2017年普通高等学校招生全国统一考试【福建卷】（文科数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）【2017⋅福建文，1】1．若集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则M N 等于( )． A ．{}0,1 B ．{}1,0,1- C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1,2- 【答案】A ．【解析】{}0,1M N =∩．故选A ．【2017⋅福建文，2】2．i 是虚数单位，31i +等于( )．A ． iB ．i -C ．1i +D ．1i - 【答案】D ．【解析】31i 1i +=-．故选D ．【2017⋅福建文，3】3．若a R ∈，则“1a =”是“1a =”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【答案】A ．【解析】当1a =时，有1a =．所以“1a =”是“1a =”的充分条件，反之，当1a =时，1a =±，所以“1a =”不是“1a =”的必要条件．故选A ． 【2017⋅福建文，4】4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )．A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】B ． 【解析】640830⨯=．故选B ． 【2017⋅福建文，5】5．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )． A ．3 B ．11 C ．38 D ．123 【答案】B ．【解析】运行相应的程序是：第一步：212310a =+=<， 第二步：2321110a =+=>，输出11．故选B ．【2017⋅福建文，6】6．若关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )．A ．()1,1-B ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-+∞ 【答案】C ．【解析】因为关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，则 2Δ40m =->，解得2m <-或2m >．故选Ｃ．【2017⋅福建文，7】7．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE ∆内部的概率等于( )． A ．14 B ．13 C ．12 D ．23【答案】C ． 【解析】因为Δ12ABE ABCD S S =，则点Q 取自ΔABE 内部的概率Δ12ABE ABCD S P S ==．故选C ． 【2017⋅福建文，8】8．已知函数20,()1, 0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，．若()()10f a f +=，则实数a 的值等于( )．A ．[]1,0-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]1,2- 【答案】A ．【解析】因为()120f =>，则由()()10f a f +=得()2f a =-，于是12a +=-，3a =-．故选A ．【2017⋅福建文，9】9．若0,2a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且21sin cos 24αα+=，则tan α的值等于( )．A ．2B ．3C D【答案】D ．【解析】 由21sin cos 24αα+=得221sin 12sin 4αα+-=， 所以211sin 4α-=，即21cos 4α=，1cos 2α=±，因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 2α≠-，于是1cos 2α=，3πα=，所以tan tan3πα==．故选D ． 【2017⋅福建文，10】10．若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，则ab 的最大值等于( )．A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D ．【解析】 ()21222f x x ax b '=--，因为()f x 在1x =处有极值，则()112220f a b '=--=，于是6a b +=，因为0,0a b >>，292a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当3a b ==时，等号成立．此时()()()()2212666216121f x x x x x x x '=--=--=-+，因此1x =是一个极值点．所以ab 的最大值等于9．故选D ．【2017⋅福建文，11】11．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为1F ，2F ，若曲线Γ上存在点P 满足1PF ：12F F ：2PF 4:3:2=，则曲线Γ的离心率等于( )．A ．1322或B ．223或C ．122或D ．2332或 【答案】A ．【解析】 因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=． 若Γ为椭圆，则12122426,23,PF PF a λλλF F c λ⎧+==+=⎪⎨==⎪⎩ 所以12c e a ==．若Γ为双曲线，则12122422,23,PF PF a λλλF F c λ⎧-==-=⎪⎨==⎪⎩ 所以32c e a ==．故选A ．【2017⋅福建文，12】12．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5|k n k n Z =+∈，0,1,2,3,4k =．给出如下四个结论： ①[]20111∈； ②[]33-∈；③[][][][][]01234Z = ；④“整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“[]0a b -∈”． 其中，正确结论的个数是 ( ) ．A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C ．【解析】 []2011540211=⨯+∈，所以①正确；()[]35123-=⨯-+∉，所以②不正确； [][][][][]01234=Z ∪∪∪∪，③正确；若整数,a b 属于同一“类”，则5a m k =+，5b n k =+，0,1,2,3,4k =，则()[]500a b m n -=-+∈，所以④正确． 由以上，①，③，④正确，故选C ．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（每小题4分，共16分）【2017⋅福建文，13】13．若向量()1,1a =，()1,2b =- ，则a b ⋅ 等于 ．【答案】 1．【解析】 ()()()1,11,211121a b ⋅=⋅-=⨯-+⨯= ．【2017⋅福建文，14】14．若ABC ∆的面积为3，2BC =，C =60，则边AB 的长度等于 ． 【答案】 2．【解析】 Δ11sin 222ABC S CA CB C CA =⋅=⨯==， 所以2CA =，又2BC =，60C =︒，所以ΔABC 是等边三角形，于是2AB =．【2017⋅福建文，15】15．如图，正方体ABCD 1111A B C D -中，2AB =．点E 为AD 的中点，点F 在CD 上，若EF //平面1ABC ，则线段EF 的长度等 于 ．【答案】【解析】因为1//EF AB C 平面，EF ABCD ⊂平面，且平面1ABC 与平面ABCD 的交线为AC ， 所以//EF AC ，又点E 为AD 的中点，所以EF 为ΔDAC 的中位线，所以12EF AC =，因为2AB =，ABCD 为正方形，所以AC =EF = 【2017⋅福建文，16】16．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价()b b a >以及实数()01x x <<确定实际销售价格()c a x b a =+-，这里，x 被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得()c a -是()b c -和()b a -的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ．【答案】12． 【解析】由()c a x b a =+-得c ax b a-=-， 设c a m -=，b a n -=，b c p -=．则p n m =-．由题设，2m np =，则()2m np n n m ==-，c a mx b a n-==-，即220m mn n +-=，2210m m n n +-=，于是210x x +-=，x =，因为01x <<，所以x =．三、解答题：（本大题共6小题，共74分）【2017⋅福建文，17】17．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，11a =，33a =-． (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 若数列{}n a 的前k 项和35k S =-，求k 的值．【解析】本小题主要考查等差数列的基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差d ，则()11n a a n d =+-， 由题设，313212a a d d =-=+=+，所以2d =-．()()11232n a n n =+--=-．（Ⅱ）因为()()()113223522k k k a a k k S k k ++-===-=-， 所以22350k k --=，解得7k =或5k =-．因为k +∈N ，所以7k =．【2017⋅福建文，18】18．（本小题满分12分）如图，直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切于点A ．(Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 求以点A 为圆心，且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．【解析】本小题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想．（Ⅰ）解法1：由24,,x y y x b ⎧=⎨=+⎩得2440x x b --=，因为直线:l y x b =+与抛物线2:4C x y =相切，所以()()2Δ4440b =--⨯-=，解得1b =-．解法2：设切点()00,A x y ，由214y x =得12y x '=， 所以切线l 在点A 处的斜率为012k x =，因为切线l 的斜率为1，则0112k x ==，02x =，又A 在抛物线上，所以2200112144y x ==⨯=，于是A 的坐标为()2,1A ，因为A 在直线l s 上，所以12b =+，1b =-．（Ⅱ）由（Ⅰ），1b =-，则由24,1,x y y x ⎧=⎨=-⎩解得2,1x y ==，于是A 的坐标为()2,1A ，设以点A 为圆心的圆A 的方程为()()22221x y r -+-=，抛物线2:4C x y =的准线为1y =-，而圆A 与抛物线C 的准线相切． 则()112r =--=，所以圆A 的方程为()()22214x y -+-=．【2017⋅福建文，19】19．（本小题满分12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计(Ⅰ) 若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为1,2,3x x x ，等级系数为5的2件日用品记为12,y y ，现从12312,,,,x x x y y 这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．【解析】本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意 识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想． （Ⅰ）由频率分布表得 0.20.451a b c ++++=，即0.35a b c ++=．因为所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，所以30.1520b ==， 又因为所抽取的20件日用品中，等级系数为5的恰有2件，所以20.120c ==， 于是0.350.150.10.1a =--=． 所以0.1a =，0.15b =，0.1c =．（Ⅱ）从5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，所有可能的结果为：{}{}{}{}{}1213111223,,,,,,,,,x x x x x y x y x x ，{}{}{}{}{}2122313212,,,,,,,,,x y x y x y x y y y ．所以所有可能的结果共10个．设事件A 表示“从这5件日用品12312,,,,x x x y y 中任取两件，等级系数恰好相等”则A 包含的事件为{}{}{}121323,,,,,x x x x x x ，{}12,y y 共4个， 所以所求的概率为()40.410P A ==． 【2017⋅福建文，20】20．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，点E 在线段AD 上，且CE //AB ．(Ⅰ) 求证：CE ⊥平面PAD ；(Ⅱ) 若P A =AB =1，AD =3，CD CDA =45°，求四棱锥P-ABCD 的体积．【解析】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，CE ABCD ⊂面平，所以PA CE ⊥．因为AB AD ⊥，//CE AB ，所以CE AD ⊥．又PA AD A =∩， 所以P CE AD ⊥面平． （Ⅱ）由（Ⅰ），CE AD ⊥，在Rt ΔECD中，sin sin 451CE CD CDA =⋅∠=︒=，cos 451DE CD =⋅︒=， 又因为1AB =，则AB CE =，又//CE AB ，AB AD ⊥， 所以四边形ABCE 为矩形．四边形ABCD 为梯形． 因为3AD =，所以2AE AD ED =-=，()()115231222ABCD S BC AD AB =+⋅=+⨯=， 115513326P ABCD ABCD V S PA -=⋅=⨯⨯=．于是四棱锥P ABCD -的体积为56．【2017⋅福建文，21】21．（本小题满分12分）设函数()cos f θθθ=+，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(),P x y ，且0θπ≤≤．(Ⅰ) 若点P的坐标为1(2，求()f θ的值； (Ⅱ) 若点(),P x y 为平面区域Ω：111x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数()f θ的最小值和最大值．【解析】本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．（Ⅰ）因为P的坐标为12⎛ ⎝⎭，则1cos ,2sin 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()1cos 22f =+=+=θθθ．（Ⅱ）作出平面区域1,Ω:1,1.x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则Ω为图中的ΔABC的区域，其中()1,0A ，()1,1B ，()0,1C ．因为ΩP ∈，所以02πθ≤≤． ()cos 2sin 6f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭πθθθθ，则2663≤+≤πππθ， 所以1sin 126πθ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()12f θ≤≤．所以当62+=ππθ，即3πθ=时，()f θ取得最大值，且最大值为2；当66+=ππθ，即0θ=时，()f θ取得最小值，且最小值为1．【2017⋅福建文，22】22．（本小题满分14分）已知,a b 为常数，且0a ≠，函数()ln ,()2f x ax b ax x f e =-++=（e=2.71828…是自然对数的底数）． (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 求函数()f x 的单调区间；(Ⅲ) 当1a =时，是否同时存在实数m 和M()m M <，使得对每一个．．．[],t m M ∈，直线y t =与曲线1()(,)y f x x e e ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的实数M ；若不存在，说明理由．【解析】本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想． (Ⅰ) 由()ln 2f e ae b ae e =-++=，得2b =；（Ⅱ）由（Ⅰ），()2ln f x ax ax x =-++．定义域为()0,+∞．从而()ln f x a x '=，因为0a ≠，所以(1) 当0a >时，由()ln 0f x a x '=>得1x >，由()ln 0f x a x '=>得01x <<；(2) 当0a <时，由()ln 0f x a x '=>得01x <<，由()ln 0f x a x '=>得1x >； 因而，当0a >时，()f x 的单调增区间为()1,+∞，单调减区间为()0,1，当0a <时，()f x 的单调增区间为()0,1，单调减区间为()1,+∞．（Ⅲ）当1a =时，()2ln f x x x x =-++．()ln f x x '=．令()0f x '=，则1x =．当x 在区间1[,]e 内变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：因为222e -<，所以()f x 在区间[,]e e内值域为[]1,2． 由此可得，若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有公共点，并且对每一个()(),,t t M ∈-∞+∞∪，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都没有公共点．综合以上，当1a =时，存在实数1m =和2M =，使得对每一个[],t m M ∈，直线y t =与曲线()y f x =1[,]x e e⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有公共点．。
