上有意义,函数y=fu在区间N上有意义,且当X∈M 时,u∈N;有以下四种情况：1若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是增函数；2若u=gx在M上是增函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是减函数；3若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是增函数,则y=fgx在M上也是减函数；4若u=gx在M上是减函数,y=fu在N上是减函数,则y=fgx在M上也是增函数;注意：内层函数u=gx的值域是外层函数y=fu的定义域的子集;例1、讨论函数的单调性12又是减函数∴函数的增区间是-∞,2,减区间是2,+∞;②x∈-1,3令∴x∈-1,1上,u是递增的,x∈1,3上,u是递减的;∵是增函数∴函数在-1,1上单调递增,在1,3上单调递减;注意：要求定义域练习：求下列函数的单调区间;1、1减区间,增区间；2增区间-∞,-3,减区间1,+∞；3减区间,增区间；4减区间,增函数;2、已知求gx的单调区间;提示：设,则gx=fu利用复合函数单调性解决：gx的单调递增区间分别为-∞,-1,0,1,单调递减区间分别为-1,0,1,+∞;例2、y=fx,且lglgy=lg3x+lg3-x1y=fx的表达式及定义域；2求y=fx的值域；3讨论y=fx的单调性,并求其在单调区间上相应的反函数;答案：1x∈0,320,3y=fx在上单调递增函数,在上是单调递减函数当x∈时,；当x∈时,;例3、确定函数的单调区间;提示,先求定义域：-∞,0,0,+∞,再由奇函数,先考虑0,+∞上单调性,并分情况讨论; 函数的递增区间分别为-∞,-1,0,+∞函数的递减区间分别为-1,0,0,1;1、求下列函数的单调区间;1232、求函数的递减区间;3、求函数的递增区间;4、讨论下列函数的单调性;12答案：11递减区间2递增区间0,+∞3递减区间-∞,0递增区间2,+∞2、,23、-∞,-24、1在上是增函数,在上是减函数；2a ＞1时,在-∞,1上是减函数,在3,+∞上是增函数；用待定系数法求函数解析式一、填空题：1、已知二次函数m x x y ++=32的图象与x 轴只有一个交点,则m ＝;2、抛物线c bx x y ++=2过点1,0,与x 轴两交点间距离3,则b ＝,c ＝;3、抛物线42++=bx x y 与x 轴只有一个交点,则b ＝;4、抛物线的顶点是C2,3,它与x 轴交于A 、B 两点,它们的横坐标是方程0342=+-x x 的两个根,则AB ＝,S △ABC ＝;5、如图,二次函数5)2(2-+--=a x a x y 的图象交x 轴于A 、B 两点,交y 轴于点C,当线段AB 最短时,线段OC 的长是;6、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值是;7、抛物线12--=mx x y 与x 轴有个交点; 二、选择题1、抛物线()5322--=x y 与y 轴的交点坐标是A0,－5；B0,13；C0,4；D3,－52、抛物线x x y --=221的顶点坐标为 A ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－B ⎪⎭⎫ ⎝⎛211，－C ⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21－D －1,0 3、若抛物线()322++--=m x m x y 的顶点在y 轴上,则m 的值为 A －3B3C －2D24、若抛物线c x x y +-=212的顶点在x 轴上,则c 的值为A 41；B 41－；C 161；D 161－ 5、函数()x x y -=32图象可能为 6、若2,5,4,5是抛物线c bx ax y ++=2上的两点,那么它的对称轴为直线A ab x -=B 1=x C 2=x D 3=x7、抛物线12--=mx x y 与x 轴的交点个数是A0；B1；C2；D 无数个;三、求符合下列条件的二次函数式图象：1、过点0,1,1,1,－1,－1；2、对称轴是x ＝2,经过1,4和5,0两点;3、抛物线与x 轴的一个交点6,0,顶点是4,－84、当x ＝3时,y 有最大值为－1,且抛物线过点4,－3;5、抛物线以点－1,－8为顶点,且与y 轴交点纵坐标为－6;6、顶点在x 轴上,对称轴方程x ＝－3,且经过点－1,4;7、求二次函数)4()232-+-+=m m x m x y （的图象与x 轴两交点间的距离的最小值,此时m 的值是多少8、二次函数图象经过A0,2和B5,7两点,且它的顶点在直线y ＝－x 上;。

复合函数的导数【基础知识】如果函数)(x ϕ在点x 处可导，函数f (u )在点u=)(x ϕ处可导，则复合函数y= f (u )=f [)(x ϕ]在点x 处也可导，并且(f [)(x ϕ])ˊ=[])(x f ϕ')(x ϕ'或记作 x y '=u y '•x u '熟记链式法则若y= f (u )，u=)(x ϕ⇒ y= f [)(x ϕ]，则x y '=)()(x u f ϕ''若y= f (u )，u=)(v ϕ，v=)(x ψ⇒ y= f [))((x ψϕ]，则x y '=)()()(x v u f ψϕ''' （2）复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。

在求导时要由外到内，逐层求导。

【例题详解】例1函数4)31(1x y -=的导数.例2求51x x y -=的导数． 解：4)31(1x y -=4)31(--=x ．解：511⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x y ， 设4-=u y ，x u 31-=，则'541151'⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-x x x x y x u x u y y '''⋅=x u x u )'31()'(4-⋅=-254)1()1(1151x x x x x ----⋅⎪⎭⎫⎝⎛-=-)3(45-⋅-=-u 55)31(1212---==x u 5)31(12x -=．254)1(1151x x x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-5654)1(51---=x x 例3 求下列函数的导数x y 23-=解：（1）x y23-= ，令u=3 -2x ，则有y=u ，u=3 -2x由复合函数求导法则x u xu y y '∙'='有y ′=()xu x u )23('-'=xu231)2(21--=-∙在运用复合函数的求导法则达到一定的熟练程度之后，可以不再写出中间变量u ，于是前面可以直接写出如下结果：y ˊ=xx x231)23(2321--='-∙-在运用复合函数求导法则很熟练之后，可以更简练地写出求导过程：y ˊ=xx231)2(2321--=-∙-例4求下列函数的导数（1）y=x 21-cos x （2）y=ln (x +21x +)解：（1）y=x 21-cos x由于y=x 21-cos x 是两个函数x 21-与cos x 的乘积，而其中x 21-又是复合函数，所以在对此函数求导时应先用乘积求导法则，而在求x 21-导数时再用复合函数求导法则，于是y ˊ=(x 21-)ˊcos x -x 21-sin x=x xcos 212)2(---x 21-sin x=xx 21cos ---x 21-sin x（2）y=ln (x +21x +) 由于y=ln (x +21x +)是u= x +21x +与y=ln u 复合而成，所以对此函数求导时，应先用复合函数求导法则，在求x u '时用函数和的求导法则，而求(21x +)′的导数时再用一次复合函数的求导法则，所以y ˊ=211x x ++•[1+(21x +)ˊ]=211x x ++•⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++21221x x=211x x ++•2211x x x +++=211x +例 5 设)1ln(++=x x y 求 y '.解 利用复合函数求导法求导，得)'1(11)]'1[ln('222++++=++=x x x x x x y ])1(1[1122'++++=x x x])1(1211[11222'+++++=x x x x 11]11[11222+=++++=x x x x x .小结 对于复合函数，要根据复合结构，逐层求导，直到最内层求完，对例4中括号层次分析清楚，对掌握复合函数的求导是有帮助的.例6求y=(x 2－3x+2)2sin3x 的导数.解：y′=［(x 2－3x+2)2］′sin3x+(x 2－3x+2)2(sin3x)′=2(x 2－3x+2)(x 2－3x+2)′sin3x+(x 2－3x+2)2cos3x(3x)′ =2(x 2－3x+2)(2x －3)sin3x+3(x 2－3x+2)2cos3x.【巩固练习】1．求下函数的导数.（1）cos 3xy = （2）y =（3）y=(5x －3)4（4）y=(2+3x)5（5）y=(2－x 2)3 （6）y=(2x 3+x)2（7）y=32)12(1-x （8）y=4131+x（9）y=sin(3x －6π) （10）y=cos(1+x 2)（11）32)2(x y -=（12）2sin x y =；（13）)4cos(x y -=π（14）)13sin(ln -=x y ．（15）122sin -=x x y （16）)132ln(2++x x作业： 一、选择题 1. 函数y =2)13(1-x 的导数是（ ） A.3)13(6-x B. 2)13(6-x C. －3)13(6-x D. －2)13(6-x3. 函数y =sin （3x +4π）的导数为（ ） A. 3sin （3x +4π） B. 3cos （3x +4π）C. 3sin 2（3x +4π） D. 3cos 2（3x +4π） 4. 曲线n x y =在x=2处的导数是12，则n=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 45. 函数y =cos2x +sin x 的导数为（ ）A. －2sin2x +xx2cos B. 2sin2x +xx 2cos C. －2sin2x +xx 2sin D. 2sin2x －xx 2cos6. 过点P （1，2）与曲线y=2x 2相切的切线方程是（ ） A. 4x －y －2=0 B. 4x+y －2=0 C. 4x+y=0D. 4x －y+2=0二、填空题8. 曲线y =sin3x 在点P （3π，0）处切线的斜率为___________。

抽象函数的定义域抽象函数的定义：我们把没有给出具体解析式的函数称为抽象函数。

复合函数的概念：设y=f(u ）的定义域为Du ，值域为Mu ，函数u=g(x ）的定义域为Dx ，值域为Mx,那么对于Dx 内的任意一个x 经过u ；有唯一确定的y 值与之对应，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f[g(x)]，这种函数称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量，y 为因变量（即函数）。

总结解题模板1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．变式训练：若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为 。