高中数学选修2-3第二章章节总结

章末总结知识点一条件概率在计算条件概率时，必须搞清楚欲求的条件概率是在哪一个事件发生的条件下的概率，从而选择恰当的条件概率公式，分别求出相应事件的概率进行计算．其中特别注意事件AB 的概率的求法，它是指事件A和B同时发生的概率，应结合题目的条件进行计算．如果给出的问题涉及古典概型，那么也可以直接用古典概型的方法进行条件概率的求解．例1坛子里放着7个相同大小、相同形状的鸭蛋，其中有4个是绿皮的，3个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：(1)第1次拿出绿皮鸭蛋的概率；(2)第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；(3)在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．知识点二独立事件的概率1．互斥事件、相互独立事件一般综合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上运用相应公式求解．2．特别注意以下两公式的使用前提：(1)若A ，B 互斥，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )，反之不成立． (2)若A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )，反之成立． 例2 已知诸葛亮解出问题概率为0.8，臭皮匠老大解出问题的概率为0.5，老二为0.45，老三为0.4，且每个人必须独立解题，问三个臭皮匠中至少有一人解出的概率与诸葛亮解出的概率比较，谁大？知识点三 n 次独立重复试验与二项分布事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率计算及二项分布的应用是高考重点考查的内容，在解答题中多与随机变量的分布列、均值综合考查．解题时应注意：恰有k 次发生和指定k 次发生的差异，对独立重复试验来说，前者的概率为C k n p k (1－p )n －k，后者的概率为p k (1－p )n －k .例3 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额为超过15万元的概率．知识点四 期望与方差求离散型随机变量的期望、方差，首先要明确概率分布，最好确定随机变量概率分布的模型，这样就可以直接运用公式进行计算．不难发现，正确求出离散型随机变量的分布列是解题的关键．例4 某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是34，甲、丙两人都答错的概率是112，乙、丙两人都答对的概率是14，规定每队只要有一人答对此题则该队答对此题．(1)求该单位代表队答对此题的概率．(2)此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其他题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望(精确到1分)．例5设在10件产品中，有3件次品，7件正品，现从中抽取5件，记X表示每次取出的次品件数．(1)求X的概率分布表；(2)求X的期望和方差．知识点五正态分布正态密度曲线恰好关于参数μ对称，因此充分利用该图形的对称性及3个区间内的概率值来求解其他区间的概率值，是一种非常简捷的方式，也是近几年高考的一个新动向．例6设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．章末总结答案重点解读例1解设“第1次拿出绿皮鸭蛋”为事件A，“第2次拿出绿皮鸭蛋”为事件B，则“第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋”为事件AB.(1)从7个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的事件数为n(Ω)＝A27＝42.根据分步乘法计数原理n(A)＝A14×A16＝24.于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2442＝47.(2)因为n (AB )＝A 24＝12，所以P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝1242＝27.(3)方法一 由(1)(2)可得，在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2747＝12.方法二 因为n (AB )＝12，n (A )＝24，所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝1224＝12.例2 解 三个臭皮匠中至少有一人解出的概率为：1－P (A ·B ·C )＝1－0.5×0.55×0.6＝0.835>0.8＝P (D )，所以，合三个臭皮匠之力把握就大过诸葛亮．例3 解 (1)设A 表示资助总额为零这个事件，则P (A )＝⎝⎛⎭⎫126＝164.(2)设B 表示资助总额超过15万元这个事件，则P (B )＝15×⎝⎛⎭⎫126＋6×⎝⎛⎭⎫126＋⎝⎛⎭⎫126＝1132. 例4 解 (1)记甲、乙、丙分别答对此题为事件A 、B 、C ，由已知，P (A )＝34，[1－P (A )][1－P (C )]＝112，∴P (C )＝23.又P (B )P (C )＝14，∴P (B )＝38.∴该单位代表队答对此题的概率P ＝1－(1－34)(1－38)(1－23)＝9196.(2)记ξ为该单位代表队必答题答对的题数，η为必答题得分， 则ξ～B (10，9196)，∴E (ξ)＝10×9196＝45548(分)．而η＝20ξ－10(10－ξ)＝30ξ－100，∴E (η)＝30E (ξ)－100＝1 4758≈184(分)．例5 解 (1)X 的可能取值为0,1,2,3. X ＝0，表示取出的5件产品全是正品．P (X ＝0)＝C 03C 57C 510＝112；X ＝1，表示取出的5件产品中有1件次品，4件正品．P (X ＝1)＝C 13C 47C 510＝512；X ＝2，表示取出的5件产品中有2件次品，3件正品．P (X ＝2)＝C 23C 37C 510＝512；X ＝3，表示取出的5件产品中有3件次品，2件正品．P (X ＝3)＝C 33C 27C 510＝112.∴X 的概率分布表为X 0 1 2 3P 112512512112(2)E(X)＝0×112＋1×512＋2×512＋3×112＝32，V(X)＝112×(0－32)2＋512×(1－32)2＋512×(2－32)2＋112×(3－32)2＝712.例6解由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，∴c＝2.。

人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。

1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。

排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。

组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。

(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。

高中数学选修2-3第二章总结一、知识梳理1.条件概率与事件的独立性（1）条件概率:一般地，若有两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A 的条件概率，记为P(A ︱B).一般地，若P （B ）>0，则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是)()()(B P AB P B A P =)()()(B P B A P AB P = （2）事件的独立性:设A, B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A) P(B) , 则称事件A 与事件B 相互独立.事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L （3）独立重复性:独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于n k k n q p C 0q p C n n n n n n + 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．2.离散型随机变量（1）离散型随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．在此基础之上所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.（2）离散型随机变量分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+…=1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ（3）离散型随机变量的数学期望与方差:均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x 22p x …n n … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax 22…n n …＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …)＝b aE +ξ， 由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(若ξ:B （n,p ），则Eξ=np证明如下：∵kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴=ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k×k n k k n q p C -＋…＋n×0q p C n n n ．又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n ---np q p np n =+=-1)( 故若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ．3．常用的分布（1）两点分布 随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．)1(,1p p DX p EX -=-=（2）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．ξ 01 … k … nPn n q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．)1(,p np DX np EX -==（3）超几何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===L ,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X 服从超几何分布.1)1(,---==N nN N M N nM DX N nM EX 4．正态分布总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a ，x=b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（1）正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响（2）通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质（3）正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 ②曲线关于直线x=μ对称③当x=μ时，曲线位于最高点 ④当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 ⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学（4）．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题二、典型习题讲解1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： （1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话解：设i A ={第i 次拨号接通电话}，1,2,3i =（1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：112123A A A A A A ++于是所求概率为112123()P A A A A A A ++=112123()()()P A P A A P A A A ++=1919813.10109109810+⨯+⨯⨯= 2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以.27431)311)(311(=⨯--=P（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD3． 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，6ξ=；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，9ξ=； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，12ξ=所以157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ 771396(912)1515155E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 4 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为,,A B C ，则()0.9,()0.8,()0.85P A P B P C ===（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅[1()][1()][1()](10.9)(10.8)(10.85)0.003P A P B P C =---=---=答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003（Ⅱ）（()P A B C A B C A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅）()()()P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅[1()]()()()[1()]()()()[1()](10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329P A P B P C P A P B P C P A P B P C =-+-+-=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.3295 如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通 求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ 431012034141)6(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P ΘΘΘ（II ）203)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 答：（I 43（II ）线路通过信息量的数学期望是6.5 6 三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路 （Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由解：记“三个元件123,,T T T 正常工作”分别为事件123,,A A A ，则 .43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为231()A A A + ∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下：图1中发生故障事件为123()A A A +∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 21P P ∴> 图2不发生故障事件为132()A A A +，同理不发生故障概率为321P P P =>7 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率解：设事件A =“从甲机床抽得的一件是废品”；B =“从乙机床抽得的一件是废品” 则()0.05,()0.1P A P B ==（1）至少有一件废品的概率145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,A B 设甲独立解出此题的概率为1P ，乙为2P则12()0.6,()P A P P B P === 1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:P A B P A B P P P P PP P P P P P P A P B P P A P B P A P B P P A P B ξξξξ+=-⋅=---=+-=∴+-=====⋅=⨯===+=⨯+⨯===⋅=⨯=则即的概率分布为4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξξE E D D E 或利用9 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为(1)()E x p x a p x ap ξ=-+-=-为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需0.1E a ξ=，即0.1x ap a -=，故可得(0.1)x a p =+即顾客交的保险金为 (0.1)a p +时，可使公司期望获益0.1a10 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂 已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)解：(1)这批食品不能出厂的概率是： 514510.80.80.20.263P C =--⨯⨯≈(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：13140.20.80.8P C =⨯⨯⨯五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：13240.20.80.2P C =⨯⨯⨯由互斥事件有一个发生的概 率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：131240.20.80.4096P P P C =+=⨯⨯=11 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法 参加双打的队员有12C 种方法所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜， 所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯ 12 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件,A B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵,A B 为两个互斥事件 ∴6()()()7P A B P A P B +=+=即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则45481()14C P C C ==至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-。

高中数学选修2-3题型总结（重点）本书重点：排列组合、概率第一章 计数原理 第二章 概率 一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n 类办法中有mn 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。

2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n 步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn 种不同的方法。

3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，m nA =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m≤n, 注：一般地nA =1，0！=1，nn A =n!。

4．N 个不同元素的圆周排列数为n A nn =(n-1)!。

5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mnC 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．【了解】组合数的基本性质：（1）m n n mnCC -=；（2）11--+=n n m nm n CC C；（3）kn k n C C k n =--11；（4）n nk kn n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn mn m k k n C C C --=。

1．离散型随机变量及其分布列(1)随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．通常用字母X ，Y ，ξ，η，…等表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量． (3)离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列． (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； ② i ＝1np i ＝1.(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率.两点分布又称0－1超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －k N －MC n N，k ＝0,1,2，…，m ，即其中m ＝min{M ，n 形式，则称随机变量X 服从超几何分布． 2．二项分布及其应用(1)条件概率：一般地，设A 和B 是两个事件，且P (A )＞0，称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．P (B |A )读作A 发生的条件下B 发生的概率． (2)条件概率的性质： ①0≤P (B |A )≤1；②必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0； ③如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．(3)事件的相互独立性：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立．如果事件A 与B 相互独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． (4)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验． (5)二项分布：一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n .此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．两点分布是当n ＝1时的二项分布，二项分布可以看成是两点分布的一般形式． 3．离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差：一般地，若离散型随机变量X 的分布列为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2i i n n 型随机变量取值的平均水平．称D (X )＝i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，D (X )为随机变量X 的标准差．(2)均值与方差的性质：若Y ＝aX ＋b ，其中a ，b 是常数，X 是随机变量，则Y 也是随机变量，且E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ，D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(3)常见分布的均值和方差公式：①两点分布：若随机变量X 服从参数为p 的两点分布，则均值E (X )＝p ，方差D (X )＝p (1－p )．②二项分布：若随机变量X ～B (n ，p )，则均值E (X )＝np ，方差D (X )＝np (1－p )． 4．正态分布(1)正态曲线与正态分布：①正态曲线：我们把函数22()2(),x x μσμσϕ--，x ∈(－∞，＋∞)(其中μ是样本均值，σ是样本标准差)的图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线，正态曲线呈钟形，即中间高，两边低．②正态分布：一般地，如果对于任何实数a ，b (a ＜b )，随机变量X 满足P (a ＜X ≤b )＝⎠⎛ab φμ，σ(x )d x ，则称随机变量X 服从正态分布．正态分布完全由参数μ，σ确定，因此正态分布常记作N (μ，σ2)．(2)正态曲线的特点：①曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ③曲线在x ＝μ处达到峰值1σ2π； ④曲线与x 轴之间的面积为1. (3)μ和σ对正态曲线的影响：①当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；②当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．(4)正态分布的3σ原则：若随机变量X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X ≤μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜X ≤μ＋3σ)＝0.9974.在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X 只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．题型一 函数思想函数知识贯穿于高中数学的始终，函数的思想方法是用联系变化的观点，将给定的数学问题转化为函数关系，再利用函数的相关知识解决问题，从而得到数学结论．有些概率问题常与函数结合，如P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0,1,2，…，n ，可看成k 的函数，有时也可将其看成关于概率p 的函数．函数来源于生活，函数无处不在，我们应该善于利用函数思想解决问题．例1 一个口袋中装有n 个红球(n ≥5)和5个白球，一次摸奖是从袋中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．(1)试用n 表示一次摸奖中奖的概率；(2)若n ＝5，求三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率；(3)记三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率为p ，当n 取多少时，p 最大？ 解 (1)一次摸奖从(n ＋5)个球中任选两个球有C 2n ＋5种方法，它们是等可能的，其中两球不同色有C 15C 1n 种方法，所以一次摸奖中奖的概率为： P (n )＝C 15C 1nC 2n ＋5＝10n (n ＋5)(n ＋4)(n ≥5，n ∈N )．(2)当n ＝5时，P (5)＝59，由于摸奖是有放回的，故三次摸奖可看作三次独立重复试验． 三次摸奖恰有一次中奖的概率为： P 3(5)＝C 13×59×⎝⎛⎭⎫492＝80243. (3)记(1)中的P (n )＝t ＝10n(n ＋5)(n ＋4)(n ≥5，n ∈N )．∵P (n ＋1)－P (n )＝10(n ＋1)(n ＋6)(n ＋5)－10n (n ＋5)(n ＋4)＝10(4－n )(n ＋4)(n ＋5)(n ＋6)<0，∴P (n )≤P (5)＝59，即0<t ≤59.∵p ＝C 13·t ·(1－t )2＝3t 3－6t 2＋3t ， ∴p ′＝9t 2－12t ＋3＝3(t －1)(3t －1)．∵当t ∈⎝⎛⎭⎫0，13时，p ′>0，当t ∈⎝⎛⎦⎤13，59时，p ′<0， ∴p ＝3t 3－6t 2＋3t 在⎝⎛⎭⎫0，13上递增，在⎝⎛⎦⎤13，59上递减． 故当t ＝13时，p 取得最大值．由t ＝10n (n ＋5)(n ＋4)＝13，解得n ＝20或n ＝1(舍去)，∴当n ＝20时，三次摸奖(每次摸奖后放回)恰有一次中奖的概率p 最大．反思与感悟 解决离散型随机变量与最值相交汇问题的关键：一是会利用古典概型、互斥事件、相互独立事件、对立事件等概率公式求概率；二是把所求的最值问题向作差法(作商法)转化；三是通过构造函数，利用函数的单调性，即可求出其最值．跟踪训练1 某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为C ＝q 33－3q 2＋20q ＋10(q >0)．该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情形，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：设L 1，L 2，L 3q 而市场前景无法确定时的利润．(1)分别求利润L 1，L 2，L 3与产量q 的函数关系式； (2)当产量q 确定时，求均值E (ξ)； (3)试问产量q 取何值时，E (ξ)取得最大值． 解 (1)根据题意，得L 1＝(164－3q )·q －⎝⎛⎭⎫q 33－3q 2＋20q ＋10＝－q33＋144q －10(q >0)， 同理，可得L 2＝－q 33＋81q －10(q >0)，L 3＝－q 33＋50q －10(q >0)．(2)由均值的定义，知E (ξ)＝0.4L 1＋0.4L 2＋0.2L 3＝0.4×⎝⎛⎭⎫－q33＋144q －10＋0.4×⎝⎛⎭⎫－q 33＋81q －10＋0.2×⎝⎛⎭⎫－q 33＋50q －10＝－q33＋100q －10. (3)由(2)可知E (ξ)是关于q 的函数． 设f (q )＝E (ξ)＝－q 33＋100q －10(q >0)，则f ′(q )＝－q 2＋100.令f ′(q )＝0，解得q ＝10或q ＝－10(舍去)．由题意及问题的实际意义(或当0<q <10时，f ′(q )>0；当q >10时，f ′(q )<0)，知当q ＝10时，f (q )取得最大值，即E (ξ)最大时的产量q 为10. 题型二 方程思想方程思想是高中数学中最基本、最重要的数学思想之一，这种思想方法就是从分析问题的数量关系入手，把变量之间的关系用方程的关系反映出来，然后通过解方程或对方程进行讨论，使问题得以解决，利用方程思想解题的关键是列出方程．例2 一个袋子内装有若干个黑球、3个白球、2个红球(所有的球除颜色外其他均相同)，从中一次性任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，用随机变量ξ表示取2个球的总得分，已知得0分的概率为16.(1)求袋子内黑球的个数； (2)求ξ的分布列与均值．解 (1)设袋中黑球的个数为n ，由条件知，当取得2个黑球时得0分，概率为P (ξ＝0)＝C 2nC 2n ＋5＝16， 化简得n 2－3n －4＝0，解得n ＝4或n ＝－1(舍去)， 即袋子中有4个黑球．(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,4， ∴P (ξ＝0)＝16，P (ξ＝1)＝C 14C 13C 29＝13，P (ξ＝2)＝C 23＋C 12C 14C 29＝1136， P (ξ＝3)＝C 13C 12C 29＝16，P (ξ＝4)＝C 22C 29＝136，∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×16＋1×13＋2×1136＋3×16＋4×136＝149.反思与感悟 本题以摸球为背景，融离散型随机变量的分布列及其性质、均值、方程等知识于一体，题型很常见．本题的亮点在于没有烦琐的计算，而只要从方程的角度将所求的量设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究完成未知向已知的转化．跟踪训练2 甲、乙两人为了响应政府“节能减排”的号召，决定各购置一辆纯电动汽车．经了解目前市场上销售的主流纯电动汽车，按续驶里程数R (单位：千米)可分为三类车型，A ：80≤R <150，B ：150≤R <250，C ：R ≥250.甲从A ，B ，C 三类车型中挑选一款，乙从B ，C 两类车型中挑选一款，甲、乙二人选择各类车型的概率如下表：若甲、乙都选C 类车型的概率为310.(1)求p ，q 的值．(2)求甲、乙选择不同车型的概率．(3)某市对购买纯电动汽车进行补贴，补贴标准如下表：解 (1)由题意可得⎩⎨⎧34q ＝310，p ＋q ＋15＝1，解得⎩⎨⎧p ＝25，q ＝25.(2)设“甲、乙选择不同车型”为事件A ，分甲选车型A ，甲选车型B 、乙选车型C ，甲选车型C 、乙选车型B 三种情况，故P (A )＝15＋25×34＋25×14＝35.所以甲、乙选择不同车型的概率是35.(3)X 的所有可能取值为7,8,9,10. P (X ＝7)＝15×14＝120，P (X ＝8)＝15×34＋25×14＝14，P (X ＝9)＝25×14＋25×34＝25，P (X ＝10)＝25×34＝310.所以X 的分布列为题型三 数形结合思想“数形结合”指的是在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机地结合起来思考，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决．本章中的数形结合思想常见的有：频率分布直方图、茎叶图与概率相交汇，利用正态曲线的性质求概率等．例3 某学院为了调查本校学生2016年5月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生作为样本，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及均值E (Y )．解 (1)由图可知健康上网天数未超过20天的频率为(0.01＋0.02＋0.03＋0.09)×5＝0.15×5＝0.75，所以健康上网天数超过20天的学生人数是40×(1－0.75)＝40×0.25＝10. (2)随机变量Y 的所有可能取值为0,1,2，则Y 服从超几何分布． 所以P (Y ＝0)＝C 230C 240＝2952，P (Y ＝1)＝C 110C 130C 240＝513，P (Y ＝2)＝C 210C 240＝352.所以Y 的分布列为所以Y 的均值E (Y )＝10×240＝12.反思与感悟 本题将传统的频率分布直方图背景赋予新生的均值，立意新颖、构思巧妙，既为频率分布直方图输送了新鲜的血液，又为均值找到了坚实的着陆点．对于这些实际问题中的随机变量X ，如果能够断定它服从超几何分布，则随机变量X 的概率可直接利用概率公式P (X ＝m )＝C m M C n －mN －M C nN (m ＝0,1，…，n )求得，其均值与方差可直接利用公式E (X )＝Mn N ，D (X )＝nMN⎝⎛⎭⎫1－M N N －n N －1求得．超几何分布给出了一类解决问题的数学模型，对该类问题直接套用公式即可，从而简化了解题过程．跟踪训练3 某地数学考试的成绩X 服从正态分布，某密度函数曲线如下图所示，成绩X 位于区间(52,68]的概率为多少？解 设成绩X ～N (μ，σ2)， 则正态分布的密度函数22()2(),x x μσμσϕ--，由图可知，μ＝60，σ＝8.∴P (52<X ≤68)＝P (60－8<x ≤60＋8)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826. 题型四 分类讨论思想分类讨论思想是研究和解决问题的重要的思想方法，在求解概率问题时，会经常遇到事件A 是由多个互斥事件构成的情况(如“至少”“至多”型的概率问题)，随机变量ξ的某个取值可能对应着若干个试验结果的情形．这就需要借助分类讨论的思想方法将此类问题分成若干个小问题去解决．例4某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确各得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得－10分．如果一个挑战者回答前两题正确的概率都是0.8，回答第三题正确的概率为0.6，且各题回答正确与否相互之间没有影响．(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分ξ的分布列和均值；(2)求这位挑战者总得分不为负分(即ξ≥0)的概率．解(1)若三个题目均答错，则得0＋0＋(－10)＝－10(分)．若三个题目均答对，则得10＋10＋20＝40(分)．若三个题目一对两错，包括两种情况：①前两个中一对一错，第三个错，得10＋0＋(－10)＝0(分)；②前两个错，第三个对，得0＋0＋20＝20(分)．若三个题目两对一错，也包括两种情况：①前两个对，第三个错，得10＋10＋(－10)＝10(分)；②第三个对，前两个一对一错，得20＋10＋0＝30(分)．故ξ的可能取值为－10,0,10,20,30,40.P(ξ＝－10)＝0.2×0.2×0.4＝0.016，P(ξ＝0)＝C12×0.8×0.2×0.4＝0.128，P(ξ＝10)＝0.8×0.8×0.4＝0.256，P(ξ＝20)＝0.2×0.2×0.6＝0.024，P(ξ＝30)＝C12×0.8×0.2×0.6＝0.192，P(ξ＝40)＝0.8×0.8×0.6＝0.384，所以ξ的分布列为ξ的均值为E (ξ)＝－10×0.016＋0×0.128＋10×0.256＋20×0.024＋30×0.192＋40×0.384＝24(分)．(2)这位挑战者总得分不为负分的概率为P (ξ≥0)＝1－P (ξ<0)＝1－0.016＝0.984.反思与感悟 求离散型随机变量的均值问题，在求解过程中，对离散型随机变量的所有可能取值的判断，以及取各个值时的概率都要用到分类讨论的思想方法．跟踪训练4 质地均匀的正四面体玩具的4个面上分别刻着数字1,2,3,4，将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上．(1)求与桌面接触的4个面上的4个数的乘积不能被4整除的概率；(2)设X 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，求X 的分布列及均值E (X )． 解 (1)不能被4整除有两种情况： ①4个数均为奇数，概率为p 1＝⎝⎛⎭⎫124＝116；②4个数中有3个奇数，另一个为2，概率为p 2＝C 34⎝⎛⎭⎫123×14＝18. 这两种情况是互斥的，故所求的概率为p ＝116＋18＝316.(2)X 为与桌面接触的4个面上数字中偶数的个数，由题意知X 的可能取值是0,1,2,3,4. X 服从二项分布⎝⎛⎭⎫4，12，故X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫124(k ＝0,1,2,3,4)，即∴E (X )＝4×12＝2.题型五 转化与化归思想在求概率问题时，有时需要将待解决或难解决的问题通过某种转化过程归结为一类已解决或易解决的问题，从而找到解决问题的突破口，使问题获得解决．例5 某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求： (1)随机变量ξ的分布列； (2)随机变量ξ的均值．解 (1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， 即有P (ξ＝k )＝C k 5×⎝⎛⎭⎫13k ×⎝⎛⎭⎫235－k，k ＝0,1,2,3,4,5. 由此可得ξ的分布列为(2)∵ξ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， ∴E (ξ)＝5×13＝53.反思与感悟 有关离散型随机变量的均值与方差的求解的思路：首先判断离散型随机变量的所有可能取值，然后再判断其是否为常见的分布，若是，则把所求的问题转化为用公式即可破解的问题，若不是，则把所求的问题转化为用定义法来求解的问题．跟踪训练5 受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解 (1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2)依题意得，X 1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．。

第一章 计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m 种不同的方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法。

分类要做到“不重不漏”。

分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。

做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m ×n 种不同的方法。

分步要做到“步骤完整”。

n 元集合A={a 1，a 2⋯，a n }的不同子集有2n 个。

1.2 排列与组合 1.2.1 排列一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列(arrangement)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A n m 表示。

排列数公式：n 个元素的全排列数规定：0!=11.2.2 组合一般地，从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素合成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合(combination)。

从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号C n m 或(n m )表示。

组合数公式：∵ A n m =C n m ∙A m m∴规定：C n 0组合数的性质：1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！ (1) 对称性(2) 当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项C n n 2+1取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项C n n−12，C n n+12同时取得最大值。

111--++=⋅+=m nm n m n m m m n m n mA A C A A A 高中数学 选修2－3知识点总结第一章 计数原理 知识点：1、分类加法计数原理：做一件事情，完成它有N 类办法，在第一类办法中有M 1种不同的方法，在第二类办法中有M 2种不同的方法，……，在第N 类办法中有M N 种不同的方法，那么完成这件事情共有M 1+M 2+……+M N 种不同的方法。

2、分步乘法计数原理：做一件事，完成它需要分成N 个步骤，做第一 步有m1种不同的方法，做第二步有M 2不同的方法，……，做第N 步有M N 不同的方法.那么完成这件事共有 N=M 1M 2...M N 种不同的方法。

3、排列：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列4、排列数：从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号m n A 表示。

),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=Λ5、公式：，11--=m n m n nA A6、组合：从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合。

7、公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m nm mm n mn-=+--==Λ )!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C m n m m m n m n -=+--==Λ;m n n m n C C -=m n m n m n C C C 11+-=+8、二项式定理：()a b C a C a b C a b C a b C b n n n n n n n n r n r r n n n+=++++++---011222…… 9、二项式通项公式展开式的通项公式：，……T C a b r n r nr n r r+-==101() 考点：1、排列组合的运用2、二项式定理的应用★★1．我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展。