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概率论与数理统计习题二参考答案1、将一颗骰子抛掷两次，以X 1表示两次所得点数之和，以X 2表示两次得到的点数的最小者，试分别求X 1和X 2的分布律。
解：X 1可取2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、123616161)1,1()2(1=×===P X P36261616161)"1,2""2,1(")3(1=×+×=∪==P X P 363616161616161)"1,3""2,2""3,1(")4(1=×+×+×=∪∪==P X P …… 所以X 1的分布律为X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P k 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 X 2可取的数有1、2、3、4、5、6P （X 2=1）=P （）="1,6""1,5""1,4""1,3""1,2""6,1""5,1""4,1""3,1""2,1""1,1"∪∪∪∪∪∪∪∪∪∪3611所以X 2的分布律为 X 2 1 2 3 4 5 6 P k 11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36 2、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X 表示取出次品的只数，求X 的分布律。
解：X 可取0、1、2{}310380C C X P ==157={}15713102812===C C C X P {}15123101822===C C C X P3、进行重复独立试验。
概率论与数理统计第二章 随机变量及概率分布 复习题一、填空题1. 在三次独立的贝努利实验中，事件B 至少出现一次的概率为19/27，若每次实验中B 发生的概率均为p ,则p =_______________2.设随机变量X 服从泊松分布，且已知{1}{2}P X P X ===，则{4}_____P X ==3.设随机变量)2,3(~2N X ，则{3}_______________P X ≤=4.设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-000)(2x x ke x f x ，则=k 二、选择题1.设随机变量~(1,1)X N ，其概率密度为)(x f ，则下列结论正确的是（ ）（A ）{}{}000.5P X P X ≤=≥= （B ） ()(),(,)f x f x x =-∈-∞+∞（C ）{}{}110.5P X P X ≤=≥= （D ） ()(),(,)F x F x x =-∈-∞+∞2.已知X 的概率密度为()f x =,010,ax b x +<<⎧⎨⎩其它,且15{}28P X >=,则（ ） （A ）1,21==b a （B ）21,1==b a （C ）1,1==b a （D ）1,2==b a 3. 设随机变量X 的分布律为则下列正确的是（ ） （A ）151}1{2==X P （B ）3019}2{2=<X P （C ）307}1{2==X P （D ）3011}3{2==X P三、计算题1. 设随机变量X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<-=其它010)()(2x x x A x f ，求： （1） 常数A ；（2）求X 的分布函数()F x ；（3）)4321(≤<X P .2. 设).2,3(~2N X（1）求{28},{2}.P X P X -<≤>（2）确定c ，使得}.{}{c X P c X P ≤=>（3）设d 满足.9.0}{≥>d X P 问d 至多为多少？。
第二章 随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 的分布律为：2、一袋中有5只乒乓球，编号为X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律解：X 可以取值3，4，5，分布律为 也可列为下表 X ： 3， 4，5P ：106,103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。
解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。
3512)1(31521312=⨯==C C C X P 351)2(31511322=⨯==C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2P ： 351,3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0<p <1)（1）将实验进行到出现一次成功为止，以X 表示所需的试验次数，求X 的分布律。
（此时称X 服从以p 为参数的几何分布。
）（2）将实验进行到出现r 次成功为止，以Y 表示所需的试验次数，求Y 的分布律。
（此时称Y 服从以r, p 为参数的巴斯卡分布。
）（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率。
解：（1）P (X=k )=q k －1p k=1,2,……（2）Y=r+n={最后一次实验前r+n －1次有n 次失败，且最后一次成功},,2,1,0,)(111 ===+=-+--+n p q C p p q C n r Y P r n n n r r n n n r 其中 q=1－p ，或记r+n=k ，则 P {Y=k }= ,1,,)1(11+=----r r k p p C rk r r k （3）P (X=k ) = (0.55)k －10.45 k=1,2…P (X 取偶数)=311145.0)55.0()2(1121===∑∑∞=-∞=k k k k X P 5、 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。
概率论与数理统计B一．单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设事件A 和B 的概率为12(),()23P A P B == 则()P AB 可能为（）(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为（） (A)12; (B) 225; (C) 425; (D)以上都不对 3．投掷两个均匀的骰子，已知点数之和是偶数，则点数之和为6的概率为（ ）(A)518; (B) 13; (C) 12; (D)以上都不对4．某一随机变量的分布函数为()3xxa be F x e +=+，(a=0,b=1)则F (0)的值为（ ）(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对5．一口袋中有3个红球和2个白球，某人从该口袋中随机摸出一球，摸得红球得5分，摸得白球得2分，则他所得分数的数学期望为（ ） (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二．填空题（每小题3分，共15分）1．设A 、B 是相互独立的随机事件，P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = .2．设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξξξ==，则n =______.3．随机变量ξ的期望为()5E ξ=，标准差为()2σξ=，则2()E ξ=_______.4．甲、乙两射手射击一个目标，他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击，若甲未射中再由乙射击。
设两人的射击是相互独立的，则目标被射中的概率为_________. 5．设连续型随机变量ξ的概率分布密度为2()22af x x x =++，a 为常数，则P (ξ≥0)=_______. 三．(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里，求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球.四．(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为, 03()10, x<0x>3Ax f x x⎧⎪=+⎨⎪⎩当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1)； (3) 求ξ的数学期望. 五．(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是(1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξη⋅的分布及()E ξη⋅；六．(本题10分)有10盒种子，其中1盒发芽率为90％，其他9盒为20％.随机选取其中1盒，从中取出1粒种子，该种子能发芽的概率为多少？若该种子能发芽，则它来自发芽率高的1盒的概率是多少？七．(本题12分) 某射手参加一种游戏，他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标，则得奖金100元，且游戏停止. 若4次都未射中目标，则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望.八．(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5％，某人要采购一批零件，他希望以95％的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件？(注：(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九．(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立，试证明AB 与C 相互独立.某班有50名学生，其中17岁5人，18岁15人，19岁22人，20岁8人，则该班学生年龄的样本均值为________. 十．测量某冶炼炉内的温度，重复测量5次，数据如下（单位：℃）：1820，1834，1831，1816，1824假定重复测量所得温度2~(,)N ξμσ.估计10σ=，求总体温度真值μ的0.95的置信区间. (注：(1.96)0.975Φ=,(1.65)0.95Φ=)概率论与数理统计B 答案一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5分(2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有302415=C C 种方法----------------------------------------------------7分4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故12572625360)(==B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1）⎰⎰∞∞-==+=34ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）⎰==+=<1212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3300()()[ln(1)]1AxE xf x dx dx A x x x ξ∞-∞===-++⎰⎰13(3ln 4)1ln 4ln 4=-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛29.032.039.02 10--------------------------------2分 η的边缘分布为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη⋅的分布列为因此，16.310.01011.0811.0509.0417.0203.0139.00)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⋅ηξE-------10分另解：若ξ与η相互独立,则应有P(ξ＝0,η＝1)＝P(ξ＝0)P(η＝1); P(ξ＝0,η＝2)＝P(ξ＝0)P(η＝2); P(ξ＝1,η＝1)＝P(ξ＝1)P(η＝1); P(ξ＝1,η＝2)＝P(ξ＝1)P(η＝2);因此，)1()0()2,1()2,0()1,1()1,0(============ξξηξηξηξηξP P P P P P但10.012.003.005.0≠，故ξ与η不相互独立。
第二章考试题答案一. 填空(共28分，每题4分)1. 抛掷一枚均匀对称的硬币，以X 表示正面出现的次数，则随机变量在区间2. , 取值的概率为 . 解：随机变量X 的散布律为所以{0.5}{1}0.551.P X P X <===≤3. 设随机变量~(1,6)U ξ, 则方程210x x ξ++=, 有实根的概率为 4/5 . 解：方程210x x ξ++=有实根，则判别式240ξ∆=-≥, 则2ξ≥或2ξ≤-,所以()2{}{40}{2}{2}P P P ξξξ=∆=-≥=≥⋃≤-方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-又因为随机变量ξ服从参数为(1,6)的均匀散布，所以其概率密度函数为11,16,16()6150,0,x x f x ⎧⎧<<<<⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪⎩⎩其它其它所以6222214{2}(),55{2}()00.P f t dt dt P f t dt dt ξξ+∞---∞-∞≥===≤-===⎰⎰⎰⎰ 故{}P 方程有实根{2}{2}P P ξξ=≥+≤-45=. 4. 设(2,),(3,)X b p Y b p , 若519{}P X ≥=, 则{1}P Y ≥=19/27. 解：由题意知随机变量X 和Y 别离服从参数为2和p 、3和p 的二项散布.5{1}1{0}9P X P X =≥=-=, 取得4{0}9P X ==, 即00222(1)(1)C p p p -=-49=,1329S2S1所以2(1)3p -=, 从而 300333219{1}1{0}1(1)1(1)1.327P Y P Y C p p p ⎛⎫≥=-==--=--=-= ⎪⎝⎭5. 设X 的概率密度函数为1,[0,1]32(),[3,6]90,x f x x ⎧∈⎪⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎪⎩其它，若k 使得2{}3P X k ≥=, 则k 的取值范围是13k ≤≤. 解：此题用画图的方式来解：下图中红线即为()f x 的图像.()f xx0 1 2 3 4 5 6其中S1表示由红线1()3f x =与x 轴所夹部份的面积，即{01}P X ≤≤13=；S2表示红线2()9f x =与x 轴所夹部份面积，即{36}P X ≤≤22393=⨯=. 而{}P X k ≥即表示()f x 图像与x 轴所夹图形在直线x k =右边的面积(绿色虚线所示x=k范围). 因为2{}3P X k ≥={36}P X =≤≤，所以k 的取值范围只能在1和3之间， 即 13k ≤≤. 6. 设随机变量(1,4)XN , 则{12}P X <≤= .(已知(0.5)0.6915Φ=.)解：由(1,4)XN 可知，1,2μσ==. 第一进行正态散布的标准化，在查表计算11211{12}{0}222X X P X P P μμσσ----⎧⎫<≤=<≤=<≤⎨⎬⎩⎭ 1()(0)2=Φ-Φ0.69150.5=-=7. 设硕士研究生入学数学考试合格率为，则15名考生中数学考试合格人数X 的概率散布是二项散布，参数为15和, 解：15名考生参加考试，能够视为15次伯努利实验。
大学数学云课堂30.83028203.射手向目标独立地进行了次射击,每次击中率为,3求次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,32.并求次射击中至少击中次的概率,0123.X X =解设表示击中目标的次数则,,,3(0)(0.2)0.008P X ===123(1)C 0.8(0.2)0.096P X ===223(2)C (0.8)0.20.384P X ===3(3)(0.8)0.512P X ===X 故的分布律为01230.0080.0960.3840.512X p 0,00.008,01()0.104,120.488,231,3x x F x x x x <ìï£<ïï=£<íï£<ï³ïî(2)(2)(3)0.89P X P X P X ³==+==分布函数大学数学云课堂0.6,0.7,33028205.甲、乙两人投篮,投中的概率分别为今各投次,求:(1);两人投中次数相等的概率(2.)甲比乙投中次数多的概率~30.6),~(3,0.7)X Y X b Y b 解分别令、表示甲、乙投中次数,则(，1)()(0,0)(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==+==331212222233333(0.4)(0.3)C 0.6(0.4)C 0.7(0.3)C (0.6)0.4C (0.7)0.3(0.6)(0.7=+++0.32076=(2)()(1,0)(2,0)(3,0)P X Y P X Y P X Y P X Y >===+==+==+(2,1)(3,1)(3,2)P X Y P X Y P X Y ==+==+==1232233322123333C 0.6(0.4)(0.3)C (0.6)0.4(0.3)(0.6)(0.3)C (0.6)0.4C 0.7(0.3)=+++31232233(0.6)C 0.7(0.3)(0.6)C (0.7)0.30.243++=3028207.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有辆汽车通过，10002问出事故的次数不小于的概率是多少(利用泊松定理)?解设表示出事故的次数,则（，）~10000.0001X X b0.10.1³=-=-==--´(2)1(0)(1)1e0.1eP X P X P X--大学数学云课堂大学数学云课堂0.3A 3028209.设事件在每一次试验中发生的概率为，3A 当发生不少于次时,指示灯发出信号，(1)5进行了次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2)7.进行了次独立试验,试求指示灯发出信号的概率(1)5~650.3X A X 解设表示次独立试验中发生的次数,则（，）5553(3)C (0.3)(0.7)0.16308kkk k P X -=³==å(2)7~70.3Y A Y b 令表示次独立试验中发生的次数,则（，）7773(3)C (0.3)(0.7)0.35293kkk k P Y -=³==å大学数学云课堂e ,0,(0),00.xt A B x X F x ,x l -ì+³>í<î3028224.设随机变量分布函数为()=30282概率统计(北大出版社)课后习题二第24题分布函数视频详解1A B （）求常数，；2{2}{3}P X P X £（）求，＞；3().f x （）求分布密度00lim ()11(1),lim ()lim ()1x x x F x A F x F x B ®+¥®+®-=ì=ìï\íí==-îïîQ 解2(2)(2)(2)1eP X F l -£==-33(3)1(3)1(1e )e P X F l l -->=-=--=e ,0(3)()()0,0x x f x F x x l l -ì³¢==í<î大学数学云课堂a 3028227.求标准正态分布的上分位点，10.01;a a =（），求z /220.003.a a a =（），求z ,z (1)()0.01,1()0.01P X z z a a F >=\-=Q 解()0.09, 2.33z z a a F ==即查表得(2)()0.003,1()0.003P X z z a a F >=\-=Q ()0.997, 2.75z z a a F ==即查表得/2/2()0.0015,1()0.0015P X z z a a -F >=\=Q /2/2()0.9985, 2.96z z a a F ==即查表得x.大学数学云课堂00.9?3028235.随机数字序列要多长才能使数字至少出现一次的概率不小于()0~,0.1.X n X b n 解令为出现的次数,设数字序列中要包含个数字,则00(1)1(0)1C (0.1)(0.9)0.9nnP X P X ³=-==-³(0.9)0.1,22nn £\³即22.\随机数字序列至少要有个数字。
