随机信号分析复习题

CH11. 设随机试验X求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。

解：()()()()0.210.520.33f x xx x δδδ=-+-+-()()()()0.210.520.33F x u x u x u x =-+-+-2. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae -=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。

解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xx x f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩3.求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。

解：（1）()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1F x y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =+++-+-++-+--()()()()()()(),0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1f x y x y x y x y x y x y x y δδδδδδ=+++-+-++-+--（2） X 的分布律为()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+= （3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=4. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X YV X Y =+⎧⎨=-⎩。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题一.填空题（每空3分共33分） 1.随机变量X ，Y 独立的条件是 。

2.若窄带信号()X t 通过一个幅度为A 的宽带系统输出()Y t ,则二者的关系为 。

3.白噪声通过理想带通系统后，其输出功率谱密度为 分布。

4.实信号)(t x 的解析信号是 。

5.随机变量X 服从0,1分布（P x p ==)1(）的特征函数()X φυ= 。

6.若信号()X t 与()Y t 恒有12(,)0R t t =,则()X t 与()Y t 彼此 。

7.若信号()X t 与()Y t 无关, 如果 则 ()X t 与()Y t 独立。

8.若信号()X t 与()Y t 都是高斯信号,则()X t 与()Y t 独立的充要条件是 。

9.随机信号的平稳性包括 。

10.白噪声信号的()R τ= 。

11.随机信号()X t 均值各态历经表示 。

二、（12分）设正态分布随机变量),(~2σμN X 的特征函数。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题三、（12分）假定三维随机变量),(~),,(321x x C X X X μ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321x μ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=820242024x C 求（1）1X 的密度函数；（2）),(21X X 的密度函数；（3）31X X +的密度函数。

姓名年级学院专业学号密封线内不答题四、（14分）已知)()cos()()()(0t N t a t N t S t X ++=+=θω,其中θω,,0a 为常数，白噪声)(t N 的功率谱为2/0N 。

求此RC 电路输入前、后的信噪比？姓名年级学院专业学号密封线内不答题五、(15分) 1. 给出严格平稳随机过程和广义平稳随机过程的定义。

2.给出严格各态历经和广义各态历经的定义。

姓名 年级 学院 专业 学号 密封线内不答题 3.解释等效噪声带宽。

六、（14分）设随机过程()cos()X t A t ωϕ=+，其中ϕ是在(−π, π)中均匀分布的随机变量，A 、ω为常数。

1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。

解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问{}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问 201()()0X X xx d F x f x elsedx ≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰ 第②问{}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。

{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxx x x x F x f x dxe dx x ex e dx e dxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。

设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-= 答案0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!k e P X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XY kex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},XY DP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它 ①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。

第 1 页(试卷共 1 页)2007年秋季学期《随机信号分析 》课程考试 A 卷适用于：信息学院 05级电子信息工程、通信工程专业 卷面总分100分一、填空题（每2分，共20分）1. 数学期望是描述随机变量的（ ），方差是用来度量随机变量偏离其（ ）的程度2. 随机变量的X 特征函数是（ ）第二特征函数是（ ）它们之间的关系是（ ）3. 两个随机变量统计，它们必然是（ ）相关的4. 设有实信号，)(t x 它的希尔伯特换定义是（ ），反变换定义为（ ）5. 各态历经过程必须是（ ），但平稳过程 （ ）都具有各态历经性。

6. 按照随机过程的时间和状态，可以将随机过程分为（ ）、（ ）、（ ）和（ ）7. 对于高斯过程，不相关和（ ）是等价的，狭义平稳和（ ）是等价。

8. 白噪声通过理想低通系统后，功率谱密度变（ ），相关性由（ ）变为（ ）9. 如果一个随机过程的功率谱密度是常数，则称它为（ ）三 简答 （共10分）1 叙述一维随机变量概率密度函数的性质（本小题6分）2 白噪声通过理想低通系统后，有那些变化？ （本小题4分）四、计算题（共50分）1 已知随机过程的自相关函数)cos 1(21)(0τωτ+=R ，求功率谱密度 2 设连续随机变量X 的概率分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤-+<=21201)](2πΑsin[0.500)(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(<<x P 。

3 判断随机过程)cos()(Φt A t X +=ω是否平稳？其中ω为常数，Φ、A 分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

4 平稳高斯过程)(t X 的自相关函数为ττ-=e R X 2)(，求)(t X 的一维和二维概率密度。

5 功率谱密度为2/0N 的白噪声作用到1)0(=H 的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz 。

若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W ，0N 是多少？。

随机信号分析习题一1. 设函数⎩⎨⎧≤>-=-0 ,0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数.并求下列概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。

2. 设),(Y X 的联合密度函数为(), 0, 0(,)0 , otherx y XY e x y f x y -+⎧≥≥=⎨⎩, 求{}10,10<<<<Y X P 。

3. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)52(21exp 1),(22y xy x y x f XY π 求:（1）边沿密度)(x f X ,)(y f Y（2)条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y4. 设离散型随机变量X 的可能取值为{}2,1,0,1-，取每个值的概率都为4/1，又设随机变量3()Y g X X X ==-。

(1）求Y 的可能取值 （2）确定Y 的分布. （3）求][Y E 。

5. 设两个离散随机变量X ，Y 的联合概率密度为:)()(31)1()3(31)1()2(31),(A y A x y x y x y x f XY --+--+--=δδδδδδ试求：（1)X 与Y 不相关时的所有A 值。

（2）X 与Y 统计独立时所有A 值。

6. 二维随机变量（X ，Y )满足:ϕϕsin cos ==Y Xϕ为在[0，2π]上均匀分布的随机变量，讨论X ,Y 的独立性与相关性。

7. 已知随机变量X 的概率密度为)(x f ,求2bX Y =的概率密度)(y f .8. 两个随机变量1X ，2X ,已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度()Y f y\10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数222W X Y Z X⎧=+⎨=⎩ 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。

i 一.填空题(每空3分共18分)：1.随机信号功率谱的物理意义是。

22.广义各态历经是指。

33.白噪声通过理想低通系统后，功率谱为。

号；4.希尔伯特变换中系统的冲激响应h(t)传递函数；H( ) 。

5 5.随机信号x(t)的解析函信号是。

二.判断题(每小题3分共15分)题小答1.随机变量X, Y独立，则有E(XY) E(X)E(Y)。

() 不内2.理想白噪声过程在不同时刻的两个状态独立。

()封3.一可以成为平稳过程的自相关函数。

曲密()4.功率谱密度S x()是实函数并且是偶函数。

()5.实平稳随机过程X(t)通过线性时不变系统的输出为Y(t),则有S x( )S Y( ) S XY()S YX() ( )三.(12分)若有一随机变量X,其概率密度函数为f(t) -e ax u(t)o2 求：(1) a的值；(2) X的特征函数X v ；第1页共4页(3)随机变量Y 2X 1,求Y的一阶概率密度函数。

.( 15 分) 已知随机相位正弦信号X(t) cos 0t , 0为常数，为在［0, 2兀］内均匀分布的随机变量。

试求：(1) X(t)的数学期望和自相关函数；(2)判定X(t)是否为平稳过程；(3)计算x(t)的功率谱密度。

五.(15分)若输入信号X(t) X。

cos( o t )作用于图XX所示RC电路，其中X。

为［0,1］上均匀分布的随机变量，为［0,2兀］上均匀分布的随机变量，并且X。

与彼此独立。

求输出信号Y(t) 的功率谱与相关函数。

题业答专才不内线密六.(15分)复随机过程Z(t) e j(0t),式中。

为常数，是在。

2)：上均匀分布的随机变量。

求：(1)E［Z(t *(5和E［Z(t)Z(t)第3页共4页第4页共4页］;:(2)信号的功率谱。

七.(15分)平稳随机过程x(t)作用到冲激响应分别为几代)和卜2代)的 串联系统。

用h i (t)、h 2(t)和X(t)的自相关函数R x ()表示的Y i (t)和丫2⑴ 的互相关函数，并计算丫(t)和Y 2(t)的功率谱。

《随机信号分析》练习题一、 概念题1．叙述随机试验的三个条件。

2．写出事件A 的概率P(A)所满足的三个条件。

3．何谓古典概型？其概率是如何计算的？ 4．两个事件独立的充要条件。

5．两个随机变量独立的充要条件。

6．两个随机过程的独立是如何定义的？7．随机变量X 服从正态分布，写出其概率密度函数表达式，并说明其中各个参数的意义。

8．简述一维随机变量分布函数F （x ）的性质。

9．已知连续型随机变量X 的分布特性，分别用分布函数)(x F X 和概率密度函数)(x f X 表示概率}{21x X x P ≤<。

10． 随机变量X 的特征函数)(μX C 是如何定义的？写出由)(μX C 计算k阶矩)(k X E 的公式。

11．设X 1,X 2,…,Xn 为相互独立的随机变量，其特征函数分别为C 1(μ),C 2(μ),…,Cn(μ)，设∑==n i i X Y 1，则C Y (μ)=？12． 对于一般的复随机变量，其数学期望、方差、协方差各是实数还是复数？13． 写出随机过程X(t)的n 维分布函数定义式。

14． 简述随机过程宽平稳性与严平稳性的区别。

15． 平稳过程与各态历经过程有何关系？16． 设平稳随机过程X(t)的自相关函数为R X (τ)，X(t)依均方意义连续的条件是？17． 已知平稳随机过程X(t)、Y(t)的相关时间分别为X τ和Y τ，若X τ>Y τ，说明X(t) 与Y(t)的起伏程度那个较大？18． 两个随机过程广义联合平稳的条件是什么？19． 平稳随机过程)(t X 的功率谱密度)(ωX G 的物理意义是什么？)(ωX G 与物理谱密度有何关系？20． 白噪声的功率谱密度和自相关函数有何特点？ 21． 简述维纳-辛钦定理并写出其表达式。

22． 何为线性系统？23． 写出希尔伯特变换器的频率响应、幅频响应和相频响应表达式。

24． 写出窄带过程的准正弦表达式和莱斯表达式。