第四讲常系数线性微分方程组的解法(4课时)一、冃的与要求：理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法.二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法.三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念.四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法.五、教学于段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合.六、教学过程：1新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组.但是对于一般的方程组(3.8), 如何求岀基本解组，至今尚无一般方法.然而对于常系数线性齐次方程组dx(3.20)下面分两种情况讨论.(-)矩阵A的特征根均是单根的情形.设特征根为人，入,…，人,这时入0T~[AT0 A, 方程组(3.20)变为(3.23)易见方程组(3.23)有〃个解Z](兀)=0 严，Z2(x) =■■0010•■乙(兀)= 0■■A..x eH ■■1把这〃个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的舁个解5hi(Z = h Z…加这里7；是矩阵丁第例向豊它恰好是矩阵A关于特征根人的特征向量，并且由线性方程组(A-4E)£=0所确定.容易看岀，y,(X),§(X),…比(x)构成(3.20)的一个基本解组,因为它们的朗斯基行列式W (x)在x = 0时为W(0) = det T工0・于是我们得到定理3.11如果方程组(3.20)的系数阵A的〃个特征根入，希，…，人,彼此互异，且7；込,…卫分别是它们所对应的特征向量，则Z (劝=尹7],场(劝=/込，…比(X)= e A"x T n是方程组(3.20)的一个基本解组.例1试求方程组的通解.解它的系数矩阵是4 = 特征方程是det(A-2E)=3-1 1 _-15-13-13-2-11-15-2-1=0 3-13-2dxdt= 3x- y + zdzdt=x- y + 3z23-lU 2+362-36 = 0所以矩阵A 的特征根为人=2,人=3,入=6.先求A =2对应的特征向量，仅C 满足方程a■ 1-1 1 _Cl（A-人 E ） b —— -1 3 -1 b =0c1 -1 1 c即a-b + c = 0 < -a + 3b-c = 0 a-b + c = Q可得a = —c,b = °.取一组非零解，例如令° = 一1 ,就有 d = l,b =0,c = —1.同样，可求出另两个特征根所对应的 特征向量，这样，这三个特征根所对应的特征向量分别是故方程组的通解是_1 -■f■ 1 ■W)=C {e 2t 0 + C 2e 3f1 + Ge" -2 z(f)-111（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根从上一讲我们已经知道，求解方程组dY 二AYdx(3.20)归结为求矩阵4的特征根和对应的特征向量问题.现在 考虑复根情形.因为4是实的矩阵，所以复特征根是共辘出 现的，设\2=a±i 0是一对共辘根，由定理3.11,对应 解是Y x (x) = e^x T x , Y 2 (%) = e^xT 2其中£兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们 希望求出方程组（3.20）的实值解，这可由下述方法实现.定理3・12如果实系数线性齐次方程组罕=A(X)Y ax 有复值解Y(%)=U(X)+ iV(x)其中L/(x)与卩(兀)都是实向量函数，则其实部和虚部坷(兀)t/(x) =w2(x)■■■，VW =认)■叫(X) 也)证明因为Y(兀)=U(x) + iV(兀)是方程组(3.8)的解，所以dx v ] dx dx=A(x)[U (x) + iV (x)] = A(x)U (x) + iA(x)V (x)由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：dx，dx即g),«)都是方程组(3.8)的解•证毕.定理3・13如果Z (x), Y2 (x),…,人(x)是区间(恥)上的« 个线性无关的向量函数，也厶是两个不等于零的常数，则向量函数组卅(劝+如],^KW-^(x)],5(劝,・・・,匕(劝(3.24)在区间(a, b)上仍是线性无关的.证明(反证法)如果(3.24)线性相关，那么依定义3.1存在〃个不全为零的常数g…,c“,使得对区间(小上的所有兀皆有Cp][X(x) + §(x)] + C2b2[Y{(X)-Y2(X)]+C3Y3O) + …+ C n Y n(x)三0所以(C、b\ + C2b2)Y.(x) + (CQ\ — C2b2)Y2(x) + (x) + …+C n Y n O)三0因为乙(兀)卫(劝,…,乞(兀)线性无关,从而CQ] + C2b2 = 0, C\b[ — C2b2 =0, C3 = 0,…,C” = 0从上式可知，C {b { =C 2Z?2 =0,因为％/?2鼻0,故 6=0=°.即所有常数g …c 都等于零，矛盾.证毕.由代数知识知，实矩阵4的复特征根一定共辘成对地岀 现•即，如果a = a +ib 是特征根，则其共^A = a-ib 也是 特征根.由定理3.11,方程组(3.20)对应于^ = a + ib 的复 值解形式是"1 +"12 Y](x)二严初7二严也■ ■ ■『21 +”22 ■t n□ +心2这里E 是对应于^ = a + ib 的特征向量.由于矩阵A 是实 的，所以上述向量的共辘向量是方程组(3.20)对应于特征根=e ax (cos bx + i sinbx)+ "12 ■ h\ +"22G cos bx-t n sinbxt n cosbx + t n sinbxcos bx -sinbx・ClX4 cosbx + q sinbx■ ■+ ie■■t nl cosbx-t n2 sinbxt n2 cosbx + f 川 sinbx+ lt n2A = a-ib 的解，记作丫2(兀)=严沥工，•现将上述 两个复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为t n cosbx + 帚 sinbx 切 cosbx + Q sinbx■t n2 cosbx + g sinbx由定理3.12和定理3.13,它们分别是方程组(3.20)的解，并 且由此得到的n 个解仍组成基本解组.|[Y 1(X ) + Y 2(X )] = ^cos bx-t n sinbxZ 21 cos bx-12? sinbx■ ■ ■t ni cosbx-t n2 sinbx1[Y 1(X )-Y 2W] = ^2z例2求解方程组dxdt -x-y-z dt 二兀+ydz = 3x + zdt解它的系数矩阵为-1 1-Z 0-1 0 1-A(2-1)(22-22+5) = 0特征方程是-1 -11-2det(A -AE)=特征根为人=1，育 3 = 1 ± 2Z先求人=i对应的特征向量为~0_T.= 1-1再求人=1 + 2,所对应的特征向量丁2.它应满足方程组~-2i-1-T a(A-(1+2Z)E)T2=1-2i0b=030-2i c-2ia-b-c二0< a — 2bi — 03a-2ci = 0用力乘上述第一个方程两端，得4a-2bi-2ci = 0< a - 2bi = 0 3a —2c 心 0显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和.故上述方程 组中仅有两个方程是独立的，即a — 2bi = 0 3a — 2ci = 0求它的一个非零解.不妨令" = 2.贝ljb = l,c = 3・于是人= 1 + 2/对 应的解是故原方程组的通解为_0_-2 sin It2 cos 2?=C0 1 +cos2r + C 3e ，sin 2t z(x) -13 cos It3 sin 2t(三)矩阵A 的特征根有重根的情形由定理3.11,我们已经知道，当方程组(3.20)的系数矩阵A 的特征根均是单根时，其基本解组的求解问题，归结到求这 些特征根所对应的特征向量.然而，当~2i~~2i ~-2 sin 2t2cos2r 1 =e r (cos 2t + i sin 2f)1 =e r cos 2tsin 2t333 cos 2t3sin2fe (l+2/)/矩阵A的特征方程有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若人是A 的出重特征根，则由齐次线性方程组(A - 4E)!；二0所决定的线性无关特征向量的个数人，一般将小于或等于特征根人的重数匕若幷半，那么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与3.5.1情形相同•若齐＜«,由线性代数的知识，此时也可以求岀匕个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型J.TAT=山■_ J加-其中未标岀符号的部分均为零无素，而是化阶约当块，/+©+…+灯=仏"…，九是(3.20)的特征根, 它们当中可能有的彼此相同.于是，在变换(3.21)下方程组(3.20)化成JZ~cbc(3.25)根据(3.25)的形式，它可以分解成为〃7个可以求解的小方程组.为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子, 说明在重根情形下方程组(3.20)的基本解组所应具有的结构.对于一般情形，其推导是相似的.设方程组Dx(3.26)中A 是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ 其中T =(G (L_/ = 1,2,...,5)且 delTHO,将方程组(3.26)化为(3.27)dx我们假定1 0 0 o -0 A 1 0 0J = 00 A 0 00 0 010 0 0 0这时，方程组(3.27)可以分裂为两个独立的小方程组(3.28)(3.29)在(3.28)中自下而上逐次用初等积分法可解得(C AZ[ = — x2 + C^x + C, e A[X12! ~ JZ2 = (C3x + C2)e z,A同样对(3.29)可解得z4=(C5x + C4)^x这里GG ，…,G 是任意常数•由于在方程(3.28)中不出现“5, 在(3.29)中不岀现辟2好 我们依次取C )= 1, C 2 = C 3 = C 4 = C 5 = 0C] = o, = h = C4 = q = o Cj = C 2 = 0, C 3 = 1,C 4 = C 5 = 0 q = C] = C y = 0, C 4 = 1,C 5 = 0 q = q = C3 = C4 = o. C5 = 1可以得到方程组(3.27)的五个解如下从而(3.31)是方程组(3.27)的一个解矩阵•又detZ(0) = 1^0zi =e 0 0 ,z° = - Xj.v ■ xe 1/X Z3 = 2!xe^x /X■ 0 ■ 0，厶= 0€ 9_ 00 00XZ(x) = 00 02!兀戶0 00 0 0严所以(3.31)是方程组(3.27)的一个基本解矩阵.而(3.30)是(3.27) 的一个基本解组.现在把(3.30)的每个解分别代入到线性变换Y"Z 中可得原方程组(3.26)的五个解，（寸，+r 12x + r 13>z,A （才兀2 +3 +Q ）□ （毎兀2 +/32兀 +/33）0 （才F +3 +心）穴 （毎F+l + S*而且这五个解构成方程组的一个基本解组•这是因为，若把上 面五个解写成矩阵形式Y(x) = [X (x), Y 2 (x), Y 3 (x), Y 4 (x), Y 5 (x)]则显然有detY(0)= T HO.I”（⑺+心）/"(切兀+切対(『34兀+(35)/"(切兀+切)/'（『54*+ ‘55）八 _(加+氐沖 (护+山才 (“沁+切)/" (⑺+心才Y 4至此我们已清楚地看到，若J中有一个三阶若当块，仏是(3.26)的三重特证根，则(3.26)有三个如下形式的线性无关解,PiMY(x)= p3i(x) d,2,3(3.32)其中每个必CM = 1,2,3,£ = 1,2,3,4,5)是x的至多二次多项式.因此(3.32)也可以写成如下形式(R o + Rd+R2X2)/'都是五维常向量•而对于J中的二阶若当块，易是其中R(J.R P R2(3.26)的二重根，它所对应的(3.26)的两个线性无关解应是如下形式(R3+R4X)^X其中R“出也都是五维常向量.最后，我们还应指出，对于方程组(3.20),若厶是A的一个出重特征根，则人所对应的若当块可能不是一块而是几块, 但是它们每一块的阶数都小于或等于化，而且这些阶数的和恰好等于化.这样，由以上分析我们得到定理3. 14设人虫,…，血是矩阵A的加个不同的特征根，它们的重数分别为也,…人・那么，对于每一个八方程组(3.20)有人个形如X (x) = I> (x)e^x, Y2(X) = E (x)e^x，…，兀(劝=P k (卅的线性无关解，这里向量EG)(i = l,2,・・・,心)的每一个分量为无的次数不高于心-1的多项式.取遍所有的人(,=1,2,・・・,加)就得到(3.20)的基本解组.上面的定理既告诉了我们当A的特征根有重根时，线性方程组(3.20)的基本解组的形式，同时也告诉了我们一种求解方法，但这种求解方法是很繁的.在实际求解时，常用下面的待定系数法求解.为此，我们需要线性代数中的一个重要结论.引理3・1设邪介矩阵互不相同的特征根为加=1,2,…,〃7), 其重数分别是，蛀2,…W+/+…+灯=砒，记〃维常数列向量所组成的线性空间为V,则(1) V的子集合V7. ={R|(A-学卢R = O,ReV}是矩阵A的nz维不变子空间，并且(2) v有直和分解V = V1®V2®---®V m；现在，在定理3.14相同的假设下，我们可以按下述方法求其基本解组. 定理3・15如果勺是(3.20)的勺重特征根，则方程组(3.20)有个匕形如Y(兀)=(R o +R］兀------ 巴_¥厂")/“(3.33)的线性无关解，其中向量R（）,R H由矩阵方程(A-/lyE)R0 = R](A-2y E)R1=2R2(A-学)％_2 = (k. - 1)R『(A — 2y.E)^ R()= 0(3.34)所确定.取遍所有的A.（J = 1,2,则得到（3.20）的一个基本解组.证明由定理3.14知，若厶是（3.20）的匕重特征根，则对应解有（3.30）的形式•将（3.33）代入方程组（3.20）有[R1+2R2x + ... + (^-l)R^_I//_2]€V+/l.(R0 + R1x+...+R Jti_I/?_，)/ =A(R(> + R|X + • • • + R—]/" 消去/尸，比较等式两端兀的同次幕的系数（向量），有(A — 2;-E)R0 = Rj(A-A7E)R, =2R2(A -2;.E)R^_2 =代- 1)R®_] ・(A-A.E)R V1=O注意到方程组(3.35)与(3.34)是等价的.事实上，两个方程组只有最后一个方程不同，其余都相同.(3.35)与(3.34) 同解的证明请见教材.这样，在方程组(3.31)中，首先由最下而的方程解出出，再依次利用矩阵乘法求岀R P R2•由引理3.1得知，线性空间V可分解成相应不变子空间的直和，取遍所有的40 = 1,2,...,肋，就可以由(3.34)最下面的方程求出n个线性无关常向量，再由(3.31)逐次求出其余常向量，就得到(3.20)的〃个解.记这Q个解构成的解矩阵为丫⑴，显然，Y(O)是由(3.34) 最下面的方程求岀的n个线性无关常向量构成，由引理3.1 的2)矩阵Y(O)中的各列构成了斤维线性空间v的一组基，因此det Y(0) 0 ,于是Y(x)是方程组(3.20)的一个基本解组.例3求解方程组卞=儿+儿＜于=X +儿诗二必+旳解系数矩阵为「o 1 rA二1 0 11 1 0特征方程为(2-2)(2 + 1)2=0特征根为人=2,人=〈=-1.其中人=2对应的解是TY,(x)= 1 訂1下面求—-1所对应的两个线性无关解.由定理3.15,其解形如Y(x) = (R o + Rd)*'并且RoR满足f(A + E)R0 = R][(A+E)2R O=O由于_i 1 r「3 3 3'(A + E)二 1 1 1,(A+E)2 = 3 3 31 1 1 3 3 3那么由(A+EFR J =0可解出两个线性无关向量将上述两个向量分别代入(A + E)R0=R1中，均得到R] 为零向量•于是A=A=-1对应的两个线性无关解是最后得到通解-1丫2(兀)=1 厂,-1丫心)=0厂1例4求解方程组石T + 2宀解系数矩阵是「3 1 -1 A= -1 211 1 1特征方程为(2-2)3=0 ,有三重特征根人2.3 =2 由定理3.15,可设其解形如Y(x) = (R° ++R 2X 2)e 2xR o R, R 2满足方程组(A-2E)R 0=R, (A-2E)2R ( =R 2(A-2E)3R O =O■f■~r1 + C 2e'x1+ C 3e~x0 1iY(x) = C&s由于"1 1 -1__-I o r「0 0 o-(A — 2E) =-1 0 1,(A-2E)2 =0 0 0,(A-2E)3 =0 0 01 1 -1-1 0 10 0 0故R°可分别取再将它们依次代入上面的方程，相应地求得弘为R2为丄~2丄~2于是，可得原方程组三个线性无关解最后方程的通解口J写成l + x ——jr2X丄9-x + — X2cy2M=e2x—x1c2_y3W_ 1 2x- — x^L 2X 1 - X + — x22 _本讲要点:1 2 0]_ 21.常系数线性微分方程组的解法归结为求出系数阵A的特征根和特征向量。
一阶常系数线性齐次微分方程组的两种解法
吴翠兰;乔文敏
【期刊名称】《河北地质学院学报》
【年(卷),期】1995(018)005
【摘要】一阶常系数线性齐次微分方程组ｘ（ｔ）＝Ａｘ（ｔ）…（１），其中Ａ＝（ａｉｊ）ｎ×ｎ，ｘ（ｔ）＝）ｘ１，ｘ２，…ｘｎ）＾Ｔ的求解，一般有两种解法。
第一种，归结为求矩阵Ａ的特征值和特征向量，微分方组（１）的解一的般结构完全由代数问题的解析决定。
第二种，归结为求矩阵Ａ的Ｊｏｒｄａｎ标准形，从而可以写出ｙ１，ｙ２，…ｙｎ，由ｘ＝ｐ＾－１ｙ其中ｙ＝ｙ１ｙ２…ｙｎ，Ｐｎ×ｎ为可逆阵，求出ｘ＝ｘ１ｘ２…ｘｎ即为
【总页数】5页(P422-426)
【作者】吴翠兰;乔文敏
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O241.6
【相关文献】
1.一阶常系数线性齐次微分方程组求解探析 [J], 罗毅
2.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生;
3.常系数非齐次线性微分方程组的几种常见解法 [J], 雷凤生
4.n阶常系数线性齐次微分方程与一阶常系数线性齐次微分方程组求解类比法 [J],
周艳华;
5.追赶法求解一阶常系数线性非齐次微分方程组 [J], 张秋生
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一阶微分方程解法在数学的世界中，微分方程是一个非常重要的领域，它在物理、工程、经济等众多学科中都有着广泛的应用。
一阶微分方程作为微分方程的基础类型之一，掌握其解法对于深入理解和解决更复杂的问题具有关键意义。
一阶微分方程的一般形式可以表示为：＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄，其中＄P(x)＄和＄Q(x)＄是已知的关于＄x$ 的函数，＄y'＄表示＄y$ 对＄x$ 的导数。
接下来，我们将介绍几种常见的一阶微分方程的解法。
一、可分离变量的一阶微分方程如果一阶微分方程可以写成＄g(y)dy ＝ f(x)dx$ 的形式，那么我们就称它为可分离变量的一阶微分方程。
这种类型方程的解法相对简单，只需要分别对等式两边进行积分即可。
例如，考虑方程＄y' ＝ 2xy$，将其变形为＄＼frac{dy}｛y} ＝2xdx$。
然后，对两边积分：＄＼int\frac{dy}｛y} ＝＼int 2xdx$，得到＄＼ln|y| ＝ x^2 ＋ C$（＄C$ 为常数），进而可以得到＄y ＝＼pm e^｛x^2 ＋ C} ＝ Ce^｛x^2}＄（＄C ＝＼pm e^C$）。
二、一阶线性微分方程一阶线性微分方程是形如＄y' ＋ P(x)y ＝ Q(x)＄的方程。
我们可以使用积分因子法来求解。
首先，求出积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛＼int P(x)dx}＄。
然后，将原方程两边乘以积分因子，得到：＄e^｛＼int P(x)dx}y' ＋ P(x)e^｛＼int P(x)dx}y ＝ Q(x)e^｛＼intP(x)dx}＄可以发现等式左边是＄（e^｛＼int P(x)dx}y)＇＄，所以对上式两边积分可得：＄e^｛＼int P(x)dx}y ＝＼int Q(x)e^｛＼int P(x)dx}dx ＋ C$最后，解出＄y$ 即可。
例如，对于方程＄y' ＋ 2y ＝ 3e^｛－2x}＄，这里＄P(x) ＝ 2$，＄＼int P(x)dx ＝ 2x$，积分因子＄＼mu(x) ＝ e^｛2x}＄。
常微分方程中的常系数线性方程及其解法常微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是一种数学模型，用于描述时间或空间上量的变化规律。
常微分方程中的常系数线性方程是ODE中一个重要的类别，其解法具有一定的规律性和普适性。
本文将就常微分方程中的常系数线性方程及其解法做简要介绍。
一、常系数线性方程的定义常系数线性方程是指其系数不随自变量t的变化而改变的线性方程。
一般写为：$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=f(t)$$其中a的值为常数，f(t)为已知函数，y(t)为未知函数，方程中最高阶导数的阶数为n。
n阶常系数线性方程也称为n阶齐次线性方程；当f(t)≠0时，称其为n阶非齐次线性方程。
二、常系数线性方程的解法对于一般形式的常系数线性方程，我们常用特征根的方法来求解。
具体来说，先考虑对应的齐次线性方程$$\frac{d^n}{dt^n}y(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}y(t)+...+a_1\frac{d}{dt}y(t)+a_0y(t)=0$$设y(t)=e^{rt}，则有$$r^ne^{rt}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rt}+...+a_1re^{rt}+a_0e^{rt}=0$$整理得到$$(r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0)e^{rt}=0$$根据指数函数的性质得到$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$求解方程$$r^n+a_{n-1}r^{n-1}+...+a_1r+a_0=0$$可得到n个特征根，设其为$r_1,r_2,...,r_n$。
则对于齐次线性方程，其通解为$$y(t)=c_1e^{r_1 t}+c_2e^{r_2 t}+...+c_ne^{r_n t}$$其中$c_1,c_2,...,c_n$为待定常数。
