1.5.1 正态分布

标准对数正态分布表1. 什么是标准对数正态分布？标准对数正态分布是一种概率分布模型，它在统计学和金融学中广泛应用。

该分布的概率密度函数特点是曲线呈现对称的钟形，均值为0，标准差为1。

2. 标准对数正态分布表的作用标准对数正态分布表用于计算标准对数正态分布的概率值。

通过查表，可以快速获取给定值的概率，进而进行统计分析和决策。

3. 标准对数正态分布表的结构标准对数正态分布表通常由两列构成：- 第一列为标准对数正态分布的随机变量X的取值范围。

这些取值通常是从负无穷到正无穷，但表格一般只给出一定范围内的取值。

- 第二列为对应每个随机变量取值的概率值。

这些概率值是通过概率统计计算得出，并包含在表格中。

4. 如何使用标准对数正态分布表？使用标准对数正态分布表时，需要先确定随机变量X的取值范围，并找到对应的概率值。

例如，如果要计算随机变量X取值在-1.5和1.5之间的概率，可以从表格中找到-1.5和1.5对应的概率值，然后两者相减，即可得到所求概率。

5. 标准对数正态分布表的局限性需要注意的是，标准对数正态分布表通常只给出固定范围内的取值和对应的概率值。

如果所需的随机变量取值超出了范围，需要利用统计软件或计算工具进行精确计算。

此外，标准对数正态分布表为标准差为1的情况，如果需要使用其他标准差对应的概率值，需要进行标准化转换或使用其他相关表格。

6. 总结标准对数正态分布表是一种有用的工具，用于计算标准对数正态分布的概率值。

通过查表，可以快速获取概率值，辅助统计分析和决策。

需要注意其局限性，并在需要时使用其他计算工具进行精确计算。

注：本文档基于标准对数正态分布的基本概念，具体内容请确认相关文献和资料。

正态分布
•考生往往想知道之间在群体中的位置 •学校教师往往想知道自己任课班级在整个学校 的位置 •校长需要对不同学科考试分数进行各种比较 •如何进行科学合理的比较？如何使比较令他人 信服呢？
一、正态分布
1、正态分布 正态分布（正常状态下的分布），是一种理论上的
连续变量的概率分布。“两头小，中间大，左右对 称”圆滑曲线。
【2.5解】 2 4, 2
P(2.8 X 4.2) P(2.8 2.5 X 2.5 4.2 2.5)
2
2
2
P(0.15 Z 0.85) 0.3023 0.0596 0.2427
P(1.5 X 3.8) P(0.5 Z 0.65)
P(0 Z 0.5) P(0 Z 0.65) 0.1915 0.2422 0.4337
P(x 80) P( x 75 0.625) P(Z 0.625) 8
0.5 P(0 Z 0.625) 0.5 0.234 73.4%
这表明有73.4%的考生名列的得80分的某考生之后,而有26.6%的考 生成绩在80分以上。
2、利用正态分布求各种分数段内的百分比和人数
例2 某师大一年级有学生200人，高数成绩可以用正态分布来描 述，其平均成绩为μ=78（分 ),标准差为σ＝7（分），试在理 论上计算学生成绩在90分以上、80分至90分、不及格的人数。
故分数线定为x 8Z 75 88分
5、将等级评定结果转化为分数
某班口试有两位主试教师，最后综合两位主试教师的评定
结果确定每个学生的口试成绩。学生的成绩分为优、良、中、 及格、不及格五等。全班共60名学生，每位教师评定的等级人 数见表。在60名学生中抽出甲、乙两名学生，两名教师对他们 的评定结果列在下表中，试比较两名学生成绩的优劣。

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3. 非正态分布的原因
非对称或非正态分布的问题是在现场经常出现的问题,其潜在的原因 如下
1) 具有自然界限的数据 2) 筛选检查时不良品的选别 3) 分布的混合 4) 输入变量与输出变量间的非线性关系 5) 输入变量间的交互作用 • 按照时间的工程变化 • 缺乏独立性或周期的变化 • 测定器精密度问题 • 具有异常点(Outliers)的数据
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尖度(Skewness)的解释
急尖或平尖分布的平均的分布在中心,但左,右两边的尾巴比正态分布 短或长. Kurtosis称为尖度,表示分布形态的平或尖的程度
正态分布时 Kurtosis为0, 急尖分布时(+),平尖分布时(-) 值. 在左图中Kurtosis值为3.082, 是(+)值,可以看出是平尖分布
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1) 具有自然界限的情况
在物理上或不可避地存在无法测定数据的最小值或最大值时,例如时间,
不纯度,平坦度.主要 形成左边或右边斜型的分布.
100
工程与自然界限有一定9800 距离时
빈 70
150
도
60 50
수 40
30
频 100
20
率
10
150
数
50
0
0
2
4
6
8
10 12
频 100 率 数 50
用几台机器生产时, 因特定机器的故障 等发生的分布
一般的双重峰
极端的双重峰
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斜型(Skewness)的解释
如柱型图,斜型分布是平均的分布从分布的中心偏向左或右,是左右 非对称的 Skewness表示数据偏移的程度
正态分布时 Skewness为0, 右边斜型分布是(+),左边斜型 分布是(-)值. 在左边图中Skewness值为2.186, 是(+)值,因此是右边斜型分布

1．5正态分布在上一小节中，我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图，并指出了当样本容量无限增大时，这个频率分布直方图无限接近于如图1－3所示的一条总体密度曲线．产品尺寸是一类典型的总体，对于成批生产的产品，如果生产条件正常并稳定，即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因素，那么，产品尺寸的总体密度曲线就是或近似地是以下函数的图象：f (x)=22()2x μσ--，x ∈(－∞, +∞) ① 式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，这个总体是有无限容量的抽象总体，其分布叫做正态分布．正态分布由参数μ，σ唯一确定．因此，正态分布常记作N (μ，σ2)．①的图象被称为正态曲线．图1－4中画出了三条正态曲线：（1）μ=－1，σ=0.5；（2）μ=0，σ =1；（3）μ=1，σ =2．正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征． 在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布．例如：生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标（如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度、……）一般都服从正态分布．在测量中，测量结果一般可以表示为ξ=a +η. 其中a 表示被测量的量的真值（未知常数），η表示测量的随机误差，ξ和η一般都服从正态分布．在生物学中，同一群体的某种特征（如某一地区同年龄组儿童的发育特征，如身高、体重、肺活量），在一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等，一般也服从正态分布．在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水位，也都服从或近似服从正态分布．总之，正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域之中．正态分布在概率和统计中占有重要地位．在函数①中，当μ=0，σ =1时，正态总体称为标准正态总体，这时相应的函数表示式是 f (x)=22x-，x ∈(－∞, +∞) ② 相应的曲线称为标准正态曲线，如图1－4（2）所示．从图1－4看到，正态曲线具有以下性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交；（2）曲线关于直线x=μ对称；（3）曲线在x=μ时位于最高点．（4）当x<μ时，曲线上升；当x>μ时，曲线下降．并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近．（5）当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中（图1－5）．由于标准正态总体N(0，1)在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表”（见附表2）．在这个表中，相应于x0的值中Ф(x0)是指总体取值小于x0的概率，即Ф(x0)=P (x<x0).如图1－6（1）中左边阴影部分所示．由于标准正态曲线关于y轴对称，表中仅给出了对应于非负值x0的值Ф(x0)．如果x0<0，那么由图1－6（2）中两个阴影部分面积相等知Ф(x0)=1－Ф(－x0)利用这个表，可求出标准正态总体在任一区间(x1，x2)内取值的概率．例如它在(－1，2)内取值的概率是P=Ф(2)－Ф(－1)= Ф(2)－{1－Ф[－(－1)]}=Ф(2)+ Ф(1)－1=0.9772+0.8413－1=0.818 5．一般的正态总体N(μ,σ 2)均可以化成标准正态总体N(0，1)来进行研究．事实上，可以证明，对任一正态总体N(μ,σ 2)来说，取值小于x的概率F(x)= Ф(xμσ-)．例如，对于正态总体N(1，4)来说，取值小于3的概率F(3)= Ф(312-)=Ф(1)=0.8413．例1．分别求正态总体N(μ,σ 2)在区间(μ－σ, μ+σ)，(μ－2σ, μ+2σ)，(μ－3σ, μ+3σ)内取值的概率．解：F(μ+σ)=Ф(()μσμσ+-)=Ф(1), F(μ－σ)=Ф(()μσμσ--)=Ф(－1),所以正态总体N(μ, σ2)在(μ－σ，μ +σ)内取值的概率是F(μ+σ)－F(μ－σ)=Ф(1)－Ф(－1)= Ф(1)－[1－Ф(1)]=2Ф(1)－1=2×0. 8413－1≈0.683；同理，正态总体N(μ，σ 2)在的(μ－2σ，μ +2σ)内取值的概率是F(μ+2σ)－F(μ－2σ)=Ф(2)－Ф(－2)≈0.954；正态总体N(μ，σ 2)在的(μ－3σ，μ +3σ)内取值的概率是F(μ+3σ)－F(μ－3σ)=Ф(3)－Ф(－3)≈0.997；下面以正态总体为例，说明统计中常用的假设检验方法的基本思想．我们从上表看到，正态总体在(μ－2σ, μ+2σ)以外取值的概率只有4.6％，在(μ－3σ, μ+3σ)以外取值的概率只有0.3％，由于这些概率值很小，通常称这些情况发生为小概率事件．也就是说，通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的．我们来看一个例子．假设工人制造的零件尺寸在正常情况下服从某种分布．为便于说明，不妨假设它服从正态分布N(μ,σ 2)，那么从上面知道，零件尺寸在(μ－3σ, μ+3σ)内取值的概率为99.7％，即零件尺寸落在(μ－3σ, μ+3σ)以外的概率只有0.3％．这是一个小概率事件．它表明在大量重复试验中，平均每抽取1000个零件，属于这个范围以外的零件尺寸只有3个．因此在一次试验中，零件尺寸在(μ－3σ, μ+3σ)以外是几乎不可能发生的，而如果这种事件一旦发生，即产品尺寸a满足|a－μ|≥3σ。