立体几何面面垂直的判定1
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面面垂直的判定习题课
判定方法多样性
面面垂直的判定方法有多种，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，这些方法 各有特点，适用于不同的问题情境。
学生掌握情况
学生在前面已经学习了线面垂直、面面平行的判定和性质，对于空间图形的认知有了一定 的基础，但对于面面垂直的判定方法可能还不够熟练，需要通过习题课进行巩固和提高。
教学目标
m⊥n。
习题三
已知三棱锥A-BCD中， AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 试判断AB与CD是否垂直，并说
明理由。
自测题
自测题一
已知平面α内有一个四 边形ABCD，其中 AB=BC=CD=DA=a， 且AC⊥BD。若平面α外 有一点P到平面α的距离 为h，且 PA=PB=PC=PD。试求 h的最大值。
注意事项
准确理解题意
规范书写过程
灵活运用知识
及时总结反思
在解题前要认真审题，准 确理解题意和要求，避免 误解或遗漏重要信息。
在解题过程中要注意书写 规范，步骤清晰，逻辑严 密，方便检查和复查。
在解题时要灵活运用所学 知识，善于将复杂问题转 化为简单问题进行处理。
在解题后要及时总结反思， 归纳解题方法和技巧，提高
根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 直。因此，由已知条件$l perp beta$且$l$在$alpha$内，可得$alpha perp beta$。
例题二：综合题型
题目描述
在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩 形，侧棱$PA perp$底面$ABCD$，且$PA = AB = 1$，$AD = sqrt{2}$，$E$是$PD$的 中点。求证：平面$AEB perp$平面$PCD$。
线与平面垂直的判定定理可知，若一条直线 同时垂直于平面内的两条相交直线，则该直 线与此平面垂直。因此，由上述推导可知，
面面垂直的判定方法有多种，包括定义法、向量法、三垂线定理及其逆定理等，这些方法 各有特点，适用于不同的问题情境。
学生掌握情况
学生在前面已经学习了线面垂直、面面平行的判定和性质，对于空间图形的认知有了一定 的基础，但对于面面垂直的判定方法可能还不够熟练，需要通过习题课进行巩固和提高。
教学目标
m⊥n。
习题三
已知三棱锥A-BCD中， AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5, 试判断AB与CD是否垂直，并说
明理由。
自测题
自测题一
已知平面α内有一个四 边形ABCD，其中 AB=BC=CD=DA=a， 且AC⊥BD。若平面α外 有一点P到平面α的距离 为h，且 PA=PB=PC=PD。试求 h的最大值。
注意事项
准确理解题意
规范书写过程
灵活运用知识
及时总结反思
在解题前要认真审题，准 确理解题意和要求，避免 误解或遗漏重要信息。
在解题过程中要注意书写 规范，步骤清晰，逻辑严 密，方便检查和复查。
在解题时要灵活运用所学 知识，善于将复杂问题转 化为简单问题进行处理。
在解题后要及时总结反思， 归纳解题方法和技巧，提高
根据面面垂直的判定定理，若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂 直。因此，由已知条件$l perp beta$且$l$在$alpha$内，可得$alpha perp beta$。
例题二：综合题型
题目描述
在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩 形，侧棱$PA perp$底面$ABCD$，且$PA = AB = 1$，$AD = sqrt{2}$，$E$是$PD$的 中点。求证：平面$AEB perp$平面$PCD$。
线与平面垂直的判定定理可知，若一条直线 同时垂直于平面内的两条相交直线，则该直 线与此平面垂直。因此，由上述推导可知，
赵乾坤-面面垂直的判定 (1)
乾坤：我觉得教学设计基本是可以了。
在实际教学时，要注意学生活动的完整性。
比如，本节课给了学生8个问题，两个练习，在上课时，要让学生自己阅读问题，完整地解决，不要老师包办代替，帮助念题，不停地分析等等。
在与学生互动时，不仅仅要展示正确的，还要善于发现问题，解决学生存在的困惑，克服思维的困难，升华学生朴素的想法等等。
切忌齐问齐答看似热闹的场面。
这次的课件做了较大的修改，就按照这样的风格去做，答案可以作为备用，上课时还可以用实物投影，及时地把学生的情况展示出来与大家交流。
根据修改后的教学设计再把课件修改了。
录像要注意效果，不能是简单的跟拍式的录像，最好请相关部门，用两台机子录制，随时切换师生的镜头，注意多体现学生的完整的活动，包括他们独立完成某个问题的安静的过程。
你可以将教学设计用学案的形式发给学生，如果没有这样锻炼过，也可以将问题放在PPT上，逐一呈现。
象现在的形式。
会议的正式通知发给你，根据会议通知中“五”的第“（三）”、“四”、“五”、“六”条把材料准备好，把教学设计的格式修改了，在10月30日之前发送我和常老师，把需要寄送的寄给常老师。
之后根据会议通知“六”“（一）”的要求准备课件。
2.3.2 平面与平面垂直的判定山西省祁县中学校赵乾坤【教学目标】1、知识与技能（1）理解二面角的有关概念；（2）理解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系；（3）熟悉线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化．2、过程与方法：在观察物体模型直观感知、操作确认的基础上，通过对几个递进式问题的思考和探究获得对二面角的平面角及面面垂直的认识；3、情感、态度与价值观：通过“直观感知、操作确认、推理证明”,培养学生空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力.【教学重点】平面与平面垂直的判定定理及其应用。
【教学难点】二面角的平面角概念。
【教学过程】情境激趣，问题导入；空间两个平面有平行、相交两种位置关系.对于两个平面平行，我们已作了全面的研究，对于两个平面相交，我们应从理论上有进一步的认识.观察教室的墙面和地面，相邻两个墙面，打开的门和墙面，翻开的书的两页纸，都能给我们两平面相交的直观感觉，但是所涉及的两个平面的相对位置又不尽相同。
怎么证明面面垂直
怎么证明面面垂直怎么证明面面垂直证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
证:连接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD为正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD内的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC属于面ACE=>面PBD垂直面ACE21利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
5三垂线定理逆定理如果平面内一条直线和平面的一条斜线垂直，那么这条直线也垂直于这条斜线在平面内的射影。
3高中立体几何的证明主要是平行关系与垂直关系的证明。
方法如下(难以建立坐标系时再考虑)：Ⅰ.平行关系：线线平行：1.在同一平面内无公共点的两条直线平行。
2.公理4(平行公理)。
3.线面平行的性质。
4.面面平行的性质。
5.垂直于同一平面的两条直线平行。
线面平行：1.直线与平面无公共点。
2.平面外的一条直线与平面内的一条直线平行。
3.两平面平行，一个平面内的任一直线与另一平面平行。
面面平行：1.两个平面无公共点。
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
高中数学：面面垂直的判定1课件共31张PPT
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是
直二面角，∴α⊥β.
21
平面与平面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
解决.
31
（D ）
A.二面角的大小范围是大于0 且小于90 B.一个二面角 的平面角可以不相等 C、二面角的平面角的顶点可以
不在棱上D.二面角的棱和二面角的平面角所在的平面垂直
29
3、已知二面角 l 的大小为 ，直线 a ，
a与 所成的角为 ，则
（A）
A.
B.
C.当 90 时， 90 ;当 90 时,
AF PC于F。
求证（1）BC AF; （2）平面AEF 平面PAB.
P
E
F
A
B
C
24
探究： 已知AB 面BCD, BC CD
请问哪些平面互相垂直的,为什么?
面ABC 面BCD AB 面BCD A
面ABC 面ACD CD 面ABC
面ABD 面BCD AB 面BCD
B
D C
25
所成的角的取值范围： 1
( 0o, 90o )
A
B
3
二、课堂设问，任务驱动
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
4
二、课堂设问，任务驱动
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 直线a、b是异面直线,在空间任选一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫做这 条直线和这个平面所成的角。
面面垂直的判定公开
在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建 筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
面面垂直的判定与性质
本题题目文字少，但有一定难度．只有真正 对面面垂直的性质定理熟练掌握后才能得心应 手．面面垂直的性质定理的核心是“垂直于交线， 则垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先应找 交线，看是否在某个平面内存在直线垂直于交线， 若无，肯定要向交线作垂线．在不同平面内向交 线作垂线都能解决问题，但难度显然不同，做题 前应认真分析．本题的方法1较简单，但方法2将 平行和垂直的位置关系的判定和性质考查得淋漓 尽致，不失为一个训练的好题．
【例3】 如图所示，在直四棱柱ABCD－ A1B1C1D1 中 ， DB ＝ BC ， DB⊥AC，点M是棱BB1上一点． (1)求证：MD⊥AC； (2)试确定点M的位置，使得平面 DMC1⊥平面CC1D1D.
与垂直有关的探 索性问题
【证明】1 证明：因为BB1 平面ABCD，AC 平面ABCD，所以BB1 AC. 又因为BD AC，且BD BB1＝B， 所以AC 平面BB1D. 而MD 平面BB1D，所以MD AC.
面面垂直的性质的理解中三个条件也 不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两 个平面垂直，都要首先找其交线，看是否 存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍．
1． (2011淮阴中学、姜堰中学、前黄中学第一次 联考) m、n是两条不同的直线，、、 是三 设 个不同的平面，有下面四个命题： / / ① / / ; ② m ; / / m / / m m / / n ③ ;④ m / / ; m / / n 其中真命题的序号是 ________ ．
1.若l为一条直线，、、 为三个互不重合 的平面，给出下面三个命题： ① ， ； ② ， ； ③l ，l .
课件1：线面、面面垂直的判定与性质
(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.
[练一练] 1．(2014·南通期末)已知直线 l⊥平面 α，直线 m⊂平面 β.给出
下列命题： (1)α∥β⇒l⊥m；(2)α⊥β⇒l∥m；(3)l∥m⇒α⊥β；(4)l⊥
m⇒α∥β. 其中正确的命题是________(填序号)． 解析：(1)正确；(2)中 l 与 m 还可以是异面或相交的位置
与平面 M 垂直”的________条件(填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”或“既不充分也不必要”)． 解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M 的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂直”， 反之可以，所以应该是必要不充分条件．
答案：必要不充分
2．(2014·盐城摸底)设 m，n 是两条不同的直线，α 是一个平面，
[典例] (2014·连云港期末)如图，在直三棱柱
ABC-A1B1C1 中，AB＝AC，D 为 BC 的中点，E 为 BD 的中点，F 在 AC1 上，且 AC1＝4AF.求证：
(1)平面 ADF⊥平面 BCC1B1； (2)EF∥平面 ABB1A1.
[证明] (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CC1⊥平 面 ABC，而 AD⊂平面 ABC，所以 CC1⊥AD.
[类题通法] 解决此类问题常用的方法有
(1)依据定理条件才能得出结论的，可结合符合题意的图形
作出判断； (2)否定命题时只需举一个反例； (3)寻找恰当的特殊模型(如构造长方体)进行筛选．
[典例] (2013·重庆高考)如图，四棱锥 P -ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，PA＝2 3，BC
＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝π3. (1)求证：BD⊥平面 PAC； (2)若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF＝7FC，求三棱锥 P
立体几何中的面面垂直
硕果累累
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么
(2)当 P 为 AM 的中点时，MC∥平面 PBD. 证明如下：如图，连接 AC 交 BD 于 O.
因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 中点．连接 OP，因为 P 为 AM 中点，所 以 MC∥OP.MC⊄平面 PBD，OP⊂平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD.
课后练习
2．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP ＝90°。
(1)证明：平面 PAB⊥平面 PAD； (2)若 PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥 P-ABCD 的体积为83，求 该四棱锥的侧面积．
[解] (1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得 AB⊥AP，CD⊥PD. 由于 AB∥CD，故 AB⊥PD，从而 AB⊥平面 PAD. 又 AB⊂平面 PAB， 所以平面 PAB⊥平面 PAD.
(2)在线段 AM 上是否存在点 P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．
[解] (1)证明：由题设知，平面 CMD⊥平面 ABCD，交线为 CD.因为 BC⊥ CD，BC⊂平面 ABCD，所以 BC⊥平面 CMD，故 BC⊥DM.
因为 M 为C︵D上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM＝C，所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM⊂平面 AMD，故平面 AMD⊥平面 BMC.
(2)找二面角的平面角的方法 ①垂面法:由二面角的平面角的定义知,只需作与棱垂直的平面,则该平面与 两个半平面的交线构成的角即二面角的平面角. ②定义法:先分别在两个半平面内找一条垂直于棱的射线,然后平移到一起, 两射线的夹角即二面角的平面角.
怎样证明面面垂直
怎样证明面面垂直第一篇：怎样证明面面垂直怎样证明面面垂直如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)为方便，下面#后的代表向量。
#cd=#bd-#bc,#ac=#bc-#ba,#ad=#bd-#ba.对角线的点积：#ac·#bd=(#bc-#ba)·#bd=#bc·#bd-#ba·#bd两组对边平方和分别为：ab2+cd2=ab2+(#bd-#bc)2=ab2+bd2+bc2-2#bd·#bcad2+bc2=(#bd-#ba)2+bc2=bd2+ba2+bc2-2#bd·#ba则ab2+cd2=ad2+bc2等价于#bd·#bc=#bd·#ba等价于#ac·#bd=0所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
2一、初中部分1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90°，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理) 1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
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互相垂直的依据，而且是找出垂直于一个平
面的另一个平面的依据；
(3)从面面垂直的判定定理我们还可以看出面
面垂直的问题可以转化为线面垂直的问题来
解决.
布置作业
P46
第 8、 9 题。
三、如右图： A是ΔBCD所在平面外一点，AB=AD， ∠ABC=∠ADC=90°，E是BD的中点， 求证：平面AEC⊥平面ABD A
∪
两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
课堂练习：
一、判断：
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条 直线，则α⊥β.（ × ）
2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的两条 直线，则α⊥β.（ × ） 3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条 相交直线, 则α⊥β.（ √ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ∪ √ )
§1.15 两个平面垂直的判定
回顾旧知 （1）二面角的定义
（2）二面角的平面角的定义
（3）两个平面垂直的定义
问题：
如何检测所砌的墙பைடு நூலகம்和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线，那么这两个平面互相垂 直.
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那
么这两个平面互相垂直。
二、填空题：
无数 1.过平面α的一条垂线可作_____ 个平面 与平面α垂直. 无数 个平面与已知平面垂 2.过一点可作_____ 直.
一 个平 3.过平面α的一条斜线，可作____ 面与平面α垂直.
一 4.过平面α的一条平行线可作____个平
面与α垂直.
归纳小结：
(1)判定面面垂直的两种方法： ①定义法 ②根据面面垂直的判定定理 (2)面面垂直的判定定理不仅是判定两个平面
已知：AB⊥β，AB∩β=B，AB 求证：α⊥β.
α A B E D
α
证明： 设α∩β=CD,则B∈CD.
C
β
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角， ∵AB⊥β，BE β， ∴AB⊥BE. ∴二面角α--CD--β是 直二面角，∴α⊥β. ∪ ∪
B E D
C