复数的四则运算(2)
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复数代数形式的四则运算(教学设计)( 2)§ 322复数代数形式的乘除运算教学目标:知识与技能目标:理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则,熟练进行复数的乘法和除法的运算。
理解复数乘法的交换律、结合律、分配律;了解共轭复数的定义及性质”过程与方法目标:理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题”情感、态度与价值观目标:复数的几何意义单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味,学生不易接受,教学时,我们采用讲解或体验已学过的数集的扩充的,让学生体会到这是生产实践的需要从而让学生积极主动地建构知识体系。
教学重点:复数代数形式的除法运算。
教学难点:对复数除法法则的运用。
教学过程:一、复习回顾,新课引入:1 复数 z i与 Z2的和的定义:z i+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、复数 z i 与 Z2 的差的定义:z i-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、复数的加法运算满足交换律:Z l+Z2=z2+Z1.4、复数的加法运算满足结合律:(Z1 + Z2)+Z3=Z1 +(Z2+Z3).二、师生互动、新课讲解:1 •乘法运算规则:规定复数的乘法按照以下的法则进行:设 z i=a+bi, Z2=c+di(a、b、c、d € R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac— bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-i,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2. 乘法运算律:(1) Z i(Z2Z3)=(Z i Z2)Z3证明:设 z i=a i+b i i, Z2= a2+b2i, Z3=a3+ b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€ R).T z i z2=( a i+b i i)(a2+b2i)=( a i a2-b i b2)+(b i a2+ a i b2)i,Z2Z i=(a2+b2i)(a i + b i i)=( a2a i-b2b i)+(b2a i+a2b i)i.又 a i a2-b i b2=a2a i-b2b i, b i a2+a i b2=b2a i+a2b i.二 Z i z2=Z2Z i.(2) Z i(Z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3证明:设 z i=a i+b i i, Z2= a2+b2i, Z3=a3+ b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€ R).■/ (z i z2)z3= [ (a i+b i i)(a2+b2i)] (a3+ b3i)= [ (a i a2-b i b2)+(b i b2+a i b2)i] (a3+ b3i) =[(a i a2-b i b2)a3-(b i a2+a i b2)b3] + [(b i a2+a i b2)a3+(a i a2-b i b2)b3] i =(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2 b3)+(b i a2a3+a i b2b3+a i a2b3-b i b2b3) i, 同理可证:z i(z2Z3)=(a i a2a3-b i b2a3-b i a2b3-a i b2b3)+(b i a2a3+a i b2a3+a i a2b3-b i b2b3)i, (Z i Z2)Z3=Z i(Z2Z3).(3) Z i (Z2+ Z3)=Z i Z2+Z i Z3.证明:设 z i=a i+b i i, Z2= a2+b2i, Z3=a3+ b3i(a i, a2, a3, b i, b2, b3€ R).T z i(z2+z3)=(a i+b i i) [(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a i+b i i) [ (a2+a3)+(b2+b3)i]=[a i(a2+a3)-b i(b2+b3)] + [ b i(a2+a3)+a i(b2+b3)] i =(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+(b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i.z i z2+z i z3=(a i+b i i)(a2+b2i)+(a i + b i i)(a3+b3i) =(a i a2-b i b2)+(b i a2+a i b2)i+(a i a3-b i b3)+( b i a3+a i b3)i =(a i a2-b i b2+a i a3-b i b3)+(b i a2+a i b2+b i a3+a i b3)i =(a i a2+a i a3-b i b2-b i b3)+(b i a2+b i a3+a i b2+a i b3)i .Z i(z2+Z3)=Z i Z2+Z i Z3.解:(1 2i) (3 4i)1 2i 3 4i例 1 (课本 P58 例 2)计算(1-2i)(3+4i)(-2+i) 解:(1-2i)(3+4i)(-2+i) = (11-2i) (-2+i)= -20+15i. 例2 (课本P59例3)计算:(1) (3+4i) (3-4i) ; (2) (1+ i)2.解:(1) (3+4i) (3-4i) =3 2- ( 4i) 2=9-(-16)=25; (2) (1+ i)2=1+2 i+i 2=1+2 i-1=2 i.3•共轭复数:当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数 轭复数也叫做共轭虚数.通常记复数z 的共轭复数为z 。
§2复数的四则运算学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加减乘除运算.2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.3.理解共轭复数的概念.知识点一复数代数形式的加减法思考类比多项式的加减法运算,想一想复数如何进行加减法运算?答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+b i)±(c+d i)=(a±c)+(b±d)i.梳理(1)运算法则设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i,(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.(2)加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).知识点二复数的乘法及其运算律思考怎样进行复数的乘法运算?答案两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.梳理(1)复数的乘法法则设z1=a+b i,z2=c+d i是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3∈C,有知识点三共轭复数当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数,z的共轭复数用z表示.即当z=a+b i时,z=a-b i.知识点四复数的除法法则设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R,z2≠0),则z1z2=a+b ic+d i=ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c+d i≠0).1.在进行复数的加法时,实部与实部相加得实部,虚部与虚部相加得虚部.(√) 2.复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,再加减.(√)3.两个共轭复数的和与积是实数.(√)4.若z1,z2∈C,且z21+z22=0,则z1=z2=0.(×)类型一 复数的加法、减法运算例1 (1)若z 1=2+i ,z 2=3+a i(a ∈R ),复数z 1+z 2所对应的点在实轴上,则a =________.(2)已知复数z 满足|z |i +z =1+3i ,则z =________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)-1 (2)1+43i 解析 (1)z 1+z 2=(2+i)+(3+a i)=5+(a +1)i ,由题意得a +1=0,则a =-1.(2)设z =x +y i(x ,y ∈R ),则|z |=x 2+y 2, ∴|z |i +z =x 2+y 2i +x +y i =x +(x 2+y 2+y )i=1+3i , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,x 2+y 2+y =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =43,∴z =1+43i. 反思与感悟 (1)复数的加减运算就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.(2)当一个等式中同时含有|z |与z 时,一般用待定系数法,设z =x +y i(x ,y ∈R ). 跟踪训练1 (1)若复数z 满足z +i -3=3-i ,则z =________.(2)(a +b i)-(2a -3b i)-3i =________(a ,b ∈R ).(3)已知复数z 满足|z |+z =1+i ,则z =________.考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的综合应用答案 (1)6-2i (2)-a +(4b -3)i (3)i解析 (1)∵z +i -3=3-i ,∴z =6-2i.(2)(a +b i)-(2a -3b i)-3i=(a -2a )+(b +3b -3)i =-a +(4b -3)i.(3)设z =x +y i(x ,y ∈R ),|z |=x 2+y 2, ∴|z |+z =(x 2+y 2+x )+y i =1+i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2+y 2+x =1,y =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =1, ∴z =i.类型二 复数代数形式的乘除运算例2 计算:(1)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i); (2)(1+2i )2+3(1-i )2+i; (3)(1-4i )(1+i )+2+4i 3+4i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)⎝⎛⎭⎫-12+32i ⎝⎛⎭⎫32+12i (1+i) =⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫-34-34+⎝⎛⎭⎫34-14i (1+i) =⎝⎛⎭⎫-32+12i (1+i) =⎝⎛⎭⎫-32-12+⎝⎛⎭⎫12-32i =-1+32+1-32i.(2)(1+2i )2+3(1-i )2+i =-3+4i +3-3i 2+i=i 2+i=i (2-i )5=15+25i. (3)(1-4i )(1+i )+2+4i 3+4i =5-3i +2+4i 3+4i=7+i 3+4i =(7+i )(3-4i )(3+4i )(3-4i ) =21-28i +3i +425=25-25i 25=1-i. 反思与感悟 (1)按照复数的乘法法则,三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致,在计算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.(2)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘以分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类似.跟踪训练2 计算:(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i);(2)3+2i 2-3i +3-2i 2+3i; (3)(i -2)(i -1)(1+i )(i -1)+i. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则解 (1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i)=(24+8i -6i +2)-(28+21i -4i +3)=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i.(2)3+2i 2-3i +3-2i 2+3i=i (2-3i )2-3i +-i (2+3i )2+3i=i -i =0.(3)(i -2)(i -1)(1+i )(i -1)+i =i 2-i -2i +2i -1+i 2-i +i=1-3i -2+i =(1-3i )(-2-i )(-2+i )(-2-i ) =-2-i +6i +3i 25=-5+5i 5=-1+i. 类型三 i 的运算性质例3 计算:(1)2+2i (1-i )2+⎝ ⎛⎭⎪⎫21+i 2 016; (2)i +i 2+…+i 2 017.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质 解 (1)原式=2(1+i )-2i+⎝⎛⎭⎫22i 1 008=i(1+i)+(-i)1 008 =i +i 2+(-1)1 008·i 1 008=i -1+i 4×252=i -1+1=i.(2)方法一 原式=i (1-i 2 017)1-i =i -i 2 0181-i =i -(i 4)504·i 21-i=i +11-i =(1+i )(1+i )(1-i )(1+i )=2i 2=i. 方法二 因为i n +i n +1+i n +2+i n +3=i n (1+i +i 2+i 3)=0(n ∈N +),所以原式=(i +i 2+i 3+i 4)+(i 5+i 6+i 7+i 8)+…+(i 2 013+i 2 014+i 2 015+i 2 016)+i 2 017=i 2 017=(i 4)504·i =1504·i =i.反思与感悟 (1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用,i 的周期性要记熟,即i n +i n +1+i n +2+i n +3=0(n ∈N +).(2)记住以下结果,可提高运算速度.①(1+i)2=2i ,(1-i)2=-2i.②1-i 1+i =-i ,1+i 1-i=i.③1i=-i. 跟踪训练3 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 018=________. 考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质答案 -1解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 018=⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1+i )(1+i )(1-i )(1+i ) 2 018=⎝⎛⎭⎫2i 2 2 018 =i 2 018=(i 4)504·i 2=1504·i 2=-1.(2)化简i +2i 2+3i 3+…+100i 100.考点 虚数单位i 及其性质题点 虚数单位i 的运算性质解 设S =i +2i 2+3i 3+…+100i 100,①所以i S =i 2+2i 3+…+99i 100+100i 101,②①-②得(1-i)S =i +i 2+i 3+…+i 100-100i 101=i (1-i 100)1-i -100i 101=0-100i =-100i.所以S =-100i 1-i =-100i (1+i )(1-i )(1+i )=-100(-1+i )2 =50-50i.所以i +2i 2+3i 3+…+100i 100=50-50i.类型四 共轭复数及其应用例4 把复数z 的共轭复数记作z ,已知(1+2i)z =4+3i ,求z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i ,由已知得(1+2i)(a -b i)=(a +2b )+(2a -b )i =4+3i ,由复数相等的定义知,⎩⎪⎨⎪⎧ a +2b =4,2a -b =3,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =2,b =1, 所以z =2+i.引申探究若将本例条件改为z (z +2)=4+3i ,求z .解 设z =x +y i(x ,y ∈R ).则z =x -y i ,由题意知,(x -y i)(x +y i +2)=4+3i.得⎩⎪⎨⎪⎧x (2+x )+y 2=4,xy -y (x +2)=3, 解得⎩⎨⎧ x =-1-112,y =-32或⎩⎨⎧ x =-1+112,y =-32, 所以z =⎝⎛⎭⎫-1-112-32i 或z =⎝⎛⎭⎫-1+112-32i. 反思与感悟 当已知条件出现复数等式时,常设出复数的代数形式,利用复数相等的充要条件转化为实数问题求解.跟踪训练4 已知复数z 满足|z |=1,且(3+4i)z 是纯虚数,求z 的共轭复数z .考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则|z |=a 2+b 2=1,即a 2+b 2=1.①因为(3+4i)z =(3+4i)(a +b i)=(3a -4b )+(3b +4a )i 是纯虚数,所以3a -4b =0,且3b +4a ≠0.② 由①②联立,解得⎩⎨⎧ a =45,b =35或⎩⎨⎧ a =-45,b =-35.所以z =45-35i 或z =-45+35i.1.设z 1=3-4i ,z 2=-2+3i ,则z 1-z 2在复平面内对应的点位于() A .第一象限 B .第二象限C .第三象限D .第四象限 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法与点的对应答案 D解析 ∵z 1-z 2=5-7i ,∴z 1-z 2在复平面内对应的点位于第四象限.2.设复数z 满足i z =1,其中i 为虚数单位,则z 等于( )A .-iB .iC .-1D .1考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 z =1i =-i.3.若z =4+3i(i 为虚数单位),则z|z |等于( )A .1B .-1C.45+35iD.45-35i考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的运算法则答案 D解析z=4+3i,|z|=5,z|z|=45-35i.4.设i 是虚数单位,z 是复数z 的共轭复数,若z =2i 31+i,则z =________. 考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 -1+i解析 z =2i 31+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-1-i , 所以z =-1+i.5.已知复数z 满足:z ·z +2z i =8+6i ,求复数z 的实部与虚部的和.考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z ·z =a 2+b 2,∴a 2+b 2+2i(a +b i)=8+6i ,即a 2+b 2-2b +2a i =8+6i ,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2+b 2-2b =8,2a =6,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =3,b =1, ∴a +b =4,∴复数z 的实部与虚部的和是4.1.复数代数形式的加减法满足交换律、结合律,复数的减法是加法的逆运算.2.复数代数形式的乘除运算(1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.(2)在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化.3.复数问题实数化思想复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数z=a+b i(a,b∈R),利用复数相等的充要条件转化.一、选择题1.若复数z 满足z +(3-4i)=1,则z 的虚部是( )A .-2B .4C .3D .-4考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 B解析 ∵z +(3-4i)=1,∴z =-2+4i ,故z 的虚部是4.2.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,那么z 等于( )A .-34+i B.34-i C .-34-i D.34+i 考点 复数的加减法运算法则题点 复数加减法的运算法则答案 D解析 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z +|z |=(a +a 2+b 2)+b i =2+i , 则⎩⎪⎨⎪⎧ a +a 2+b 2=2,b =1, 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =34,b =1, ∴z =34+i.3.已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z等于()A.-2-i B.-2+iC.2-i D.2+i考点复数的乘除法运算法则题点利用乘除法求复数答案 C解析由(z-1)i=1+i,两边同乘以-i,则有z-1=1-i,所以z=2-i.4.已知复数z 1=3-b i ,z 2=1-2i ,若z 1z 2是实数,则实数b 等于( )A .6B .-6C .0 D.16考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 A解析 ∵z 1z 2=3-b i1-2i =(3-b i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=3+2b +(6-b )i 5是实数,∴6-b =0,∴实数b 的值为6,故选A.5.已知i 为虚数单位,图中复平面内的点A 表示复数z ,则表示复数z1+i 的点是()A .MB .NC .PD .Q考点 复数的乘除法运算法则题点 运算结果与点的对应关系答案 D解析 由图可知z =3+i ,所以复数z 1+i =3+i 1+i =(3+i)(1-i )(1+i )(1-i )=4-2i 2=2-i 表示的点是Q (2,-1).故选D.6.设复数z 满足1+z1-z =i ,则|z |等于( )A .1 B. 2 C. 3 D .2考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 A解析 由1+z 1-z=i , 得z =-1+i 1+i=(-1+i )(1-i )2=2i 2=i , ∴|z |=|i|=1.7.若z +z =6,z ·z =10,则z 等于( )A .1±3iB .3±iC .3+iD .3-i考点 共轭复数的定义与应用题点 与共轭复数有关的综合问题答案 B解析 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i , 所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a =6,a 2+b 2=10,解得⎩⎪⎨⎪⎧ a =3,b =±1,则z =3±i. 8.计算(-1+3i )3(1+i )6+-2+i 1+2i的值是( ) A .0 B .1 C .2i D .i考点 复数四则运算的综合应用题点 复数的混合运算答案 C解析 原式=(-1+3i )3[(1+i )2]3+(-2+i )(1-2i )(1+2i )(1-2i )=(-1+3i )3(2i )3+-2+4i +i +25=⎝⎛⎭⎫-12+32i 3-i +i =1-i +i =i (-i )i+i =2i.二、填空题9.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a ,则a b的值为________. 考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数中的未知数答案 2解析 因为(1+i)(1-b i)=1+b +(1-b )i =a ,又a ,b ∈R ,所以1+b =a 且1-b =0,得a =2,b =1,所以a b=2. 10.若复数z 满足(3-4i)z =4+3i(i 是虚数单位),|z |=________.考点 复数的乘除法运算法则题点 利用乘除法求复数答案 1解析 因为(3-4i)z =4+3i ,所以z =4+3i 3-4i =(4+3i )(3+4i )(3-4i )(3+4i )=25i 25=i. 则|z |=1.11.定义一种运算:⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d =ad -bc .则复数⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+i -12 3i 的共轭复数是________.考点 共轭复数的定义与应用题点 利用定义求共轭复数答案 -1-3i解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1+i -12 3i =3i(1+i)+2=-1+3i , ∴其共轭复数为-1-3i.三、解答题12.已知z ,ω为复数,(1+3i)z 为纯虚数,ω=z 2+i,且|ω|=52,求ω. 考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用解 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则(1+3i)z =a -3b +(3a +b )i.由题意得a -3b =0,3a +b ≠0.因为|ω|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 2+i =52, 所以|z |=a 2+b 2=510,将a =3b 代入,解得a =15,b =5或a =-15,b =-5,故ω=±15+5i 2+i=±(7-i). 13.已知复数z =1+i.(1)设ω=z 2+3z -4,求ω;(2)若z 2+az +b z 2-z +1=1-i ,求实数a ,b 的值. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与混合运算有关的未知数求解解 (1)因为z =1+i ,所以ω=z 2+3z -4=(1+i)2+3(1-i)-4=-1-i.(2)因为z =1+i ,所以z 2+az +b z 2-z +1=(1+i )2+a (1+i )+b (1+i )2-(1+i )+1=1-i , 即(a +b )+(a +2)i i=1-i , 所以(a +b )+(a +2)i =(1-i)i =1+i ,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a +2=1,a +b =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =2.四、探究与拓展14.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为m 和n ,则复数(m +n i)(n -m i)为实数的概率为________.考点 复数的乘除法运算法则题点 乘除法的综合应用答案 16解析 易知(m +n i)(n -m i)=mn -m 2i +n 2i +mn =2mn +(n 2-m 2)i. 若复数(m +n i)(n -m i)为实数,则m 2=n 2,即(m ,n )共有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),6种情况,所以所求概率为636=16. 15.设z 是虚数,ω=z +1z是实数,且-1<ω<2. (1)求|z |的值及z 的实部的取值范围;(2)设μ=1-z 1+z,求证:μ为纯虚数. 考点 复数四则运算的综合应用题点 与四则运算有关的问题(1)解 因为z 是虚数,所以可设z =x +y i(x ,y ∈R ,且y ≠0),则ω=z +1z =(x +y i)+1x +y i =x +y i +x -y i x 2+y 2=⎝⎛⎭⎪⎫x +x x 2+y 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -y x 2+y 2i. 因为ω是实数,且y ≠0,所以y -y x 2+y 2=0,即x 2+y 2=1. 所以|z |=1,此时ω=2x .又-1<ω<2,所以-1<2x <2.所以-12<x <1, 即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫-12,1. (2)证明 μ=1-z 1+z =1-(x +y i )1+(x +y i )=(1-x -y i )(1+x -y i )(1+x )2+y 2=1-x 2-y 2-2y i 1+2x +x 2+y 2.又x2+y2=1,所以μ=-yi.1+x 因为y≠0,所以μ为纯虚数.。
教学内容3.2 复数的四则运算(2) 教学目标要求 1.掌握复数的除法及乘方运算法则及意义.2.理解并掌握复数进行四则运算的规律教学重点 复数乘方运算教学难点 复数运算法则在计算中的熟练应用教学方法和教具 类比探究法 教师主导活动 学生主体活动一、 复习回顾1.复数的加法,减法和乘法.2.共轭复数:共轭复数:i z a b =+与i z a b =-互为共轭复数;实数的共轭复数是它本身;共轭复数的简单性质:2z z a -+=;2i z z b --=;22z z a b -⋅=+. 二、建构数学乘方运算法则:z ,z 1,z 2∈C 及m ,n ∈N *.(1)m n m n z z z += (2) ()m n mn z z = (3) 1212()n n n z z z z =.除法运算:z 2=c +d i ≠0,2222i (i)(i)i i (i)(i)a b a b c d ac bd bc ad c d c d c d c d c d ++-+-==+++-++. 三、数学应用例1 计算2i 34i--. 解 解法一 设2i 34i --=x +y i ,即(3-4i)( x +y i)=2-i ; 所以342341x y y x ⎧⎨⎩+=-=- 所以2515x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩== 所以2i 34i --=25+15i 解法二 2i 34i --=(2i)(34i)(34i)(34i)-+-+=105i 25+=25+15i例2 计算.2(1i)_______+=;2(1i)_______-=;1i _______1i+=-;1i _______1i -=+; 20111i _______1i ⎛⎫ ⎪⎝⎭-=+.例3 求值i +i 2+i 3+…+i 2010.例4 设13i 22ω=-+,求证:(1)210ωω++=(2)31ω=. 证明 (1)221313(i)i 2222ω=-+=-- 所以2131311i i 02222ωω++=-+--= (2)221313(i)i 2222ω=-+=-- 所以321313(i)(i)12222ωωω==-+--= 思考 写出13=x 在复数范围内的三个根?结论4 23213i 22101ωωωωωω=-+++=== , 23213i 22101ωωωωωω=--++===四、巩固练习课本P117练习第2,3题.五、要点归纳与方法小结本节课学习了以下内容:1.复数的乘方法则和运算律.2.复数的除法法则和运算律.3.几个常用的结论.板书设计教后札记。
复数的四则运算(2)学习目标:1.理解复数代数形式的四则运算法则2.能运用运算律进行复数的四则运算学习重点:复数的加减运算、乘除运算、乘方运算学习难点:灵活准确地进行复数代数形式的四则运算学习过程:设Z 1=a+b i(a,b ∈R) Z 2=c+d i(c,d ∈R)则Z 1Z 2=两个复数的积依然是一个复数,它的实部是 ,它的虚部是复数的乘法满足交换律、 、一 复数的乘法已知两个复数Z 1=a+b i(a,b ∈R) Z 2=c+d i(c,d ∈R)则Z 1Z 2=两个复数的积依然是一个复数,它的实部是 ,它的虚部是 复数的乘法满足交换律、 、对任何123,,z z z 即有:例1 计算:(1) (2-3i)(4+2i) (2)(1+2i)(3+4i)(-2+i) (3)(a+bi)(a-bi)二 复数的乘方复数的乘方运算是指几个相同复数相乘.对任意复数z, z 1 ,z 2 以及正整数m,n 有z z ) z (z z )(z z z z n2n 1n 21mn n m n m n m ===⋅+12123123()()z z z z z z z z ==+=对于i ,有i 4n =1,i4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n+3=-i (n ∈N*)例2 计算:( 1+2i) 2例3练习: 1+1i +2i +3i +…+2007i 的值为(1) 1 (2) -1 (3) 0 (4) i三 复数的除法已知两个复数z 1=a+bi ,z 2=c+di (a,b,c,d ∈R),则例4 计算()0≠2z 其中()()i d c ad bc d c bdac di c di c bi a di c bi a z z 2222221+-+++=+-+=++=().n i ∈+-当时计算所有可能的取值*n n N ,i 1000222)12(321321)2(1)21()3()2(913)2(11)1(i i i i i i i i i i i ++++-++---++++-小结=±=⋅⋅⋅=+++≠++++++⨯23 21321414414) 1(:.2)()(:.1ii ii iiiiiiinnnnnnnn常用的结果分数指数幂因为在复数集中未定义注意。
3.2 复数的四则运算(二)1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法.2.理解i 幂性质,能熟练进行复数的乘方和除法运算. 3.掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题.1.复数的乘方在复数范围内,实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立,即对任意的复数z ,z 1,z 2和正整数m ,n 有z m z n =z m +n ,(z m )n =z mn =(z n )m ,(z 1z 2)n =z n 1z n2.2.i 幂性质一般地,如果n ∈N *,我们有①i 4n=1;②i 4n +1=i ;③i4n +2=-1;④i4n +3=-i .3.复数的除法法则(1)我们把满足(c +d i)(x +y i)=a +b i(c +d i ≠0)的复数x +y i(x ,y ∈R )叫做复数a +b i 除以复数c +d i 的商,记作a +b ic +d i或(a +b i )÷(c +d i). (2)一般地,我们有a +b ic +d i =(a +b i)(c -d i)(c +d i)(c -d i)=ac +bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i. (3)两个复数的商仍是一个复数.1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个复数的积与商一定是虚数.( ) (2)两个共轭复数的和与积是实数.( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ 2.1+3i1-i=( ) A .1+2i B .-1+2i C .1-2i D .-1-2i答案:B3.复数3+ii2(i 为虚数单位)的实部等于________.答案:-34.已知z 是纯虚数,z +21-i是实数,那么z 等于________.解析:因为z 为纯虚数,所以设z =b i(b ∈R 且b ≠0),则z +21-i =b i +21-i =(b i +2)(1+i)(1-i)(1+i)=b i +b i 2+2+2i 1-i2=-b +2+(b +2)i 2=-b +22+12(b +2)i ,又z +21-i 为实数,所以12(b +2)=0,即b =-2.所以z =-2i.答案:-2i复数的乘方运算(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 017等于________.(2)化简i +2i 2+3i 3+…+100i 100.【解】 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 2 017=⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)2 017=⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 2 2 017=i 2 017=(i 4)504·i =1504·i =i.故填i.(2)设S =i +2i 2+3i 3+…+100i 100,① 所以i S =i 2+2i 3+…+99i 100+100i 101,② ①-②得(1-i)S =i +i 2+i 3+…+i 100-100i 101=i(1-i 100)1-i-100i 101=0-100i =-100i.所以S =-100i 1-i =-100i(1+i)(1-i)(1+i)=-100(-1+i)2=50-50i.所以i +2i 2+3i 3+…+100i 100=50-50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集C 中仍适用,i 的周期性要记熟,即i n+i n +1+in +2+in +3=0(n ∈N *).(2)记住以下结果,可提高运算速度. ①(1+i)2=2i ,(1-i)2=-2i.②1-i 1+i =-i ,1+i1-i=i. ③1i=-i. 1.计算:(1)2+2i (1-i)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫21+i 2 016; (2)i +i 2+…+i2 017.解:(1)原式=2(1+i)-2i +⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 008=i(1+i)+(-i)1 008=i +i 2+(-1)1 008·i 1 008=i -1+i4×252=i -1+1 =i.(2)法一:原式=i(1-i 2 017)1-i =i -i2 0181-i=i -(i 4)504·i 21-i =i +11-i =(1+i)(1+i)(1-i)(1+i)=2i2=i.法二:因为i n+in +1+in +2+in +3=i n (1+i +i 2+i 3)=0(n ∈N *),所以原式=(i +i 2+i 3+i 4)+(i 5+i 6+i 7+i 8)+…+(i 2 013+i2 014+i2 015+i2 016)+i2 017=i2 017=(i 4)504·i =1504·i =i.复数的除法运算计算下列各题. (1)3+2i 2-3i -3-2i 2+3i; (2)1i (2+2i)5+⎝ ⎛⎭⎪⎫11+i 4+⎝ ⎛⎭⎪⎫1+i 1-i 7; (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫-32-12i 12+⎝ ⎛⎭⎪⎫2+2i 1-3i 8. 【解】 (1)3+2i 2-3i -3-2i 2+3i=(3+2i)(2+3i)-(3-2i)(2-3i)(2-3i)(2+3i)=13i +13i13=2i.(2)原式=-i ·(2)5·[(1+i)2]2·(1+i)+⎣⎢⎡⎦⎥⎤1(1+i)22+i 7=162(-1+i)-14-i =-⎝⎛⎭⎪⎫162+14+(162-1)i. (3)原式=(-i)12·⎝ ⎛⎭⎪⎫-32-12i 12+⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1+i 12-32i 8 =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 12+[(1+i)2]4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32i ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32i 33=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 34+(-8+83i)=1-8+83i =-7+83i.(1)复数的除法运算中,要牢记“分母实数化”(类比实数运算的分母有理化),即分子、分母同乘以分母的共轭复数,不必死记除法法则.(2)复数的运算顺序与实数运算顺序相同,都是先进行高级运算(乘方、开方),再进行次级运算(乘、除),最后进行低级运算(加、减).如i 的幂运算,先利用i 的幂的周期性,将其次数降低,然后再进行四则运算.(3)要记住下列结果,使运算起点高. ①1i =-i ;②1+i 1-i =i ;③1-i 1+i =-i ; ④⎝ ⎛⎭⎪⎫-12±32i 3=1;⑤⎝ ⎛⎭⎪⎫12±32i 3=-1. 2.计算下列各题:(1)-1+3i 1+i ;(2)3-4i 4+3i +1+i 1-i ;(3)(2+2i)4(1-3i)5. 解:(1)原式=(-1+3i)(1-i)(1+i)(1-i)=-1+3+(1+3)i 2=3-12+3+12i.(2)原式=(3-4i)(4-3i)(4+3i)(4-3i)+(1+i)2(1-i)(1+i)=(12-12)-(16+9)i 25+2i2=-i +i =0.(3)(2+2i)4(1-3i)5=24(1+i)4(1-3i)5=24·(2i)2(1-3i)5=-2⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32i 5 =2⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 5=2⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 6⎝ ⎛⎭⎪⎫-12+32i 5=-1+3i.复数范围内解方程、因式分解问题在复数范围内解方程: (1)x 2-2x +3=0; (2)x 3-1=0.【解】 (1)法一:因为x 2-2x +3=(x -1)2+2 =(x -1)2-(2i)2=(x -1-2i)(x -1+2i)=0, 所以x =1+2i 或x =1-2i.所以方程x 2-2x +3=0的两根为1+2i 和1-2i. 法二:设x =a +b i(a ,b ∈R )为方程x 2-2x +3=0的根, 则(a +b i)2-2(a +b i)+3=0, 整理得a 2-b 2-2a +3+2b (a -1)i =0.由复数相等的充要条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2-2a +3=0,2b (a -1)=0.解得⎩⎨⎧a =1,b =2,或⎩⎨⎧a =1,b =- 2.所以方程x 2-2x +3=0的两根为1+2i 和1-2i. 法三:因为x 2-2x +3=(x -1)2+2, 又因为x 2-2x +3=0,所以(x -1)2+2=0. 所以(x -1)2=-2.所以x -1=2i 或x -1=-2i , 即x =1+2i 或x =1-2i.所以方程x 2-2x +3=0的两根为1+2i 和1-2i. (2)因为x 3-1=(x -1)(x 2+x +1)=(x -1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34=(x -1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122-⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2=(x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12+32i =0,所以x =1或x =-12+32i 或x =-12-32i.复数范围内解方程的一般思路:一是因式分解,二是对次数较低的方程依据题意设出方程的根,代入方程,利用复数相等的充要条件求解.对于一元二次方程,也可以利用求根公式求解,要注意在复数范围内负数是能开方的,此外,根与系数的关系也是成立的.注意求方程中参数的取值时,不能利用判别式求解.3.在复数范围内分解因式:(1)x 2+x +1;(2)x 2-x +1;(3)x 6-1.解:(1)x 2+x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122+34=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122-34i 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x +122-⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2 =⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12+32i . (2)x 2-x +1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-34i 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122-⎝ ⎛⎭⎪⎫32i 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12+32i . (3)x 6-1=(x 3+1)(x 3-1)=(x +1)(x 2-x +1)(x -1)(x 2+x +1)=(x +1)(x -1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12+32i ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12-32i ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12+32i .1.复数除法的认识复数除法的法则形式复杂,难于记忆.所以有关复数的除法运算,只要记住利用分母的共轭复数对分母进行“实数化”,然后结果再写成一个复数a +b i(a ,b ∈R )的形式即可.2.复数范围内因式分解由于实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立,因此可以据此在复数范围内进行因式分解,而原来在实数范围内不能进行的因式分解,在复数范围内则可以进行,比如a 2+b 2=a 2-(b i)2=(a +b i)(a -b i).3.1的三次虚根ω的性质由方程x 3-1=0得x 1=1,x 2=-1+3i 2,x 3=-1-3i 2.若取ω1=-1+3i 2,ω2=-1-3i2,有如下性质: (1)ω31=ω32=1; (2)1+ω1+ω2=0; (3)ω21=ω2; (4)ω1·ω2=1,ω1=1ω2,ω2=1ω1;(5)ω1=ω2;(6)1+ω1+ω21=0,1+ω2+ω22=0.下列命题中错误的序号是________. ①若z ∈C ,则z 2≥0;②若z 1,z 2∈C ,且z 1-z 2>0,则z 1>z 2. 【解析】 ①错,反例设z =i 则z 2=i 2=-1<0.②错,反例设z 1=2+i ,z 2=1+i ,满足z 1-z 2=1>0,但z 1、z 2不能比较大小. 【答案】 ①②(1)认为任何一个实数的平方大于零可推广到复数中,易误认为命题①正确. (2)认为两实数之差大于零等价于前一个大于后一个实数,也可推到复数中来.认为两复数差为实数则这两个复数也为实数.而误认为命题②是正确的.(3)把不等式性质错误的推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件.1.复数z =1-i 1+i ,则ω=z 2+z 4+z 6+z 8+z 10的值为( )A .1B .-1C .iD .-i解析:选B .z 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-i 1+i 2=-1,所以ω=-1+1-1+1-1=-1. 2.i -21+2i=________. 解析:法一:原式=(-2+i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=(-2+2)+(1+4)i5=i.法二:原式=i +2i 21+2i =i(1+2i)1+2i =i.答案:i3.若z 是复数,且(3+z )i =1(i 为虚数单位),则z 为________. 解析:由(3+z )i =1,得3+z =1i =-i ,所以z =-3-i.答案:-3-i[A 基础达标]1.设复数z =3+2i2-3i ,则z 的共轭复数为( )A .1B .-1C .iD .-i解析:选D .z =3+2i 2-3i =2-3i2-3i ·i =i ,于是z 的共轭复数为-i.2.若a 为实数,且2+a i1+i =3+i ,则a =( )A .-4B .-3C .3D .4解析:选D .因为2+a i1+i =3+i ,所以2+a i =(3+i)(1+i)=2+4i ,又a ∈R ,所以a=4.3.已知复数z =1-i ,则z 2-2zz -1=( )A .2iB .-2iC .2D .-2解析:选B .法一:因为z =1-i ,所以z 2-2z z -1=(1-i)2-2(1-i)1-i -1=-2-i=-2i.法二:由已知得z -1=-i ,从而z 2-2z z -1=(z -1)2-1z -1=(-i)2-1-i =2i=-2i.4.若复数z 满足z-1-i =i ,其中i 为虚数单位,则z =( )A .1-iB .1+iC .-1-iD .-1+i解析:选A .由题意z -=i(1-i)=1+i ,所以z =1-i ,故选A . 5.若ω=-12+32i ,则ω+1ω=________.解析:ω+1ω=-12+32i +1-12+32i =-12+32i -12-32i =-1.答案:-16.设a ,b ∈R ,a +b i =11-7i1-2i (i 为虚数单位),则a +b 的值为________.解析:因为11-7i 1-2i =(11-7i)(1+2i)(1-2i)(1+2i)=15(25+15i)=5+3i ,所以a =5,b =3. 所以a +b =5+3=8. 答案:87.已知复数z =1+a i(a ∈R ,i 是虚数单位),z -z =-35+45i ,则a =________.解析:由题意可知1-a i 1+a i =(1-a i)2(1+a i)(1-a i)=1-a 21+a 2-2a 1+a 2i =-35+45i , 因此1-a 21+a 2=-35. 化简得5a 2-5=3a 2+3,所以a 2=4,则a =±2. 由-2a 1+a 2=45可知a <0,所以a =-2.答案:-28.若复数z =1+2i ,其中i 是虚数单位,则⎝⎛⎭⎪⎫z +1z -·z -=________.解析:因为z =1+2i ,所以z -=1-2i.所以⎝⎛⎭⎪⎫z +1z -·z -=z ·z -+1=5+1=6.答案:69.计算:-23+i 1+23i +⎝ ⎛⎭⎪⎫21+i 2 018+(4-8i)2-(-4+8i)24+3i . 解:原式=i(23i +1)1+23i+⎝ ⎛⎭⎪⎫22i 1 009+(4-8i)2-(4-8i)24+3i=i +(-i)1 009+04+3i=i -i +0=0. 10.已知复数z 1=a +2i(a ∈R ),z 2=3-4i ,且z 1z 2为纯虚数,求复数z 1.解:z 1z 2=a +2i 3-4i =(a +2i)(3+4i)25=(3a -8)+(6+4a )i25,因为z 1z 2为纯虚数,所以3a -8=0,a =83,z 1=83+2i.[B 能力提升]1.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z =a1-2i +b i(a ,b ∈R )为“理想复数”,则( )A .a -5b =0B .3a -5b =0C .a +5b =0D .3a +5b =0解析:选D .因为z =a 1-2i +b i =a (1+2i)(1-2i)(1+2i)+b i =a 5+(2a 5+b )i.由题意知,a 5=-2a 5-b ,则3a +5b =0. 2.对任意复数ω1,ω2,定义ω1*ω2=ω1ω2,其中ω2是ω2的共轭复数,对任意复数z 1,z 2,z 3,有如下四个命题:①(z 1+z 2)*z 3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3);②z 1*(z 2+z 3)=(z 1*z 2)+(z 1*z 3);③(z 1*z 2)*z 3=z 1*(z 2*z 3);④z 1*z 2=z 2*z 1.则真命题的个数是________.解析:由于ω1*ω2=ω1ω2—,对于①,(z 1+z 2)*z 3=(z 1+z 2)z -3=z 1z -3+z 2z -3=(z 1*z 3)+(z 2*z 3),显然成立;对于②,z 1*(z 2+z 3)=z 1(z 2+z 3)=z 1z -2+z 1z -3=(z 1*z 2)+(z 1*z 3),显然成立;对于③,(z 1*z 2)*z 3=(z 1z -2)z -3=z 1z -2z -3,而z 1*(z 2*z 3)=z 1*(z 2z -3)=z 1z -2z 3,显然不成立;对于④,由于z 1*z 2=z 1z -2,而z 2*z 1=z 2z -1,显然不一定成立.答案:23.已知x 是实数,y 是纯虚数,且满足(2x -1)+i =y -(3-y )i ,求x 与y 的值. 解:根据已知条件x 是实数,y 是纯虚数,可设y =b i(b ∈R ,b ≠0),代入关系式(2x -1)+i =y -(3-y )i ,整理得:(2x -1)+i =-b +(b -3)i ,根据复数相等的充要条件,可得⎩⎪⎨⎪⎧2x -1=-b ,1=b -3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-32,b =4,则有⎩⎪⎨⎪⎧x =-32,y =4i.4.(选做题)求同时满足下列两个条件的所有复数:(1)z +10z 是实数且1<z +10z≤6; (2)z 的实部和虚部都是整数.解:设z =x +y i(x ,y ∈Z ),则z +10z =x +y i +10x +y i =x +y i +10(x -y i)x 2+y 2∈R ,得y -10y x 2+y 2=0, 所以y =0或x 2+y 2=10.若y =0,1<x +10x≤6无解,所以x 2+y 2=10. 从而z +10z=2x ∈(1,6].又x ,y ∈Z ,所以x =1或x =3. 若x =1,则y =±3;若x =3,则y =±1.所以z =1±3i 或z =3±i.。