黑龙江省虎林市2020-2021学年高二上学期期末考试数学(理)检测试题(含答案)

黑龙江省高二上学期期末考试含答案数 学一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．抛物线214y x =的焦点坐标为 11.(1,0).(2,0).(0,).(0,)816A B C D2.将两颗骰子各掷一次，设事件A 为“两个点数相同”则概率()P A 等于10515....1111636A B C D 3．已知点12F F ，为椭圆221925x y +=的两个焦点,则12,F F 的坐标为 .(4,0),(4,0).(3,0),(3,0).(0,4),(0,4).(0,3),(0,3)A B C D ----4．命题P ：30,0x x ∀>>，那么P ⌝是3333.0,0.0,0.0,0.0,0A x x B x x C x x D x x ∃≤≤∃>≤∀>≤∀<≤5．为了了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段间隔为.50.40.25.20A B C D6．从甲乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率1289....552525A B C D 7.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是22222222.1.1.1.14422y x y x A x B y C x D y -=-=-=-= 8．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人则该样本中的老年职工抽取人数为.9.18.27.36A B C D9．集合{}{}03,02M x x N x x =<≤=<≤，则a M ∈是a N ∈的....A B C D 充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件10.从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x x 甲，乙，中位数分别为m m 甲，乙，则.A 乙甲x x <，m m >甲乙 .B x x <甲乙，m m <甲乙 .C x x >甲乙，m m >甲乙 .D x x >甲乙，m m <甲乙11.对具有线性相关关系的变量y x ,，测得一组数据如下根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为a x y +=∧5.10，据此模型预测当20=x 时，y 的估计值为.210.210.5.211.5.212.5A B C D12．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1212,,,,,,,,n n x x x y y y 构成n 个数对()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为242....mn mmA B C D nm nn二．填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．集合{}{}2,3,1,2,3A B ==从A ，B 中各任取一个数，则这两数之和为4的概率 ．14．从区间[]1,0内任取两个数x y ,，则1≤+y x 的概率为________________.15． 下列4个命题：（1）若xy=1,则x,y 互为倒数的逆命题；（2）面积相等的三角形全等的否命题；（3）若21,20m x x m ≤-+=则有实数解的逆否命题；（4）若0,00xy x y ===则或的否定.其中真命题 ________.（写出所有真命题的序号） 16．设A 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>在第一象限内的点，F 为其右焦点，点A 关于原点O 的对称点为,B 若,AF BF ⊥设,ABF α∠=且,,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则双曲线离心率的取值范围是 ．三．解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本题满分10分）在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会，共有4个奖品，其中一等奖2个，二等奖2个，甲、乙二人依次各抽一次. （Ⅰ）求甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率； （Ⅱ）求甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率.18．（本题满分12分）已知曲线:(x C y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），直线:(cos )12l ρθθ=.（Ⅰ）求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）设点P 在曲线C 上，求点P 到直线l 的距离的最小值.19. （本题满分12分）一次考试中，5名学生的数学、物理成绩如下求y 关于x 的线性回归方程.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为____1_21()()ˆˆˆ,()n iii n ii x x y y bay b x x x ==--==--∑∑. 20. （本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为：32,542.5x t t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数），它与曲线1)2(:22=--x y C 交于A ，B 两点． （Ⅰ） 求AB 的长； （Ⅱ） 在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛43,22π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．21．（本题满分12分）已知在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点F是AB 边上动点，点Ｅ是棱1B B 的中点． （Ⅰ）求证：11D F A D ⊥； （Ⅱ）求多面体1ABCDED 的体积．22．（本题满分12分）抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，抛物线C 上点M 的横坐标ＡＢＣＤ1A1B1C1D为1，且5.4 MF（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过焦点F作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C交于M、N和P、Q四点，求四边形MPNQ 面积的最小值.高二上学期期末数学答案一、选择题二、填空题13．13 14．2115．(1)(2)(3) 16． 1⎤⎦三、解答题17. （本题满分10分） （Ⅰ）13（Ⅱ）5618.（本题满分12分）（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程:120x -=,曲线C 的普通方程221273x y += . （Ⅱ）点P 到直线l 的距离的最小值为3，此时P )23,29(-. 19.（本题满分12分）25.2075.0+=∧x y .20.（本题满分12分）（Ⅰ）=7AB （Ⅱ）点P 到线段AB 中点M 的距离为307. 21.（本题满分12分）（Ⅰ）证明略（Ⅱ）多面体1ABCDED 的体积为1. 22.（本题满分12分）（Ⅰ）抛物线C 的方程2y x =，（Ⅱ）四边形MPNQ 面积的最小值2,此时1±=k .黑龙江省高二上学期期末考试含答案数 学一.选择题(共12题,每题5分)1．复数i iz +=1（其中i 为虚数单位）的虚部是( ) A ．21- B ．i 21 C ．21D ．i 21-2. 已知121:≥-x p , 1:<-a x q .若q 是p 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是( ) A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(2,3)D ．(,3]-∞3. 某单位业务人员、管理人员、后勤服务人员人数之比依次为15:3:2．为了了解该单位职员的某种情况，采用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中业务人员人数为30，则此样本的容量n 为（ ）A.20B.30 C ．40 D ．80 4．已知直线⊥l 平面α,直线⊂m 平面β,给出下列命题： ①l ⇒⊥βα∥m ； ②α∥m l ⊥=β； ③α⇒⊥m l ∥β④l ∥βα⊥⇒m ；其中正确命题的序号是( )A ．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④5. 下列说法正确的是（ ）A. 命题“若sin sin x y =，则x y =”的逆否命题为真命题B.“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件C. 命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<” D. 命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若12≠x ，则1x ≠” 6．设随机变量δ服从正态分布()7,3N ，若()()22-<=+>a p a p δδ，则a =( ）A ．1B ．2C ．3D ．47．如右图，已知K 为如图所示的程序框图输出结果，二项式nK x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．先后掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为y x ,，设事件A 为“y x +为偶数”，事件B 为“y x ,中有偶数，且y x ≠”，则概率()A B P =( )A ．12B ．13C ．14D ．259．已知()821x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则ab=( ) A ．1285 B ．2567C ．5125D ．1287 10．有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是( ) A ．1 2 B ．24 C ．36 D ．48 11. 甲、乙两名运动员的5次测试成绩如右图所示. 设21,s s 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的标准差, 21,x x 分别表示甲、乙两名运动员测试成绩的平均数，则有（ ） A. 21x x =,21s s < B. 21x x =，21s s > C.21x x >，21s s > D.21x x =，21s s =12．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，34=SA ，2=AB ，4=AC ，︒=∠60BAC ，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π二.填空题(共4题,每题5分)13．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，3次摸到的红球比白球多1次的概率为___________________． 14. 设n 为正整数,n n f 131211)(++++= ，经计算得25)8(,2)4(,23)2(>>=f f f ，3)16(>f ,27)32(>f ，……观察上述结果，对任意正整数n ，可推测出一般结论是____________ .15. 向面积为S 的ABC ∆内任投一点P ，则PBC ∆的面积小于3S的概率为 .16．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，5,4,3===AB BC AC ，点D 是线段AB 上的一点，且︒=∠901CDB ，CD AA =1，则点1A 到平面CD B 1的距离为_______.三.解答题(共6题,共70分) 17. (本小题满分10分)某个体服装店经营某种服装，在某周内获纯利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x之间有如下一组数据：x 3 45 6 7 8 9 y 66 69 73 81 89 90 91已知77211280,3487ii i i i xx y ====∑∑.(1)求,x y ； （2）求纯利润ˆy与每天销售件数x 之间的回归方程. (参考公式：x b y a xn xyx n yx b ni ini ii -=--=∑∑==,1221)18.（本小题满分12分）我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在0-50为优秀，各类人群可正 常活动.环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到本的空气质量指数频率分布直方图，如图. (1) 求a 的值；(2) 根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3) 如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.空气质量指数频率 组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a19.（本小题满分12分）如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. (1) 证明：1AC AB =；(2)若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB BC =, 求二面角111A A B C --的余弦值.20．(本小题满分12分)组别 理科文科性别 男生 女生 男生 女生 人数4431学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率；(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．21．(本小题满分12分)如图是某几何体的直观图与三视图的侧视图、俯视图. 在直观图中，AE BN =2,M 是 ND 的中点. 侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示. （1）在答题纸上的虚线框内画出该几何体的正视图，并标上数据； （2）求证：EM ∥平面ABC ；（3）试问在边BC 上是否存在点G ，使GN ⊥平面NED . 若存在，确定点G 的位置；若不存在， 请说明理由.22.（本小题满分12分）设直线)1(:+=x k y l 与椭圆)0(3222>=+a a y x 相交于B A ,两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点.（1）证明：222313kk a +>； （2）若2=, 求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程.高二数学答案 一.选择题CACDD CBBAB BD 二.填空题 13.83 14.()222+≥n f n 15.95 16.3三.解答题17.(1)86.797559,6≈==y x (2)75.4419==b 36.5114719≈=a18.(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=， ……………1分解得0.03a =. ……………2分 （2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯= ……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6. (4)分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则⎪⎭⎫⎝⎛51,3~B ξ ………5分ξ的取值为0,1,2,3， ………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19. (Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，ξ 0 1 2 3P64125 48125 12125 1125且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO ⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ……… 4分 （Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以COAO =又因为BC AB =，所以BOA BOC ∆≅∆.故OB OA ⊥，从而OB OA ,,1OB 两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系xyz O -． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又BC AB =，则3A ⎛ ⎝，()1,0,0B ，13B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭133AB ⎛= ⎝， 1131,0,,A B AB ⎛== ⎝ 1131,B C BC ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111B A n AB n ， 即33030y x ⎧=⎪⎪=⎪⎩所以可取(1,3,3n = 设m 是平面的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001111C B m B A ， 同理可取(1,3,3m =则71cos =⋅>=⋅<mn ，所以二面角111A A B C --的余弦值为17. 12分20. 解：(Ⅰ) 33106P =（4分） (Ⅱ) 由题意得0,1,2,3ξ=，于是ξ的分布列为ξ123P564242524241084248424（只写出正确分布列表格的扣4分） ξ的数学期望为()106E ξ=（12分） 21.（1）正视图如图所示.（注：不标中间实线扣1分）………………2分（2）证明：俯视图和侧视图，得︒=∠90CAB ， 3=DC ,2==AB CA ，2=EA ，1=BN ，⊥EA 平面ABC ,NB DC EA ////.取BC 的中点F ，连接FM 、EM ，则EA DC FM ////，且()221=+=DC BN FM …4分 ∴FM 平行且等于EA , ∴四边形EAFM 是平行四边形， ∴EM AF //，又AF ⊆平面ABC ，∴EM ⊆平面ABC .…………………………7分（3）解，以A 为原点，以A C的方向为x 轴的正方向，的方向为y 轴正方向，AE 的方向为z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则有A （0，0，0），E （0，0，2），B （0，2，0）， D （－2，0，3），N （0，2，1），C （－2，0，0）. 设ND =（－2，－2，2），NE =（0，－2，1），CB =（2，2，0），CN =（2，2，1）.假设在BC 边上存在点G 满足题意，(2,2,0),[0,1],(2,2,1)(2,2,0)(22,22,1).04410,,,882003[0,1].4CG CB GN CN CG GN NE GN NED GN ND λλλλλλλλλλλ==∈=-=-=--⎧⋅=-++=⎧⎪⊥∴⎨⎨-++=⋅=⎩⎪⎩=∈设则平面即解之得∴边BC 上存在点D ，满足CB CG 43=时，GN ⊥平面NED ………………12分22. (I ）解：依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故.11)1(-=+=y kx x k y 可化为 将x a y x y k x 消去代入,311222=+-=， 得.012)31(222=-+-+a y k y k①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点3)31(,0)1)(31(4422222>+>---=∆a ka kk 整理得，即.313222k k a +>… 5分 （II ）解：设).,(),,(2211y x B y x A 由①，得221312k ky y +=+因为212,2y y -==得，代入上式，得.31222k ky +-= ……………8分于是，△OAB 的面积 ||23||||21221y y y OC S =-⋅=23||32||331||32=≤+=k k k k 其中，上式取等号的条件是.33,132±==k k 即由.33,312222±=+-=y kk y 可得 将33,3333,3322=-=-==y k y k 及这两组值分别代入①，均可解出.52=a 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是.5322=+y x ………12分。

黑龙江省高二上学期期末考试含答案（数 学）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知命题“若p ，则q ”，假设其逆命题为真，则p 是q 的 （ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．既不是充分条件也不是必要条件D ．无法判断 2．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行编号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x ≠”是“2320x x -+≠”的充分不必要条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，2320x x -+≥”．3．已知,m n 是不重合的直线，βα,是不重合的平面，有下列命题① 若n m n //,=βα ，则βα//,//m m ； ② 若βα⊥⊥m m ,，则βα//；③ 若n m m ⊥,//α，则α⊥n ； ④ 若αα⊂⊥n m ,，则n m ⊥； 其中所有真命题的序号是 （ ） A ．②④ B. ②③ C. ①④ D. ①③4．若θ是任意实数，则方程224sin 1x y θ+=所表示的曲线一定不是 （ ） A ．直线 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆5．若对任意非零实数,a b ，若a b *的运算规则如右图的程序框图所示，则(32)4**的值是（ ）A ．1312B ．12C ．32 D ．9 6．已知命题p ：111<-x ，q ：2(1)0x a x a -++>，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,2] C ．(1,2] D ．[1,2)7．有下面的程序，运行该程序，要使输出的结果是30，在 处应添加的条件是 （ ） A ．12i > B ．10i > C ．14i = D ．10i =8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．37B ．7C ．13D ．210317+9．斜率为3的直线l 经过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F ， 且交抛物线于B A ,两点，若AB 中点到抛物线准线的距离为4， 则p 的值为 （ ）输入a ,b开始 结束输出ab 1- a ≤b ?输出ba 1+ 是 否A. 1B. 2C. 3D. 410．如图，12F F 、是双曲线2221(0)9x y b b -=>的左、右焦点，过1F的直线l 与双曲线分别交于点A B 、，若2ABF ∆为等边三角形，则12BF F ∆的面积为 （ ）A ．83B ．93C ．183D ．273 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，E F 、分别为棱1DD 和BC的中点，G 为棱11A B 上任意一点，则直线AE 与直线FG 所成的角为 （ ） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 12．如图，四棱锥P ABCD -中，90ABC BAD ∠=∠=，2BC AD =，PAB ∆和PAD ∆都是等边三角形，则直线PC 与平面ABCD 所成角的正切值为 （ ）A ．5B ．5C ．22 D ．2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置． 13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239,则=k ；14．已知抛物线245y x =-的焦点与椭圆2221(0)4x y a a +=>的一焦点重合，则该椭圆的离心率为 ；15．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如下表：零件数x （个） 18 20 22 加工时间y （分钟）273033现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆy bx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间 约为 分钟；16．底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥．如图，半球内有一内接正四棱锥S ABCD -，该四棱锥的体积为3，则该半球的体积为 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）；在以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程为2cos 2sin ρθθ=；（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若射线:(0)l y kx x =≥与曲线1C ，2C 的交点分别为,A B （,A B 异于原点），时，求||||OA OB ⋅的取值范围． 18. （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，直线lt 为参数）；现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8cos ρθ=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）过点(10)P -，且与直线l 平行的直线1l 交C 于,A B 两点； ①求||AB 的值； ②求||||PA PB +的值；③若线段AB 的中点为Q ，求||PQ 的值及点Q 的坐标．19．（本小题满分12分）某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，且将全班25人的成绩记为()25,,2,1 =i A i ,由右边的程序运行后,输出10=n .据此解答如下问题：（1）求茎叶图中破损处分数在[50，60），[70，80），[80，90）各区间段的频数； （2）利用频率分布直方图估计该班的数学测试成绩的众数，中位数，平均数分别是多少？20. （本小题满分12分） 在长方体1111ABCD A B C D -中，14AA AD ==，E 是棱CD 上的一点．（1）求证：1AD ⊥平面11A B D；（2）求证：11B E AD ⊥；（3）若E 是棱CD 的中点，在棱1AA 上是否存在点P ，使得//DP 平面1B AE？若存在，求出线段AP 的长；若不存在，请说明理由．Ni =i +1n =n +170≤A i <80?YY结束N开始 n =0，i =1输入A ii ≤25？输出n21．（本小题满分12分）已知平行四边形ABCD 中，2AB =，E 为AB 的中点，且△ADE 是等边三角形， 沿DE 把△ADE 折起至1A DE 的位置，使得12AC =．（1）F 是线段1A C 的中点，求证：//BF 平面1A DE ；（2）求证：1A D CE⊥；（3）求点1A 到平面BCDE 的距离．22. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个顶点为()2,0A 2，直线()1y k x =-与椭圆C 交于不同的两点M N 、两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）当AMN ∆的面积为425时，求k 的值．答案1—5 BDACC 6—10 DBACC 11—12 DA13. 3 14.15. 102 16.17.（1）1:2cosCρθ=，22:2 C x y=（2）[4,18.（1）:20l x y--=22:(4)16C x y-+=（2②③||2PQ=，35(,)22Q19.（1）2,10,4（2）众数75，中位数73.5，平均数73.8 20.（3）存在，2AP=21.（3）22.（1）22142x y+=（2）k=黑龙江省高二上学期期末考试含答案（数 学）一、选择题（每题5分，共60分）1．若复数12iz i=-+，则z 的虚部为（ ） A ．15i - B ．15- C ．15i D ．152.命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（ ）.A.不存在0x ∈R, 02x>0 B.存在0x ∈R, 02x ≥0C.对任意的x ∈R, 2x ≤0D.对任意的x ∈R, 2x>03．对某同学的6次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学数学成绩的以下说法：①中位数为84； ②众数为85；③平均数为85； ④极差为12．其中，正确说法的序号是( )A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④4．某高中共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生377370zA ．24B ．18C ．16D ．125．执行如图所示的程序框图，如果输出3=S ，那么判断框内应填入的条件是( )A ．k≤6 B．k≤7 C．k≤8 D．k≤9 6．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实根”的逆否命题为：“若方程20x x m +-=无实根，则0m ≤”B ．若p q ∧为假命题，则p ，q 均为假命题C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件D ．若椭圆251622y x +＝1的两焦点为F 1、F 2，且弦AB 过F 1点，则△ABF 2的周长为20． 7．已知具有线性相关的两个变量x ，y 之间的一组数据如下：且回归方程是6.295.0ˆ+=x y，则t=( ) A ．6．7 B ．6．6 C ．6．5 D ．6．48.若,{1,0,1,2}a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为（ ） A ．1316 B ．78 C ．34 D ．589．命题2:,10p x R ax ax ∀∈++≥，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(0,4] B ．[0,4] C ．(][),04,-∞⋃+∞ D ．()(),04,-∞⋃+∞ 10．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．2016B ．2C ．12D ．1- 11．在区间[0,1]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“1||2x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则 （ ）A ．123p p p <<B ．231p p p <<C ．312p p p <<D ．321p p p << 12.设02x π<<，则“2sin 1x x <”是“sin 1x x <”的 （ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 二、填空题（每题5分，共20分） 13．若复数z 满足11zi z-=+，则|1|z +的值为 ．14.已知111()1()23f n n n +=+++⋅⋅⋅+∈N ， 且27)32(,3)16(,25)8(,2)4(,23)2(>>>>=f f f f f ，推测当2n ≥时， 有_____________．15．用秦九韶算法计算函数43()2354f x x x x =++-当2x =时的函数值，其中2v = ．16．给出定义：若 1122m x m -<≤+（其中m 为整数），则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x ，即{}x m =．在此基础上给出下列关于函数{}()f x x x =-的四个命题： ①函数()y f x =的定义域是R ，值域是11(,]22-；②函数()y f x =的图像关于y 轴对称；③函数()y f x =的图像关于坐标原点对称；④ 函数()y f x =在11(,]22-上是增函数；则其中正确命题是 （填序号）．三、解答题（17题10分18-22每题12分）17. 某校200位学生期末考试物理成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100．（1）求图中a 的值;（2）根据频率分布直方图，估计这200名学生物理成绩的平均值和中位数．18. 为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表，平均每天喝500 ml 以上为常喝，体重超过50 kg 为肥胖．常喝 不常喝 合计 肥胖2 不肥胖18 合计 30已知在这30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整．（2）是否有99．5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由． P （K 2≥k 0） 0．150．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．001 k 0 2．072 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828 参考公式：K 2＝，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d ．19. 已知向量a →＝(2,1)，b →＝(x ，y)． 若x ∈[－1,2]，y ∈[－1,1]，求向量a →,b →的夹角是钝角的概率．20. 从某学校 的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm 和195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组［155，160），第二组［160，165）……第八组［190，195］．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部份，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．（Ⅰ）求第七组的频率；（Ⅱ）估计该校800名男生身高在180cm 以上（含180cm ）的人数；（Ⅲ）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记他们的身高分别为ycm xcm ,，事件{}5≤-=y x E ，事件{}15＞y x F -=，求概率()F P E ．21. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据x3 4 5 6 y 2．5 3 4 4．5（1221,n i ii n i i x y nx y b a y b x xnx ∧∧∧==-==--∑∑） （1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆy bx a =+；（2）已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤．试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？22.已知命题p ：1x 和2x 是方程2x mx 20－－＝的两个实根，不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立；命题q ：不等式2ax 2x 10>＋－有解，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求a 的取值范围.高二期末文数答案一、选择题DDCCB BAADB BB二、填空题 13.2 14.2(2)2n n f +> 15.14 16.①④ 三、解答题17. （1）0.005a = （2）73, 3271 18. （1）设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x 人，则＝，解得x ＝6．常喝 不常喝 合计 肥胖6 2 8 不肥胖4 18 22 合计10 20 30（2）由已知数据可得K 2＝≈8．523>7．879， 19. 1320.（Ⅰ）0.06；（Ⅱ） 144；（Ⅲ）715．. 21. （1）0.70.35y x ∧=+（2）19．6522. ∵12x x ，是方程2x mx 20－－＝的两个实根，∴1212x x m x x 2⋅＋＝，＝－，∴22121212|x x |(x x )4x x 8m -+－＝+＝， ∴当,1[]1m ∈－时，12||3max x x －＝， 4分由不等式212a 5a 3|x x |≥－－－对任意实数,1[]1m ∈－恒成立， 可得：2a 5a 33≥－－，∴61a a ≥≤或－， 6分∴命题p 为真命题时61a a ≥≤或－，若不等式2ax 2x 10>＋－有解，则 ①当0a >时，显然有解，②当0a =时，2ax 2x 10>＋－有解， ③当0a <时，∵2ax 2x 10>＋－有解，∴44a 01a 0∆>∴<<＝＋，－，所以不等式2ax 2x 10>＋－有解时1a >－.又∵命题q 是假命题，∴1a ≤－， 故命题p 是真命题且命题q 是假命题时，a 的取值范围为1a ≤－.。

高中二年级上册教学质量监测数学试卷(理科)一.选择题1.已知点A (1，0，2)与点B (1，-3，1)，则|AB |=( ) A.2B.6C.3D.102.直线y =3x -1的倾斜角是()A.30︒B.45︒C.60︒D.90︒3.简单随机抽样，系统抽样，分层抽样之间的共同特点是()A.都是每隔相同间隔从中抽取一个B.抽样过程中每个个体被抽取的机会相同C.将总体分成几层，分层进行抽取D.将总体分层几部分，按事先规定的要求在各部分抽取4.椭圆x 225+y 29=1的焦距是( ) A.8B.5 C.3 D.15.甲，乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，乙获胜的概率是12，则甲获胜的概率是( ) A.23B.12 C.16 D.17366.已知点(3，m )到直线x +3y -4=0的距离为1，则m =( ) A.3B.-3C.-3或33D.3或-337.命题“所有奇数的立方是奇数”的否定是( )A.所有奇数的立方不是奇数B.不存在一个奇数，它的立方是偶数C.存在一个奇数，它的立方是偶数D.不存在一个奇数，它的立方是奇数8.执行如图所示的程序框图，输出i 的值为()A.4B.3C.2D.19.“直线l 1：2x +(m +1)y +4=0与直线l 2：mx +3y -2=0平行”是“m =2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +6≥0x +y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( ) A.72B.60 C.48 D.3611.设圆C 1：x 2+y 2-10x +4y +25=0与圆C 2：x 2+y 2-14x +2y +25=0，点A ，B 分别是C 1，C 2上的动点，M 为直线y =x 上的动点，则|MA |+|MB |的最小值为( ) A.315-7B.313-7 C.52-4 D.53-412.已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x -4y =0交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF |+|BF |=4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( )A.(0，32]B.(0，34) C.[32，1)D.[34，1) 二.填空题 13.命题“若a =-1，则a 2=1”的逆命题是.14.把十进制数10化为二进制数为.15.过点P (2，3)，并且在两轴上的截距相等的直线方程是.16.已知椭圆x 22+y 2=1，点M 1，M 2，…，M 5为其长轴AB 的6等分点，分别过这5点作斜率为k (k ≠0)的一组平行线，交椭圆C 于P 1，P 2，…，P 10，则直线AP 1，AP 2，…AP 10这10条直线的斜率乘积为.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知两点A (-1，2)，B (1，0).(1).求直线AB 的斜率k 和倾斜角α；(2).求直线AB 在y 轴上的截距b .18.已知命题p ：x 2-2x -3≥0；命题q ：x 2-4x <0.若p 是真命题，q 是假命题，求实数x 的范围.19.某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取100人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下(单位：分)：[40，50)，4；[50，60)，6；[60，70)，20；[70，80)，30；[80，90)，24；[90，(1).列出频率分布表；(2).画出频率分布直方图；(3).估计本次考试成绩的中位数(精确到0.1)20.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.(1).若直线l：x+y=0与圆C交于A，B两点，求弦AB的长；(2).从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.21.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F(1，0)，O为坐标原点..(1).若椭圆短轴的两个三等分点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程；(2).过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若直线l绕点F任意选转，都有|OA|2+|OB|2<|O C|2，求a的取值范围.请在22、23 题中任选一题作答，作答时请写清题号.22.某公司租赁产甲，乙两种设备生产A、B两类产品，甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件，乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件，已知设备甲每天租赁费为200元，设备乙每天租赁费为300元，现该公司每天至少要生产A类产品50件，B类产品140件，每天所需租赁费最少为多少元？23.某校夏令营有3名男生A，B，C和3名女生X，Y，Z，其年级情况如下表：现从这6名学生中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(1).用表中字母列举出所有可能结果；(2).设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男生和1名女生”.求事件M发生的概率.。

数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆221259x y +=的离心率为（ ） A ．35 B ．45 C ．34 D ．532.下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2x y x = B ．23)y = C ．lg10x y = D ．22log y x =3.命题“x R ∀∈，()0f x >”的否定为（ ）A ．0x R ∃∈，()0f x >B ．x R ∀∈，()0f x <C ．0x R ∃∈，()0f x ≤D ．x R ∀∈，()0f x ≤4.已知x ，y 为正实数，则下列选项正确的是（ ）A ．lg lg lg lg 222x y x y +=+B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x y x y ⋅=+D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅5.在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 的值为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6.已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点，10(,)x x ∈-∞，20(,0)x x ∈，则（ ） A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x >，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x <，2()0f x > 7.函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（ ）A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞- 8.如图所示，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥平面111A B C ，主视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图周长为（ ）A ．8B ．4+C ．4+D ．9.某几何体的三视图如图所示，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π10.m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示平面，下列说法正确的个数是（ ） ①若m αβ=，n αγ=，且//m n ，则//βγ；②若m ，n 相交且都在α，β外，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ；③若l αβ=，//m α，//m β，//n α，//n β，则//m n ；④若//m α，//n α，则//m n ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.下列几个命题正确的个数是（ ）①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正根，一个负根，则0a <；②函数y =是偶函数，但不是奇函数；③函数(1)f x +的定义域是[]1,3-，则2()f x 的定义域是[]0,2；④一条曲线2|3|y x =-和直线y a =（a R ∈）的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1．A ．1B ．2C ．3D ．412.已知数列{}n a 满足3211n a n =-，前n 项的和为n S ，关于n a ，n S 叙述正确的是（ ）A ．n a ，n S 都有最小值B ．n a ，n S 都没有最小值C ．n a ，n S 都有最大值D ．n a ，n S 都没有最大值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正三棱台的上下底面的边长分别为2cm 和5cm ，侧棱长为5cm ，计算它的高为 ．14.设函数1()()lg 1f x f x x=+，则(10)f 的值为 ． 15.设lg 10a a +=，1010b b +=，则a b += ．16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 、O 为上、下底面的中心，在直线1D D 、1A D 、11A D 、11C D 、1O D 与平面1AB C 平行的直线有 条．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分10分）函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），且(2)(4)1f f -=．（1）若(32)(25)f m f m ->+，求实数m 的取值范围；（2）求使124()log 3f x x -=成立的x 的值． 18. （本小题满分12分）已知对任意1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x <，幂函数2322()p p f x x-++=（p Z ∈），满足12()()f x f x <，并且对任意的x R ∈，()()0f x f x --=．（1）求p 的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设()()(21)1g x qf x q x =-+-+，问：是否存在负实数q ，使得()g x 在(,4)-∞-上是减函数，且在[4,)-+∞上是增函数？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由．19. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2AD =，E 是BC 的中点．（1）证明：1//BB 平面1D ED ；（2）求三棱锥1A A DE -的体积．20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．（1）求证：//AP 平面BEF ；（2）求证：//GH 平面PAD ．21. （本小题满分12分）设函数()y f x =且lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-．（1）求()f x 的解析式，定义域；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的值域．22. （本小题满分12分）设函数2()22f x x tx =-+，其中t R ∈．（1）若1t =，且对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有12|()()|8f x f x -≤，求t 的取值范围．2016-2017虎林市高级中学高二学年期末考试数学（理）答案一、选择题1-5BCCDB 6-10CABCC 11、12：BA二、填空题cm 14.1 15.10 16.2三、解答题17.解：（1）由(2)(4)1f f -=，得12a =， 因为函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）为减函数且(32)(25)f m f m ->+，18.解：（1）由题意得知，函数是增函数，23022p p -++>，得到p 在(1,3)-之中取值，再由()()0f x f x --=，可知()f x 为偶函数，那么p 从0,1,2三个数验证， 得到1p =为正确答案，则2()f x x =．（2）()()(21)1g x qf x q x =-+-+2(21)1qx q x =-+-+，若存在负实数q ，使得()g x 在(,4)-∞-上是减函数，且在[4,)-+∞上是增函数，则对称轴2142q x q -==-，110q =与0q <不符， 故不存在符合题意的q ．19.（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ， 又∵1BB ⊄平面1D DE ，1DD ⊆平面1D DE ，∴直线1//BB 平面1D DE ．（2）解：∵该几何体为长方体，∴1AA ⊥面ADE ， ∴11113A A DE A ADE ADE V V AA S --∆==⨯111112323=⨯⨯⨯⨯=． 20.证明：（1）连接EC ，∵//AD BC ，12BC AD =， ∴BC AE =，//BC AE ，∴四边形ABCE 是平行四边形，∴O 为AC 的中点．又∵F 是PC 的中点，∴//FO AP ，又∵FO ⊂平面BEF ，AR ⊄平面BEF ，∴//AP 平面BEF ．（2）连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴//FH PD ， 又∵PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ，∴//FH 平面PAD ．又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴//OH AD ，AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ， ∴//OH 平面PAD ．又∵FH OH H =，∴平面//OHF 平面PAD ，又∵GH ⊂平面OHF ，∴//GH 平面PAD .21.解：（1）∵lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-，∴[]lg(lg )lg3lg(3)lg 3(3)y x x x x =+-=-，(03)x <<， ∴lg 3(3)y x x =-，∴3(3)()10x x f x -=，(0,3)x ∈．（2）由（1）可知，3(3)()10x x f x -=，(0,3)x ∈，令3(3)u x x =-23273()24x =--+， 对称轴为32x =，根据二次函数的性质，u 在3(0,]2上单调递增，在3[,3)2上单调递减， ∵10u y =是R 上的增函数，∴()f x 在3(0,]2上单调递增，在3[,3)2上单调递减． ∴当0x =，3时，()f x 取最小值1；当32x =时，()f x 取最大值27410． 故函数()f x 的值域为274(1,10].22.解：∵222()22()2f x x tx x t t =-+=-+-，∴()f x 在区间(,]t -∞上单调递减，在区间[,)t +∞上单调递增，且对任意的x R ∈，都有()()f t x f t x +=-． （1）“对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤”等价于“在区间[],2a a +上，max ()5f x ≤”． 若1t =，则2()(1)1f x x =-+，所以()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增． 当11a ≤+，即0a ≥时，由2max ()(2)(1)15f x f a a =+=++≤，得31a -≤≤， 从而01a ≤≤；当11a >+，即0a <时，由2max ()()(1)15f x f a a ==-+≤，得13a -≤≤， 从而10a -≤<．综上，a 的取值范围为[]1,1-．（2）设函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为M ，最小值为m ， 所以“对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有12|()()|8f x f x -≤”等价于“8M m -≤”． ①当0t ≤时，(4)188M f t ==-，(0)2m f ==．由18821688M m t t -=--=-≤，得1t ≥，从而t ∈∅； ②当02t <≤时，(4)188M f t ==-，2()2m f t t ==-，由222188(2)816(4)8M m t t t t t -=---=-+=-≤，44t -≤≤+从而42t -≤≤；③当24t <≤时，(0)2M f ==，2()2m f t t ==-，由222(2)8M m t t -=--=≤，得t -≤≤2t <≤ ④当4t >时，(0)2M f ==，(4)188m f t ==-， 由2(188)8168M m t t -=--=-≤，得3t ≤，从而t ∈∅．综上，t 的取值范围为4⎡-⎣．。

2020-2021学年黑龙江省高二上学期学业水平考试数学（理）试题一、单选题1．设有直线()31y k x =-+，当k 变动时，所有直线都经过定点（ ） A ．（0，0） B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）【答案】C【分析】将原直线方程变形为点斜式方程，即可知所有直线都经过定点()3,1． 【详解】原直线方程变形为()13y k x -=-，根据点斜式方程可知，所有直线都经过定点()3,1． 故选：C ．【点睛】本题主要考查直线系过定点问题的解法，属于基础题．2．双曲线2214y x -=的渐近线方程为（ ）． A ．12y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．4y x =±【答案】B【分析】由双曲线方程的渐近线为by x a=±，结合标准方程即可得渐近线方程. 【详解】由双曲线方程知：渐近线为2by x x a=±=±， 故选：B3．无论θ为何值，方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线不可能为（ ） A ．双曲线 B ．抛物线C ．椭圆D ．圆【答案】B【分析】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=时，方程表示直线；当10cos 3θ<<或1cos 13θ<≤时，方程表示椭圆；当1cos 3θ=时，方程表示圆；当1cos 0θ-≤<时，方程表示双曲线.【详解】因为1cos θ1，所以当cos 0θ=，即2k πθπ=+，k Z ∈时，方程化为1x =±，表示两条直线；当10cos 3θ<<时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在y 轴上的椭圆； 当1cos 3θ=时，方程化为221x y +=表示圆； 当1cos 13θ<≤时，方程化为22113cos y x θ+=表示焦点在x 轴上的椭圆； 当1cos 0θ-≤<时，方程化为22113cos y x θ-=-表示焦点在x 轴上的双曲线. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查方程223cos 1x y θ+⋅=所表示的曲线的判断，解题关键是判断3cos θ的符号以及与1的大小关系的判断，按照五种情况分类讨论即可得解.4．设实数x ，y 满足约束条件x y 203x y 60y 3--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则yx 的最大值是（ ）A ．35B ．53C ．2D ．3【答案】D【分析】画出可行域,根据目标函数yz x=表示动点P 与原点所确定直线的斜率求解. 【详解】由实数x ，y 满足约束条件x y 203x y 60y 3--≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，画出可行域如图所示：目标函数yz x=表示动点P 与原点所确定直线的斜率， 当点P 为点()1,3C 时，目标函数取得最大值，最大值是3，故选：D5．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的左右焦点1F 、2F ，椭圆1C 的离心率为1e ，双曲线2C 的离心率为2e ，两曲线的一个公共点为点P ，且满足1122:3:4::6PF F F PF =，则12e e 的值为（ ） A ．3 B ．17C ．7D ．13【答案】D【分析】根据题意，由双曲线与椭圆的定义，结合离心率的概念，分别求出1e ，2e ，即可得出结果.【详解】因为1122:3:4::6PF F F PF =，不妨令13PF m =，124F F m =，26PF m =，因为点P 是椭圆与双曲线位于第二象限的交点，记椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a ，两曲线的焦距为122F F c =，根据椭圆与双曲线的定义可得：12129PF PF a m ==+，21223PF PF a m ==-， 因此11244299c m e a m ===，22244233c m e a m ===， 所以12419433e e ==. 故选：D.6．已知P 为抛物线28y x =上任意一点，抛物线的焦点为F ，点()3,1A 是平面内一点，则PA PF +的最小值为（ ） AB ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据条件作出图示，根据抛物线的定义将PF 转化为P 到准线的距离，然后根据三点共线求解出PA PF +的最小值.【详解】根据已知条件出图示如下，过P 作PP '⊥准线，且准线方程2x =-， 所以PA PF PP PA '+=+，所以当,,P P A '三点共线时，此时PP PA '+有最小值，即PA PF +有最小值， 所以()minPA PF AP '+=，且()2,1P '-，()3,1A ， 所以()min5PA PF AP '+==，故答案为：D.【点睛】思路分析：利用抛物线的定义求解抛物线上的点到定点和焦点的距离之和或差的最值问题的思路：（1）将抛物线上的点到焦点的距离转变为到准线的距离； （2）利用三点共线分析距离之和或者距离之差的最值.7．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，且AB 的中点为()2,1M ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2 B ．12C ．14D 3【答案】A【分析】根据椭圆方程，求得FP l bk k c==-，设()()1111,,,A x y B x y ，然后利用点差法得到()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，再根据AB 的中点为()2,1M 得到222b b c a-=-求解.【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，所以点(),0F c -为左焦点，点()0,P b -， 因为直线l 平行于FP ，所以FP l bk k c==-，设()()1111,,,A x y B x y ， 因为AB 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：()()2121221212b x x y y x x a y y +-=--+，又因为AB 的中点为()2,1M ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以()22244cac a -= ，即424410e e -+=，解得212e =，又01e <<，所以2e =， 故选：A【点睛】方法点睛：求解直线与椭圆的位置关系的常规方法：先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线左支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．[)2,+∞ C ．()1,2 D ．()2,+∞【答案】B【分析】根据过点F 且倾斜角为60︒的直线的斜率与渐近线by x a=的斜率的大小关系列式可解得结果.【详解】过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线左支有且只有一个交点，等价于tan 60b a≤， 即3b a ≥，所以离心率22222c c a b e a a a +===21b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭132≥+=. 所以此双曲线的离心率的取值范围是[)2,+∞. 故选：B【点睛】关键点点睛：将问题转化为过点F 且倾斜角为60︒的直线的斜率与渐近线by x a=的斜率的大小关系求解是解题关键. 9．若关于x 的方程21x 3kx k =-+-恰有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】转化为函数(1)3y k x =-+与函数21y x =-的图象恰有两个交点，作出函数的图象，利用,MA MB 的斜率可求得结果.【详解】因为关于x 的方程21x 3kx k =-+-恰有两个实数根， 所以函数(1)3y k x =-+与函数21y x =-的图象恰有两个交点，即直线(1)3y k x =-+与半圆21y x =-恰有两个交点，如图：直线(1)3y k x =-+经过定点(1,3)M ，当直线(1)3y k x =-+与半圆y A 时，1=，解得43k =，当直线(1)3y k x =-+经过点(1,0)B -时，32k，所以满足函数(1)3y k x =-+与函数y =k 的范围为43,32⎛⎤ ⎥⎝⎦. 故选：B【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求.10．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且8FA FB ⋅=，则AB =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立得1212,y y y y +，求出1212,x x x x +，根据抛物线定义化简8FA FB ⋅=解得21t =，由||||||AB AF BF =+可得结果.【详解】由24y x =得2p =，所以(1,0)F ，准线为1x =-，设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ty --=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则124y y t +=，124y y =-，所以21212()242x x t y y t +=++=+，222121212()14416y y y y x x =⨯==，因为1||1AF x =+，2||1BF x =+，8FA FB ⋅=， 所以12(1)(1)8x x ++=，所以121218x x x x +++=，所以214218t +++=，即21t =，所以12426x x +=+=， 所以1212||||||112628AB AF BF x x x x =+=+++=++=+=. 故选：C【点睛】关键点点睛：利用抛物线的定义将||AF 和|BF |转化为,A B 到准线的距离求解是解题关键.11．如图所示，一隧道内设有双行线公路，其截面由一个长方形的三条边和抛物线的一段构成.为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m ，已知行车道总宽度()7m AB =，则车辆通过隧道的限制高度为（ ）A ．4.00mB ．4.05mC ．4.10mD ．4.15m【答案】B【分析】以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，利用点(5,5)C -在抛物线上，可求得抛物线方程，利用D 的坐标可求得结果. 【详解】以隧道的顶点为原点O ，其对称轴所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(如图)，依题意，设该抛物线的方程为22(0)x py p =->， 因为点(5,5)C -在抛物线上，所以2510p =，解得52p =， 所以该抛物线的方程为25x y =-. 设车辆高h 米，则|DB |＝h ＋0.5，故D (3.5，h －6.5)，代入方程x 2＝－5y ，解得h ＝4.05， 所以车辆通过隧道的限制高度为4.05米. 故选：B【点睛】方法点睛：抛物线的应用的主要解题步骤：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程；(2)利用方程求点的坐标.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为1F 、2F ，离心率为34，P 为椭圆上的一点，1223F PF π∠=.设12F PF △的外接圆和内切圆半径分别为R ，r ，则Rr 的比值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】根据椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，设4,3a t c t ==，在12F PF △中，由正弦定理求得R ，利用余弦定理和等面积法求得r 即可.【详解】因为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，所以设4,3a t c t ==，又P 为椭圆上的一点，1223F PF π∠=， 所以在12F PF △中，由正弦定理得：622sin3tR π==，解得R =， 由余弦定理得：()()2222121212121222cos3F F PF PF PF PF PF PF PF PF π=+-⋅⋅=+-⋅， 又1228PF PF a t +==，所以22123664t t PF PF =-⋅，解得21228PF PF t ⋅=， 所以()()12121211sin 22862322PF F S PF PF a c r t t r π=⋅=+⋅=+⋅，解得r =，2Rr=,故选：A二、填空题13．动圆M 过点()0,1-且与直线1y =相切，则圆心M 的轨迹方程为______. 【答案】24x y =-【分析】设动圆的圆心为(,)M x y ，利用已知条件列出方程，即可求解. 【详解】设动圆的圆心为(,)M x y ，因为动圆M 过点(0,1)-且与直线1y =相切，1y =-，整理得240x y +=， 即动圆的圆心M 的轨迹出为24x y =-. 故答案为：24x y =-.14．若圆224x y +=与圆222210x y mx m +-+-=相外切，则实数m =_____． 【答案】3±【详解】224x y +=的圆心(0,0)，半径为2，222210x y mx m +-+-=的圆心(,0)m ，半径为1两圆外切，所以||33m m =±∴=± 【解析】两圆相切的位置关系15．已知抛物线C ：()220y px p =->的焦点为F ，()01,M y -是抛物线上一点，过点M 向抛物线C 的准线引垂线，垂足为D ，若MDF △为等边三角形，则p =______. 【答案】23【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出,M D 的坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的性质，得出方程，求得p 的值.【详解】由题意，抛物线C ：()220y px p =->的焦点为(,0)2pF -，准线方程:2p l x =，因为()01,M y -是抛物线上一点，则202y p =，由题意可得(2D p， 因为MDF △为等边三角形，则有MF MD FD ==, 即有122pp +=，解得23p =. 故答案为：23. 【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点(,)P x y 到焦点F 的距离：2PF p x =+或2PF p y =+. 16．双曲线n C ：2221y nx n -=+（*n ∈N ，且2020n ≤），点n P 在双曲线上且在第一象限，其横坐标为2，由n P 向n C 的两条渐近线作垂线，垂足分别为n M ，n N .设n n n P M N △的面积为n a ，则1232020a a a a ++++=______.【答案】5052021【分析】设出()02,n P y ，依次表示出n n P M 、n n P N 的长度，求出n n n P M N △的面积，即可求解.【详解】由题意可得：双曲线的渐近线方程为：y x =±，即0x y +=，0x y -=， 两条渐近线互相垂直，设()02,n P y 是双曲线上的点，则20214y n n-=+， ()00,n P x y 到两条渐近线的距离分别为：n n P M =，n n P N =，且n n n n P M P N ⊥，所以n n n P M N △的面积为20411224n n n n y P M P N -⨯⨯==211111441n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以11141n n n a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 所以12320201111111422320202021a a a a ⎛⎫++++=-+-++- ⎪⎝⎭1112020505142021420212021⎛⎫=-=⨯= ⎪⎝⎭， 故答案为：5052021【点睛】关键点点睛：本题的关键点是两条渐近线0x y +=，0x y -=互相垂直，求出n n P M、n n P N 的长度，n n n P M N △的面积为20411224n n n n y P M P N -⨯⨯==211111441n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，可得11141n n n a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，即可求和.三、解答题17．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的实轴长为4，一条渐近线方程为y x =.（1）求双曲线C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-与双曲线C 相交于不同两点，求实数k的取值范围.【答案】（1）22143x y -=；（2）11k -<<且k ≠【分析】（1）根据渐近线方程以及实轴长度求解出,ab 的值，则双曲线的方程可求； （2）联立双曲线与直线l 的方程，利用0∆>并结合2340k -≠求解出k 的取值范围.【详解】解：（Ⅰ）由条件可知24a b a=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以2243a b ⎧=⎨=⎩，所以双曲线C 的方程为：22143x y -=； （Ⅱ）因为()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨-=⎪⎩，所以()2223484120k x kx k -+--=，因为l 与双曲线交于不同两点，所以()()2222340644344120k k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩， 所以解得：11k -<<且k ≠±． 【点睛】关键点点睛：本题中的第二问，解答问题的关键是通过联立方程分析∆与0的关系完成问题求解.18．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线y x m =+与椭圆C 交于A ，B 两点，求AB 的最大值.【答案】（1）22195x y +=；（2）max7AB =. 【分析】（1）由题意得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，求出,a c ，从而可求出b 的值，进而可得椭圆C 的方程；（2）设()()1122,,A x y B x y ，直线方程与椭圆方程联立方程组，消去y ，利用根与系数的关系得1297m x x +=- 21294514m x x -=，再利用弦长公式可得AB ==【详解】解：（1）由题意可得2623a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得3,2a c ==，所以2225b a c ，所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）设()()1122,,A x y B x y222214189450195y x mx mx m x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩，由22(18)414(945)0m m ∆=-⨯⨯->，得2140m -<1297m x x +=-， 21294514m x x -=77AB ∴==≤所以当0m =时，maxAB =． 19．已知F 是抛物线C ：()220y px p =>的焦点，()3,M t 是抛物线上一点，且4MF =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若4OA OB ⋅=-（O 为坐标原点），则直线l 是否会过某个定点？若是，求出该定点坐标，若不是，说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2）直线l 会过定点；定点为()2,0.【分析】（1）根据抛物线的定义可知3()42p--=,求出p 后可得抛物线方程； （2）直线:l x ny m =+，与抛物线方程联立得12y y +和12y y ，求出12x x ，由4OA OB ⋅=-得12124x x y y +=-，化简可解得2m =，从而可得:2l x ny =+过定点()2,0.【详解】（1）由22y px =可知抛物线的准线方程为2px =-， 因为||4MF =，根据抛物线的定义可知3()42p--=，所以2p =， 所以抛物线C 的方程为24y x =.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，直线:l x ny m =+，联立24x ny m y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理得2440y ny m --=所以121244y y ny y m +==-，所以1212()()x x ny m ny m =++221212()n y y mn y y m =+++由4OA OB ⋅=-得12124x x y y +=-，所以22121212()4n y y mn y y m y y ++++=-，所以()()222121140n y mn y y y m +++++=，所以2224(1)440m n mn m -++++=， 所以2440m m -+=，2m ∴=:2l x ny ∴=+，恒过()2,0．【点睛】关键点点睛：设直线:l x ny m =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理化简4OA OB ⋅=-,求出2m =是解题关键.20．已知圆1C ：()2218x y ++=关于直线1l ：122y x =-对称的图形为圆C . （1）求圆C 的方程；（2）直线l ：()1y k x =-，()1k >与圆C 交于E ，F 两点，若OEF （O 为坐标原l 的方程.【答案】（1）22(1)(4)8-++=x y ，（2）1)y x =-【分析】（1）设圆C 的圆心为(,)C a b ，则由题意得11222201112b a b a -⎧=⋅-⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩，求出,a b 的值，从而可得所求圆的方程；（2）设圆心C 到直线l ：()1y k x =-的距离为1d ，原点O 到直线l ：()1y k x =-的距离为2d，则有12d d ==，EF =OEF 的面积k 的值，进而可得直线方程【详解】解：（1）设圆C 的圆心为(,)C a b ，由题意可得1(1,0)C -， 则1CC 的中点坐标为1(,)22a b-， 因为圆1C ：()2218x y ++=关于直线1l ：122y x =-对称的图形为圆C ，所以11222201112b a b a -⎧=⋅-⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，因为圆1C 和圆C的半径相同，即r = 所以圆C 的方程为22(1)(4)8-++=x y ，（2）设圆心C 到直线l ：()1y k x =-的距离为1d ，原点O 到直线l ：()1y k x =-的距离为2d ，则12d d ==，EF =所以2212OEFSEF d d =⋅⋅==所以22216(8)311k k k -⋅=++，解得23k =，因为1k >，所以k =所以直线l的方程为1)y x =-【点睛】关键点点睛：此题考查圆的方程的求法，考查直线与圆的位置关系，解题的关键是利用点到直线的距离公式表示出圆心C 到直线l 的距离为1d ，原点O 到直线l 的距离为2d，再表示出EF =OEF2d =k 的值，问题得到解决，考查计算能力，属于中档题21．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为()1F，)2F，且过点12⎫⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆的上顶点为B ，过点()2,1--作直线交椭圆于M ，N 两点，记直线MB ，NB 的斜率分别为MB k ，NB k ，试判断MB NB k k +是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为1，理由见解析.【分析】（1）由题意，得出关于,,a b c 的方程组，求得,a b 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线MN 的方程为()12y k x +=+，联立方程组()221214y k x x y ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，利用根与系数的关系，得到1212,x x x x +，结合斜率公式进行计算，即可求得MB NB k k +是为定值.【详解】（1）椭圆C ：22221x y a b+=的焦点为()1F，)2F ，且过点12⎫⎪⎭，可得222223114c a b c a b ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎩，解得2,1a b ==，所以椭圆的方程为2214x y +=.（2）由（1）可得点()0,1B ，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为()12y k x +=+，联立方程组()221214y k x x y ⎧+=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()()22148211610k x k k x k k ++-+-=， 所以()()121222821161,1414k k k k x x x x k k --+=-=++， 则()()()()12121212121212222221 1 2MB NB kx x k x x k x x y y k k k x x x x x x +-+-+--+=+==+ 2(1)8(21)22(21)116(1)k k k k k k k k -⨯-=+=--=-，所以MB NB k k +是为定值1.【点睛】有关直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知过原点的三条直线与抛物线1E ：24y x =依次交于1A ，1B ，1C 三点，同样这三条直线与抛物线2E ：2y x =依次交于2A ，2B ，2C 三点. （1）试判断直线11A B 与22A B 的位置关系，并证明；（2）试判断111A B C △与222A B C △的面积比是否为定值，若是求出此定值，若不是请说明理由；（3）若11A B 与11A C 都与抛物线3E ：24x y =相切，求证11B C 也和3E 相切.【答案】（1）11A B 与22A B 平行；证明见解析；（2）是定值；11222116A B C A B C S S =△△；（3）证明见解析.【分析】（1）设三条直线1y k x =，2y k x =，3y k x =，联立直线与抛物线方程，即可求出1A ，1B ，2A ，2B 的坐标，再求出直线11A B 与22A B 的斜率，即可判断直线11A B 与22A B 的关系；（2）由（1）可得1122//A C A C ，1122//B C B C ，从而可得111222A B C A B C ∽△△，即可求出其面积之比； （3）依题意可得11122121144:A B k k l y x k k x k ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，联立直线与抛物线方程，消元，根据0∆=，即可得到222211440k k k k ++=，则2k ，3k 是2211440k k k k ++=的根，即可得到222332440k k k k ++=，从而得证；【详解】解：（1）设三条直线1y k x =，2y k x =，3y k x =11221144,4y k xA y x k k ⎧=⎛⎫⎪⇒⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩同理122244,B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 12221111,y k xA y x k k ⎧=⎛⎫⎪⇒⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩同理222211,B k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 因为1121212211224444A B k k k k k k k k k -+-==，2221212211221111A B k k k k k k k k k -+-== ∴1122A B A B k k =，即11A B 与22A B 平行.（2）由（1）可知1122//A B A B ，1122//A C A C ，1122//B C B C ∴111222A B C A B C ∽△△因为11224A B A B =，所以11222116A B C A B C S S =△△. （3）依题意可得11122121144:A B k k l y x k k x k ⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭，113232B C k k k k k =+ 联立方程得111221211244:4A B k k l y x k k x k x y ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪+⎨⎝⎭⎪=⎩，消元y 整理得21212124160k k x x k k k k --=++因为0∆=，211222440k k k k ∴++=同理221331440k k k k ++=所以2k ，3k 是2211440k k k k ++=的根. 所以23214k k k +=-，2314k k k = ∴222332440k k k k ++= ∴33B C 和E 相切【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12AB x x p =++，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．。

数学（理） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.椭圆221259x y +=的离心率为（ ） A ．35B ．45C ．34D ．532.下列函数中，与函数y x =相同的函数是（ ）A ．2x y x=B ．23)y =C ．lg10xy =D ．22log y x =3.命题“x R ∀∈，()0f x >”的否定为（ ） A ．0x R ∃∈，()0f x > B ．x R ∀∈，()0f x < C ．0x R ∃∈，()0f x ≤D ．x R ∀∈，()0f x ≤4.已知x ，y 为正实数，则下列选项正确的是（ ） A ．lg lg lg lg 222x yx y +=+ B ．lg()lg lg 222x y x y +=⋅C ．lg lg lg lg 222x yx y ⋅=+D ．lg()lg lg 222xy x y =⋅5.在ABC ∆中，若222b c a bc +-=，则角A 的值为（ ） A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6.已知0x 是11()()2x f x x=+的一个零点，10(,)x x ∈-∞，20(,0)x x ∈，则（ ） A ．1()0f x <，2()0f x < B ．1()0f x >，2()0f x > C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x <，2()0f x >7.函数322()(6)f x x x =--的单调递减区间为（ ） A ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．13,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．1[,)2-+∞D ．1(,]2-∞-8.如图所示，水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥平面111A B C ，主视图是边长为2的正方形，则该三棱柱的左视图周长为（ ）A ．8B ．4+C ．4+D ．9.某几何体的三视图如图所示，该几何体的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积是（ ）A ．2πB ．4πC ．8πD ．16π10.m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示平面，下列说法正确的个数是（ ） ①若m αβ=，n αγ=，且//m n ，则//βγ；②若m ，n 相交且都在α，β外，//m α，//m β，//n α，//n β，则//αβ； ③若l αβ=，//m α，//m β，//n α，//n β，则//m n ；④若//m α，//n α，则//m n ． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个11.下列几个命题正确的个数是（ ）①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正根，一个负根，则0a <；②函数y =是偶函数，但不是奇函数；③函数(1)f x +的定义域是[]1,3-，则2()f x 的定义域是[]0,2；④一条曲线2|3|y x =-和直线y a =（a R ∈）的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． A ．1B ．2C ．3D ．412.已知数列{}n a 满足3211n a n =-，前n 项的和为n S ，关于n a ，n S 叙述正确的是（ ）A ．n a ，n S 都有最小值B ．n a ，n S 都没有最小值C ．n a ，n S 都有最大值D ．n a ，n S 都没有最大值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.正三棱台的上下底面的边长分别为2cm 和5cm ，侧棱长为5cm ，计算它的高为 ．14.设函数1()()lg 1f x f x x=+，则(10)f 的值为 ． 15.设lg 10a a +=，1010b b +=，则a b += ．16.如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 、O 为上、下底面的中心，在直线1D D 、1A D 、11A D 、11C D 、1O D 与平面1AB C 平行的直线有 条．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）函数()log a f x x =（0a >，1a ≠），且(2)(4)1f f -=． （1）若(32)(25)f m f m ->+，求实数m 的取值范围； （2）求使124()log 3f x x-=成立的x 的值．18. （本小题满分12分）已知对任意1x 、2(0,)x ∈+∞且12x x <，幂函数2322()p p f x x-++=（p Z ∈），满足12()()f x f x <，并且对任意的x R ∈，()()0f x f x --=．（1）求p 的值，并写出函数()f x 的解析式；（2）对于（1）中求得的函数()f x ，设()()(21)1g x qf x q x =-+-+，问：是否存在负实数q ，使得()g x 在(,4)-∞-上是减函数，且在[4,)-+∞上是增函数？若存在，求出q 的值；若不存在，说明理由． 19. （本小题满分12分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，11AB AA ==，2AD =，E 是BC 的中点． （1）证明：1//BB 平面1D ED ； （2）求三棱锥1A A DE -的体积．20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC AD ==，E ，F ，H 分别为线段AD ，PC ，CD 的中点，AC 与BE 交于O 点，G 是线段OF 上一点．（1）求证：//AP 平面BEF ； （2）求证：//GH 平面PAD ．21. （本小题满分12分）设函数()y f x =且lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-． （1）求()f x 的解析式，定义域；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的值域． 22. （本小题满分12分）设函数2()22f x x tx =-+，其中t R ∈．（1）若1t =，且对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤，求实数a 的取值范围； （2）若对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有12|()()|8f x f x -≤，求t 的取值范围．2016-2017虎林市高级中学高二学年期末考试数学（理）答案一、选择题1-5:BCCDB 6-10:CABCC 11、12：BA 二、填空题cm 14.1 15.10 16.2 三、解答题17.解：（1）由(2)(4)1f f -=，得12a =， 因为函数()log a f x x =（0a >，1a ≠）为减函数且(32)(25)f m f m ->+，18.解：（1）由题意得知，函数是增函数，23022p p -++>，得到p 在(1,3)-之中取值，再由()()0f x f x --=，可知()f x 为偶函数，那么p 从0,1,2三个数验证， 得到1p =为正确答案，则2()f x x =．（2）()()(21)1g x qf x q x =-+-+2(21)1qx q x =-+-+，若存在负实数q ，使得()g x 在(,4)-∞-上是减函数，且在[4,)-+∞上是增函数，则对称轴2142q x q -==-，110q =与0q <不符，故不存在符合题意的q ．19.（1）证明：在长方体1111ABCD A B C D -中，11//BB DD ， 又∵1BB ⊄平面1D DE ，1DD ⊆平面1D DE ， ∴直线1//BB 平面1D DE ． （2）解：∵该几何体为长方体， ∴1AA ⊥面ADE ， ∴11113A A DE A ADE ADE V V AA S --∆==⨯111112323=⨯⨯⨯⨯=． 20.证明：（1）连接EC ， ∵//AD BC ，12BC AD =， ∴BC AE =，//BC AE ， ∴四边形ABCE 是平行四边形， ∴O 为AC 的中点． 又∵F 是PC 的中点， ∴//FO AP ，又∵FO ⊂平面BEF ，AR ⊄平面BEF ， ∴//AP 平面BEF ． （2）连接FH ，OH ，∵F ，H 分别是PC ，CD 的中点，∴//FH PD ， 又∵PD ⊂平面PAD ，FH ⊄平面PAD ， ∴//FH 平面PAD ．又∵O 是BE 的中点，H 是CD 的中点，∴//OH AD ，AD ⊂平面PAD ，OH ⊄平面PAD ， ∴//OH 平面PAD ． 又∵FHOH H =，∴平面//OHF 平面PAD ，又∵GH ⊂平面OHF ， ∴//GH 平面PAD .21.解：（1）∵lg(lg )lg3lg(3)y x x =+-，∴[]lg(lg )lg3lg(3)lg 3(3)y x x x x =+-=-，(03)x <<， ∴lg 3(3)y x x =-， ∴3(3)()10x x f x -=，(0,3)x ∈．（2）由（1）可知，3(3)()10x x f x -=，(0,3)x ∈，令3(3)u x x =-23273()24x =--+， 对称轴为32x =，根据二次函数的性质，u 在3(0,]2上单调递增，在3[,3)2上单调递减， ∵10uy =是R 上的增函数，∴()f x 在3(0,]2上单调递增，在3[,3)2上单调递减．∴当0x =，3时，()f x 取最小值1；当32x =时，()f x 取最大值27410．故函数()f x 的值域为274(1,10].22.解：∵222()22()2f x x tx x t t =-+=-+-，∴()f x 在区间(,]t -∞上单调递减，在区间[,)t +∞上单调递增，且对任意的x R ∈，都有()()f t x f t x +=-．（1）“对任意的[],2x a a ∈+，都有()5f x ≤”等价于“在区间[],2a a +上，max ()5f x ≤”． 若1t =，则2()(1)1f x x =-+，所以()f x 在区间(,1]-∞上单调递减，在区间[1,)+∞上单调递增．当11a ≤+，即0a ≥时，由2max ()(2)(1)15f x f a a =+=++≤，得31a -≤≤，从而01a ≤≤；当11a >+，即0a <时，由2max ()()(1)15f x f a a ==-+≤，得13a -≤≤，从而10a -≤<．综上，a 的取值范围为[]1,1-．（2）设函数()f x 在区间[]0,4上的最大值为M ，最小值为m ，所以“对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有12|()()|8f x f x -≤”等价于“8M m -≤”． ①当0t ≤时，(4)188M f t ==-，(0)2m f ==． 由18821688M m t t -=--=-≤，得1t ≥，从而t ∈∅； ②当02t <≤时，(4)188M f t ==-，2()2m f t t ==-，由222188(2)816(4)8M m t t t t t -=---=-+=-≤，44t -≤≤+42t -≤≤；③当24t <≤时，(0)2M f ==，2()2m f t t ==-，由222(2)8M m t t -=--=≤，得t -≤≤2t <≤； ④当4t >时，(0)2M f ==，(4)188m f t ==-，由2(188)8168M m t t -=--=-≤，得3t ≤，从而t ∈∅．综上，t 的取值范围为4⎡-⎣．。

2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题 理一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．双曲线2228x y -=的实轴长是( ) A ．2B ．22C ．4D ．423．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( ) A ．16B ．13C ．23D ．14．已知函数xxe x f =)(的导函数为)(x f '，则0)(>'x f 的解集为( ) A ．)1,(--∞ B ．),0(+∞ C ．),1(+∞-D ．)0,(-∞5．函数)(x f y =的导函数)('x f y =的图象如图所示，则函数)(x f y =的图象可能是( )6．直线01=-+y ax 平分圆0134222=-+-+y x y x 的面积，则a =（ ）A ．1B ．3C ．3D ．27．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（ ） A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -=8．若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在)1(∞+-，上是减函数，则b 的取值范围是（ ） A ．[)+∞-,1 B ．()+∞-,1C ．(]1,-∞-D ．()1,-∞-9．如图，已知直线与抛物线)0(22>=p px y 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB,OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标（4，2），则p=( )。

A ．3 B ．45C ．52D ．410．函数的1222131)(23++-+=a ax ax ax x f 图像经过四个象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．163->a B ．16356-≤≤-a C ．56->aD ．16356-<<-a 11．已知椭圆：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点分别为21F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与椭圆交于Q 。

高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的〕1．〔5分〕两个整数1908和4187的最大公约数是〔〕A．53 B．43 C．51 D．672．〔5分〕要从已编号〔1～70〕的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是〔〕A．5，10，15，20，25，30，35B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7 D．1，8，15，22，29，36，433．〔5分〕以下各组事件中，不是互斥事件的是〔〕A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于 6B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率70%高于70%与合格率为4．〔5分〕=〔〕A．B．C．D．5．〔5分〕执行如图的程序框图，那么输出的S值是〔〕A．54 B．56 C．90D．180 6．〔5分〕某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，假设其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有〔 〕 A ．5种B ．6种C ．63种 D ．64种7．〔5分〕随机调查某校 50个学生在学校的午餐费，结果如表： 餐费〔元〕 6 7 8 人数 10 20 20这50个学生的午餐费的平均值和方差分别是〔 〕A ．，B ．，C ．7，D ．7，8．〔5分〕一名老师和四名学生站成一排照相，学生请老师站在正中间，那么不同的站法为〔 〕A ．4种B ．12种C ．24种D ．120种9．〔5分〕把十进制的23化成二进制数是〔〕〔〕B ．10111〔〕C ．101111〔〕D ．11101〔〕A ．001102 2 2 210．〔5分〕某公司在2021﹣2021年的收入与支出情况如表所示：收入x 〔亿元〕支出y 〔亿元〕根据表中数据可得回归直线方程为 =0.8x+，依次估计如果2021年该公司收入为7亿元时的支出为〔〕A ．亿元B ．亿元C ．亿元D ．亿元11．〔5分〕如图中，x 1，x 2，x 3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分， P 为该题的最终得分．当x 1=6，x 2=9，时，x 3等于〔〕A ．11B ．10C ．8D ．712．〔5分〕甲、乙两枚骰子先后各抛一次， a ，b 分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P〔a，b〕落在直线x+y=m〔m为常数〕上的概率最大时，那么m的值为〔〕A．6 B．5C．7D．8二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13．〔5分〕某射击教练评价一名运发动时说：“你射中的概率是90%．〞你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为．①该射击运发动射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运发动射击一次，中靶的时机是90%14．〔5分〕在数轴上0和4之间任取一个实数x，那么使“log2x＜1〞的概率为．15．〔5分〕张明与张华两人做游戏，以下游戏中不公平的是．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数那么张明获胜，向上的点数为偶数那么张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上那么张明获胜，两枚都正面向上那么张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的那么张明获胜，扑克牌是黑色的那么张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否那么张华获胜．2、16．〔5分〕用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字5相邻，那么这样的五位数的个数是〔用数字作答〕．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔10分〕如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面局部，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色局部的概率．18．〔12分〕为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运发动甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度〔单位：m/s〕的数据如下：甲273830373531乙332938342836〔1〕画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运发动的中位数；〔2〕估计甲、乙两运发动的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更适宜．19．〔12分〕关于圆周率π，数学开展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对〔x，y〕；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对〔x，y〕的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假设统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．20．〔12分〕某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165〕5第2组[165，170〕①第3组[170，175〕30②第4组[175，180〕20第5组，〕10 [180185合计100〔1〕请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；〔2〕为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；〔3〕在〔2〕的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．21．〔12分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．〔1〕求证：平面PAB⊥平面ABC；〔2〕求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．22．〔12分〕抛物线C：y2=4x，点M〔m，0〕在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．〔1〕假AB为直径的圆的方程；设m=1，且直线l的斜率为1，求以〔2〕是否存在定点M，使得不管直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？2021-2021学年黑龙江省牡丹江高二〔上〕期末数学试卷〔理科〕参考答案与试题解析一、选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意的〕〕1．〔5分〕两个整数1908和4187的最大公约数是〔A．53 B．43 C．51D．67【解答】解：∵4187=1908×2+371，1908=371×5+53，371=53×7+0，∴两个整数1908和4187的最大公约数是53，应选A．2．〔5分〕要从已编号〔1～70〕的70枚最新研制的某型导弹中随机抽取7枚来进行发射试验，用每局部选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的7枚导弹的编号可能是〔〕A．5，10，15，20，25，30，35B．3，13，23，33，43，53，63C．1，2，3，4，5，6，7D．1，8，15，22，29，36，43【解答】根据系统抽样的定义那么编号间距为70÷7=10，那么满足条件是3，13，23，33，43，53，63，应选：B3．〔5分〕以下各组事件中，不是互斥事件的是〔〕A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于690分B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%【解答】解：A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件．B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件．C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件．应选B4．〔5分〕=〔〕A．B．C．D．【解答】解：==．应选：D．5．〔5分〕执行如图的程序框图，那么输出的S值是〔〕A．54 B．56 C．90D．180【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S=22+32+42+52+62的值，S=22+32+42+52+62=90．应选：C．6．〔5分〕某电子元件电路有一个由三节电阻串联组成的回路，共有6个焊点，假设其中某一焊点脱落，电路就不通．现今回路不通，焊点脱落情况的可能有〔〕A．5种B．6种C．63种D．64种【解答】解：根据意，个回路中共6个点，按其脱落与否，共2×2×2×2×2×2=26=64种情况，如果路通，每个点都不能脱落，有一种情况，今回路不通，至少有一个点脱落，与路通立，故点脱落情况的可能有641=63种，故C．7．〔5分〕随机某校50个学生在学校的午餐，果如表：餐〔元〕678人数10202050个学生的午餐的平均和方差分是〔〕A．，B．，C．7，D．7，【解答】解：根据意，算50个学生午餐的平均是×〔6×10+7×20+8×20〕，方差是s2=×[10×〔6〕2+20×〔〕2+20×〔8 〕2]．故：A．8．〔5分〕一名老和四名学生站成一排照相，学生老站在正中，不同的站法〔〕A．4种B．12种C．24种D．120种【解答】解：根据意，分2步行分析：①、老站在正中，有1种情况，②、将四名学生全排列，安排在两的4个位置，有A44=24种排法，5人不同的站法有1×24=24种；故：C．9．〔5分〕把十制的23化成二制数是〔〕B．10111〔2〕C．101111〔2〕D．11101〔2〕〔〕A．001102【解答】解：23÷2=11⋯111÷2=5⋯15÷2=2⋯12÷2=1⋯01÷2=0⋯123〔10〕=10111〔2〕．故：B．10．〔5分〕某公司在20212021年的收入与支出情况如表所示：收入x〔元〕支出y〔元〕根据表中数据可得回直方程=0.8x+，依次估如果2021年公司收入7元的支出〔〕A．元B．元C．元D．元【解答】解：根据表中数据，算=×〔〕=4，×〔〕=2，=2×4=，∴回直方程，算×7〔元〕，即2021年公司收入7元的支出元．故：B．11．〔5分〕如中，x1，x2，x3某次考三个人同一道的独立分，得分．当x1=6，x2=9，，x3等于〔〕P的最A．11 B．10 C．8D．7【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．应选C．12．〔5分〕甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，当点P〔a，b〕落在直线x+y=m〔m为常数〕上的概率最大时，那么m的值为〔〕A．6 B．5C．7D．8【解答】解：甲、乙两枚骰子先后各抛一次，a，b分别表示抛掷甲、乙两枚骰子所出现的点数，根本领件总数n=6×6=36，当点P〔a，b〕落在直线x+y=m〔m为常数〕上，∴m=2的概率为，m=3的概率为，m=4的概率为，m=5的概率为，m=6的概率为，m=7的概率为，m=8的概率为，m=9的概率为，m=10的概率为，m=11的概率为，m=12的概率为．∴当点P〔a，b〕落在直线x+y=m〔m为常数〕上的概率最大时，那么m的值为7．应选：C．二、填空题〔本大题共4小题，每题5分，总分值20分．〕13．〔5分〕某射击教练评价一名运发动时说：“你射中的概率是90%．〞你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为②．①该射击运发动射击了100次，恰有90次击中目标②该射击运发动射击一次，中靶的时机是90%【解答】解：某射击教练评价一名运发动时说：“你射中的概率是90%．〞能代表教练的观点的为该射击运发动射击一次，中靶的时机是90%．故答案为：②．14．〔5分〕在数轴上．0和4之间任取一个实数x，那么使“log2x＜1〞的概率为0＜x＜2，区间长为2，【解答】解：由log2x＜1，得区间[0，4]的长度为4，所以所求的概率为P==．故答案为：．15．〔5分〕张明与张华两人做游戏，以下游戏中不公平的是②．①抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数那么张明获胜，向上的点数为偶数那么张华获胜②同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上那么张明获胜，两枚都正面向上那么张华获胜③从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的那么张明获胜，扑克牌是黑色的那么张华获胜④张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同张明获胜，否那么张华获胜．【解答】解：在①中，抛掷一枚均匀的骰子，向上的点数为奇数和向上的点数为偶数的概率均为，故在①中的游戏公平；在②中，同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上的概率p==，两枚都正面向上的概率p′==，故在②中的游戏不公平；在③中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率均为，故在③中的游戏公平；在④中，张明、张华两人各写一个数字6或8，如果两人写的数字相同的概率p==，故在④中的游戏公平．故答案为：②．16．〔5分〕用数字1、2、3、4、5构成数字不重复的五位数，要求数字1，3不相邻，数字2、5相邻，那么这样的五位数的个数是24〔用数字作答〕．【解答】解：根据题意，分3步进行分析：①、将2、5看成一个整体，考虑其顺序，有A22=2种情况，2②、将这个整体与4全排列，有A2=2种排法，排好后有3个空位，③、在3个空位中任选2个，安排1、3，有A32=6种情况，那么符合条件的五位数有2×2×6=24个；故答案为：24．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔10分〕如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面局部，正方形内切圆中的黑色局部和白色局部关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，求此点取自黑色局部的概率．【解答】解：设正方形的边长为那么黑色局部的面积为：2a〔a＞0〕，，结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为：．18．〔12分〕为了选拔参加自行车比赛的选手，对自行车运发动甲、乙两人在相同条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度〔单位：m/s〕的数据如下：甲273830373531乙332938342836〔1〕画出茎叶图，由茎叶图求出甲乙运发动的中位数；〔2〕估计甲、乙两运发动的最大速度的平均数和方差，并判断谁参加比赛更适宜．【解答】解：〔1〕茎叶图如下：甲的中位数为：=33，乙的中位数为：．〔2〕甲的平均数为：==33，乙的平均数为：=〔28+29+33+34+36+38〕=33，甲的方差为：=，乙的方差为：=甲、乙的平均数相等，乙的方差更小，那么乙的发挥更稳定，故乙参加比赛更适宜．19．〔12分〕关于圆周率π，数学开展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请200名同学，每人随机写下一个x，y都小于1的正实数对〔x，y〕；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对〔x，y〕的个数m；最后再根据统计数m来估计π的值．假设统计结果是m=56，请计算此时π的估计值．【解答】解：由题意，200对都小于1的正实数对〔x，y〕，满足，面积为1，两个数能与1构成钝角三角形三边的数对〔x，y〕，满足x2+y2＜1，且，区域面积为，由，解得．20．〔12分〕某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165〕5第2组[165，170〕①第3组[170，175〕30②第4组，〕20 [175180第5组，〕10 [180185合计100〔1〕请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；〔2〕为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；〔3〕在〔2〕的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．【解答】解：〔1〕①由题可知，第2组的频数为×100=35人，②第3组的频率为，频率分布直方图如下列图，〔4分〕〔2〕因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：×6=3人，第4组：×6=2人，第5组：×6=1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．〔7分〕〔3〕设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，那么从这六位同学中抽取两位同学有15种选法，分别为：〔A1，A2〕，〔A1，A3〕，〔A1，B1〕，〔A1，B2〕，〔A1，C1〕，〔A2，A3〕，〔A2，B1〕，〔A2，B2〕，〔A2，C1〕，〔A3，B1〕，〔A3，B2〕，〔A3，C1〕，〔B1，B2〕，〔B1，C1〕，〔B2，C1〕，其中第4组的2位同学B1，B2中至少有一位同学入选的有9，分别为：〔A1，B1〕，〔A1，B2〕，〔A2，B1〕，〔A2，B2〕，〔A3，B1〕，〔A3，B2〕，〔B1，B2〕，〔B1，C1〕，〔B2，C1〕，∴第4组至少有一名学生被考官A面试的概率为=．〔12分〕21．〔12分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，侧面PAB为等边三角形，侧棱．〔1〕求证：平面PAB⊥平面ABC；〔2〕求二面角B﹣AP﹣C的余弦值．【解答】证明：〔1〕设AB中点为D，连结PD，CD，∵AP=BP，∴PD⊥AB．AC=BC，∴CD⊥AB，∴∠PDC就是二面角P﹣AB﹣C的平面角．又由∠ACB=90°，AC=BC=2，∴AD=BD=CD=，AB=2．又△PAB为正三角形，且PD⊥AB，∴PD==．222∵PC=2，∴PC=CD+PD．∴PD⊥CD．又AB∩CD=D，∴PD⊥平面ABC，∵PD?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．解：〔2〕由〔1〕知DC，DB，DP两两垂直．以D为原点建立如下列图的空间直角坐标系．D〔0，0，0〕，C〔，0，0〕，A〔0，﹣，0〕，P〔0，0，〕．∴=〔，0〕，=〔〕．设平面PAC的法向量为=〔x，y，z〕，那么，令x=1，那么y=﹣1，z=．平面PAC的一个法向量为=〔1，﹣1，〕．平面PAB的一个法向量为=〔〕．∴cos＜＞==．由图可知，二面角B﹣AP﹣C为锐角．∴二面角B﹣AP﹣C的余弦值为．22．〔12分〕抛物线C：y2=4x，点M〔m，0〕在x轴的正半轴上，过M点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，O为坐标原点．〔1〕假设m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；〔2〕是否存在定点M，使得不管直线l：x=ky+m绕点M如何转动，恒为定值？【解答】解：〔1〕当m=1时，M〔1，0〕，此时，点M为抛物线C的焦点，直线l的方程为y=x﹣1，设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，联立，2消去y得，x﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，y1+y2=x1+x2﹣2=4，|AB|=x1+x2+2=8，∴圆的半径为4，∴圆的方程为〔x﹣3〕2+〔y﹣2〕2=16．〔2〕由题意可设直线l的方程为x=ky+m，那么直线l的方程与抛物线C：y2=4x联立，+=+=+，====，对任意k∈R恒为定值，于是m=2，此时=．∴存在定点M〔2，0〕，满足题意．。

黑龙江省2021年高二上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知抛物线y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为2，则a=（）A . 4B . 2C .D .2. （2分） (2020高一下·奉化期中) 中，内角对应的边分别为，，，则的值为（）A .B .C .D .3. （2分）已知命题p：“∃x＞0，sinx≥1”，则￢p为（）A . ∀x＞0，sinx≥1B . ∀x≤0，sinx＜1C . ∀x＞0，sinx＜1D . ∀x≤0，sin≥14. （2分）(2012·全国卷理) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn ， a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A .B .C .D .5. （2分）若不等式（﹣1）na＜2+对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣2，）B . （﹣2，）C . [﹣3，）D . （﹣3，）6. （2分）在各项均为实数的等比数列中，，则（）A . 2B . 8C . 16D . 327. （2分）已知函数，其中为常数．那么“”是“为奇函数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件8. （2分） (2016高二上·温州期中) 设F1 ， F2为椭圆C1：（a＞b＞0）与双曲线C2的公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，若椭圆C1的离心率e∈[ ， ]．则双曲线C2的离心率的取值范围是（）A .B .C . （1，4]D .9. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .10. （2分）一篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中，且无其它得分情况。

上学期期末考试 高二数学（理）试题一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1．命题“ n N ，使得 n 22n ”的否定形式是（）6.下列说法中不．正确的是（ ） ①从某年级 500 名学生中抽取 60 名学生进行体重的统计分析，500 名学生是总体;②总体由编号为 01,02，…，19,20 的 20 个个体组成．利用下面的随机数表选取 6 个个体，选取方法是 从随机数表第 1 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 6 个个体的 编号为 04;③采用系统抽样从含有 8 000 个个体的总体(编号为 0 000，0 001，…，7 999)中抽取一个容量为 50 的 样本．已知最后一个入样的编号为 7 894，则第一个入样的编号是 0 054；A. n N ，使得 n 22nC. n N ，使得 n22n2． 如图所示是计算111...1 B.n N ，使得 n 2 2nD. n N ，使得 n 22n的程序框图，判断框 ④某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是 5∶4∶1，现用分层抽样的方法从该校高中三个年 级的学生中抽取容量为 50 的样本，则应从高二年级抽取 15 名学生; ⑤某中学高三从甲、乙两个班中各选出 7 名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满 分 100 分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是 85，乙班学生成绩的中位数是 83，则x ＋y 的值为 5. 23内的条件是()．2018A.①②③ B.②③④ C.③④⑤ D.①④⑤ 7. 随机向边长为 4 的正方形 A BCD 中投一点 M ，则点 M 与 A 的距离不小于 1 且使∠CMD 为锐角的概A. n 2017率是（ ） B. n 2018A.1 3B. 15C.1 9D.1C. n 2018 16 8 64 4D. n 20178.以下说法正确的是（）3. 某工厂生产某种产品的产量 x (吨)与相应的生产能耗 y (吨标准 煤)①用数学归纳法证明不等式 1n 111n2 (1)n n 13 的过程中，由 n k 推导 n k 1 时，不等24据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为 0.7， 式的左边增加的式子是 ；(2k 1)(2k 2)'则这组样本数据的回归直线方程是（ ）②有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数 f ( x) ，如果 f (x 0 ) 0 ，那么x x 0 是函数 f ( x )^ ^ ^ ^A. y ＝0.7x ＋3.5B. y ＝0.35x＋0.7 C. y ＝4.5x ＋3.5 D.y ＝0.7x ＋0.354. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其十位数为 1 的概率是（ ） 的极值点.因为 f (x ) x 3在 x 0 处的导数值 f ' (0)0 ，所以 x0 是函数 f (x ) x3的极值点.以上1 1 A.B. 9 8 1 1C.D. 7 6推理中是大前提的错误；③已知命题：若数列{a n }是等差数列，且 a m a , a n b (mn , m , n N * ) ，则 am nbn am ；现n my x 2已 知 等 比 数 列 {b n } ， 其 中 b ma ,b nb (m n , m , n N* ) ，若 类 比 上 述 结 论 ， 则 可 得 到5.设 p ：实数 x , y 满足(x 1) 2( y1) 22 且 x , y Z ，q ：实数 x , y 满足y 7 2 x ，则 p 是 q n m1 y 3 x bm nb a .的（ ）2n m A.①② B.②③ C.①③ D.①②③A.必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9.已知抛物线的方程为 x 2 2 py ( p 0) ，其焦点为 F ，点O 为坐标原点，过焦点 F 作斜率为 k (k0)的直线与抛物线交于 A , B 两点，过 A , B 两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点 M ，设直线 MF与抛物线交于 C , D 两点.则（）角形 A BC 中，A (2,0)、B (－1,2)，则直角顶点 C 的轨迹方程为 x2y2x 2 y 2 0 ；则命题 pq ，p q ， p q ， p q 中真命题的个数是 16. 函数 f x x 3 x 2 x 1在点1，2 处的切线与函数 g (x ) x 2 x 围成的图形的面积等于A. OA OB3p 2 4C. ABCDB. M 点的轨迹方程为 ypD.四边形 A BCD 的面积是定值三、解答题17. (本小题满分 10 分)10. 节日前夕，小明在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后 的 4 秒内任意时刻等可能发生，然后每串彩灯以 4 秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是（ ） 袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为 1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为 1,2.从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于 4 的概率. 7 3 A. B. 8 4 1 1 C. D. 2 4x 2y 2 11.已知 A , B 分别为双曲线 C : a 2 b 21(a 0, b 0) 的左右顶点，点 P 为双曲线 C 在第一象限的任意一点，点 O 为坐标原点，若双曲线 C 的离心率为 P A , PB , PO 的斜率分别为 k 1 , k 2 , k 3 ，则k 1k 2 k 的取值范围为（ ）18. (本小题满分 12 分)某高校在 2017 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率 分布表如下所示.A ． (2B. 2 )C. (0, 2 2 )D. (0, 2)12.设函数 f ( x ) 为 R 上的可导函数，对任意的实数 x ，有 f (x ) 2018x 2 f (x ) ，且 x (0,) 时， f ' (x ) 2018x 0 .则关于实数 m 的不等式 f (m 1) f (m ) 2018m 1009 的解集为（ ）A.[3， )B. [ 1 ， ) 2C. [1，2]D. [ 1 ，) 2(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 2 ，则判断框内 m 的取 值范围是14．有 6 名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是 1—6 号，得 第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将 得第一名，甲猜：4 号，5 号，6 号都不可能；乙猜：3 号不可能；丙猜： 不是 1 号就是 2 号；丁猜：是 4 号，5 号，6 号中的某一个.以上只有一 个人猜对，则他应该是 ．(2)为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5 组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5 组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．15.已知命题p ：方程(x y1)x1 0 所表示的曲线是一条射线与一条直线，命题q：若直角三19.(本小题满分 12 分) 如图，四棱锥 H A B C D 中， H A底面 A B CD ，AD / / BC ，AB ADAC6 ，21.(本小题满分 12 分)HA BC8 ， E 为线段 A D 上一点， AE2ED ， F 为 H C 的中点.如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 椭 圆 C 过点 (3, 1) ， 焦 点 (1)证明： EF // 平面 H AB ； 2(2)求二面角 E HF A 的正弦值.F 1 ( 3，0)，F 2 ( 3，0) ，圆O 的直径为 F 1F 2 . (1)求椭圆 C 及圆O 的方程；(2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点 P .直线l 与椭圆 C 交于 A , B 两点，求 AOB 的面积 S 的范围.20.(本小题满分 12 分) 设函数 f (x )x 2ex 1ax 3bx 2,已知 x2 和 x 1 为 f ( x ) 的极值点．(1)求 a 和 b 的值; (2)讨论函数f ( x ) 的单调性;(3)设g ( x ) 2 x3x 2 ,比较 f ( x ) 与 g ( x ) 的大小．322.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) x ln x ax ( aR ) .(1)若函数 f ( x ) 在区间[e , e 2 ] 上为减函数，求 a 的取值范围； (2)若对任意 x (1, ) ， f (x )k (x1)axx 恒成立，求正整数 k 的最大值.答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）ABDAB DCACB CD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.(24,28] 14．甲 15.2 16.92三、解答题17.(本小题满分10分)解：标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E )，共10种．-------------3从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(B ，D )，共3种．-------------6由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．-------------8 所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为310.-------------1018．(本小题满分12分)．解：(1)①由题可知，第2组的频数为0.35×100＝35人，②第3组的频率为30100＝0.300，频率分布直方图如图所示，-------------4(2)因为第3、4、5组共有60名学生，所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3人，第4组：2060×6＝2人，第5组：1060×6＝1人，所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面试．-------------6(3)设第3组的3位同学为A 1，A 2，A 3，第4组的2位同学为B 1，B 2，第5组的1位同学为C 1，则从这六位同学中抽取两位同学有：(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共15种，-------------8其中第4组的2位同学B 1，B 2中至少有一位同学入选的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有9种，-------------10所以第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率为915＝35.-------------1219．(本小题满分12分) 解：（1）由已知得243AE AD ==，取BH 的中点G ，连接AG ， GF ， 由F 为HC 的中点知//GF BC ， 142GF BC ==，又//AD BC ，故//GF AE ，所以四边形AEFG 为平行四边形，于是//EF AG ，AG ⊂平面HAB ， EF ⊄平面HAB ， 所以//EF 平面HAB .-------------4（2）取BC 的中点T ，连接AT .由AB AC =得AT BC ⊥，从而AT AD ⊥，且AT ==.以A 为坐标原点， AT 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.-------------6由题意知， ()0,0,8H ， ()0,4,0E ，()C ，)2,4F，()0,4,8HE =-， ()5,2,4HF =-， ()5,2,4AF =.设(),,n x y z =为平面HEF 的法向量，则0{ 0n HE n HF ⋅=⋅=，即480 240y z y z -=+-=，可取()0,2,1n =.-------------8设()000,,m x y z =为平面HAF 的法向量，则0{ 0m HF m AF ⋅=⋅=，即240 240y z y z +-=++=，可取()2,5,0m =-.-------------10于是cos ,n m m n m n ⋅=⋅23=-，5sin ,n m =. 所以二面角E HFA --20.(本小题满分12分) 解:(1)因为122()e(2)32x f x x x ax bx -'=+++1e (2)(32)x x x x ax b -=+++, 又2x =-和1x =为()f x 的极值点,所以(2)(1)0f f ''-==, 因此620,3320,a b a b -+=⎧⎨++=⎩解该方程组得13a =-,1b =-．-------------4（2）因为13a =-,1b =-,所以1()(2)(e 1)x f x x x -'=+-,令()0f x '=,解得12x =-,20x =,31x =． 因为当(,2)x ∈-∞-(0,1)时,()0f x '<;当(2,0)(1,)x ∈-+∞时,()0f x '>．所以()f x 在(2,0)-和(1,)+∞上是单调递增的;在(,2)-∞-和(0,1)上是单调递减的．-------------8（3）由（1）可知21321()e 3x f x x x x -=--, 故21321()()e(e )x x f x g x x x x x ---=-=-,令1()e x h x x -=-，则1()e 1x h x -'=-．令()0h x '=,得1x =,因为(,1)x ∈-∞时,()0h x '<,所以()h x 在(,1)x ∈-∞上单调递减．故(,1)x ∈-∞时，()(1)0h x h >=; 因为(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,所以()h x 在(1,)x ∈+∞上单调递增． 故(1,)x ∈+∞时,()(1)0h x h >=． 所以对任意(,1)(1,)x ∈-∞+∞,恒有()0h x >,又0x ≠时,20x >,因此0x ≠且1x ≠时()()0f x g x ->,1x =或0x =时()()0f x g x -=,所以, (1)0x ≠且1x ≠时()()f x g x >；(2) 1x =或0x =时,()()f x g x =-------------1221.(本小题满分12分)解：（1）因为1271,22CF CF ==,所以12712422a CF CF =+=+=，即2a =，又c =1b = 所以椭圆C 方程为2214x y +=，圆O 方程为223x y +=.-------------4 (2)因为直线l 与圆O 相切，且切点在第一象限，所以直线l 的斜率k 存在，设直线l 的方程为(0,0)y kx m k m =+<>，圆心O到直线的距离d r ===，化简得2233m k =+联立直线y kx m =+与椭圆2214x y +=得：222(41)8440k x kmx m +++-=， 所以2121222844,4141km m x x x x k k -+=-=++，所以AB ===所以12AOBS AB d ∆=⋅==-------------8 平方得2222212(1)(2)(41)k k S k +-=+，设2141x k =+，则211(1)4k x =-，所以2221111312[1(1)][(1)2](1627)444S x x x x x =⋅+---=--当l与椭圆和圆均相切时，可求得此时直线斜率为，所以()k ∈+∞，所以109x <<所以S 取值范围是(0,2.-------------12 22.(本小题满分12分)解：(Ⅰ)'()ln 10f x x a =++≤在2[,]e e 恒成立，即min (1ln )a x ≤--，设()1ln g x x =--，因为()g x 在2[,]e e 上单调递减，所以2min ()()3g x g e ==-，所以a 的取值范围是(,3]-∞-.-------------4（Ⅱ）（解法1）令()()(1)ln (1)0h x f x k x ax x x x k x k =---+=+-+>对任意(1,)x ∈+∞恒成立， 令2x =，得2(1ln 2)4k <+<.又k 为正整数，取3k =，则()ln 23h x x x x =-+，故'()ln 1h x x =-令'()0h x =，得x e =，所以()h x 在(1,]e 单调递减，在[,)e +∞单调递增，故min ()()30h x h e e ==->，因此3k =满足题意，所以正整数k 的最大值为3.-------------12。