人教版数学选修2-2第一章练习题及解析-推荐下载

第一章知能基础测试时间分钟，满分分．一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．))°．－．°．－°答案]解析]′＝－，所以斜率＝－＝－，因此倾斜角为°.故选.)．()′＝′＝＋．()′＝－．()′＝·答案]解析]′＝－，所以不正确；()′＝，所以不正确；()′＝＋·(－)，所以不正确；()′＝，所以对．故选.．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记时刻五角星露出水面部分的图形面积为()(()＝)，则导函数＝′()的图像大致为)答案]解析]由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选.－＋，∈．已知函数()＝≥)，若()＋．>．≥．<．≤答案]解析]因为函数()＝－＋，所以′()＝－.令′()＝，得＝或＝.经检验知＝是函数的一个最小值点，所以函数的最小值点为()＝－.不等式()＋≥恒成立，即()≥－恒成立，所以－≥－，解得≥.．直线＝与曲线＝在第一象限内围成的封闭图形的面积为) ．．．．答案]解析]如图所示由(\\(＝，＝.))解得(\\(＝，＝，))或(\\(＝－，＝－.))∴第一象限的交点坐标为()由定积分的几何意义得＝(－)＝(－)＝－＝.．已知()＝，若′)()．．．答案]解析]()的定义域为(，＋∞)，′()＝＋，由′()＝，得＋＝，解得＝.．(·会宁县期中)曲线()＝＋－的一条切线平行于直线＝－，则切点的坐标为( )．()或(－，－)．(，－)或()．()或()．(－，－)或(，－)答案]解析]由＝＋－，得′＝＋，由已知得＋＝，解之得＝±.当＝时，＝；当＝－时，＝－.∴切点的坐标为()或(－，－)．．函数()＝－＋的图象在＝处的切线与圆＋＝的位置关系是) ．相切．相交且过圆心．相交但不过圆心．相离。

目录：数学选修2-2第一章 导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章 导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章 导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章 推理与证明 [基础训练A 组] 第二章 推理与证明 [综合训练B 组]第二章 推理与证明 [提高训练C 组] 第三章 复数 [基础训练A 组] 第三章 复数 [综合训练B 组]第三章 复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章 导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（ ）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（ ）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆. 所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33xy '=-； （6）y '=.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=.4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724.由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即s i n x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2xm ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54ba x <<.令845()0c ac bc L x x b b+'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4x π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l i l n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 4240(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60）1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线（第1（2）题）y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，210111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a--=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x xdx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4lr =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h R =时，容积最大.把h R =代入222r h R +=，得r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为3α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x-=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略.2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2成等差数列，则=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=.又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为 1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=.另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-， 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2s i n c o s )(s i n 2c os αααα+-= 由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++，24()()2x y a bb c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.。

选修2-2 第一章 1.2 1.2.2 第1课时一、选择题1．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．x ＋4y －5＝0 C ．4x －y ＋3＝0 D ．x ＋4y ＋3＝0[答案] A[解析] ∵直线x ＋4y －8＝0的斜率k ＝－14，∴直线l 的斜率为4，而y ′＝4x 3，由y ′＝4得x ＝1而x ＝1时，y ＝1，故直线l 的方程为：y －1＝4(x －1)即4x －y －3＝0.2．已知f (x )＝ax 3＋9x 2＋6x －7，若f ′(－1)＝4，则a 的值等于( ) A ．193B ．163C ．103D ．133[答案] B[解析] ∵f ′(x )＝3ax 2＋18x ＋6，∴由f ′(－1)＝4得，3a －18＋6＝4，即a ＝163.∴选B.3．(2014·山师附中高二期中)设f (x )＝sin x －cos x ，则f (x )在x ＝π4处的导数f ′(π4)＝( )A ． 2B ．－ 2C ．0D ．22[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝cos x ＋sin x ， ∴f ′(π4)＝cos π4＋sin π4＝2，故选A.4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n的值为( )A ．1nB ．1n ＋1C ．n n ＋1D ．1[答案] B[解析] 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n ，令x ＝1得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n ＋1，在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝nn ＋1.则x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1，故选B.5．(2014·合肥一六八高二期中)下列函数中，导函数是奇函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝e x C ．y ＝ln x D ．y ＝cos x －12[答案] D[解析] 由y ＝sin x 得y ′＝cos x 为偶函数，故A 错；又y ＝e x 时，y ′＝e x 为非奇非偶函数，∴B 错；C 中y ＝ln x 的定义域x >0，∴C 错；D 中y ＝cos x －12时，y ′＝－sin x 为奇函数，∴选D.6．已知物体的运动方程是s ＝14t 4－4t 3＋16t 2(t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( )A ．0秒、2秒或4秒B ．0秒、2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．0秒、4秒或8秒 [答案] D[解析] 显然瞬时速度v ＝s ′＝t 3－12t 2＋32t ＝t (t 2－12t ＋32)，令v ＝0可得t ＝0,4,8.故选D.二、填空题7．过曲线y ＝cos x 上点P ⎝⎛⎭⎫π3，12且与在这点的切线垂直的直线方程为________． [答案] 2x －3y －2π3＋32＝0[解析] ∵y ＝cos x ，∴y ′＝－sin x ， 曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π3，12处的切线斜率是 y ′|x ＝π3＝－sin π3＝－32.∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为23， ∴所求的直线方程为y －12＝23⎝⎛⎭⎫x －π3， 即2x －3y －2π3＋32＝0.[点评] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y ′是否为零，当y ′＝0时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．8．(2014·杭州质检)若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )>0的解集为________． [答案] (2，＋∞)[解析] 由f (x )＝x 2－2x －4ln x ，得函数定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝2x －2－4x ＝2x 2－2x －4x ＝2·x 2－x －2x ＝2·(x ＋1)(x －2)x ，f ′(x )>0，解得x >2，故f ′(x )>0的解集为(2，＋∞)．9．在曲线y ＝4x 2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为________．[答案] (2,1)[解析] 设P (x 0，y 0)，∵y ′＝⎝⎛⎭⎫4x 2′＝(4x －2)′＝－8x －3，tan135°＝－1， ∴－8x －30＝－1.∴x 0＝2，y 0＝1.三、解答题10．求下列函数的导数：(1)y ＝x (x 2＋1x ＋1x 3)；(2)y ＝(x ＋1)(1x －1)；(3)y ＝sin 4x 4＋cos 4x4；(4)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x .[解析] (1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2， ∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)∵y ＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1x －1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x ⎝⎛⎭⎫1＋1x . (3)∵y ＝sin 4x 4＋cos 4x4＝⎝⎛⎭⎫sin 2x 4＋cos 2x 42－2sin 2x 4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ，∴y ′＝－14sin x .(4)∵y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x＝2＋2x 1－x ＝41－x－2， ∴y ′＝⎝⎛⎭⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.一、选择题11．(2014·长春市期末调研)已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( ) A ．－e B ．e C ．－1eD ．1e[答案] D[解析] y ′＝1x ＝k ，∴x ＝1k ，切点坐标为⎝⎛⎭⎫1k ，1， 又切点在曲线y ＝ln x 上，∴ln 1k ＝1，∴1k ＝e ，k ＝1e.12．(2014·山师附中高二期中)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1,3)，则2a ＋b 的值为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 [答案] C[解析] 由条件知，点A 在直线上，∴k ＝2，又点A 在曲线上，∴a ＋b ＋1＝3，∴a ＋b ＝2.由y ＝x 3＋ax ＋b 得y ′＝3x 2＋a ，∴3＋a ＝k ，∴a ＝－1，∴b ＝3，∴2a ＋b ＝1.13．若函数f (x )＝e x sin x ，则此函数图象在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．π2B ．0C ．钝角D ．锐角 [答案] C[解析] y ′|x ＝4＝(e x sin x ＋e x cos x )|x ＝4＝e 4(sin4＋cos4)＝2e 4sin(4＋π4)<0，故倾斜角为钝角，选C.14．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2013(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x[答案] C[解析]f0(x)＝sin x，f1(x)＝f0′(x)＝(sin x)′＝cos x，f2(x)＝f1′(x)＝(cos x)′＝－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝(－sin x)′＝－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝(－cos x)′＝sin x，∴4为最小正周期，∴f2013(x)＝f1(x)＝cos x.故选C.二、填空题15．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]212[解析]f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)...(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)...(0－a8)]′.0＝a1a2 (8)因为数列{a n}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.16．(2014·宁夏三市联考)经过点P(2,1)且与曲线f(x)＝x3－2x2＋1相切的直线l的方程是________．[答案]4x－y－7＝0或y＝1[解析]设切点为(x0，x30－2x20＋1)，由k＝f′(x0)＝3x20－4x0，可得切线方程为y－(x30－2x20＋1)＝(3x20－4x0)(x－x0)，代入点P(2,1)解得：x0＝0或x0＝2.当x0＝0时切线方程为y＝1；当x0＝2时切线方程为4x－y－7＝0.综上得直线l的方程是：4x－y－7＝0或y＝1.三、解答题17．已知两条曲线y＝sin x、y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．[解析]由于y＝sin x、y＝cos x，设两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)，∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝y′|x＝x0＝cos x0，k2＝y′|x＝x0＝－sin x0.若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1，即sin x0·cos x0＝1，也就是sin2x0＝2，这是不可能的，∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．18．已知函数f (x )＝ax －6x 2＋b 的图象在点M (－1，f (－1))处的切线的方程为x ＋2y ＋5＝0，求函数的解析式．[分析] f (x )在点M 处切线方程为x ＋2y ＋5＝0有两层含义，(一)是点M 在f (x )的图象上，且在直线x ＋2y ＋5＝0上，(二)是f ′(－1)＝－12.[解析] 由条件知，－1＋2f (－1)＋5＝0， ∴f (－1)＝－2， ∴－a －61＋b＝－2，(1) 又直线x ＋2y ＋5＝0的斜率k ＝－12，∴f ′(－1)＝－12，∵f ′(x )＝－ax 2＋12x ＋ab(x 2＋b )2，∴－a －12＋ab (1＋b )2＝－12，(2) 由(1)(2)解得，a ＝2，b ＝3.(∵b ＋1≠0，∴b ＝－1舍去)． ∴所求函数解析式为f (x )＝2x －6x 2＋3.。

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答之南宫帮珍创作第一章 导数及其应用 3．1变动率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时, 原油温度的瞬时变动率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近, 原油温度年夜约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时, 原油温度年夜约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增, 在4t t =附近单调递增. 而且, 函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为 根据图象, 估算出(0.6)0.3r '≈, (1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术, 教师可以将此图直接提供给学生, 然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处, 虽然1020()()W t W t =, 然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以, 企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变动率的应用, 体会平均变动率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆, 所以, (1) 3.3h '=-. 这说明运带动在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆, 所以, (5)10s '=. 因此, 物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s, 它在第5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ, 时间为t , 则2(0)kt t θ=>.由题意可知, 那时0.8t =, 2θπ=. 所以258k π=, 于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆, 所以(3.2)20θπ'=.因此, 车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数界说及熟悉其符号暗示的巩固. 5、由图可知, 函数()f x 在5x =-处切线的斜率年夜于零, 所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得, 函数()f x 在4x =-, 2-, 0, 2附近分别单调递增, 几乎没有变动, 单调递加, 单调递加. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线, 其斜率是一个小于零的常数, 因此, 其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加；对第三个函数, 当x 小于零时, ()f x '小于零, 当x 年夜于零时, ()f x '年夜于零, 而且随着x 的增加, ()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变动的快慢, 即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变动的快慢, 根据物理知识, 这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息, 并据此画出()s t 的图象的年夜致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解, 以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知, 函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-, 所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象, 然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的年夜致形状. 下面是一种参考谜底.说明：这是一个综合性问题, 包括了对导数内涵、导数几何意义的了解, 以及对以直代曲思想的领悟. 本题的谜底不惟一.1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-, 所以, (2)3f '=-, (6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin 33x y '=-； （6）21y x '=-习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆, 所以, 0()lim (2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、3213()34r V V π'=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()822f x x '=-+. 由0()4f x '=有 04822x =-+, 解得032x =6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-, 它暗示氨气在第7天左右时, 以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时, sin()sin x h xy h+-=就越来越迫近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、那时0y =, 0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-, 所以01x y ='=-.所以, 曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以, 上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+, 所以()22f x x '=-.当()0f x '>, 即1x >时, 函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<, 即1x <时, 函数2()24f x x x =-+单调递加. （2）因为()x f x e x =-, 所以()1x f x e '=-.当()0f x '>, 即0x >时, 函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<, 即0x <时, 函数()x f x e x =-单调递加. （3）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-.当()0f x '>, 即11x -<<时, 函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<, 即1x <-或1x >时, 函数3()3f x x x =-单调递加. （4）因为32()f x x x x =--, 所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>, 即13x <-或1x >时, 函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =--单调递加. 2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠, 所以()2f x ax b '=+. （1）那时0a >,()0f x '>, 即2bx a >-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<, 即2bx a<-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.（2）那时0a <,()0f x '>, 即2bx a <-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<, 即2bx a>-时, 函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递加.4、证明：因为32()267f x x x =-+, 所以2()612f x x x '=-.那时(0,2)x ∈, 2()6120f x x x '=-<,因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点,其中2x x =是函数()y f x =的极年夜值点, 4x x =是函数()y f x =的极小值点.注：图象形状不惟一.2、（1）因为2()62f x x x =--, 所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=, 得112x =. 那时112x >, ()0f x '>, ()f x 单调递增；那时112x <, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 那时112x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-, 所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=, 得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即3x <-或3x >时；②当()0f x '<, 即33x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 3x =-()f x 那时3x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-, 所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即22x -<<时；②当()0f x '<, 即2x <-或2x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 10- 那时2x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为22 （4）因为3()3f x x x =-, 所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=, 得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即11x -<<时；②当()0f x '<, 即1x <-或1x >时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 那时1x =-, ()f x 有极小值, 而且极小值为2-； 那时1x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上, 那时112x =, 2()62f x x x =--有极小值, 而且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-, (2)20f =.因此, 函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最年夜值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上, 那时3x =-, 3()27f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为(3)54f -=；那时3x =, 3()27f x x x =-有极小值, 而且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=, (4)44f =-.因此, 函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最年夜值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上, 那时2x =, 3()612f x x x =+-有极年夜值, 而且极年夜值为(2)22f =. 又由于155()327f -=, (3)15f =. 因此, 函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最年夜值是22、最小值是5527. （4）在[2,3]上, 函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-, (3)18f =-.因此, 函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最年夜值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+, 所以()20f x '=-<. 因此, 函数()21f x x =-+是单调递加函数.（2）因为()cos f x x x =+, (0,)2x π∈, 所以()1sin 0f x x '=->,(0,)2x π∈.因此, 函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--, 所以()20f x '=-<.因此, 函数()24f x x =-是单调递加函数. （4）因为3()24f x x x =+, 所以2()640f x x '=+>. 因此, 函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-, 所以()22f x x '=+.当()0f x '>, 即1x >-时, 函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即1x <-时, 函数2()24f x x x =+-单调递加. （2）因为2()233f x x x =-+, 所以()43f x x '=-.当()0f x '>, 即34x >时, 函数2()233f x x x =-+单调递增.当()0f x '<, 即34x <时, 函数2()233f x x x =-+单调递加.（3）因为3()3f x x x =+, 所以2()330f x x '=+>.因此, 函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-, 所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>, 即1x <-或13x >时, 函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<, 即113x -<<时, 函数32()f x x x x =+-单调递加. 3、（1）图略. （2）加速度即是0.4、（1）在2x x =处, 导函数()y f x '=有极年夜值； （2）在1x x =和4x x =处, 导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处, 函数()y f x =有极年夜值； （4）在5x x =处, 函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++, 所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=, 得112x =-. 那时112x >-, ()0f x '>, ()f x 单调递增； 那时112x <-, ()0f x '<, ()f x 单调递加.所以, 112x =-时, ()f x 有极小值, 而且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-, 所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时.当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+, 所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=, 得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 2x =-()f x 那时2x =, ()f x 有极小值, 而且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-, 所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=, 得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>, 即2x <-或2x >时；②当()0f x '<, 即22x -<<时. 当x 变动时, ()f x ', ()f x 变动情况如下表：因此, 4x =-()f x 128- 那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128. 6、（1）在[1,1]-上, 那时112x =-, 函数2()62f x x x =++有极小值,而且极小值为4724. 由于(1)7f -=, (1)9f =,所以, 函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最年夜值和最小值分别为9,4724. （2）在[3,3]-上, 那时2x =-, 函数3()12f x x x =-有极年夜值, 而且极年夜值为16；那时2x =, 函数3()12f x x x =-有极小值, 而且极小值为16-. 由于(3)9f -=, (3)9f =-,所以, 函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最年夜值和最小值分别为16, 16-.（3）在1[,1]3-上, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=, (1)5f =-, 所以, 函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最年夜值和最小值分别为26927, 5-.（4）那时4x =, ()f x 有极年夜值, 而且极年夜值为128.. 由于(3)117f -=-, (5)115f =,所以, 函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最年夜值和最小值分别为128, 117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-, (0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<, (0,)x π∈所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递加因此()sin (0)0f x x x f =-<=, (0,)x π∈, 即sin x x <, (0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-, (0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-, (0,1)x ∈所以, 那时1(0,)2x ∈, ()120f x x '=->, ()f x 单调递增,2()(0)0f x x x f =->=；那时1(,1)2x ∈, ()120f x x '=-<, ()f x 单调递加,2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此, 20x x ->, (0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--, 0x ≠. 因为()1x f x e '=-, 0x ≠所以, 那时0x >, ()10x f x e '=->, ()f x 单调递增, ()1(0)0x f x e x f =-->=；那时0x <, ()10x f x e '=-<, ()f x 单调递加, ()1(0)0x f x e x f =-->=；综上, 1x e x ->, 0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-, 0x >. 因为1()1f x x'=-, 0x ≠所以, 那时01x <<, 1()10f x x'=->, ()f x 单调递增,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x >, 1()10f x x'=-<, ()f x 单调递加,()ln (1)10f x x x f =-<=-<；那时1x =, 显然ln11<. 因此, ln x x <. 由（3）可知, 1x e x x >+>, 0x >. . 综上, ln x x x e <<, 0x >图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象年夜致是个“双峰”图象, 类似“”或“”的形状. 若有极值, 则在整个界说域上有且仅有一个极年夜值和一个极小值, 从图象上能年夜致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++, 所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：那时0a ≠, 分0a >和0a <两种情形： ①当0a >, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加.当0a >, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≥, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <, 且230b ac ->时,设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x , 且12x x <,当2()320f x ax bx c '=++>, 即12x x x <<时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<, 即1x x <或2x x >时, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加. 当0a <, 且230b ac -≤时,此时2()320f x ax bx c '=++≤, 函数32()f x ax bx cx d =+++单调递加 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x , l x -, 则这两个正方形的边长分别为4x ,4l x-, 两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+, 0x l <<.令()0f x '=, 即420x l -=, 2lx =.那时(0,)2l x ∈, ()0f x '<；那时(,)2lx l ∈, ()0f x '>.因此, 2lx =是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.所以, 当两段铁丝的长度分别是2l时, 两个正方形的面积和最小.2、如图所示, 由于在边长为a四个边长为x 的小正方形, 做成一个无盖方盒, 盖方盒的底面为正方形, 且边长为2a x -, 高为x （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-,02ax <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+, 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=, 得2a x =（舍去）, 或6ax =. 那时(0,)6a x ∈, ()0V x '>；那时(,)62a ax ∈, ()0V x '<.因此, 6ax =是函数()V x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 那时6ax =, 无盖方盒的容积最年夜.3、如图, 设圆柱的高为h , 底半径为R , 则概况积222S Rh R ππ=+ 由2V R h π=, 得2Vh R π=. 因此, 2222()222V VS R R R R R Rππππ=+=+, 0R >.令2()40V S R R R π'=-+=, 解得R =.那时R ∈, ()0S R '<； 那时)R ∈+∞, ()0S R '>. （第2题）（第3题）因此, R =是函数()S R 的极小值点, 也是最小值点. 此时,22V h R R π===. 所以, 当罐高与底面直径相等时, 所用资料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑, 所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=, 得11ni i x a n ==∑,可以获得, 11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点, 也是最小值点.这个结果说明, 用n 个数据的平均值11nii a n =∑暗示这个物体的长度是合理的,这就是最小二乘法的基来源根基理. 5、设矩形的底宽为x m, 则半圆的半径为2x m, 半圆的面积为28x π2m ,矩形的面积为28x a π-2m , 矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244x a x a l x x x x x πππ=++-=++, 0x <<令22()104a l x x π'=+-=,得x =.那时x ∈, ()0l x '<；那时x ∈, ()0l x '>. 因此, x =()l x 的极小值点, 也是最小值点.所以,时, 所用资料最省.6、利润L 即是收入R 减去本钱C , 而收入R 即是产量乘单价.由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式, 再用导数求最年夜利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-,利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-, 0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=, 即12104q -+=, 84q =.那时(0,84)q ∈, 0L '>；那时(84,200)q ∈, 0L '<；因此, 84q =是函数L 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 产量为84时, 利润L 最年夜, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的订价为x 元, 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-,180680x <<.令1()7005L x x '=-+=, 解得350x =.那时(180,350)x ∈, ()0L x '>；那时(350,680)x ∈, ()0L x '>.因此, 350x =是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当每个房间每天的订价为350元时, 宾馆利润最年夜. 2、设销售价为x 元／件时,利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b-=-+⨯=--, 54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=, 解得458a b x +=.那时45(,)8a b x a +∈, ()0L x '>；那时455(,)84a b bx +∈, ()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极年夜值点, 也是最年夜值点.所以, 销售价为458a b+元／件时, 可获得最年夜利润.1．5定积分的概念练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步伐, 体会“以直代曲”和“迫近”的思想. 练习（P45）1、22112()[()2]()i i ii i s s v t n n n nn n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅, 1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑取极值, 得说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想. 2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“迫近”的思想, 熟悉求变速直线运植物体路程的方法和步伐. 练习（P48） 2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的界说和几何意义.从几何上看, 暗示由曲线3y x =与直线0x =, 2x =, 0y =所围成的曲边梯形的面积4S =. 习题1.5 A 组（P50）1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰.说明：体会通过分割、近似替换、求和获得定积分的近似值的方法.2、距离的缺乏近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间, 在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()n ni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑, 从而 11lim n b a n i b adx b a n →∞=-==-∑⎰, 说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义, 0⎰暗示由直线0x =, 1x =,0y =以及曲线y , 即四分之一单元圆的面积,因此04π=⎰. 5、（1）03114x dx -=-⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 所以定积分031x dx -⎰暗示由直线0x =,1x =-, 0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质, 得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,1]上30x ≥, 所以定积分131x dx-⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质, 得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤, 在区间[0,2]上30x ≥, 所以定积分231x dx -⎰即是位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中, 由于3x 在区间[1,0]-上是非正的, 在区间[0,2]上是非负的, 如果直接利用界说把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分, 那么和式中既有正项又有负项, 而且无法抵抗一些项, 求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为023310x dx x dx -+⎰⎰, 这样, 3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的, 再利用定积分的界说, 容易求出031x dx -⎰, 230x dx ⎰, 进而获得定积分231x dx -⎰的值. 由此可见, 利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中, 被积函数在积分区间上的函数值有正有负, 通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单元：s ）之间走过的路程年夜约为145 m.说明：根据定积分的几何意义, 通过估算曲边梯形内包括单元正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；缺乏近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）409.81tdt ⎰； 409.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地拔出1n -个分点, 将它分成n 个小区间：[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n l l n-,记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =）, 其长度为 (1)il i l l x n n n -∆=-=.把细棒在小段[0,]l n , 2[,]l l n n , ……, (2)[,]n ll n-上质量分别记作：12,,,n m m m ∆∆∆,则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似取代当n 很年夜, 即x ∆很小时, 在小区间(1)[,]i l iln n-上, 可以认为线密度2()x x ρ=的值变动很小, 近似地即是一个常数, 无妨认为它近似地即是任意一点(1)[,]i i l iln nξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是, 细棒在小段(1)[,]i l il n n -上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i lm m x n ρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm n ξ→∞==∑, 所以20l m x dx =⎰.. 1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它暗示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55） 1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =.2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m mππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程, 为了解这个方程, 我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质, 那时0t >, 0.201t e -<<, 从而 5000495245t <<,因此,500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯, 52450.2749245 1.2410e -⨯-≈⨯, 所以, 70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而, 在解方程0.2492452455000t t e -+-=时, 0.2245t e -可以忽略不计.因此, .492455000t -≈, 解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分, 可视学生的具体情况选做, 不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程.练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92.2、2[]bb a a q q q q W kdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =, 即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体到达最年夜高度.最年夜高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）. 4、设t s 后两物体相遇, 则 200(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰,解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时, 物体A 离动身地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）. 5、由F kl =, 得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）. 6、（1）令55()501v t t t=-+=+, 解之得10t =. 因此, 火车经过10s后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B组（P60）1、（1）22aa a x dx --⎰暗示圆222x y a +=与x 轴所围成的上 半圆的面积, 因此2222aa a a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰暗示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积,因此, 2120111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系, 可设抛物线的 方程为2y ax =, 则2()2b h a =⨯, 所以24h a b =.从而抛物线的方程为 224h y x b =. 于是, 抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰.y xO1（第1（2）题）y x h bO（第2题）223y x y x⎧=+⎨=⎩ 得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =, 22x =. 于是, 所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R R Mm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x +'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-.4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-标明在3℃附近时, 红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =所以()f x '=.当()0f x '=>, 即0x >时, ()f x 单调递增；当()0f x '=<, 即0x <时, ()f x 单调递加.6、因为2()f x x px q =++, 所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=, 即12px =-=时, ()f x 有最小值.由12p-=, 得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=, 所以5q =.7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+,所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=, 即3c x =, 或x c =时, 函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意那时2x =, 函数2()()f x x x c =-有极年夜值, 所以0c >. 由于所以那时3cx =函数2()()f x x x c =-有极年夜值. 此时, 23c=, 6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时, AOB ∆的面积最小.因为直线AB 过点(,0)A a , (1,1)P ,所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--, 即1()1y x a a=--. 那时0x =, 1a y a =-, 即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此, AOB ∆的面积21()212(1)AOB a a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=, 即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =, 或2a =时, ()0S a '=, 0a =分歧题意舍去. 由于所以当2a =即直线AB 的倾斜角为135︒时, AOB ∆的面积最小, 最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m, 另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以, 长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V , 则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++, 0 1.6x <<.令()0V x '=, 即26 4.4 1.60x x -++=.所以, 415x =-（舍去）, 或1x =. 那时(0,1)x ∈, ()0V x '>；那时(1,1.6)x ∈, ()0V x '<.因此, 1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极年夜值点, 也是最年夜值点. 所以, 当长方体容器的高为1 m 时, 容器最年夜, 最年夜容器为1.8 m 3.11、设旅游团人数为100x +时,旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=, 即105000x -+=, 50x =.又(0)100000f =, (80)108000f =, (50)112500f =. 所以, 50x =是函数()f x 的最年夜值点.所以, 当旅游团人数为150时, 可使旅行社收费最多.12、设打印纸的长为x cm 时, 可使其打印面积最年夜.因为打印纸的面积为623.7, 长为x , 所以宽为623.7x ,打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x =-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--, 5.0898.38x <<. 令()0S x '=, 即23168.3966.340x -=, 22.36x ≈（负值舍去）, 623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点, 且为极年夜值, 从而是最年夜值点.所以, 打印纸的长、宽分别约为27.89cm, 22.36cm 时, 可使其打印面积最年夜.13、设每年养q 头猪时, 总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=, 即3000q -+=, 300q =. 那时300q =, 25000y =；那时400q =, 20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点, 且为极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 每年养300头猪时, 可使总利润最年夜, 最年夜总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x x πππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =, 得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以, 细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）那时05t ≤<, ()0b t '>, 所以细菌在增加； 那时55t <<+, ()0b t '<, 所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r , 中心角为α弧度时, 扇形的面积为S . 因为212S r α=, 2l r r α-=, 所以2l rα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-, 02l r <<. 令0S '=, 即40l r -=, 4l r =, 此时α为2弧度. 4l r =是函数()S r 在(0,)2l 内唯一极值点, 且是极年夜值点, 从而是最年夜值点.所以, 扇形的半径为4l 、中心角为2弧度时, 扇形的面积最年夜. 3、设圆锥的底面半径为r , 高为h , 体积为V , 那么222r h R +=.因此, 222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-, 0h R <<.令22103V R h ππ'=-=, 解得3h R =.容易知道, h R =是函数()V h 的极年夜值点, 也是最年夜值点.。

一、选择题1．数学归纳法证明*1111(1,)n 1n 2n 2n n N n +++>>∈+++，过程中由n k =到1n k =+时，左边增加的代数式为（ ）A ．122k +B ．121k + C ．11+2122++k k D ．112k 12k 2++－ 2．正四面体ABCD 的棱AD 与平面α所成角为θ，其中02πθ<<，点D 在平面α内，则当四面体ABCD 转动时（ ）A ．存在某个位置使得BC α，也存在某个位置使得BC α⊥B ．存在某个位置使得BC α，但不存在某个位置使得BC α⊥ C ．不存在某个位置使得BC α，但存在某个位置使得BC α⊥D ．既不存在某个位置使得BC α，也不存在某个位置使得BC α⊥ 3．用反证法证明某命题时，对其结论“a ，b 都是正实数”的假设应为（ ） A ．a ，b 都是负实数B ．a ，b 都不是正实数C ．a ，b 中至少有一个不是正实数D ．a ，b 中至多有一个不是正实数4．给出下面四个推理：①由“若a b 、是实数，则+≤+a b a b ”推广到复数中，则有“若12z z 、是复数，则1212z z z z +≤+”；②由“在半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”类比推出“在半径为R 的球内接长方体中，正方体的体积最大”；③以半径R 为自变量，由“圆面积函数的导函数是圆的周长函数”类比推出“球体积函数的导函数是球的表面积函数”；④由“直角坐标系中两点11(,)A x y 、22(,)B x y 的中点坐标为1212(,)22x x y y ++”类比推出“极坐标系中两点11(,)C ρθ、22(,)D ρθ的中点坐标为1212(,)22ρρθθ++”．其中，推理得到的结论是正确的个数有（ ）个 A ．1B ．2C ．3D ．45．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则411a a +的值为A ．528B ．1032C ．1040D ．20646．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁7．圆有6条弦，两两相交，这6条弦将圆最多分割成( )个部分 A ．16 B ．21 C ．22 D ．238．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．定义*A B ，*B C ，*C D ，*D A 的运算分别对应下面图中的⑴，⑵，⑶，⑷，则图中⑸，⑹对应的运算是( )A ．*B D ，*A D B ．*B D ，*AC C ．*B C ，*AD D ．*C D ，*A D10．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（ ）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理 11．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（ ）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+= 12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111312．设十人各拿一只水桶，同到水龙头前打水，设水龙头注满第i (i ＝1，2，…，10)个人的水桶需T i 分钟，假设T i 各不相同，当水龙头只有一个可用时，应如何安排他(她)们的接水次序，使他(她)们的总的花费时间(包括等待时间和自己接水所花费的时间)最少( ) A ．从T i 中最大的开始，按由大到小的顺序排队B ．从T i 中最小的开始，按由小到大的顺序排队C ．从靠近T i 平均数的一个开始，依次按取一个小的取一个大的的摆动顺序排队D ．任意顺序排队接水的总时间都不变二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．在圆中：半径为r 的圆的内接矩形中，以正方形的面积最大，最大值为22r .类比到球中：半径为R 的球的内接长方体中，以正方体的体积最大，最大值为__________． 15．某次高三英语听力考试中有5道选择题，每题1分，每道题在三个选项中只有一个是正确的.下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：1 2 3 4 5 得分甲 4 乙 3 丙2则甲同学答错的题目的题号是__________．16．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第个图案中有白色地面砖 块.17．在探究实系数一元二次方程的根与系数的关系时，可按下述方法进行： 设实系数一元二次方程22100a x a x a ++=……①在复数集C 内的根为1x ，2x ，则方程①可变形为()()2120a x x x x --=， 展开得()222122120a x a x x x a x x -++=.……②比较①②可以得到：11220122a x x a a x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩类比上述方法，设实系数一元n 次方程11100nn n n a x a xa x a --++++=（2n ≥且*N n ∈）在复数集C 内的根为1x ，2x ，…，n x ，则这n 个根的积1ni i x ==∏ __________．18．观察下列等式： （1）24sin sin 033ππ+= （2）2468sin sin sin sin 05555ππππ+++= （3）2468sinsin sin sin 7777ππππ+++1012sin sin 077ππ++= …… …… …… …… …… ……由以上规律推测，第n 个等式为：__________．19．小明在做一道数学题目时发现：若复数111cos i?sin ?,z αα=+222 cos i?sin ,z αα=+，333cos i?sin z αα=+(其中123,,R ααα∈), 则121212cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++，232323cos()i?sin(+)z z αααα⋅=++ ，根据上面的结论，可以提出猜想: z 1·z 2·z 3=__________________． 20．观察下列各式：0014C =011334C C +=01225554;C C C ++=0123377774C C C C +++=……照此规律，当n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++=______________.三、解答题21．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N 都有2132n n S n a =+． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记*4()n n b a n N =+∈*1)nn N b ++<∈ 22．已知数列{}n a 满足11a =,1(5)5n n n a a a ++=. （1）计算234,,a a a 的值,猜想数列{}n a 的通项公式; （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想. 23．已知数列1111,,,,,112123123n+++++++，其前n 项和为n S ；（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.24．（1）当1x >时，求2()1x f x x =-的最小值.（2）用数学归纳法证明：11111222n n n +++≥++*()n N ∈. 25．在数列{}n a 中，111,21nn n a a a a +==+，其中1,2,3,n =.（Ⅰ）计算234,,a a a 的值；（Ⅱ）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 26．已知()()()()20121111nnn x a a x a x a x +=+-+-++-（2,*n n N ≥∈），（1）当5n =时，求12345a a a a a ++++的值； （2）设2233,2n n n n a b T b b b -==+++，试用数学归纳法证明：当2n ≥时，()()113n n n n T +-=。

评估验收卷(一)(时间：分钟满分：分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)．若()＝α－，则′()等于( )．α＋．α＋．．解析：函数是关于的函数，因此α是一个常数．答案：．函数()＝＋在点(，())处的切线方程为( )．－－＝．－＋＝．＋＋＝．＋－＝解析：′()＝－，′()＝－＝，又()＝＋＝，所以()在点(，())处的切线方程为－＝－，即－＋＝.答案：．一辆汽车按规律＝＋做直线运动，若汽车在＝时的瞬时速度为，则＝( )．．解析：由＝＋得()＝′＝，依题意()＝，所以·＝，得＝.答案：．函数()＝－的单调递减区间是( )，，解析：因为′()＝－＝，当＜≤时，′()≤.答案：．函数()＝－(∈)的最大值是( )．．．－解析：′()＝－，令′()＝，则＝－(舍去)或＝，因为()＝，()＝－，＝－＝，所以()在上的最大值为.答案：．函数()＝＋＋－，已知()在＝－处取得极值，则＝( )．．．．解析：′()＝＋＋，因为′(－)＝.所以×(－)＋·(－)＋＝，所以＝.答案：．做直线运动的质点在任意位置处所受的力()＝＋，则质点沿着与()相同的方向，从点＝处运动到点＝处，力()所做的功是( )．＋．．－解析：＝()＝(＋)＝(＋)＝(＋)－＝.答案：．设函数在定义域内可导，＝()的图象如图所示，则导函数的图象可能是( )解析：()在(－∞，)上为增函数，在(，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此′()的图象在(－∞，)上，′()＞，在(，＋∞)上′()的符号变化规律是负→正→负，故选项正确．答案：．(·山东卷)直线＝与曲线＝在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )．．．．解析：直线＝与曲线＝交点坐标为(，)和(，)，依题意得＝(－)＝＝.答案：．定义域为的函数()满足()＝，且()的导函数′()＞，则满足()＜＋的的集合为( )．{＜－或＞}．{－＜＜}．{＞}．{＜}解析：令()＝()－－，因为′()＞，所以′()＝′()－＞，所以()为单调增函数，因为()＝，所以()＝()－－＝，所以当＜时，()＜，即()＜＋.答案：．函数()＝＋在(－∞，－)上单调递增，则实数的取值范围是( )．．(－∞，)∪上为单调减函数，则的取值范围是．．(，]。

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．从下图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是 ( )A ．B ．C ．D ．3．某地铁换乘站设有编号为A ，B ，C ，D ，E 的五个安全出口.若同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间如下： 安全出口编号 A ，BB ，CC ，DD ，EA ，E疏散乘客时间（s ）186125160175145则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（ ） A ．AB ．BC ．CD ．D4．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2n）；如果n 是奇数，则将它乘3加1（即3n+1），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1. 对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：l 可以多次出现），则n 的所有不同值的个数为 A ．4B ．6C ．8D ．325．设实数a,b,c 满足a+b+c=1,则a,b,c 中至少有一个数不小于 ( ) A ．0B ．13C ．12D ．16．利用数学归纳法证明不等式()()1111++++,2,232n f n n n N +<≥∈的过程中，由n k =变成1n k =+时，左边增加了（ ）A ．1项B ．k 项C ．12k -项D ．2k 项7．“杨辉三角”又称“贾宪三角”，是因为贾宪约在公元1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，而杨辉在公元1261年所著的《详解九章算法》一书中，记录了贾宪三角形数表，并称之为“开方作法本源”图．下列数表的构造思路就源于“杨辉三角”．该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数是（ ）A ．201620172⨯B ．201501822⨯C ．201520172⨯D ．201601822⨯8．用数学归纳法证明“11112321n++++- ”时，由(1)n k k =>不等式成立，推证1n k =+时，左边应增加的项数是（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +9．一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a ，b ，c ，d 四件奖品（每扇门里仅放一件）.甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ；乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是c .如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（ ） A ．aB ．bC ．cD ．d10．如果把一个多边形的所有便中的任意一条边向两方无限延长称为一直线时,其他个边都在此直线的同旁,那么这个多边形就叫凸多边形.平行内凸四边形由2条对角线,凸五边形有5条对角线,以此类推,凸16变形的对角线条为( ) A ．65B ．96C ．104D ．11211．已知0x >，不等式12x x +≥，243x x +≥，3274x x+≥，…，可推广为1n ax n x+≥+ ，则a 的值为( ) A ．2nB ．n nC ．2nD ．222n -12．已知 222233+=，333388+=,44441515+=，m m m mt t+=()*,2m t N m ∈≥且，若不等式30m t λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．)22,⎡+∞⎣B ．(),22-∞C ．(),3-∞D ．[1,3]二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为223623=⨯，所以36的所有正约数之和为22(133)(22323)++++⨯+⨯22222(22323)(122)++⨯+⨯=++2(133)91++=，参照上述方法，可得100的所有正约数之和为__________．15．平面上画n 条直线，且满足任何2条直线都相交，任何3条直线不共点，则这n 条直线将平面分成__________个部分． 16．利用数学归纳法证明不等式“()*11112,23212n n n n N +++⋯+>≥∈-”的过程中，由“n k =”变到“1n k =+”时，左边增加了_____项．17．将正整数对作如下分组，第1组为()(){}1,2,2,1，第2组为()(){}1,3,3,1，第3组为()()()(){}1,4,2,3,3,2,4,1，第4组为()()()(){}1,5,2,44,25,1⋅⋅⋅⋅⋅⋅则第30组第16个数对为__________．18．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 19．观察下面的数阵，则第40行最左边的数是__________．20．观察下列式子：，，，，…，根据以上规律，第个不等式是_________.三、解答题21．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且13a =，()211324222n n S S n n n -=+-+≥. （1）求2a ，3a ，4a ；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 22．若10a >，11a ≠，121+=+nn na a a （n ＝1，2，…）． （1）求证：1+≠n n a a ； （2）令112a =，写出2a ，3a ，4a ，5a 的值，观察并归纳出这个数列的通项公式n a ，并用数学归纳法证明．23．已知数列11111,,,,,12233445(1)n n ⨯⨯⨯⨯⨯+，…的前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S 的值，根据计算结果，猜想n S 的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中猜想的n S 表达式.24．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n 个图形包含()f n 个小正方形.（Ⅰ）求出()5f ；（Ⅱ）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出()1f n +与()f n 的关系式，并根据你得到的关系式求()f n 的表达式. 25．依次计算数列114⎛⎫-⎪⎝⎭，111149⎛⎫⎛⎫--⎪⎪⎝⎭⎝⎭，1111114916⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，11111111491625⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，的前4项的值，由此猜想21111111111491625(1)n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----- ⎪⎪⎪⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦（n *∈N ）的结果，并用数学归纳法加以证明.26．设a ，b 均为正数，且ab ．证明：（1）664224a b a b a b +>+（2）a b a b b a+>+【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解． 【详解】（1）A→D 调5辆，D→C 调1辆，B→C 调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次， （2）A→D 调4辆，A→B 调1辆，B→C 调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次， 故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．C解析：C 【分析】 结合题意可知,代入数据,即可.【详解】A 选项,13不满足某个数的平方,故错误;B 选项,,故错误;C 选项,故正确;D 选项,,故错误.故选C. 【点睛】本道题考查了归纳推理，关键抓住利用边长点数计算总点数,难度中等.3．C解析：C 【解析】分析：根据疏散1000名乘客所需的时间，两两对比，即可求出结果. 详解：同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客，所需时间对比：开方AB 、出口时间为186s ，开方BC 、出口时间为125s ，得C 比A 快； 开方CD 、出口时间为160s ，开方DE 、出口时间为175s ，得C 比E 快；开方AB 、出口时间为186s ，开方A E 、出口时间为145s ，得E 比B 快； 开方BC 、出口时间为125s ，开方CD 、出口时间为160s ，得B 比D 快； 综上，疏散乘客最快的安全出口的编号是C. 故选C.点睛：本题考查简单的合情推理，考查学生推理论证能力.4．B解析：B 【解析】分析：利用第八项为1出发，按照规则，逆向逐项即可求解n 的所有可能的取值. 详解：如果正整数n 按照上述规则施行变换后第八项为1， 则变换中的第7项一定为2， 变换中的第6项一定为4，变换中的第5项可能为1，也可能是8， 变换中的第4项可能是2，也可能是16，变换中的第4项为2时，变换中的第3项是4，变换中的第2项是1或8，变换中的第1项是2或6，变换中的第4项为16时，变换中的第3项是32或5，变换中的第2项是64或108，变换中的第1项是128或21或20，或3，则n 的所有可能的取值为2,3,16,20,21,128，共6个，故选B.点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，其中解答中正确理解题意，利用变换规则，进行逆向逐项推理、验证是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，试题有一定的难度，属于中档试题.5．B解析：B 【解析】∵三个数a ，b ，c 的和为1，其平均数为13∴三个数中至少有一个大于或等于13假设a ，b ，c 都小于13，则1a b c ++<∴a ，b ，c 中至少有一个数不小于13故选B.6．D解析：D 【分析】分别写出n k =、1n k =+时，不等式左边的式子，从而可得结果. 【详解】当n k =时，不等式左边为1111232k++++，当1n k =+时，不等式左边为1111111232212k k k +++++++++，则增加了112(21)1222k k k k k ++-++=-=项，故选D. 【点睛】项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.7．B解析：B 【详解】由题意，数表的每一行从右往左都是等差数列，且第一行公差为1,第二行公差为2,第三行公差为4,…,第2015行公差为20142， 故第1行的从右往左第一个数为：122-⨯， 第2行的从右往左第一个数为：032⨯， 第3行的从右往左第一个数为：142⨯， …第n 行的从右往左第一个数为：2(1)2n n -+⨯ ， 表中最后一行仅有一个数，则这个数是201501822⨯.8．C解析：C 【解析】左边的特点：分母逐渐增加1，末项为121n -； 由n=k ，末项为121k-到n=k+1，末项为11121212k k k+=--+， ∴应增加的项数为2k ． 故选C ．9．A解析：A【解析】由题意得，甲同学说：1号门里是b ，3号门里是c ，乙同学说：2号门里是b ，3号门里是d ；丙同学说：4号门里是b ，2号门里是c ；丁同学说：4号门里是a ，3号门里是cc ，若他们每人猜对了一半，则可判断甲同学中1号门中是b 是正确的；乙同学说的2号门中有d 是正确的；并同学说的3号门中有c 是正确的；丁同学说的4号门中有a 是正确的，则可判断在1,2,3,4四扇门中，分别存有,,,b d c a ，所以4号门里是a ，故选A. 点睛：本题主要考查了归纳推理问题，通过具体事例，根据各位同学的说法给出判断，其中正确理解题意，合理作出推理是解答此类问题的关键，同时注意仔细审题，认真梳理．10．C解析：C 【解析】可以通过列表归纳分析得到；16边形有2+3+4+…+14=2=104条对角线． 故选C ．11．B解析：B 【分析】由题意归纳推理得到a 的值即可. 【详解】由题意，当分母的指数为1时，分子为111=； 当分母的指数为2时，分子为224=； 当分母的指数为3时，分子为3327=； 据此归纳可得：1n ax n x+≥+中，a 的值为n n . 本题选择B 选项. 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．12．C解析：C 【解析】分析：由等式归纳得出m 和t 的关系，从而得出关于m 的恒等式，利用函数单调性得出最小值即可得出λ的范围.=21t m =-， 30m t λ--<恒成立，即220m m λ--<恒成立，m N *∈且2m ≥，222m m m mλ+∴<=+.令()2f m m m =+，()221f m m ='-，2m ≥，()0f m ∴'>，()f m ∴单调递增，∴当2m =时，()f m 取得最小值()23f =，3λ∴<.故选：C.点睛：若f (x )≥a 或g (x )≤a 恒成立，只需满足f (x )min ≥a 或g (x )max ≤a 即可，利用导数方法求出f (x )的最小值或g (x )的最大值，从而问题得解．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点： 第1个等式开头为1，第2个等式开头为2， 第3个等式开头为3，第4个等式开头为4， 则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数， 第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数， 则第n 个等式左侧有2n -1个数， 据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9， 第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49， 则第n 个等式右侧为()221n -， 据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．217【分析】根据题意类比36的所有正约数之和的方法分析100的所有正约数之和为（1+2+221+5+52）计算可得答案【详解】根据题意由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方解析：217 【分析】根据题意，类比36的所有正约数之和的方法，分析100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52），计算可得答案． 【详解】根据题意，由36的所有正约数之和的方法：100的所有正约数之和可按如下方法得到：因为100=22×52， 所以100的所有正约数之和为（1+2+22)(1+5+52）=217． 可求得100的所有正约数之和为217； 故答案为：217. 【点睛】本题考查简单的合情推理应用，关键是认真分析36的所有正约数之和的求法，并应用到100的正约数之和的计算．15．【解析】分析：根据几何图形列出前面几项根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果详解：1条直线将平面分成2个部分即2条直线将平面分成4个部分即3条直线将平面分为7个部分即4条直线将平面分为11个部分即解析：(1)12n n ++ 【解析】分析：根据几何图形，列出前面几项，根据归纳推理和数列中的累加法即可得到结果。

人教版数学选修2-2第一章练习题及解析1 .曲线y = x3+ x - 2在P点处的切线平行于直线y= 4x - 1，则切线方程为()A . y =4x B. y = 4x —4C . y = 4x —8 D. y = 4x 或y =4x —4［答案］D［解析］y' = lim —yx 0 x=lim ［ x+ x 3+x+ x―2］—x3+x― 2x 0 x=lim 2+ 3x x + 3x2+ 1)0 (( x)=3x2+ 1.由条件知，3x2+ 1 = 4，二x = ± 1,当x = 1时，切点为(1,0)，切线方程为y = 4(x —1),即y = 4x — 4.当x =—1时，切点为(一1 , —4)，切线方程为y+ 4 = 4(x + 1),即y = 4x.tan a=— 3x 。

2— 3一3.* jr ■j|n 2「•a€ 0, 2 U 3 n, n .故应选 A.3 .设P 为曲线C : y = x 2 + 2x + 3上的点，且曲线 C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为冗［0, 4］，则点P 横坐标的取值范围为( )1A . [— 1 ,—2]B . [ — 1,0]1弟 C . [0,1]D . [_, 1]2［答案］ A［解析］ 考查导数的几何意义.・・ /・y =n2x + 2，且切线倾斜角［0, 4］,二切线的斜率k 满足0 w k w 1，即0 w 2x + 2 < 1 ,1/• — 1 w x w — 2' 4 .已知 f(x) = x 2 + 3xf ' (2)，贝U f ' (2) = _________[答案]—23x+ 2上的任意一点P 点处的切线倾斜角为a,贝V a 的取3 范围为()-J f ■Mil L)- ~2A.( ), n U1 n, nb r232C . 3 n , n［答案］ A• f ，(x)= li m/ x T 0=3x 2 — 3，二切线的斜率 k = 3x o 2 —2 .设点P 是曲线y = x3 — 值 ［解析］设P(x o ,y o ),B .冗兀,x +3,[解析]T f ' (x) = 2x + 3f ' (2),.•.f ' (2)= 4 + 3f ' (2),A f ' (2) =—2.15 .求过点(2,0)且与曲线y = x相切的直线方程.1-上，令切点为(x o, y o)，则有y o —［解析］易知(2,0)不在曲线y = 1.①x x o11y x + x x1又y' =lim lim=—2,x 0x x 0 x x1所以y' |x = x o=—x20,1即切线方程为y = —x20( x —2)而y0=—2 1②X0 —2 X0由①②可得X o= 1 ,故切线方程为y + x — 2 = 0.6 .若直线y = kx是曲线y = x3—3x2+ 2x上一点处的切线，求实数k的值. 0 , XD3—3x02+2x0[解析]设切点(x ),x 3 — 3 X 0 + x 2 + 2 X 0 + X — X 30 +3x 20 — 2x o )( )( ) X=(x) 2 + 3x 2。