新人教版八年级上册数学[平方差公式(基础)知识点整理及重点题型梳理]

平方差公式的基本概念与原理平方差公式是初中数学中非常重要的一个公式，用于快速计算两个数的平方差。

在实际问题中经常会用到平方差公式，因此了解其基本概念与原理对于学生来说至关重要。

本文将介绍平方差公式的基本概念与原理，帮助读者更好地理解和掌握这一数学知识。

1. 平方差公式的定义平方差公式是用来计算两个数的平方差的一个数学公式，通常表示为：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$其中，a、b为任意实数。

这个公式的推导和证明可以通过“二次根式的乘法”来实现，具体推导过程可参考中学数学教材或相关学习资料。

2. 平方差公式的应用平方差公式在数学计算中具有广泛的应用，特别是在因式分解和简化表达式的过程中。

通过利用平方差公式，我们可以将一个二次根式分解成两个一次根式的乘积，从而更方便地进行计算和化简。

例如，如果要计算$(3+5)(3-5)$，通过平方差公式我们可以直接得到结果$3^2-5^2=9-25=-16$。

这种方法不仅简单高效，还可以避免繁琐的计算过程，提高计算的速度和准确性。

3. 平方差公式的原理平方差公式的原理其实比较简单，可以通过展开式来理解。

我们以$(a+b)(a-b)$为例进行展开：$$(a+b)(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$$通过上面的展开式，我们可以看到平方差公式实际上是一个特殊的乘法公式，利用了两个一次根式相乘的特殊性质。

这个公式的应用不仅仅局限于计算平方差，还可以在各种代数计算中发挥作用，是初中阶段数学学习中的基础知识之一。

4. 总结平方差公式是初中数学中一个重要且实用的公式，通过掌握其基本概念与原理，可以更好地应用于实际问题的解决中。

在学习数学的过程中，建议同学们多加练习和思考，加深对平方差公式的理解和掌握，为将来的数学学习打下坚实的基础。

通过以上对平方差公式的基本概念与原理的介绍，相信读者对这一数学知识有了更清晰的认识。

希望本文能够帮助大家更好地理解和运用平方差公式，在数学学习中取得更好的成绩。

《平方差公式》说课稿一、说教材。

1、说课内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“”（第一课时）。

2、本课在教材中的地位、作用和意义：《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型X例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个公式.3、本节课的教学目标：基于对教材的理解和分析，以学生的学为根本，基于以下目的：1、让学生经历“特例──归纳──猜想──验证──用数学符号表示”这一数学活动过程，积累数学活动的经验，进一步发展学生的符号感、推理能力、归纳能力，同时体会数学的简洁美、培养他们的合情推理和归纳的能力以及在解决问题过程中与他人合作交流的重要性.2、让学生了解平方差公式产生的背景，理解平方差公式的意义，掌握平方差公式的结构特征，并能灵活运用平方差公式解决问题.在数学活动中，引导学生观察、分析公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深学生对公式的理解.3、通过自主探究与合作交流的学习方式，让学生经历探索新知、巩固新知和拓展新知这一过程，发挥学生的主体作用，增强学生学数学、用数学的兴趣.同时，让学生在公式的运用中积累解题的经验，体会成功的喜悦.我把本课的目标定位为：（一）知识目标：1．经历探索平方差公式的过程。

2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单运算。

（二）能力目标1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力。

2．培养学生观察、归纳、概括的能力。

（三）情感目标：在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美。

一、导言在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是中学阶段必须掌握的重要知识点。

从初中开始，学生就需要掌握这两个公式的具体内容和运用方法。

八年级是数学学科内容较多的阶段，学习者需要在日常学习中加强对平方差公式和完全平方公式的记忆和理解。

本文章旨在帮助八年级学生加深对这两个数学概念的印象，提高数学学习成绩。

二、平方差公式的记忆1.平方差公式是指两个数的平方差可以用来表示两个数的乘积。

具体公式为(a+b)(a-b)=a²-b²。

2.学生在记忆平方差公式时，可以通过以下方法加深理解和记忆：a.通过实例理解。

将(a+b)(a-b)展开可以得到a²-ab+ab-b²，简化后得到a²-b²，这样可以直观地理解平方差公式的含义。

b.多练习算式转换。

让学生多做一些相关的抽象计算练习，锻炼学生对平方差公式的运用能力。

充分练习可以加深记忆，也有助于提高数学计算能力。

三、完全平方公式的记忆1.完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成一个完全平方的形式，即二次多项式的平方等于一个平方数。

具体公式为a²+2ab+b²=(a+b)²。

2.学生在记忆完全平方公式时，可以通过以下方法进行记忆和理解：a.设定变量。

让学生通过给定一些具体的实际数学问题，然后使用完全平方公式进行推导和解决问题，可以在实际操作中加深对完全平方公式的理解和记忆。

b.应用到实际问题。

同样可以利用具体实例，让学生仿照实际问题中的公式应用，从而加深对公式的记忆和理解。

四、平方差公式和完全平方公式的联系1.平方差公式和完全平方公式之间有一定联系。

在实际问题中，可以通过平方差公式和完全平方公式进行变形和转换，以解决特定问题。

2.学生在学习中需要注意理解和掌握这两个公式的联系和差异，举一反三，灵活运用。

五、结语在数学学科中，平方差公式和完全平方公式是非常基础但又非常重要的知识点。

平方差公式（基础） 知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）． 要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 【典型例题】类型一、公式法——平方差公式1、下列各式中能用平方差公式分解因式的有________（填序号）． ①22a b --；②224a b -；③224x y --；④2291a b -+； ⑤22()()x y y x -+-；⑥41x -．【答案】②④⑥；【解析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解．③是三项式，不符合平方差公式的特点．②④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式．【总结升华】能否运用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断．分别从项数、符号、平方项等方面来判断．2、分解因式：（1）229a b -； （2）22251x y -； （3）22168194a b -+； （4）214m -+． 【思路点拨】本题都符合平方差公式的特点，可以分别写成两数（式）平方差的形式，然后运用平方差公式进行因式分解.【答案与解析】解：（1）22229(3)(3)(3)a b a b a b a b -=-=+-．（2）2222251(5)1(51)(51)x y xy xy xy -=-=+-．（3）2222168194949494232323a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（4）22214(2)1(21)(21)m m m m -+=-=+-．【总结升华】（1）可以利用加法的交换律把负平方项交换放在后面．（2）“1”是平方项，可以写成“21”．（3）一定要把两项写成22a b -的形式，再套用平方差公式． 举一反三：【变式1】分解因式：（1）212516m -；（2）22(2)16(1)x x -++-． 【答案】解：（1）212516m -22111555444m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （2）22(2)16(1)x x -++-2216(1)(2)x x =--+[4(1)(2)][4(1)(2)]x x x x =-++--+(36)(52)3(2)(52)x x x x =--=--．【变式2】（春•泗阳县期末）下列各式能用平方差公式计算的是（ ） A.（2a+b ）（2b ﹣a ） B.（﹣x+1）（﹣x ﹣1）C.（a+b ）（a ﹣2b ）D.（2x ﹣1）（﹣2x+1）【答案】B ．类型二、平方差公式的应用3、（春•开江县期末）计算2﹣×2016的结果是（ ）A.﹣2B.﹣1C.0D.1【思路点拨】原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果． 【答案】D ；【解析】解：原式=2﹣（﹣1）×（+1）=2﹣（2﹣1）=2﹣2+1=1， 故选D.【总结升华】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 举一反三：【变式1】如图，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形)(b a >，把余下的部分剪成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式是（ ）A.()()22a b a b a b -=+-B. ()2222a b a ab b +=++ C. ()2222a b a ab b -=-+ D. ()()2222a b a b a ab b +-=+-【答案】A ；【高清课堂400108 因式分解之公式法 例2】【变式2】用简便方法计算：（1）2199919982000-⨯；（2）2253566465⨯-⨯. 【答案】解：（1）原式()()219991999119991=--+221999199911=-+=（2）原式()226535456=⨯-()()65354655354656100070420000=⨯+-=⨯⨯=4、已知大正方形的周长比小正方形的周长长96厘米，它们的面积相差960平方厘米．求两个正方形的边长．【答案与解析】解：设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为(a －24)． 依题可列22(24)960a a --=．运用平方差公式：[a ＋(a －24)][ a －(a －24)]＝960． 24(2a －24)＝960．解得a ＝32．a －24＝32－24＝8．答：它们的边长分别为32厘米，8厘米．【总结升华】无论在哪一方面应用因式分解，都须仔细观察，是有公因式还是符合公式，切忌不能盲目乱用，这样应用起来才能达到真正意义上的化简，不然反而走向误区，就是说不要为用因式分解而用，要因题用，能用则用，不能用千万别用，千万别硬套.【巩固练习】 一.选择题1. 下列各式中,不能用平方差公式分解因式的是( ). A.249y - B.2149x - C.44m n -- D.()2194p q +- 2. 一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（）．A ．46-bB ．64b -C ．46+bD ．46--b3. ()22a b c --有一个因式是a b c +-,则另一个因式为( )A.a b c --B.a b c ++C. a b c +-D.a b c -+4． 在一个边长为12.75cm 的正方形内挖去一个边长为7.25cm 的正方形，则剩下的面积应当是（ ） A ．220cm B ．2200cm C ．2110cm D ．211cm 5. （•赤峰模拟）已知a+b=4，a ﹣b=3，则a 2﹣b 2=（ ） A.4 B. 3 C.12 D.16. 下列分解因式结果正确的是（ ）A.()223633x y xy xy x y +=+B.()()()()222233x y x y x y x y +-+=++C.()()422111x x x -=+- D.()()3312322x x x x x -=+-二.填空题7. 分解因式：224x y -=___________，223a b -=____________.8. 利用因式分解计算：22401599-=__________，2211387-=____________.9. 分解因式：42x x -=___________，()()244b a a -+-=______________.10.（•杭州模拟）若a+2b=﹣3，a 2﹣4b 2=24，则a ﹣2b+1= ． 11. 若多项式24a M +能用平方差公式分解因式，那么单项式M ＝________.（写出一个即可）12. 用公式简算：22200820082009+-＝________________. 三. 解答题13. 把下列各式因式分解（1）2249a b - （2）4481m n -（3）622123a a b - （4）()2231a b b b -+-.14. 已知23x y +=，22415x y -=-. (1)求2x y -的值; (2)求x 和y 的值.15.（春•牟定县校级期末）新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】4m -与4n -两项符号相同，不能用平方差公式分解因式. 2. 【答案】B ；【解析】33336(2)(2)(2)(2)4b b b b b +-=+-=-. 3. 【答案】D ；【解析】()()()22a b c a b c a b c --=+--+. 4. 【答案】C ；【解析】()()2212.757.2512.757.2512.757.2520 5.5110-=+-=⨯=. 5. 【答案】C ；【解析】解：∵a+b=4，a ﹣b=3，∴原式=（a+b ）（a ﹣b ）=12， 故选C.6. 【答案】D ；【解析】()()()()()()2222333x y x y x y x y x y x y +-+=+-=+-；()()()()()4222111111x x x x x x -=+-=++-.二.填空题7. 【答案】()()22x y x y +-；()()a a ；8. 【答案】－198000；5200；【解析】()()()224015994015994015991000198198000-=+-=⨯-=-；()()22113871138711387200265200-=+-=⨯=.9. 【答案】()()211xx x +-；()()()411a b b -+-【解析】()()()42222111x x x x x x x -=-=+-；()()()()224444ba ab a a -+-=---()()()()()241411a b a b b =--=-+-.10.【答案】-7；【解析】解：∵a+2b=﹣3，a 2﹣4b 2=（a+2b ）（a ﹣2b ）=24，∴a ﹣2b=﹣8，则原式=﹣8+1=﹣7． 故答案为：﹣7. 11.【答案】2x -； 12.【答案】－2009；【解析】()()2220082008200920082008200920082009+-=++- 200840172009=-=-. 三.解答题 13.【解析】解：（1）()()22492323a b a b a b -=+-；（2）()()()()()442222228199933m n m nmn m n m n m n -=+-=++-；（3）()()()62224222212334322a a b a a b a a bab -=-=+-；（4）()()()()()()223221111a b b b a b b b b a b a b -+-=---=-+-. 14.【解析】解：()()()224223215x y x y x y x y -=+-=-=- ∴25x y -=-解方程组2325x y x y +=⎧⎨-=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩.15.【解析】解：设原绿地的边长为x 米，则新绿地的边长为x+3米，根据题意得，（x+3）2﹣x 2=63， 由平方差公式得，（x+3+x ）（x+3﹣x ）=63， 解得，x=9；∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）；答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米．。