五校联考试卷

2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π32．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．123．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝04．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√26．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−357．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1 D ．x 24+y 23=18．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ）A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= ．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 ．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 ．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 ． 14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝ ． 15．已知F(√6，0)为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点．若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为2π，则椭圆C 的长轴长为 ． 三、解答题16．（14分）已知圆心为C 的圆经过点A （﹣1，1）和B （﹣2，﹣2），且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，求： （1）求圆心为C 的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值； （3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1． （1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值； （3）求点E 到平面PDC 的距离．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形，四边形ADPQ 是梯形，PD ∥QA ，∠PDA =π2，平面ADPQ ⊥平面ABCD ，且AD ＝PD ＝2QA ＝2． （1）求证：QB ∥平面PDC ； （2）求二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值；（3）已知点H 在棱PD 上，且异面直线AH 与PB 所成角的余弦值为7√315，求线段DH 的长．20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6． （1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．2023-2024学年天津市五校联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本小题共9小题，每题5分，共45分）1．已知直线经过点（1，0），（4，√3），该直线的倾斜角为（ ） A ．5π6B ．π3C ．π6D ．2π3解：设直线的倾斜角为α，则tan α＝k =√3−04−1=√33，又α∈[0，π），所以α=π6， 故选：C ．2．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．1C ．﹣2D ．12解：由m （m +1）﹣2＝0，解得m ＝﹣2，或1．经过验证m ＝1时，两条直线方程都为x +2y ﹣1＝0，可知重合． 故选：C ．3．已知三角形ABC 的三个顶点分别为A （1，0），B （2，﹣3），C （3，3），则AB 边上的中线所在直线的方程为（ ） A ．x ﹣y ＝0B ．x +y ﹣6＝0C ．3x ﹣y ﹣6＝0D ．3x +y ﹣12＝0解：设AB 的中点为D ，则D(32，−32)，∵C （3，3），∴k CD =3−(−32)3−32=3，故AB 边上的中线所在直线的方程为y ﹣3＝3（x ﹣3），即3x ﹣y ﹣6＝0． 故选：C ．4．“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k =1表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：∵方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴{k −4＞010−k ＞0k −4＞10−k，解得：7＜k ＜10，故“4＜k ＜10”是“方程x 2k−4+y 210−k=1表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B ．5．已知直线l 过点P （1，2，1）和点Q （2，2，0），则点A （1，﹣1，﹣1）到l 的距离为（ ） A ．3B ．2√3C ．√11D ．2√2解：由题意知，直线l 的一个方向向量为PQ →=（1，0，﹣1）， 取直线l 的一个单位方向向量为m →=PQ →|PQ →|=（√22，0，−√22）， 又A （1，﹣1，﹣1）为直线外一点，且直线l 过点P （1，2，1）， ∴PA →=(0，−3，−2)， ∴PA →⋅m →=（0，﹣3，﹣2）⋅(√22，0，−√22)=√2，|AP →|=√13，∴点A 到直线l 的距离为√PA →2−(PA →⋅m →)2=√13−2=√11．故选：C ．6．从点A （﹣4，1）出发的一条光线l ，经过直线l 1：x ﹣y +3＝0反射，反射光线恰好经过点B （﹣3，2），则反射光线所在直线的斜率为（ ） A ．﹣2B ．﹣3C ．−13D ．−35解：设点A （﹣4，1）关于直线l 1：x ﹣y +3＝0的对称点为C （m ，n ）， 则{n−1m+4=−1m−42−n+12+3=0，解得m ＝﹣2，n ＝﹣1，即C （﹣2，﹣1）， 由题意可知点C 在反射光线上，则k ⬚BC =2+1−3+2=−3， 所以反射光线所在直线的斜率为﹣3， 故选：B ．7．已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且AB =√2，则椭圆C 的标准方程为（ ） A ．y 24+x 2=1 B ．x 22+y 2=1C ．y 24+x 23=1D ．x 24+y 23=1 解：设椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，x ＝1代入得1a 2+y 2b 2=1，y =±ba√a 2−1，所以{2b a √a 2−1=√2a 2−b 2=1，由于a ＞b ＞0，故解得{a =√2b =1，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)，P 是椭圆C 上的点，F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）是椭圆C 的左、右焦点，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．[√5−12，1) B ．(0，√2−1] C ．(0，√5−12] D ．[√2−1，1)解：设P （x 0，y 0），则PF 1→•PF 2→=（﹣c ﹣x 0，﹣y 0）•（c ﹣x 0，﹣y 0）＝﹣c 2+cx 0﹣cx 0+x 02+y 02＝﹣c 2+x 02+y 02， x 02+y 02表示椭圆上的点到原点的距离的平方， 所以x 02+y 02≤a 2，所以（PF 1→•PF 2→）max ≤﹣c 2+a 2，若PF 1→⋅PF 2→≤ac 恒成立，则﹣c 2+a 2≤ac ， 所以c 2a 2+c a−1≥0，所以−1+√52≤e ， 又因为e ＜1， 所以−1+√52≤e ＜1， 故选：A ．9．若圆x 2+y 2＝5上有两个动点A ，B ，满足|AB|=√15，点M 在直线2x +y ﹣5＝0上动，则|MA →+MB →|的最小值为（ ） A ．√52B ．√5C ．3√52D ．√54解：根据题意，设AB 的中点为P ，圆x 2+y 2＝5的圆心O ，其坐标为（0，0），因为圆x 2+y 2＝5上的两个动点A ，B 满足|AB|=√15，所以|OP |=√5−(12|AB|)2=√52，即P 的轨迹是以O 为圆心，半径为√52的圆，该圆的方程为x 2+y 2=54，MA →+MB →=2MP →，则|MA →+MB →|＝2|MP →|，而M 在2x +y ﹣5＝0上运动，则|MP →|为2x +y ﹣5＝0和x 2+y 2=54上两点间的距离，则其最小值为√22+12=√5−√52=√52， 故|MA →+MB →|的最小值是√5． 故选：B ．二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分）10．设x ，y ∈R ，向量a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →，则|a →+b →|= 3 ． 解：∵a →=(x ，1，1)，b →=(1，y ，1)，c →=(2，−4，2)，且a →⊥c →，b →∥c →， ∴{a →⋅c →=2x −4+2=012=y −4=12，解得x ＝1，y ＝﹣2， ∴a →+b →=(2，−1，2)，∴|a →+b →|=√22+(−1)2+22=3． 故答案为：3．11．已知点A （2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l 过点P （1，1）且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为 （﹣∞，﹣4]∪[34，+∞） ．解：如图，k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∴直线l 的斜率k 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[34，+∞）．12．若过点（﹣2，1）的直线l 和圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0交于A ，B 两点，若弦长|AB |＝2√3，则直线l 的方程为 3x +4y +2＝0或x ＝﹣2 ．解：由圆x 2+y 2+2x +2y ﹣2＝0，得（x +1）2+（y +1）2＝4， ∴圆心C （﹣1，﹣1），半径r ＝2， 设圆心C （﹣1，﹣1）到直线l 的距离为d ，∵弦长|AB |＝2√3，∴d =√r 2−(12|AB|)2=√4−3=1，当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣2，圆心到直线l 的距离为1，符合题意， 当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y ﹣1＝k （x +2），即kx ﹣y +1+2k ＝0， 圆心到直线l 的距离为d =|−k+1+1+2k|√k +1=|k+2|√k +1=1，解得k =−34，此时直线l 的方程为3x +4y +2＝0，综上所述：直l 的方程为3x +4y +2＝0或x ＝﹣2．13．已知点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4的公共弦上，则1a +2b 的最小值为 8 ． 解：根据题意，圆C ：x 2+y 2＝4和圆M ：（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4， 联立{x 2+y 2=4(x −2)2+(y −2)2=4，变形可得：x +y ＝2，即两圆公共弦所在直线的方程为x +y ＝2，若点（4a ，2b ）（a ＞0，b ＞0）在圆C 和圆M 的公共弦上，则有4a +2b ＝2， 则1a +2b =12（1a +2b ）（4a +2b ）≥4+4＝8，当且仅当b ＝4a 等号成立， 即1a +2b的最小值为8； 故答案为：8．14．在△ABC 中，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝√3−12． 解，∠A ＝30°，|AB |＝2，S △ABC =√3．∴12×2×|AC|×12=√3，∴|AC|＝2√3，∴|BC|2=22+(2√3)2−2×2×2√3×√32=4，∴|BC|＝2，∵以A，B为焦点的椭圆经过点C，∴2a＝|AC|+|BC|＝2√3+2，2c＝2，∴e=ca=2c2a=223+2=√3−12．故答案为：√3−1 2．15．已知F(√6，0)为椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点．若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且△OFP外接圆的面积为2π，则椭圆C的长轴长为6．解：因为△OFP外接圆的面积为2π，所以其外接圆半径为√2．又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，所以√6sin∠OPF=√6sin2α=2√2，所以sin2α=√32，所以α=π6或α=π3．不妨设点P在x轴下方，所以k PF=−k OP=√33或√3．又根据点差法可得k PF⋅k OP=−b2a2，所以b2a2=13或b2a2=3(此时焦点在y轴上，舍去）．因为F(√6，0)为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的右焦点，所以c=√6，所以a2＝b2+6，又a2＝3b2，所以b2＝3，a2＝9，故椭圆C的长轴长为2a＝6．故答案为：6．三、解答题16．（14分）已知圆心为C的圆经过点A（﹣1，1）和B（﹣2，﹣2），且圆心在直线l：x+y﹣1＝0上，求：（1）求圆心为C的圆的标准方程；（2）设点P 在圆C 上，点Q 在直线x ﹣y +5＝0上，求|PQ |的最小值；（3）若过点（0，3）作圆C 的切线，求该切线方程．（1）设圆的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣b ）2＝r 2，因为圆经过A （﹣1，1）和点B （﹣2，﹣2）， 且圆心在直线l ：x +y ﹣1＝0上，所以 {(−1−a)2+(1−b)2=r 2(−2−a)2+(−2−b)2=r 2a +b −1=0解得：{a =3b =−2r =5，所以圆的标准方程为（x ﹣3）2+（y +2）2＝25．（2）因为圆C 到直线x ﹣y +5＝0的距离为d =|3+2+5|√2=5√2＞5， 所以直线与圆相离，所以|PQ |的最小值为d −r =5√2−5．（3）当斜率不存在时，过点P （0，3）的直线为x ＝3，不是圆的切线，当斜率存在时，设直线方程为y ＝kx +3，即kx ﹣y +3＝0，由条件可知，圆心C 到直线kx ﹣y +3＝0的距离为5， 根据点到直线的距离公式得：√k 2+1=5，解得k =0或158． 所以直线方程为15x ﹣8y +24＝0或y ＝3．17．（15分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，AD ＝AB ＝2，BC ＝4，M 为PC 的中点，点E 在线段BC 上，且BE ＝1．（1）求证：DM ∥平面P AB ；（2）求平面PDE 与平面BDE 夹角的余弦值；（3）求点E 到平面PDC 的距离．（1）证明：以A 为坐标原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B （2，0，0），D （0，2，0），P （0，0，2），C （2，4，0），M （1，2，1），E （2，1，0），DM →=（1，0，1），易知平面P AB 的一个法向量为AD →=（0，2，0），故DM →•AD →=0+0+0＝0，则DM →⊥AD →．又DM ⊄平面P AB ，故DM ∥平面P AB ．（2）解：易知平面BDE 的一个法向量为AP →=（0，0，2），设平面PDE 的法向量为m →=（x ，y ，z ），且PD →=（0，2，﹣2），DE →=（2，﹣1，0），则{m →⋅PD →=2y −2z =0m →⋅DE →=2x −y =0，令y ＝2，则x ＝1，z ＝2，∴m →=（1，2，2）．设平面PDE 与平面BDE 夹角为θ，易知θ为锐角，cos θ＝|cos ＜m →，AP →＞|＝|m →⋅AP →|m →||AP →||=43×2=23．（3）解：设平面PDC 的法向量为n →=（a ，b ，c ），且DC →=（2，2，0），则{n →⋅PD →=2b −2c =0n →⋅DC →=2a +2b =0，令b ＝1，则a ＝﹣1，c ＝1，故n →=（﹣1，1，1）， 设点E 到平面PDC 距离为h∴h ＝|DE →⋅n→|n →||=3√3=√3．18．（15分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为12，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）过定点Q （1，0）斜率为k 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，若OM →⋅ON →=−2，求实数k 的值及△MON 的面积．解：（1）已知椭圆C 的离心率e =c a =12， 所以e 2=c 2a 2=a 2−b 2a 2=14， 即a 2=43b 2，① 因为以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的⊙E 与直线x −y +√6=0相切，所以b =6√1+1=√3，②联立①②，解得a 2＝4，b 2＝3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；（2）不妨设直线MN 的方程为y ＝k （x ﹣1），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），联立{x 24+y 23=1y =k(x −1)，消去y 并整理得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x +4k 2﹣12＝0，又韦达定理得{x 1+x 2=8k 23+4k 2x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2， 此时y 1y 2=k(x 1−1)⋅k(x 2−1)=−9k 23+4k2， 因为OM →⋅ON →=x 1x 2+y 1y 2=−5k 2−123+4k 2=−2， 整理得k 2＝2， 解得k =±√2，此时{x 1+x 2=1611x 1⋅x 2=−411， 则|MN|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√3√(1611)2+1611=3611， 又点O 到直线的距离d =√23=√63，故△MON的面积S=12×3611×√63=6√611．19．（15分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA=π2，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．（1）求证：QB∥平面PDC；（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7√315，求线段DH的长．（1）证明：由已知可知：PD⊥AD，平面ADPQ⊥平面ABCD，PD⊂平面ADPQ，∴PD⊥平面ABCD，∵AQ∥PD，AB∥CD，AQ∩AB＝A，PD∩CD＝D，AB⊂平面ABQ，AQ⊂平面ABQ，PD⊂平面PDC，CD⊂平面PDC，∴平面ABQ∥平面PDC，∴QB∥平面PDC；解：（2）以D为原点，DA为x 轴，DC为y 轴，DP为z 轴，建立空间直角坐标系如图：则有A（2，0，0），B（2，2，0），P（0，0，2），Q（2，0，1），C（0，2，0），PC →=（0，2，﹣2），BC →=（﹣2，0，0），QB →=（0，2，﹣1），PQ →=（2，0，﹣1），设平面CPB 的一个法向量为n →=（a ，b ，c ），则{n →⋅PC →=2b −2c =0n →⋅BC →=−2a =0， 令 b ＝1，则有a ＝0，c ＝1，n →=（0，1，1），设平面PQB 的一个法向量为m →=（x ，y ，z ），则有{m →⋅QB →=2y −z =0m →⋅PQ →=2x −z =0，令 z ＝2，则 x ＝1， y ＝1，m →=（1，1，2），设平面PQB 与平面CPB 所成二面角的平面角为α，则cos α=m →⋅n →|m →||n →|=32×6=√32， ∴二面角C ﹣PB ﹣Q 的正弦值为√1−(√32)2=12； （3）∵点H 在PD 上，∴设H （0，0，t ），0≤t ≤2，则有AH →=（﹣2，0，t ），PB →=（2，2，﹣2），依题意有|cos ＜AH →，PB →＞|＝|AH →⋅PB →|AH →||PB →|||2√3×√4+t 2|=7√315， 解得t 1=32，t 2=83， 由于H 点PD 上，PD ＝2，∴t ≤2，∴t =32， 即DH =32． 20．（16分）如图，已知椭圆G ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点分别为F 1、F 2，设A （0，b ），P （﹣a ，0），Q （a ，0），若△AF 1F 2为正三角形且周长为6．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）若过点（1，0）且斜率为k （k ≠0，k ∈R ）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，是否存在实数k 使∠MPO ＝∠NPO 成立，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由；（3）若过点（1，0）的直线与椭圆G 相交于不同的两点M 、N 两点，记△PMQ 、△PNQ 的面积记为S 1、S 2，求S 1S 2的取值范围．解：（1）不妨设椭圆G的半焦距为c，因为△AF1F2为正三角形且周长为6，易知A（0，b），所以{a=2c2a+2c=6，解得a＝2，c＝1，又b=√a2−c2=√3，所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1；（2）易知直线MN的斜率存在且不为0，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），此时k=1m ，联立{3x2+4y2=12x=my+1，消去x并整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，由韦达定理得y1+y2=−6m3m2+4，y1y2=−93m2+4，由（1）知P（﹣2，0），假设存在实数k使得∠MPO＝∠NPO，此时直线MP，NP的斜率k MP，k NP满足k MP+k NP＝0，因为k MP+k NP=y1x1+2+y2x2+2=y1my1+3+y2my2+3=y1(my2+3)+y2(my1+3)(my1+3)(my2+3)=2my1y2+3(y1+y2)(my1+3)(my2+3)=2m⋅(−93m2+4)+3×(−6m3m2+4)(my1+3)(my2+3)=−36m3m2+4(my1+3)(my2+3)=0，解得m＝0，其与k=1m相矛盾，所以不存在实数k使∠MPO＝∠NPO成立；（3）易知直线MN不垂直于y轴，不妨设直线MN的方程为x＝my+1，m∈R，由（2）知y1y2＜0，不妨设y1＝λy2，因为λ＜0，所以y1+y2=(λ+1)y2=−6m3m2+4，因为(λ+1)2y22=36m2(3m2+4)2，y1y2=λy22=−93m2+4，所以(λ+1)2λ=36m2(3m2+4)2⋅(−3m2+49)=−4m23m2+4=−43+163(3m2+4)，显然0＜163(3m2+4)≤43，当且仅当m＝0时，等号成立，所以−43＜(λ+1)2λ≤0，解得−3＜λ＜−1 3，则S1S2=12|PQ||y1|12|PQ||y2|=|y1||y2|=−y1y2=−λ∈(13，3)，故S1S2的取值范围为(13，3)．。

安徽省淮北市五校联考2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．志愿服务,传递爱心,传递文明,下列志愿服务标志为中心对称图形的是( )A.B.C. D.2．已知点P 在半径为r 的内，且，则r 的值可能为( )A.1B.2C.3D.43．将抛物线的图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线对应的函数表达式为( )A. B.C.D.4．若关于x 的方程有两个不相等的实数根,则反比例函数的图象在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5．在中,,,的长为( )6．已知点D 、E 分别在边、的延长线上,下列条件中一定能判断的是( )A. B.C. D.7．如图,过x 轴正半轴上的任意一点P 作y 轴的平行线交反比例函数和O e 3OP =2y x =()221y x =-+()221y x =++()221y x =--()221y x =+-210x x m -++=()0m y x x=<Rt ABC △90C ∠=︒4AB =tan A =ABC △BA CA //DE BC ::AD AB DE BC=::AD AB AE EC =::AD AB AE AC =::AD AC AE AB=()20y x x=>的图象于A ,B 两点,C 是y 轴上任意一点,则的面积为( )A.2 B.3 C.6 D.128．把球放在长方体纸盒内,球的一部分露出盒外,其截面如图所示,已知,则球的半径长是( )A. B. C. D.9．如图,E 是的边延长线上一点,连接,交于点F ,连接,,则等于( )A. B. C. D.10．如图是抛物线()图象的一部分,抛物线的顶点坐标是,与x 轴的一个交点,下列结论：①；②；③抛物线与x 轴的另一个交点是；④方程有两个相等的实数根；⑤若,且,则,则命题正确的个数为( )()40y x x=->ABC △4cm EF CD ==2.5cm 3cm 3.5cm 4cmABCD Y BC AE CD BF 3CD CF =:BEF ADF S S △△4:134:4:34:92y ax bx c =++0a ≠()1,3A ()4,0B 20a b +=30a c +=()2,0-23ax bx c ++=221122ax bx ax bx +=+12x x ≠121x x =+A.5B.4C.3D.2______.12．正方形网格中,如图放置,则______.13．已知,在二次函数的图像上,比较______.(填>、<或=)14．如图,是的直径,点C ,D 在上,且在两侧,于点H 交线段于点E ,,.______；(2)若,则______.三、解答题15．计算：.16．某气球内充满了一定量的气体,当温度不变时,气球内气体的压强是气体体积的反比例函数,其图象如图所示.当气体压强为时,求V 的值.==AOB ∠tan AOB ∠=()11,y -()22,y 22y x x m =-+1y 2y AB O e O e AB DE AB ⊥AC CB CE =3cos 5B ==5AD =AB =223cos 602sin 45tan 30sin 302-︒+︒-︒︒()kPa P ()3m V 48kPa17．如图,的顶点和定点O 都在单位为1的正方形网格的格点上.(1)画出以点B 为旋转中心、按顺时针方向旋转后得到的；(2)以点O 为位似中心,在网格纸中画出的位似图形,使它与的相似比为,且位于点O 的右侧.18．如图,是的内切圆,与,,分别相切于点D ,E ,F ,若,求的度数.19．如图,A 处有一垂直于地面的标杆,热气球沿着与的夹角为的方向升空,到达B 处,这时在A 处的正东方向200米的C 处测得B 的仰角为(、B 、C 在同)ABC △ABC △90︒11A BC △ABC △222A B C △ABC △2:1I e ABC △AB BC CA 50DEF ∠=︒A ∠AM AM 15︒30︒AM 1.414≈20．已知抛物线交x 轴于,两点,与y 轴交于点C .(1)求抛物线对应的函数表达式；(2)已知P 为抛物线上一点(不与点B 重合),若点P 关于x 轴对称的点恰好在直线上,求点的长.21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数象交于，两点，与x 轴、y 轴交于点C ，D 两点.（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）若点P 是第四象限内反比例函数图象上的一点，的面积是的面积的2倍，求点P 的坐标.22．一家水果超市以每斤4元的价格购进橘子若干斤,然后以每斤6元的价格出售,每天可售出80斤,通过调查发现,这种橘子每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤.(1)若将橘子每斤的售价降低x 元,则每天的销售量是____________斤(用含x 的代数式表示)；(2)销售这批橘子要想每天盈利280元,且保证每天至少售出220斤,那么水果店需将每斤的售价降低多少元？(3)当每斤橘子售价为多少元时,才能在一天内获得最大利润？最大利润是多少?1y k x b =+(),1A m COP △2y x bx c =-++()1,0A -()3,0B 2y x bx c =-++P 'BC PP 'y =2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭AOD △23．如图,是的直径,点C 为上一点,,垂足为F ,交于点E ,与交于点H ,点D 为的延长线上一点,且.(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)若的长.AB O e O e OF BC ⊥O e AE BC OE ODB AEC ∠=∠BD O e 2CE EH EA =⋅O e A =参考答案1．答案：B解析：选项A 、C 、D 都不能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.选项B 能找到这样的一个点,使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.故选：B.2．答案：D解析：点P 在半径为r 的内，且，.故选：D.3．答案：D 解析：将抛物线的图象先向左平移2个单位,再向下平移1个单位,得到的抛物线对应的函数表达式为,故选：D.4．答案：B解析：∵关于x 的方程有两个不相等的实数根,∴,解得∴反比例函数的图象在第二象限,故选：B.5．答案：D 解析：在中,.,180︒180︒ O e 3OP=∴3r >2y x =()221y x =+-210x x m -++=()()2Δ14110m =--⨯⨯+>m <()0m y x x=<Rt ABC △tan BC A AC == AC BC ∴=222AC BC AB +=..故选：D.6．答案：C解析：如图：根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似,∵,要使三角形,即：.故选：C.7．答案：B解析：设,则点A 、B 的横坐标都为a ,将代入得出,；将代入得出,；∴∴.故选：B.8．答案：A解析：取的中点M ,作于点M ,取上的球心O ,连接,DAE BAC ∠=∠=222)4BC BC ∴+=212BC ∴=BC ∴=ADE ABC △△∽::AD AB AE AC =()(),00P a a >x a =()20y x x =>y =2A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x a =()40y x x =->y =4a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，24AB a a ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭ABC △1632AB a a⋅=⋅=EF MN AD ⊥MN OF∵四边形为矩形,∴,∴四边形为矩形,∴,设,则,∴,在中,,∴,即,解得,故选：A.9．答案：B 解析：是的边延长线上一点,,,,,,,,,,故选：B.10．答案：C//CE AD ∴AD CE ∴=2AD DF CE CF ∴==2AD CE =:3:1BEF ECF S S ∴=△△ABCD 90C D ∠=∠=︒CDMN 4cm MN CD ==OF x =ON OF =14,22OM MN ON x MF EF =-=-==Rt OMF △90OMF ∠=︒222OM MF OF +=()22242x x -+=2.5x =E ABCD Y BC ADF ECF ∴∽△△3CD CF = :4:1ADF ECF S S ∴=△△2BC CE ∴=:3:4BEF ADF S S ∴=△△解析：对称轴为直线,,故①正确；,当时,,即,故②错误；对称轴是直线,与x 轴的一个交点是,则与x 轴的另一个交点是,故③正确；将抛物线向下平移3个单位,得到,顶点坐标变为,此时抛物线与x 轴只有一个交点,方程有两个相等的实数根,故④正确；若,则,即,,关于抛物线的对称轴对称,,故⑤错误.故选C.,则,.12．答案：2解析：如图, 12b x a=-=20a b ∴+=2b a =- ∴3x =960y a a c =-+>30a c +> 1x =()4,0B ()2,0-21y ax bx c =++23y ax bx c =++-∴()1,0∴23ax bx c ++=221122ax bx ax bx +=+221122ax bx c ax bx c ++=++12y y =1x ∴2x 1x =122x x ∴+=25=5b =5k b ==2a k =5b k ==,故答案为2.13．答案：>解析：∵二次函数,∴其对称轴为直线,又∵二次项系数,∴二次函数开口向上,图像上的点的横坐标距离对称轴越远,点的纵坐标越大,,∴.故答案为：>.解析：(1)是直径,,在中,,设,则,,,,,,又∵,,tan 2CD AOB DO∠==22y x x m =-+2121x -=-=⨯10a =>1-=11-=12y y >AB 90ACB ∴∠=︒Rt ABC △3cos 5B =BC AB ∴=3BC x =5AB x =4AC x ∴=3CB CE x == AE x ∴=DE AB ∵⊥90AHE ACB ∴∠=∠=︒CAB HAE ∠=∠AEH ABC ∴∽△△AE AB ∴==,(2)如图,连接,是直径,,又∵,,,,,解得15．答案：解析：原式45AH x ∴=455x AH AB x ∴==BD AB 90ADB AHD ∴∠=∠=︒BAD DAH ∠=∠ADH ABD ∴∽△△AD AB ∴=2AD AH AB ∴=⋅5AD = 45255x x ∴⋅=x =x =5552AB x ∴==⨯=12-221312222=-⨯+⨯-11311222232=-⨯+⨯-1111222=-+-=16．答案：当气球内的气压为时,气球的体积为2立方米.解析：设P 与V 的函数关系式为：则,解得,∴函数关系式为将代入,解得,∴当气球内的气压为时,气球的体积为2立方米.17．答案：(1)图见解析(2)图见解析解析：(1)如图,即为所求；(2)如图,即为所求；18．答案：解析：连接、,如图,48kPa P =08120k =⨯.96k =P =48P =P =48=2V =48kPa 11A BC △222A B C △80︒ID IF∵,∴,∵是的内切圆,与,,分别相切于点D ,E ,F ,∴,,∴,∴,∴.19．答案：A 、B 之间的距离约为141米解析：过点A 作,垂足为D ,由题意得：米,,∴,在中,,∴(米),在中,(米),∴A 、B 之间的距离约为141米.20．答案：(1)(2)10解析：(1)将,代入,得,解得,抛物线对应的函数表达式为；(2)由题意得,点C 的坐标为,设直线的表达式为,50DEF ∠=︒2100DIF DEF ∠=∠=︒I e ABC △AB BC CA ID AB ⊥IF AC ⊥90ADI AFI ∠=∠=︒180A DIF ∠+∠=︒18010080A ∠=︒-︒=︒AD BC ⊥200AC =9015105,30BAC C ∠=︒+︒=︒∠=︒18045ABD BAC C ∠=︒-∠-∠=︒Rt ACD △30C ∠=︒11002AD AC ==Rt ABD△141sin 45AD AB ===≈︒223y x x =-++()1,0A -()3,0B 2y x bx c =-++01093b c b c =--+⎧⎨=-++⎩23b c =⎧⎨=⎩∴223y x x =-++()0,3BC 3y kx =+将代入,得,解得,∴直线的表达式为,设点的坐标为,点P 与点关于x 轴对称,点P 的坐标为,∵点P 在抛物线上,,解得,,点P 不与点B 重合,,点P 的坐标为,点的坐标为,.21．答案：（1）（2）解析：（1）点在反比例函数，反比例函数的表达式为点在反比例函数的图象上，，，点，在一次函数的图象上，，解得一次函数的表达式为：.（2）由（1）得，一次函数的解析式为，则；2=- 2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭1112233k bk b =-+⎧⎪∴⎨-=+⎪⎩∴322y x =--()3,0B 033k =+1k =-BC 3y x =-+P '(),3a a -+ P '∴(),3a a -2323a a a ∴-=-++13a =22a =- 2a ∴=-∴()2,5--P '()2,5-()5510PP ∴=--='322y x =--1,63P ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭y =3∴-=22=-∴y = (),1A m 2y =-1∴=()2,1A ∴-()2,1A -1y k x b =+1k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩322y x =--2y =-令，则，，，，，，设点，，解得.22．答案：(1)(2)水果店需将每斤橘子的售价降低1元(3)当每斤橘子售价为5.2元时,才能在一天内获得最大利润,最大利润是288元解析：(1)由题意得：斤,故答案为：(2)设：水果店需将每斤橘子的售价降低x 元,则每斤橘子售价为元,由题意得：,解之得：,为保证每天至少售出220斤,即水果店需将每斤橘子的售价降低1元.(3)设将这种橘子每斤的售价降低m 元,一天内获得的利润为w 元,由题意得：当时,每斤橘子的售价为答：当每斤橘子售价为5.2元时,才能在一天内获得最大利润,最大利润是288元23．答案：(1)证明见解析0y =x =()0,2D -2=11||22222AOD A S OD x =⋅⋅=⨯⨯=△24COP AOD S S ==△△∴n =3022x =--4,03C ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭∴OC =∴∴2,P n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭121424223COP S OC n n =⋅⋅=⨯⋅=△1,63P ⎛⎫- ⎪⎝⎭()80200x +()8020802000.1x x +⨯=+()80200x +()6x -()()6480200280x x --+=11x =20.6x =80200220x +≥0.7x ∴≥11x ∴=∴()()()2264802002003201602000.8288w m m m m m =--+=-++=--+0.8m =288w =最大值∴60.8 5.2-=(2)证明见解析解析：(1),,,,,,,即,,是的直径,是的切线；(2)如图,连接,,,,,,；(3)如图,连接,ODB AEC ∠=∠ AEC ABC ∠=∠ODB ABC ∴∠=∠OF BC ⊥ 90BFD ∠=︒∴90ODB DBF ∴∠+∠=︒90ABC DBF ∴∠+∠=︒90OBD ∠=︒BD OB ∴⊥AB O e BD ∴O e AC OF BC ⊥ »»BECE ∴=CAE ECB ∠=∠∴CEA HEC ∠=∠ AEC CEH ∴∽△△CE EH ∴=2CE EH EA ∴=⋅BE是的直径,,,,又,,,,.,垂足为F,在中,由(1)知,,,ABOe90AEB∴∠=︒e5AB∴=sin BAE∠=3sin535BE AB BAE∴=⋅∠=⨯=»»BE CE=3BE CE∴==BAE BCE∠=∠sin sinBCE BAE∴∠=∠OF BC⊥∴Rt CFE△3sin35FE CE BCE=⋅∠=⨯= CF∴===BF CF∴==OF∴===ODB ABC∠=∠tan tanODB ABC∴∠=∠BFDF∴=2BF OF DF∴=⋅,2127510DF ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭DF ∴=。

江苏省镇江市“五校联考”2025届高三上学期10月数学试卷一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,1,2,3A =，{}1ln(1)2B x x =<+<，则A B =I （ ） A ．{}3 B ．{}1,2 C ．{}2,3 D ．{}1,2,3 2．将函数()sin f x x =的图象先向左平移π4个单位，再将所得图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的12，得到函数()y g x =的图象，则π2g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．1CD ．－13．已知函数()2121x f x =-+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()2f x f x -+=D ．()()2f x f x --=4．“11a -<<”是“函数()()2lg 21f x x ax =-+的值域为R ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知α，β都是锐角，1cos 7α=，()11cos 14αβ+=-，求cos β=（ ） A ．12 B ．3998 C ．5998 D ．71986．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm ，细沙全部在上部，其高度为圆锥高度的23（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下30.02cm 的沙，则该沙漏的一个沙时大约是（ ）()3.14π≈A ．1895秒B ．1896秒C ．1985秒D ．2528秒7．在,,A B C 三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%,4%的人患了流感．假设这三个地区的人口数的比为5:7:8，现从这三个地区中任意选取一人，则这个人患流感的概率为（ ）A ．0.515B ．0.05C ．0.0495D ．0.0485 8．已知()2cos f x x x =--，若34e a f -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4ln 5b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，14c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<二、多选题9．一组数据：x 1，x 2，…，x 10是公差为－2的等差数列，去掉首末两项x 1，x 10后得到一组新数据，则（ ）A ．两组数据的极差相同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的平均数相同D ．两组数据的标准差相同10．已知函数π()sin 33f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为2π3B ．点π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心C ．若()(R)f x a a =∈在ππ,189x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1a ≤<D ．若()f x 的导函数为()f x '，则函数()()y f x f x =+'11．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 满足1CP CD CC λμ=+u u u r u u u r u u u u r ，其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，则下列结论正确的是（ ）A ．当1//B P 平面1A BD 时，1B P 不可能垂直1CDB ．若1B P 与平面11CCD D 所成角为π4，则点P 的轨迹长度为π2C ．当1λ=时，正方体经过点1A 、P 、C 的截面面积的取值范围为D ．当λμ=时，1||||DP A P +u u u r u u u r三、填空题12．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，若()()()312,,533P B P A B P A B ===U ∣，则()P A =．13．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数.例如：][2.13,3.13⎡⎤-=-=⎣⎦，若函数()2521x x f x +=+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为. 14．已知函数()32f x x x =+，若0m >，0n >，且()()()210f m f n f +-=，则12m n+的最小值是四、解答题15．设三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且()2sin 2A B C +=． (1)求角A 的大小；(2)若3b =，BC 边上的高为7ABC 的周长． 16．如图，一个质点在随机外力作用下，从原点O 处出发，每次等可能地向左或者向右移动一个单位.(1)求质点移动5次后移动到1的位置的概率；(2)设移动5次中向右移动的次数为X ，求X 的分布列和期望.17．设函数()sin cos (R)f x x x x =+∈.（1）求函数22y f x π⎡⎤⎛⎫=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小正周期； （2）求函数()4y f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值. 18．如图，直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AB BC ⊥，60DAB ∠=︒，4AB AD ==，等腰直角三角形ADE 中，AE DE =，且平面ADE ⊥平面ABC ，平面ABE 与平面CDE 交于EF .(1)求证：CD EF ∥；(2)若CD EF =，求二面角A BC F --的余弦值.19．已知函数()1ln f x x a x x=--. (1)若不等式()0f x ≥在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)证明：()()()22211ln 21ni n n i i n n =+-⎛⎫> ⎪+⎝⎭∑.。

吉林省长春市农安县五校联考2024-2025学年高二历史上学期期末考试试题(试卷总分：100分考试时间：90分钟)留意事项：1.答题时，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必需运用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必需运用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.全部题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5.考试结束后，只将答题卡交回。

一、选择题(本题共计25个小题，每小题2分，共计50分。

在每小题所给出的选项中，只有一项最符合题目要求。

)1.据记载，楚惠王的使者穆贺当面抨击墨子的学说是“贱人之所为”；荀子指责墨子的学说是“役夫之道”。

这说明，墨子的学说A.反映了平民阶层的要求B.抑制了统治阶级的暴政C.促进了社会经济的发展D.阻碍了社会变革的进程2.台湾闻名历史学家柏杨认为“董仲舒先生的这项‘对策’，经皇帝接受后，就成了神圣的‘国策’……代之而起的，是漫长而单调的儒学思想的时代。

”材料中董仲舒的“对策”是指A.实行仁政B.独尊儒术C.春秋大一统D.以法治国3.王阳明认为，“良知人人皆有，否定一切外在权威，圣人不是天生的，只要不断学习，不断完善自己，每个人都可以成为圣人”。

据此可知，王阳明A.受到李贽思想的影响B.主见发挥人的主观能动性C.否定孔子是天生的圣人D.放弃了儒家的治国理政观念4.顾炎武在与朋辈、学生探讨学术问题的书信中，大力针砭空洞浮泛学风的肆虐，分析其对社会、学术的危害。

为此，顾炎武提倡A.移风易俗B.改革科举制度C.经世致用D.反对君主专制5.京剧脸谱是依据某种性格、性情或某种特殊类型的人物而接受某些色调的，最初颜色只是用来渲染和强调人物的原来肤色，后来才渐渐被给予了各种象征意义。

这反映出京剧脸谱A.提升了历史人物的价值 B.正确评断了历史人物C.固化了大众对人物的认知D.真实再现了客观历史6.下表是庄子和苏格拉底的言论。

2024届高三联合模拟考试数学试题东北师大附中 长春十一高中 吉林一中 四平一中 松原实验中学注意事项：1.答卷前，考生务必将自已的考生号､姓名､考场号填写在答题卡上，2.回答选择时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}{}22log 2,2x A xy x B y y −==−==∣∣，则A B ⋂=（ ）A.()0,2B.[]0,2C.()0,∞+D.(],2∞− 2.已知复数iz 1i=−，则z 的虚部为（ ） A.12−B.1i 2− C.12 D.1i 2 3.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x ，则这6个点数的中位数为4的概率为（ ） A.16 B.13 C.12 D.234.刍薨是《九章算术》中出现的一种几何体，如图所示，其底面ABCD 为矩形，顶棱PQ 和底面平行，书中描述了刍薨的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即()126V AB PQ BC h =+⋅（其中h 是刍薨的高，即顶棱PQ 到底面ABCD 的距离），已知28,AB BC PAD ==和QBC 均为等边三角形，若二面角P AD B −−和Q BC A −−的大小均为120︒，则该刍薨的体积为（ ）A.303B.203 9932D.4843+ 5.中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁4名航天员开展实验，其中天和核心舱安排2人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲､乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（ ）种 A.8 B.10 C.16 D.20 6.已知π3cos sin 6αα⎛⎫−+= ⎪⎝⎭，则5πsin 6α⎛⎫− ⎪⎝⎭的值是（ ） A.3 B.14− C.14 37.已知点F 为地物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，则2AF BF +的最小值为（ ）A.22B.4C.322+D.6 8.已的1113sin ,cos ,ln 3332a b c ===，则（ ） A.c a b << B.c b a << C.b c a << D.b a c <<二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知数列{}n a 满足*1121,,N 1n n a na n a n +==∈+，则下列结论成立的有（ ） A.42a =B.数列{}n na 是等比数列C.数列{}n a 为递增数列D.数列{}6n a −的前n 项和n S 的最小值为6S10.已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 为空间中动点，N 为CD 中点，则下列结论中正确的是（ ）A.若M 为线段AN 上的动点，则1D M 与11B C 所成为的范围为ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.若M 为侧面11ADD A 上的动点，且满足MN ∥平面1AD C ，则点M 2C.若M 为侧面11DCC D 上的动点，且2213MB =，则点M 的轨迹的长度为23π9D.若M 为侧面11ADD A 上的动点，则存在点M 满足23MB MN +=11.已知()()()()1ln ,e 1xf x x xg x x =+=+（其中e 2.71828=为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ）A.()f x '为函数()f x 的导函数，则方程()()2560f x f x ⎡⎤−'+=⎣⎦'有3个不等的实数解 B.()()()0,,x f x g x ∞∃∈+=C.若对任意0x >，不等式()()2ln ex g a x g x x −+≤−恒成立，则实数a 的最大值为-1D.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()21ln 21t x x +的最大值为1e三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.622x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭展开式的常数项为__________.13.已知向量a ，b 为单位向量，且12a b ⋅=−，向量c 与3a b +共线，则||b c +的最小值为__________. 14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的左，右焦点分别为12,,F F P 为C 右支上一点，21122π,3PF F PF F ∠=的内切圆圆心为M ，直线PM 交x 轴于点,3N PM MN =，则双曲线的离心率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）为了更好地推广冰雪体育运动项目，某中学要求每位同学必须在高中三年的每个冬季学期选修滑冰､滑雪､冰壶三类体育课程之一，且不可连续选修同一类课程若某生在选修滑冰后，下一次选修滑雪的概率为13：在选修滑雪后，下一次选修冰壶的概率为34，在选修冰壶后，下一次选修滑冰的概率为25. （1）若某生在高一冬季学期选修了滑雪，求他在高三冬季学期选修滑冰的概率：（2）苦某生在高一冬季学期选修了滑冰，设该生在高中三个冬季学期中选修滑冰课程的次数为随机变量X ，求X 的分布列及期望， 16.（本小题15分）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1,cos cos 2cos 0a C c A b B =+−=. （1）求B ；（2）若2AC CD =，且3BD =c . 17.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，底面是边长为2的正方形，且6PB BC =，点,O Q 分别为棱,CD PB 的中点，且DQ ⊥平面PBC .（1）证明：OQ ∥平面PAD ； （2）求二面角P AD Q −−的大小. 18.（本小题17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的两焦点()()121,0,1,0F F −，且椭圆C 过33,P ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设椭圆C 的左､右顶点分别为,A B ，直线l 交椭圆C 于,M N 两点（,M N 与,A B 均不重合），记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，且1220k k −=，设AMN ，BMN 的面积分别为12,S S ，求12S S −的取值范围18.（本小题17分） 已知()2e2e xx f x a x =−（其中e 2.71828=为自然对数的底数）.（1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程， （2）当12a =时，判断()f x 是否存在极值，并说明理由； （3）()1R,0x f x a∀∈+≤，求实数a 的取值范围.五校联合考试数学答案一､单选题1-8ACADB BCD二､多选题9.ABD 10.BC 11.AC三､填空题12.60 13.211414.75四､解答题15.解：（1）若高一选修滑雪，设高三冬季学期选修滑冰为随机事件A ， 则()3234510P A =⨯=. （2）随机变量X 的可能取值为1，2.()()323113221171,2.534320534320P X P X ==⨯+⨯===⨯+⨯=所以X 的分布列为：X 1 2P1320 720()137272.202020E X =+⨯= 16.解：（1）1,cos cos 2cos cos cos 2cos 0a C c A b B a C c A b B =∴+−=+−=.()sin cos sin cos 2sin cos sin 2sin cos 0.A C C A B B A C B B ∴+−=+−=又()1ππ,sin sin 0,cos 23A B C A C B B B ++=∴+=≠∴=∴=.（2）2AC CD =，设CD x =，则2AC x =，在ABC 中2222141cos ,1422c x B c x c c +−==∴+−=.在ABC 与BCD 中，22222142cos ,cos ,63042x c x BCA BCD x c x x∠∠+−−==∴−−=.2321321330,0c c c c c ±+∴−−=∴=>∴=. 17.解：（1）取PA 中点G ，连接,GQ GD ∴点Q 为PB 中点，GQ ∴∥1,2AB GQ AB =. 底面是边长为2的正方形，O 为CD 中点，DO ∴∥1,2AB DO AB =. GQ ∴∥,OD GQ OD =∴四边形GQOD 是平行四边形.OQ ∴∥DG . OQ ⊄平面,PAD GD ⊂平面,PAD OQ ∴∥平面PAD .（2）DQ ⊥平面,PBC BC ⊂平面PBC DQ BC ∴⊥.又底面是边长为2的正方形，,,DC BC DQ DC D BC ∴⊥⋂=∴⊥平面DCQ .OQ ⊂平面,DCQ BC OQ ∴⊥.又CQ ⊂平面,DCQ BC CQ ∴⊥. 26,6,2,2PB QB BC QC =∴==∴=底面是边长为2的正方形，22,2DB DQ DQ CQ ∴=∴==，O 为CD 中点，OQ DC ∴⊥.又,,BC OQ DC BC C OQ ⊥⋂=∴⊥平面ABCD .取AB 中点E ，以,,OE OC OQ 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz −， 则()()()()()()0,0,0,0,0,1,2,1,0,2,1,0,0,1,0,2,1,2O Q A B D P −−−−所以()()()4,0,2,2,0,0,2,1,1AP AD AQ =−=−=−， 设平面PAD 法向量为(),,m x y z =，则()4200,1,020m AP x z m m AD x ⎧⋅=−+=⎪∴=⎨⋅=−=⎪⎩ 设平面QAD 法向量为(),,n x y z =，则()200,1,120n AQ x y z n n AD x ⎧⋅=−++=⎪∴=−⎨⋅=−=⎪⎩ 2cos ,2m n m n m n⋅>==⋅ 又二面角P AD Q −−范围为()0,π，所以二面角P AD Q −−的大小为π4. 18.解：（1）由题意可得：2222213314c a b c ab ⎧⎪=⎪−=⎨⎪⎪+=⎩，解得2,31a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）依题意，()()2,0,2,0A B −，设()()1122,,,M x y N x y ，直线BM 斜率为BM k .若直线MN 的斜率为0，则点,M N 关于y 轴对称，必有120k k +=，不合题意.所以直线MN 的斜率必不为0，设其方程为()2x ty m m =+≠±，与椭圆C 的方程联立223412,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得()2223463120t y tmy m +++−=，所以()22Δ48340t m=+−>，且12221226,34312.34tm y y t m y y t ⎧+=−⎪⎪+⎨−⎪=⎪+⎩因为()11,M x y 是椭圆上一点，满足 2211143x y +=，所以2121111221111314322444BM x y y y k k x x x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭⋅=⋅===−+−−−， 则12324BM k k k =−=，即238BM k k −⋅=.因为()()1221222BM y y k k x x ⋅=−−()()()()121222121212222(2)y y y y ty m ty m t y y t m y y m ==+−+−+−++−()()()()()22222222223123432334,4(2)42831262(2)3434m m m t m m t m t m m m t t −−++====−−−−−−+−++ 所以23m =−，此时22432Δ4834483099t t ⎛⎫⎛⎫=+−=+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故直线MN 恒过x 轴上一定点2,03D ⎛⎫−⎪⎝⎭. 因此()12222122264,343431232.34334tm t y y t t m y y t t ⎧+=−=⎪++⎪⎨−⎪==−++⎪⎩，所以12S S −=12121212222323y y y y ⎛⎫⎛⎫−−−−−−−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()22212121222833243342283399433334t t y y y y y y t ++−=−=+−==+()2228314334934t t =−++令2122118340,,34439x S S x x t ⎛⎤=∈−=−+ ⎥+⎝⎦ 当211344t =+即0t =时，12S S −86212834860,399S S x x ⎛∴−=−+ ⎝⎦19.解：（1）当0a =时，()()()2,21x x f x xe f x x e =−=+'−.()14.f e =−∴'曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为 ()41242.y e x e ex e =−−−=−+（2）当12a =时，()2122x xf x e xe =−，定义域为(),∞∞−+ ()()()22122,x x x x f x e x e e e x '=−+=−−令()e 22xF x x =−−，则()2xF x e '=−，当()(),ln2,0x F x ∞∈−'<；当()()ln2,,0x F x ∞∈+'>； 所以()F x 在(),ln2∞−递减，在()ln2,∞+上递增，()min ()ln222ln222ln20F x F ==−−=−< ()()2110,260F F e e−=>=−> 存在()11,ln2x ∈−使得()10F x =，存在()2ln2,2x ∈使得()20F x =，()1,x x ∞∈−时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增； ()12,x x x ∈时，()()()0,0,F x f x f x <'<单调递减； ()1,x x ∞∈+时，()()()0,0,F x f x f x >'>单调递增；所以12a =时，()f x 有一个极大值，一个极小值. （3）()()()222121xx x x f x ae x e e ae x '=−+=−−，由()()21111,0,00a x f x f a aa a a+∀∈+≤+=+=≤R ，得0a <，令()e 1xg x a x =−−，则()g x 在R 上递减，0x <时，()()()e 0,1,e ,0,e 11x x xa a g x a x a x ∈∈∴=−−>−−，则()()1110g a a a ∴−>−−−=又()110g ae −−=<，()01,1x a ∃∈−−使得()00g x =，即()000e 10x g x a x =−−=且当()0,x x ∞∈−时，()0g x >即()0f x '>； 当()00,x x ∞∈+时，()0g x <即()0f x '<，()f x ∴在()0,x ∞−递增，在()0,x ∞+递减，()002max 00()2x x f x f x ae x e ∴==−，由()000001e 10,exx x g x a x a +=−−==， 由max 1()0f x a+≤得()000000e 1e 201x x x x x e x +−+≤+即()()00011101x x x −++≤+， 由010x +<得20011,21x x −≤∴−<−，001,e x x a +=∴设()1(21)e x x h x x +=−≤<−，则()0xxh x e −=>'， 可知()h x 在)2,1⎡−⎣上递增，()((()()221221210h x h e h x h e −−≥−==<−=实数a 的取值范围是()212e ⎡⎣.。

2024届安徽省淮北市五校联考中考语文模试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、积累1．下列语句中加点的成语使用不恰当的一项是（）A．时代变迁，科技发展，读屏和读书两种阅读方式并存，相得益彰．．．．，共同构成了多元化的阅读时代。

B．近年来，随着流域经济的快速发展，南河和西河污染问题也日渐严重，因此恢复两河生态功能间不容发．．．．。

C．随着“国学热”的升温，文言文阅读品类增多，但图书水平参差不齐，有的译作更是言不及义．．．。

D．梦想似乎近在咫尺,偏偏又是那么可望而不可即．．．．．．,生活多么矛盾啊,而他必须在这矛盾中寻找平衡。

2．阅读下面这首诗，选出赏析有误的一项（）酬乐天扬州初逢席上见赠刘禹锡巴山楚水凄凉地，二十三年弃置身。

怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人。

沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。

今日听君歌一曲，暂凭杯酒长精神。

A．这是刘禹锡回赠白居易的一首诗。

题目中的“酬”是“酬答”的意思，“乐天”即白居易。

B．首联中“巴山楚水”泛指贬地，此联通过“凄凉地”和“弃置身”这些富有感情色彩字句的渲染，表达了作者被贬多年的无限心酸和悲凉。

C．颔联运用两个典故，用语贴切，感情深沉，表达了作者在席上听到笛声后恍如隔世的怅惘之感。

D．颈联诗人虽以“沉舟”“病树”自比，但并不消沉低落，从整联中可见诗人的豁达胸襟。

3．下列句中加点成语使用不恰当的一项是（）A．大明湖畔桃红柳绿，春色迷人，外地游客纷至沓来．．．．，领略秀美的湖光山色。

B．从风格上看，李诗飘逸豪放，杜诗沉郁顿挫，各有千秋．．．．。

C．我感到一种不可名．．．状．的恐怖，一种同亲人隔绝、同大地分离的孤独感油然而生。

D．亲爱的母校，四十年来，您培养的莘莘学子在各行各业的建设中，总是首当其冲．．．．。

2024年浙江省五校联盟高考语文联考试卷（3月份）一、现代文阅读（35分）（一）现代文阅读I（本题共1小题，19分）1．（19分）阅读下面的文字，完成下列各题。

材料一：经典是“恒久之至道，不刊之鸿教”。

中华经典承载了古圣先贤的志向、智慧与才情，是中华优秀传统文化之渊薮。

而经典的产生有其特定的历史文化语境，亦有其超越时空的传世性和普适性。

诞生于齐梁之际的《文心雕龙》是中国文论元典，中国文章学巨著，中华文化宝典。

这条精雕细刻的“文龙”距今已一千五百多年，依然优美耐看，“灵动多姿”。

究其原因，主要是由于“古典诚然是过去的东西，但是我们的兴趣和研究是现代的，不但承认过去东西的存在并且认识到过去东西里的现实意义。

”（钱锺书语）《文心雕龙》为新文论建设树立“经典范式”。

海通以来，“西学东渐”。

传统的“诗文评”被现代学科意义上的“文学理论”所替代，范畴、术语、命题以及表述方式都发生了质的转换。

这种转换更新了研究视角与研究方法，催生了“文学理论”学科的独立，具有正面意义。

但伴随而来的是“以西律中”的“强制阐释”，文学与文论的民族特点被遮蔽，以至于某些研究者对中国文论产生了隔膜，一味地“竞新逐奇”，自觉或不自觉地切割与中国传统文论的联系。

尽管通行的文学理论教材也吸纳了“意境”等个别中国文论范畴，并引述“诗文评”的只言片语；其实不过是给西式文论做注脚，“虽轩翥出辙，而终入笼内”。

建设新文论，固然要“别求新声于异邦”，望今以制奇；亦须“资于故实”，参古以定法。

而《文心雕龙》为新文论建设树立了“经典范式”。

《文心雕龙》由“文之枢纽”“论文叙笔”“剖情析采”和《序志》等四个部分组成。

其中“文之枢纽”本乎道，师乎圣，体乎经，酌乎纬，变乎骚，这五篇可视为“文原论”；“论文叙笔”自《明诗》至《书记》，先“文”后“笔”，这二十篇可视为“文体论”；“剖情析采”从《神思》至《程器》，先“情”后“采”，这二十四篇可视为“文术论”。

上述三个部分所包含的篇章是“其为文用”的四十九篇。

浙江省宁波鄞州区五校联考2024届中考语文仿真试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、积累1．下列词语中加点字的注音完全正确的一项是（）A．聪颖．（yǐn）记载．（zǎi）脑畔．（pàn）不省．人事（xǐng）B．挑．逗（tiǎo）拮．据（jié）炽．痛（zhì）味同嚼．蜡（jiáo）C．孕．育（yùn）愧赧．（nǎn）掺．杂（chān）间．不容发（jiān）D．顷．刻（qǐng）拘泥．（ní）筵．席（yán）惟妙惟肖．（xiào）2．填入下面横线处的语句，与上下文衔接最恰当的一项是（）一个人能坏到什么程度，；同样，一个人会好到什么程度，。

得意的时候看他做什么，落魄的时候看他不做什么，。

A．看他困厄的时候就知道了看他张狂的时候就清楚了在放纵和坚守里，露出的，往往是最真的品性B．看他困厄的时候就知道了看他张狂的时候就清楚了在坚守和放纵里，露出的，往往是最真的品性C．看他张狂的时候就清楚了看他困厄的时候就知道了在放纵和坚守里，露出的，往往是最真的品性D．看他张狂的时候就清楚了看他困厄的时候就知道了在坚守和放纵里，露出的，往往是最真的品性3．下面句子加点成语使用不正确的一项是（）A．在波澜壮阔．．．．的市场经济大潮中，一个企业要崛起、要发展，只有激流勇进、乘势而上，才能赢得发展先机。

B．每年一到“小升初”的关键时候，众多家长便使出浑身解数．．．．，为让孩子能上一所好学校而四处奔忙。

C．出现在浦东国际机场边检大厅的一位服务标兵，脸上始终挂着一抹真诚而亲切的微笑，让人难以释怀．．．．。

D．解决好人民群众反映强烈的突出环境问题，既是改善环境民生的迫切需要，也是加强生态文明建设的当务之急．．．．。

2024学年普陀区五校联考中考备考试卷（九下三模）（满分：150分考试时间：100分钟）考生注意：1．带2B 铅笔、黑色签字笔、橡皮擦等参加考试，考试中途不得传借文具2．不携带具有传送功能的通讯设备，一经发现视为作弊．与考试无关的所有物品放置在考场外．3．考试开始15分钟后禁止入场，不得提前交卷，考试期间严格遵守考试纪律，诚信应考，杜绝作弊．4．答题卡务必保持干净整洁，答题卡客观题建议检查好后再填涂．若因填涂模糊导致无法识别的后果自负．一．选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．有理数2024的相反数是（）A ．2024-B ．12024-C ．2024-D ．120242．在解答“一元二次方程211022x x a -+=的根的判别式为”的过程中，小普同学的作业中出现了下面几种答案，其中正确的答案是（）A ．1204a -≥B ．124a-C ．180a ->D ．281-3．古代名著《算学启蒙》中有一题：良马日行二百二十里，驽马日行一百四十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．意思是：跑得快的马每天走220里，跑得慢的马每天走140里．慢马先走12天，快马几天可追上慢马？若设快马x 天可追上慢马，则由题意，可列方程为()A ．22014012x x-=B ．22014012x=⨯C ．22014014012x x =+⨯D ．14012220x +=4．已知两圆的半径分别为2和5，如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是（）A ．0＜d ＜3B ．0＜d ＜7C ．3＜d ＜7D ．0≤d ＜35．下列说法中正确的是（）A ．两个全等三角形，一定是轴对称的B ．两个轴对称的三角形，一定全等C．三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形D．三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形6．如图，在ΔA中，点D、E分别在边AB、AC上，DE//BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中，23DEBC=；13BDAD=；23ADEABCCC∆∆=；45ADEDBCESS∆=四边形，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共12题，每题4分，满分48分）7．215-的倒数是．8．长兴岛郊野公园的面积约为29000000平方米，这个面积用科学记数法表示平方米．9．已知3,5,0x y xy==<，则x y-=．10．构造函数，建系法是解决数学问题的常用方法，不等式：21xx>+的解集为11．从1~100的自然数中随机抽取一个，既不是素数也不是合数的概率为12．如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－18x2＋12x＋32，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为米．13．如图，已知ABCV中，中线AM、BN相交于点G，设=AG a，=BG b，那么向量BC用向量a、b表示为．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，3)，在坐标轴上找一点P，使得 AOP是等腰三角形，则这样的点P共有个．15．将抛物线2y x =沿着1y x =-+方向平移3个单位后，解析式为16．我们定义：关于x 的函数y =ax 2+bx 与y =bx 2+ax （其中a ≠b ）叫做互为交换函数．如y =3x 2+4x 与y =4x 2+3x 是互为交换函数．如果函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，那么b =．17．对角线条数和边数相同的正多边形的中心角的余弦值为18．如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形．如图，在△ABC 中,AB=6，BC=7,AC=5,△11A B C 是△ABC 以点C 为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点C 为转似中心的另一个转似三角形△22A B C （点22A B 、分别与A 、B 对应）的边22A B 的长为_____．三、解答题（满分78分）19．解方程组：226,320.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩20．已知21122244a W a a a a ⎛⎫=+÷ ⎪-+-+⎝⎭．(1)化简W ；(2)若a ，2，3恰好是等腰ABC V 的三边长，求W 的值．21．如图，直线122y x =+与双曲线相交于点A (2，m )，与x 轴交于点C .（1）求双曲线解析式；（2）点P 在x 轴上，如果PA =PC ，求点P 的坐标.22．24点游戏是一种扑克牌类的益智类游戏，游戏规则是：从一副扑克牌（去掉大小王）中任意抽取4张牌，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或24-．例如：抽到的数字为“4，4，10，10”，则可列式并计算为：(10104)424⨯-÷=．如果♥、◆表示正，♠、♣表示负（如“◆5”为“5+”，“♠4”为“4-”），请对下面两组扑克牌按要求进行记数，并按“24点”游戏规则对两组数分别进行列式计算，使其运算结果均为24或24-．①依次记为：_________________列式计算：__________________．②依次记为：_________________列式计算：_______．23．已知，如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90BCD ∠=︒，对角线AC 、BD 相交于点E ，且AC BD ⊥．(1)求证：2CD BC AD =⋅；(2)点F 是边BC 上一点，连接AF ，与BD 相交于点G ，如果BAF DBF ∠=∠，求证：22AG BGBD AD=．24．如图，在直角坐标平面内，抛物线经过原点O 、点()1,3B ，又与x 轴正半轴相交于点A ，45BAO ∠=︒，点P 是线段AB 上的一点，过点P 作PM OB ∥，与抛物线交于点M ，且点M在第一象限内．(1)求抛物线的表达式；(2)若BMP AOB ∠=∠，求点P 的坐标；(3)过点M 作MC x ⊥轴，分别交直线AB x 、轴于点N 、C ，若ANC 的面积等于PMN 的面积的2倍，求证：cos NCBAO MN=∠．25．已知ABC V 内接于O ，为的O 直径，N 为 AC 的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求BCOH的值；(2)如图②，点D 在O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB DC =，求证OD AC ∥；(3)如图③，在（2）的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG DO ⊥，交DO 于点G ．DG CH =，过点F 作FR DE ⊥，垂足为R ，连接EF ，EA ，:3:2EF DF =，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM DC ⊥，交DC 的延长线于点M ，若,FR CM AT ==写出圆O 半径的长．1．C【分析】本题考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数互为相反数”，即可求解．【详解】解：2024的相反数是2024-，故选：C ．2．B【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式公式24b ac ∆=-是解题的关键．直接根据根的判别式公式24b ac ∆=-进行计算即可得解．【详解】解：211022x x a -+=的根的判别式为22111442224b ac a a⎛⎫∆=-=--⨯⨯=- ⎪⎝⎭故选：B ．3．C【分析】设快马x 天可以追上慢马，根据快马和慢马所走的路程相等建立方程即可．【详解】解：设快马x 天可以追上慢马，据题题意：22014014012x x =+⨯，故选：C ；【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，挖掘出隐含条件．4．D【分析】本题直接告诉了两圆的半径及两圆的位置的关系，根据数量关系与两圆位置关系的对应情况便可直接得出答案．【详解】解：由题意知，两圆内含，则0≤d ＜5-2（当两圆圆心重合时圆心距为0），即如果这两圆内含，那么圆心距d 的取值范围是0≤d ＜3，故选：D ．【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，①外离，则d ＞R+r ；②外切，则d=R+r ；③相交，则R-r ＜d ＜R+r ；④内切，则d=R-r ；⑤内含，则d ＜R-r ．5．B【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A 、两个全等三角形，一定是轴对称的错误，三角形全等位置上不一定关于某一直线对称，故本选项错误；B 、两个轴对称的三角形，一定全等，正确，故本选项正确；C 、三角形的一条中线把三角形分成以中线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误；D 、三角形的一条高把三角形分成以高线为轴对称的两个图形，错误，故本选项错误．故选B ．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．C【分析】根据中心的三角形相似即可解答.【详解】解：已知DE //BC ，且DE 经过重心G ，可得△ADE ∽△ABC ，且相似比为2:3，故2233ADE ABC C DE BC C ∆∆＝，＝正确，且49s ADE S ABC 三角形＝三角形，故45ADE DBCE S S ∆四边形＝，12BD AD ，故正确的有三个,选C.【点睛】本题主要考查三角形相似的相关性质，熟悉掌握是解题关键.7．57-【分析】先将原数化为假分数形式，再根据倒数的定义解答．【详解】解：27155-=-，∴215-的倒数是57-，故答案为：57-．【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记确定一个数倒数的方法是解题的关键．8．72.910⨯【分析】科学记数法的形式是：10n a ⨯，其中1a ≤＜10，n 为整数．所以 2.9a =，n 取决于原数小数点的移动位数与移动方向，n 是小数点的移动位数，往左移动，n 为正整数，往右移动，n 为负整数．本题小数点往左移动到2的后面，所以7.n =【详解】解：2900000072.910=´故答案为：72.910⨯【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好,a n 的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响．9．8或8-##8-或8##8±【详解】解：因为3,5,x y ==所以3,5,x y =±=±又因为0,xy <所以3,5x y ==-或3,5,x y =-=当3,5x y ==-时，()35358,x y -=--=+=当3,5x y =-=时，358,x y -=--=-综上：8x y -=或8x y -=-.故答案为：8或8-【点睛】本题考查的是绝对值的含义，有理数的减法与乘法运算，代数式的值，清晰的分类讨论是解本题的关键.10．2x <-或01x <<【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．令12y x=，21y x =+，画出函数图象，根据1y 函数图象在2y 函数图象上方部分的自变量取值范围，即可解不等式．【详解】解：令12y x=，21y x =+，函数图象如下：当2x <-或01x <<时，1y 函数图象在2y 函数图象上方，即不等式21x x>+的解集为2x <-或01x <<，故答案为：2x <-或01x <<11．1100##0.01【分析】本题主要考查了素数和合数的定义，以及根据概率公式计算概率，分析出从1~100中，一共100个数，其中1既不是素数，也不是合数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：从1~100中，一共100个数，其中1既不是素数，也不是合数，∴从中随机抽取1个数，既不是素数，也不是合数的概率为：1100．故答案为：1100．12．2【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.【详解】解:∵函数解析式为:y ＝－18x 2＋12x ＋32，∴y 最值=24ac b 4a -=23114282148⎛⎫⎛⎫⨯⨯-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=2.故答案为:2.【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键.13．ˆ2ˆa b +##2b a + 【分析】本题考查了三角形的重心，三角形法则等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据重心的性质可得2AG GM =，2BC BM =，利用三角形法则求出BM，进而可得结果．【详解】解：∵中线AM 、BN 交于点G ，∴2AG GM =，2BC BM =，∴12GM AG =，∵BM BG GM =+，即12BM a b =+ ，∴22BC BM a b ==+ ．故答案为：2a b +．14．8【详解】作出图形，如图，可知使得△AOP 是等腰三角形的点P 共有8个．故答案是：815．2y x 骣琪=++琪桫或2y x 骣琪=--琪桫【分析】本题考查了二次函数的平移变换，掌握平移的规律是解题的关键．将条件中“沿着1y x =-+方向平移3个单位”转化为“”或者“向右平移2个单位，再向下平移2个单位”两种情况．【详解】解：依题意，抛物线2y x =的顶点()0,0沿着1y x =-+方向平移3个单位，当顶点()0,0平移到22⎛- ⎝⎭时，平移后的解析式为222y x 骣琪=++琪桫，当顶点()0,0平移到22⎛⎫- ⎪⎝⎭时，平移后的解析式为222y x 骣琪=--琪桫，故答案为：2y x 骣琪=++琪桫或2y x 骣琪=--琪桫16．﹣2【分析】根据题意可以得到交换函数，由顶点关于x 轴对称，从而得到关于b 的方程，可以解答本题．【详解】解：由题意函数y =2x 2+bx 的交换函数为y =bx 2+2x ．∵y =2x 2+bx =222()48b b x +-，y =bx 2+2x =211(b x b b+-，函数y =2x 2+bx 与它的交换函数图象顶点关于x 轴对称，∴﹣4b =﹣1b 且218b b-=，解得：b =﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了二次函数的性质．理解交换函数的意义是解题的关键．17【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，然后构造三角形相似来求解是解题的关键．先利用正多边形的对角线条数公式求出符合题意的正多边形为正五边形，然后求出正五边形的中心角为72︒，再作等腰ABC V ，使顶角36A ∠=︒，则底角72ABC ACB ∠=∠=︒，作ABC ∠的角平分线BF ，过点B作BE AC ⊥于E ，则可得到AF BF BC ==，设AF BF BC x ===，CE FE y ==，则2AC x y =+，2CF y =，证明ABC BCF △∽△，得到AB BCBC CF=，即22x y x x y +=，进而得到1)x y =，在Rt BEC 中，利用余弦的定义即可得解．【详解】解：设正多边形的边数为n ，则对角线条数为(3)2n n -，根据题意得，(3)2n n n -=，解得5n =，或0n =（舍去）∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，正五边形的中心角为360725︒=︒，如图，作等腰ABC V ，使顶角36A ∠=︒，则底角72ABC ACB ∠=∠=︒，作ABC ∠的角平分线BF ，过点B 作BE AC ⊥于E ，则36ABF CBF ∠=∠=︒，∴72BFC A ABF ∠=∠+∠=︒，∴A ABF ∠=∠，BFC ACB ∠=∠，∴AF BF =，BF BC =，∴AF BF BC ==， BE FC ⊥，BF BC =，∴90BEC ∠=︒，CE FE =，设AF BF BC x ===，CE FE y ==，则2CF y =，2AC x y =+， 36CBF A ∠=∠=︒，72ABC BCF ∠=∠=︒，∴ABC BCF △∽△，∴AB BCBC CF=，即22x y x x y +=，整理得：2242x y xy =+，∴22225x xy y y -+=，即22()5x y y -=， 0x y >>，∴x y -=，∴1)x y=+在Rt BEC 中，cos cos 72CE y BCE BC x ∠=︒==故答案为：14．18．15049.【详解】试题分析：先根据条件证明△ABC ∽△A 1B 1C 就可以求出A1C 中，再证明△ABC ∽△A 2B 2C 就可以求出结论．解：∵△ABC ∽△A 1B 1C ，∴AC:A 1C ＝BC:B 1C ．∵AB=6，BC=7，AC=5，∴5:A 1C ＝7:5，∴A 1C=25:7．∵△ABC ∽△A 2B 2C ，∴BC:B 2C ＝AB:A 2B 2，∴＝，∴A 2B 2=15049．故答案为15049．考点：1.旋转的性质；2.相似三角形的判定与性质．19．114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【分析】先对x 2-3xy+2y 2=0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．【详解】将方程22320x xy y -+=的左边因式分解，得20x y -=或0x y -=．原方程组可以化为6,20x y x y +=⎧⎨-=⎩或6,0.x y x y +=⎧⎨-=⎩解这两个方程组得114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩所以原方程组的解是114,2;x y =⎧⎨=⎩223,3.x y =⎧⎨=⎩【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．20．(1)22a a -+(2)15【分析】（1）根据分式的混合计算法则求解即可；（2）根据等腰三角形的定义结合分式有意义的条件求出a 的值，然后代值计算即可．【详解】（1）解：21122244a W a a a a ⎛⎫=+÷ ⎪-+-+⎝⎭()()()()2222222244a a a a a a a a a ⎡⎤+-=+÷⎢⎥-+-+-+⎣⎦()()()222222a aa a a =÷-+-()()()222222a aa a a-=⋅-+22a a -=+；（2）解：∵a ，2，3恰好是等腰ABC V 的三边长，且2020a a -≠⎧⎨+≠⎩，∴3a =，∴23212325a W a --===++．【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，等腰三角形的定义，分式有意义的条件，灵活运用所学知识是解题的关键．21．（1）6y x =（2）1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】试题分析：（1）根据题意求出点坐标，再代入双曲线解析式中即可求解；（2）设点P 的坐标为(x ，0)，由C （-4，0），PA=PC 4x =+，解得x 的值，即可求得点P 的坐标.试题解析：（1）把2,x y m ==代入直线122y x =+解得3m =∴点A 的坐标为（2，3）设双曲线的函数关系式为()0ky k x=≠把2,3x y ==代入解得6k =∴双曲线的解析式为6y x=（2）设点P 的坐标为(),0x ∵C （-4，0），PA=PC4x =+，解得14x =-经检验：14x =-是原方程的根，∴点P 的坐标为1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭22．①4+，4+，10-，10-；[(10)(10)4]424-⨯--÷=．（答案不唯一，正确即可）②4-，4+，10+，10-；[(10)104](4)24-⨯+÷-=．（答案不唯一，正确即可）【分析】根据♥、◆表示正，♠、♣表示负结合牌的点数即可表示，出各张牌表示的数，根据“24点”游戏规则结合有理数的混合运算法则列式即可．【详解】解：①四张牌依次记为4+，4+，10-，10-；列式计算得：[(10)(10)4]424-⨯--÷=（答案不唯一，正确即可）；②四张牌依次记为4-，4+，10+，10-；列式计算得：[(10)104](4)24-⨯+÷-=（答案不唯一，正确即可）．【点睛】本题考查了新定义问题和有理数的混合运算，理解“24点”游戏规则并熟练掌握有理数运算法则是解题关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ACD DBC ∽可得AD CDCD BC=，进而证明结论；（2）先证明ABG DBA △∽△可得AG AB AD BD =，进而得到2222AG AB AD BD=；再由ABG DBA △∽△可得BG ABAB BD=，即2=⋅AB BG BD ，最后代入即可证明结论．【详解】（1）证明：AD BC ∥ ，90BCD ∠=︒，90ADC BCD \Ð=Ð=°，又AC BD ⊥ ，90ACD ACB CBD ACB ∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD CBD ∴∠=∠，ACD DBC ∴ ∽，AD CDCD BC∴=，即2CD BC AD =⨯．（2）解：AD BC ∥ ，ADB DBF ∴∠=∠，BAF DBF ∠=∠ ，ADB BAF ∴∠=∠，ABG DBA ∠=∠ ，ABG DBA ∴ ∽，AG ABAD BD∴=，2222AG AB AD BD∴=，又ABG DBA ∽，BG ABAB BD∴=，2AB BG BD ∴=⋅，22222AG AB BG BD BGAD BD BD BD⋅∴===．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确证得ABG DBA △∽△是解答本题的关键．24．(1)24y x x =-+(2)53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，根据等腰直角三角形的性质可求点(4,0)A ，用待定系数法可求抛物线的表达式；（2）根据平行线的性质可得BM OA ∥，可求点M 坐标，用待定系数法可求直线BO ，直线AB ，直线PM 的解析式，即可求点P 坐标；（3）延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得AC CN =，PG NG =，根据锐角三角函数可得tan 3tan MGBOA MPG PG∠==∠=，可得33MG PG NG ==，根据面积关系可求NCMN的值，再求出cos BAO ∠的值，即可得证．【详解】（1）解：如图，过点B 作BH x ⊥轴，垂足为点H ，点()1,3B ，3BH ∴=，1OH =，45BAO ∠=︒ ，90BHA ∠=°，3AH BH ∴==，4∴=OA ，∴点()4,0A ，抛物线过原点O 、点A 、B ，∴设抛物线的表达式为()20y ax bx a =+≠，∴01643a b a b =+⎧⎨+=⎩，解得：1a =-，4b =，∴抛物的线表达式为：24y x x =-+．（2）解：如图，PM OB ∥，180PMB OBM ∴∠+∠=︒，且BMP AOB ∠=∠，180AOB OBM ∴∠+∠=︒，BM OA ∴∥，设点(),3M m ，且点M 在抛物线24y x x =-+上，234m m ∴=-+，1m ∴=（舍去），3m =，∴点()3,3M ，点0,0，点()4,0A ，点()1,3B ，∴直线OB 解析式为3y x =，直线AB 解析式为4y x =-+，PM OB ∥，∴设PM 解析式为3y x n =+，且过点()3,3M ，333n ∴=⨯+，6n ∴=-，PM ∴解析式为36y x =-，∴364y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得：5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点53,22P ⎛⎫⎪⎝⎭．（3）解：如图，延长MP 交x 轴于点D ，作PG MN ⊥于点G ，PG MN ⊥ ，MC AD ⊥，PG AD \∥，MPG MDC ∴∠=∠，45GPN BAO ∠=∠=︒，又90PGC ∠=︒ ，90ACG ∠=︒，AC CN ∴=，PG NG =，PM OB ∥，BOA MDC ∴∠=∠，MPG BOA ∴∠=∠， 点B 坐标()1,3，tan 3tan MGBOA MPG PG∴∠==∠=，33MG PG NG ∴==，4MN PG ∴=，ANC 的面积等于PMN 的面积的2倍，∴11222AC NC MN PG ⨯⨯=⨯⨯⨯，2211242NC MN MN ∴=⨯⨯=，∴NC MN= 直线AB 解析式为4y x =-+，cos 2BAO ∴∠=，cos NCBAO MN∴=∠．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，平行线的性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题的关键．25．(1)2BCOH=；(2)证明见解析；【分析】（1）连接OC ，根据N 为 AC 的中点，可得AH HC =，再根据中位线定理得出结论；（2）连接OC ，先证DOB DOC ≌V V 得BDO CDO ∠=∠，再根据OB OD =得DBO BDO ∠=∠，根据ACD ABD ∠=∠即可得出结论；（3）连接AD ，先证DOB DOC ≌V V ，再证四边形ADFE 是矩形，过A 作AS DE ⊥垂足为S ，先证出FR AS =，再能够证出CAS TCM ≌V V 从而CT AC =，得到等腰直角ACT ，利用三角函数求出AC ，再根据EDF BAC ∠=∠求出BC ，最后用勾股定理求出答案即可．【详解】（1）证明：如图，连接OC ，∵N 为 AC 的中点，∴ AN CN=，∴AON CON ∠=∠，∵OA OC =，∴AH HC =，∵OA OB =，∴OH 是ABC V 的中位线，∴2BC OH=；（2）证明：如图，连接OC ，设2BDC α∠=，∵BD DC =，DO DO =，OB OC =，∴()SSS DOB DOC ≌，∴12BDO CDO BDC a Ð=Ð=Ð=，∵OB OD =，∴DBO BDO a Ð=Ð=，∵ACD ABD α∠=∠=，∴CDO ACD ∠=∠，∴OD AC ∥；（3）解：连接AD ，∵FG OD ⊥，∴90DGF ∠=︒，∵90CHE ∠=︒，∴DGF CHE Ð=Ð，∵FDG ECH Ð=Ð，DG CH =，∴()ASA DGF CHE ≌，∴DF CE =，∵AH CH =，∴OH AC ⊥，∴CE AE DF ==，∵EAC ECA α∠=∠=，2AED EAC ECA a Ð=Ð+Ð=，∴BDC AED ∠=∠，∴DF AE ∥，∴四边形ADFE 是平行四边形，∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴四边形ADFE 是矩形，∴90EFD ∠=︒，∴3tan 2EF EDF FD Ð==，过点A 作AS DE ⊥垂足为S ，∴sin AS AES AEÐ=，∵FR DC ⊥，∴sin FR FDR FDÐ=，∵FD AE ∥，∴FDR AES Ð=Ð，∴sin sin FDR AES Ð=Ð，∴FR AS =，∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90BCE ACS Ð+Ð=°，∵90ASC ∠=︒，∴90CAS ACS Ð+Ð=°，∴BCE CAS Ð=Ð，∵BCE TCM Ð=Ð，∴CAS TCM Ð=Ð，∵TM DC ⊥，∴90TMC ∠=︒，∴TMC ASC Ð=Ð，∵FR CM =，∴AS CM =，∴()SAS CAS TCM ≌，∴CT AC =，∵1809090ACT Ð=°-°=°，∴45CAT CTA Ð=Ð=°，∴sin sin 454AC AT CTA =仔==，∵EDF BAC ∠=∠，∴3tan tan 2EDF BAC Ð=Ð=，∴32BC AC =，∴6BC =，∴AB ==，∴圆O【点睛】本题是圆的综合题，考查圆的有关知识、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、垂径定理、三角函数、勾股定理、圆周角定理等知识，构造辅助线解决问题是解题关键．。

2024年浙江省五校联盟高三3月联考数学试题卷命题：浙江省杭州第二中学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若全集U ，集合,A B 及其关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（）A.()U A B ðB.()U A B ðC.()U BA ð D.()U A B ð2.已知(1,2)a =r，2b =r ，且a b ⊥r r ，则a b -r r 与a 的夹角的余弦值为（）A.B.C.D.3.设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列说法中正确的是（）A.若,b c αα⊂∥，则b c ∥B.若,b c b α⊂∥，则c α∥C.若,c αβα⊥∥，则c β⊥ D.若,c c αβ⊥∥，则αβ⊥4.已知角α的终边过点(3,2cos )P α-，则cos α=（）A.2B.2-C.2± D.12-5.设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“2q =”是“{}1n S a +为等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知实数,x y 满足3x >，且2312xy x y +-=，则x y +的最小值为（）A.1+ B.8C. D.1+7.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的一条渐近线于,P Q 两点，且23PAQ π∠=，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.213D.8.在等边三角形ABC 的三边上各取一点,,D E F ，满足3,90DE DF DEF ==∠=︒，则三角形ABC 的面积的最大值是（）A. B. C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在学校组织的《青春如火，初心如炬》主题演讲比赛中，有8位评委对每位选手进行评分（评分互不相同），将选手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分，则下列说法中正确的是（）A.剩下评分的平均值变大B.剩下评分的极差变小C.剩下评分的方差变小D.剩下评分的中位数变大10.在三棱锥A BCD -中，已知3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则（）A.MN AD⊥B.异面直线,AN CM 所成的角的余弦值是78C.三棱锥A BCD -的体积为3D.三棱锥A BCD -的外接球的表面积为11π11.已知函数()(sin cos )x f x e x x =⋅+，（浦江高中数学）则（）A.()f x 的零点为,4x k k Z ππ=-∈B.()f x 的单调递增区间为32,2,22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C.当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，若()f x kx ≥恒成立，则22k e ππ≤⋅D.当10031005,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，过点1,02π-⎛⎫⎪⎝⎭作()f x 的图象的所有切线，则所有切点的横坐标之和为502π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线3430x y -+=的一个方向向量是________.13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军，比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为________.14.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x ='，若(21),(2)f x g x --均为偶函数，且当[1,2]x ∈时，3()2f x mx x =-，则(2024)g =________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 内的射影恰好是BC 的中点，且2BC CA ==.（1）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ；（2，求平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值.16.（本小题满分15分）已知函数()ln f x x ax =-，其中a R ∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）是否存在实数a ，使得()f x 在(0,]x e ∈上的最大值是3-？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.17.（本小题满分15分）记复数的一个构造：从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复n 次这样的构造，可得到n 个复数，将它们的乘积记为n z .已知复数具有运算性质：()()()()a bi c di a bi c di +⋅+=+⋅+，其中,,,a b c d R ∈.（1）当2n =时，记2z 的取值为X ，求X 的分布列；（2）当3n =时，求满足32z ≤的概率；（3）求5n z <的概率n P .18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，我们把点*(,),,x y x y N ∈称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(,)x y 进行赋值记为(,)P x y ，例如(2,3)8P =，(4,2)14,(2,5)17P P ==.（1）求(,1)P x ;（2）求证：2(,)(1,)(,1)P x y P x y P x y =-++;（3）如果(,)P x y 满足方程(1,1)(,1)(1,)(1,1)2024P x y P x y P x y P x y +-+++++++=，求(,)P x y 的值.19.（本小题满分17分）在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,0)F 的直线l 与抛物线2:4C y x =交于,M N 两点(M 在第一象限）.（1）当||3||MF NF =时，求直线l 的方程；（2）若三角形OMN 的外接圆与曲线C 交于点D （浦江高中数学）（异于点,,O M N ），（i ）证明：MND ∆的重心的纵坐标为定值，并求出此定值；（ii ）求凸四边形OMDN 的面积的取值范围.参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBDBCACA选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号 9 10 11 答案BCABDACD12. 3(1,)4 (答案不唯一) 13.2514. 6− 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，7分）解：（Ⅰ）取BC 中点为M ，连接1B M ，∵1B 在底面内的射影恰好是BC 中点， ∴1B M ⊥平面ABC ，又∵AC ⊂平面ABC ,∴1B M AC ⊥， 又∵90ACB ∠=，∴AC BC ⊥， ∵1,B M BC ⊂平面11B C CB ，1B MBC M =，∴AC ⊥平面11B C CB ，又∵AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB .（Ⅱ）以C 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，∵2BC CA ==， ∴11(2,0,0),(0,2,0),(0,1,0),(0,1,3),(0,1,3),A B M B C − 111(2,1,3),(2,2,0),(0,2,0)AB AB B C =−=−=−，设平面1BAB 的法向量为(,,)n x y z =，∴100n AB n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有230220x y z x y ⎧−++=⎪⎨−+=⎪⎩，令3,z =则3x y ==，∴(3,3,3)n =，设平面1BAB 的法向量为(,,)m a b c =，∴1110m AB m B C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩则有23020a b c b ⎧−++=⎪⎨−=⎪⎩，令3a =则0,2b c ==，∴(3,0,2)n =，∴||535|cos ,|||||7993304n m n m n m ⋅<>===++⨯++，平面1ABB 与平面11AB C 夹角的余弦值为57.16.（本小题满分15分）（第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，9分）∴f (x )的最大值是f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >0，舍去；②当a >0时，由f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x ＝0，得x ＝1a，当0<1a <e ，即a >1e 时，∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0；x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，e 时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1a ，e ， 又f(x )在(0，e]上的最大值为－3，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝－1－ln a ＝－3，∴a ＝e 2； 当e≤1a ，即0<a ≤1e 时，f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝1－a e ＝－3，解得a ＝4e >1e，舍去．综上，存在a 符合题意，此时a ＝e 217.（本小题满分15分） （第Ⅰ问，6分；第Ⅱ问，4分；第Ⅲ问，5分） （Ⅰ）由题意可知，可构成的复数为{}11i +， 且1112i i ====+=+=.X 的可能取值为1234,,，()11221166119C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11421166229C C P X C C ⋅===⋅,()11221166139C C P X C C ⋅===⋅,(1142116629C C P X C C ⋅===⋅,()11221166149C C P X C C ⋅===⋅,所以分布列为：（Ⅱ）共有666216C C C ⋅⋅=种， 满足32z ≤的情况有：①3个复数的模长均为1，共有1112228C C C ⋅⋅=种；②3个复数中，2个模长均为1，12，共有2111322448C C C C ⋅⋅⋅=种； 所以()38487221627P z +≤==. （Ⅲ）当1n =或2时，显然都满足，此时1n P =； 当3n ≥时，满足5n z <共有三种情况： ①n 个复数的模长均为1，则共有()122nn C =；②1n −个复数的模长为1，剩余12，则共有()11111242n n n n C C C n −−+⋅⋅=⋅；③2n −个复数的模长为1，剩余2或者2，则共有()()22111124412n n n n C C C C n n −−+⋅⋅⋅=−⋅.故()()()()211216212*********n n n n n nnnn n n n n P z C ++++⋅+−⋅+<===，此时当12n ,=均成立.所以()21253n nn P z +<=.18. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，7分；第Ⅲ问，6分） 解：（Ⅰ）根据图形可知()()1,11232x x P x x +=++++=， （Ⅱ）固定x ，则(),P x y 为一个高阶等差数列，且满足()(),1,1P x y P x y x y +−=+−，()()1,,P x y P x y x y +−=+,所以()()()()()1,1,112112y y P x y P x y y x y x ++−=++++−=+−,()()()()11,1122y y x x P x y y x +++=+−+,所以()()()()()11,1122x x y y P x y x y +−=++−−,()()()()()111,2122x x y y P x y x y −−−=++−−，所以()()()()()()()()()()221111,11,21122222322,x x y y y y x x P x y P x y x y y x x y xy y x P x y −−++++−=++−−++−+=++−−+=（Ⅲ）()()()()1,1,11,1,12024P x y P x y P x y P x y +−+++++++=,等价于()()()(),,11,1,12023P x y P x y P x y P x y +++++++=,等价于()(),131,2023P x y P x y +++=,即()()()()()()131211212202322x x y y x x x y y x +++−++++−+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,化简得()()2221010121010y xy x y x x y x y x ++−+=⇔+−++=,由于x y +增大，()()1x y x y +−+也增大，当31x y +=时，()()129921010x y x y x +−++<<,当33x y +=时，()()1210561010x y x y x +−++>>,故当32x y +=时，()()1210109,23x y x y x x y +−++=⇒==， 即()91023229,2382247422P ⨯⨯=++⨯=.19. （本小题满分17分）（第Ⅰ问，4分；第Ⅱ问，5分；第Ⅲ问，8分） 解：（Ⅰ）设直线MN ：1x my =+，1122(,),(,)M x y N x y联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440y my −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，3MF NF =，则123y y =−∴122212224,34y y y m y y y +=−=⋅=−=−，则213m=，又由题意0,m >∴3m =，直线的方程是y =（Ⅱ）（ⅰ）方法1：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y因为,,,O M D N 四点共圆，设该圆的方程为220x y dx ey +++=，联立22204x y dx ey y x⎧+++=⎨=⎩，消去x ，得()42416160y d y ey +++=，即()()3416160y y d y e +++=，所以123,,y y y 即为关于y 的方程()3416160y d y e +++=的3个根，则()()()()312341616y d y e y y y y y y +++=−−−，因为()()()()()32123123122313123y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y y −−−=−+++++−，由2y 的系数对应相等得，1230y y y ++=，所以MND ∆的重心的纵坐标为0.方法2：设112233(,),(,),(,)M x y N x y D x y ，则1213234444,,,OM ON MD ND k k k k y y y y y y ====++， 因为,,,O M C N 四点共圆，所以MON MDN π∠+∠=，即tan tan 0MON MDN ∠+∠=，21124()tan 116OM ON OM ON k k y y MON k k y y −−∠==+⋅+，1213234()tan 1()()16ND MD ND MD k k y y MDN k k y y y y −−∠==+⋅+++，化简可得：312y y y =−−， 所以MND ∆的重心的纵坐标为0.（ⅱ）记,OMN MND △△的面积分别为12,S S ，由已知得直线MN 的斜率不为0 设直线MN ：1x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩，消去x ，得2440ymy −−=，所以12124,4y y m y y +=⋅=−，所以1121122S OF y y =⋅⋅−==， 由（i ）得，()3124y y y m =−+=−， 所以()22233114444x y m m ==⨯−=，即()24,4D m m −， 因为()212122444MN x x m y y m =++=++=+，点D 到直线MN的距离d =，所以()22211448122S MN d m m =⋅⋅=⋅+=−，所以)221281181S S S m m =+=+−=+− M 在第一象限，即120,0y y ><，340y m =−<，依次连接O ，M ，D ，N 构成凸四边形OMDN ，所以()3122y y y y =−+< ，即122y y −<，又因为124y y ⋅=−，2242y y <，即222y <，即20y <<，所以122244m y y y y =+=−>=，即4m >，即218m >，所以)218116S m m =+−=设t =4t >， 令()()2161f t t t =−，则()()()2221611614816f t t t t t '='=−+−−，因为4t >，所以()248160f t t −'=>，所以()f t在区间,4∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以()42f t f ⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭， 所以S的取值范围为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.。

广东省中山市2024-2025学年七年级上学期五校联考期中数学试卷一、单选题1．下列代数式书写规范的是（）A ．8x÷B ．5a ⨯C ．24a bD ．213a2．下列计算正确的是（）A ．20828-+=-B ．()550--=C ．()1122÷-=-D ．22483⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭3．下列说法中，正确的是（）A ．非负数一定是正数B ．有最小的正整数，也有最小的有理数C ．若在一个数前面加上“-”号，则这个数一定是负数D ．最大的负整数是1-4．单项式352xy -的系数和次数分别是（）A ．系数5-，次数3B ．系数52-，次数4C ．系数52-，次数3D ．系数5，次数45．用四舍五入法对3.14159分别取近似值，其中错误．．的是（）A ．3.14（精确到0.01）B ．3.141（精确到千分位）C ．3.1（精确到十分位）D ．3.1416（精确到0.0001）6．下列两个数中，互为相反数的是（）A ．2+和()3--B ．4-和4C ．−2和12-D ．()2+-和()2--7．()22121x xy y -+-=-，在括号里填上适当的项应该是（）A ．222x xy y +-B ．222x xy y ---C ．222x xy y -+D ．22-x xy y +8．一组按规律排列的式子：4682,,,,357a a a a ⋅⋅⋅则第n 个式子是（）A ．2123n a n --B ．221na n -C ．2121n a n ++D ．2323n a n ++9．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，下面4个结论：①0a b +<，②0b c ->，③0abc >，④0ac<中，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图，四边形ABCD 是长方形，用代数式表示图中阴影部分的面积为（）A ．32a B ．32a +C ．2ab D ．32b +二、填空题11．在百度搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果约3060000条，3060000用科学记数法可以表示为．12．若代数式3x y -的值是2，则代数式126x y -+的值是．13．如果单项式312m x +-y 与432n x y +的和是单项式，那么2021()m n +的值为．14．在二进制数中，“1101”表示十进制数的3211212021113⨯+⨯+⨯+⨯=；“11000”表示十进制数的4321121202020124⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；则二进制数中的“110101”表示十进制数的是．15．如图所示，由一些点组成形如三角形的图形，每条“边”（包括两个顶点）有()1n n >个点，每个图形总的点数为S ．当12n =时，S =．三、解答题16．计算：()()1912612-+-⨯--+-．17．先化简，再求值：()()()222432421x x x x x x -++--++，其中2x =-．18．已知()()222130a b c -+++-=，求代数式22c b a b-+的值．19．点A ，B 在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是a 和b ．(1)化简：a b a b +--(2)若32a =，4b =，c 、d 互为相反数，m 、n 互为倒数，求代数式()22023c d mn a b +-++的值．20．新华文具用品店最近购进了一批钢笔，进价为每支6元，为了合理定价，在销售前4天试行机动价格，卖出时每支以10元为标准，超过10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，文具店记录了这四天该钢笔的售价情况和售出情况，如表所示：第1天第2天第3天第4天每支价格相对标准价格（元）1+01-2-售出支数12153233(1)求新华文具用品店这四天出售这种钢笔一共赚了多少钱；(2)新华文具用品店为了促销这种钢笔，决定从下周一起推出两种促销方式：方式一：购买不超过5支钢笔，每支12元；若超过5支钢笔，则超过部分每支8元；方式二：无论购买多少支，每支售价均为9元，林老师想在该店购买10支钢笔作为奖品，通过计算说明林老师应选择上述两种促销方式中的哪种方式购买更省钱．21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD ，其中4EF =厘米，最小的正方形的边长为x 厘米．(1)FG =______厘米，DG =______厘米（用含x 的整式分别表示）：(2)求长方形ABCD 的周长（用含x 的整式表示），当2x =厘米时，求其值．22．定义新运算：11*a b a b =-，1a b ab⊗=，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）．例如：1143*73721=-=，11373721⊗==⨯．若*a b a b ⊗=，则称有理数a ，b 为“隔一数对”．例如：1123236⊗==⨯，1112*3236=-=，232*3⊗=，所以2，3就是一对“隔一数对”，(1)下列各组数是“隔一数对”的是______（请填序号）；①1a =，2b =；②43a =-，13b =-；③1a =-，1b =(2)计算：()()()()343420232023-*--⊗+-*-23．已知多项式A 和B ，且2A +B ＝7ab +6a ﹣2b ﹣11，2B ﹣A ＝4ab ﹣3a ﹣4b +18．阅读材料：我们总可以通过添加括号的形式，求出多项式A 和B ．如：5B ＝（2A +B ）+2（2B ﹣A ）＝（7ab +6a ﹣2b ﹣11）+2（4ab ﹣3a ﹣4b +18）＝15ab ﹣10b +25∴B ＝3ab ﹣2b +5(1)应用材料：请用类似于阅读材料的方法，求多项式A ．(2)小红取a ，b 互为倒数的一对数值代入多项式A 中，恰好得到A 的值为0，求多项式B 的值．(3)聪明的小刚发现，只要字母b 取一个固定的数，无论字母a 取何数，B 的值总比A 的值大7，那么小刚所取的b 的值是多少呢？。

2024年上海市普陀区五校联考中考物理三模试卷一、选择题1．(★)关于透镜，下列说法正确的是()A．凸透镜对光有会聚作用，因此通过凸透镜的光一定会聚在焦点上B．凸透镜和凹透镜都有焦点，凸透镜有实焦点，凹透镜有虚焦点C．凸透镜只对平行光有会聚作用D．平行于主光轴的光，通过凹透镜后一定经过焦点二、非选择题2．(★★★)小实验：在一块干燥且干净的玻璃片上滴几滴清水，平端着玻璃片在灯光下上下移动。

当玻璃片接近桌面时，观察桌面上的亮度变化情况(如图)，想一想这是为什么。

隔着玻璃片上的水滴观察玻璃片下面的物体时，你有什么发现？3．(★)图是光线射向透镜或光线从透镜射出的光路图。

请补画出入光线或折射光线。

4．(★★★)如图所示，光线通过虚线框中的透镜，传播方向发生了改变。

请在方框中填上适当的透镜。

5．(★★)小明帮助爸爸把麦草晒干堆成垛。

天要下雨了，小明为了防止麦草被淋湿，急忙用塑料薄膜把麦草遮盖起来。

雨过天晴，烈日炎炎。

小明看到塑料薄膜顶部有一摊水，突然想到物理课上学到的光学知识，急忙跑到麦草垛旁，将薄膜上的水排掉。

小明为什么要这样做？这里面有什么物理道理？6．(★★★)调查一下你周围的生活用品，哪里应用了凸透镜成像规律。

在调查的每一个实例中，都要弄清楚被观察的物体是什么，它离凸透镜多远，产生的像有什么特点。

7．(★★)凸透镜的焦距是10cm,在将点燃的蜡烛从距凸透镜50cm处移到15cm处的过程中，像的大小和像距是怎样变化的？8．(★★★)晚上在屋内点燃一支蜡烛，使烛焰通过放大镜在墙上成清晰的、等大的实像，估测放大镜的焦距。

9．(★★)为了了解凸透镜成像规律，小红进行了探究实验。

(1)在探究前，小红将三个凸透镜分别正对太阳光，调节凸透镜和光屏间的距离，使太阳光在光屏上会聚于一点，测得凸透镜到光屏的距离分别为48cm、15cm和4cm。

小红选择了15cm的那个凸透镜进行实验，其他两个凸透镜则不在本实验中使用。

2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数f （x ）=√2x −1+1x−2的定义域为（ ） A ．[0，2）B ．（2，+∞）C ．[12，2）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，2）∪（2，+∞）2．已知全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜1}，B ＝{x |x ＞2}，则（ ） A ．A ⊆BB ．B ⊆AC ．A ∪B ＝RD ．A ∩（∁R B ）＝A3．设a ∈R ，则“a 2﹣1≥0”是“a ≤﹣1”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知幂函数f （x ）＝（m 2+m ﹣1）x m 的图象与坐标轴没有公共点，则f(√2)=（ ） A ．12B ．√2C ．2D ．2√25．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ） A ．f （x ）＝3x +1B ．f （x ）＝x 3C ．f （x ）＝x 2D ．f （x ）＝lnx6．声强级（单位：dB ）由公式L 1=10lg(I 10−12)给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB ．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为5×10﹣7W /m 2，10﹣8W /m 2，2×10﹣9W /m 2，则这3人中达到班级要求的人数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．37．对于任意的实数x ，已知函数f （x ）={x ，x ≤12−x 2，x ＞1，则f （x ）的最大值是（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x 里见到树，则x =(9×12)×(7×12)15．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（ ）（注：1里＝300步）A．2√10里B．4√10里C．6√10里D．8√10里二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

颍上一中蒙城一中淮南一中怀远一中涡阳一中2024届高三第二次五校联考数学试题考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U B A ⋂=ð（）A.[1,2]- B.(0,2)C.[1,)-+∞D.[1,1)-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再利用补集运算求U A ð，最后求交集即可.【详解】由{}10A x x =+<，得{}1A x x =<-，{}1U A x x =≥-ð，由{}2|log 1B x x =<，得{}|02B x x =<<，故()()0,2U A B = ð.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集和补集的运算，考查了对数函数求值.属于较易题.2.已知z 为复数且()1i 13i ⋅-=+z （i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（）A.2B.2iC.2- D.2i-【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.【详解】解：因为()1i 13i ⋅-=+z ，所以()()()()213i 1i 13i 1i 3i 3i 12i 1i 1i 1i 2z ++++++====-+--+，所以12i z =--，则共轭复数z 的虚部为2-.故选：C3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则1a d=（）A.2 B.4 C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，{}n a 是等差数列，且1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()22317111,26a a a a d a a d =⋅+=+，222211111446,2a a d d a a d d a d ++=+=，由于0d ≠，所以112,2a a d d==.故选：A4.“2a =”是“直线220++=ax y 与直线()110x a y +-+=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】代入2a =，可得两直线为同一直线，可得结果.【详解】当2a =时，直线220++=ax y 即直线222010x y x y ++=⇒++=，直线()110x a y +-+=即直线直线10x y ++=，所以两直线重合，5.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3sin ,3,32A c AB AC ==⋅= ，则sin sin b c B C +=+（）A.332B.3C.273D.4213【答案】B 【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出a ，由正弦定理可得sin sin sin b c aB C A+=+，化简即可得到答案.【详解】因为ABC为锐角三角形，sin 2A =，所以60A = ，由cos 3AB AC cb A ⋅== ，则2b =，由余弦定理可得：2222cos 7=+-=a b c bc A，即a =由正弦定理可得：7221sin sin sin sin603b c a B C A +===+.故选：B.6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在,,,A B C D ，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A.96种 B.132种C.168种D.204种【答案】C 【解析】【分析】各级题意，剩下4人去其他两个景点游戏，由此按旅游的人数2种情况讨论，结合分类加法计数原理，即可求解.【详解】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游戏，则剩下的4人去其他两个景点游戏，则其余4为主播有两种情况：①若3为主播去一个景点，1为主播去另一个景点，有232442A C A 96=种不同游戏方法；②分别都是2为主播去一个景点，有2222424222C C A A 72A ⋅⋅=种不同游戏方法，由分类计数原理得，共有9672168+=种.故选：C.7.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分离参数转化为1ln exx xa x -->，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数法求出()min f x ，()min a f x >即为所求.【详解】不等式e 1ln x ax x x +>-有解，即1ln e xx xa x -->，0x >，只需要min1ln e x x x a x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()1ln exx xf x x --=，()()()212ln e xx x x f x x +-+∴='，0x >，令()2ln g x x x =-+，0x >，()110g x x∴=+>'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()110g =-<，()2ln 20g =>，所以存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即002ln 0x x -+=，()00,x x ∴∈，()0g x <，即()0f x '<；()0,x x ∞∈+，()0g x >，即()0f x '>，所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()000001ln e x x x f x x --∴=，又由002ln 0x x -+=，可得020e e x x =，()0000002201ln 121e e e x x x x xf x x ---+-∴===-.21e a ∴>-.故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为1ln exx xa x -->，0x >，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数求出()f x 的最小值，即只要()min a f x >.8.已知实数x ，y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是（）A.)42⎡-⎣ B.)44⎡-⎣ C.2,22⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ D.2,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】将实数x ，y 满足13y y x x +=通过讨论x ，y 得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图4y +-40y +-=距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】解：因为实数x ，y 满足13y y x x +=，所以当0,0x y ≥≥时，2213yx +=其图像位于焦点在y 轴上的椭圆第一象限，当0,0x y ><时，2213yx -=其图像位于焦点在x 轴上的双曲线第四象限，当0,0x y <>时，2213yx -=其图像位于焦点在y 轴上的双曲线第二象限，当0,0x y <<时，2213y x --=其图像不存在，作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中13y y x x +=图像如下：。