浙江省温州市泰顺县新浦中学八年级下学期数学期末复习：一元二次方程课件
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八年级数学下册 2.1 一元二次方程课件(2) (新版)浙教版
解：（1）y（y-3）=0
∴ y=0或y-3=0
（2）移项(yí xiànɡ)， 得（42xx2+-39）=0（2x-3）=0
∴ y1=0， y2=3
∴x1=-1.5， x2=1.5
第四页，共14页。
像上面这种利用因式分解解一元二次方程 的方法(fāngfǎ)叫做因式分解法。它的基本 步骤是：
1.若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； 2、将方程的左边(zuǒ bian)分解因式；
2.若一个数的平方等于(děngyú)这个数本身, 你能求出这个数吗(要求列出一元二次方程求 解)?
第十二页，共14页。
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一
次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程(fāngchéng)变形，使方程 (（fā2n）g将ch方é程ng的)的左边右(边zu为ǒ 零bi；an)因式
(3) (x 2)2 2 x 4
第八页，共14页。
辨一辨:
下列解一元二次方程的方法(fāngfǎ)对吗?若不对
请改正。
解方程:
( x 2)2 2x( x 2)
解:方程两边都除以 ( x 2)得:
x 2 2x 移项得: x 2x 2
解:移项得: ( x 2)2 2x( x 2) 0
3、根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元(yī yuán)二 次方程转化为解两个一元(yī yuán)一次方程。
第五页，共14页。
例1、用因式分解(yīn shì fēn jiě)法解下列一元 二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
浙教版八年级下第二章一元二次方程的解法复习课件
一元二次方程的解法复习
一元二次方程的一般式
a≠0） ax + bx + c = 0 （a≠0）
2
一元二次方程 关于x （关于x） 一般形式 二次项 一次项 常数 系数 项 系数
3x²-1=0
3x²3x²-1=0
3x²3x（ =2（ 3x（x-2）=2（x-2） 3x²-8x+4=0
3 3
0 -8
-1 4
2
★一除、二移、三配、四化、五解. 一除、二移、三配、四化、五解.
公式法解一元二次方程的前提是 解一元二次方程的前提 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: 1.必需是一般形式的一元二次方程: 必需是一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
解一元二次方程的方法
①因式分解法
方程一边是0， （方程一边是 ，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 ③配方法 ④公式法
2=a(a≥0) a≥0) x
(化方程为一般式） 化方程为一般式） 化方程为一般式
1.用因式分解法的条件是 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 用因式分解法的条件 分解,而右边等于零; 分解,而右边等于零; 2.理论依据是 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 理论依据 那么至少有一个因式等于零. 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 步骤 一移-----方程的右边=0; 一移-----方程的右边=0; -----方程的右边 二分-----方程的左边因式分解; 二分-----方程的左边因式分解; -----方程的左边因式分解 三化-----方程化为两个一元一次方程; 三化-----方程化为两个一元一次方程; -----方程化为两个一元一次方程 四解-----写出方程两个解; 四解-----写出方程两个解; -----写出方程两个解
一元二次方程的一般式
a≠0） ax + bx + c = 0 （a≠0）
2
一元二次方程 关于x （关于x） 一般形式 二次项 一次项 常数 系数 项 系数
3x²-1=0
3x²3x²-1=0
3x²3x（ =2（ 3x（x-2）=2（x-2） 3x²-8x+4=0
3 3
0 -8
-1 4
2
★一除、二移、三配、四化、五解. 一除、二移、三配、四化、五解.
公式法解一元二次方程的前提是 解一元二次方程的前提 用公式法解一元二次方程的前提是:
1.必需是一般形式的一元二次方程: 1.必需是一般形式的一元二次方程: 必需是一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
解一元二次方程的方法
①因式分解法
方程一边是0， （方程一边是 ，另一边整式容易因式分解）
②直接开平方法 ③配方法 ④公式法
2=a(a≥0) a≥0) x
(化方程为一般式） 化方程为一般式） 化方程为一般式
1.用因式分解法的条件是 1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 用因式分解法的条件 分解,而右边等于零; 分解,而右边等于零; 2.理论依据是 2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 理论依据 那么至少有一个因式等于零. 那么至少有一个因式等于零. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 步骤 一移-----方程的右边=0; 一移-----方程的右边=0; -----方程的右边 二分-----方程的左边因式分解; 二分-----方程的左边因式分解; -----方程的左边因式分解 三化-----方程化为两个一元一次方程; 三化-----方程化为两个一元一次方程; -----方程化为两个一元一次方程 四解-----写出方程两个解; 四解-----写出方程两个解; -----写出方程两个解
浙教初中数学八下《2.1 一元二次方程》PPT课件 (2)
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
学科网
复习回顾
1、一元二次方程的定义
2、一元二次方程的一般式：
ax2 bx c 0（a≠0）
3、一元二次方程的根的含义
复习回顾
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式
主要方法:
学科网
(1)提取公因式法
(2)公式法:
a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次方 程的解
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0;
解：（1）y（y-3）=0 ∴ y=0或y-3=0 ∴ x1=0， x2=3
(2) 4x2=9
（2）移项，得 4x2-9=0 （2x+3）（2x-3）=0 ∴x1=-1.5， x2=1.5
例2 、解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解：(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=17／3
(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔能(用3x因－式4)分+(解4x法－解3)一〕元〔二(次3x方－程4)遇－到(类4x似－例3)2〕这=样0,的， 移即项后(能7x直－接7)因(式-x分－解1)就=0直.接因式分解，否则移项后 先∴化7x成－一7=般0,式或再因-x式－分1=解0.. ∴x1=1, x2=-1
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.
因式分解法解一元二次方程的基本步骤 （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解；
学科网
复习回顾
1、一元二次方程的定义
2、一元二次方程的一般式：
ax2 bx c 0（a≠0）
3、一元二次方程的根的含义
复习回顾
因式分解: 把一个多项式化成几个整式的积的形式
主要方法:
学科网
(1)提取公因式法
(2)公式法:
a2－b2=(a+b) (a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
在学习因式分解时，我们已经知道， 可以利用因式分解求出某些一元二次方 程的解
请利用因式分解解下列方程：
（1）y2－3y＝0;
解：（1）y（y-3）=0 ∴ y=0或y-3=0 ∴ x1=0， x2=3
(2) 4x2=9
（2）移项，得 4x2-9=0 （2x+3）（2x-3）=0 ∴x1=-1.5， x2=1.5
例2 、解下列一元二次方程：
（1）（x－5) (3x－2)=10; (2) (3x－4)2=(4x－3)2.
解：(1) 化简方程，得 3x2－17x=0.
将方程的左边分解因式，得 x(3x－17)=0, ∴x=0 ,或3x－17=0 解得 x1=0, x2=17／3
(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0. 将方程的左边分解因式，得 〔能(用3x因－式4)分+(解4x法－解3)一〕元〔二(次3x方－程4)遇－到(类4x似－例3)2〕这=样0,的， 移即项后(能7x直－接7)因(式-x分－解1)就=0直.接因式分解，否则移项后 先∴化7x成－一7=般0,式或再因-x式－分1=解0.. ∴x1=1, x2=-1
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程的解法复习》公开课课件
) (
x-22)
强化训练
2、比一比，看谁做得快：
① (y+ 2 )(y- 2 )=2(2y-3) y1=y2=2
② 3t(t+2)=2(t+2)
t1=-2,t2=2/3
③ x2=4 3 x-11
x1=2 3 1 x2=2 3 1
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
x1=-92,x2=-100
无论m取何值，此方程都是一元二次方程
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没
有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号 并整理为一般形式再选取合理的方法。
变1： 2(x-2)2+5(2-x)-3=0
变2： 2(2-x)2+5(2-x)-3=0
再变为： 2(x-2)2+5x-13=0
2(x-2)2+5x-10-3=0
2(x-2)2+5(x-2)-3=0
1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0).
2.b2-4ac≥0.
x b b2 4ac .b2 4ac 0 . 2a
填空：
① x2-3x+1=0 ② 3x2-1=0
③ -3t2+t=0
④ x2-4x=2
⑤ 2x2－x=0
⑥ 5(m+2)2=8
⑦ 3y2-y-1=0 ⑧ 2x2+4x-1=0 ⑨ (x-2)2=2(x-2) 适合运用直接开平方法 ② 3x2-1=0 ⑥ 5(m+2)2=8
6
36
开平方，得: x 5
6
1
x1
2, x2
. 3
浙教版数学八年级下册《一元二次方程》课件
当k
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
3
≠
时，是一元二次方程．
2.关于 x 的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
且
当k ≠±1
时，是一元二次方程．,
当k ＝－1
时，是一元一次方程．
同时满足
联立：联合建立
.
k2－1 = 0
2 (k－1) ≠ 0
.
3.
将一元二次方程（x- 5）（x+ 5）+(2x-1)2=0化为一般形式，
距离为 8m. 如果梯子的顶端下滑 1m，那么梯子的底端滑动多少米？
A
1m
D
设梯子底端滑动 x m，可列出方程
7m
( x + 6 )2 + 72 = 102.
B
6m
C xE
分析：由勾股定理可知，滑动前梯子底端
距墙
6
m. 如果设梯子底端滑动 x m，
那么滑动后梯子底端距墙 x+6 m.
整理得 x2 +12x-15 ＝0.
4=0
x2 +12x-15 ＝0.
5x2
+10x-2.2＝0.
x2-x-56=0
像这样，两边都是整式,只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的方程
叫做一元二次方程.
学以致用：
判断下列方程是否为一元二次方程：
① 10x2=9
(√ )
③2x2-3x-1=0
(√ )
②2(x-1)=3x ( × )
④
1
2
梯子底端滑动的距离 x (m) 满足方程 ( x + 6 )2 + 72 = 102，
也就是 x2 + 12x - 15 = 0.
一元二次方程课件浙教版数学八年级下册
（2）由∣a ∣+1 =2，且Βιβλιοθήκη -1 ≠0，于某个字母的方程，
∴当a=-1时，原方程是一元二次方程.
再排除使二次项系数 等于0的字母的值．
课堂小结
定义：只含有一个未知数，并且未知数项的 最高次数是2的整式方程叫做二元一次方程.
一元二次方程
一般形式： ax2 + bx + c = 0
一元二次方程
一元二次方程的概念 如果一个方程通过整理可以使右边为0， 而左边是只含有一个未知数的二次多项式， 那么这样的方程叫作一元二次方程.
同样，我们可以将一元二次方程定义为：只含有一个未知数，并且未知数项的最高 次数是2的整式方程叫做二元一次方程.
一元：指只含有一个未知数 二次：未知数的最高次数为2
当堂练习
1.下列方程中是一元二次方程有
①4x2 9 0
①② . ③
② 4t 2 9t 0
③ 3x(1 x) 10 2(x 2)
3x2 x 6 0
④5x(x 1) 7 5x2 4
⑤ ax2 bx c 0
5x 11 0
指出一元二次方程的二次 项系数、一次项系数和常 数项.
能力提升
为何值时，下列方程为一元二次方程？
（1）ax2-x=2x2 （2）（a-1）x ∣a∣ +1 -2x-7=0.
【方法总结】 用一元二次方程的
解：（1）将方程式转化为一般形式，得（a-2）x2-x=0， 定 义 求 字母 的 值 的方 法：根据未知数的最
∴当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； 高次数等于2，列出关
bx＋c = 0 ax2＋c = 0 ax2＋bx = 0 ax2 = 0
结论：只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数.
浙教版八年级数学下册第二章一元二次方程复习课件(共27张PPT)(1)
相关问题2:
设a,b是直角三角形两条直角边的长， 且它们满足 （a2+b2）×（ a2+b2+1 ）=12, 则这个直角三角形的斜边长为多少？
三、 一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
韦达定理
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
1、形如（x-k）² =h的方程可以用直接开平方法求解 2、千万记住：方程的两边有相同的含有未知数的因式的时 候不能两边都除以这个因式，因为这样能把方程的一个跟丢失了， 要利用因式分解法求解。
b b2 4ac x 4、当以上方法都不行时用公式法是万能的。 2a
3、当方程的左边是二次三项式的时候优先用十字相乘法求解。
1 2 且m 2 12
解得：m
∵m为非负数 ∴m=0或m=1
说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意 二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取 值范围. 1
2
3
3、证明方程根的情况 例2、求证：关于x的方程：
2
x m 2x 2m 1 0
2
证明： m 2 4 2m 1
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
做一做
0 0 0
两不相等实根 两相等实根 无实根
判别式的应用:
1、不解方程，判别方程的根的情况
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况 （1） （2）
2 2 2
2 (×) ( √ )
2.3一元二次方程的应用 课件(共23张PPT) 浙教版数学八年级下册
【解题过程】 ∵AD＝BC＝x 米，EF＝2 米，篱笆长为 34 米， ∴AB＝(36－2x)米， ∵23x6＜ －324x， ≤18， ∴9≤x＜17.
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(2)当长方形场地的面积为160平方米时，求AD的长． 【思路点拨】根据长方形场地的面积为160平方米，即可得出关于x的一 元二次方程，解一元二次方程即可得出结论． 【解题过程】根据题意，得x(36－2x)＝160， 整理，得x2－18x＋80＝0， 解得x1＝10，x2＝8(不合题意，舍去)． 答：AD的长为10米．
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【例7】 社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布 局如图．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位， 要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
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(1)通道的宽是多少米？ 【思路点拨】 设通道的宽为x米，阴影部分可以看作长为(52－2x)米， 宽为(28－2x)米的长方形，根据长方形的面积公式列出方程解答即可；
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【例2】 圆圆想买一个蓝牙耳机，家附近数码城售卖的某款蓝牙耳 机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元． (1)求平均每次降价的百分率． 【思路点拨】 可设出平均每次降价的百分率，然后列出方程，求出方 程的解，再选择符合条件的解；
【解题过程】 设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得400(1－x)2＝256， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为20%.
a － 10)个，根据“月租金＝每个车位的月租金×车位数”列出方程解答即
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(2)当长方形场地的面积为160平方米时，求AD的长． 【思路点拨】根据长方形场地的面积为160平方米，即可得出关于x的一 元二次方程，解一元二次方程即可得出结论． 【解题过程】根据题意，得x(36－2x)＝160， 整理，得x2－18x＋80＝0， 解得x1＝10，x2＝8(不合题意，舍去)． 答：AD的长为10米．
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【例7】 社区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布 局如图．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位， 要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米．
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(1)通道的宽是多少米？ 【思路点拨】 设通道的宽为x米，阴影部分可以看作长为(52－2x)米， 宽为(28－2x)米的长方形，根据长方形的面积公式列出方程解答即可；
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【例2】 圆圆想买一个蓝牙耳机，家附近数码城售卖的某款蓝牙耳 机，原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价256元． (1)求平均每次降价的百分率． 【思路点拨】 可设出平均每次降价的百分率，然后列出方程，求出方 程的解，再选择符合条件的解；
【解题过程】 设平均每次降价的百分率为x， 根据题意，得400(1－x)2＝256， 解得x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)． 答：平均每次降价的百分率为20%.
a － 10)个，根据“月租金＝每个车位的月租金×车位数”列出方程解答即
浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》PPT课件
（1） x2 3x 2 0. 答：a=1, b=3, c= -2. （2） 2x2 5x 3 0.答：a=-2, b=-5, c= 3.
（3） 3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4） 2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知
• [2] 5x2 125x
• [3] y2 6 y 0
• [4] x2 14x 49
• [5] 16 x 2 (5x 1)2
我们先来看看例题。 解下列方程： x2 36
x2 学科网 0.25 2x2 32 2x2 50 0 (x 1)2 49 (x 1)2 1
x2 2 5x 5 0
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
（3） 3x2 5x 2. 3x2 5x 2 0.
答：a=3, b=-5, c= 2.
（4） 2x 13x 2 3. 6x2 4x 3x 2 3,
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项，常数项，
a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
ax2 + bx + c = 0 (a≠0)
二次项系数 一次项系数 常数项
注意:要确定一元二次方程的系数和常数项 ,必
须先将方程化为一般形式 在写一元二次方程的一般形式时,通常按未知
• [2] 5x2 125x
• [3] y2 6 y 0
• [4] x2 14x 49
• [5] 16 x 2 (5x 1)2
我们先来看看例题。 解下列方程： x2 36
x2 学科网 0.25 2x2 32 2x2 50 0 (x 1)2 49 (x 1)2 1
x2 2 5x 5 0
例1、用因式分解法解下列一元二次方程 (1)(x－5)(3x－2)＝10 (2)(3x－4)2=(4x－3)2 (3)27x2－18x＝－3
试一试
1、填空：
（1）方程x2+x=0的根是 X1=0, x2=-1 ；
（2）x2－25=0的根是 X1=5, x2=-5 。
试一试
2、用因式分解法解下列一元二次方程
2.若一个数的平方等于这个数本身,你能求 出这个数吗(要求列出一元二次方程求解)?
能说出你这节课的收获和体验让大 家与你分享吗？
注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个
八年级数学下：第二章一元二次方程复习课件浙教
一元二次方程复习
走进数学---生活中处处都有她的身影； 你会发现许多令人惊喜的东西； 你还会感到自己变得越来越聪明、
越来越有本领。许多以前不会解决的问 题,现在都可以轻松应对了！
已知关于x的方程 （m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0， 当m ≠±1 时是一元二次方程， 当m= ±1 时是一元一次方程，
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
一元二次方程的应用
某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的 长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下 部分作草坪，并请全校学生参与设计。现选取 了几位同学设计的方案（图纸如下）： （1）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为 540平方米。
问：道路的宽为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪 的总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.这两个正方形的面积之和可能等于 200cm2吗?
解 :3.设剪下x的 c,根 m 一 据 段 ,得 题 为 意
(x)256x2 200. 4 4
1、如果等腰三角形的三条边长是x2-6x+5=0 的根，则这个等腰三角形的周长是------------
-------2、设（3a+3b-2)(3a+3b+1)=4 , 则a+b的值 是-----------------
走进数学---生活中处处都有她的身影； 你会发现许多令人惊喜的东西； 你还会感到自己变得越来越聪明、
越来越有本领。许多以前不会解决的问 题,现在都可以轻松应对了！
已知关于x的方程 （m²-1）x²+（m-2）x-2m+1=0， 当m ≠±1 时是一元二次方程， 当m= ±1 时是一元一次方程，
1.用因式分解法的条件是:方程左边能够 分解,而右边等于零;
2.理论依据是:如果两个因式的积等于零 那么至少有一个因式等于零.
因式分解法解一元二次方程的一般步骤: 一移-----方程的右边=0;
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程;
四解-----写出方程两个解;
一元二次方程的应用
某中学为美化校园，准备在长32米，宽20米的 长方形场地上修筑若干条一样宽的道路，余下 部分作草坪，并请全校学生参与设计。现选取 了几位同学设计的方案（图纸如下）： （1）甲同学方案如图，设计草坪的总面积为 540平方米。
问：道路的宽为多少？
20 32
一元二次方程的应用
（2）若选取乙同学方案（如图），已知设计草坪 的总面积为540平方米。则道路的宽又为多少？
将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.这两个正方形的面积之和可能等于 200cm2吗?
解 :3.设剪下x的 c,根 m 一 据 段 ,得 题 为 意
(x)256x2 200. 4 4
1、如果等腰三角形的三条边长是x2-6x+5=0 的根，则这个等腰三角形的周长是------------
-------2、设（3a+3b-2)(3a+3b+1)=4 , 则a+b的值 是-----------------
浙教版数学八年级下册第2章《一元二次方程》复习课件
须先将方程化为一般情势 在写一元二次方程的一般情势时,通常按未知
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
数的次数从高到低排列,即先写二次项,再写一 次项,最后是常数项。
判断下列方程是一元二次方程吗?
(1) x2 5x 150√
2 (2) x2 5 3
(3) (x 3)2 7 √ (4) x2 2 y 3 0
(5) 3x2 5x 0 √
用开平方法解下列方程:
(1)3x2－48=0;
(2)(x－5)2=9
(3)(2x－3)2=7
3、先配方再开平方法
对于形如x2+ax+b=0的方程,不能
因式分解。用配方法
加上一次项系数一半的平方
(1)x2＋6x=1 (2)x2=6－5x (3)x2+13=12x
步骤？
一元二次方程的解法： （1）因式分解法 若A·B=0，则A=0或B=0
做一做：
（1） 27x2 18x 3
（2）(x 2)2 2x 4
（3）4(x 3)2 x(x 3) 0
（4） (7x1)2 4x2 （5）x2 2x 3 0
2、直接开平方法
一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,
根据平方根的定义,可解得 x1 a , x2 a
这种解一元二次方程的方法叫做开平方法.
此类方程一定有实数根么？
必须符合什么条件？
当 b2 4ac 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2 4ac 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2 4ac＜时0 ，方程没有实数根.
一般地,对于一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) ,
2
如果 b2 4ac 0 ,
解法一：设方程的另一个根为x2. 由根与系数的关系，得 2 ＋ x2 = k+1 2 x2 = 3k 解这方程组，得 x2 =－3 k =－2
浙江省温州市泰顺县新浦中学八年级数学下册 一元二次方程的解法期末复习课件 人教新课标
④写出方程的两个根
选择适当的方法解下列方程：
▪① x2 x
x1 1,x2 0
t 4t 5 ▪ ② 2
t1=5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt2= -1
▪ ③ (x+2)(x2) 1 X= 5
请你选择恰当的方法解方程
① (x2)2 9
- x1=5,X2= 1
②
x (2x+5)=2 (2x+5)
x1
2,
x2
5 2
③③
(x－1)2=4(x+3)2
步骤
①二次项系数化1 ②移项
左右两边同时加上( 5 ) ，2 得:
x25x 6 25 225 . 3 36 3 36
x
5
2
49 .
6
36
开平方，得: x 5 49.
6
36
x1
2,
x2
1. 3
③配方
(配上一次项系数一半的 平方)
④写成（x+a）2 =b(b≥0) 的形式 ⑤开平方
⑥写出方程的两个解
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/152022/1/152022/1/152022/1/15
选择适当的方法解下列方程：
▪① x2 x
x1 1,x2 0
t 4t 5 ▪ ② 2
t1=5ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱt2= -1
▪ ③ (x+2)(x2) 1 X= 5
请你选择恰当的方法解方程
① (x2)2 9
- x1=5,X2= 1
②
x (2x+5)=2 (2x+5)
x1
2,
x2
5 2
③③
(x－1)2=4(x+3)2
步骤
①二次项系数化1 ②移项
左右两边同时加上( 5 ) ，2 得:
x25x 6 25 225 . 3 36 3 36
x
5
2
49 .
6
36
开平方，得: x 5 49.
6
36
x1
2,
x2
1. 3
③配方
(配上一次项系数一半的 平方)
④写成（x+a）2 =b(b≥0) 的形式 ⑤开平方
⑥写出方程的两个解
3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
▪1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 ▪2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 ▪3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 ▪4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 ▪5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 ▪6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022 ▪7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/152022/1/15January 15, 2022 ▪8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/152022/1/152022/1/152022/1/15
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１、用直接开平方法：(x+2)2=９
解:两边开平方,得: x+2= ±3
∴ x=-2±3
右边开平方 后，根号前 取“±”。
∴ x1=1, x2=-5
2、用配方法解方程4x2-8x-5=0
两边加上相等项“1”。
3、用公式法解方程
3x2=4x+7
解:移项,得: 3x2-4x-7=0 a=3 b=-4 c=-7 ∵b2-4ac=(-4)2-4×3×(-7)=100＞0
步骤归纳
①右边化为0,左边化成两个因式 的积； ②分别令两个因式为0，求解。
步骤归纳
① 同除二次项系数化为1； ②移常数项到右边； ③两边加上一次项系数一半的平方； ④化直接开平方形式; ⑤解方程。
步骤归纳
① 先化为一般形式； ②再确定a、b、c,求b2-4ac； ③ 当 b2-4ac≥ 0时,代入公式:
1、判断下面哪些方程是一元二次方程
(1)x -3x+4=x -7 (2) 2X = -4 (3)3 X+5X-1=0 (4) 3x - 1 2 0 x
2 2 2
2
2
(×) (√ ) (×) (×) (×) ( ) √
(5) x 1 3
2
(6) y 0
y 4 2
一元二次方程的一般式
一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化 为 ax 2 bx c 0 ,的形式,我们把ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.
想一想
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
其中xa2，bx,c分别称为二次项，一次项，常数 项，a,b分别称为二次项系数,一次项系数.
小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法
一元二次方程的定义
把握住：一个未知数，最高次数是2， 整式方程
一般形式：ax² +bx+c=0（a0）
一 元 二 次 方 程
直接开平方法： 适应于形如（x-k）² =h（h>0）型
一元二次方程的解法
配方法： 适应于任何一个一元二次方程 公式法： 适应于任何一个一元二次方程 因式分解法：
（A）0 （B）2
2
（C）0或-2
（D）0或2
2 3、用配方法解方程x x 1 0的根，正确的配方为 D ） （ 3
1 2 8 A.（x ） 3 9
2 2 5 B.（x ） 3 9
1 2 10 C.（x ） 0 3 9
1 2 10 D.（x ） 3 9
例:解下列方程
½
3、写出一个根为5的一元二次方 程 。
4.若x=2是方程x2+ax-8=0的解，则 a= ;
你学过一元二次方程的哪些解法?
因式分解法 开平方法
配方法
公式法
一元二次方程的解法
1、已知一元二次方程(x+1)(2x－1)=0的解是（ D ） （A）-1 （B）1/2 （C）-1或-2 （D）-1或1/2 2、已知一元二次方程x2=2x 的解是（ D ）
- b± b - 4ac x = 2a 若b2-4ac＜0,方程没有实数根。
2
练习三
选用适当方法解下列一元二次方程
1、 (2x+1)2=64 ( 直接开平方 法） 2、 (x-2)2-４(x+１)2=0 ( 分解因式 法） 3、(５x-４)2 -(4-５x)=０ ( 分解因式 法） 4、 x２-４x-10=０ ( 配方 法） 5、 ３x２-４x-５=０ ( 公式 法） 6、 x２＋６x-1=0 ( 配方 法） 7、 x２ -x-３=０ ( 公式 法） 8、 y2- 2 y-1=0 ( 公式 法）
先变为一般 形式，ห้องสมุดไป่ตู้入 时注意符号。
∴x = ∴x1= -1
4± 100 6
=
2± 5 3
x2 =
把y+2看作一个 未知数，变成 (ax+b)(cx+d)= 0形式。
4、用因式分解法解方程：（y+2)2=3(y+2）
解:原方程化为 （y+2) 2﹣ 3（y+2）=0 (y+2)(y+2-3)=0 (y+2)(y-1)=0 y+2=0 或 y-1=0 ∴y1=-2 y2=1
ax bx c 0
2
一元二次方程（关于x）
（a≠0）
一般形式
二次项 一次项 常数项 系数 系数 3 3 0 -8 -1 4
3x² -1=0
3x（x-2）=2（x-2）
3x² -1=0
3x² -8x+4=0
一元二次方程的一般式
ax bx c 0
2
2
1、若 m 2x m 2x 2 0 是关于x的一元二次方程则 m ≠－ 2 。 2 2 2、已知关于x的方程 m 1 x m 1x 2m 1 0 ，当m -1 ≠±1 _______时是一元二次方程，当m= 时是一元一次方程， 当m= 时，x=0。
适应于左边能分解为两个一次式的积， 右边是0的方程
一元二次方程的应用